24.4.1弧长和扇形面积-导学案

24.4弧长和扇形面积教案一、【教材分析】二、【教学流程】自 主 探 究问题2、你还记得圆面积的计算公式吗？圆面积可以看作多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n 的圆心角呢？设：已知⊙O 半径为R ，求n 的圆 心角所对的扇形面积. 比较扇形面积公式和弧长公式，看看它们之间有什么关系？2R =360n S π扇形 1=2S lR 扇形其中，l 是扇形的弧长，R 为半径． 学生认真思考，由中等学生回答：圆周长为2R π，可看作是360°的圆心角所对的弧长；教师关注学生对公式的理解程度.教师引导学生类比弧长公式的推导过程，推导出扇形面积公式. 经过观察，学生能够看出：类比的方法研究问题．来源于生活服务于生活，强化应用意识O DC B A 补 偿 提 高1、 如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m ，求截面上有水部分的面积（精确到0.01 m 2）2、三角形ABC 的外接圆半径为2，60=∠BAC °，则∠BAC 所对的弧BC 的长为教师出示例题后，引导学生分析已知条件，教师要关注学生对题目中的有关概念是否清楚，如水面高指的是什么？ 经过分析，学生知道了水面高即弧AB 的中点到弦AB的距离． 因此想到做辅助线的方法：连接OA 、AB ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，交弧AB 于点C ．垂径定理的应用．加强学生对本节课内容的认识与联系三、【板书设计】四、【教后反思】。

24.4《弧长和扇形面积》（第1课时）教案学习目标：【知识与技能】1、理解并掌握弧长及扇形面积的计算公式2、会利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长【过程与方法】1、认识扇形，会计算弧长和扇形的面积2、通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知识的能力【情感、态度与价值观】1、通过对弧长及扇形的面积公式的推导，理解整体和局部2、通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用【重点】弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积【难点】运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积学习过程:一、自主学习（一）复习巩固1、小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？2、我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积应怎样计算呢？（二）自主探究1、如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？OB O B A ABO A B O A B O2、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即AB 的长(结果精确到0.1mm)．3、上面求的是110°的圆心角所对的弧长，若圆心角为n ︒，如何计算它所对的弧长呢？请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180︒、90︒、45︒、1︒、n ︒所对的弧长。

因此弧长的计算公式为l =__________________________4、如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形问：右图中扇形有几个？同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1︒的扇形面积是面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积 如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为S = ___ .因此扇形面积的计算公式：S=————————或S=——————————（三）、归纳总结： 1、 叫扇形2、弧长的计算公式是 扇形面积的计算公式是 （四）自我尝试：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。

《弧长和扇形面积》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计的目标是帮助学生巩固并掌握弧长和扇形面积的基本概念、计算公式及运用方法。

