1高中数学人教A必修1课件： 奇偶性

总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：

• (二)基本知能小试
• 1．判断正误：
•(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是
偶函数．
()
•(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数
y＝f(x)一定是奇函数．
()
•(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函 数就是偶函数．( )
()
•A．－1
B．0
•C．1
D．无法确定
• 解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a ＝1.
•答案：C
• 4．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1， 则当x<0时，f(x)＝________.
• 解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－ f(x)，所以f(x)＝－x
又 f(0)＝0，所以 f(x)＝x－1x＋x－x，1，x≥x0<，0.
• 3．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x， 求函数f(x)，g(x)的解析式．
• 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
• ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
• 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2，
• [方法技巧]
• 比较大小的求解策略
• (1)若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性 比较大小．
• 3．2.2 奇偶性
明确目标
发展素养
1.理解奇函数、偶函数的定义，了解 1.借助奇(偶)函数的特征，培养直
奇函数、偶函数图象的特征．
观想象素养．
2.掌握判断函数奇偶性的方法，会根 2.借助函数奇偶性的判断方法，

[变式探究] 只将本例中的“偶”改为“奇”呢？ 解 方法一：∵函数f(x)是奇函数， ∴其图象关于原点对称，补全图象如图． 由图象可知f(1)＞f(3)． 方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)． 又函数y＝f(x)是奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)，f(－3)＝－f(3)． ∴－f(1)＜－f(3)．∴f(1)＞f(3)．
[变式探究] 把本例(2)的条件“f(－3)＝－3”换为“f(d)＝10”， 求f(－d)的值． 解 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，易知g(x)为奇函数， 所以f(d)＝g(d)＋2＝10，即g(d)＝8， 所以f(－d)＝g(－d)＋2＝－g(d)＋2＝－8＋2＝－6.
探究二 奇、偶函数的图象及应用
例2 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小． 解 方法一：∵函数f(x)是偶函数， ∴其图象关于y轴对称，补全图象如图． 由图象可知f(1)＜f(3)． 方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)． 又函数y＝f(x)是偶函数， ∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．∴f(1)＜f(3)．
探究三 函数奇偶性的简单应用
例 3 (1)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 是定义在[2b－5,2b－3]上的奇函
数，则 f12的值为(
)
A．13
B．98
C．1
D．无法确定
解析 奇函数定义域关于原点对称，∴2b－5＋2b－3＝0，即 b＝2.
又 f(x)是奇函数，故 f(－x)＋f(x)＝0，
[方法总结] 奇、偶函数图象对称性的两大应用 应用一：巧作函数图象． (1)奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称． (2)根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某 区间的部分图象，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图象问题．

一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等

1.3.2 奇偶性 第一课时 函数奇偶性的定义与判定
目标导航
课标要求
1.理解奇函数、偶函数的定义. 2.了解奇函数、偶函数图象的特征. 3.掌握判断函数奇偶性的方法.
通过本节内容的学习,使学生学会利用图象理解和研究 素养达成
函数性质,提高学生直观想象、逻辑推理的能力.
新知探求 课堂探究
新知探求·素养养成
x 1
规 得x范2=解1答,即:(x2=)由±1.1x2
x2 1
0, 0
因此函数的定义域为{-1,1},关于原点对称. ……………………4分
又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数. …6分
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞), …………………7分 不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. ………9分
所以 f(x)为奇函数. ………………………………………………12 分
变式探究:本例中函数 f(x)= 1 x2 + x2 1 可化简为 f(x)=0,则该函数既是奇 函数又是偶函数,若将函数变形为 f(x)= x 1 + 1 x ,则函数的奇偶性如何?
解:由于
x 1 1 x
0, 0,
则
x=1,故
【情境导学】 导入 函数①f(x)=x2-1,②f(x)=- 1 ,③f(x)=2x的图象分别如图所示.
x
想一想 1:(1)导入中三个函数的定义域分别是什么?它们有什么共同特点?
(R;(-∞,0)∪(0,+∞);R.关于原点对称) (2)对于导入中的三个函数计算f(-x),视察对定义域内每个x,f(-x)与f(x) 有怎样的关系? (①f(-x)=x2-1,f(-x)=f(x).

