浙江省2018年中考数学复习函数实际应用题类型二最值类针对演练

二次函数性质综合题类型一 二次项系数确定型1.已知二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5.（1）若该二次函数图象关于y 轴对称，写出它的图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象的顶点在第一象限，求m 的取值范围．解：(1)∵二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5的图象关于y 轴对称，∴x =22m --=0， 解得m =0， ∴二次函数为y =x 2-5，∴顶点坐标为（0，-5）；(2)y =x 2-2mx +m 2+m -5=（x -m )2+m -5，∴顶点坐标为（m ，m -5），∵它的图象的顶点在第一象限，∴ m ＞0，且 m −5>0 ， 解得m>5．2.已知抛物线G ：y=x 2-2ax+a -1(a 为常数).（1）当a =3时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为P （p ,q ），①分别用含a 的代数式表示p ,q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，则点P 总落在__________图象上.A .一次函数B .反比例函数C .二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：y =x 2-2ax +N (a 为常数)，其中N 代表含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：_________（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中，k=___________,b=___________.解：(1)当a=3时，y=x2-6x+2=(x-3)2-7,∴点G的顶点坐标为(3,-7);(2)①y=x2-2ax+a-1=(x-a)2-a2+a-1,∴p=a,q=-a2+a-1;②q=-p2+p-1;③C(3)y=x2-2ax+a2+a-1,1,-1(答案不唯一)【解法提示】y=x2-2ax+a2+a-1=(x-a)2+a-1，顶点坐标为（a,a-1）,顶点所在的一次函数图象的表达式y=x-1.3.已知抛物线y=x2-2mx+2m2+2m,得出两个结论：结论一：当抛物线经过原点时，顶点在第三象限的角平分线所在的直线上；结论二：不论m取什么实数值，抛物线顶点一定不在第四象限.(1)请你求出抛物线经过原点时m的值及顶点坐标,并说明结论一是否正确?(2)结论二正确吗? 若你认为正确,请求出当实数m变化时,抛物线顶点的纵横坐标之间的函数关系式,并说明顶点不在第四象限的理由;若你认为不正确,求出抛物线顶点在第四象限时,m的取值范围.解：(1)结论一正确.抛物线经过原点时,2m2+2m=0,则m1=0，m2=-1,当m=-1时，抛物线解析式为y=x2+2x=(x+1)2-1,顶点坐标(-1,-1)；当m=0时，抛物线解析式为y=x2,顶点坐标(0,0),由于顶点(-1,-1)和顶点(0,0)都在第三象限的角平分线所在的直线上,∴结论一正确；（2）结论二正确.∵抛物线的解析式y =x 2-2mx +2m 2+2m 可变为y =(x -m )2+m 2+2m ,∴抛物线的顶点坐标为（m ,m 2+2m ）,若设抛物线的顶点为(x ,y ),则2,2x m y m m=⎧⎨=+⎩ ∴抛物线顶点的纵横坐标的函数关系式为y =x 2+2x ,∵抛物线y =x 2+2x 的顶点为(-1,-1),与x 轴的交点为(0,0),(-2,0),且抛物线开口向上，∴抛物线 y =x 2+2x 不可能在第四象限.即不论 m 取什么实数值,抛物线顶点一定不在第四象限.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2-2mx +m 2-m +2的顶点为D ．线段ab 的两端点分别为a （-3，m ），b （1，m ）．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点b （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围． 解：（1）∵y =x 2-2mx +m 2-m +2=（x -m )2-m +2，∴D （m ，-m +2）；(2)∵抛物线经过点B （1，m ）,∴m =1-2m +m 2-m +2，解得m =3或m =1；(3)根据题意：∵A （-3，m ），B （1，m ），∴AB 所在直线的解析式为y =m （-3≤x ≤1）,与y =x 2-2mx +m 2-m +2,联立得： x 2-2mx +m 2-2m +2=0，令y =x 2-2mx +m 2-2m +2，若抛物线y =x 2-2mx +m 2-2m +2与线段AB 只有一个公共点，即函数y 在-3≤x ≤1范围内只有一个零点，当x =-3时，y =m 2+4m +11≤0，∵b 2-4ac ＞0，∴此种情况不存在，当x =1时，y =m 2-4m +3≤0， 解得1≤m ≤3．5.已知抛物线的表达式为 y =2x 2-4x -1.(1)求当x 为何值时y 取最小值,并求出最小值；(2)这个抛物线交x 轴于点(x 1,0),(x 2,0),求2112x x x x +的值； (3)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为a ,请你求出点a 的坐标.解：(1)y =2x 2-4x -1=2(x 2-2x +1)-2-1=2(x -1)2-3,当x =1时，y 取最小值，最小值为-3；(2)令y =0,得2x 2-4x -1=0,由题意得：方程的两个根为x 1,x 2,∵a =2,b =-4,c =-1,∴x 1+x 2=b a -=2,x 1x 2=c a =12-, 则22221121212121212()210;x x x x x x x x x x x x x x ++-+===- (3)二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到解析式为y=2(x-1-2)2-3,即y=2(x-3)2-3,再向下平移1个单位长度，得y=2(x-3)2-3-1,即y=2(x-3)2-4,则平移后顶点a的坐标为（3，-4）.6.已知二次函数y=-x2+2mx-4m+2（m为常数）（1）请你用m的代数式表示该函数的顶点坐标；（2）对于二次函数y=-x2+2mx-4m+2，若当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，请你求出m的取值范围；（3）若二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，写出H与m的函数关系式，并判断该函数图象的顶点是否有最高点（或最低点）？若有，请求出这个点的坐标．解：(1)∵2224,42 22(1)4b m ac bm m ma a--=-==-+⨯-,∴顶点坐标为（m，m2-4m+2）；(2)∵抛物线的对称轴为直线x=m，且a=-1＜0，∴当x≥m时，函数值y随x的增大而减小，∵当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，∴m≤1；(3)∵二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，∴H=m2-4m+2=（m-2）2-2，∵1＞0，∴函数顶点有最低点，坐标为（2，-2）．7.已知二次函数y=22x bx c++(b,c为常数).（1）当b=1，c=-3时，求二次函数在-2≤x≤2上的最小值；（2）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（3）当c =42b 时，若在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式.解：(1)当b =1，c =-3时，二次函数解析式为2223(1)4y x x x =+-=+-，∵x =-1在-2≤x ≤2的范围内，∴当x =-1时，函数取得最小值为-4；(2)当c =3时，二次函数解析式为y =223x bx ++=22()3x b b +-+，其对称轴为直线x =-b ,①若-b ＜0，即b ＞0时，当x =0时，y 有最小值为3；②若0≤-b ≤4，即4≤b ≤0时，当x =-b 时，y 有最小值为23b -+； ③若-b ＞4,即b ＜-4时，当x =4时，y 有最小值为8b +19;(3)当c =24b 时，二次函数的解析式为y =2224x bx b ++，它是开口向上，对称轴为直线x =-b 的抛物线，①若-b ＜2b ,即b ＞0时，在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 随x 增大而增大,∴当x =2b 时，y=2(2)2b b +×222412b b b +=为最小值，∴12b 2=21，∴b =72或b =72-(舍)， ∴二次函数解析式为y =277x x ++;②若2b ≤-b ≤2b +3,即-1≤b ≤0,当x =-b 时，代入y =2224x bx b ++，得y 的最小值为23b ，∴23b =21， ∴b =7(舍)或b =-7(舍)，③若-b ＞2b +3时,即b<-1，x =2b+3时，代入二次函数解析式y =2224x bx b ++中，得y 的最小值为212189b b ++，∴212189b b ++=21，∴b =-2或b =12(舍)，∴二次函数解析式为y =2416x x -+.综上所述，b =72或b =-2时，此时二次函数的解析式分别为y =277x x ++或y =2416x x -+.类型二 二次项系数不确定型1.已知实数a ，c 满足111a c +=，2a +c -ac +2＞0，二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点 B （4，n ）、A （2，n ），且当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，求a 的值． 解：∵实数a ，c 满足111a c +=，∴c -ac =-a ，∵2a +c -ac +2＞0，∴2a -a +2＞0，∴a ＞-2，∵二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点B （4，n ）、A （2，n ）， ∴2b a -=422+=3， ∴b =-6a ， ∴y =ax 2+bx +9a =a （x 2-6x +9）=a （x -3）2，∵当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，∴|4a -a |=9， ∴a =±3，又∵a>-2, ∴a =3．2.已知抛物线的函数解析式为y =ax 2+bx -3a （b ＜0），若这条抛物线经过 点（0，-3），方程ax 2+bx -3a =0的两根为x 1，x 2，且|x 1-x 2|=4．（1）求抛物线的顶点坐标;（2）已知实数x ＞0，请证明x +1x ≥2，并说明x 为何值时才会有x +1x =2． 解：(1)∵抛物线过点（0，-3），∴-3a =-3，,∴a =1，∴y =x 2+bx -3,∵x 2+bx -3=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=-b ，x 1x 2=-3,∵|x 1-x 2|=4， ∴|x 1-x 2|=21212()4x x x x +-=4 , ∴212b +＝4， ∴b 2=4 ,∵b ＜0， ∴b =-2 ,∴y =x 2-2x -3=（x -1)2-4 ,∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）;(2)∵x ＞0， ∴x +1x −2＝( x -1x )2 ≥0 ,∴x +1x ≥2，显然当x =1时，才有x +1x =2．3.已知函数24(2)m m y m x +-=+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x 为何值时y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)根据题意得m +2≠0且m 2+m -4=2，解得m 1=2，m 2=-3， 所以满足条件的m 值为2或-3；(2)当m +2＞0时，抛物线有最低点， 所以m =2， 抛物线解析式为y =4x 2， 所以抛物线的最低点为（0，0），当x ≥0时，y 随x 的增大而增大；(3)当m =-3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为y =-x 2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x ≥0时，y 随x 的增大而减小．4.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y =ax 2+bx （a ≠0）.（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，求a 、b 的值；（2）当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，求a 与m 之间的关系式；（3）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y =（k +1）x （k ≠-1）上，请用含k 的代数式表示b ．解：(1)∵顶点坐标为（1，1），∴ 21214b a b a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩； (2)当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，2224b m a b m a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得a =2m -； (3)过原点的抛物线y =ax 2+bx 的顶点坐标为（2b a -，24b a-）， ∵抛物线顶点在直线y =(k +1)x （k ≠-1）上， ∴2(1)()42b b k a a-=+-， 整理得：b =2k +2．5.已知二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）.（1）当a =1时，求二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）的顶点坐标和对称轴．