准高三数学(理)入学测试卷

高考数学高三开学测试题数学试卷（理工类）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合}03|{2<-=x x x A ，},1{a B =，且B A 有4个子集，则实数a 的取值范围是（ ）A.)3,0(B.)3,1()1,0(C.)1,0(D.),3()1,(+∞-∞2．复数ii i 1313+-+等于（ ） A.i -3 B.i 2- C.i 2 D.03. 函数)4sin 2cos 4cos 2(sin log 21ππx x y -=的单调递减区间是（ ）A.Z k k k ∈++),85,8(ππππ B.Z k k k ∈++),83,8(ππππC.Z k k k ∈+-),83,8(ππππ D.Z k k k ∈++),85,83(ππππ4．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A. 1B.－12C. 1或－12D. 1或－125. 已知关于x 的二项式nxa x )(3+展开式的二项式系数之和 为32，常数项为80，则a 的值为（ ） A ．1B ．1±C ．2D ．2±6.若两个正实数y x ,满足141=+yx ，且不等式m m yx 342-<+有解，则实数m 的取值范围是（ ）A.)4,1(-B.),4()1,(+∞--∞C.)1,4(-D.),3()0,(+∞-∞7. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为（ ）A. 4B. 8C. 10D. 128．若A 为不等式组0,0,2x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为( )A ．1B ．32C ．34D ．749. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为3，一个内角为60︒的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）A.8 D.410. 已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足0)1(=+++OC OB OA λλ，若OAB ∆的面积与OAC ∆的面积比值为3，则λ的值为（ ）A.21B. 1C. 2D. 3 11.过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ,O 为原点，若()+=21，则双曲线的离心率为（ ）A.251+ B.231+ C.7224- D.7224+ 12．定义在()0+∞，上的单调函数()[]2(),0,,()log 3f x x f f x x ∀∈+∞-=，则方程2)()(='-x f x f 的解所在区间是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C.()2,1 D.()3,2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知等差数列}{n a 中，45831π=++a a a ,那么=+)cos(53a a . 14.5位同学排队，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在排头，则排法种数为.15.已知球O的直径4=PQ ，C B A ,,是球O 球面上的三点, 30=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ ，ABC ∆是正三角形，则三棱锥ABC P -的体积为. 16. 给出下列四个结论：（1）如图Rt ABC ∆中，2,90,30.AC B C =∠=︒∠=︒ D 是斜边AC 上的点，CB CD =. 以B 为起点任作一条射线BE 交AC 于E 点，则E 点落在线段CD； （2）设某大学的女生体重()kg y 与身高()cm x 具有线性相关关系，根据一组样本数据ABCD E()()n i y x ii ,,2,1,=，用最小二乘法建立的线性回归方程为71,8585.0ˆ-=x y，则若该大学某女生身高增加cm 1，则其体重约增加kg 85.0；（3）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()x f x f -=+2,则函数()f x 的图像关于1=x 对称;（4）已知随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.79,N P σξ≤=则()21.02=-≤ξP .其中正确结论的序号为三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为D C B ,,）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东 60方向，仰角为 60，B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30方向，仰角为 30．D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向． （1）求C B ,两救援中心间的距离；（2）D 救援中心与着陆点A 间的距离．18．(本小题满分12分)我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050-为优秀，各类人群可正常活动.市环保局对我市进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求a 的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，CD AB //，在锐角PAD ∆中PD PA =，并且82==AD BD ，542==DC AB .（1）点M 是PC 上的一点，证明：平面⊥MBD 平面PAD ； （2）若PA 与平面PBD 成角︒60，当面⊥MBD 平面ABCD空气质量指数频率 组距0.020 O 5 15 25 35 45 北 AP东BC D时，求点M 到平面ABCD 的距离．20.（本小题满分12分）已知椭圆14:22=+y x E 的左，右顶点分别为B A ,，圆422=+y x 上有一动点P ,点P 在x 轴的上方，()0,1C ，直线PA 交椭圆E 于点D ，连接PB DC ,. (1)若︒=∠90ADC ,求△ADC 的面积S ;(2)设直线DC PB ,的斜率存在且分别为21,k k ,若21k k λ=,求λ的取值范围. 21.(本小题满分12分)设函数()ln(1),()ln(1)1xf x a xg x x bx x=-+=+-+. （1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；（2）①是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由； ②证明：不等式()2111ln 1,2,12nk k n n k =-<-≤=⋅⋅⋅+∑考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC是ACB ∠的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点． （Ⅰ）求ADF ∠的度数； （Ⅱ）若AC AB =，求BC AC :．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=t y tx 322（t 为参数），直线l 与曲线1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点.（1）求||AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为)43,22(π，求点P 到线段AB 中点M 的距离． 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知实数c b a ,,满足0,0,0>>>c b a ，且1=abc . （Ⅰ）证明：8)1)(1)(1(≥+++c b a ； （Ⅱ）证明：cb ac b a 111++≤++. 哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试数学试卷（理工类）答案一．选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.B7.B8.D9.D 10.A 11.A 12.C 二．填空题 13.2114.439 15.40 16.②③④三．解答题17. 解：（1）由题意知AB PA AC PA ⊥⊥,，则PAB PAC ∆∆,均为直角三角形………………1分在PAC Rt ∆中，︒=∠=60,1PCA PA ，解得33=AC …………………………2分 在PAB Rt ∆中，︒=∠=30,1PBA PA ，解得3=AB …………………………3分又︒=∠90CAB ，33022=+=BC AC BC 万米.…………………………5分 （2）103sin sin =∠=∠ACB ACD ，101cos -=∠ACD ，…………………………7分又︒=∠30CAD ，所以102133)30sin(sin -=∠+︒=∠ACD ADC .…………………………9分在ADC ∆中，由正弦定理，ACDADADC AC ∠=∠sin sin …………………………10分 1339sin sin +=∠∠⋅=ADC ACD AC AD 万米…………………………12分 18.(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， ……………1分解得0.03a =. ……………2分 （2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6. …………4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在(]5,15内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭. ………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 （或者13355E ξ=⨯=） 19.解法一（1）因为82==AD BD ，54=AB ，由勾股定理得AD BD ⊥，因为平面⊥PAD 平面ABCD ，平面⋂PAD 平面 ABCD =AD ，⊆BD 面ABCD ，所以⊥BD 平面PAD ⊆BD 面MBD ，所以平面⊥MBD 平面PAD ………6分（2）如图，因为⊥BD 平面PAD ，所以平面⊥PBD 平面PAD ， 所以︒=∠60APD ，做AD PF ⊥于F ，所以⊥PF 面ABCD ，32=PF ，设面⋂PFC 面MBD =MN ，面⊥MBD 平面ABCD所以面//PF 面MBD ，所以MN PF //，取DB 中点Q ，得CDFQ 为平行四边形，由平面ABCD边长得N 为FC 中点，所以321==PF MN ………12分 解法二（1）同一（2）在平面PAD 过D 做AD 垂线为z 轴，由（1），以D 为原点，DB DA ,为y x ,轴建立空间直角坐标系,设平面PBD 法向量为),,(z y x u =，设),0,2(a P ，锐角PAD ∆所以2>a ，由0,0=⋅=⋅DB u DP u ，解得)2,0,(a u -=，),0,2(a PA -=，ξ 01 2364125 48125 12125 1125xyzM2344|,cos |2=+=><a a ，解得32=a 或2332<=a （舍）设λ=，解得)3232,4,42(λλλ--M因为面⊥MBD 平面ABCD ，BD AD ⊥，所以面MBD 法向量为)4,0,0(=，所以0=⋅DM DA ，解得21=λ，所以M 到平面ABD 的距离为竖坐标3．………12分 20.（1）依题意，)0,2(-A .设),(11y x D ，则142121=+y x . 由︒=∠90ADC 得1-=⋅CD AD k k , 1121111-=-⋅+∴x yx y , ()()124112*********-=-+-=-⋅+∴x x x x x y , 解得舍去）(2,3211-==x x 3221=∴y , 2332221=⨯⨯=S .…………5分 (2)设()22,y x D , 动点P 在圆422=+y x 上, ∴1-=⋅PA PB k k . 又21k k λ=, ∴1212222-⋅=+-x y x y λ, 即()()222212y x x -+-=λ=()()41122222x x x --+- =()()()222244112x x x --+-=21422--⋅x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+21142x .又由题意可知()2,22-∈x ,且12≠x , 则问题可转化为求函数()()()1,2,22114≠-∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x x x f 且的值域. 由导数可知函数()x f 在其定义域内为减函数,∴函数()x f 的值域为()()3,00,⋃∞- 从而λ的取值范围为()()3,00,⋃∞-……12分21.（1）由已知得：()21()11af x xx '=-++，且函数()f x 在0x =处有极值 ∴()21(0)01010af '=-=++，即1a = ∴()ln(1),1x f x x x =-++ ∴()()2211()111xf x x x x -'=-=+++当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； ∴函数()f x 的最大值为(0)0f = （2）①由已知得：1()1g x b x'=-+ (i)若1b ≥，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x'=-≤+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为减函数， ∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+-<=在()0,+∞上恒成立； (ii)若0b ≤，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x'=->+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为增函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立； (iii)若01b <<，则1()01g x b x '=-=+时，11x b=-， 当10,1x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0g x '≥，∴()ln(1)g x x bx =+-在10,1b ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上为增函数，此时()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，∴不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；综上所述，b 的取值范围是[)1,x ∈+∞…………8分 ②由以上得：ln(1)(0)1xx x x x<+<>+ 取1x n =得：111ln(1)1n n n <+<+令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n -⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此1112n n x x x -<<⋅⋅⋅<=. 又()1211ln ln ln 1ln1ln 1nn k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑ 故1122211111ln 1ln 1111nn n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑()()11122111111111111n n n k k k kk k k kn k k ---===⎛⎫>-=-≥=-+>- ⎪+++⎝⎭∑∑∑……12分22．（1）因为AC 为⊙O 的切线，所以EAC B ∠=∠…………1分因为DC 是ACB ∠的平分线，所以DCB ACD ∠=∠…………2分所以ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠，即AFD ADF ∠=∠，…………3分 又因为BE 为⊙O 的直径，所以︒=∠90DAE …………4分.所以︒=∠-︒=∠45)180(21DAE ADF .…………5分 （2）因为EAC B ∠=∠，所以ACB ACB ∠=∠，所以ACE ∆∽BCA ∆，所以ABAE BC AC =，………7分 在ABC ∆中，又因为AC AB =，所以︒=∠∠=∠30ACB B ，………8分ABE Rt ∆中，3330tan tan =︒===B AB AE BC AC ………10分 23.解:（1）直线l 的参数方程化为标准型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 232212（t 为参数）…… 2分代入曲线C 方程得01042=-+t t设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ， 所以142||||21=-=t t AB …… 5分（2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-， …… 6分所以点P 在直线l ， 中点M 对应参数为2221-=+t t ， 由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ……10分 24.(1)c c b b a a 21,21,21≥+≥+≥+，相乘得证——————5分 （2）ac bc ab cb a ++=++111 b c ab bc ab 222=≥+，ac b a ac ab 222=≥+，cc ab ac bc 222=≥+相加得证——————10分高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的图像的对称中心是（）。

A. (0, 0)B. (1, 0)C. (0, -1)D. (1, -1)2. 若等差数列{an}的公差d > 0，且a1 + a5 = 12，a3 + a4 = 18，则数列的第10项a10等于（）。

A. 26B. 27C. 28D. 293. 下列命题中正确的是（）。

A. 函数y = log2(x - 1)在定义域内单调递增B. 函数y = e^x在定义域内单调递减C. 函数y = sin(x)在[0, π]上单调递增D. 函数y = cos(x)在[0, π]上单调递减4. 若复数z满足|z - 2i| = |z + 3|，则复数z在复平面内的轨迹是（）。

A. 一条直线B. 一个圆C. 一个点D. 一条射线5. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f(2) = 8，则函数f(x)的图像与x轴的交点个数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 46. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值是（）。

A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. √3/37. 已知等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则数列的前n项和S_n是（）。

A. 2^n - 1B. 2^n + 1C. 2^nD. 2^(n-1)8. 若函数y = log2(x - 1)的图像向右平移a个单位，得到的函数图像的解析式是（）。