∴f(x)偶函数
∴f(x)奇函数
(3)解：定义域为{x|x≠0}，它 关于原点对称
且 f (x) x 1 (x 1) f (x)
x
x
∴f(x)奇函数
3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件
(4)解：定义域为{x|x≠0} ， 它关于原点对称
新课讲授
偶函数
图像关于y轴对称
代数特征 几何特征
首要条件：函数的定义域关于原点对称
奇函数
图像关于原点对称
代数特征 几何特征
高中数学 人教版 《奇偶 性》上 课课件1
3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件 3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件
f
(x)
1
x2
1 x2
f
(x)
∴f(x)偶函数
3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件
判断或证明函数奇偶性的基本步骤
3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件
例6、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x 4
(3) f ( x) x 1 x
(1)解：定义域为R，∵∀x∈R,
都有-x∈R，且f(-x)=(-x)4=f(x)
(2) f ( x) x5

自主质疑
问题1：我们在初中学习了轴对称图形和中心对称
图形，你能说出什么叫轴对称(中心对称)图形吗？
一个 图形
绕沿一 一个 条直点线旋翻转折118800oo与原图形重合
轴对称图形 中心对称图形
自主质疑
问题2：在同学们熟悉的函数中, 有没有哪些函数
的图象是轴对称图形或中心对称图形？请你举例 说明？
y ox
我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎 样定义偶函数？
什么是偶函数？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函 数.（代数定义）
偶函数的图象是关于y轴对称的轴称图 形.（几何特征）
合作探究（二）
考察下列两个函数和它们的图象：
(1) f (x) = x ;
y
y=1
x
o
x
y = ax2 bx c 图（1）
图（2）
自主质疑
问题3：我们从函数图象的升降变化引发了函数的
单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数 的最值，如果从函数图象的对称性出发又能获得 函数的什么性质呢？
合作探究（一）
考察下列两个函数和它们的图象：
(1) f (x) = x2 ;
yo
的定义域关于原点对称
y
4
1
-1 0 2
x
典例巩固
例1、判断下列函数的奇偶性
(1) f (x) = x 1 ；(2) f (x) = x4 - x2 ； x
(3) f (x) = x2 x；(4) f (x) = 0
例2、已知f(x)=x3-4x的一部分图像如图1，你能
根据函数的性质画出它们在y轴左侧的图像吗？
(1) f (x) = x2 ; x y o x x

f(－x)＝ f(x) 函数f(x)叫作偶函数
图象关于 y轴 对称
f(－x)＝ －f(x) 函数f(x)叫作奇函数 图象关于 原点 对 称
3
知识点聚焦：
• 二、奇偶性
定义
如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数 f(x)具有 奇偶性
图象特征 奇(偶)函数 图象关于原点或y轴对称
4
探究一 函数奇偶性的判断
∵f(x)是奇函数，
•
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)(1＋x)]＝x(1＋x)．
• 【答案】B
37
随堂训练
• 5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数且f(1)＝－2，那么f(－1)＋f(0)＝( )
•
A．－2
B．0
C．1
D．2
38
解析：
• 【解析】函数f(x)是定义域为R的奇函数且f(1)＝－2，
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首 先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f (－x)±f (x)=0或f (x) ÷f (－x)=±1来 判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
1）若函数 f（x）是定义在区间D的奇函数，则具备以下性质： a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; b.对于定义域内任意x ，都有 f(x)f(x) ； c.奇函数的图像关于原点（0, 0）对称； d.若0∈D，则 f（0）= 0; e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性.
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(3－4)＝－f(1)＝－1.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝ f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．
函数奇偶性的图象和性质
1.具有奇偶性的函数的图象的特征： 偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称．
2.应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求 出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
得f (x) x2x2 2x2,xx,x0,0，, 画出函数f(x)的图像，如图：
观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故 函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．故选C.