（2）二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）与x 轴的交点恒过一个定点，求出这个定点；（3）当二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）时，x 在什么范围内，y 随着x 的增大而减小？解：(1)当a =1时，y =x 2-2x +1， 顶点坐标式为y =（x -1)2，则顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x =1；(2)令y =ax 2-（a +1）x +1=0， a （x 2-x ）+1-x =0，当x =1时，a （x 2-x ）+1-x =0恒成立， 则这个定点为（1，0）；(3)∵y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0），∴y =a (x −12a a +)2+1−2(1)4a a+， ∵a ＞0， ∴当x ＜12a a+时，y 随着x 的增大而减小． 6.已知函数y =（n +1）x m +mx +1-n (m ，n 为实数).（1）当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n ＞-1，那么：①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定经过哪个点？请说明理由．解：(1)①当m =1，n ≠-2时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y =0时，即（n +1）x m +mx +1-n =0，∴x =12n n -+ ， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；②当m =2，n ≠-1时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是二次函数， 当y =0时，y =（n +1）x m +mx +1-n =0，即（n +1）x 2+2x +1-n =0，△=22-4（1+n ）（1-n ）=4n 2≥0，∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；③当n =-1，m ≠0时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n 是一次函数，当y =0时，x =2m-， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；(2)①假命题，若它是一个二次函数，则m =2，函数y =（n +1）x 2+2x +1-n ， ∵n ＞-1，∴n +1＞0，抛物线开口向上， 对称轴：x =2122(1)1b a n n -=-=-++＜0， ∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小；②当x =1时，y =n +1+2+1-n =4．当x =-1时，y =0．∴它一定经过点（1，4）和（-1，0）．7.在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x -3与y 轴交于点 A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线y =2x -3交于点 C ．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0）与线段bC 有唯一公共点，求n 的取值范围． 解：(1)∵直线y =2x -3与y 轴交于点A （0，-3），∴点A 关于x 轴的对称点B （0，3），l 为直线y =3，∵直线y =2x -3与直线l 交于点C ，∴点C 坐标为（3，3）;(2)∵抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0），∴y =nx 2-4nx +4n +n =n (x -2)2+n （n ＞0）,∴抛物线的对称轴为直线x =2，顶点坐标为（2，n ），∵点B （0，3），点C （3，3），①当n ＞3时，抛物线的最小值为n ＞3，与线段BC 无公共点；②当n=3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与线段BC有两个公共点；如果抛物线y=n （x-2）2+n经过点b，则3=5n，解得n=35，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3），点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；如果抛物线y=n（x-2）2+n经过点C，则3=2n，解得n=32，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC有两个公共点,综上所述，当35≤n＜32或n=3时，抛物线与线段bC有一个公共点．8.已知抛物线C：y1=a（x-h）2-1，直线l：y2=kx-kh-1．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）当a=1，2≤x≤m时，y1≤x-3恒成立，求m的最大值；（3）当0＜a≤1，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数的点，求k的取值范围．解：(1)抛物线C的顶点坐标为（h，-1），当x=h时，y2=kh-kh-1=-1，所以直线l 恒过抛物线C的顶点；(2)当a=1时，抛物线C解析式为y1=(x-h)2-1，不妨令y3=x-3 ，如解图①所示,抛物线C的顶点在直线y=-1上移动，第8题解图①当2≤x≤3时，y1≤x-3恒成立，则可知抛物线C的顶点为（2，-1），设抛物线C 与直线y 3=x -3 除顶点外的另一交点为M ， 此时点M 的横坐标即为m 的最大值，由 2(2)13y x y x ⎧=--⎨=-⎩，解得x =2或x =3， ∴m 的最大值为3．(3)如解图②所示,由（1）可知：抛物线C 与直线l 都过点a （h ，-1）．第8题解图②当0＜a ≤1时，k ＞0，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在三个横坐标为整数点，即当x =h +3时，y 2＞y 1恒成立．∴k （h +3）-kh -1＞a （h +3-h ）2-1，整理得：k ＞3a ．又∵0＜a ≤1， 所以0＜3a ≤3，所以k ＞3．9.已知二次函数232y ax bx =+-的图象与y 轴交于点B ， （1） 若二次函数的图象经过点A （1,1）.①二次函数的图象对称轴为直线 x =1,求此二次函数的解析式；②对于任意的正数a ，当x>n 时，y 随x 的增大而增大，请求出n 的取值范围；（2）若二次函数的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，且二次函数的图象在-5<x<-4这一段位于直线l 的上方，在1<x<2这一段位于直线y =2x -2的下方，求此二次函数的解析式.解:(1)①由题意得31212a b b a⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得525a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为253522y x x =-+-; ∵二次函数的图象经过点A （1,1）， ∴31,2a b +-= ∴b =52a -, ∴对称轴为55122242a b x a a a -=-=-=-+， ∵a>0,∴50,4a-< ∴122b x a =-<, ∵当x>n 时，y 随x 的增大而增大，1,221;2b n a n ∴≤-<∴<(2)由直线y =2x -2可知：直线y =2x -2与直线x =-1的交点为(-1,-4),与x 轴的交点为（1,0）,∵直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，∴直线l 与x 轴的交点为(-3,0),设直线l 的解析式为y =kx +d ,∵直线l 过点（-1，-4），（-3,0），代入解析式得4,03k d k d-=-+⎧⎨=-+⎩解得=2,6k d -⎧⎨=-⎩ ∴直线l 的解析式为y =-2x -6. ∵二次函数232y ax bx =+-的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与y =-2x -6关于直线x =-1对称，如解图，当1<x<2时，函数232y ax bx =+-的图象在直线y =2x -2的下方，第9题解图∴当-4<x<-3时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l ：y =-2x -6的下方； 又∵当-5<x<-4时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l 的上方， ∴当x =-4时，y =-2⨯（-4）-6=2， 即（-4,2）为函数232y ax bx =+-与y =-2x -6的图象的交点， ∴316422,12a b b a⎧--=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得716,78a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴此二次函数的解析式为27731682y x x =+-.。

第一部分 考点研究第三单元 函数 第15课时 二次函数综合题 浙江近9年中考真题精选（2009-2017）命题点 1 与一次函数结合(杭州必考)1．(2013杭州20题10分)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A 、B (点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A 、C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．2．(2014杭州23题12分)复习课中，教师给出关于x 的函数y ＝2kx 2－(4k ＋1)x －k ＋1(k 是实数)．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图象经过(1，0)点； ②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x >1时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数． 教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．3．(2016杭州22题12分)已知函数y 1＝ax 2＋bx ，y 2＝ax ＋b (ab ≠0)．在同一平面直角坐标系中．(1)若函数y 1的图象过点(－1，0)，函数y 2的图象过点(1，2)，求a ，b 的值； (2)若函数y 2的图象经过y 1的图象的顶点．①求证：2a ＋b ＝0；②当1<x <32时，比较y 1与y 2的大小．4．(2017杭州22题12分)在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1，－2)，求函数y 1的表达式；(2)若一次函数y 2＝ax ＋b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；(3)已知点P (x 0，m )和Q (1，n )在函数y 1的图象上．若m <n ，求x 0的取值范围．命题点 2 与几何图形结合类型一 与线段有关的综合题(温州2012.24)5．(2012温州24题14分)如图，经过原点的抛物线y ＝－x 2＋2mx (m >0)与x 轴的另一个交点为A .过点P (1，m )作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B .记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C (B 、C 不重合)．连接CB ，CP . (1)当m ＝3时，求点A 的坐标及BC 的长； (2)当m >1时，连接CA ，问m 为何值时CA ⊥CP ?(3)过点P 作PE ⊥P C 且PE ＝PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并求出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由．第5题图类型二 与角度有关的综合题(绍兴2考)6．(2013绍兴24题14分)抛物线y ＝(x －3)(x ＋1)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y轴交于点C，点D为顶点．(1)求点B及点D的坐标；(2)连接B D，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E.①若线段BD上一点P，使∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标；②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN＝∠BDE，求点M的坐标．类型三与面积有关的综合题(温州2考)7．(2016温州23题10分)如图，抛物线y＝x2－mx－3(m>0)交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE＝2AC.(1)用含m的代数式表示BE的长；(2)当m＝3时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由；(3)作AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G.①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．②连接AE，交OB于点M.若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是________．第7题图类型四与三角形相似有关的综合题8．(2017宁波25题12分)如图，抛物线y ＝14x 2＋14x ＋c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连接AB ，点C (6，152)在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D .