A. y = log2(x - a - 1)B. y = log2(x + a - 1)C. y = log2(x - 1 - a)D. y = log2(x - 1 + a)9. 已知数列{an}满足an = 2an-1 - 1，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式是（）。

⾼三⼊学联考数学试卷（理）及答案⾼三⼊学第⼀次联合考试数学试卷（理）数学科试题部分（满分150分，考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题共50分）⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，满分50分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1.已知集合2{|20}A x x x =--<，{||1}B x x =<，则()A B =R e（）A.(1,2)B.(1,2]C.[1,2)D.[1,2]2.设x R ∈,则“1x <”是“2x ≠”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分⼜不必要条件 3.某⼏何体的三视图如图所⽰，且该⼏何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（） A.2 B.92 C.32 D.34.设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平⾯,下列命题中错误的是（） A.若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B.若αβ⊥,m α?,m β⊥,则//m α C.若m β⊥,m α?,则αβ⊥ D.若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥5.将函数π()2tan 36x f x ??=+的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（）A.π()2tan()134x g x =+-B.π()2tan()134x g x =-+C.π()2tan()1312x g x =-+D.π()2tan()1312x g x =--6.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上⼀点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆⼼，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是 ( ) A.(0,2) B. [0,2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满⾜01<+n n S S 的正整数n 的值为（）A.13B.12C.11D. 108.设函数()g x 是⼆次函数,2,||1(),||1x x f x x x ?≥=?（第3题图）正视图侧视图x()g x 的值域是( )A.(,1][1,)-∞-+∞B.[0,)+∞C.(,1][0,)-∞-+∞D.[1,)+∞9.若X 是⼀个集合，τ是⼀个以X 的某些⼦集为元素的集合，且满⾜：①X 属于τ，φ属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的⼀个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下⾯给出的四个集合τ：①{{}{}{}}a c a b c τ=?，，，，，；②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=?，，，，，，，；③{{}{}{}}a a b a c τ=?，，，，，；④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=?，，，，，，，，．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是( )A.①B.②C.②③D.②④10.设函数2()2,()ln 3x f x e x g x x x =+-=+-,若实数,a b 满⾜()()0f a g b ==,则( ) A.()0()g a f b << B.()0()f b g a << C.0()()g a f b <<D.()()0f b g a <<第Ⅱ卷（⾮选择题共100分）⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，每⼩题4分，满分28分）11.已知函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ?<=?>?则1[()]f f e =_______________．12.若点M （y x ,）为平⾯区域≤≥++≥+-001012x y x y x 上的⼀个动点，则y x 2+的最⼤值是_______13.若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+,则4a =___________ 14.已知cos sin 6?-+=παα7sin 6??+= πα .15.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右⽀于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离⼼率为________．16.已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满⾜1,c a b c --=则的最⼤值是______ 17.函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤?=?>?，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ??是否存在最⼤值？若存在，在横线处填写其最⼤值；若不存在，直接填写“不存在”______________三、解答题(本⼤题共5⼩题，满分72分。

丰城九中高三上学期理科数学开学考试试卷一、单选题（共12题，共60分）1.已知集合{}{}2220,log 1A x x x B x x =--<=≤，则A B = （）A.{}02x x <≤B.{}02x x <<C.{}12x x -<< D.{}12x x -<≤【答案】B 【解析】【分析】分别解二次不等式和对数不等式，求得集合,A B ，进而利用交集的定义求得A B ⋂.【详解】A {}{}12,02x x B x x =-<<=<≤，则{}02A B x x ⋂=<<.故选：B2.已知命题p ：∀x ∈R ，cosx≤1，则（）A.￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0≥1B.￢p ：∀x ∈R ，cosx≥1C.￢p ：∀x ∈R ，cosx ＞1D.￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞1【答案】D 【解析】【分析】对于全称命题的否命题，首先要将全称量词“∀”改为特称量词“∃”，然后否定原命题的结论，据此可得答案.【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R ，cosx≤1，￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞1．故选D．【点睛】本题考查了命题中全称量词和存在量词，解题的关键是要知晓全称命题的否定形式是特称命题.3.设122a =，133b =，3log 2c =，则A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.c<a<b【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由已知1221a =>，1331b =>，且616228a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，616339b ⎛⎫== ⎪⎝⎭,1b a ∴>>，而3log 2c =<1，所以c<a<b考点：指数的幂运算.4.已知3sin , (,)52πα=α∈π，则πcos()3α+=（）A.410- B.410+ C.410+-D.310+【答案】C 【解析】【分析】由两角和的余弦公式展开即可.【详解】 3sin ,(,)52πααπ=∈，4cos 5α∴=-，cos()cos cos sin sin333ππ∴+=-πααα4134525210+=-⨯-⨯=-故选：C5.已知命题()2000:R,110p x x a x ∃∈+-+<，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为（）A.1≤a ≤3B.-1<a <3C.-1≤a ≤3D.0≤a ≤2【答案】C 【解析】【分析】先写出命题p 的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得a 的取值范围.【详解】命题p 是假命题，命题p 的否定是：()2R,110x x a x ∀∈+-+≥，且为真命题，所以()()()214130a a a ∆=--=+-≤，解得13a -≤≤.故选：C 6.“04x k ππ=-+，k ∈Z ”是“函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求出函数()f x 的对称中心，即可判断.【详解】函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称042k x ππ⇔+=，k ∈Z ，即042k x ππ=-+，k ∈Z ，故“02442k x k ππππ=-+=-+，k ∈Z ”是“函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称”的充分不必要条件．故选:A7.如图，有一古塔，在A 点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，在A 的正东方向且距D 点60m 的B 点测得塔底位于北偏西45°方向上（A ，B ，D 在同一水平面），则塔的高度CD 约为（） 2.4≈）A.38mB.44mC.40mD.48m【答案】D 【解析】【分析】转化为解三角形问题，利用正弦定理、直角三角形的性质进行求解.【详解】如图，根据题意，CD ⊥平面ABD ，30CAD ∠=︒，30BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒，60BD =.在ABD △中，因为sin sin BD AD BAD ABD =∠∠，所以60sin 30sin 45AD=︒︒，所以AD =.在Rt ACD △中，3tan 30483CD AD =⋅︒==m .故A ，B ，C 错误.8.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x =（）A.2sin 8x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B.2sin 8x π⎛⎫+⎪⎝⎭C.2sin 48x π⎛⎫-⎪⎝⎭D.2sin 48x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由最值可求得A ，根据最小正周期可求得ω，由28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得ϕ，从而得到()f x 解析式；由三角函数平移和伸缩变换原则可得()g x .【详解】由图象可知：()()max min22f x f x A -==，最小正周期3488T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，22T πω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，2sin 284f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()242k k ππϕπ∴+=+∈Z ，解得：()24k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，4πϕ∴=，()2sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象向右平移316π个单位长度可得：332sin 22sin 216848f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；将316f x π⎛⎫-⎪⎝⎭横坐标变为原来的2倍得：()2sin 8g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.9.已知()21sin 42f x x x π⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】对函数()f x 求导，判断导函数的奇偶性，排除部分答案，接着将6x π=代入导函数即可解得答案.【详解】解：∵()2211sin cos 424f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，∴()1sin 2f x x x '=-，∴()()()11sin sin 22f x x x x x '-=---=-+∴()()f x f x ''-=-∴()1sin 2f x x x '=-是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ，将6x π=代入()f x '得：106122f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C ．故选：A ．10.已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）．A.51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭C.()3,2-- D.()(),32,-∞--+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，可得()f x 对称轴为3x =，且在[)3,+∞上单调递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需223x x -<-即可，解出不等式即可.【详解】由题意可得，()f x 对称轴为3x =，且在[)3,+∞上单调递减.则由()()12f x f x +>，可得出1323x x +-<-，即()()22223x x -<-，即()()23853510x x x x -+=-->，解得1x <或53x >.所以，不等式()()12f x f x +>的解集为()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：B.11.已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1xg x x =++的一个零点，132log 5c =，则（）A.a c b <<B.a b c<<C.b<c<a D.a c b <<或c b a<<【答案】A 【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性得()f x 仅有1个零点，且3a <-，结合函数()g x 的单调性与零点的存在性定理得21b -<<-，根据对数运算得3log 25c =-，进而32c -<<-，再根据范围得大小.【详解】解：因为()323652f x x x x =--+-，()()()2336321f x x x x x '=--+=-+-，所以()f x 在(),2-∞-上是减函数，在()2,1-上是增函数，在()1,+∞上是减函数，因为()3102f =-<，所以()f x 仅有1个零点，因为()19302f -=-<，所以3a <-，因为()e 1xg x x =++是增函数，且()110e g -=>，()21210eg -=-<，所以21b -<<-，因为1332log 5log 25c ==-，32log 253<<，所以32c -<<-，所以a c b <<.故选：A ．12.已知函数()ln f x x x =-，若()59f x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围为（）A.1,e∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B.(],1-∞ C.(],2-∞ D.(],e ∞-【答案】C 【解析】【分析】令()0t t =>，问题转化为2e 2ln 59t t t t m --≥-，构造函数()2e 2ln tg t t t t =--，通过导数，对()g t 的单调性进行讨论，进而可以得到()min g t ，进而可求答案.()0t t =>，则2x t =，问题转化为2e 2ln 59t t t t m --≥-恒成立.令()2e 2ln tg t t t t =--，则()()()()()222e 122e 10tt t t g t t t t t t+-=+--'=>，因为0t >，所以20t t+>.令()()2e 10t h t t t =->，则()()22e 0t h t t t =+>'，所以()h t 在()0,∞+上单调递增，又()1e 10h =->，11024h ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，所以存在01,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h t =，即020e t t 10-=，所以当()00,t t ∈时，()0h t <，即()0g t '<，当()0,t t ∞∈+时，()0h t >，即()0g t '>，所以()g t 在()00,t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增，所以()()020000min e 2ln tg t g t t t t ==--，又020e 10t t -=，所以020e 1tt =，0201et t =，所以()0000min 11ln 11e t g t t t t =--=-+=，所以159m ≥-，解得2m ≤.故选：C二、填空题（共4题，共20分）13.已知幂函数()()213m f x m x-=-在()0,∞+内是单调递减函数，则实数m =______．【答案】2-【解析】【分析】由已知，函数()f x 为幂函数且在()0,∞+内是单调递减，可进行列式，即231m -=且10m -＜即可完成求解.【详解】由题意得，函数()f x 为幂函数且在()0,∞+内是单调递减，所以23110m m ⎧-=⎨-<⎩，解得2m =-．故答案为：2-.14.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,A C a ==，若228c +=，则ABC ∆的面积为____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：由正弦定理，知sin sin a A c C =，即sin 22cos sin 2cos sin sin C C C C C C ===，所以3cos 2C =，所以30C =︒，所以60,90A B =︒=︒．因为a =，所以2b c =228c +=，所以2c =，所以12S ac ==．考点：正弦定理．【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，其基本步骤是：（1）确定三角形中的已知和所求，（2）根据条件和所求合理选择正弦定理与余弦定理，使边化角或角化边；（3）求解．15.命题[]:1,1p x ∃∈-，使得2x a <成立；命题():0,q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立．若命题p q ∧为假，则实数a 的取值范围为___________．