2024届高三下学期开学摸底考全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．过点()1,2P -且与直线230x y ++=垂直的直线方程是（）A ．250x y -+=B ．230x y +-=C ．240x y -+=D ．20x y +=【答案】C【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线230x y ++=的斜率为12-，故所求直线的斜率为2，所以，过点()1,2P -且与直线230x y ++=垂直的直线方程是()221y x -=+，即240x y -+=.故选：C.2．一组数据按从小到大排列为1,4,4,4,,7,8x ，若该组数据的第60百分位数是众数的74倍，则这组数据的平均数是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】按百分位数和平均数的定义计算即可.【详解】由题意该组数据共7个数，70.6 4.2⨯=,故第60百分位数为从小到大第5个数x ，又众数为4，故7474x =⨯=，故该组数据的平均数为14372857+⨯+⨯+＝，故选：B3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则1020SS =（）A ．37B ．310C ．311D ．314【答案】B【分析】根据等差数列片段和性质及已知，设()50S t t =≠，求得10203,10S t S t ==，即可得结果.【详解】由等差数列片段和性质知：510515102015,,,,S S S S S S S --- 是等差数列.由51013S S =，可设()50S t t =≠，则103S t =，于是510515102015,,,,S S S S S S S --- 依次为,2,3,4,t t t t ，所以2023410S t t t t t =+++=，所以1020310S S =.故选：B4．如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高1h 为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为2h ，下列选项描述正确的是（）A ．2h 的值等于1B ．()21,2h ∈C ．2h 的值等于2D ．()22,3h ∈【答案】D【分析】设圆锥形容器的底面积为S ，由相似的性质可得未倒置前液面的面积为49S ，根据圆锥的体积公式求出水的体积；再次利用相似的性质表示出倒置后液面面积，由水的体积建立关于2h 的方程，解之即可求解.【详解】设圆锥形容器的底面积为S ，未倒置前液面的面积为1S ，则2114()9S h h S h -==，所以149S S =，则水的体积为114193233927S S S ⨯-⨯⨯=；设倒置后液面面积为2S ，则222222222,9S h Sh Sh S S h h ⎛⎫=∴==⎪⎝⎭，则水的体积为322211932727Sh S h S ==，解得2 2.67h =≈.故选：D.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()()222:0,3,0C x a y a a a A -+-=>-，若圆C 上存在点P ，使得2PA PO =，则正数a 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．[]1,2C ．2⎤⎦D ．1,3⎡+⎣【答案】D【分析】设(,)P x y ，根据条件得到22(1)4x y -+=，从而将问题转化成22(1)4x y -+=与圆C 有交点，再利用两圆的位置关系即可求出结果.【详解】设(,)P x y ，则由2PA PO =整理得到22(1)4x y -+=，又点在圆C 上，所以22(1)4x y -+=与圆C 有交点，又22(1)4x y -+=的圆心为(1,0)，半径为2r =，圆C 的圆心为(,)a a ，半径为R a =，所以22a a -≤+，解得13a ≤≤+故选：D.6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种【答案】D【详解】当E,F 排在前三位时，2231223()N A A A ==24,当E,F 排后三位时，122223322()()N C A A A ==72，当E,F 排3，4位时，112232322()N C A A A ==24，N=120种，选D.7．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，且在2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．51,3⎡⎤⎢⎣⎦C ．58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1117,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭进行最值分析，对区间2π,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上进行单调分析；【详解】当π03x <<时，因为0ω>，则ππππ6636x ωω-<-<-，因为函数()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，则πππ362ω->，解得2ω>，当2ππ3x <<时，2πππππ3666x ωωω-<-<-，因为函数()f x 在2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则()2πππππ,ππ,π36622k k k ωω⎛⎫⎛⎫--⊆-+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，所以2ππππ,362ππππ,62k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩其中k ∈Z ，解得()312223k k k ω-≤≤+∈Z ，所以312223k k -≤+，解得73k ≤，又因为0ω>，则{}0,1,2k ∈．当0k =时，203ω<≤；当1k =时，513ω≤≤；当2k =时，5823ω≤≤．又因为ω>2，因此ω的取值范围是58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：C ．