(1)求c 的值及直线AC 的函数表达式；(2)点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连接PQ 与直线AC 交于点M ，连接MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点． ①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长(用含m 的代数式表示)．第8题图答案1．解：∵点C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段OC 长为8，∴n ＝±8；(2分)①当n ＝8时一次函数为y 2＝43x ＋8，y ＝0时，x ＝－6，求得点A 的坐标为A (－6，0)，第1题解图①∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16， ∴这时抛物线开口向下，B (10，0)，如解图①所示，抛物线的对称轴是x ＝2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x≥2；(5分)②当n ＝－8时一次函数为y 2＝43x －8，y ＝0时，x ＝6，求得点A 的坐标为A (6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16， ∴这时抛物线开口向上，B (－10，0)，如解图②所示，抛物线的对称轴是x ＝－2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≤－2；(8分)第1题解图②综上所述，当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2或x ≤－2.(10分) 2．解：①是真命题；②是假命题；③是假命题；④是真命题．(2分) 理由如下：①当k ＝0时，原函数变形为y ＝－x ＋1，当x ＝1时，y ＝0，即存在函数y ＝－x ＋1，其图象过(1，0)点，故是真命题；②当k ＝0时，原函数变形为y ＝－x ＋1，图象为直线且过第一、二、四象限，与坐标轴只有两个不同的交点，与总有三个不同交点矛盾，故是假命题；(5分)③由题可知当k ＝1时，函数解析式为y ＝2x 2－5x ，又x ＝－b 2a ＝54>1时，由图象可知当x >1时，y 随x 先减小再增大，故是假命题；(8分) ④当k ≠0时，y ＝4ac －b 24a ＝－24k 2＋18k，当k >0时，函数图象开口向上，y 有最小值，最小值为负数；当k <0时，函数图象开口向下，y 有最大值，最大值为正数，故是真命题．(12分)3．(1)解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，∴a ＝1，b ＝1；(3分)(2)①证明：∵函数y 1的图象的顶点坐标为(－b 2a ，－b24a)，∴a (－b 2a )＋b ＝－b 24a ，即b ＝－b22a ，∵ab ≠0，∴－b ＝2a ， 即证2a ＋b ＝0；(7分)②解：∵b ＝－2a ，∴y 1＝ax (x －2)，y 2＝a (x －2)， ∴y 1－y 2＝a(x －2)(x －1)， ∵1＜x ＜32，∴x －2＜0，x －1＞0，∴(x －2)(x －1)＜0，∴当a ＞0时，a (x －2)(x －1)＜0，即y 1＜y 2， 当a ＜0时，a (x －2)(x －1)＞0，即y 1＞y 2.(12分)4．解：(1)∵函数y 1＝(x ＋a)(x －a －1)图象经过点(1，－2)，∴把x ＝1，y ＝－2代入y 1＝(x ＋a)(x －a －1)得，－2＝(1＋a )(－a )，(2分) 化简得，a 2＋a －2＝0，解得，a 1＝－2，a 2＝1， ∴y 1＝x 2－x －2；(4分)(2)函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)图象在x 轴的交点为(－a ，0)，(a ＋1，0)， ①当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(－a ，0)时， 把x ＝－a ，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中， 得a 2＝b ；(6分)②当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(a ＋1，0)时， 把x ＝a ＋1，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中， 得a 2＋a ＝－b ；(8分)(3)∵抛物线y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的对称轴是直线x ＝－a ＋a ＋12＝12，m <n ， ∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大， ∵m <n ，∴点Q 离对称轴x ＝12的距离比点P 离对称轴x ＝12的距离大，(10分)∴|x 0－12|<1－12，∴0<x 0<1.(12分)5．解：(1)当m ＝3时，y ＝－x 2＋6x ， 令y ＝0，得－x 2＋6x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝6， ∴A (6，0)． 当x ＝1时，y ＝5， ∴B (1，5)．∵抛物线y ＝－x 2＋6x 的对称轴为直线x ＝3， 又∵B ，C 关于对称轴对称， ∴BC ＝4；(3分)(2)过点C 作CH ⊥x 轴于点H (如解图①)，第5题解图①由已知得∠ACP ＝∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠PCB ， 又∵∠AHC ＝∠PBC ＝90°， ∴△ACH ∽△PCB ，∴AH CH ＝PB BC.∵抛物线y ＝－x 2＋2mx 的对称轴为直线x ＝m ，其中m ＞1， 又∵B ，C 关于对称轴对称， ∴BC ＝2(m －1)，∵B (1，2m －1)，P (1，m )， ∴BP ＝m －1，又∵A (2m ，0)，C(2m －1，2m －1)， ∴H (2m －1，0)，∵AH ＝1，CH ＝2m －1， ∴12m －1＝m －12（m －1）， ∴m ＝32；(7分)(3)∵B ，C 不重合，∴m ≠1.(Ⅰ)当m ＞1时，BC ＝2(m －1)，PM ＝m ，BP ＝m －1.(ⅰ)若点E 在x 轴上(如解图①)， ∵∠CPE ＝90°，∴∠MPE ＋∠BPC ＝∠MPE ＋∠MEP ＝90°， ∴∠BPC ＝∠MEP .又∵∠C B P ＝∠PME ＝90°，PC ＝EP ， ∴△BPC ≌△MEP ， ∴BC ＝PM ， ∴2(m －1)＝m ，∴m ＝2，此时点E 的坐标是(2，0)； (ⅱ)若点E 在y 轴上(如解图②)，第5题解图②过点P 作PN ⊥y 轴于点N ， 易证△BPC ≌△NPE ， ∴BP ＝NP ＝OM ＝1，∴m －1＝1， ∴m ＝2，此时点E 的坐标是(0，4)；(11分)(Ⅱ)当0＜m ＜1时，BC ＝2(1－m )，PM ＝m ，BP ＝1－m ， (ⅰ)若点E 在x 轴上(如解图③)，第5题解图③易证△BPC ≌△MEP ， ∴BC ＝PM ， ∴2(1－m )＝m ，∴m ＝23，此时点E 的坐标是(43，0)；(12分)(ⅱ)若点E 在y 轴上(如解图④)，第5题解图④过点P 作PN ⊥y 轴上点N ，易证△BPC ≌△NPE ，∴BP ＝NP ＝OM ＝1， ∴1－m ＝1， ∴m ＝0(舍去)．综上所述，当m ＝2时，点E 的坐标是(2，0)或(0，4)， 当m ＝23时，点E 的坐标是(43，0)．(14分)6．解：(1)∵抛物线y＝(x－3)(x＋1)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，∴当y＝0时，(x－3)(x＋1)＝0，解得x＝3或－1，∴点B的坐标为(3，0)．∵y＝(x－3)(x＋1)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点D的坐标为(1，－4)；(4分)(2)①∵抛物线y＝(x－3)(x＋1)＝x2－2x－3与y轴交于点C，∴C点坐标为(0，－3)．∵对称轴为直线x＝1，∴点E的坐标为(1，0)．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，如解图①所示，则H点坐标为(1，－3)，第6题解图①∴CH＝DH＝1，∴∠CDH＝∠BCO＝∠BCH＝45°，∴CD＝2，CB＝32，BD＝25，∴△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R.∵∠BDE＝∠DCP＝∠QCR，∠CDB＝∠CDE＋∠BDE＝45°＋∠DCP，∠QCO＝∠RCO＋∠QCR＝45°＋∠DCP，∴∠CDB＝∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴OC OQ ＝CD CB ＝13，∴OQ ＝3OC ＝9，即Q (－9，0)．∴直线CQ 的解析式为y ＝－13x －3，直线BD 的解析式为y ＝2x －6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x －3y ＝2x －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97y ＝－247，∴点P 的坐标为(97，－247)；(9分)②(Ⅰ)当点M 在对称轴右侧时，若点N 在射线CD 上，如解图②所示，延长MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G.第6题解图②∵∠CMN ＝∠BDE ，∠CNM ＝∠BED ＝90°，∴△MCN ∽△DBE ，∴CN MN ＝BE DE ＝12，∵MN ＝2CN ，设CN ＝a ，则MN ＝2a ，∵∠CDE ＝∠DCF ＝45°，∴△CNF，△MGF 均为等腰直角三角形，∴NF ＝CN ＝a ，CF ＝2a ，∴MF ＝MN ＋NF ＝3a ，∴MG ＝FG ＝322a ，∴CG ＝FG －FC ＝22a ，∴M (322a ，－3＋22a )， 代入抛物线y ＝(x －3)(x ＋1)，解得a ＝729，∴M (73，－209)，若点N 在射线DC 上，如解图③所示，MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G .第6题解图③∵∠CMN ＝∠BDE ，∠CN M ＝∠BED ＝90°，∴△MCN ∽△DBE ，∴CNMN ＝BEDE ＝12，∴MN ＝2CN ，设CN ＝a ，则MN ＝2a .∵∠CDE ＝45°，∴△CNF ，△MGF 均为等腰直角三角形，∴NF ＝CN ＝a ，CF ＝2a ，∴MF ＝MN －NF ＝a ，∴MG ＝FG ＝22a ，∴CG ＝FG ＋FC ＝322a ，∴M (22a ，－3＋322a )，代入抛物线y ＝(x －3)(x ＋1)，解得a ＝52，∴M (5，12)；(Ⅱ)当点M 在对称轴左侧时，∵∠CMN ＝∠BDE ＜45°，∴∠MCN ＞45°，而抛物线左侧任意一点K ，都有∠KCN ＜45°，∴点M 不存在． 综上可知，点M 坐标为(73，－209)或(5，12)．(14分) 7．解：(1)∵抛物线的对称轴是x ＝m2，∴AC ＝m ，∴BE ＝2AC ＝2m ；(3分)(2)当m ＝ 3 时，点D 落在抛物线上，理由如下：∵m ＝3，∴AC ＝3，BE ＝23，y ＝x 2－3x －3，把x ＝23代入y ＝x 2－3x －3，得y ＝(23)2－3³23－3＝3，∴OE ＝3＝OC ，∵∠DEO ＝∠ACO ＝90°，∠DOE ＝∠AOC ，∴△OED ≌△OCA ，∴DE ＝AC ＝3，∴D (－3，3)，∴把x ＝－3代入y ＝x 2－3x －3，得y ＝(－3)2－3³(－3)－3＝3，∴点D 落在抛物线上；(7分)(3)①由(1)得BE ＝2m ，则点B 的横坐标为2m ，如解图①，当x ＝2m 时，y ＝2m 2－3，则点B 的纵坐标为2m 2－3，∴OE ＝2m 2－3.第7题解图①∵AG ∥y 轴，∴EG ＝AC ＝12BE ， ∴FG ＝12OE ， ∵S △DOE ＝S △BGF ，即12DE ²OE ＝12BG ²FG ，∴DE ＝12BG ＝12AC .∵∠DOE ＝∠AOC ，∴tan∠DOE ＝tan∠AOC ，∵∠DEO ＝∠ACO ＝90°，∴DE OE ＝AC OC ，∴OE ＝12OC ＝32，∴2m 2－3＝32，∴m ＝±32，又∵m >0，∴m ＝32；(8分) ②322.(10分)【解法提示】由①知B (2m ，2m 2－3)，E(0，2m 2－3)，A(m ，－3)， ∵G 是BE 的中点，∴GF ＝m 2－32，则AF ＝m 2＋32，易得直线BO 的解析式为y ＝2m 2－32m x ，设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k 1m ＋b 1＝－3b 1＝2m2－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2mb 1＝2m 2－3，∴直线AE 的解析式为y ＝－2mx ＋2m 2－3.联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2mx ＋2m 2－3y ＝2m 2－32m x，解得x ＝（2m 2－3）²2m6m －3，∴点M 的横坐标为（2m 2－3）²2m6m 2－3.如解图②，过点M 作MN ⊥AG 于点N ，第7题解图②则MN ＝m －（2m 2－3）²2m6m 2－3＝2m 3＋3m6m 2－3，由S △BGF ＝S △AMF 得12MN ²AF ＝12GB ²GF ，即2m 3＋3m 6m 2－3²(m 2＋32)＝m ²(m 2－32)，解得m ＝322，或m ＝0(舍去)，或m ＝－322(舍去)．8．解：(1)把点C (6，152)代入y ＝14x 2＋14x ＋c ，得152＝9＋32＋c ，解得c ＝－3，(1分)∴y ＝14x 2＋14x －3，当y ＝0时，14x 2＋14x －3＝0，解得x 1＝－4，x 2＝3，∴A (－4，0)，(2分)设直线AC 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把A (－4，0)，C (6，152)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b 152＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34b ＝3，∴直线AC 的函数表达式为y ＝34x ＋3；(4分)(2)①∵在Rt △AOB 中，tan∠OAB ＝OB OA ＝34.在Rt △AOD 中，tan∠OAD ＝OD OA ＝34，∴∠OAB ＝∠OAD ，(6分)∵在Rt△PO Q 中，M 为PQ 中点，∴OM ＝MP ，∴∠MOP ＝∠MPO ，∵∠MOP＝∠AON，∴∠APM ＝∠AON ，∴△APM ∽△AON ；(8分)②如解图，过点M 作ME ⊥x 轴于点E .第8题解图 又∵OM ＝MP ，∴OE ＝EP ，∵点M 横坐标为m ，∴AE ＝m ＋4，AP ＝2m ＋4，(9分) ∵tan∠OAD ＝34，∴cos∠EAM ＝cos∠OAD ＝45，∴AM ＝54AE ＝5（m ＋4）4，(10分)∵△APM ∽△AON ，∴AM AN ＝AP AO ，(11分)∴AN ＝AM²AO AP ＝5m ＋202m ＋4.(12分)。