【答案】[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】首先求出命题,p q 为真时a 的取值范围，再根据复合命题的真假即得.【详解】命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立，当[1,1]x ∈-时，1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若命题p 为真，则12a >，命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立，则211x a x x x+<=+，当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时等号成立，若命题q 为真，则2a <；当命题p q ∧为真命题时，有122a a ⎧>⎪⎨⎪<⎩，即122a <<，所以命题p q ∧为假时，12a ≤或2a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．16.已知sin (20)26()|ln 1(0)x x f x x x πππ⎧⎛⎫+-≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-⎩，若方程()(),0f x m m =>恰有4个不同的实数解a ，b ，c ，d ，且a b c d <<<，则cda b=+___________.【答案】2320e -【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合方法判定易知112m <<，a ，b 关于直线103x =-对称，结合0c e d <<<可知|ln 1||ln 1|c d -=-，进而求得.【详解】如图，易知112m <<，a ，b 关于直线103x =-对称，所以203a b +=-，又0c e d <<<且|ln 1||ln 1|c d -=-，所以1ln ln 1c d -=-，所以ln ln ln 2cd c d =+=，所以2cd e =，从而2320cd e a b =-+.故答案为：2320e -三、解答题（共6题，共70分）17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足πsin()cos 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭a A Cb A ．（1）求角A ；（2）若3,5a b c =+=，求ABC 的面积．【答案】（1）π3A =（2）433【解析】【分析】（1）由条件和正弦定理可得πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后结合三角函数的知识可得答案；（2）由条件结合余弦定理求出bc 的值即可.【小问1详解】由正弦定理得πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0πB <<，所以sin 0B >，所以πsin cos 6A A ⎛⎫=-⎪⎝⎭，化简得1sin sin 22A A A =+，所以πcos 06A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以π3A =．【小问2详解】因为π3A =，由余弦定理得2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又3,5a b c =+=，所以2229()3b c bc b c bc =+-=+-，即9253=-bc ，解得163bc =，则ABC 的面积1116sin 22323S bc A ==⨯⨯=．18.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若函数()()g x f x k =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）πT =，增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）12k ≤<.【解析】【分析】（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质即得；（2）由题可得()f x k =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的根，然后利用数形结合即得.【小问1详解】由()2cos 2cos 1f x x x x =-+得，()π2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎭，故最小正周期为2ππ2T ==，由πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，解得ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ，故()f x 的单调递增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；【小问2详解】令()()0g x f x k =-=，则()f x k =，故问题转化为()f x k =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的根，令π26t x =-，且π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则问题等价于2sin t k =在π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有两个根，画出函数2sin y t =的图象，由2sin y t =的图象可知：当12k ≤<时，有两个根，故实数k 的取值范围为12k ≤<．19.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos sin 90ρθθ++=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值，并求此时点P 的坐标.【答案】（1）2214x y +=，90x ++=（232⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）结合22cos sin 1αα+=消元即可得出曲线C 的普通方程；由cos ,sin x y ρθρθ==即可得出直线l 的直角坐标方程；（2）设点()2cos ,sin P αα，结合点线距离公式，讨论最大值即可【小问1详解】由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），得2214x y +=，故曲线C 的普通方程为2214x y +=.由cos sin 90ρθθ++=，得90x ++=，故直线l 的直角坐标方程为90x ++=.【小问2详解】设点()2cos ,sin P αα，则点P 到直线l 的距离π4sin 96d α⎛⎫++ ⎪==故当πsin 16α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，点P 到直线l .此时，点P 的坐标为⎛ ⎝⎭.20.（1）设α，β为锐角，且5sin 5α=，310cos 10β=，求αβ+的值；（2）已知πsin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）π4；（2）17250-.【解析】【分析】（1）根据三角恒等式求出cos α和sin β，利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+，结合范围即可得结果；（2）通过两角和的正弦公式以及三角恒等式求出sin α，cos α，然后利用二倍角公式求出sin 2α，cos 2α的值，最后由两角差的正弦可得结果.【详解】（1）∵α为锐角，5sin 5α=，且22sin cos 1αα+=，∴cos 5α=．∵β为锐角，310cos 10β=，且22sin cos 1ββ+=，∴sin 10β=，∴()253105102cos cos cos sin sin 5105102αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，∵()0,παβ+∈，∴π4αβ+=．（2）因为πsin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2sin cos cos sin 4410αα+=，即1sin cos 5αα+=．又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1αα+=，解得：4sin 5α=，3cos 5α=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2427217225225250⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．21.已知函数()|26||36|f x x x =---．（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式()||f x k x ≤恒成立，求实数k 的取值范围【答案】（1）111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值后再求解不等式即可；（2）讨论0x =，当0x ≠时6623x k x ---≥，利用绝对值的三角不等式求解6623x x---的最大值即可；【小问1详解】(),22636512,23,3x x f x x x x x x x <⎧⎪=---=-+≤≤⎨⎪->⎩，当2x <时，1x >，即12x <<，当23x ≤≤时，5121x -+>，解得115x <，即1125x ≤<，当3x >时，1x ->，解得1x <-，此时无解，综上：不等式()1f x >的解集为111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】0x =时上述不等式显然成立，当0x ≠时，上述不等式可化为()26362366x x f x x k xx x ---=---≥=，令()()666623231x x x f g x x xx ==---≤--+=，当且仅当02x <≤时等号成立，所以1k ≥，即实数k 的取值范围为[)1,+∞．22.已知函数()ln f x x ax =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1x ≥时，函数()()()1ln 0k x x f x a x =++-⎡⎤⎣⎦≤恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，求得()1ax f x x='-，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由题意可知()2ln 10x x a x --≤对任意的1x ≥恒成立，令()()()2ln 11g x x x a x x =--≥，分0a ≤、102a <<、12a ≥三种情况讨论，利用导数分析函数()g x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()10g x g ≥=能否恒成立，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=①当0a ≤时，则()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，则由()0f x ¢>知10x a <<，由()0f x '<知1x a>，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】解：由题意知()0k x ≤恒成立，而()()()()201ln 0ln 10k x x f x a x x x a x ⇔++-⇔-⎡⎤⎣⎦-≤≤≤，由()()()2ln 11g x x x a x x =--≥，得()ln 12g x x ax '=+-，令()ln 12h x x ax =+-，则()1122ax h x a x x-'=-=.①若0a ≤，()0h x '>，则()g x '在[)1,+∞上单调递增，故()()1120g x g a ''-≥=≥，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()10g x g ≥=，从而()2ln 10x x a x --≥，不符合题意；②若102a <<，则112a >，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()g x '在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()()1120g x g a ''>=->，所以()g x 在11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭在单调递增，所以()1102g g a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，不符合题意；③若12a ≥，则1012a<≤，()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以()g x '在[)1,+∞上单调递减，()()1120g x g a ≤=-'≤'，从而()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，所以()2ln 10x x a x --≤恒成立.综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，本题涉及端点效应，一般的解题思路就是对参数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，验证对应的不等式能否恒成，由此求解.第17页/共17页。

2023届九师联盟高三上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．若集合{|ln(2)},{|(3)(1)0}A x y x B x x x ==-=-->，则A B =（ ） A ．(3,)+∞ B ．(2,3)C ．(1,3)D ．(2,)+∞【答案】B【分析】求出函数定义域化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】函数ln(2)y x =-有意义，有20x ->，即2x >，则()2,A =+∞， 解不等式：(3)(1)0x x -->，即(3)(1)0x x --<，解得13x <<，则()1,3B =， 所以()2,3A B ⋂=. 故选：B2．若复数z 满足(2i)i 54i z --=+，则z =（ ） A ．33i - B ．33i +C ．13i -D ．13i +【答案】C【分析】根据复数的四则运算，先求出复数z ,再求z 即可. 【详解】解：由()2i i 54i z --=+，得()()()()55i 2i 55i 515i13i 2i 2i 2i 5z ++++====+--+， 所以13i z =-. 故选：C.3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3715,35a a ==，则9S =（ ） A ．450 B ．400C ．350D ．225【答案】D【分析】运用等差数列的通项公式与前n 项和公式运算即可.【详解】由11215,635,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得15a d ==，所以919892252S a d ⨯=+⨯=. 故选:D.4．“3log (2)1x -<”成立的一个必要不充分条件为（ ） A ．25x << B ．5x >C ．5x <D ．35x <<【答案】C【分析】由题可得25x <<，然后利用充分条件，必要条件的定义分析即得. 【详解】由3log (2)1x -<，得25x <<，所以选项A 是充要条件，选项B 是既不充分又不必要条件，选项D 是充分不必要条件，选项C 是必要不充分条件. 故选：C.5．已知x 、y 满足约束条件21010x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7-D ．3-【答案】A【分析】作出可行域，平移直线3z x y =-，找出使得该直线在x 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解. 【详解】作出可行域如下图所示：联立102x y x +-=⎧⎨=⎩可得21x y =⎧⎨=-⎩，即点()2,1C -，平移直线3z x y =-，当该直线经过可行域的顶点C 时，直线3z x y =-在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即()max 2315z =-⨯-=. 故选：A.6．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，若,AD a BC b ==，则EF =（ ）A ．1122a b +B ．1122a b -C ．1322a b +D ．1322a b -【答案】A【分析】根据图形，利用向量的加，减，数乘运算，即可判断选项.【详解】由题意知，EF EC CF EB BC CF =+=++，EF ED DF EA AD DF =+=++，因为E ，F 分别为AB ，CD 的中点，所以EB EA =-，DF CF =-，所以2EF AD BC =+，所以1122EF AD BC =+，即1122EF a b =+. 故选：A.7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱11C D 的中点，则异面直线AC 与DE 所成角的余弦值为（ ）A ．15B 5C 10D ．34【答案】C【分析】取11A D 的中点F ，连接11A C ，EF ，DF ，可得到//EF AC ，则DEF ∠或其补角为AC 与DE 所成的角，再通过余弦定理求出其余弦值，即可得到答案 【详解】解：取11A D 的中点F ，连接11A C ，EF ，DF ，则11,//A C AC 因为点E ，F 分别为11C D ，11A D 的中点，所以11//EF A C ， 所以//EF AC ，所以DEF ∠或其补角为AC 与DE 所成的角，设正方体的棱长为2，则2222215112DE DF EF =++， 所以10cos 252DEF ∠=⨯⨯，故选：C8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与斜率为1的直线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(4,1)，则C 的离心率e =（ ） A 2B 10C 5D 3【答案】C【分析】中点弦问题利用点差法处理.【详解】法一：设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b-=-=，所以()()()()21212121220x x x x y y y y a b+-+--=，又AB 的中点为(4,1)，所以12128,2x x y y +=+=，所以2212214y y b x x a -=-，由题意知21211y y x x -=-， 所以2241b a =，即2214b a =，则C 的离心率2251b e a =+故A ，B ，D 错误. 故选：C.法二：直线AB 过点(4,1)，斜率为1，所以其方程为14y x ，即3y x =-，代入22221x y a b -=并整理得()2222222690b a x a x a a b -+--=，因为(4,1)为线段AB 的中点，所以222624a b a-=⨯-，整理得224a b =， 所以C 的离心率2251b e a =+故A ，B ，D 错误. 故选：C.9．