【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心.8．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，12133PF PF λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，12π2F PF ∠=，则椭圆离心率的取值范围为（）A ．2523⎢⎣⎦B ．15,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21024⎢⎣⎦D ．15,28⎡⎤⎢⎣⎦【答案】C【分析】设2PF t =，由椭圆定义和勾股定理得到()22211e λλ+=+，换元后得到()22211112221m λλ+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭+，根据二次函数单调性求出21528e ≤≤，得到离心率的取值范围.【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ，由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，可设2PF t =，可得1PF t λ=，即有()12t a λ+=，①由12π2F PF ∠=，可得222124PF PF c +=，即为()22214t c λ+=，②由2÷②①，可得()22211e λλ+=+，令1m λ=+，可得1m λ=-，即有()222221221112221m m m m λλ+-+⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭+，由133λ≤≤，可得443m ≤≤，即11344m ≤≤，则2m =时，取得最小值12；43m =或4时，取得最大值58.即有21528e ≤≤，得21024e ≤≤.故选：C【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②根据条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设z ，1z ，2z 是复数，则下列命题中正确的是（）A ．若1z =，则1z z ⋅=B ．若2z =，则4z z ⋅=C ．若122i z z =，则122z z =D ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=【答案】BC【分析】由复数的相关知识逐项判断即可.【详解】若1z =，设i z a b =+，所以221a b +=，则()222i 2i z z a b a ab b ⋅=+=+-不一定为1，故A 错误；若2z =，设i z a b =+，所以224a b +=，则()()22i i 4z z a b a b a b ⋅=+-=+=不一定为4，故B 正确；若122i z z =，设2z a bi =+，()1i 2i=2+2i z a b b a =+-，则2z =122z z ==，故C 正确；若1212z z z z +=-，设1i z a b =+，2i z c d =+，12z z +12z z -=()()()()2222a cb d ac bd +++=-+-，即0ac bd +=，()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++不一定为0，故D 错误；故选：BC.10．已知tan 2tan αβ=，则（）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-的最大值为4【答案】BD【分析】根据方程22tan 2tan 1tan βββ=-无解，可判定A错误；根据题意求得1cos sin 5αβ=，结合两角差的正弦公式，可判定B 正确；结合两角和的正弦公式，求得3sin()5αβ+=，利用余弦的倍角公式，可判定C 错误；化简1tan()12tan tan αβββ-==+，结合基本不等式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若2αβ=，可得22tan tan tan 21tan βαββ==-因为tan 2tan αβ=，可得22tan 2tan 1tan βββ=-，解得tan 0β=，又因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0β>，所以方程无解，所以A 错误；对于B 中，因为tan 2tan αβ=，可得sin 2sin cos cos αβαβ=，所以sin cos 2cos sin αβαβ=，又因为2sin cos 5αβ=，所以1cos sin 5αβ=，则5sin co s 1s n s co sin i ()αβαβαβ-==-，所以B 正确；对于C 中，由3sin()sin cos cos sin 5αβαβαβ+=+=，则()27cos 2212sin ()25αβαβ+=-+=，所以C 错误；对于D 中，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得tan 0β>，且tan 2tan αβ=，则2tan tan tan 1tan()11tan tan 12tan 2tan tan αββαβαββββ--===≤+++，当且仅当12tan tan ββ=时，即tan 2β=时，等号成立，所以tan()αβ-的最大值为4，所以D 正确.故选：BD.11．已知函数()132log 2xf x x+=-，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 值域为RB ．函数()f x 是增函数C ．不等式()()3130f x f x -+<的解集为12,63⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()()11111101020232022222023f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+-+-++++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】ACD【分析】对于A ，令()2,2,22x t x x +=∈--，利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于B ，令2,2xt x+=-由复合函数的单调性进行判断即可；对于C ，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D ，由()()0f x f x -+=即可求解.