第8讲一元二次方程及其应用1．一元二次方程的概念及解法2.一元二次方程根的判别式1．(2015·温州)若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等实数根，则c的值是()A．－1 B．1 C．－4 D．42．(2017·舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是()A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3 3．(2017·丽水)解方程：(x－3)(x－1)＝3.【问题】给出以下方程①3x＋1＝0；②x2－2x＝8；③1x－3－2x3－x＝1.(1)是一元二次方程的是__________；(2)求出(1)中的一元二次方程的解，并联想还有其他的解法吗？(3)通过(1)(2)问题解决，你能想到一元二次方程的哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一元二次方程的概念以及解法．类型一一元二次方程的有关概念例1(1)关于x的方程(a－6)x2－8x＋6＝0有实数根，则整数a的最大值是________．(2)若x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个解，且a≠b，则a2－b22a－2b的值为________．(3)关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1，(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是________．【解后感悟】(1)切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；(2)注意解题中的整体代入思想；(3)注意由两个方程的特点进行简便计算．1．(1)(2016·南京模拟)关于x的一元二次方程(a2－1)x2＋x－2＝0是一元二次方程，则a满足( )A ．a ≠1B ．a ≠－1C ．a ≠±1D ．为任意实数 (2)已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为____________________．类型二 一元二次方程的解法例2 解下列方程： (1)(3x －1)2＝(x ＋1)2； (2)2x 2＋x －12＝0.【解后感悟】解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．一般没有特别要求的不用配方法．解题关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．2．解方程：(1)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7；(2)x(x－2)＋x－2＝0.类型三一元二次方程根的判别式例3(1)(2017·潍坊)若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．(2)(2015·台州)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________(填序号)．【解后感悟】在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，需要把握根的三种存在情况：b2－4ac≥0，方程有实数根(两个相等或两个不相等)；b2－4ac＜0，无实数根．3．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例是()A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝04．若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实根，则k的非负整数值是____________________．5．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求ab2的值．（a－2）2＋b2－4类型四与几何相关的综合问题例4(1)在宽为20m，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，则道路的宽为________m.(2)(2016·张家口模拟)如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a＝1，则b＝________．(3)(2015·广安)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是________．【解后感悟】(1)此题关键是将四个矩形以恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．(2)此题是一个信息题目，首先根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．(3)本题关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想．要随时注意三边之间满足的关系“任意两边之和大于第三边”．6．(1)(2016·台湾)如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？( )A .12B .35C ．2－ 3D ．4－2 3(2)一个直角三角形的两条边长是方程x2－7x＋12＝0的两个根，则此直角三角形的面积等于.(3)有一块长32cm，宽24cm的长方形纸片，如图，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是____________________cm.类型五一元二次方程在生活中的应用例5(1)(2017·济宁市任城区模拟)某种数码产品原价每只400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为________．(2)某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场)计划安排15场比赛，则参加比赛的球队应有________队．(3)商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是________．(4)将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货________个．【解后感悟】(1)若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b；(2)关键是准确找到描述语，根据等量关系准确地列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解；(3)此题打a折转化a10是解决问题的关键；(4)解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．(1)(2016·宁波市镇海区模拟)毕业典礼后，九年级(1)班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，全班共送贺卡1190张，则九年级(1)班人数为____________________人．(2)(2017·山西模拟)将一些半径相同的小圆按如图的规律摆放，请仔细观察，第____________________个图形有94个小圆．【探索研究题】1．(1)(2017·温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是()A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－1，x2＝－3(2)(2017·宁波市北仑区模拟)已知m是方程x2－2017x＋1＝0的一个根，则代数式m2－2018m＋m2＋12017＋3的值是________．【方法与对策】(1)此题主要利用了方程结构相同的整体代入的方法求一元二次方程的解；(2)此题主要利用了一元二次方程的解得到已知式，再利用整体代入的方法求值．该题型是中考命题方法之一．【忽视一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中“a≠0”】已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是________．参考答案第8讲一元二次方程及其应用【考点概要】1．一 2 降次 配方 因式分解 2.b 2－4ac 有两个不相等 有两个相等 没有【考题体验】1．B 2.B 3.x 1＝0，x 2＝4.【知识引擎】【解析】(1)②； (2)x 1＝4，x 2＝－2(配方法)，其他方法：因式分解法、公式法； (3)一元二次方程的概念以及解法．【例题精析】例1 (1)①若a ＝6，则方程有实数根，②若a ≠6，则Δ≥0，∴64－4×(a －6)×6≥0，整理得：a ≤263，∴a 的最大值为8；(2)∵x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个解，∴x ＝1满足一元二次方程ax 2＋bx －40＝0，∴a ＋b －40＝0，即a ＋b ＝40①，a 2－b 22a －2b＝（a ＋b ）（a －b ）2（a －b ）＝a ＋b 2，即a 2－b 22a －2b ＝a ＋b 2②，把①代入②，得a 2－b 22a －2b＝20.(3)∵关于x 的方程a(x ＋m)2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1，(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，∴方程a(x ＋m ＋2)2＋b ＝0变形为a[(x ＋2)＋m]2＋b ＝0，即此方程中x ＋2＝－2或x ＋2＝1，解得x ＝－4或x ＝－1.例2 (1)将方程(3x －1)2＝(x ＋1)2移项得，(3x －1)2－(x ＋1)2＝0，∴(3x －1＋x ＋1)(3x－1－x －1)＝0，∴4x(2x －2)＝0，∴x(x －1)＝0，解得x 1＝0，x 2＝1. (2)∵2x 2＋x －12＝0，可得，a ＝2，b ＝1，c ＝－12，∴x ＝－14±54. 例3 (1)∵关于x 的一元二次方程kx 2－2x ＋1＝0有实数根，∴Δ＝b 2－4ac ≥0，即：4－4k ≥0，解得：k ≤1，∵关于x 的一元二次方程kx 2－2x ＋1＝0中k ≠0，故答案为：k ≤1且k ≠0.(2)当m ＝0时，x ＝－1，方程只有一个解，①正确；当m ≠0时，方程mx 2＋x －m ＋1＝0是一元二次方程，Δ＝1－4m(1－m)＝1－4m ＋4m 2＝(2m －1)2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx 2＋x －m ＋1＝0分解为(x ＋1)(mx －m ＋1)＝0，当x ＝－1时，m －1－m ＋1＝0，即x ＝－1是方程mx 2＋x －m ＋1＝0的根，③正确；故答案为①③.例4 (1)设道路的宽为x 米．依题意得：(32－x)(20－x)＝135×4，解之得x 1＝2，x 2＝50(不合题意舍去)，∴道路宽为2m .(2)依题意得(a ＋b)2＝b(b ＋a ＋b)，而a ＝1，∴b 2－b －1＝0，∴b ＝1＋52.(3)∵x 2－7x ＋10＝0，∴(x －2)(x －5)＝0，x 1＝2，x 2＝5，①等腰三角形的三边是2，2，5，∵2＋2<5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2＋5＋5＝12；即等腰三角形的周长是12.故答案：12.例5 (1)20%；(2)6；(3)200×a 10×a 10＝128，得a ＝8；(4)设销售价x 元/个，得[500－10(x －50)]·(x －40)＝8000，∴x ＝60或x ＝80，∴应进货400或200个．【变式拓展】1．(1)C (2)12. (1)x 1＝2，x 2＝4 (2)x 1＝2，x 2＝－13.A4.15. ∵ax 2＋bx ＋1＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝0，即b 2－4a ＝0，b 2＝4a.∴ab 2（a －2）2＋b 2－4＝ab 2a 2－4a ＋4＋b 2－4＝ab 2a 2－4a ＋b 2＝ab 2a 2.∵a ≠0，∴原式＝ab 2a 2＝b 2a ＝4a a＝4. 6. (1)D (2)6或372(3)4 7.(1)35 (2)9【热点题型】【分析与解】(1)先把方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0看作关于2x ＋3的一元二次方程，利用题中的解得到2x ＋3＝1或2x ＋3＝－3，所以x 1＝－1，x 2＝－3.故选D . (2)根据一元二次方程根的定义得到m 2＝2017m －1，再利用整体代入的方法得到原式＝2017m －1－2018m ＋2017m －1＋12017＋3＝－1－m ＋m ＋3＝2.故答案是2. 【错误警示】m ≤54且m ≠1，由一元二次方程有实数根，则12－4(m －1)≥0且m －1≠0.∴m ≤54且m ≠1.。