答案：(1) 偶 ;
(2) 奇 ;
(5) 非奇非偶 ;
(3) 奇 ;
(4) 偶.3 函数的奇偶性
思维篇
知识篇
素养篇
1.已知f(x)=ax3-bx+4(a,b∈R), f(m)=5, 则
f(-m)=
.
解：令g(x)=ax2-bx，易知
g(-x)=-g(x)
又 g(m)= f(m)-4=1,
x
例如，函数 f(x)=x3就是奇函数.
练一练
1.奇函数f(x)的定义域是(2t-3, t)，则t=
答案：t = 1
.
练一练
2.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x4;
(2)f(x)=x5;
1
(3)f(x)=x+ ;

1
(4)f(x)= 2;

(5)f(x)=x-1;
(6)f(x)=x2 , x∈[-3, 7].
所以 f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x)
当x>1时，-x<-1, 由
所以f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x)
从而对于定义域内任意x，都有f(-x)=f(x) ；
故函数是偶函数.
6.判断下列函数的奇偶性：
( + 5)2 − 4 , ( < −1)
(1) f(x)=
( − 5)2 − 4 , ( > 1)
(2) f(x)= + − − (a∈R)
分
类
讨
论
解：(2)定义域为R，
当a≠0时，f(-x)=-f(x)
函数f(x)= + − − 是奇函数；

练一练
2.设函数 f (x) x2 (a 1)x a 为奇函数，则实数 a ( ) x
√A.-1
B.1
C.0
D.-2
根据题意，函数 f (x) x2 (a 1)x a 为奇函数，则有 f (x) f (x) 0 ，即 x
x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 0 ，变形可得 (a 1)x 0 ，则有 a 1.故选 A.
练一练
1
4. f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) x3 1 ，则 f (8) ( )
√A.-1
B.0
C.1
D.2
本题考查根据函数的奇偶性求值.因为 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，所以
f
(8)
f
(8)
1 83
1
1 .故选
A.
1.偶函数的定义 2.奇函数的定义
x
1 x
x
1 x
f
(x)
，
所以，函数 f (x) x 1 为奇函数.
x
(4)函数
f
(x)
1 x2
的定义域为 {x∣x
0} .因为 x {x∣x
0} ，
都有 x {x∣x
0} ，且
f (x)
1 (x)2
1 x2
f
(x) ，
所以，函数 f (x) 1 为偶函数.
x2
练一练
1.设函数 f (x) 的定义域为 R，且 f (x 2) 为偶函数， f (2x 1) 为奇函数，则( )
x
3
g(2) 1 g(2), g(1) 1 g(1). 2
实际上， xR 且 x 0 ，都有 g(x) 1 g(x) .

y
y
0
x
0
x
1.这两个图像有什么共同特征？ 2.自变量与函数值之间存在什么关系？ D:\y=x.gsp
D:\2图像.gsp
2020/7/16
15
类比迁移：
3.仿照偶函数概念的形成，给出奇函数的定义：
• 奇函数：设函数 都有 ，且
的定义域为 ，如果对 内的任意一个 ，
,则这个函数叫奇函数.
奇函数图像关于原点对称
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16
思考：
奇函数若在原点处有定义，f(0)=？ 奇函数若在原点处有意义，则一定有f(0)=0
2020/7/16
17
随堂练习：
1.判断下列函数是否为奇函数？ （1）
（2）
（3）
2.已知函数
为奇函数，则
m=_______.
2020/7/16
18
对于奇、偶函数定义的几点说明:
（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。
2020/7/16
13
类比迁移：
观察函数
与函数
并完成P34的函数值对应表.
的图像
2020/7/16
14
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2 … -3 -2 -1 0
1
23
…
f(x)=2-｜ … x｜
1 1 -1 32
/
1
1 2
1… 3
(2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。
（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。