【详解】对于A ，令()2,2,22x t x x+=∈--，又因为24122x t x x +==----在()2,2-上递增，所以()0,t ∈+∞，由对数函数的性质可得，13log y t =的值域为R ，故A 正确；对于B ，因为24122x t x x +==----在()2,2-上递增，13log y t =在()0,∞+上递减，由复合函数的单调性可知，()132log 2xf x x+=-为减函数，故B 错误；对于C ，因为()132log 2xf x x +=-的定义域为()2,2-，且()132log 2x f x x --=+,()()11133322log log log 1022x x f x f x x x +-+-=+=-+，所以()f x 为奇函数，且()f x 在()2,2-上为减函数，不等式()()3130f x f x -+<等价于()()313f x f x -<-即()()313f x f x -<-，等价于3132312232x xx x ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解得1263x <<，故C 正确；对于D ，因为()()0f x f x -+=且()00f =，所以()()()11111101020232022222023f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+-+-++++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.12．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，2AD CD ==，四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，则（）A ．AB ⊥BC B ．2P ABCD P ACDV V -->C ．2P ABCD O ABCDV V --=D ．点O 不可能在平面PBC 内【答案】AC【分析】A 选项，推出,,,A B C D 四点共面，结合AD CD ⊥得到AB ⊥BC ；B 选项，若四边形ABCD 为正方形，此时2P ABCD P ACD V V --=；C 选项，得到球心O 在PD 的垂直平分线上，故O 到平面ABCD 距离为P 到平面ABCD 距离的一半，C 正确；D 选项，举出实例，D 错误.【详解】A 选项，四棱锥P ABCD -的外接球为,,,P A C D 为顶点的球，而,,,A B C D 四点共面，故这四点必共圆，又AD CD ⊥，故AC 为直径，AB ⊥BC ，A 正确：B 选项，由A 可知，,,,A BCD 四点共圆，又2AD CD ==，AC 为直径，若四边形ABCD 为正方形，此时ACD ABC S S = ，2P ABCD P ACD V V --=，B 错误；C 选项，因为PD ⊥平面ABCD ，所以球心O 到,P D 两点的距离相等，即球心O 在PD 的垂直平分线上，故O 到平面ABCD 距离为P 到平面ABCD 距离的一半，故2P ABCD O ABCD V V --=，C 正确；D 选项，当四边形ABCD 为正方形时，连接,AC BD ，相交于点M ，则OM ⊥平面ABCD ，结合球心O 在PD 的垂直平分线上，此时O 为PB 中点，点O 在平面PBC 上，D 错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合{}2890,U x x x x Z =--≤∈，{}A y y y Z ==∈，则U A =ð.【答案】{1,6,7,8,9}-【分析】通过解一元二次不等式，求解函数值域，结合x ∈Z ，y Z ∈，用列举法表示集合,U A ，再结合补集的定义，即得解【详解】由题意，289(9)(1)019x x x x x --=-+≤∴-≤≤，又x ∈Z {}1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U -∴=又y =由于20(4)2525x ≤--+≤05∴≤，又y Z ∈{}0,1,2,3,4,5A ∴=故{1,6,7,8,9}U A =-ð故答案为：{1,6,7,8,9}-14．已知向量,a b的夹角为π3，()-⊥a b b r r r ，则a b =，a b a b+=-．【答案】2【分析】根据向量垂直的表示得()0a b b -⋅= ，利用数量积的运算性质计算可得a b；根据a b +=与a b -=a ba b+- .【详解】由向量,a b的夹角为π3，且()-⊥a b b r r r ，得()22102a b b a b b a b b -⋅=⋅-=-= ，所以2,2a a b b==．因为a b +==，a b -==== ，所以a b a b+=-故答案为：23.15．已知2n n a =，数列{}n c 为1122334564789105,,,,,,,,,,,,,,,a b a b b a b b b a b b b b a ，规律是在k a 和1k a +中间插入k 项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列{}n b ，则数列{}n c 的前30项和为．【答案】829【分析】因为所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，根据题意，得到数列的前30项中含有{}n a 的前7项，含有{}n b 的前23项，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】因为2n n a =，所以{}n a 为等比数列，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，由于12345621+++++=，2162730+=<，123456728++++++=，2873530+=>，因此数列{}n c 的前30项中含有{}n a 的前7项，含有{}n b 的前23项，所以所求和为()721223222323829122⨯-⨯⨯⎛⎫+⨯+= ⎪-⎝⎭．故答案为：829.16．若存在正实数,x y 满足()ln e 10x yx y x x x-++≥，则y 的最大值为．