第16讲函数的应用1．函数与方程、不等式的应用2.函数的最值的应用3.抛物线型的函数的应用4．多个函数的组合的应用5.灵活选用适当的函数模型的应用1．(2017·绍兴模拟)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20.则y与x的函数图象大致是( )2．(2015·金华)图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y ＝－1400(x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC⊥x 轴，若OA ＝10米，则桥面离水面的高度AC 为( )A ．16940米B .174米C ．16740米D .154米【问题】人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中的司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为50km /h 时，视野为80度．如果视野f(度)是车速v(km /h )的反比例函数．(1)求f 、v 之间的关系式，并计算当车速为100km /h 时视野的度数． (2)当视野的度数不低于50度时，车速应控制在什么范围内．(3)通过以上两题解答，请你思考如何建立合适的函数模型，以及利用函数关系式解题时，如何理解已知数的意义．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理函数的实际问题，要认真分析，构建函数模型，从而根据函数性质解答问题；实际问题中函数解析式的求法：设x 为自变量，y 为x 的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x 、y 的二元方程，再用含x 的代数式表示y ，最后还要写出自变量x 的取值范围．类型一 方程(组)、不等式中的函数应用例1 (2017·安徽模拟)给出下列命题及函数y ＝x ，y ＝x 2和y ＝1x.①如果1a >a>a 2，那么0＜a ＜1；②如果a 2>a>1a ，那么a ＞1；③如果1a>a 2>a ，那么－1＜a ＜0；④如果a 2>1a>a 时，那么a ＜－1.则( )A ．正确的命题是①④B ．错误的命题是②③④C ．正确的命题是①②D ．错误的命题只有③【解后感悟】本题是二次函数与不等式组的关系，实际上利用函数图象来比较代数式的大小，求出两交点的坐标，并准确识图．1．(1)(2017·兰州)下表是一组二次函数y ＝x 2＋3x －5的自变量x 与函数值y 的对应值：那么方程x 2＋3x －5＝0的一个近似根是( )A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.3(2) 如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝k 2x 交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜k 2x＋b 的解集是．类型二 几何图形中的函数应用例2 (2017·萧山模拟)在Rt △POQ 中，OP ＝OQ ＝4，M 是PQ 的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B.(1)求证：MA ＝MB ；(2)连结AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在．请说明理由．【解后感悟】该题的第(2)题是最小值问题，主要去构建一个函数模型，然后利用性质求最小值．在构造函数模型时注意两个方面：一是揭示基本图形，寻找基本的数量关系，二是确立哪个量作为自变量来构建函数．2．(2015·潍坊)如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )A .3cm 2B .323cm 2 C .923cm 2D .2723cm 2类型三 一次函数的应用例3 (2015·杭州)方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地，设乙行驶的时间为t(h )，甲乙两人之间的距离为y(km )，y 与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h ，甲出发0.5小时与乙相遇，…，请你帮助方成同学解决以下问题：(1)分别求出线段BC ，CD 所在直线的函数表达式； (2)当20＜y ＜30时，求t 的取值范围；(3)分别求出甲、乙行驶的路程S 甲、S 乙与时间t 的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从N 地沿同一条公路匀速前往M 地，若丙经过43h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？【解后感悟】此题是一次函数的实际应用，注意理解题意，结合图象，根据实际选择合理的方法解答．3．(2017·台州模拟)某服装厂现有A 种布料70米，B 种布料52米，现计划用这两种布料生产M 、N 两种型号的时装共80套．已知做一套M 型号的时装需用A 种布料1.1米，B 种布料0.4米，可获利50元；做一套N 型号的时装需用A 种布料0.6米，B 种布料0.9米，可获利润45元．当M 型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大( )A ．40B ．44C ．66D ．804．(2015·舟山模拟)一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y(单位：升)与时间x(单位：分)之间的关系如图所示．当容器内的水量大于5升时，时间x 的取值范围为____________________．类型四反比例函数的应用例4(2015·南平模拟)小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)当0≤x≤8时，求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式；(2)求图中t的值；(3)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？【解后感悟】此题是一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．5．某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300N /m 2，那么此人必须站立在面积____的木板上才不至于下陷．(木板的重量忽略不计)( )A ．至少2m 2B ．至多2m 2C ．大于2m 2D ．小于2m 2类型五 二次函数的应用例5 (2017·镇江模拟)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x(单位：kg )之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【解后感悟】本题是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．6．(2017·丽水模拟)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－125x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB 为( )A ．－20mB ．10mC ．20mD ．－10m【实际应用题】(2015·舟山)某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧54x （0≤x≤5），30x ＋120（5<x≤15）.(1)李明第几天生产的粽子数量为420只？(2)如图，设第x 天每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元(利润＝出厂价－成本)?(3)设(2)小题中第m 天利润达到最大值，若要使第(m ＋1)天的利润比第m 天的利润至少多48元，则第(m ＋1)天每只粽子至少应提价几元？【方法与对策】本题是二次函数在实际生活中的应用，难点在于读懂题目信息，把实际问题构建成一个函数模型，解答时需要同学们仔细分析所示情景分类讨论，利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值．该题型是中考选择题中的压轴题，出现较多，学习过程中要重视．【建立坐标系时忽视符号】如图1，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线形水流与喷头底部A的距离为1 m处达到距地面最大高度2.25 m，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式．学生小龙在解答图1所示的问题时，具体解答如下：①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系；②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝ax2；③根据题意可得B点与x轴的距离为1 m，故B点的坐标为(－1，1)；④代入y＝ax2得－1＝a·1，所以a＝－1；⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝－x2.数学老师看了小龙的解题过程后说：“小龙的解答是错误的．”(1)请指出小龙的解题从第________步开始出现错误，错误的原因是什么？(2)请你写出完整的正确解答过程．参考答案第16讲函数的应用【考题体验】1．C2.B【知识引擎】【解析】(1)f 、v 之间的关系式f ＝4000v .当v ＝100时，f ＝4000100＝40.答：当车速为100km/h 时，视野的度数为40度． (2)根据图象或函数增减性，f 随v 增大而减小，∴f ＝4000v≥50，v ≤80，∴车速不超过80km/h. (3)揭示问题中的数量关系，通过两个变量列方程，从而建立函数模型；对于问题中的数量，要寻找与变量之间的关系，以便解题．【例题精析】例1 易求x ＝1时，三个函数的函数值都是1，所以，交点坐标为(1，1)．根据对称性，y ＝x 和y ＝1x 在第三象限的交点坐标为(－1，－1)．①如果1a>a>a 2，那么0＜a ＜1正确；②如果a 2>a>1a ，那么a ＞1或－1＜a ＜0，故本小题错误；③如果1a>a 2>a ，那么a 值不存在，故本小题错误；④如果a 2>1a>a 时，那么a ＜－1正确．综上所述，正确的命题是①④.故选A . 例2 (1)证明：连结OM.∵Rt △POQ 中，OP ＝OQ ＝4，M 是PQ 的中点，∴PQ ＝42，OM ＝PM ＝12PQ ＝22，∠POM ＝∠BOM＝∠P＝45°.∵∠PMA ＋∠AMO＝∠OMB＋∠AMO，∴∠PMA ＝∠OMB.∴△PMA≌△OMB(ASA)．∴MA＝MB. (2)△AOB 的周长存在最小值．理由如下：∵△PMA≌△OMB，∴PA ＝OB.∴OA＋OB ＝OA ＋PA ＝OP ＝4.设OA ＝x ，AB ＝y ，则y 2＝x 2＋(4－x)2＝2x 2－8x ＋16＝2(x －2)2＋8≥8.∴当x ＝2时y 2有最小值8，从而y 的最小值为2 2.∴△AOB 的周长存在最小值，其最小值是4＋2 2.例3 (1)直线BC 的函数表达式为：y ＝40t －60；直线CD 的函数表达式为：y ＝－20t ＋80；(2)OA 的函数表达式为：y ＝20t(0≤t≤1)，∴点A 的纵坐标为20，当20<y<30时，即20<40t－60<30或20<－20t ＋80<30，解得：2<t<94或52<t<3； (3)S 甲＝60t －60(1≤t≤73)，S 乙＝20t(0≤t≤4)，所画函数图象如图：(4) 当t ＝43时，S 乙＝803，丙距M 地的路程与时间的函数表达式为：S 丙＝－40t ＋80(0≤t≤2)，S 丙＝－40t ＋80与S 甲＝60t －60的图象交点的横坐标为75，∴丙出发75小时与甲相遇．例4 (1)当0≤x≤8时，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系为：y ＝kx ＋b ，依据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝20，8k ＋b ＝100，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝20，故此函数解析式为：y ＝10x ＋20；(2)在水温下降过程中，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式为：y ＝m x，依据题意，得：100＝m 8，即m ＝800，故y ＝800x ，当y ＝20时，20＝800t，解得：t ＝40；(3)∵45－40＝5≤8，∴当x ＝5时，y ＝10×5＋20＝70，答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃.例5 (1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y＝k 1x ＋b 1，∵y ＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42，∴解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－0.2，b 1＝60，∴这个一次函数的表达式为：y ＝－0.2x ＋60(0≤x≤90)；(3)设y 2与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，∵经过点(0，120)与(130，42)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝120，130k ＋b ＝42，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.6，b ＝120，∴这个一次函数的表达式为y ＝－0.6x ＋120(0≤x≤130)，设产量为x kg 时，获得的利润为W 元，当0≤x≤90时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－(－0.2x ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2250，∴当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2250；当90≤x≤130时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2535，∴当x ＝90时，W ＝－0.6(90－65)2＋2535＝2160，由－0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，∴90≤x ≤130时，W ≤2160，因此当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大值为2250元．【变式拓展】1．(1)C (2)－5＜x ＜－1或x ＞0 2.C 3.B 4.1<x<9 5.A 6.C【热点题型】【分析与解】(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只，由题意可知：30n ＋120＝420，解得n ＝10.