【第14课时平抛运动】考点三 平抛运动中的临界问题(

高考重点难点热点快速突破运动性质：平抛运动是加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线研究方法：平抛可以分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动平抛运动与日常生活联系紧密，如排球（网球）运动模型、飞镖、射击、飞机投弹模型等，这些模型经常受到边界条件的制约，如排（网）球是否触网或越界、飞镖是否能击中靶心、飞机投弹是否能命中目标等，解题的关键是画出草图，寻找临界条件。

此类试题题型全面，既有选择题，也有计算题，难度中等.解题中用到了平抛规律解题：【例1】(2017·杭州一模)体育课上同学们进行了一项抛球入框游戏，球框(框壁厚忽略不计)紧靠竖直墙壁放在水平地面上，如图所示，某同学将球(可视为质点)正对竖直墙壁水平抛出并投入框中，球框高度和球框左侧壁离墙壁的距离均为L＝0.4 m，球的抛出点离地面的高度H＝1.2 m，离墙壁的水平距离d＝2.0 m，球与墙壁碰撞前后瞬间速度大小相等，方向关于墙壁对称，求：g＝10 m/s2，空气阻力不计，求：(1)为使球落入框中，球抛出时的最小速度；(2)为使球落入框中，球与墙壁碰撞的最高点离地面的高度；(3)若水平抛出的高度可以任意调整，为让小球入框口时的动能最小，则球水平抛出时的高度．答案 (1)4 m/s (2)0.64 m (3)y ＝1.2 m 时取最小值(2)设球与墙壁碰撞的最高点离地面的高度为h max ，运动到墙壁的时间为t′，反弹到左上角的时间为t ，根据平抛运动的分位移公式，由对称关系，有d ＋L ＝v max t H －L ＝12gt 2解得：v max ＝6 m/s从抛出到碰撞到墙壁过程，有： v max t′＝d h max ＝H －12gt′2联立解得：h max ＝1.2 m －59m≈0.64 m【例2】 如图所示，窗户上、下沿间的高度H ＝1.6 m ，墙的厚度d ＝0.4 m ，某人在离墙壁距离L ＝1.4 m 、距窗户上沿h ＝0.2 m 处的P 点，将可视为质点的小物件以水平速度v 抛出，小物件直接穿过窗户并落在水平地面上，取g ＝10 m/s 2.则v 的取值范围是( )A ．v >7 m/sB ．0<v <2.3 m/sC ．3 m/s<v <7 m/sD ．2.3 m/s<v <3 m/s 【答案】C【解析】：小物件做平抛运动，恰好擦着窗户上沿右侧穿过时v 最大，此时有L ＝v max t ，h ＝12gt 2，解得v max ＝7 m/s ，恰好擦着窗户下沿左侧穿过时速度v 最小，则有L ＋d ＝v min t ′，H ＋h ＝12gt ′2，解得v min ＝3 m/s ，故v 的取值范围是3 m/s<v <7m/s ，故选C.【例3】．如图所示为足球球门，球门宽为L .一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)．球员顶球点的高度为h .足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )A ．足球位移的大小x ＝ L24＋s 2B ．足球初速度的大小v 0＝ g 2h L 24＋s 2C ．足球末速度的大小v ＝g 2h L 24＋s 2＋4gh D ．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L 2s【答案：】B专题练习1.(多选)(2017年石家庄模拟)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，恰好垂直斜面击中Q点．不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )A．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tanθ＝2tanφB．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tanφ＝2tanθC．小球A、B在空中运动的时间比为2tan2θ∶1D．小球A、B在空中运动的时间比为tan2θ∶1【答案】BC2. (2017年唐山模拟)如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )A．1∶1 B．2∶1C．3∶2 D．2∶3【答案】：C【解析】小球A、B从同一高度平抛，到斜面上的C点经历的时间相等，设为t，由题意可得：tan30°＝12gt2v1t，tan30°＝v2gt，解得v1∶v2＝3∶2，C正确．3．(2017年山东青岛模拟)如图所示是研究平抛运动的实验装置，正方形白纸ABCD贴在方木板上，E、F、H是对应边的中点，P是EH的中点．金属小球从倾斜轨道上由静止开始下滑，从F点开始做平抛运动，恰好从C点射出．以下说法正确的是( )A．小球的运动轨迹经过P点B．小球的运动轨迹经过PH之间某点C．若将小球在轨道上的释放高度降低34，小球恰好由E点射出D．若将小球在轨道上的释放高度降低34，小球恰好由BE中点射出【答案】：C4.(2017·江苏二模)如图所示，平板MN和PQ水平放置，O、M、P在同一竖直线上，且OM＝MP＝h，PQ长为h，MN明显比PQ短，从O点水平向右抛出一个小球，落在MN上反弹前后水平分速度不变，竖直方向分速度等大反向，结果小球刚好落在Q点，则小球从O点抛出的初速度为( )A．(2＋1)gh B．(2－1)ghC.2＋12gh D.2－12gh【答案】 D【解析】小球的运动轨迹如图所示，5．