如图，函数()()π2sin 0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像过()π,0,2π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，为得到函数()()2cos g x x ωϕ=-的图像，应将()f x 的图像（ ）A ．向右平移7π6个单位长度 B ．向左平移7π6个单位长度 C ．向右平移5π2个单位长度 D ．向左平移5π2个单位长度 【答案】D【分析】先根据周期求ω，再代入()2,2π，解得ϕ，最后根据平移变换即可判断【详解】2462T πππ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭ 22163T ππωπ∴=== ()12sin 3f x x ϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭代入()2,2π得22sin 23πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭即 2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 22,Z 2,Z 326k k k k πππϕπϕπ+=+∈⇒=-+∈ 2πϕ<0k ∴= 即 6πϕ=-()12sin 36f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭对于A 选项，17π17152sin 2si i 6n 2s n 93631863x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦31918111192sin 2cos 382x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故A 错误 对于B 选项17π17122sin 2si i 6n 2s n 93631863x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫+-=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦151818152sin 2cos 323x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误对于C 选项15π1512sin 2sin 2sin 3263663x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12sin 3x =-，故C 错误对于D 选项，15π15122sin 2sin 2sin 32636633x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫+-=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦112sin 2cos 36236x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确故选：D10．已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)(),(1)3f x f x f -==，则(2022)(2023)f f +=（ ） A ．3- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】由题意求得函数()f x 是周期为4的周期函数，得到()()()()2022202321f f f f +=+-，结合()()11f x f x -+=+，得到()()20f f =，进而求得()()1,0f f -的值，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 为R 上的奇函数，可得()(2)()f x f x f x +=-=-， 所以()()4f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数， 所以()()()()2022202321f f f f +=+-，因为()()11f x f x -+=+，令1x =，得()()20f f =，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()00,113f f f =-=-=-， 所以()()20222023033f f +=-=-. 故选：A.11．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于,A B 两点，若||||32FA FB ⋅=，则p =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线AB 的方程，代入C 的方程，设()()1122,,,A x y B x y ，根据根与系数关系即可得出1212,x x x x +与p 的关系，通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知12,22p pFA x FB x =+=+，代入||||32FA FB ⋅=即可转化为关于p 的二元一次方程，即可求解.【详解】由题意知,0,2p F AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭的方程为2p y x =-，代入C 的方程，得22304p x px -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212123,4p x x p x x +==；因为12,22p p FA x FB x =+=+，且32FA FB ⋅=，所以1222p p x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭32，整理得()212123242p px x x x +++=，所以22332424p p p p +⋅+=，结合0p >，解得4p =. 故选：D.【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.12．已知定义在()3,3-上的函数()f x 满足42()e ()0,(1)e ,()x f x f x f f x '+-==为()f x 的导函数，当[0,3)x ∈时，()2()f x f x '>，则不等式24e (2)e x f x -<的解集为（ ） A ．(2,1)- B ．(1,5) C ．(1,)+∞ D ．(0,1)【答案】B【分析】构造函数()()2e xf xg x =，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】令()()2exf xg x =，所以()()2e xf xg x =，因为()()4e 0x f x f x +-=，所以()()242e e e 0x x x g x g x -⋅+⋅-=，化简得()()0g x g x +-=， 所以()g x 是()3,3-上的奇函数；()()()()()2242e 2e 2e e x x x xf x f x f x f xg x ''--'==， 因为当03x ≤<时，()()2f x f x '>，所以当[)0,3x ∈时，()0g x '>，从而()g x 在[)0,3上单调递增，又()g x 是()3,3-上的奇函数，所以()g x 在()3,3-上单调递增； 考虑到()()2221e 11e ef g ===，由()24e 2e xf x -<，得()()2224e e2e x xg x --<，即()()211g x g -<=，由()g x 在()3,3-上单调递增，得323,21,x x -<-<⎧⎨-<⎩解得15x <<，所以不等式()24e 2e xf x -<的解集为()1,5，故选：B.二、填空题13．()7x a -的展开式中3x 的系数为560，则实数a 的一个值为___________. 【答案】2或2-【分析】利用二项展开式可得出关于a 的等式，即可求得实数a 的值.【详解】二项展开式的通项为()717C rrr r T x a -+=-⋅，令73r -=，得4r =， 由题意知4447C 35560a a ==，解得2a =±.故答案为：2（或2-）.14．在等比数列{}n a 中，*,0n n a ∀∈<N ，且3752a a a +≥，则数列{}n a 的公比q =___________.【答案】1【分析】根据等比数列通项公式化简不等式3752a a a +≥，解不等式求出数列{}n a 的公比.【详解】由3752a a a +≥，得2641112a q a q a q +≥，由*,0n n a ∀∈<N ，得10a <，0q >，所以4212q q +≤，即()2210q -≤，所以210q -=，又0q >， 所以1q =， 故答案为：1.15．已知()2sin sin 22f x x f x ππ'⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线()y f x =在点(,())f ππ处的切线方程为___________.【答案】2220x y π---=【分析】利用诱导公式将曲线()y f x =化简，再将x π=代入可(,())f ππ为切点，再对曲线()y f x =，用特值法即可求得在2x π=处的切线斜率，利用直线点斜式即可解得.【详解】因为()2sin sin 22f x x f x ππ'⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2cos sin 2x f x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以()2cos sin 22f f ππππ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭(1)022f π⎛⎫'⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭，切点为(,2)π-.而()2sin cos 2f x x f x π⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭，令 2x π=， 得2sin cos 2222f f ππππ⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21022f π⎛⎫'=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭,所以 ()2sin 2cos f x x x '=--,所以曲线 ()y f x = 在点 (,2)π- 处的切线的斜率为 ()2sin 2cos f πππ'=--202(1)2=-⨯-⨯-=，所以曲线 ()y f x = 在点 (,2)π- 处的切线方程为(2)2()y x π--=-.即2220x y π---=.故答案为: 2220x y π---=.16．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面,6CBD AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆面积的最小值为___________.【答案】12π【分析】利用等边三角形的性质以及外接球的性质，作出外接球的球心O ，再根据线段的数量关系求出线段OM ，最后即可得到截面圆的最小半径. 【详解】由题意知，ABD △和BCD △为等边三角形，如图所示：取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，由平面ABD ⊥平面CBD ， 平面ABD ⋂平面CBD BD =，故AE ⊥平面CBD ，22226333AE AD DE -=-=易知球心O 在平面BCD 的投影为BCD △的外心1O ， 过O 作OH AE ⊥于H ，易得1OH O E ∥，1OO HE ∥， 则在Rt OHA △中，3,23OH AH ==所以外接球半径2215R OH AH +OM ， 因为2,,2AH HE OH CE AM MC ==∥，所以H ，O ，M 三点共线，所以2233MH CE ==，3OM MH OH =-=，当M 为截面圆圆心时截面面积最小， 此时截面圆半径22(15)(3)23r =-=， 面积为2S r =π=12π. 故答案为：12π.三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin 2Ab a B =. (1)求角A ；(2)若6,b BC =边上的高为332，求c . 【答案】(1)π3A = (2)131c =-【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解； （2）利用三角形面积公式和余弦定理求解即可. 【详解】(1)由cossin 2A b aB =及正弦定理，得sin cos sin sin 2AB A B =，因为sin 0B ≠，所以cos sin 2AA =， 所以cos2sin cos 222A A A =. 因为()0,πA ∈，所以π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 02A≠， 所以1sin 22A =， 所以，所以π3A =. (2)由三角形面积公式得 ∵133332ABCS ==，1π336sin 23ABCS c =⨯⨯⨯， 3333=，即2a c =， 由余弦定理得22366a c c =+-，将2a c =代入可得22120c c +-=， 解得131c 或131c =-（舍去），故1c=.18．2022年7月6日~14日，素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端､共襄盛举.某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生，得到如下调查结果：男生占调查人数的55%，喜欢数学的有40人，其余的人不喜欢数学；在调查的女生中，喜欢数学的有20人，其余的不喜欢数学.(1)请完成下面22⨯列联表，并根据22⨯列联表判断是否有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关？(2)采用分层抽样的方法，从不喜欢数学的学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为3人中不喜欢数学的男生人数，求X的分布列和数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.临界值表：)2k0.102.706【答案】(1)列联表答案见解析，有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关(2)分布列见解析，数学期望：9 8【分析】(1)根据题意，补全列表，求出2K的值即可得答案；(2)根据分层抽样得抽取的男生有3人，女生有5人，再求出当X=0，1，2，3的概率，列出X 的分布列，即可求得X 的期望.【详解】(1)解：调查的男生人数为10055%55⨯=（人），调查的女生人数为1005545-=（人），补全22⨯列联表如下：22100(40251520)8.2497.87960405545K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关. (2)在抽取的8人中，不喜欢数学的男生人数815340⨯=人，不喜欢数学的女生人数825540⨯=人， 由题意可知，X 的可能取值为0,1,2,3，()()()3122153535333888C C C C C 515150,1,2C 28C 28C 56P X P X P X =========，()3338C 13C 56P X ===, 则X 的分布列为：故()51515190123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】.19．如图，在三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，E 为PB 的中点.(1)若,AB AP CB CP ==，求证：BP AC ⊥；(2)若3,150,60AB AP BAC PAC ︒︒=∠=∠=，求直线AP 与平面ACE 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 6【分析】（1）由E 为PB 的中点，证得,PB AE PB CE ⊥⊥，利用线面垂直的判定定理，证得PB ⊥平面ACE ，进而得到BP AC ⊥.（2）作PO AC ⊥，垂足为点O ，以O 为坐标原点，直线,OC OP 分别为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AP =，求得平面ACE 的法向量和向量AP 的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)证明：因为E 为PB 的中点，且,AB AP CB CP ==， 所以,PB AE PB CE ⊥⊥，又因为AE CE E =，且,AE CE ⊂平面ACE ，所以PB ⊥平面ACE ， 因为AC ⊂平面ACE ，所以BP AC ⊥. (2)解：作PO AC ⊥，垂足为点O ，因为平面PAC ⊥底面ABC ，平面PAC 底面,ABC AC PO =⊂平面PAC ， 所以PO ⊥平面ABC .以O 为坐标原点，直线,OC OP 分别为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 如图所示，设1AP =，因为60PAC ∠=，所以313,0,,0,2,02P A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以33E -⎝⎭， 则1331310,,,,,,0,,0224242AP AE OA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(),,m x y z =是平面ACE 的法向量，则3130424102m AE x y z m OA y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ ， 取1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1m =-， 设直线AP 与平面ACE 所成角为θ，则222222326sin cos ,41310(1)022m AP θ-===⎛⎫⎛⎫++-⨯++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以直线AP 与平面ACE 所成角的正弦值为64. 【点睛】20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点23P ⎝⎭在E 上. (1)求E 的方程；(2)过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ，B 和C ，D ，若M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，证明：直线MN 过定点. 【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由条件列出关于,,a b c 的方程，解方程求得a 和b 的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得M 和N 点坐标，求分情况求MN 方程，由此证明直线MN 过定点.；【详解】(1)设122F F c =，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以b c =，因为点P ⎝⎭在E 上，所以2223144a b +=，又222a b c =+， 解得222,1a b ==， 所以E 的方程为2212x y +=.