答：第10天生产的粽子数量为420只． (2)根据图象求得成本p 与x 之间的关系，然后根据利润等于出厂价减去成本价，然后整理即可得到W 与x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答：由图象得，当0≤x≤9时，p ＝4.1；当9≤x≤15时，设p ＝kx ＋b ，把点(9，4.1)，(15，4.7)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧9k ＋b ＝4.1，15k ＋b ＝4.7，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.1，b ＝3.2，∴p ＝0.1x ＋3.2，①0≤x ≤5时，W ＝(6－4.1)×54x＝102.6x ，当x ＝5时，W 最大＝513(元)；②5<x≤9时，W ＝(6－4.1)×(30x＋120)＝57x ＋228，∵x 是整数，∴当x ＝9时，W最大＝741(元)；③9<x≤15时，W ＝(6－0.1x －3.2)×(30x＋120)＝－3x 2＋72x ＋336，∵a ＝－3<0，∴当x＝－b 2a＝12时，W 最大＝768(元)；综上，当x ＝12时，W 有最大值，最大值为768. (3)根据(2)得出m ＋1＝13，根据利润等于出厂价减去成本价得出提价a 与利润W 的关系式，再根据题意列出不等式求解即可：设第13天提价a 元，由题意得，W 13＝(6＋a －p)(30x ＋120)＝510(a ＋1.5)，∴510(a ＋1.5)－768≥48，解得a≥0.1.答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．【错误警示】(1)③ 原因：B 点的坐标写错了，应是(－1，－1)． (2)以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．设抛物线水流对应的二次函数关系式为y ＝ax 2，根据题意可得B 点与x 轴的距离为1 m ，故B 点的坐标为(－1，－1)，代入y ＝ax 2得－1＝a·1，所以a ＝－1，所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y ＝－x 2.。

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第一部分考点研究第三单元函数第14课时二次函数的实际应用浙江近9年中考真题精选（2009-2017）类型一几何类(温州2015。

15，绍兴2考)第1题图1. (2015温州15题5分）某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙（墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为______m2。

2．（2017绍兴21题10分）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x（m)，占地面积为y(m2）．(1)如图①，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？（2)如图②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2 m就行了．”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确．第2题图类型二抛物线类(台州2考，温州2017.16，绍兴2012。

12)第3题图3．（2012绍兴12题5分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y（m)与水平距离x（m)之间的关系为y＝－错误!(x－4）2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m。

第二部分题型研究题型三函数实际应用题类型一图像类针对演练1. (2017青岛)A、B两地相距60 km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系．请结合图象解答下列问题：(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________(填l1或l2)；甲的速度是________km/h；乙的速度是________km/h；(2)甲出发多少小时两人恰好相距5 km?第1题图2. A、B两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B 城，甲车到达B城1小时后沿原路返回．如图是它们离A城的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象．(1)求甲车返回过程中y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；(2)乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，求乙车的行驶速度．第2题图3. (2017宿迁)小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2分钟，校车行驶途中始终保持匀速．当天早上小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1分钟到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程y(千米)与行驶时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．(1)求点A的纵坐标m的值；(2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程．第3题图4. (2015丽水)甲、乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书．甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走．设甲、乙两人相距s(米)，甲行走的时间为t(分)，s关于t的函数图象的一部分如图所示．(1)求甲行走的速度；(2)在坐标系中，补画s关于t的函数图象的其余部分；(3)问甲、乙两人何时相距360米？第4题图5. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函数关系．(1)甲、乙两地之间的距离为________千米；图中点B的实际意义是__________________；(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车晚出发多少小时？(4)请在图②中画出快车和慢车距离甲地的路程y A，y B与行驶时间x之间的函数关系．第5题图考向2 费用问题(绍兴：2017、2013.18)针对演练1. 某市为鼓励市民节约用水，自来水公司按分段收费标准收费，如图反映的是每月水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系．(1)当用水量超过10吨时，求y关于x的函数解析式；(2)按上述分段收费标准，小聪家三、四月份分别交水费38元和27元，问四月份比三月份节约用水多少吨？第1题图2. 某书店为了迎接2017年4月23日的“世界读书日”，计划购进A、B两类图书进行销售，若购进A、B两类图书共1000本，其中购进A类图书的单价为16元/本，购进B 类图书所需费用y(元)与购买数量x(本)之间存在如图所示的函数关系.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若该书店购进A类图书400本，则购进A、B两类图书共需要多少元？第2题图3. 如图是某出租车单程收费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系图象，根据图象回答下列问题：(1)当行驶8千米时，收费应为________元；(2)从图象上你能获得哪些信息(请写出2条)；(3)求出收费y(元)与行驶路程x(千米)(x≥3)之间的函数关系式．第3题图4. (2017淮安)某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y(元)与参加旅游的人数x(人)之间的函数关系．(1)当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为______元；(2)如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？第4题图5. (2017上海)甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．(1)求如图所示的y与x的函数解析式；(2)如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．第5题图6. (2017天门)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示．(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？第6题图考向3流量问题(绍兴：2016.19)针对演练1. (2017吉林)如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28 s时注满水槽．水槽内水面的高度y(cm)与注水时间x(s)之间的函数图象如图②所示．第1题图(1)正方体的棱长为________cm；(2)求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)如果将正方体铁块取出，又经过t(s)恰好将此水槽注满，直接写出t的值．2. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示．(1)当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式；(2)直接写出每分钟进水、出水量各多少升．第2题图3. 某游泳池一天要经过“注水－保持－排水”三个过程，如图，图中折线表示的是游泳池在一天某一时间段内池中水量y(m3)与时间x(min)之间的关系．(1)求排水阶段y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求水量不超过最大水量的一半值的时间一共有多少分钟．第3题图答案针对演练1. 解：(1)l2；30；20；【解法提示】∵甲先出发0.5小时后，乙才出发，∴乙图象与x轴的交点坐标为(0.5，0)，故l2是乙离A地距离与时间t的函数图象；甲经过2小时走完全程，则甲的速度为60÷2＝30(km/h)．从0.5小时开始，经过3.5－0.5＝3小时，乙走完全程，∴乙的速度为60÷3＝20 (km/h)．(2)设甲出发后，经过t小时，两人相距5 km，①当两人相遇前相距5 km时，则：30t＋20(t－0.5)＝60－5，解得t ＝1.3，②当两人相遇后相距5 km 时，则： 30t ＋20(t －0.5)＝60＋5， 解得t ＝1.5，答：甲出发1.3 h ，1.5 h 时，两人恰好相距5 km.2. 解：(1)设甲车返回过程中y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b ， ∵图象过(5，450)，(10，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝45010k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－90b ＝900，∴y ＝－90x ＋900(5≤x ≤10)；(2)当x ＝6时，y ＝－90×6＋900＝360， v 乙＝3606＝60(千米/小时)．答：乙车的行驶速度为60千米/小时．3. 解：(1)如解图，由题意可设AH 的表达式为y ＝34x ＋b 1，第3题解图由H (6，3)在AH 上，则有3＝34×6＋b 1，即b 1＝－32，∴AH 的表达式为y ＝34x －32，由A (8，m ) 在AH 上， 则有m ＝34×8－32，即m ＝92，故点A 的纵坐标m 的值为92；(2) 如解图，由题意可设BC 的表达式为y ＝34x ＋b 2，由B (10, 92)在BC 上，则有92＝34×10＋b 2，即b 2＝－3，∴BC 的表达式为y ＝34x －3，当y ＝9时，x ＝16，即C (16，9)， ∴E (15，9)， ∵F (9，0)，∴EF 的表达式为y ＝32x －272，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34x －3y ＝32x －272，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝152，9－152＝32(千米)，答：小刚乘坐出租车出发后经过5分钟追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校32千米．4. 解：(1)甲行走的速度：150÷5＝30(米/分)．(2)当t ＝35时，甲行走的路程为：35×30＝1050(米)，乙行走的路程为：(35－5)×50＝1500(米)，∴当t ＝35时，乙已经到达图书馆，甲距离图书馆的路程还有：1500－1050＝450(米)， ∴甲到达图书馆还需时间：450÷30＝15(分)， ∴35＋15＝50(分)，∴当s ＝0时，横轴上对应的时间为50. 补画的图象如解图所示(横轴上对应时间为50)，第4题解图(3)设乙出发经过x 分和甲第一次相遇，根据题意得：150＋30x ＝50x ， 解得x ＝7.5， 7．5＋5＝12.5(分)， 即当t ＝12.5时，s ＝0， ∴点B 的坐标为(12.5，0)，当12.5≤t ≤35时，设BC 的解析式为：s ＝kt ＋b (k ≠0)，把C (35，450)，B (12.5，0)代入可得：⎩⎪⎨⎪⎧12.5k ＋b ＝035k ＋b 1＝450，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝20b ＝－250，∴s ＝20t －250，∴当35＜t ≤50时，设CD 的解析式为s ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，把D (50，0)，C (35，450)代入得：⎩⎪⎨⎪⎧50k 1＋b 1＝035k 1＋b ＝450， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－30b 1＝1500， ∴s ＝－30t ＋1500，∵甲、乙两人相距360米，即s ＝360，解得：t 1＝30.5，t 2＝38，答：当甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米．