(2017·孝义市一模)如图所示，质量为1 kg的小球从距地面h＝1.6 m的A点水平抛出，恰好垂直撞在固定在水平面上的半圆形物体上的B点，圆半径为1 m，已知BO与竖直方向间的夹角θ＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )A．圆心O与A点间的水平距离为2 mB．小球平抛的初速度υ0为3 m/sC ．小球运动到B 点时重力的瞬时功率为60 WD ．小球从A 运动到B 的时间为0.6 s 【答案】 B 【解析】A 、D 项，恰好垂直撞在水平面上半圆形轨道的B 点，B 点速度分解如图所示，由几何关系，得tan(90°－37°)＝v yv 0①竖直方向上物体做自由落体运动则：h －Rco s37°＝12gt2②半圆形轨道的圆心与A 点的水平距离为x′＝x ＋Rsin37°＝v 0t ＋0.6R ③ ①②③联立，得x′＝1.8 m ，t ＝0.4 s ．故A 项错误，D 项错误； B 项，由①②联立得：小球平抛的初速度为v 0＝3 m/s ，故B 项正确；C 项，根据图，由几何关系，可得v y ＝gt ＝4 m/s ，由P ＝Fv ，得P ＝mgv y ＝1×10×4 W ＝40 W ，故C 项错误．6．如图，长、宽、高分别为2L 、L 、h 的长方形盒子固定在水平地面上，M 为盒子右侧底边中点，O 为地面上一点，OM 间距为L ，且与盒子右侧底边垂直．一小球(可视为质点)从O 点正上方相距3h 处水平抛出，若抛出的速度大小和方向合适，小球可以不和盒子有任何接触直接落在盒子底面上，则小球平抛速度的最大取值范围为( )A ．L g4h <v<L 5g 6hB ．L g4h <v<L 2g 3h C ．L g6h <v<L 5g 6hD ．Lg6h<v<L 2g 3h【答案】 A7.在教学楼的楼梯口，有如图所示的0、1、2、3、…、k级台阶，每级台阶的长为30 cm，高为15 cm.某同学从第0级台阶的边沿以v0＝5 m/s的速度水平抛出一小球，不计一切阻力，g取10 m/s2，则小球将落在第几级台阶上( )A．7级 B．8级C．9级 D．10级【答案】：C【解析】：8.如图所示，正方形ABCD 在竖直平面内，AD 水平，分别从A 点和D 点以速度v 1、v 2各平抛一个小球，两小球均能经过AC 上的E 点，且从D 点抛出的小球经过E 时的速度方向与AC 垂直，不计空气阻力．则下列说法正确的是( )A ．两小球到达E 点所用时间不等B ．两小球从抛出点到E 点的速度变化不相同C ．两小球的初速度大小关系为：v 2＝2v 1D ．若v 1、v 2取合适的值，则E 可以是AC 的中点 【答案】 C【解析 】A 点和D 点到E 点的竖直距离相等，所以两小球到达E 点所用的时间相等，A 项错误．两小球均做平抛运动，加速度相同，所用时间相等，由g ＝Δv/Δt 可知，两小球从抛出点到E 点的速度变化Δv 相同，B 项错误．根据题述，从D 点抛出的小球经过E 时的速度方向与AC 垂直，可知v 2＝gt ，设DE 的水平距离为x ，竖直距离为y ，由平抛运动规律，x D ＝v 2t ，y ＝12gt 2，联立解得x D ＝2y ，而x A ＝y ＝v 1t ，所以，两小球的初速度大小关系为：v 2＝2v 1，C 项正确．无论v 1和v 2取何值，要使从D 点抛出的小球经过E 时的速度方向与AC 垂直，E 都不可以是AC 的中点，D 项错误．9．(2017·嘉庆模拟)(多选)如图所示，水平地面的上空有一架飞机在进行投弹训练，飞机沿水平方向做匀加速直线运动．当飞机飞过观察点B 点正上方A 点时投放一颗炸弹，经时间T 炸弹落在距观察点B 正前方L 1处的C 点，与此同时飞机投放出第二颗炸弹，最终落在距观察点B 正前方L 2处的D 点，且L 2＝3L 1，空气阻力不计．以下说法正确的有( )A ．飞机第一次投弹时的速度为L 1TB ．飞机第二次投弹时的速度为2L 1TC ．飞机水平飞行的加速度为L 1T2D ．两次投弹时间间隔T 内飞机飞行的距离为4L 13【答案】 AD10．(2017年青岛测试)如图所示，水平屋顶高H ＝5 m ，围墙高h ＝3.2 m ，围墙到房子的水平距离L ＝3 m ，围墙外空地宽x ＝10 m ，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g 取10 m/s 2.求：(1)小球离开屋顶时的速度v 0的大小范围； (2)小球落在空地上的最小速度．【答案】（1）5 m/s≤v 0≤13 m/s （2）5 5 m/s(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小．竖直方向：v 2y ＝2gH又有v min ＝v 202＋v 2y代入数据解得：v min ＝5 5 m/s11．(2017·安徽学业考试)如图所示，练习雪道由倾斜部分AB 段和水平部分BC 段组成，其中倾斜雪道的倾角θ＝45°，A 处离水平地面的高度H ＝5 m ．运动员每次练习时在A 处都沿水平方向飞出，不计空气阻力．取g ＝10 m/s 2.(1)求运动员在空中运动的最长时间t m . (2)求运动员要落在AB 段，求其在A 处飞出时的最大速度v m 大小．(3)运动员在A 处飞出的速度为v ，当其落到BC 段时，速度方向与竖直方向的夹角为α，试通过计算画出tanα－v 图像．【答案】 (1)1 s (2)5 m/s (3)见解析(3)运动员到达BC 段时，下落的时间是1 s ，则落地时竖直方向的分速度：v y ＝gt m ＝10×1 m/s ＝10 m/s运动员到达BC 的过程中水平方向的分速度不变，到达B 点的水平方向的分速度为5 m/s ，所以到达B 点时速度方向与竖直方向的夹角满足：tanα＝v m v y ＝510＝12在BC 段：tanα＝v v y ＝110v 所以画出tanα－v 图像如图．。