通过本课时的作业练习，学生能够准确计算弧长和扇形面积，并能够解决与之相关的实际问题。

二、作业内容1. 基础练习：（1）理解弧长与圆心角的关系，掌握弧长计算公式。

（2）了解扇形的定义及其与圆的关系，掌握扇形面积的计算公式。

（3）通过几道简单的计算题，巩固对弧长和扇形面积计算公式的理解。

2. 应用拓展：（1）利用弧长和扇形面积公式解决实际生活中的问题，如计算圆弧形花坛的周长或面积。

（2）通过几何图形的组合与分解，理解不同几何图形之间的关联与转化。

（3）设置几道稍具难度的综合题，考查学生对弧长和扇形面积知识的综合运用能力。

3. 自主探究：（1）引导学生通过小组合作或个人探究的方式，自主寻找生活中与弧长和扇形面积相关的实例。

（2）鼓励学生利用所学知识，尝试解决一些与几何图形有关的实际问题，如设计一个扇形花坛的布局等。

三、作业要求1. 学生在完成作业时，应注重公式的理解和公式的应用，不可只求答案的正确性而忽视解题过程。

2. 要求学生按照题目要求进行作答，书写规范、清晰，步骤完整。

3. 鼓励学生在完成基础练习后，积极尝试应用拓展的题目，提高自己的解题能力。

4. 自主探究部分需学生结合生活实际，积极寻找相关实例，并尝试提出自己的设计方案或解决方案。

四、作业评价1. 教师将根据学生作业的准确性和解题过程的规范性进行评价。

2. 对于在应用拓展部分表现出色的学生，教师应给予表扬和鼓励，激发其学习积极性。

3. 对于在自主探究部分提出创新设计方案的学生，教师应给予额外加分或口头表扬。

五、作业反馈1. 教师将在课堂上对作业进行讲解和点评，帮助学生查漏补缺。

2. 对于学生在作业中普遍出现的问题，教师应重点讲解和强调。

3. 鼓励学生之间相互交流学习心得和解题方法，共同进步。

通过以上作业设计，旨在通过多层次、多角度的练习，帮助学生全面掌握弧长和扇形面积的相关知识，提高其解题能力和实际应用能力。

24.4.1弧长与扇形面积【学习目标】1、了解扇形的概念，经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程2、理解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题【重点、难点】重点：弧长计算公式及扇形面积计算公式难点：探索弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题【学习过程】一、情境引入［问题］制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图24-4-1所示的管道的展直长度（结果精确到l mm）请同学说出你解决本问题思路?计算中的困难是什么?知识回顾设圆的半径为R,则1.圆的周长C公式是_______________2.圆的面积S公式是_______________3、什么叫弧长？________________________________________________________二、探索新知(一)探索弧长公式请同学们思考完成下题：设圆的半径为R,则1.圆的周长可以看作度的圆心角所对的弧.2.01的圆心角所对的弧长是___________.3.02的圆心角所对的弧长是___________.4.04的圆心角所对的弧长是 ____5. 0n 的圆心角所对的弧长是 __ 根据同学们的解题过程，我们可得到弧长公式： 0n 圆心角所对的弧长公式问题解决： 请你利用公式解决本节开始中的“弯形管道”问题。

(一)探索扇形公式问题（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m 的绳子，绳子的另一端拴着一头狗，如图24-101所示 （1）这条狗能活动的最大活动区域有多大？（2）如果这条狗只能绕柱子转过0n 角，那么它的最大活动区域有多大？如果这条狗只能绕柱子转过0n 角，那么它的最大活动区域应该是0n 圆心角的两个半径和0n 圆心角所对的弧所围成的圆的一部分.定义: 像这样．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．请同学们结合圆的面积S=π2R 的公式，独立完成下题：1.该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积.2.设圆的半径为R. 01的圆心角所对的扇形面积S=3. 设圆的半径为R, 04的圆心角所对的扇形面积S= ……4. 