(2)由（1）知2(1,0)F ，由题意知直线AB 和直线CD 的斜率都存在且不为0，设直线AB 方程为：1(0)x my m =+≠，与E 的方程联立221,21,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理，得()222210m y my ++-=， 且()224420m m ∆=++>，设()()1122,,,A x y B x y ，则12222m y y m +=-+，所以()12122422x x m y y m +=++=+， 所以点M 的坐标为222,22m m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为AB CD ⊥，则直线CD 的方程为11x y m=-+， 同理得2222,2121m m N m m ⎛⎫⎪++⎝⎭，当22222212m m m ≠++，即1m ≠±时，直线MN 的斜率()22222232122221212MNm mm m m k m m m m +++==--++， 所以直线MN 的方程为()222322221m m y x m m m ⎛⎫+=- ⎪++-⎝⎭， 所以()()()()2222222213232222212132m m m m y x x m m m m m m ⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=--=-- ⎪+++--+⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为()()()()()()222222221621222223323232m m m m m m m -+-++===++++， 所以直线MN 的方程即为()232321m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，显然直线MN 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当22222212m m m =++，即1m =±时，则2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时直线MN 的方程为23x =，也过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，直线MN 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题第二小问解决的关键在于联立方程组求出,M N 的坐标，由此确定直线方程，并判断直线过定点. 21．已知函数()e x f x ax =-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当1a =-时，判断曲线()y f x =与曲线4ln(2)y x =--交点的个数，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)两个交点，理由见解析【分析】(1)求函数()f x 的导函数()f x '，通过讨论a 确定不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，由此确定()f x 的单调性；(2)设()()e 4ln 2xg x x x =++-，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理判断其零点的个数，由此确定曲线()y f x =与曲线4ln(2)y x =--交点的个数.【详解】(1)()f x 的定义域为R ，()e xf x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(),-∞+∞上为增函数；当0a >时，令()0f x '<，得ln x a <， 令()0f x '>可得ln x a >，所以()f x 在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增.(2)因为1a =-，所以()e xf x x =+，设()()e 4ln 2xg x x x =++-，则其定义域为(),2-∞，()()422e e e 12221e x x x x x x g x x x x ⎡⎤++=-=-=-⎢⎥---⎢⎥⎣⎦'+，且()00g '=. 设()()21(2)2e xxm x x x +=-<-，则()220(2)e xx m x x =-≤-'，当且仅当0x =时()0m x '=， 所以()m x 在(),2-∞上单调递减，所以当0x <时，()()00m x m >=；当02x <<时，()()00m x m <=，即当0x <时，()()e 0x g x m x ='>；当02x <<时，()()e 0xg x m x ='<，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,2上单调递减， 故()max ()014ln2g x g ==+，取2e 2402e ,2x +-⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，则()22e 2e 224404ln 24ln 22e 4lne e 2x ++--⎡⎤⎛⎫-<--==--⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()022000e 4ln 2e 2e 20x g x x x =++-<+--=，即()00g x <；()1414e 144ln16g --=-+，考虑到316e <，则ln163<，即4ln1612<，又14e 1-<，所以()140g -<，所以()g x 在()14,0-和()00,x 上各有一个零点，即()g x 有两个零点， 故曲线()y f x =与曲线()4ln 2y x =--有两个交点.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为πcos 4m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 交于相异两点A ，B ，且||AB =，求m 的值.【答案】(1)22(1)4x y -+=，0x y -=(2)m =m =【分析】（1）平方消参得到1C 的普通方程，利用直角坐标和极坐标互化公式求出2C 的直角坐标方程；（2）由（1）中求出的直角坐标方程，结合垂径定理求解【详解】(1)在1C 的参数方程中消去参数α，得1C 的普通方程为22(1)4x y -+=；由πcos 4m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 22m ρθθ-=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以2C 的直角坐标方程为0x y -=. (2)由（1）知曲线1C 是以(1,0)为圆心，2为半径的圆，曲线2C 为直线，则圆心(1,0)到曲线2C 的距离d ，因为||AB =2222+=⎝⎭，解得：m =m =. 23．已知0,0,0a b c >>>，证明： (1)221188ab a b ++≥； (2)222222a b b c c a abc a b c++≥++.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用均值不等式可证该不等式.（2）利用均值不等式可证()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++，从而可证题设中的不等式. 【详解】(1)法一：因为0,0a b >>，所以222211118448ab ab ab a b a b ++=+++≥=.当且仅当22114ab a b ==，即a b ==. 法二：因为0,0a b >>， 所以22121a b ab，当且仅当2211a b =，即a b =时等号成立.所以22112888ab ab a b ab ++≥+≥，当且仅当28ab ab =，即12ab =时，等号成立.综上，221188ab a b ++≥，当且仅当a b ==时，等号成立. (2)因为222222a b b c ab c +≥，当且仅当a c =时等号成立；222222b c c a abc +≥，当且仅当a b =时等号成立；222222c a a b a bc +≥，当且仅当b c =时等号成立，所以()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立. 因为0,0,0a b c >>>，所以0a b c ++>， 所以222222a b b c c a abc a b c++≥++.。

2024届成都树德中学高三数学（理）上学期入学考试卷（时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合{}220A x x x =+≤，21,04B a x R x ax ⎧⎫=∃∈-+<⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．[)1,2B ．[]2,1--C ．[)2,1-D ．[)2,1--2．复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则2i1z =-（）A ．1i+B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．已知向量()1,a m = ，()1,0b =- ，且6-=⋅+a b a b ，则a =r （）A ．5B ．23C ．22D ．264．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为34，则第n 个图中阴影部分的面积为A ．133()92n +⋅B ．33()62n⋅C ．33()44n ⋅D ．33()34n ⋅5．已知矩形ABCD 中，2AB BC =，现向矩形ABCD 内随机投掷质点P ，则满足APB ∠为锐角的概率是（）A ．44π-B ．4πC ．1616-πD ．16π6．在如图所示的程序框图中，程序运行的结果S 为3840，那么判断框中可以填入的关于k 的判断条件是（）A ．5k <B ．5k >C ．4k <D ．4k >7．为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加A ，B ，C 三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（）A ．24种B ．36种C ．48种D ．64种8．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．2(0,)2D ．2[,1)29．112tan 202cos10-=︒︒（）A ．2B ．32C ．3D ．210．已知四面体ABCD 满足3AB CD ==，5AD BC ==，2==AC BD ，且该四面体ABCD 的外接球的球半径为1R ，四面体的内切球的球半径为2R ，则12R R 的值是（）A ．11B ．2113C ．6D ．26311．已知函数()2πcos 26sin cos 2cos 14f x a x x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭的图象关于直线3π8x =对称．若对任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在()20,x ∈+∞，使()2221212mx x f x ++≤成立，则m 的取值范围是（）A ．1m ≥-B ．12m ≥-C ．14m ≥-D ．18m ≥-12．已知函数()ln x f x x =，()ex xg x =之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的个数为（）①函数()g x 在0x =处的切线与函数()f x 在1x =处的切线平行；②方程()()f x g x =有两个实数根；③若直线y a =与函数()g x 交于点()11,A x y ，()22,B x y ，与函数()f x 交于点()22,B x y ，()33,C x y ，则2132x x x =．④若()()0f m g n =<，则mn 的最小值为1e-．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题卷相应横线上．13．设,x y 满足约束条件002y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值为．14．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，则函数()2234f x y x x +=--+的定义域是．15．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线:260l x y +-=与抛物线C 交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线C 于点N ，若0NA NB ⋅=，则点F 的坐标为．16．已知面积为233的锐角ABC 其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且212tan tan sin A B A +=，则边c 的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．17．某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．(1)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数；(2)统计今年以来元月~5月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：月份元月2月3月4月5月销售量（万辆）0.50.61.01.41.7预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，L ，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计值分别为1221niii nii x ynx y bxnx==-⋅=-∑∑ ，a y bx =-$$．18．如图，梯形ABCD 中，4=AD ，E 为AD 中点，且CE AD ⊥，1CE BC ==，将DEC 沿CE 翻折到PEC ，使得π3PEA ∠=．连接PA ，PB ．(1)求证：BE PC ⊥；(2)Q 为线段PA 上一点，若AQ AP λ= ，若二面角Q -BC -A 的平面角的余弦值为22时，求实数λ的值．19．在数列{}n a 中，11a =，213a =，()12n n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设______，n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：1n S <.从下面三个条件中任选一个补充在题中横线处，并解答问题.①22n n a b n =+；②()11n n n b n a a +=+；③()2214n n n a b +=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22e =，且经过点()1,e ．P 为椭圆C 在第一象限内部分上的一点．(1)若(),0A a ，()0,B b ，求ABP 面积的最大值；(2)是否存在点P ，使得过点P 作圆()22:11M x y ++=的两条切线，分别交y 轴于D ，E 两点，且143DE =．若存在，点求出P 的坐标；若不存在，说明理由．21．已知()2e xf x ax =-，()f x '是()f x 的导函数，其中R a ∈．(1)讨论函数()f x '的单调性；(2)设()()()2e 11x g xf x x ax =+-+-，()yg x =与x 轴负半轴的交点为点P ，()y g x =在点P 处的切线方程为()y h x =．①求证：对于任意的实数x ，都有()()g x h x ≥；②若关于x 的方程()()0g x t t =>有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：()2112e 11et x x --≤+-．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．直角坐标系xOy 中，点()0,1P ，动圆C ：()()22sin 3sin 11()x y ααα-+--=∈R .(1)求动圆圆心C 的轨迹；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为：22222cos sin ρθθ=+，过点P 的直线l 与曲线M 交于A ，B 两点，且47PA PB -=，求直线l 的斜率.23．已知函数()2322f x x x =++-，()sin 2g x x =．(1)求函数()()f x g x +的最小值；(2)设,(1,1)a b ∈-，求证：211222a b ab +--<+．1．D【分析】先根据题意分别求解集合A 、B ，再求交集即可.【详解】集合{}220[2,0]A x x x =+≤=-，集合21,04B a x R x ax ⎧⎫=∃∈-+<⎨⎬⎩⎭21Δ410(,1)(1,)4a a ∞∞⎧⎫==-⨯⨯>=--⋃+⎨⎬⎩⎭，所以[2,1)A B ⋂=--.故选：D.2．C【分析】根据复数的几何意义表示出z ，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.【详解】复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则2i z =-，所以()()()()()()2i 1i 2i 1i 2i 2i 2ii 1i 1i 12i 11i 1i 1i 2z ++=====+=-+-----+.故选：C ．3．C【分析】根据6-=⋅+a b a b 求得m ，再利用向量的模公式求解.【详解】解：因为向量()1,a m =，()1,0b =- ，所以()2,,1a b m a b -=⋅=-，又因为6-=⋅+a b a b ，所以2225m +=，解得221m =，所以22122a m =+=，故选：C 4．D【分析】每一个图形的面积是前一个图形面积的34，根据等比数列公式得到答案.【详解】根据题意：每一个图形的面积是前一个图形面积的34，即面积为首项为34，公比为34的等比数列，故第n 个图中阴影部分的面积为13333()4434n n -⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．A【分析】根据题意作图，如图所示，设22AB BC m ==，当点P 落在圆外时，APB ∠为锐角，分别求出矩形ABCD 和半圆的面积，由几何概型概率计算公式即可求得答案.【详解】解：如图所示，设22AB BC m ==，当点P 落在以O 为圆心，以AB 为直径的圆上时，90APB ∠=︒，当点P 落在圆外时，APB ∠为锐角，矩形ABCD 的面积为222m m m ⋅=，半圆的面积为22122m m ππ⋅=，由几何概型概率计算公式知满足APB ∠为锐角的概率是22224224m mm ππ--=，故选：A.6．C【分析】模拟程序的运行过程，即可得出判断框中应填入的判断条件.【详解】模拟程序的运行过程，如下：10,2k S ==程序进行第一次循环：21020,1028S k =⨯==-=，此时3840S <，继续运行.程序进行第二次循环：208160,826S k =⨯==-=，此时3840S <，继续运行.程序进行第三次循环：1606960,624S k =⨯==-=，此时3840S <，继续运行.程序进行第四次循环：96043840,422S k =⨯==-=，此时3840S =，结束运行.所以2k =时，程序退出循环，而4,6,8k =时，程序运行不退出循环.结合选项分析可得：选项C 满足.故选：C 7．B【分析】分3：1：1与2：2：1分配进行选派，结合排列组合知识简单计算即可.【详解】若按照3：1：1进行分配，则有133318C A =种不同的方案，若按照2：2：1进行分配，则有233318C A =种不同的方案，故共有36种派遣方案.故选：B 8．C【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为,,a b c ．因为12·0MF MF =所以点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．