平抛运动临界问题平抛运动是指一个物体在不受外力影响下，沿着一个水平方向进行抛掷的运动。

在平抛运动中，物体受到重力的作用而向下做加速运动，而在水平方向上则保持匀速直线运动。

当物体的初速度和抛掷角度确定时，我们可以通过解析的方法来求解物体的最大高度、最大飞行距离以及落地处的速度等问题。

问题描述一个足球运动员以θ的角度用力将足球从地面上以v0的初速度抛出。

为了使足球能够在某一距离d处接触地面，求抛出足球时的最小速度v0。

解题思路根据平抛运动的基本公式，可以得到足球在竖直方向的运动方程为：ℎ=v0sinθt−gt2 2其中，ℎ是足球抛出后的最大高度，g是重力加速度，t是足球从抛出到落地所需的时间。

当足球接触地面时，ℎ的值为0，即：0=v0sinθt−gt22 ⇒ v0sinθt=gt22将t表示为：t=2v0sinθg代入求解接触地面的位置d与时间t的关系：d=v0cosθ⋅t ⇒ d=v0cosθ⋅2v0sinθg化简得到：d=2v02sinθ⋅cosθg将上述方程转化为关于v0的二次方程形式：v02sin2θ−gd2=0解二次方程，并根据物理意义得到一个物理解：v 0=√gd 2sin2θ该解即为足球抛出时的最小速度。

示例计算假设 d =50 m ，θ=45∘，g =9.8 m/s²，代入上述公式可得：v 0=√9.8×502sin90∘≈22.142≈11.07 m/s 因此，足球抛出时的最小速度为约 11.07 m/s 。