设圆的半径为R, 0n 的圆心角所对的扇形面积S= 因此，在半径为R 的圆中，0n 的圆心角所对的扇形面积公式三、学以致用【例2】 扇形面积为300π，圆心角为30°，求扇形半径．【例3】 如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE ，求图中五个扇形的面积之和（阴影部分）．能力拓展1、 如图，在半径为3的⊙O 和半径为1的⊙O ′中，它们外切于B ，∠AOB=40°．AO ∥CO ′，求曲线ABC 的长．2、 如图，等腰直角三角形ABC 的斜边AB=4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D 、E ，求图中阴影部分的面积．四、归纳小结 本节课应该掌握： 1、0n 的圆心角所对的弧长 l=180Rn π. 2、扇形的概念3、扇形面积 3602R n S π=4、运用以上内容解决具体问题五、课堂小测 诊断检测一1.一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角等于_____度.2.如图，有一弓形钢板ACB ，的度数为120°，弧长为l ，现要用它剪出一个最大的圆形板料，则这一圆形板料的周长为_____.第2题图3.如图，两个半圆中，长为6的弦CD 与直径AB 平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_____.4.如图，半径为1的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为 A.4－πB.8－πC.2(4－π)D.4－2π5.如果弧所对的圆心角的度数增加1°，弧的半径为R ，则它的弧长增加 A.360R π B.Rπ180C.Rπ360D.180Rπ 6.设三个同心圆的半径分别为r 1、r 2、r 3，且r 1>r 2>r 3，如果大圆的面积被两个小圆分成面积相等的三部分，那么r 1∶r 2∶r 3为A.3∶2∶1B.9∶4∶1C.2∶3∶1D.3∶2∶17.如图，一块边长为8 cm 的正三角形木板ABC ，在水平桌面上绕点B 按顺时针方向旋转至 A ′BC ′的位置时，顶点C 从开始到结束所经过的路径长为(点A 、B 、C ′在同一直线上)A.16πB.38π C .364π D.316π诊断检测一答案：1.120 2.l 433.29π4.A5.D6.D7.D第2题图第4题图第3题图诊断检测二1.在半径为R 的圆中，一条弧长为l 的弧所对的圆心角为（ ） A.lR180π度 B.R l π180度 C.180Rlπ度 D.Rlπ180度 2.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 的夹角为120°，AB 长为30 cm ，贴纸部分BD 长为20 cm ，贴纸部分的面积为A.800π cm 2B.500π cm 2C.3800π cm 2D.3500π cm 23.如图，△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中、A 、B 、C 循环，它们依次相连接，如果AB =1，那么曲线CDEF 的长是（）A.8πB.6πC.4πD.2π4.已知如图，两同心圆中大圆的半径OA 、OB 交小圆于C 、D ，OC ∶CA =3∶2，则和的长度比为（ ）A.1∶1 B .3∶2 C.3∶5 D.9∶25 5.如图，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（ ）A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)DEEF第4题图第3题图第2题图6.已知：如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，若PA =2 cm ，PC =1 cm ，怎样求出图中阴影部分的面积S ？写出你的探求过程.诊断检测二答案：1.B2.C3.C4.C5.C6.解：∵PA 为切线，连接AC , ∴△PAC ∽△PBA . ∴PA 2=PC ·PB . ∴PB =4.∴AB =3222=-PA PB . ∴OA =3. ∴∠B =30°. 连接O C . ∴∠AOC =60°,S 扇形OAC =23603602ππ=⋅⋅, S △OBC =.43323321=⨯⨯ ∴S 阴=S △APB －S 扇OAC －S △OBC =)2345(π- cm 2.六、布置作业 课本P122 练习 第1、2题第6题图。