与因为点M 在椭圆的内部，所以,c a c b <<，所以2222<=-c b a c ，所以22222122c c a e a <∴=<，所以2(0,)2e ∈，故选C ．【点睛】求离心率的值或范围就是找,,a b c 的值或关系．由12·0MF MF =想到点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．再由点M 在椭圆的内部，可得,c a c b <<，因为a b <．所以由c b <得2222<=-c b a c ，由,a c 关系求离心率的范围．9．B【分析】利用同角的三角函数关系将切化弦，再根据二倍角公式以及两角和差的正余弦公式，化简求值，即得答案.【详解】11cos 2012tan 202cos102sin 202cos10︒-=-︒︒︒︒cos 202sin10cos(3010)2sin102sin 202sin 20︒-︒︒-︒-︒==︒︒cos30cos10sin 30sin102sin102sin 20︒︒+︒︒-︒=︒3313cos10sin103(cos10sin10)22222sin 202sin 20︒-︒︒-︒==︒︒3sin(3010)32sin 202︒-︒==︒，故选：B 10．A【分析】将四面体补全为长方体，根据它们外接球相同求出外接球半径，利用等体积法求内切球半径，即可得结果.【详解】由题设，可将四面体补全为如下长方体，长宽高分别为3,2,1，所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径1321622R ++==，由题意，四面体的四个侧面均为全等三角形，2223453cos 2643AB BD AD ABD AB BD +-+-∠===⋅，ABD ∠为三角形内角，所以33sin 6ABD ∠=，则1331123262ABD S =⨯⨯⨯= ，又1163214321323A BCD V -=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，且2143A BCD ABD V R S -=⨯⨯⨯ ，所以211164323R ⨯⨯⨯=，即26211R =，综上，1211R R =.故选：A 11．C【分析】由三角函数恒等变换公式化简函数式，然后由对称性求得a ，再求得1π[0,]2x ∈时的1()f x 的最大值，从而化简题设不等式，由分离参数法求得m 的范围．【详解】()2πcos 26sin cos 2cos 14f x a x x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭2(cos2sin 2)3sin 2cos22a x x x x=++-22(3)sin 2(1)cos222a x a x =++-,()f x 的图象关于直线3π8x =对称，则3π(0)()4f f =，所以221322a a -=--，2a =-，所以π()2sin 22cos222sin(2)4f x x x x =-=-，此时3π3ππ()22sin[2]22884f =⨯-=满足对称性．1π[0,]2x ∈时，ππ3π2[,]444x -∈-，π()22sin(2)[2,22]4f x x =-∈-，由题意存在2(0,)x ∈+∞，使得22212222mx x ++≥成立，即22210mx x +-≥成立，2222211111()24m x x x ≥-=--，所以14m ≥-．故选：C ．【点睛】结论点睛：不等式恒成立问题的结论：（1）12,x A x B ∀∈∀∈，12()()f x g x ≥恒成立⇔min max ()()f x g x ≥；（2）12,x A x B ∀∈∃∈，使得12()()f x g x ≥成立⇔min min ()()f x g x ≥；（3）12,x A x B ∃∈∀∈，使得12()()f x g x ≥成立⇔max max ()()f x g x ≥.12．C【分析】对于①利用导数的几何意义即可判断，对于②先利用导数求()(),f x g x 单调性，再根据()()11f g <，当e x >时()()f x g x >即可判断，对于③利用()()ln ln ln ln ex x xf xg x x ===分析即可判断，对于④结合已知条件可得()ln 01mn m m m =<<，构造函数利用函数的单调性求解最值即可.【详解】①由题意可知()21ln x f x x -'=，()2e ee x xxx g x -'=，()10f =，()00g =，因为()01g '=，()11f '=，所以函数()g x 在0x =处的切线为y x =，函数()f x 在1x =处的切线为1y x =-，两切线平行，①说法正确；②令()0f x '=解得e x =，所以当()0,e x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()e,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递减，令()0g x '=解得1x =，所以当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递减，当()()f x g x =，即ln ex x xx =时，显然有1x >，令()2e x p x x =-，则()2e xp x x '=-，令()()2e x q x p x x '==-，则()2e xq x '=-，令()0q x '=解得ln 2x =，所以当ln 2x <时，()0q x '>，()q x 单调递增，当ln 2x <时，()0q x '<，()q x 单调递减，所以()()max ln 22ln 220q x q ==-<，即()0p x '<恒成立，所以()p x 在R 上单调递减，又()2ee e e 0p =-<，所以当e x >时2e x x <，所以当e x >时2e ln x x x <，ln e x x x x<，即()()f x g x >，又因为()()1101ef g =<=，所以结合()(),f x g x 单调性可知方程()()f x g x =仅有一个根()01,e x ∈，②说法错误；③由②可知123x x x <<，因为()()()()2222223ln 2ln ln ln ex x x f x g x g x g x x =====，所以22ln x x =或23ln x x =，令()ln m x x x =-()0x >，则()111x m x x x-'=-=，令()0m x '=解得1x =，所以当01x <<时()0m x '>，()m x 单调递增，当1x >时()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()max 110m x m ==-<，则()ln 0m x x x =-=无解，所以22ln x x =舍去，同理可得()()()()1123ln f x g x g x g x ===，所以12ln x x =（即21e xx =）或13ln x x =（与23ln x x =矛盾舍去），所以2132e ln xx x x =，又由()()22f x g x =即2222ln e x x x x =可得2222e ln x x x =，所以2132x x x =，③说法正确；④()f x 的定义域为()0,∞+，根据对数函数的图象和性质当()0,1x ∈时，()0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0f x >，所以()()0f m g n =<时得01m <<，ln 0m <，又()()()ln ln ln ln em m mf mg m g n m ====，所以ln m n =，ln mn m m =()01m <<，令()ln h x x x =()01x <<，则()ln 1h x x '=+，由()0h x '=解得1ex =，则当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以当1e x =时，()min 111e1e ln e e h x h ⎛⎫ ⎪⎝===-⎭，即mn 的最小值为1e -，④说法正确；综上①③④正确，故选：C【点睛】本题考查导数的应用，综合性强，难度较大，涉及利用导数求解零点和判定函数单调区间问题，解决零点、交点、根的个数问题常根据函数单调性结合零点存在定理解决.本题难点在于根据解析式找到()f x 和()g x 的关系，即()()ln f x g x =，并由此进一步分析求解.13．4【分析】根据可行域结合几何意义求最值.【详解】作出可行域如下，由2z x y =-可得2y x z =-，当直线2y x z =-过点(2,0)时，z -最小，则z 最大，此时24z x y =-=.故答案为:4.14．()2,1-【分析】根据函数解析式列出其需满足的条件，即可求得答案.【详解】由题意知函数()2234f x y x x +=--+需满足220340x x x +>⎧⎨--+>⎩，即220340x x x +>⎧⎨+-<⎩，解得2x >-且41x -<<，即2<<1x -，故函数()2234f x y x x +=--+的定义域是()2,1-，故答案为：()2,1-15．12,019⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线方程代入抛物线方程化简后应用韦达定理得12y y p +=-，126y y p =-，代入0NA NB ⋅=可求得p 值得焦点坐标．【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22602x y y px+-=⎧⎨=⎩得260y py p +-=，则2240p p ∆=+>，∴12y y p +=-，126y y p =-，由已知1212(,)22x x y y M ++，设120(,)2y y N x +，其中2120()88y y p x p +==，即(,)82p pN -，1122(,)(,)8282p p p p NA NB x y x y ⋅=-+⋅-+ 1212()()()()08822p p p px x y y =--+++=，2212121212()()086424p p p p x x x x y y y y -++++++=，把2112y x p =，2222y x p=，12y y p +=-，126y y p =-，代入化简得2194325760p p +-=，解得2419p =或24p =-（舍去），12219p =，∴12(,0)19F ，故答案为：12(,0)19．16．2【分析】利用正余弦定理化简可得2(2cos )c bc A =-，再由面积公式化简得243(2cos )3sin A c A-=，构造函数利用导数求最小值即可.【详解】212tan tan sin A B A+= ，2cos cos 2sin sin sin A B A B A∴+=,由正余弦定理可得：2222222()222b c a a c b abc abc a+-+-+=，化简得22234c b a bc +-=，由余弦定理可得222cos 4c bc A bc +=，即2(2cos )c bc A =-，又123sin 23S bc A ==，故433sin bc A =，所以243(2cos )3sin A c A-=，其中π02A <<，令2cos π()(0)sin 2x f x x x -=<<，212cos ()sin xf x x-'∴=，当π(0,)3x ∈时，12cos 0x -<，则()0f x '<，()f x 单调递减，当ππ(,)32x ∈时，12cos 0x ->，则()0f x '>，()f x 单调递增，、所以π()()33f x f ≥=，所以243(2cos )43343sin 3A c A -=≥⨯=，即2c ≥，当π3A =时，等号成立.故答案为：217．(1)3.5万元(2)2万辆【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可；（2）由所给数据求出线性回归方程，代入6x =，即可得出预测值.【详解】（1）因为直方图的组距为1，则各组数据的频率即为相应小矩形的高，所以平均数的估计值为0.1 2.50.3 3.50.3 4.50.15 5.50.1 6.50.0.5 3.155x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+⨯万元．（2）记()1,2,3,4,5i x i i ==，10.5y =，20.6y =，3 1.0y =，4 1.4y =，5 1.7y =，由散点图可知，5组样本数据呈线性相关关系．因为3x =， 1.04y =，10.5 1.23 5.68.518.8ni i i x y ==++++=∑，21149162555ni i x ==++++=∑，则18.853 1.040.325559b -⨯⨯==-⨯， 1.040.3230.08a =-⨯=，所以回归直线方程是 0.320.08y x =+．当6x =时， 0.3260.082y =⨯+=，预计该品牌汽车在今天6月份的销售量约为2万辆．18．(1)证明见解析(2)33λ=【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为CE AD ⊥．所以CE AE ⊥．CE PE ⊥．又PE AE E = ，PE ，AE ⊂平面PAE ．所以CE ⊥平面PAE ．CE ⊂平面ABCE ．所以平面ABCE ⊥平面PAE ．在梯形ABCD 中，2DE =，所以2AE =．所以在四棱锥P -ABCE 中，2PE AE ==．因为π3PEA ∠=．所以PAE △为正三角形．取AE 中点O ．连接PO ，OB ，OC ．易得PO AE ⊥，OB AE ⊥．由面面垂直的性质可得PO ⊥平面ABCE ．又1BC CE OE ===，CE AE ⊥，CE BC ⊥，所以四边形OBCE 为正方形，所以BE OC ⊥．又OC PO O = ．OC 、PO ⊂平面POC ，所以BE ⊥平面POC ．又PC ⊂平面POC ，所以BE PC ⊥；（2）由（1）知OA 、OB 、OP 两两垂直．以O 为坐标原点．以OA ，OB ，OP 所在直线建立如图所示的坐标系，则：()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，()0,0,3P ，由AQ t AP =得()()1,0,301Q λλλ-≤≤．则()1,1,3BQ λλ=-- ，()1,0,0BC =- ．设平面QBC 的法向量(),,m x y z = ，故000m BQ x m BC ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩，3y λ=，1z =，即()0,3,1m λ=．易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n = 所以212cos ,231m n m n m n λ⋅===+．解得33λ=或33-（舍）．所以33λ=．19．(1)()21n a n n =+(2)证明见解析【分析】（1）由等差数列的定义可得12n n a na n +=+，由累乘法即可求解通项，（2）根据裂项求和即可结合选项逐一求证.【详解】（1）由11a =，213a =可知2131a a =.由题设条件可知()()12111n nn a n n a ++=+-⨯=，所以12n n a na n +=+，当2n ≥时，111n n a n a n --=+，所以()121121123212111431n n n n n a a a n n n a a a a a n n n n n ------=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+-+ .当1n =时，11a =满足()21n a n n =+，故{}n a 的通项公式为()21n a n n =+.（2）选择①，由（1）可知()()()()()24112212112n n a b n n n n n n n n ⎡⎤===⨯-⎢⎥++++++⎣⎦，所以()()()111111212232334112n S n n n n ⎡⎤=⨯-+-++-⎢⎥⨯⨯⨯⨯+++⎣⎦ ()()()()11221121212n n n n ⎡⎤=⨯-=-<⎢⎥++++⎣⎦.选择②，由（1）可知()()()()()()14111212112n n n b n a a n n n n n n n +⎡⎤=+==⨯-⎢⎥+++++⎣⎦，所以()()()111111212232334112n S n n n n ⎡⎤=⨯-+-++-⎢⎥⨯⨯⨯⨯+++⎣⎦ ()()()()11221121212n n n n ⎡⎤=⨯-=-<⎢⎥++++⎣⎦.选择③，由（1）可知()()()22222212111411n nn a n b n n n n ++===-++，所以()()2222222111111111122311n S n n n =-+-++-=-<++ .20．(1)222-(2)存在点21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足题设条件【分析】（1）列方程组求得,a b ，得,A B 两点坐标，求得线段长AB ，再用三角换元法设出P 点坐标，求出点P 到直线AB 的距离，结合三角函数性质得最大值，从而得三角形面积最大值；（2）设点()00,P x y ()000,0x y >>，()0,D m ，()0,E n ，写出直线PD 方程，由圆心到直线的距离等于圆半径得出00,,m x y 的关系式，整理为关于m 的方程，同理得关于n 的方程，比较得出,m n 是一个一元二次方程的解，由韦达定理得,m n mn +，代入143DE =结合点P 是椭圆上的点求得00,x y 得P 点坐标．【详解】（1）由题知222222,2,111,2c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得22a =，21b =，故椭圆C 的方程为2212x y +=．所以点()2,0A，()0,13B AB ⇒=，:2220AB l x y +-=．设点()2cos ,sin Pθθ，则()π22sin 12212cos 2sin 24666d θθθ⎛⎫+- ⎪-+-⎝⎭==≤所以()2211223226ABP S --≤⨯⨯=△．（2）设点()00,P x y ()000,0x y >>，()0,D m ，()0,E n ，则直线PD 的方程为00y my x m x -=+，即()0000y m x x y mx --+=，因为圆心()1,0M -到直线PD 的距离为1，即()0022001y m x my m x-++=-+，即()()()222220000002y m x y m x m y m x m -+=---+，即()2000220x m y m x +--=，同理()2000220x n y n x +--=．由此可知，m ，n 为方程()2000220x x y x x +--=的两个实根，所以0022y m n x +=+，002x mn x =-+．()()()2222000022000444484222y x x y x MN m n m n mn x x x ++=-=+-=+=+++．因为点()00,P x y 在椭圆C 上，则220012x y +=，则220012x y =-，则()200202841432x x MN x ++==+，则20450x x +-=，因为00x >，则01x =，2201122x y =-=，即022y =，故存在点21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足题设条件．【点睛】方法点睛：椭圆中的存在点满足某些条件的问题，一般设出该点坐标00(,)x y ，用坐标表示题中条件，如本题中同时设出点(,0),(,0)D m E n 的坐标，得切线方程，由切线方程满足的条件得出,m n 关系（用韦达定理表示为00,x y 的关系），从而条件143DE =就可用所设坐标表示，求得该点坐标．21．