总结本文使用物理学中的平抛运动公式，通过计算和代数运算的方法，解决了一个关于平抛运动临界问题的例题。

通过该例题，我们了解到通过解析方法可以推导出平抛运动的高度和水平距离与初速度和抛射角度之间的关系，并使用这个关系来解决实际问题。

平抛运动的临界问题平抛运动的临界问题，解决这类问题有三点：1.是明确运动平抛运动的基本性质公式；基本规律及公式:①速度：，合速度方向：tanθ=②位移x=vot y=合位移大小：s=方向：tanα=③时间由y=得t=（由下落的高度y决定）④竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

2.是确定临界状态；3.是确定临界轨迹——在轨迹示意图寻找出几何关系。

模型讲解：(排球不触网且不越界问题)模型简化（运动简化）：将排球看成质点，把排球在空中的运动看成平抛运动。

问题：标准排球场场总长为l1=18m，宽l2=9m女排网高h=2.24m如上图所示。

若运动员在3m线上方水平击球，则认为排球做类平抛运动。

分析方法：设击球高度为H，击球后球的速度水平为v0。

当击球点高度为H 一定时，击球速度为υ1时恰好触网；击球速度为υ2时恰好出界。

当击球点高度为h时，击球速度为υ时，恰好不会触网，恰好不会出界，其运动轨迹分别如下图中的（a）、（b）、（c）所示。

如图（a）、(b)当击球点高度为H一定时，要不越界，需飞行的水平距离由于结论：1 若H一定时，则v0越大越易越界，要不越界，需2 若v0一定时，则H越大越易越界，越不越界，需如图（c）要不触网，则需竖直高度：水平距离：以上二式联立得：结论：1) 若H一定（）时，则v0越小，越易触网。

要不触网，需2) 若v0一定时，则H越小，越易触网。

要不触网，需总结论：1 当H一定时，不触网也不越界的条件是：（即当H一定时，速度太大太小均不行，太小会触网，太大又易越界）2 若v0一定时，且v0在之外则无论初速度多大，结果是或越界或触网。

简言之：时，无论初速度多大，结果是或越界或触网。

例：如图所示，排球场总长为18m，设网的高度为2m，运动员站在离网3m远的线上正对网前竖直向上跳起把球垂直于网水平击出。

(g＝10)（1）设击球点的高度为2.5m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界。

平抛运动临界问题平抛运动受到某种条件的限制时就构成了平抛运动的临界问题，其限制条件一般有水平位移和竖直高度两种。

求解这类问题的关键是确定临界轨迹，当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受竖直高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到竖直高度端点的一条抛物线。

确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。

审题技巧1.有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。

2.若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。

3.若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。

解题技巧1. 分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件。

2. 求解平抛运动中的临界问题的关键(1)确定临界状态．确定临界状态一般用极限法分析，即把平抛运动的初速度增大或减小，使临界状态呈现出来．(2)确定临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图．画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，更可以使有些隐藏于问题深处的条件暴露出来．【典例1】在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的两个球，球1和球2，如图所示，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是()A．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率B．球1的速度变化率小于球2的速度变化率C．球1的飞行时间大于球2的飞行时间D．过网时球1的速度大于球2的速度【答案】AD【解析】乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动。

重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v2＝2gh得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A 正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相等，B 错误；由h ＝12gt 2可得两球飞行时间相同，C 错误；由题图可知，球1的水平位移较大，由x ＝vt 可知，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D 正确。