24.4 弧长和扇形面积 导学案第1课时 弧长和扇形面积1、教学目标1．了解扇形的概念，复习圆的周长、圆的面积公式．2．探索n°的圆心角所对的弧长l ＝n πR 180、扇形面积S ＝n πR 2360和S ＝12lR 的计算公式，并应用这些公式解决相关问题．2、预习反馈阅读教材P 111～113，完成下列知识探究． 1．在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长是πR 180，n°的圆心角所对的弧长是n πR180． 2．在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的扇形面积是πR 2360，n°的圆心角所对的扇形面积是n πR 2360． 3．半径为R ，弧长为l 的扇形面积S ＝12lR ．3、名校讲坛例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L (结果取整数)．【思路点拨】 先根据弧长公式求出100°所对的弧长，再加上两边的长度． 【解答】 由弧长公式，得AB ︵的长 l ＝100×900×π180＝500π≈1 570(mm)．因此所要求的展直长度L ＝2×700＋1 570＝2 970(mm)．【跟踪训练1】 如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C)A ．π cmB ．2π cmC ．3π cmD ．5π cm【点拨】 重物上升的高度就是108°所对的弧长．【跟踪训练2】 如图，点A ，B ，C 在半径为9的⊙O 上，AB ︵的长为2π，则∠ACB 的大小是20°．【点拨】 先根据弧长公式求出AB ︵所对的圆心角，再根据圆周角定理求出∠ACB 即可．例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m ，其中水面高0.3 m ．求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位)．【思路点拨】 有水的部分实际上是一个弓形，弓形的面积可以通过扇形的面积与相应三角形面积的和或差求得．【解答】 如图，连接OA ，OB ，作弦AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AB ︵于点C ，连接AC .∵OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，∴OD＝OC－DC＝0.3 m．∴OD＝DC.又∵AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线．∴AC＝AO＝OC.从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.有水部分的面积S＝S扇形OAB－S△OAB＝120π360×0.62－12AB·OD＝0.12π－12×0.63×0.3≈0.22(m2)．【跟踪训练3】已知：如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC ＝8 cm，∠ABD＝45°.(1)求BD的长；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∠BDA＝90°.∵BC＝6 cm，AC＝8 cm，∴AB＝10 cm.∵∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形．∴BD＝AD＝22AB＝5 2 cm.(2)连接DO，∵∠ABD＝45°，∠BDA＝90°，∴∠BAD ＝45°. ∴∠BOD ＝90°. ∵AB ＝10 cm ， ∴OB ＝OD ＝5 cm.∴S 阴影＝S 扇形OBD －S △OBD ＝90π×52360－12×52＝(25π4－252)cm 2.4、巩固训练1．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S 扇＝43π；已知扇形面积为43π，圆心角为120°，则这个扇形的半径R ＝2． 2．已知扇形的半径为5 cm ，面积为20 cm 2，则扇形弧长为8cm .3．如图，已知C ，D 是以AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径OA ＝2，∠COD ＝120°，则图中阴影部分的面积等于23π．4．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 cm ，其中水面高0.9 cm ，则截面上有水部分的面积为0.91__cm 2．(结果保留小数点后两位)5．如图，已知P ，Q 分别是半径为1的半圆圆周上的两个三等分点，AB 是直径，则阴影部分的面积为π6．【点拨】 连接OP ，OQ ，利用同底等高将△BPQ 的面积转化成△OPQ 的面积．6．如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连接AC ，BD. (1)求证：AC ＝BD ；(2)若图中阴影部分的面积是34π cm 2，OA ＝2 cm ，求OC 的长．解：(1)证明：∵∠AOB ＝∠COD ＝90°， ∴∠AOC ＝∠BOD. 又∵AO ＝BO ，CO ＝DO ， ∴△AOC ≌△BOD(SAS )． ∴AC ＝BD.(2)根据题意，得S 阴影＝90π×22360－90π·OC 2360＝34π，解得OC ＝1. ∴OC 的长为1 cm .5、课堂小结1．n°的圆心角所对的弧长公式l ＝n πR180.2．n°的圆心角所对的扇形面积公式S ＝n πR 2360.3．阴影部分面积的求法．第2课时圆锥的侧面积和全面积1、教学目标1．理解圆锥的相关概念，会计算圆锥的侧面积和全面积．2．进一步培养学生综合运用相关知识解决问题的能力．4、预习反馈阅读教材P113～114，完成下列知识探究．1．圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高．2．圆锥的侧面展开图是一个扇形，其半径为圆锥的母线，弧长是圆锥底面圆的周长．3．圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式：l2＝h2＋r2，圆锥的侧面积S＝πrl；圆锥的全面积S全＝S底＋S侧＝πr2＋πrl．3、名校讲坛例蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2，高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142，结果取整数)?【解答】如图是一个蒙古包的示意图．根据题意，下部圆柱的底面积为12 m2，高h2＝1.8 m；上部圆锥的高h1＝3.2－1.8＝1.4(m)．圆柱的底面圆的半径r＝12π≈1.954(m)，侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10(m 2)． 圆锥的母线长l ＝ 1.9542＋1.42≈2.404(m)， 侧面展开扇形的弧长为2π×1.954≈12.28(m)， 圆锥的侧面积为12×2.404×12.28≈14.76(m 2)．因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10＋14.76)≈738(m 2)．【跟踪训练1】 如图，用一个半径为30 cm ，面积为300 π cm 2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r 为(B )A ．5 cmB ．10 cmC ．20 cmD ．5π cm【跟踪训练2】 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，求该几何体的全面积(即表面积)是多少？(结果保留π)解：圆锥的母线长是：32＋42＝5. 圆锥的侧面积是：12×8π×5＝20π.圆柱的侧面积是：8π×4＝32π. 几何体的下底面面积是：π×42＝16π. 所以该几何体的全面积(即表面积)为： 20π＋32π＋16π＝68π.6、巩固训练1．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为(C) A．2.5 B．5 C．10 D．152．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18 cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是(C)A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．18 cm 3．已知圆锥的底面半径长为3，母线长为4，则它的侧面积是(B)A．24πB．12πC．6πD．124．圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π5．如图，一个圆锥的高为3 3 cm，侧面展开图是半圆．求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比；(2)求圆锥的底面圆的半径．解：(1)设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为l.∵2πr＝πl，∴lr＝2.(2)由图可知l2＝h2＋r2，h＝3 3 cm，∴(2r)2＝(33)2＋r2，即4r2＝27＋r2.解得r＝3.∴r＝3 cm.5、课堂小结1．圆锥的母线长等于扇形的半径；扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．2．圆锥侧面展开图的有关计算．。