【答案】1e/1e -【分析】不等式变形，换元后得到ln ln 1e e x x t t x t +=++≥，令ln x t z +=，则1e z z +≥，再令()1e zf z z =+-，求导得到其单调性，得到1e z z +≤，从而1e z z +=，解得0z =，得到故e xxy =，0x >，求导，得到单调性和最值，求出答案.【详解】存在正实数,x y 满足()lne 10x yx y x x x-++≥，不等式两边同除以y 得()ln e 10xx y x x y x y-++≥，令0y t x =>，则11ln e 0x x t t t +-+≥，即ln ln 1e e x x t t x t +=++≥，令ln x t z +=，则1e z z +≥，令()1e zf z z =+-，则()1e z f z '=-，当0z >时，()0f z '<，()f z 单调递减，当0z <时，()0f z '>，()f z 单调递增，故()f z 在0z =处取得极大值，也是最大值，故()()00f z f ≤=，即1e z z +≤，综上，1e z z +=，解得0z =，故ln 0ln 0ex y xx t x y x +=⇒+=⇒=，0x >，故1e x xy -'=，当01x <<时，10e xx y -'=>，e x x y =单调递增，当1x >时，10e xx y -'=<，e x xy =单调递减，故当1x =时，ex x y =取得极大值，也是最大值，最大值为1e .故答案为：1e【点睛】常见的不等式放缩有e e x x ≥，e 1x x ≥+，()ln 10x x x ≤->，11ln1x x ≤-，111ln 11x x x⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭等，再求参数取值范围或证明不等式时，常常使用以上不等式进行适当变形进行求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2A B =，23c b =．(1)求cos B 的值；(2)边AC 的垂直平分线交边BC 于点D，若AD =ABC 的面积．【答案】4.【分析】（1）利用正弦定理将角化边，借助余弦定理建立方程组，消元计算即可；（2）分析边角关系，在ABD △中通过正弦定理得c =.【详解】（1）因为2A B =，所以sin sin2,A B =即sin 2sin cos A B B =．在ABC 中，由正弦定理得2cos a b B =．在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，所以22222a c b a b ac+-=⨯②．因为23c b =，所以32c b =①．将①代入②得a =，所以2cos 224a Bb b ===..........................5分（2）结合（1）问：在ABC中，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==211cos cos22cos 116BDA C C ∠==-=-．因为()0,πBDA ∠∈，所以sin BDA ∠==因为()0,πB ∈，所以sin 4B =．在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD cB BDA=∠，解得：c =所以23a c ===ABC的面积1sin 2S ac B =⨯=..........................10分18．（12分）设函数()ln f x x ax b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为63y x =-.(1)求,a b ；(2)证明：()35f x x>-.【答案】(1)5,2==-a b (2)证明见解析【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()()10,,f x a x∞'+=+.将1x =代入63y x =-，解得3y =，即()13f =，由切线方程63y x =-，则切线斜率()16f '=.故3,16a b a +=+=，解得5,2==-a b ..........................6分（2）证明：由（1）知()ln 52f x x x =+-，从而()35f x x>-等价于23ln 525x x x x >-+-.设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x ='+.所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0g x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>.故()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,∞+上的最小值为11e e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设函数()22312525555h x x x x ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，从而()h x 在()0,∞+上的最大值为12155e h ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭.故()()>g x h x ，即()35f x x>-..........................12分19．（12分）如图，平面ABCD ⊥平面ABS ，四边形ABCD 为矩形，ABS 为正三角形，SA =，O 为AB 的中点.(1)证明：平面SOC ⊥平面BDS ；(2)已知四棱锥S AOCD -的体积为2，求点D 到平面SOC 的距离.【答案】(1)证明见详解(2)3【分析】（1）利用平面几何知识结合已知条件可以证明BD CO ⊥，再利用面面垂直的性质进一步证明BD SO ⊥，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即得证.（2）不妨设BD CO E ⋂=，则点D 到平面SOC 的距离即为DE 的长度，结合附加条件四棱锥S AOCD -的体积为2可以求得所有棱长，最终利用平面几何知识即可求解.