5. 解：(1)900，4小时两车相遇；(2)慢车速度是：900÷12＝75 km/h ，两车的速度和：900÷4＝225 km/h ，快车速度是：225－75＝150 km/h;相遇时慢车行驶的路程是：75×4＝300 km,两车相遇后快车到达乙地所用的时间：300÷150＝2 h ，两车相遇后2 h 两车行驶的路程：225×2＝450 km,所以，B (4，0)，C (6，450)，设线段BC 的解析式为y ＝kx ＋b , 则⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝06k ＋b ＝450 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝225b ＝－900. 所以线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为：y ＝225x －900(4≤x ≤6)；(3)第一列快车与慢车相遇时快车行驶的路程：900－300＝600 km,第二列快车与慢车相遇时快车行驶的路程：600－75×12＝562.5 km,第二列快车与慢车相遇时快车所用的时间：562.5÷150＝3.75 h, 4.5－3.75＝0.75 h. 答：第二列快车比第一列快车晚出发0.75小时．(4)快车从甲地驶往乙地，故快车的图象从(0，0)开始，速度为150 km/h ，路程为900 km ，故快车的终点坐标为(6，900)，画出图象如解图的实线所示；慢车从乙地驶往甲地，故慢车的图象从(0，900)开始，速度为75 km/h ，路程为900 km ，故慢车的终点坐标为(12，0)，画出图象如解图的虚线所示.第5题解图考向2 费用问题针对演练 1. 解：(1)当用水量超过10吨时，设y 关于x 的解析式是y ＝kx ＋b ，结合图象得：⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝3020k ＋b ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4b ＝－10， 即当用水量超过10吨时，y 关于x 的函数解析式是y ＝4x －10；(2)将y ＝38代入y ＝4x －10，得38＝4x －10，解得，x ＝12，即三月份用水12吨，四月份用水为：27÷(30÷10)＝9(吨)，12－9＝3(吨)，答：四月份比三月份节约用水3吨．2. 解：(1)当0≤x ≤100时，设y 与x 之间的函数关系式是y ＝kx ,由100k ＝1800, 解得k ＝18,即当0≤x ≤100时，y 与x 之间的函数关系式是y ＝18x ，当x ＞100时，设y 与x 之间的函数关系式是y ＝ax ＋b ,由⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋b ＝1800200a ＋b ＝3300，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15b ＝300， 即当x ＞100时，y 与x 之间的函数关系式是y ＝15x ＋300,∴y 与x 之间的函数关系式是：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧18x （0≤x≤100）15x ＋300（x ＞100）； (2)书店购进A 类图书400本，则购进B 类图书600本，则A 类图书花费：400×16＝6400(元),B 类图书花费：15×600＋300＝9300(元)，∴购进A 、B 两类图书共需要：6400＋9300＝15700(元)，答：购进A 、B 两类图书共需要15700元．3. 解：(1)11；(2)①行驶路程小于或等于3千米时，收费是5元；②超过3千米但不超过8千米时，每千米收费1.2元；(3)当x ≥3时，直线过点(3，5)、(8，11)，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝58k ＋b ＝11， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2b ＝1.4， ∴收费y (元)与行驶路程x (千米)(x ≥3)之间的函数关系式为y ＝1.2x ＋1.4.4. 解：(1)240.(2)∵3600÷240＝15，3600÷150＝24，∴收费标准在BC 段，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝24025k ＋b ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－6b ＝300， ∴y ＝－6x ＋300，由题意(－6x ＋300)x ＝3600，解得x ＝20或30(舍)．答：参加这次旅行的人数是20人．5. 解：(1)设y ＝kx ＋b ，将(0，400)，(100，900)分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝400100k ＋b ＝900， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝5b ＝400， ∴y 与x 的函数解析式为y ＝5x ＋400；(2)绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为：5×1200＋400＝6400(元)，乙公司的费用为：5500＋4×(1200－1000)＝6300(元)，∵6300<6400，∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．6. 解：(1)y 甲＝0.8x ，y 乙＝⎩⎪⎨⎪⎧x （0＜x ＜2000）0.7x ＋600（x≥2000）. 【解法提示】设y 甲＝kx ，把(2000，1600)代入，得2000k ＝1600，解得k ＝0.8，∴y 甲＝0.8x ；当0＜x ＜2000时，设y 乙＝ax ，把(2000，2000)代入，得2000x ＝2000，解得k ＝1，∴y 乙＝x ；当x ≥2000时，设y 乙＝mx ＋n ，把(2000，2000)，(4000，3400)代入，y 2＝mx ＋n 中得⎩⎪⎨⎪⎧2000m ＋n ＝2000，4000m ＋n ＝3400， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0.7n ＝600， ∴y 乙＝⎩⎪⎨⎪⎧x （0＜x ＜2000）0.7x ＋600（x≥2000）； (2)当0＜x ＜2000时，0.8x ＜x ，到甲商店购买更省钱；当x ≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x ＜0.7x ＋600，解得x ＜6000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x ＞0.7x ＋600，解得x ＞6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x ＝0.7x ＋600，解得x ＝6000；答：当原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．考向3 流量问题 针对演练1. 解：(1)10；【解法提示】由题图可知，12秒时水槽内水面的高度为10 cm ，12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，故正方体的棱长为10 cm ，(2)设线段AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b .∵图象过A (12，10)，B (28，20)，∴⎩⎪⎨⎪⎧12k ＋b ＝1028k ＋b ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝58b ＝52， ∴线段AB 对应的函数解析式为y ＝58x ＋52(12≤x ≤28)； (3)t ＝4.【解法提示】∵28－12＝165，∴没有正方体时，水面上升10 cm ，所用时间为16秒，又∵前12秒由于正方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒，∴将正方体铁块取出，又经过了4秒，恰好将水械，槽注满．2. 解：(1)当4≤x ≤12时，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵ 函数图象经过点(4，20)、(12，30)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝2012k ＋b ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝54b ＝15， ∴ 当4≤x ≤12时，y ＝54x ＋15； (2)每分钟进水、出水量各是5L 、154L. 【解法提示】根据图象，每分钟的进水量为：20÷4＝5 L ，设每分钟出水m L ，则5×8－8m ＝30－20，解得m ＝154， 故每分钟进水、出水量各是5 L 、154L. 3. 解：(1)设排水阶段y 与x 之间的函数关系式是y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ 285k ＋b ＝1500300k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－100b ＝30000，即排水阶段y与x之间的函数关系式是y＝－100x＋30000，当y＝2000时，2000＝－100x＋30000，得x＝280，即排水阶段y与x之间的函数关系式为y＝－100x＋30000(280≤x≤300)；(2)设注水阶段y与x的函数关系式为y＝mx，则30m＝1500，解得m＝50，∴注水阶段y与x的函数关系式为y＝50x,当y＝1000时，1000＝50x，解得x＝20，将y＝1000代入y＝－100x＋30000，解得x＝290，∴水量不超过最大水量的一半值的时间一共有：20＋(300－290)＝30(分钟), 即水量不超过最大水量的一半值的时间一共有30分钟．。

第二部分题型研究题型三函数实际应用题类型一图像类针对演练A、B两地相距60 km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图1. (2017青岛)llAst(h)的关系．请结合图象解答下列问题：，(km)表示两人离与时间地的距离中21All)；甲的速度是乙离或地的距离与时间关系的图象是________(填(1)表示21________km/h；乙的速度是________km/h；(2)甲出发多少小时两人恰好相距5 km?第1题图A、BAB城出发沿这一公路驶向两城间的公路长为2. 450千米，甲、乙两车同时从BAyx(与行驶时间小(千米)城，甲车到达城1小时后沿原路返回．如图是它们离城的路程时)之间的函数图象．yx之间的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；与 (1)求甲车返回过程中(2)乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，求乙车的行驶速度．第2题图3. (2017宿迁)小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2分钟，校车行驶途中始终保持匀速．当天早上小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1分钟到学校站点，他们乘坐的车yx(分钟)之间的函数图象如图所示．与行驶时间(千米) 辆从安康小区站出发所行驶路程Am的值；的纵坐标(1)求点(2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程．第3题图4. (2015丽水)甲、乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书．甲出发5分钟st(分)，米)甲行走的时间为，/后，乙以50米分的速度沿同一路线行走．设甲、乙两人相距(st的函数图象的一部分如图所示．关于(1)求甲行走的速度；st的函数图象的其余部分；关于在坐标系中，补画(2)(3)问甲、乙两人何时相距360米？题图4第5. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶xyyx之间的函数关系．与(km)，图中的折线表示的时间为 (h)，两车之间的距离为B的实际意义图千米；中点是的(1)甲、乙两地之间距离为__________________________；BCyxx的取值范围； (2)求线段所表示的之间的函数关系式，并写出自变量与(3)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车晚出发多少小时？yyx之间的函数关系．请在图②中画出快车和慢车距离甲地的路程与行驶时间， (4)BA第5题图考向2 费用问题(绍兴：2017、2013.18)针对演练1. 某市为鼓励市民节约用水，自来水公司按分段收费标准收费，如图反映的是每月水yx(吨)与用水量之间的函数关系．费(元)yx的函数解析式；关于10(1)当用水量超过吨时，求(2)按上述分段收费标准，小聪家三、四月份分别交水费38元和27元，问四月份比三月份节约用水多少吨？1题图第A、B两类图书进月23日的“世界读书日”，计划购进2. 某书店为了迎接2017年4A、BAB本，购进/类图书的单价为16两类图书共1000本，其中购进元行销售，若购进yx(本)之间存在如图所示的函数关系)(元与购买数量.类图书所需费用yx之间的函数关系式；与(1)求AA、B两类图书共需要多少元？类图书400本，则购进若该书店购进(2)第2题图3. 如图是某出租车单程收费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系图象，根据图象回答下列问题：(1)当行驶8千米时，收费应为________元；(2)从图象上你能获得哪些信息(请写出2条)；(3)求出收费y(元)与行驶路程x(千米)(x≥3)之间的函数关系式．第3题图某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘)淮安4. (2017．ABCDyx(人))制了如图所示的图象，图中折线与参加旅游的人数表示人均收费之间的(元函数关系．(1)当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为______元；(2)如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？