最新人教版初中九年级上册数学《弧长和扇形面积》导学案

《圆》第四节弧长和扇形面积导学案1【知识与技能】1、理解并掌握弧长及扇形面积的计算公式2、会利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长【过程与方法】1、认识扇形，会计算弧长和扇形的面积2、通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知识的能力【情感、态度与价值观】1、通过对弧长及扇形的面积公式的推导，理解整体和局部2、通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用【重点】弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积【难点】运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积学习过程:一、自主学习（一）复习巩固1、小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？2、我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积应怎样计算呢？（二）自主探究1、如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？BBABB2、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)．3、上面求的是110°的圆心角所对的弧长，若圆心角为n ︒，如何计算它所对的弧长呢？ 请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180︒、90︒、45︒、1︒、n ︒所对的弧长。

因此弧长的计算公式为l =__________________________4、如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形问：右图中扇形有几个？同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1︒的扇形面积是面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积 如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为S = ___ . 因此扇形面积的计算公式：S =———————— 或 S =——————————（三）、归纳总结：1、 叫扇形2、弧长的计算公式是 扇形面积的计算公式是（四）自我尝试：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。

弧长和扇形面积学习目标：知识技能：掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算数学思考：通过弧长和扇形面积公式的推导过程，发展学生分析问题、解决问题的能力情感态度：在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想学习重点：弧长，扇形面积公式的推导及应用学习难点：对图形的分析学习过程：一、复习回顾：半径为R的圆，它的周长是：L=半径为R的圆，它的面积是：S=二、合作探究：试探究下列问题：（1）圆的周长可以看作是度的圆心角所对的弧长。

（2）在同圆或等圆中，每一个 1°的圆心角所对的弧长有怎样的关系？（3） 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的。

（4） n°的圆心角所对的弧长是圆周长的。

（5）怎样计算半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长l？（6）怎样计算半径为R 的圆中，2°的圆心角所对的弧长l？（7）怎样计算半径为R 的圆中，5°的圆心角所对的弧长l？（8）怎样计算半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长l？思考：弧长由那些量决定？三、应用新知：例1、制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中所示的管道的展直长度L（结果取整数）．四、类比探究：（小组合作）1、类比弧长公式的探究过程，试推导半径为R，圆心角为n°的扇形面积S。

根据上面探究的得到的弧长l与扇形面积S的公式，你能用弧长l来表示扇形面积S吗？知识应用：例2：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位；π≈3.14，≈）．五、小结：弧长和扇形面积公式是什么？你是如何得到这两个公式的？如何运用？2、弧长与圆周长、扇形面积与圆面积之间有什么联系？六、问题与反思：七、课堂检测：（20分）1、（3分）在半径为1的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长是2、（3分）在半径为3的⊙O中，120°的圆周角所对的弧长是3、（3分）钟面上的分针长6cm，经过25分钟，分针在钟面上扫过的面积是4、（3分）一个扇形的圆心角是120°，它的面积是3πcm²，那么这个扇形的半径是5、（8分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1.则弧BD的长是多少？。