第二十四章弧长和扇形面积知识点1：弧长公式, n°的圆心角所对的弧长l=.半径为R的圆中重点提示: (1)关于弧长公式重点是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的,即,亦即;(2)弧长公式所波及的三个量 : 弧长、圆心角的度数、弧所在圆的半径 , 知道其中的任何两个量就能够求出第三个量 .知识点 2：扇形面积公式扇形的定义 : 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.扇形面积公式: 半径为R, 圆心角为n°的扇形面积S 扇形=( 若已知或已求出了扇形对应的弧长l,则扇形面积公式也能够写成S 扇形 = lR).重点提示 : (1)关于扇形面积公式重点是要理解1°的扇形面积是圆面积的, 即;(2)扇形面积公式所波及的三个量 : 扇形面积、扇形半径、圆心角的度数 , 知道其中的任何两个量就能够求出第三个量 ;(3)关于扇形面积公式 S扇形 = lR, 可依照题目条件灵便选择使用 , 它与三角形面积公式S= ah 有点近似, 用类比的方法记忆会更好;(4) 注意扇形面积的两个公式之间的联系:S 扇形 == ·· R= lR,不论利用哪个公式计算扇形面积,R 都必定已知 .知识点 3：弓形的认识弦和弦所对的弧所围成的图形叫做弓形 , 利用扇形面积和三角形面积可求出弓形的面积 . 弓形有以下三种情况 :(1) 当弓形的弧小于半圆时, 弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差, 即 S 弓形 =S 扇形 -S △OAB;(2)当弓形的弧大于半圆时, 弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和, 即 S 弓形=S 扇形 +S△OAB;(3)当弓形的弧是半圆时, 弓形的面积是圆面积的一半, 即 S 弓形 =也就是说 : 要计算弓形的面积, 第一要察看它的弧属于半圆、劣弧仍是优弧S 圆 ., 只有对它分析正确才能保证计算结果的正确阴影部分经常是基本图形的组合问题的重点.., 解题时要认真分析图形, 找出组合方式, 这是解决这类考点1：弧长公式的运用【例1】挂钟分针的长为250px, 经过45 分钟 , 它的针尖转过的弧长是().A.cmB. 15π cmC.cmD. 75π cm答案:B.点拨 : 此题已知弧所在圆的半径为250px, 又知分针45 分钟转过270° , 所以针尖转过的弧长是l==15π(cm).考点 2：圆中图形面积的计算【例 2】如图 , 圆心角都是90°的扇形 OAB与扇形 OCD叠放在一同 , 连结 AC、BD.(1)求证 :AC=BD;(2)若图中阴影部分的面积是π cm2,OA=50px, 求 OC的长 .解 : (1) 因为∠ AOB=∠ COD=90°, 所以∠ AOC+∠ AOD=∠ BOD+∠AOD所以∠ AOC=∠ BOD.又因为 AO=BO,CO=DO,所以△ AOC≌△ BOD,所以 AC=BD.(2) 依照题意得S 阴影=-=,即π =.解得 OC=1(cm).点拨 : 由△ AOC ≌△ BOD可知图中阴影部分面积是扇环形面积, 即π =,解得 OC=1.考点 3：弧长公式和扇形面积在本质生活中的应用【例 3】在物理课上李娜同学用一个滑轮起重装置以以下图: 滑轮的半径是250px,当她将一重物向上提升375px 时, 滑轮的半径 OA绕轴心 O按逆时针方向旋转的角度是( 假定绳子与滑轮之间没有滑动, π取 3.14, 结果精准到1° ).答案 : 86°.点拨 : 在绳子与滑轮之间没有滑动前提的下轮子是带动着绳子在转动, 当轮子的点A 转到点A1地址时 , 绳子上的某一点也就从点A被带到点A1, 绳子被带动上升375px,也就是长度为375px, 所以此题所察看的数学知识可以等价“圆中的计算问题”: 已知,如图☉O的半径为250px,长为375px.求∠ A1OA的度数. 设OA绕圆心O按逆时针方向旋转n° ,则15=, 解得n≈ 86.。