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出()e 2xf x ax '=-的导数，结合解不等式可得答案；（2）①，利用导数的几何意义求得()y h x =的表达式，由此构造函数()()()F x g x h x =-，利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设()h x t =的根为1x '，求得其表达式，并利用函数单调性推出11x x '≤，设曲线()y g x =在点()0,0处的切线方程为()y t x =，设()t x t =的根为2x '，推出22x x '≥，从而2121x x x x ''-≤-，即可证明结论.【详解】（1）由题意得()e 2x f x ax '=-，令()e 2x g x ax =-，则()e 2xg x a '=-，当0a ≤时，()0g x '>，函数()f x '在R 上单调递增；当0a >时，()0g x '>，得ln 2x a >，()0g x '<，得ln 2x a <，所以函数()f x '在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增．（2）①证明：由（1）可知()()()1e 1xg x x =+-，令()0g x =，有=1x -或0x =，故曲线()y g x =与x 轴负半轴的唯一交点P 为()1,0-．曲线在点()1,0P -处的切线方程为()y h x =，则()()()11h x g x '=-+，令()()()F x g x h x =-，则()()()()11F x g x g x '=--+，所以()()()()11e2exF x g x g x '''=-=+-，()10F '-=．当1x <-时，若(],2x ∈-∞-，()0F x '<，若()2,1x --，令()1()e2exm x x =+-，则()()e 30xm x x '=+>，故()F x '在()2,1x ∈--时单调递增，()()10F x F ''<-=．故()0F x '<，()F x 在(),1-∞-上单调递减，当1x >-时，由()()e30xm x x '=+>知()F x '在()1,x ∈-+∞时单调递增，()()10F x F ''>-=，()F x 在()1,-+∞上单调递增，所以()()10F x F ≥-=，即()()f x h x ≥成立．②证明：()()111e h x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，设()h x t =的根为1x '，则1e 11e t x '=-+-，又()h t 单调递减，且()()()111t h x g x h x '==≥，所以11x x '≤，设曲线()y g x =在点()0,0处的切线方程为()y t x =，有()t x x =，令()()()()()1e 1x T x g x t x x x =-=+--，()()2e 2xT x x =+-'，当2x ≤-时，()()2e 220xT x x =+-≤-<'，当2x >-时，令()()2e 2x n x x =+-，则()()3e 0xn x x '=+>，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又()00T '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>，所以函数()T x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00T x T ≥=，即()()g x t x ≥，设()t x t =的根为2x '，则2x t '=，又函数()t x 单调递增，故()()()222t t x f x t x '==≥，故22x x '≥．又11x x '≤，所以()212112e e 111e 1e t t x x x x t -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭．【点睛】难点点睛：本题考查导数的综合应用，涉及单调性、最值以及不等式的证明，难点在（2）中第二小问不等式的证明，解答时要注意利用导数的几何意义求得切线方程，进而结合同构函数，判断函数单调性解决问题.22．(1)圆心C 的轨迹为线段；(2)33±.【分析】（1）设圆心(),C x y ，根据sin 3sin 1x y αα=⎧⎨=+⎩即可得圆心C 的轨迹；（2）将曲线M 的极坐标方程化为直角坐标方程，设直线l 的倾斜角为β，得直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t ββ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入曲线M 的直角坐标方程，设12,PA t PB t ==，可得1247PA PB t t -=+=，根据韦达定理可求sin β的值，结合0πβ≤<即可求解.【详解】（1）设圆心(),C x y ，因为sin 3sin 1x y αα=⎧⎨=+⎩，所以31,11y x x =+-≤≤.所以圆心C 的轨迹方程为()3111y x x =+-≤≤，即圆心C 的轨迹为线段.（2）因为22222cos sin ρθθ=+，所以22222cos 2sin ρθρθ+=，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以2222x y +=，即曲线M 的直角坐标方程为2222x y +=.设直线l 的倾斜角为β，由点P 在直线l 上，得直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t ββ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入曲线M 的方程得：()2222cos sin 2sin 10t t βββ++-=，设12,PA t PB t ==，由于点P 在曲线M 的内部，所以12222sin 42cos sin 7PA PB t t βββ-=+==+，化简得：22sin 7sin 40ββ+-=，解得1sin 2β=.由于0πβ≤<，所以1sin 2β=，π3β=或2π3β=，所以3tan 3β=±，即直线l 的斜率为33±.23．(1)4(2)证明见解析【分析】（1）写出()f x 分段函数形式，分析()f x 、()g x 的性质及最值，即可确定最小值；（2）利用分析法，将问题化为证明||1a b ab +<+，进一步转化为证22()11(0)a b -->即可.【详解】（1）由题设()341,235,1241,1x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，而()sin 2g x x =在3(,]2-∞-、3(,1]2-、(1,)+∞上均能取到最小值1-，对于()f x 在3(,]2-∞-上递减，3(,1]2-上为常数，(1,)+∞上递增，且连续，所以()()f x g x +的最小值在3(,1]2-上取得，即π4x =-时，最小值为4.（2）由211221122||a b a b a b +--≤+-+=+，仅当(21)(12)0a b +-≥取等号，要证211222a b ab +--<+，即证||1a b ab +<+，则22()(1)a b ab +<+，需证22222()1(1)(1)0ab a b a b --+=-->，而,(1,1)a b ∈-，即22,[0,1)a b ∈，所以22()11(0)a b -->恒成立，故211222a b ab +--<+得证.。

绵阳高2021级高三下期入学考试题数学（理科）（答案在最后）命题人：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U【答案】A 【解析】【分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.2.设R a ∈，若复数()()2i 2i a -+在复平面内对应的点位于虚轴上，则=a （）A.4- B.1- C.1D.4【答案】B 【解析】【分析】由复数乘法运算可得该复数在复平面内对应的点为()22,4a a +-，由复数的几何意义可解得1a =-.【详解】根据题意可得()()()22i 2i 2i 4i 2i 224i a a a a a -+=+--=++-，所以在复平面内对应的点为()22,4a a +-，即()22,4a a +-在虚轴上，因此可得220a +=，即1a =-；故选：B3.执行如图所示的程序框图，输出的S =（）A.18B.22C.25D.1375【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图的功能，一一循环验证即可.【详解】解：执行该程序框图，12,2,4S k k ==≤成立，18,3,4S k k ==≤成立，22,4,4S k k ==≤成立，25,5S k ==，不满足4k ≤，输出的25S =.故选：C4.已知向量,,a b c ，满足0a b c ++= ，3,4a c == ，且a c ⊥ ，则a b c -+= （）A.5B.52C.10D.102【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量数量积与模长关系计算即可.【详解】由题意可知0a c ⋅= ，且0a b c ++= ，则()b a c =-+，()22205b a c a c =+=++，所以210a b c b -+==．5.设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，7498S S =-，则5S =（）A.31B.658C.15D.158【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的定义及其求和公式计算即可.【详解】设{}n a 的公比为q ，由题意可知1,0q q ≠>，则()()747433741198989818011q q S S q q q q q q q q--=-⇒=⨯-⇒-+=--=--，解之得2q =，所以551311q qS -==-.故选：A6.逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为（）A.78 B.56C.34D.2021【答案】A 【解析】【分析】把相关事件用字母表示，并分析事件的关系，结合对立事件求出概率，再利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A ：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B ：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件|B A ：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，显然,B A AB A B B ⊆== ，()10.040.96,()10.160.84P A P B =-==-=，所以()()0.847()()()0.968|P AB P B P B A P A P A ====.7.设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：π2αβ+=，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式，结合充要条件的判断方法即可得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，取π5π,36αβ==，满足要求，但π2αβ+≠，则甲不是乙的充分条件；当π2αβ+=时，π2βα=-，则πsin sin cos 2βαα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2222sin sin sin cos 1αβαα+=+=，则甲是乙的必要条件；综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选：B.8.已知曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，C 的一条渐近线与圆22(1)(2)2x y -+-=交于A ，B 两点，若2AB =，则双曲线的离心率为（）A.53B.C.54D.43【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的性质及点到直线的距离、圆的弦长公式计算即可.【详解】易知圆心()1,2，半径r =，双曲线渐近线方程为0ay bx ±=，所以有圆心到渐近线的距离2222144d a ab b a b ==⇒±+=+，解之得340a b ±=，显然由0,0a b >>可得5344a b e a =⇒==.故选：C9.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A.50B.36C.26D.14【答案】A 【解析】【分析】按照2,2,1和3,1,1分组讨论安排.【详解】（1）按照2,2,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有24C 6=种，②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有122432C C A 24=种，（2）按照3,1,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有3242C A 8⋅=种，②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有2242C A 12=种，故共有62481250+++=种，故选：A .10.已知函数()()sin π,0,2f x x x =∈的图象与直线()1y a x =-有3个交点，则实数a 的取值范围为（）A.(),0∞- B.()1,0- C.(),π-∞- D.()π,0-【答案】D 【解析】【分析】利用直线过定点以及正弦函数图象，求得()f x 在()1,0处的切线斜率并结合图象即可求得实数a 的取值范围.【详解】易知直线()1y a x =-恒过定点()1,0，且()sin πf x x =的周期为2，也过()1,0；画出函数()sin πf x x =的图象如下图实线部分所示：若两函数图象有3个交点可知，直线()1y a x =-的斜率a<0；若直线()1y a x =-与()sin πf x x =相切，可得()1a f ='，易知()πcos πf x x ='，则()1πa f ='=-，结合图象可知()π,0a ∈-时满足题意.故选：D11.如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，60ABC ∠= 且2,SA AB BC E ===为SA 的中点，则异面直线SC 与DE 所成的角的余弦值为（）A.255B.105C.55D.155【答案】B 【解析】【分析】分别取,,SB BC CD 的中点,,F G H ，连接,,,,,EF FG GH FH BD AC ，则可证明GFH ∠为异面直线SC 与DE 所成的角，分别在三角形中由勾股定理求出FG ，FH 和GH 的长度，利用余弦定理计算得到答案.【详解】如图所示：分别取,,SB BC CD 的中点,,F G H ，连接,,,,,EF FG GH FH BD AC .由60ABC ∠= 且2AB BC ==可得ABC 是等边三角形，则//EF AB 且1=2EF AB ，//DH AB 且12DH AB =，故//EF DH 且EF DH =，所以四边形EFHD 为平行四边形，故//ED FH ，因为//FG SC ，所以GFH ∠为异面直线SC 与DE 所成的角（或其补角），因为SA ⊥平面ABCD ，,AD AC ⊂平面ABCD ，∴SA AD ⊥，SA AC ⊥，故SAC 和EAD 均为直角三角形，所以22111442222FG SC SA AC ==+=+=225FH ED EA AD ==+=1123322GH BD ==⨯=由余弦定理得10cos 5252GFH ∠=⨯.则异面直线SC 与DE 所成的角的余弦值为105.故选：B12.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若123AF AF =，点M 满足123F M M F =，且1AM F B ⊥，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.33C.23D.63【答案】B 【解析】【分析】由123AF AF =、123F M M F =结合正弦定理可得12FAM F AM ∠=∠，又1AM F B ⊥，故1AB AF =，再结合余弦定理计算即可得离心率.【详解】由椭圆定义可知122AF AF a +=，由123AF AF =，故132AF a =，212AF a =，点M 满足123F M M F =，即123F M MF =，则12212233AF AF AF F MMF MF ==，又1111sin sin AF F M AMF F AM=∠∠，2222sin sin AF F M AMF F AM=∠∠，即12121122sin sin sin sin AF AF AMF AMF F MF AM MF F AM∠∠===∠∠，又12180AMF AMF ∠+∠=︒，故12sin sin AMF AMF ∠=∠，则12sin sin F AM F AM ∠=∠，即12FAM F AM ∠=∠，即AM 平分12F AF ∠，又1AM F B ⊥，故132AB AF a ==，则23122BF a a a =-=，则12BF a a a =-=，()22222211322122cos 21222c a a c a AF F e ac e c a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∠===-⨯⨯，()22222124cos 224c a a c BF F e c aac+-∠===⨯⨯，由2121180AF F BF F ∠∠=+︒，故2121cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，即120e e e -+=，即231e =，又0e >，故33e =.故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键在于由123AF AF =、123F M MF =，得到AM 平分12F AF ∠，结合1AM F B ⊥，从而得到1AB AF =.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()()21sin f x a x a x =-+为偶函数，则实数=a ______________.【答案】0【解析】【分析】先求定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用偶函数的定义，即()()f x f x -=是恒等式，求参数值即可．【详解】函数()()21sin f x a x a x =-+的定义域是R ，定义域R 关于原点对称；()()()221()sin()1sin f x a x a x a x a x -=--+-=--，由于()f x 为偶函数，得到()()()221sin 1sin ()f x a x a x a x a x f x -=--=-+=恒成立；即对于,2sin 0x a x ∀∈=R 恒成立，所以0a =.故答案是：0.14.若x ，y 满足约束条件0202x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最小值为___________.【答案】2-【解析】【分析】作出可行域，确定目标函数取最小值时过可行域内的点，求出该点坐标，代入求值，可得答案.【详解】作出不等式组0202x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如图所示（阴影部分）：平移直线30x y +=，当直线过可行域内的点B 时，直线在y 轴上的截距最小，即目标函数3z x y =+取得最小值，联立2x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(1,1)B -，故目标函数3z x y =+的最小值为()min 1132z =+-⨯=-.故答案为：2-15.