24.4弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积一、新课导入1.导入课题：情景：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.问题：怎样求一段弧的长度呢？这就是这节课我们所要研究的问题(板书课题).2.学习目标：（1）能推导弧长和扇形面积的计算公式.（2）知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相关计算.3.学习重、难点：重点：弧长公式及扇形面积公式与应用.难点：阴影部分面积的计算.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第111页的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学要求：注意公式的推导和记忆.（4）自学参考提纲：①圆的周长公式是什么？C＝2πR.②弧有长度吗？弧的长度和它所在的圆周长有何关系？圆可以看作是360度的圆心角所对的弧.1°的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？1360n°的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？n360所以在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的公式是n R lπ=180.③由弧长公式可知，一条弧的弧长l、圆心角度数n和圆半径R，在这三个量中，已知其中的两个，就可求出第三个.如已知l 和n ，则R ＝l n π180；已知l 和R ，则n ＝l R π180.④计算图中弯道的“展直长度”. 解：由弧长公式，得AB 的长l π⨯⨯=100900180≈1570(mm).因此所要求的展直长度L=2×700+1×1570=2970(mm). 2.自学：学生结合自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生：①明了学情：关注学生对弧长公式的推导和变形过程. ②差异指导：根据学情进行指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨. 4.强化：（1）弧长公式、公式的书写格式及其变形.（2）有一段弯道是圆弧形的，道长是12米，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R （精确到0.1米）.解：由n l R π=180得l R .n .π⨯==≈⨯180180128581314 (米).1.自学指导：（1）自学内容：教材第112页到第113页“练习”之前的内容. （2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：完成自学参考提纲. （4）自学参考提纲：①圆的面积公式是什么？S ＝πR 2②什么叫扇形？扇形的面积和它所在的圆的面积有何关系？ 圆的面积可以看作是圆心角为 360 度的扇形面积. 圆心角为1°的扇形的面积是圆的面积的几分之几？1360圆心角为n°的扇形的面积是圆的面积的几分之几？n 360所以在半径为R 的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S 扇形的公式是扇形＝n R S π2360.③试推导扇形的面积公式扇形S lR =12（这里的l 指扇形的弧长，R 指半径）. 扇形n R n R S R lR ππ===21136021802. ④如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（精确到0.01m 2）.a.怎样求圆心角∠AOD 的度数？在Rt △ADO 中，OD=OC-DC=0.3m,OA=0.6m.∴∠A=30°.∴∠AOD=60°.∴∠AOB=2∠AOD=120°.b.阴影部分的面积=扇形AOB 的面积-△AOB 的面积.c.写出本题的解答过程.解：如图，连接OA 、OB,作弦AB 的垂直平分线，垂足为D,交AB 于点C ，连接AC. ∵OC ＝0.6m,DC ＝0.3m,∴OD ＝OC-DC ＝0.3（m ）.∴OD ＝DC.又AD ⊥DC,∴AD 是线段OC 的垂直平分线.∴AC ＝AO ＝OC.从而∠AOD ＝60°，∠AOB ＝120°.∴扇形有水部分的面积＝＝＝（）OABOABS SS.AB?OD ....m ππ-⨯--⨯⨯≈2212011060120630302236022. 2.自学：学生结合自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生：①明了学情：了解学生在推导扇形面积公式及求例2中∠AOD 时遇到的困难情况. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨. 4.强化：（1）扇形面积公式及推导过程和公式的变形.（2）求不规则图形的面积的方法：转化为规则图形的面积和或差. （3）练习：已知正三角形ABC 的边长为a ，分别以A 、B 、C 为圆心，以12a 为半径的圆相切于点D 、 E 、F ，求图中阴影部分的面积S.解：连接AD,则AD ⊥BC, AD a =3.∴阴影扇形ABC AFEaS S S BC?AD a aππ⎛⎫⎪⎝⎭=-⨯=-⨯=-222160131233236048.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？还有什么疑惑？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的主动参与性、小组交流协作能力和状况、存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长之间的关系，推导出了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都渗透着由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，然后由学生比较两个公式时，又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是4π.2.(10分)75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在的圆半径是6cm.3.(10分)一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角是150°.4.(20分)如图是一段弯形管道，其中,∠O=∠O′=90°，中心线的两条圆弧半径都为1000mm,求图中管道的展直长度.（π取3.142）解：π⨯⨯+⨯≈901000300026142180（mm）.答：图中管道的展直长度约为6142mm.5.(20分)草坪上的自动喷水装置能旋转220°，如果它的喷射半径是20m，求它能喷灌的草坪的面积.解：()S mππ⨯⨯==222202022003609.答：它能喷灌的草坪的面积为mπ222009.二、综合应用（20分）6.(20分)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，求贴纸部分的面积.解：扇形ABCS ππ⨯⨯==212030300360(cm 2),扇形（）ADE S ππ⨯⨯-==212030201003603(cm 2),∴贴纸扇形扇形ABC ADE S S S πππ=-=-=10080030033(cm 2).答：贴纸部分的面积是π8003cm 2.三、拓展延伸（共10分）7.(10分)正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积. 解：方法一：阴影（）＝a S a a a ππ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22222122. 方法二：阴影＝a S a a ππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22241222. 答：图中阴影部分的面积为a π⎛⎫- ⎪⎝⎭212.后序亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。

24.4.2弧长和扇形面积预习案一、预习目标及范围：1.经历圆锥侧面积的探索过程.2.会求圆锥的侧面积和全面积，并能解决一些简单的实际问题预习范围：P99-100二、预习要点1、什么是圆锥的母线？2、圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面积可表示为，圆锥的全面积为。

3、圆柱的侧面展开图是什么图形？若圆柱底面圆的半径为r，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积可表示为，全面积可表示为。

三、预习检测1.若圆锥的底面半径r=4cm，高线h=3cm，则它的侧面展开图中扇形的圆心角是度。

——2.如图，若圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个展开图的圆心角是___度；圆锥底半径r与母线a的比r：a=___.3.把一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯沿母线剪开,可得一个半径为24cm,圆心角为118°的扇形.求该纸杯的底面半径和高度（结果精确到0.1cm).探究案一、合作探究活动内容1：探究1：圆锥及相关概念—圆锥的形成我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB等叫做．圆锥有无数条母线，它们都．从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是．归纳：如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,l表示圆锥的母线长,那么r、h、l之间数量关系是：填一填:根据下列条件求值（其中r、h、l分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）（1）l =2，r=1则h=_______.(2)h=3,r=4则l=_______.(3)l=10,h=8则r=_______.答案：3；5；6探究2：圆锥的侧面展开图思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？问题：1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？其侧面展开图扇形的半径=母线的长l，侧面展开图扇形的弧长=底面周长2r。