[A组·基础题]1. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是( )A. 5 rad/s B． 3 rad/sC．1.0 rad/s D．5 rad/s2. 一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M与m(M＞m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l(l＜R)的轻绳连在一起，如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间接线刚好沿半径方向拉直，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超过( )A.μ(M－m)gml B．μ(M－m)gMlC.μ(M＋m)gMl D．μ(M＋m)gml3. (2019·河南中原名校考评)如图所示，半径分别为R、2R的两个水平圆盘，小圆盘转动时会带动大圆盘不打滑的一起转动．质量为m的小物块甲放置在大圆盘上距离转轴R处，质量为2m的小物块放置在小圆盘的边缘处．它们与盘面间的动摩擦因数相同，当小圆盘以角速度转动时，两物块均相对圆盘静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )A ．二者线速度大小相等B ．甲受到的摩擦力大小为14mω2RC ．在ω逐渐增大的过程中，甲先滑动D ．在ω逐渐增大但未相对滑动的过程中，物块所受摩擦力仍沿半径指向圆心4. (2018·广东七校联考)如图所示，半径为R 的圆轮在竖直面内绕O 轴匀速转动，轮上A 、B 两点各粘有一小物体，当B 点转至最低位置时，此时O 、A 、B 、P 四点在同一竖直线上，已知：OA ＝AB ，P 是地面上的一点．此时A 、B 两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点．不计空气阻力，则OP 的距离是( )A.76RB ．52RC ．5RD ．7R5．(多选) 水平面上有倾角为θ、质量为M 的斜面体，质量为m 的小物块放在斜面上，现用一平行于斜面、大小恒定的拉力F 作用于小物块上，绕小物块旋转一周，这个过程中斜面体和小物块始终保持静止状态．下列说法中正确的是( )A ．小物块受到斜面的最大摩擦力为F ＋mg sin θB ．小物块受到斜面的最大摩擦力为F －mg sin θC ．斜面体受到地面的最大摩擦力为FD ．斜面体受到地面的最大摩擦力为F cos θ6．(多选) (2018·山西省吕梁市期中)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )A．小球通过最高点时的最小速度v min＝g(R＋r)B．小球通过最高点时的最小速度v min＝0C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力7. 如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L ＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g取10 m/s2.求：(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；(2)小球落在空地上的最小速度．[B组·能力题]8. (多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块B到轴的距离为物块A到轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐慢慢增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( )A．A受到的静摩擦力一直增大B．B受到的静摩擦力先增大后保持不变C．A受到的静摩擦力先增大后减小再增大D．B受到的合外力先增大后保持不变9. (多选)(2016·浙江卷)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( )A．在绕过小圆弧弯道后加速B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s10．如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图，参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道．选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间．11. (2017·河南开封模拟)如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l＝0.60 m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0＝3.0 m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(取重力加速度g＝10 m/s2)。

平抛运动临界问题典型例题平抛运动是指一个物体在水平方向上以一定的初速度抛出后，在重力作用下在竖直方向上做自由落体运动的过程。

临界问题是指当物体以一定的初速度抛出时，求解它的最大高度、飞行时间以及最大水平距离等相关参数的问题。

下面是一个典型的平抛运动临界问题例题，我将从多个角度进行全面解答。

例题：一个物体以初速度v0 = 20 m/s沿着水平方向抛出，求解它的最大高度、飞行时间以及最大水平距离。

解答：1. 最大高度：在平抛运动中，物体的竖直运动与水平运动是独立的。

在竖直方向上，物体受到重力的作用，在水平方向上，物体的速度保持不变。

因此，最大高度发生在物体竖直速度为零的时刻。

首先，我们需要知道物体的竖直初速度和竖直加速度。

竖直初速度为0，竖直加速度为重力加速度g ≈ 9.8 m/s^2。

使用竖直运动的运动学公式，v = u + at，其中v为最终速度，u为初速度，a为加速度，t为时间。

将v取为0，u取为20 m/s，a取为-9.8 m/s^2，代入公式，解得t = 2.04 s。

再使用竖直运动的位移公式，s = ut + 1/2at^2，其中s为位移。

将u取为20 m/s，t取为2.04 s，a取为-9.8 m/s^2，代入公式，解得s = 20.4 m。

所以，最大高度为20.4 m。

2. 飞行时间：飞行时间是指物体从抛出到落地所经过的时间。

在平抛运动中，物体的水平速度保持不变，所以飞行时间等于物体竖直运动的时间。

根据上面的计算结果，飞行时间为2.04 s。

3. 最大水平距离：最大水平距离是指物体从抛出到落地时在水平方向上的位移。

在平抛运动中，水平方向上的速度保持不变，所以最大水平距离等于水平速度乘以飞行时间。

水平速度为20 m/s，飞行时间为2.04 s，所以最大水平距离为40.8 m。

综上所述，当一个物体以初速度v0 = 20 m/s沿着水平方向抛出时，它的最大高度为20.4 m，飞行时间为2.04 s，最大水平距离为40.8 m。

平抛运动的图像问题、相遇问题、临界问题、与圆周运动结合问题特训目标特训内容目标1平抛运动的图像问题(1T-4T)目标2平抛运动的相遇问题(5T-8T)目标3平抛运动的临界问题(9T-12T)目标4平抛运动与周期性圆周运动相结合问题(13T-16T)【特训典例】一、平抛运动的图像问题1如图所示为在探究平抛运动的实验中，某实验小组测得了物体水平方向位移随时间变化的x-t图像和竖直方向速度随时间变化的v y-t图像。