弧长和扇形面积教学设计（共12篇）第1篇：《弧长和扇形面积》教学设计24.4 弧长和扇形面积第二课时一、教学目标（一）学习目标1．了解圆锥母线的概念，探索并理解圆锥侧面和全面积计算公式；2．会灵活应用圆锥侧面积和全面积计算公式解决问题．（二）学习重点探究圆锥侧面积和全面积的计算公式.（三）学习难点应用圆锥侧面积和全面积计算公式解决问题二、教学设计 1．自主学习（1）弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾师问：上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式，你们还记得它们是怎样的吗？生答：弧长l＝半径）生答：扇形面积S＝（2）圆锥的再认识（教师出示一组生活中含圆锥形物体的图片）n⨯πR2，（其中n 表示扇形圆心角的度数，R表示扇形所在圆的半径）360nnπR⨯2πR＝，（其中n表示弧所对的圆心角的度数，R表示弧所在圆的360180 师问：上面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？生答：圆锥体师问：非常好，它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？生答：圆锥是由一个底面和一个侧面组成的，它的底面是一个圆，它的侧面是一个曲面．师问：我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的母线，那么一个圆锥有多少条母线呢？它们在数量上有什么关系？生答：有无数条，它们是相等的．师问：为什么是相等的呢？生答：由勾股定理，每条母线l＝h2+r2，h表示圆锥的高，r表示底面半径，对于同一个圆锥体，h和r的长是固定的，因此母线的长也是固定的．师：非常好！我们不仅知道母线长度是相同的，而且还了解了有关母线的一条非常重要的性质：母线l、圆锥高h、底面半径r之间满足：l2=h2+r2【设计意图】本节课探究的圆锥的侧面积和全面积，因此有必要重新认识圆锥，另外，本节课必须使用到上节课学习的弧长计算公式和扇形面积计算公式，因此也有必要回顾这两个公式，为本节课教学内容顺利进行做铺垫．二、合作交流师：大家分析得非常好，接下来请大家以小组为单位，完成下列问题串：如图，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，（1）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径为________；（2）扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的，所以扇形弧长为________；（3）因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________l（学生先独立思考，再小组合作完成，并展示）归纳：①如上图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，根据上节课学习的扇形面积公式S 扇形=半径）可知：该圆锥的侧面展开图的面积是S侧=1lR（其中l表示扇形的弧长，R表示扇形21⨯2πr⨯l=πrl；2②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，表示为：S全=S侧+S底＝πrl+πr2=πr(l+r)③通过上面两个公式，我们可以看到，只要知道母线、底面半径就可以求圆锥的侧面积的全面积． 3．展示提升如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗？（π取3.142）【知识点】圆锥侧面积在生活问题中的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm ∴一顶圣诞帽需要的材料是π⨯5⨯15=75πcm²∴生产这种帽身10000个，需要75π⨯10000=750000πcm²＝75πm²≈235.65 m²．∴玩具厂至少需235.65平方米的材料【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积公式即可，但实际问题需要注意单位问题．【答案】235.65m2四、课堂巩固1、在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=8，BC=6，将△ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（）A.30πB.40πC.50πD.60π2、已知圆锥的底面半径为3，母线为4，则它的侧面积是_______，全面积是________.【知识点】圆锥侧面积的计算【解题过程】解：∵母线l＝4，底面半径r＝3 ∴由圆锥侧面积计算公式得：S侧=πrl＝π⨯3⨯4=12π由圆锥全面积计算公式得：S全=πr(l+r)＝π⨯3⨯(3+4)=21π【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积和全面积计算公式求得．【答案】12π21π练3、已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积是_______，全面积是_______.4、已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm²，则这个圆锥的底面半径是________．【知识点】圆锥侧面积计算公式的逆用【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积，可以逆用圆锥侧面积的计算公式求得圆锥底面半径，实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥侧面积三者中可以“知二求一”．【解题过程】解：∵母线长l＝5cm，圆锥侧面积S侧=20πcm2 ∴圆锥侧面积计算公式：S侧=πrl=π⨯r⨯5=20π解得：r=4 ∴底面半径为4cm 【答案】4cm5、圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______．【知识点】圆锥侧面积的计算，扇形面积的计算【解题过程】解法一：∵圆锥的底面半径是4，母线长是12 ∴圆锥侧面积＝S侧=πrl=π⨯4⨯12=48π设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n 所以展开图的面积还可以表示为：∴nπ⨯122 360nπ⨯122＝48π解得：n＝120 3604 ∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°．解法二：∵圆锥的底面半径是4 ∴底面周长＝2π⨯4=8π设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n ∵圆锥的母线长是12 ∴侧面展开图的弧长＝∴8π＝nπ⨯12 180nπ⨯12解得：n＝120 180∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°．【思路点拨】圆锥侧面展开图的面积一方面可以通过母线和底面半径来求，即S=πrl；另一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即S=解这个方程即可得到圆锥侧面展开图的圆心角n=nnπl2，这样就得到πrl＝πl2，360360360r，其中r表示圆锥底面半径，l表示圆lnnπl，这样就得到πl＝180180锥母线．还可以根据圆锥侧面展开图的弧长来建立等量关系，一方面圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长2πr；另一方面圆锥侧面展开图的弧长等于2πr，同样可以得到圆锥侧面展开图的圆心角n=360r． l【答案】120° 五．课堂小结（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥有无数条母线，它们的长度都相等，每条母线l＝h2+r2（h表示圆锥的高，r表示底面半径）.（2）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则该圆锥的侧面展开图的面积是1⨯2πr⨯l=πrl.2（3）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为S侧=r，则S全=S侧+S底＝πrl+πr2=πr(l+r).5第2篇：弧长和扇形的面积教学设计弧长和扇形的面积教学设计姜永娜教学目标知识与技能：1．会计算弧长及扇形的面积。