优质文档︵新人教版九年级数学上册导学案：24.4 弧长和扇形面积课题24.4弧长和扇形面积课型探究课课时1 请同学们结合圆心面积S=πR2的公式，独立完成下题：1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．……5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形______________________[来源学科网ZXXK]四、反馈提升已知如图所示, A B所在圆的半径为R，A B的长为3πR，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．五、达标测评1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．A．3πB．4πC．5πD．6π2．如图1所示，把边长为2的正方形ABC D的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（）A．1 B．πC．2D．2π(1) (2) (3)3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）A．12πm B．18πm C．20πm D．24πm总结与反思本节课应掌握：1．n°的圆心角所对的弧长L=____________2．扇形的概念．3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=__________4．运用以上内容，解决具体问题．学法指导栏学习目标[来源:Z|xx|].了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．学习重点2.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=2180n Rπ和扇形面积学习难点会应用这些公式解决一些题目．教师“复备栏”或学生“笔记栏”学习过程：一、情景引入或知识回顾请同学们回答下列问题．1．圆的周长公式是什么？__________________________________2．圆的面积公式是什么？_______________________________3．什么叫弧长？_____________________________________二、自主学习请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．2．1°的圆心角所对的弧长是_______．3．2°的圆心角所对的弧长是_______．4．4°的圆心角所对的弧长是_______．……5．n°的圆心角所对的弧长是_______．根据同学们的解题过程，我们可得到：n°的圆心角所对的弧长为__________制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即AB的长（结果精确到0.1mm）提示：要求AB的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即AB的长（结果精确到0.1mm）提示：要求AB的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．三、问题探究在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m•的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？__________________________________________________________。

数学九年级上<24.4弧长和扇形面积>导学案【学习目标】知识与技能：1、掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；过程与方法：通过弧长和扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力；情感与态度：在弧长和扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想．学习重点：弧长,扇形面积公式的导出及应用．学习难点：弧长,扇形面积公式的灵活应用．一、探究活动1：（前置性作业）已知⊙O半径为R，求圆心角n°的弧长温馨提示：圆周长C=2πR；则1°圆心角所对弧长= ；n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；所以n°圆心角所对弧长= ．探究活动2：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形面积温馨提示：圆面积S=πR2；圆心角为1°的扇形的面积= ；圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；所以圆心角为n°的扇形的面积=．探究活动3：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？请结合弧长公式和扇形的面积公式推导S扇形= l R新知盘点：预习质疑：二、合作探究：㈠交流展示㈡学以致用1.在半径为1cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长是___________。

2.在⊙O 中，如果120°的圆心角所对的弧长是ccm 34，则⊙O 的半径是___________。

3.⊙O 的半径为3cm ，弧长为2πcm 的弧所对圆心角度数是___________；9.如图80504，正方形边长为a ，弧的半径为a ，阴影部分面积为（ ）。

A 、（π-1）a 2B 、（π2 -1）a 2C 、12( π-1) a 2D 、14(π-12) a 24.如图，⊙O 的半径为10cm 。

（1）如果∠AOB=120°，求弧AB 的长及扇形AOB 的面积；（2）已知弧BC=25cm ，求∠COB 的度数。

3.9弧长及扇形的面积导学案小组名称：姓名：得分：学习目标：1、理解扇形的概念，探索弧长及扇形面积计算公式并会应用n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式解决问题；2、经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程，锻炼自己的合作、交流能力；3．应用弧长和扇形面积计算公式解决实际问题，体验数学与生活的密切联系.学习流程：一、课前预习：2．圆的面积公式是3. 概念：如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。

二、探究学习：任务一：小组合作探索弧长公式问题探索：圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．如果圆的半径为R，那么，①圆心角是1°，它所对的弧长________；②圆心角是2°，它所对的弧长_________；③圆心角是3°，它所对的弧长________；④圆心角是n°，它所对的弧长________；如果弧长为L,那么弧长的计算公式为： L=__________________________任务二：自主探究扇形面积的计算公式（1）圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积；（2）如果圆的半径为R，那么，圆心角1°的扇形面积等于；圆心角2°的扇形面积等于；圆心角3°的扇形面积等于；圆心角n°的扇形面积等于；总结：如果扇形圆心角度数为n,半径为R，那么扇形面积的计算公式为：S=__________________________任务三：你能结合弧长公式把扇形面积公式进行简化，用含L的式子表示扇形面积吗？（小组内展示交流）因此扇形面积的计算公式为：S=______________三、课后自我反思本节课的收获是什么？达标检测1.在半径为12的⊙O 中，150°的圆心角所对的弧长等于2.已知扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形有周长为3.半径为3cm ，圆心角为120°的扇形的面积为4.扇形的圆心角为120°，弧长为6πcm面积为c ㎡5.如图所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 均相离，且半径均为1，则三个扇形的的面积之和为 ；家庭作业：1.弧长等于半径的圆弧所对应的圆心角是（ ） 2．正三角形ABC 内接于半径为2cm 的圆，则AB 所对弧的长为（ ）3.已知圆弧的半径为50，圆心角为60○，则此弧的弧长为 ；4. 如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，∠AOB=120°，则阴影部分面积是（ ）5.已知圆的周长是6π，那么60°的圆心角所对的弧长是（ ）6.如右图，已知AB 为⊙O 的直径，BC 为弦，若∠A=30°，BC=2，则弧BC 的长为 ，扇形COB 的面积为7、一个扇形的弧长为20πcm ，面积是240πc ㎡，则该扇形的圆心角为 .。