对于物体在0.5s内的运动，下列说法正确的是()A.物体在水平方向上做匀加速直线运动B.物体在竖直方向上下落的高度约为2.5mC.物体在水平方向上的速度大小约为1.5m/sD.物体在相等时间内的速度变化量不断增大【答案】C【详解】A C．由x-t图像知，物体在水平方向的运动为匀速直线运动，速度大小约为1.5m/s，故A项错误，C项正确；B．由v y-t图像知，物体在竖直方向做匀加速直线运动，加速度大小约为10m/s2，图像与t轴围成的面积表示位移，则下落高度约为1.25m，故B项错误；D．物体运动过程中，加速度恒定，则相等时间内的速度变化量相同，故D项错误。

故选C。

22023年1月29日，在德国举行的跳台滑雪世界杯女子大跳台比赛中，中国选手刘奇获得第8名，这是我国跳台滑雪选手近十年来在世界杯赛事中取得的最好成绩．跳台斜坡与水平面的夹角为θ，滑雪运动员从斜坡的起点A点水平飞出，当初速度为v0时，运动员恰好落到斜面底端B点，做平抛运动的飞行时间为t0，如图所示．现运动员以不同的初速度v从该斜坡顶端向左水平飞出，下面分别画出了运动员做平抛运动的初速度v和飞行时间t关系的图像，其中正确的是()A. B.C. D.【答案】A【详解】若v >v 0，则运动员水平飞出后落在平面上，其运动时间均相等，不会随v 变化；若v <v 0，则运动员落在斜面上．设运动员运动时间为t ，则其水平位移x =vt 竖直位移h =12gt 2；tan θ=hx解得v =gt2tan θ∝t 故选A 。

尖子生的自我修养系列(一)曲线运动中的一个难点——双临界问题(细化题型)平抛运动和圆周运动是两种典型的曲线运动模型，均是高考的重点，两者巧妙地结合对学生的推理能力提出更高要求，成为高考的难点。

双临界问题能有效地考查学生的分析能力和创新能力，从而成为高考命题的重要素材。

下面分三类情况进行分析。

[例1] [多选](2020·将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用刀片飞快地削下一片片很薄的面片儿，面片便水平飞向锅里，若面团到锅上沿的竖直距离为0.8 m ，面团离锅上沿最近的水平距离为0.4 m ，锅的直径为0.4 m 。

若削出的面片能落入锅中，则面片的水平初速度可能是(g ＝10 m/s 2)( )A ．0.8 m/sB ．1.2 m/sC ．1.8 m/sD ．3.0 m/s【解析】水平飞出的面片发生的运动可看成平抛运动，根据平抛运动规律，水平方向：x ＝v 0t ①，竖直方向：y ＝12gt 2 ②，其中水平位移大小的范围是0.4 m≤x ≤0.8 m ，联立①②代入数据解得1 m/s≤v 0≤2 m/s ，故B 、C 项正确。

【答案】BC[方法规律] 解决平抛运动中双临界问题的一般思路(1)从题意中提取出重要的临界条件，如“恰好”“不大于”等关键词，准确理解其含义。

(2)作出草图，确定物体的临界位置，标注速度、高度、位移等临界值。

(3)在图中画出临界轨迹，运用平抛运动的规律进行解答。

[集训冲关]1．(2020·济南模拟)套圈游戏是一项很受欢迎的群众运动，要求每次从同一位置水平抛出圆环，套住与圆环前端水平距离为3 m 的20 cm 高的竖直细杆，即为获胜。

一身高1.7 m 的人从距地面1 m 高度水平抛出圆环，圆环半径为8 cm ，要想套住细杆，他水平抛出圆环的速度可能为(g 取10 m/s 2)( ) A ．7.4 m/s B ．7.8 m/s C ．8.2 m/s D ．8.6 m/s 【解析】选B 根据h 1－h 2＝12gt 2得，t ＝2(h 1－h 2)g＝2×(1.0－0.2)10s ＝0.4 s 。