如图，在平面四边形ABCD 中，90BAC ADC ∠=∠=︒，AB =2AC =，则BD 的最大值为_________；【答案】3【解析】【分析】在Rt ACD △中，求得AD ，然后在ABD △中，由余弦定理求出2BD 的表达式，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的性质求解BD 的最大值.【详解】设π0,2CAD θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在Rt ACD △中，cos 2cos AD AC θθ==．在ABD △中，因为2πBAD θ∠=+，由余弦定理得()2222π2cos 34cos 22cos sin 2BD AB AD AB AD θθθθ⎛⎫=+-⋅⋅+=+-⋅- ⎪⎝⎭21cos 234cos 2243222cos 252θθθθθθ+=++=+⋅+=++π4sin 256θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以BD =．所以当ππ262θ+=，即π6θ=时，BD 最长，BD 的最大值为3=．故答案为：3.16.已知正四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球O 体积的最小值为______.【答案】27π16##27π16【解析】【分析】由底面外接圆的半径、正四棱锥的高以及外接球的半径的关系，结合已知条件可得2324h R h=+，故只需求出外接球半径的最小值即可.【详解】设球O 的半径为R ，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为h ，r .如图，球心在正四棱锥内时，由22211OO O B OB +=，可得()222h R r R -+=，即2220h Rh r -+=（*）.球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.又正四棱锥的体积为()21213r h =，则232r h =，代入（*）式可得2324h R h =+.通过对关于h 的函数()R h 求导，即()31322R h h ='-，易得函数()R h 在(单调递减，在)∞+单调递增，则()min R h R==从而，球O 的体积的最小值3427ππ316R =.故答案为：27π16.【点睛】关键点点睛：关键是首先得到2324h R h =+，从而通过导数求得外接球半径的最小值即可顺利得解.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，232n n S a =-，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n b n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和n T ，若对任意*n ∈N 且2n ≥，()21(1)n T n λ-≥-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）123n n a -=⋅（2）18λ≤【解析】【分析】（1）首先得12a =，由,n n S a 之间的关系得数列{}n a 为等比数列，由此即可得解.（2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性即可得解.【小问1详解】当1n =时，111232,2a a a =-∴=，当2n ≥时，11232,232n n n n S a S a --=-∴=-，两式相减，得1123,33n n n n n a a a a a --=-∴=，又120a =≠，所以数列{}n a 为等比数列，首项为2，公比为3，所以数列{}n a 的通项公式是123n n a -=⋅.【小问2详解】由（1）知，1(21)3212n n n b a n n --==-⋅，0121133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ，则有12313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，两式相减得：()2312123333(21)3n nn T n --=+++++--⨯ ()131312(21)3(22)3213n n n n n --=+⨯--⨯=--⨯--，于是得(1)31n n T n =-⋅+，因为*N n ∈且2n ≥，()21(1),23nn T n λλ-≥-∴≤⋅，当2n ≥时，数列{}23n ⋅是递增数列，所以23n⋅的最小值为18，因此18λ≤.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒．（1）证明：平面ABC ⊥平面11A ACC ；（2）若13BP BA =uu r uu r，求二面角11C A P B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13013【解析】【分析】（1）首先由解三角形知识得1A C AC ⊥，同理1A C BC ⊥，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角的余弦公式结合平方关系即可得解.【小问1详解】如图，连接1AC ，在1A AC △中，12A A =，1AC =，160AAC ∠=︒，由余弦定理，得222111112cos 4122132A C AA AC AA AC A AC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1A C =，所以22211A C AC A A +=，所以1A C AC ⊥，同理1A C BC ⊥，又BC AC C ⋂=，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC ，又1AC ⊂平面11A ACC ，所以平面ABC ⊥平面11A ACC ．【小问2详解】由平面几何知识可知，AC CP ⊥，以C 为坐标原点，以,CA CP ，1CA 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()1,0,0A ，13,,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1A ，所以(1AA =- ，33,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面1A AB 的法向量为()111,,m x y z =，则1111103022m AA x m AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z =，得)m = ．又平面1CA P 的法向量为()1,0,0n = ，∴39cos ,13m n == ，所以二面角11C A P B --的正弦值为13．19.第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的14，男生有10人表示不喜欢看足球比赛.（1）完成下面22⨯列联表，试根据小概率值0.001α=的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？男女合计喜爱看足球比赛不喜爱看足球比赛合计60（2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为X ，求X 的分布列和期望.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.（2）分布列见解析，()12E X =【解析】【分析】（1）根据题意即可完善列联表，代入计算可得234.02810.828χ≈>，可知喜爱观看足球比赛与性别有关联；（2）可确定抽取的8人中男生2人，女生6人，即可得X 的可能取值为0,1,2，分别求出其概率列出分布列可得期望值.【小问1详解】根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为140104⨯=人，可得得22⨯列联表如下：男女合计喜爱看足球比赛501060不喜爱看足球比赛103040合计6040100根据列联表中的数据计算得220.001100(50301010)122534.02810.8286040604036x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.001α=的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.【小问2详解】按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，则X 的可能取值为0,1,2，()()2116622288C C C 1530,1C 28C 7P X P X ======，()2228C 12C 28P X ===，所以X 的分布列为X012P 152837128期望值()15311012287282E X =⨯+⨯+⨯=.20.已知抛物线22(0)y px p =>上的点Q 到焦点的距离为8，点Q 到x .（1）求抛物线的方程；（2）取抛物线上一点(),1P a ，过点P 作两条斜率分别为12,k k 的直线与抛物线交于,A B 两点，且122k k ⋅=，则直线AB 是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.【答案】（1）24y x=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由抛物线的定义求出2p =，进而可得抛物线的方程；（2）设直线的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线方程化简得2440y my n --=，利用根与系数的关系可得121244y y m y y n+=⎧⎨=-⎩，再利用121244211k k y y ⋅=⋅=++，列方程即可求出74n m =-，进而可得直线l 经过定点.【小问1详解】22(0)y px p =>，准线为2p x =-，点Q 分别向x 轴和准线做垂线，垂足为,M N ，则MQ =，8QN QF ==，所以82p Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点Q 在抛物线上，所以)2282p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即220p p -=，解得2p =或0p =（舍），所以抛物线的方程为24y x =.【小问2详解】点(),1P a 在24y x =上，所以14a =，解得14a =，所以1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，1112111114111444y y k y y x --===+--，同理，2241k y =+，所以121244211k k y y ⋅=⋅=++，即()()1216211y y =++，设直线AB 为x my n =+，则24y x x my n⎧=⎨=+⎩，即2440y my n --=，所以124y y m +=，124y y n =-，所以()()()1212121616162111441y y y y y y n m ===+++++-++，解得74n m =-，代入到直线方程x my n =+，得74x my m =+-，即()714x y m +=+，当10y +=，即1y =-时，74x =-，所以直线AB 过定点7,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：1.求抛物线方程的关键是利用抛物线的定义，点Q 到准线的距离等于它到焦点的距离列出方程；2.第二问的关键是设出直线的方程和A 、B 两点坐标，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得出124y y m +=，124y y n =-，将122k k ⋅=用斜率公式表示出来即可，从而判断出所过的定点.21.已知函数()()()ln 121,0f x a x a x a =-+++≠.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()2sin 14F x f x x x =+--，求证：当1a =时，()F x 恰有两个零点.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分类讨论函数单调性；（2）由题意，当1a =时，()()()ln 12sin 11F x x x x =-+--+，令()ln 2sin (0)h x x x x x =+->，借助导数研究函数()h x 的单调性，结合函数值的正负性和零点存在定理可证.【小问1详解】()()()()21222,1111a x a a x a f x a x x x x +-++-=++==>---'.当2a =-时，()()20,1f x f x x =-<∴-'在()1,∞+上单调递减.当20a -<<时，在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上，有()0f x '<，在2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上，有()0f x '>,故()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增.当0a >时，()()()22,220,a x a x f x +>+->∴在()1,∞+上单调递增.当2a <-时，()()20,220,a a x f x +<+-<∴在()1,∞+上单调递减.综上所述，当20a -<<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增.当0a >时，()f x 在()1,∞+上单调递增.当2a ≤-时，()f x 在()1,∞+上单调递减.【小问2详解】1a =时，()()()ln 12sin 11F x x x x =-+--+.令()ln 2sin (0)h x x x x x =+->，则()12cos 1h x x x='+-.令()()()21,2sin m x h x m x x x ==--''.i.(]0,1x ∈时，()0h x '>恒成立，()h x ∴在(]0,1上单调递增.又()12sin110h =->，()222e 22sine e 0h ---=-+-<∴存在一个零点(]11,0,1x x ∈，使()10h x =.ii .(]1,πx ∈，()212sin 0m x x x=--<'恒成立，()m x ∴在(]1,π上单调递减.又()1π210πm =--<，()12cos10m =>.存在零点0x ，使()00m x =.()()01,,0x x h x '∴∈>，()()0,π,0x x h x ∈'<.()h x ∴在()01,x 上单调递增，()0,πx 上单调递减.又()()010,0h h x >∴>.()πlnππ0h =-<，∴存在一个零点()220,,πx x x ∈，使()20h x =.iii.3ππ,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()112cos 0h x x x ∴=-+<'恒成立.()h x ∴在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.()()πlnππ0h x h ∴<=-<恒成立.()h x ∴在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭没有零点.iv.3π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，ln 2sin ln 2x x x x x +-≤+-下面来证明当3π,2x ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，ln 20x x +-<.设()2ln n x x x =--.()110n x x=->'.()n x ∴在3π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，()3π3π3π3π,2ln 2ln 02222n x n ⎛⎫≥-->-> ⎪⎝⎭，ln 20x x ∴+-<恒成立.综上所述，()h x 在()0,∞+只有两个零点.又()F x 是由()h x 向右平移一个单位所得，()F x ∴在()1,∞+只有两个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知圆C 的参数方程为14cos 14sin x y ββ=-+⎧⎨=+⎩（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），l 与C 交于A ，B 两点，||AB =，求l 的斜率.【答案】（1）()22cos sin 140ρρθθ+--=（2）1【解析】【分析】（1）根据题意结合极坐标与直角坐标之间的关系运算求解；（2）由题意可知：直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，根据极坐标的定义结合韦达定理运算求解.【小问1详解】由题意可得：圆C 的普通方程为()221(1)16x y ++-=，将cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ+=代入普通方程，得()22cos sin 140ρρθθ+--=，故圆C 的极坐标方程为()22cos sin 140ρρθθ+--=.【小问2详解】由题意可知：直线l 过坐标原点，倾斜角为[)0,πα∈的直线，在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，设A ，B 所对应的极径分别为12,ρρ.将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得()22cos sin 140ρραα+--=，于是1212sin co 4s ,1ρραραρ-+==-，可得12AB ρρ=-===，则sin 21α=，且[)0,πα∈，则[)20,2πα∈，可得π22α=，即π4α=，所以l 的斜率为tan 1k α==.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()|3|2|5|f x x x =-++的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若0a >，0b >且1ab =，求1122m a b a b+++的最小值．【答案】（1）8m =（2）4【解析】【分析】（1）可借助零点分段法分类讨论计算或借助绝对值三角不等式计算；（2）对原式化简变形后借助基本不等式即可得.【小问1详解】解法一：当3x ≥时，()(3)2(5)37f x x x x =-++=+，此时()f x 单调递增，所以()f x 的最小值为16；当53x -<<时，()(3)2(5)13f x x x x =--++=+，此时()f x 单调递增，故8()16f x <<；当5x ≤-时，()(3)2(5)37f x x x x =---+=--，此时()f x 单调递减，所以()f x 的最小值为(5)8f -=，综上，()f x 的最小值为8，故8m =；解法二：()355(3)(5)5858f x x x x x x x x =-++++≥--+++=++≥，当且仅当5x =-时等号成立，所以()f x 的最小值为8，故8m =；【小问2详解】1188842222a b a b a b a b ab a b a b ++++=+=+≥=+++，当且仅当4a b +=，即22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩时等号成立，所以1122m a b a b +++的最小值为4．。

2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误； 财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值 极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。