(3)∵定义域为[－1，2]且定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)＝x2＋x＋1的定义域为R，∀x∈R都有－x∈R且f(－x)＝x2－x＋1， ∴f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)． ∴f(x)为非奇非偶函数．
(5)由x2－1≠0，得x≠±1，
∴f(x)＝
1 x2－1
【分析】 讨论函数的奇偶性首先要确定函数的定义域，如果定义域不关 于原点对称，那么可判定为非奇非偶函数，如果定义域关于原点对称，那么看 f(－x)＝±f(x)(或f(－x)±f(x)＝0)是否成立．
【解析】 (1)f(x)的定义域为R，∀x∈R，都有－x∈R，
且f(－x)＝－x5－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)如图2是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为 __f(_3)_>_f(_1)__．
【解析】 ∵偶函数f(x)满足f(－3)>f(－1)， ∴f(3)>f(1)．
(3)已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所
有实根之和是( D )
课后巩固
1．函数f(x)＝x2＋ x的奇偶性为( D )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称．
2．【多选题】下列函数中是偶函数的是( AD )
A．y＝x4－3
B．y＝x2，x∈(－3，3]
C．y＝－x－3x
D．y＝x2－1 1
3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)( B )
探究2 (1)如果函数图象经过原点，那么此函数不论是奇函数还是偶函数， 其图象与x轴的交点个数必为奇数．如果函数图象不经过原点，那么此函数不论 是奇函数还是偶函数，其函数图象与x轴的交点个数必为偶数．

么f(2)等于________．
【点拨】可设F(x)＝f(x)＋8为奇函数，即本题利用了 F(2)＋F(－2)＝0.
第十九页，共27页。
互动探究1 在本例中，若f(m)＝10，则f(－m)＝ ________. 解析：令F(x)＝f(x)＋8，则 F(m)＋F(－m)＝0， ∴f(m)＋8＋f(－m)＋8＝0， ∴f(－m)＝－f(m)－16＝－10－16＝－26.
第十页，共27页。
二、函数奇偶性和单调性的关系：
例：P39.B组3题
结论：
(1)如果函数f(x)是一个奇函数,那么它在关于原点对 称的区间上的单调性是相同的.
(2)如果函数f(x)是一个偶函数,那么它在关于原点对 的区间上的单调性是相反的.
练习：试卷选择题2.3
第十一页，共27页。
三、判断函数奇偶性的步骤：
解：设 x>0，则－x<0， ∴f(x)＝f(－x)＝－x(2＋x)， 又 f(0)＝0，
x2－x x<0
∴f(x)＝0 x＝0
.
－x2＋x x>0
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3 .已f(知 x)是奇x 函 0 时 数 f(， x)， x(1x), 求x 当 0 时 f(x)的解 . 析式
4.已知f(偶 x)满 函 x 足 0时 数 f(x)x2x, 则 f( 1)6 ___
【点拨】 此类问题的一般做法是： ①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪
个区间内． ②要利用已知区间的解析式进行代入．
③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出 f(x)．
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互动探究 若将题设中的“f(x)是奇函数”改 为“f(x)是偶函数，f(0)＝0”，其他条件不变，则 f(x)的解析式又是什么？

定义域关于原点对称
如果函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对
称图形；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
如果函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心
的中心对称图形；若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数.
人教A版同步教材名师课件
函数的奇偶性
---函数奇偶性的应用
探究新知

; ()()
−
= − ||; ()() =
−
.
|+|−
思路
分析
本题考查利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性.解题的关键是确定函数的定
义域是否关于原点对称，然后化简函数解析式，验证()与 − 的关系.
解析
(1)∵函数()的定义域是{| ≠ 1}，关于原点不对称，
解析
(1)函数的定义域为{| ≠ 0} ，关于原点对称，对于定义域内的每一个都有(−) =
1
1
3
3
− − = − − = −()，从而函数()为奇函数.
−