【详解】（1）一方面：因为ABS 为正三角形且O 为AB 的中点，所以OS AB ⊥（三线合一），又因为平面ABCD ⊥平面ABS 且平面ABCD ⋂平面ABS AB =，并注意到OS ⊂平面ABS ，所以由面面垂直的性质可知OS ⊥平面ABCD ，又因为BD ⊂平面ABCD ，所以由线面垂直的性质可知OS BD ⊥；另一方面：由题意不妨设BC AD a ==，则CD AB AS BS ====，因为ABS 为正三角形且O 为AB 的中点，所以2a OB OA ==，π36cos 622SO BS a =⋅=⨯=，所以tan 2AD ABD AB ∠==，且2tan 2aBO BCO CB a ∠===，注意到ABD ∠与BCO ∠均为锐角，所以ABD BCO ∠=∠，不妨设BD CO E ⋂=，因为π2CBE BCE CBE ABD CBA ∠+∠=∠+∠=∠=，所以π2BEC ∠=，即BD CO ⊥.综合以上两方面有BD OS ⊥且BD CO ⊥，注意到OS OC O = ，OS ⊂平面SOC ，OC ⊂平面SOC ，所有由线面垂直的判定有BD ⊥平面SOC ，又因为BD ⊂平面BDS ，所以平面SOC ⊥平面BDS ...........................6分（2）由（1）可知BD ⊥平面SOC ，则点D 到平面SOC 的距离即为DE 的长度，一方面梯形AOCD 的面积为()21112224S OA CD AD a a a ⎛⎫=⋅+⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，h SO ==，所以有四棱锥S AOCD -的体积为2311133424V S h a a a =⋅⋅=⨯⨯=，另一方面由题可知四棱锥S AOCD -的体积为2V =，3=a =因为CD AB ∥，所以CDE ABD ∠=∠，由（1）可知tan 2ABD ∠=，所以2tan 2CDE ∠=，所以6cos 3CDE ∠=，所以cos DE CD CDE =⋅∠=..........................12分20．（12分）已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．(1)求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；(2)记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．【答案】(1)215；(2)3835.【分析】（1）由题意，,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【详解】（1）,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为1()2P A =；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为2(|)5P B A =；当,a b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为1(|)3P C AB =；所以121()()(|)255P AB P A P B A ==⨯=，则111()()(|)5315P ABC P AB P C AB ==⨯=，同理知：新增登山爱好者,,a b c 均被分至乙队的概率也为115，所以,,a b c 三人均被分至同一队的概率为215............................6分（2）由题设，X 可能取值为4,2,0，4X =为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则22224(4)24567105P X ⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯，2X =为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第(1,2,3,4)k k =名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则123339(1)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，223339(2)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，322434(3)2456735P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，422252(4)2456721P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，所以12347(2)15P X P P P P ==+++=，X 0=为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则52(0)1(2)(4)105P X P X P X ==-=-==，所以475238()4201051510535E X =⨯+⨯+⨯=............................12分21．（12分）在平面直角坐标系中，已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的浙近线方程为20,,x y A B ±=分别是双曲线C 的左､右顶点.(1)求C 的标准方程；(2)设P 是直线1x =上的动点，直线,PA PB 分别与双曲线C 交于不同于,A B 的点,M N ，过点B 作直线MN 的垂线，垂足为D ，求当AD 最大时点P 的纵坐标.【答案】(1)2214x y -=；(2)2±.【分析】（1）利用给定的渐近线方程求出b 即可得双曲线方程.（2）设出直线MN 的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理、三点共线探求直线MN 过的定点，结合几何意义求解即得.