O B AO B AA BO A B O A BO 图 124.4 弧长和扇形的面积 第1课时 弧长和扇形的面积（1）学习目标：1、认识扇形，会计算弧长和扇形的面积。

2、通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养运用已有知识探究问题获得新知的能力。

3、通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，体验数学与人类生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。

重点：经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形面积计算公式；会用公式解决问题．难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。

课前预习1：1．圆的周长公式是 。

2．圆的面积公式是 。

3．什么叫弧长？ 。

4．扇形的面积是S ，它的半径是r ，这个扇形的弧长是_____________ 5．扇形面积的计算公式为S=______________或S=______________6．一段长为2的弧所在的圆半径是3cm ，则此扇形的圆心角为_________，扇形的面积为_________。

7．已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，此圆弧的长度为_____。

课前预习2： 一、创境激趣如图1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?（取3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的41,所以铁轨的长度l ≈（米）. 二、自主探究1、发现弧长和扇形的面积的公式（1）弧长公式的推导。

问题：如下图，你能计算出各圆心角对的弧长分别是圆周长的几分子之几吗？180° 下图圆心角分别为180°、90°、45°、1°、n °探索：①圆心角是180°，占整个周角的21，因此它所对的弧长圆周长的_____________；②圆心角是90°，占整个周角的41，因此它所对的弧长圆周长的_____________；③圆心角是45°，占整个周角的_______，因此它所对的弧长圆周长的____________； ④圆心角是1°，占整个周角的________，因此它所对的弧长圆周长的____________； ⑤圆心角是n °，占整个周角的______ ，因此它所对的弧长圆周长的____________； （这里关键是1°圆心角所对的弧长是多少？进而求出n °的圆心角所对的弧长。