(2) 函 数 的 定 义 域 为 R ， 关 于 原 点 对 称 ， 对 于 定 义 域 内 的 每 一 个 都 有 − =

的图象,有什么共同特征么？

两个函数图象都关于原点成中心对称图形.
探究新知
奇函数
一般地，设函数()的定义域为 ，如果∀ ∈ ，都有
− ∈ ，且 − = −()，那么函数()就叫做奇函数
(odd function).
典例讲解
例1.判断下列函数的奇偶性：
()() =
∴()既不是奇函数也不是偶函数.
(2) ∵函数()的定义域是R，关于坐标原点对称.

1234
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？ [提示] 正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶 函数，其图象关于y轴对称． 正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
√
√
[跟进训练] 3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y ＝f (x)的图象是( )
A
√B
C
D
B 由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称． 由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．
【例1】 求下列函数的周期： (2)f (x)＝|sin x|． [解] 法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|， ∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)， ∴f (x)的最小正周期为π． 法二(图象法)： 作出函数y＝|sin x|的图象如图所示． 由图象可知T＝π．
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
学 1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周 习 期．(数学抽象、逻辑推理) 任 2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能 务 正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
1．求下列函数的最小正周期： (3)y＝|cos x|，x∈R． [解] y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π．
反思领悟 1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称． 二看f (x)与f (－x)的关系． 2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式 化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．

1.偶函数的定义域关于 原点 对称；
2.偶函数的表达式满足： f x f x ．
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
例题讲解 例 1.在你所了解的函数中，举一个函数是偶函数的例子，并说明理由.
解：如 f x 3x2 1. 1. f x 3x2 1的定义域为 R. 2. f x 3x2 1 3x2 1 f x . 所以 f x 3x2 1为偶函数.
答案：函数 f x 的图象关于原点中心对称，则其函数的表达式满足： f x f x．
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
学习新知——奇函数
奇函数：一般地，设函数 f x 的定义域为 I，如果 xI ，都有 x I ，且 f x f x ，那么函数 f x 就叫做奇函数（odd function）．
问题：既为奇函数，也为偶函数的函数有多少个? 答案：无数个.
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册修函第数一的册基 函本数性的质 基—本—性奇 质偶第性课3 课件时— —奇偶 性课件 （共12 张ppt）
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册修函第数一的册基 函本数性的质 基—本—性奇 质偶第性课3 课件时— —奇偶 性课件 （共12 张ppt）
课堂小结Βιβλιοθήκη 函数的奇偶性与判断方法奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶 性应先明确它的定义域是否关于原点对称.
再判断是否有 f x f x 0 或 f x f x 0 .
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【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
偶函数 偶函数
代数特征 图像关于y轴对称 几何特征
定义中，
的常见变形有：
奇函数 画出函数
同的特征？
和函数
的图像并视察，你能发现什么共
可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.也就是说，当自变量取互为 相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即
函数是奇函数.
(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数
在
y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的
图像如图所示.
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】 （1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果 奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就 是单调增函数.
对于
，有
对于
，有
奇函数
【定义】一般地，设函数
的定义域为A，如果对于
，都有
，
且
，即 的图像关于原点成中心对称，那么就称
为奇函数.
常见的偶函数有
，
,
等等
【思考】对于定义在R上的函数 函数是奇函数吗？
【答】不一定.因为 所以不一定是奇函数.
，若 并不能保证所有的
，那么这个 ，
奇函数 【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式：
，即 的图像关于y轴对称，那么就称 为偶函数.
常见的偶函数有
，
等等
【思考】对于定义在R上的函数 是偶函数吗？
，若
，那么这个函数
【答】不一定.因为 以不一定是偶函数.