【详解】（1）双曲线222:14x y C b-=的渐近线方程为2b y x =±，即20bx y ±=，依题意，1b =，所以C 的标准方程为2214x y -=............................4分（2）由（1）知，(2,0),(2,0)A B -，设()()()011221,,,,,P y M x y N x y ，显然直线MN 不垂直于y 轴，否则由双曲线的对称性，点P 在y 轴上，不符合题意；设直线:(2,2,0)MN x ty m t m =+≠±≠±，由2244x ty m x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得222(4)240t y tmy m --+=+，有22222244(4)(4)16(4)0t m t m t m ∆=---=+->，则212122224,44tm m y y y y t t --+==--，于是2121242()m ty y y y m -=-+，...........................6分由,,P A M 三点共线得直线,PA MA 的斜率满足01132y y x =+，同理，由,,P B N 三点共线得2022y y x -=-，消去0y ，得()()21122320y x y x ++-=，即2112(2)3(2)0y ty m y ty m ++++-=，整理得()()121243220ty y m y m y +-++=，即()()()()21212243220m y y m y m ym--++-++=，则12(4)[(2)(2)]0m m y m y ---+=，因此4m =或()()12220m y m y --+=，若()()12220m y m y --+=，又12224tm y y t -+=-，得1222(2)(2),44m t m ty y t t -+--==--，结合212244m y y t -=-，从而()()2222224444m t m t t--=--，即224t t =-，不成立，即()()12220m y m y --+≠，因此4m =，满足0∆>，............................10分则直线:4MN x ty =+恒过点()4,0H ，点D 在以HB 为直径的圆22(3)1x y -+=上，当D 与H 重合时，AD 最大，此时MN x ⊥轴，):2,1,62AM y x P ⎛⎫=±+± ⎪ ⎪⎝⎭，所以当AD 最大时，点P的纵坐标为2±.............................12分【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为y kx m =+，再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k ，m 的关系，然后推理求解.22．（12分）已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.(1)当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；(2)若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；(3)若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.【答案】(1){1,3,5}(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据定义知0n a ≥，讨论32a >、32a <及34,a a 大小求所有4a 可能值；（2）由0n a ≥，假设存在*0N n ∈使0n n a a ≤，进而有000012max{,}n n n n a a a a ++≤≤，可得0012min{,}0n n a a ++=，即可证结论；（3）由题设1n n a a +≠(2,3,)n =，令1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅求证n a M >即可判断存在性.【详解】（1）由{}{}1212max ,min ,0n n n n n a a a a a ++++=-≥，133max{2,}min{2,}1a a a =-=，若32a >，则321a -=，即33a =，此时244max{3,}min{3,}2a a a =-=，当43a >，则432a -=，即45a =；当43a <，则432a -=，即41a =；若32a <，则321a -=，即31a =，此时244max{1,}min{1,}2a a a =-=，当41a >，则412a -=，即43a =；当41a <，则412a -=，即41a =-（舍）；综上，4a 的所有可能值为{1,3,5}..............................3分（2）由（1）知：0n a ≥，则{}12min ,0n n a a ++≥，数列{}n a 中的项存在最大值，故存在*0N n ∈使0n n a a ≤，(1,2,3,)n = ，由00000000121212max{,}min{,}max{,}n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-≤≤，所以0012min{,}0n n a a ++=，故存在00{1,2}k n n ∈++使0k a =，所以0为数列{}n a 中的项；............................7分（3）不存在，理由如下：由0(1,2,3,)n a n >= ，则1n n a a +≠(2,3,)n =，设1{|,1}n n S n a a n +=>≥，若S =∅，则12a a ≤，1i i a a +<(2,3,)i = ，对任意0M >，取11[]2Mn a =+（[]x 表示不超过x 的最大整数），当1n n >时，112322()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23121...(1)n n a a a a n a M --=++++≥->；若S ≠∅，则S 为有限集，设1max{|,1}n n m n a a n +=>≥，1m i m i a a +++<(1,2,3,)i = ，对任意0M >，取21[]1m Mn m a +=++（[]x 表示不超过x 的最大整数），当2n n >时，112211()()...()n n n n n m m m a a a a a a a a ---+++=-+-++-+2311...()n n m m m a a a a n m a M --++=++++≥->；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤..............................12分【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定1n n a a +≠(2,3,)n =，并构造集合1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.。
