2014年高考数学选择、填空压轴题分析

2014年高考数学选择、填空压轴题分析

一、选择题

[2014·安徽卷]10． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0＜r ≤|PQ |≤R ，r ＜R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )

A ．1＜r ＜R ＜3

B ．1＜r ＜3≤R

C ．r ≤1＜R ＜3

D ．1＜r ＜3＜R

10．A [解析]由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →

＝(2，2)，|OQ |＝2.

曲线C ＝{P |OP →

＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}， 即C ：x 2＋y 2＝1.

区域Ω＝{P |0

|≤R ，r

圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示．

要使C ∩Ω为两段分离的曲线，则有1

[2014·广东卷]8． 设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )

A ．60

B ．90

C ．120

D ．130

8．D [解析] 本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”考虑x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的可能取值，设集合M ＝{0}，N ＝{－1，1}．

当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有2个取值为0时，另外3个从N 中取，共有C 2523

种方法；当

x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有3个取值为0时，另外2个从N 中取，共有C 3522

种方法；

当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有4个取值为0时，另外1个从N 中取，共有C 452种方法．

故总共有C 2523＋C 3522＋C 4

52＝130种方法， 即满足题意的元素个数为130.

[2014·湖北卷] 10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝1

2

(|x －a 2|＋|x －2a 2|

－3a 2

)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )

A.⎣⎡⎦⎤－16，16

B.⎣⎡⎦⎤－66，66

C.⎣⎡⎦⎤－13，13

D.⎣⎡⎦

⎤－33，33 10．B [解析] 因为当x ≥0时，f (x )＝12

()||x －a 2＋||x －2a 2

－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，

f (x )＝12

()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2

＝－x ；

当a 2

f (x )＝12

()x －a 2＋2a 2－x －3a 2

＝－a 2；

当x ≥2a 2时，

f (x )＝12

()x －a 2＋x －2a 2－3a 2

＝x －3a 2.

综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2

，

－a 2，a 2

，x －3a 2，x ≥2a 2.

因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，

观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66

≤a ≤

6

6.故选B.

[2014·湖南卷] 10．已知函数f (x )＝x 2＋e x －1

2

(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于

y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1

e

) B ．(－∞，e)

C.⎝⎛⎭⎫－1e ，e

D.⎝

⎛⎭⎫－e ，1e

10．B [解析] 依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图像上，则Q (m ，n )在g (x )的图像上，

则有m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －

m －12

－m (m ＞0)，可得

a ∈(－∞，e)．

[2014·辽宁卷]12． 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足：

①f (0)＝f (1)＝0；

②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<1

2

|x －y |.

若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|

D.18 12．B [解析] 不妨设0≤y

当x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |＝12(x －y )≤1

4.

当x －y >12时，|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (1)－(f (y )－f (0))|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<1

2

|x －1|＋12|y －0|＝－12(x －y )＋12<14.故k min ＝1

4

.

[2014·新课标全国卷Ⅱ]12． 设函数f (x )＝3sin πx

m ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )

A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)

B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

12．C [解析] 函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝⎛⎭⎫k ＋1

2，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2

⎝⎛⎭⎫k 0＋122

＋3

的最小值为1

4

，所以只要1

4m 2＋34，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，

＋∞)．2

[2014·陕西卷]10． 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )

图1-2

A ．y ＝1125x 3－35x

B ．y ＝2125x 3－4

5x

C ．y ＝3125x 3－x

D ．y ＝－3125x 3＋1

5

x

10．A [解析] 设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图像经过点(0，

0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2＋cx .又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ，代入点(－5，2)得－125a －5c ＝2.又由该函数的图像在点(－5，