第4题图5. (2017上海)甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．yx(平方米)与绿化面积)是一次函数关系，如图所示．甲公司方案：每月的养护费用 (元乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．yx的函数解析式；求如图所示的与(1)(2)如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．第5题图6. (2017天门)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付yyx之间的函数关系如图所示．)单位：元，款金额(与原价)单位：元(乙甲．yyx的函数关系式；， (1)直接写出关于乙甲(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？第6题图考向3流量问题(绍兴：2016.19)针对演练1. (2017吉林)如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水yx(s)与注水时间s时注满水槽．水槽内水面的高度之间的函数图象如(cm)槽中注水，28图②所示．第1题图(1)正方体的棱长为________cm；ABx的取值范围；对应的函数解析式，并写出自变量(2)求线段tt的值．恰好将此水槽注满，直接写出(3)如果将正方体铁块取出，又经过 (s)2. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8y(单位：内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量minL)与x之间的关系如图所示．min)单位：(时间．xyx的函数解析式； 4≤关于≤12时，求(1)当(2)直接写出每分钟进水、出水量各多少升．第2题图3. 某游泳池一天要经过“注水－保持－排水”三个过程，如图，图中折线表示的是游3xy(min))与时间之间的关系．泳池在一天某一时间段内池中水量(m xyx与的取值范围；(1)求排水阶段之间的函数关系式，并写出时间一共有多少分钟．(2)求水量不超过最大水量的一半值的第3题图答案针对演练l；30；20 解：(1)；1. 2x轴的交点坐标为(0.5，0.5小时后，乙才出发，∴乙图象与示】【解法提∵甲先出发lAt的函数图象；是乙离地距离与时间0)，故2甲经过2小时走完全程，则甲的速度为60÷2＝30(km/h)．从0.5小时开始，经过3.5－0.5＝3小时，乙走完全程，∴乙的速度为60÷3＝20 (km/h)．t小时，两人相距5 km设甲出发后，经过， (2)①当两人相遇前相距5 km时，则：tt，5－60＝0.5)－20(＋30．t＝1.3解得，②当两人相遇后相距5 km时，则：t－0.5)＝60＋＋20(5， 30t t＝1.5解得，答：甲出发1.3 h，1.5 h时，两人恰好相距5 km.yxykxb，与之间的函数解析式为＋2.解：(1)设甲车返回过程中＝∵图象过(5，450)，(10，0)两点，5k＋b＝450??∴，?10k＋b＝0??k＝－90??解得，?b＝900??yxx≤10)；90 ∴＋900(5≤＝－xy＝－90×6＋900＝360时，＝6， (2)当360v＝＝60(千米/小时)．乙6答：乙车的行驶速度为60千米/小时．3AHyxb，＝解： (1)如解图，由题意可设的表达式为＋3.14第3题解图HAH上， 3)(6，由在33bb＝－，＋×3则有＝6，即1124．33AHyx－，的表达式为＝∴42AmAH上， ) 由在(8，339mm＝，－，即则有＝×84229Am的值为；的纵坐标故点23BCyxb，的表达式为＋＝(2) 如解图，由题意可设249BBC 上，在由 (10, )293bb＝－3，，即×则有＝10＋22243BCyx－3＝∴，的表达式为4yxC(16，9)，时，＝16，即当＝9E(15，9)，∴F(9，0)∵，327EFyx－，的表达式为＝∴223??3x－y＝4?，联立方程组 327??y＝x－22x＝14???，解得15y＝??2．1539－＝(千米)，223答：小刚乘坐出租车出发后经过5分钟追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校千米．24. 解：(1)甲行走的速度：150÷5＝30(米/分)．t＝35时，甲行走的路程为：35×30＝1050(米)，乙行走的路程为：(2)当(35－5)×50＝1500(米)，t＝35时，乙已经到达图书馆，甲距离图书馆的路程还有：1500－1050＝∴当450(米)，∴甲到达图书馆还需时间：450÷30＝15(分)，∴35＋15＝50(分)，s＝0时，横轴上对应的时间为∴当50.补画的图象如解图所示(横轴上对应时间为50)，第4题解图xxx，5030 (3)设乙出发经过＝分和甲第一次相遇，根据题意得：150＋x＝7.5解得，7．5＋5＝12.5(分)，ts＝0，即当＝12.5时，B的坐标为(12.5，0)∴点，tBC：sktbk≠0)，≤35时，设＋的解析式为＝≤当12.5(12.5k＋b＝0k＝20????CB(12.5，0)代入可得：，解得把450)(35，，，??35k＋b＝450b＝－250????1．st－250，＝20 ∴tCDskxbk≠0)的解析式为，＝( 35∴当＜＋≤50时，设11150k＋b＝0??11DC(35，450)代入得：，把(50，0)，?35k＋b＝450??1k＝－30??1解得，?b＝1500??1s＝－30t＋1500∴，s＝360，∵甲、乙两人相距360米，即tt＝38，＝30.5，解得：21答：当甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米．5. 解：(1)900，4小时两车相遇；(2)慢车速度是：900÷12＝75 km/h，两车的速度和：900÷4＝225 km/h，快车速度是：225－75＝150 km/h;相遇时慢车行驶的路程是：75×4＝300 km,两车相遇后快车到达乙地所用的时间：300÷150＝2 h，两车相遇后2 h两车行驶的路程：225×2＝450 km,BC(6，450)，(4，0)，所以，4k＋b＝0k＝225????BCykxb, 则＋设线段的解析式为，解得＝??6k ＋b＝450b＝－900.????BCyx之间的函数关系式为：所以线段与所表示的yxx≤6)；－900(4≤225＝(3)第一列快车与慢车相遇时快车行驶的路程：900－300＝600 km, 1第二列快车与慢车相遇时快车行驶的路程：600－75×＝562.5 km,2．第二列快车与慢车相遇时快车所用的时间：562.5÷150＝3.75 h, 4.5－3.75＝0.75 h.答：第二列快车比第一列快车晚出发0.75小时．(4)快车从甲地驶往乙地，故快车的图象从(0，0)开始，速度为150 km/h，路程为900km，故快车的终点坐标为(6，900)，画出图象如解图的实线所示；慢车从乙地驶往甲地，故慢车的图象从(0，900)开始，速度为75 km/h，路程为900 km，.，0)，画出图象如解图的虚线所示故慢车的终点坐标为(12 题解图第5 费用问题考向2针对演练yxykx＋b吨时，设关于＝的解析式是，结合图象得：1. 解：(1)当用水量超过1010k ＋b＝30k＝4????，解得，??20k＋b＝70b＝－10????yxyx－10；＝即当用水量超过10吨时，4关于的函数解析式是yyx－10，＝(2)将4＝38代入xx＝12，解得，，38＝4 －10得即三月份用水12吨，四月份用水为：27÷(30÷10)＝9(吨)，12－9＝3(吨)，答：四月份比三月份节约用水3吨．xyxykx, 之间的函数关系式是(1)当0≤时，设≤100＝与2. 解：kk＝18,1800, 由100解得＝xyxyx，＝即当0≤≤100时，与18之间的函数关系式是xyxyaxb,＋＝之间的函数关系式是与时，设100＞当100a＋b＝1800a＝15????由，解得，??200a＋b＝3300b＝300????xyxyx＋300, 之间的函数关系式是＞100时，＝与即当15yx之间的函数关系式是：∴与18x（0≤x≤100）??y＝；?15x＋300（x＞100）??AB类图书600本，书店购进(2) 类图书400本，则购进A类图书花费：400×16＝6400(元),则B类图书花费：15×600＋300＝9300(元)，A、B两类图书共需要：6400＋9300＝15700( ∴购进元)，A、B两类图书共需要答：购进15700元．3. 解：(1)11；(2)①行驶路程小于或等于3千米时，收费是5元；②超过3千米但不超过8千米时，每千米收费1.2元；x≥3时，直线过点(3，5)、(8，11)， (3)当yxykxb，与之间的函数关系式为＋设＝3k＋b＝5??则，?8k＋b＝11??k＝1.2??解得，?b＝1.4??yxxyx＋1.4. ＝1.2∴收费元()与行驶路程(千米)(≥3)之间的函数关系式为4. 解：(1)240.(2)∵3600÷240＝15，3600÷150＝24，BC段，∴收费标准在．10k＋b＝240k＝－6????BCykxb，则有，解得＝，设直线＋的解析式为??25k＋b＝150b＝300????y ＝－6x＋300，∴xx＝3600，＋300)由题意(－6x＝20或30(舍)解得．答：参加这次旅行的人数是20人．ykxb，将(0，400)，(100，900)分别代入得：5. 解：(1)设＝＋b＝400??，?100k＋b＝900??k ＝5??解得，?b＝400??yxyx＋400；的函数解析式为＝∴5与(2)绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为：5×1200＋400＝6400(元)，乙公司的费用为：5500＋4×(1200－1000)＝6300(元)，∵6300<6400，∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．6. 解：(1)y＝0.8x，甲x（0＜x＜2000）??y＝.?乙0.7x＋600（x≥2000）??ykx，把(2000，＝1600)代入，【解法提示】设甲kk＝0.8，解得1600，得2000 ＝yx；＝0.8∴甲xyax，＝＜2000时，设＜当0 乙xk＝1，解得2000， 20002000)(2000把，代入，得＝yx∴；＝乙．xymxn，＋＝当≥2000时，设乙ymxn中＋＝，2000)，(4000，3400)代入，把(200022000m＋n＝2000，??得，?4000m＋n＝3400??m＝0.7??解得，?n＝600??x（0＜x＜2000）??y＝；∴?乙0.7x＋600（x≥2000）??xxx，到甲商店购买更省钱；＜＜2000时，(2)当0＜0.8xxx＋600，＜0.7当≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x＜6000；解得若到乙商店购买更省钱，xxx＞6000，解得6000.8；＞0.7 ＋则xxx＝6000，解得；＝0.7 ＋600若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8答：当原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．考向3 流量问题针对演练1.解：(1)10；【解法提示】由题图可知，12秒时水槽内水面的高度为10 cm，12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，故正方体的棱长为10 cm，ABykxb. (2)设线段＝对应的函数解析式为＋AB(28，20)，，∵图象过(12，10)12k＋b＝10??∴，?28k＋b＝20??5??＝k8?，解得 5??b＝255AByxx≤28)；(12≤＝∴线段对应的函数解析式为＋82t＝(3)4.【解法提示】∵28－12＝165，∴没有正方体时，水面上升10 cm，所用时间为16秒，又∵前12秒由于正方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒，∴将正方体铁块取出，又经过了4秒，恰好将水械，槽注满．≤xyxykxbk≠0)，的函数关系式为＝2. 解：(1)当4(≤12时，设与＋5??20b＝4k＋＝k??4?，，∴，解得，函数图象经过点(4，20)、(1230)∵?30＝12k＋b????15＝b5xyx＋4≤15≤12时，；＝∴当415(2)每分钟进水、出水量各是5L、L.4【解法提示】根据图象，每分钟的进水量为：20÷4＝5 L，mm＝30－205×8－8，设每分钟出水，则 L15m＝，解得415故每分钟进水、出水量各是5 L、L.4yxykxb，与之间的函数关系式是＋＝(13. 解：)设排水阶段 285k＋b＝1500k＝－100????由，解得，??300k ＋b＝0b＝30000????yxyx＋30000，＝－即排水阶段100与之间的函数关系式是yx＝280，30000，得＝2000时，2000＝－100x 当＋yxyxx≤300)；100与之间的函数关系式为＋30000(280≤＝－即排水阶段yxymx，设注水阶段与＝的函数关系式为 (2)mm＝50，1500＝，解得则30yxyx, ＝的函数关系式为∴注水阶段 50与yxx＝20，＝时，100050 ，解得当＝1000yyxx＝290， 1000＝代入100＝－，解得＋30000将∴水量不超过最大水量的一半值的时间一共有：20＋(300－290)＝30(分钟), 即水量分钟．30不超过最大水量的一半值的时间一共有．。

第16讲函数的应用1．函数与方程、不等式的应用2.函数的最值的应用3.抛物线型的函数的应用4．多个函数的组合的应用5.灵活选用适当的函数模型的应用1．(2017·绍兴模拟)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20.则y与x的函数图象大致是( )2．(2015·金华)图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y ＝－1400(x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC⊥x 轴，若OA ＝10米，则桥面离水面的高度AC 为( )A ．16940米B .174米C ．16740米D .154米【问题】人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中的司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为50km /h 时，视野为80度．如果视野f(度)是车速v(km /h )的反比例函数．(1)求f 、v 之间的关系式，并计算当车速为100km /h 时视野的度数． (2)当视野的度数不低于50度时，车速应控制在什么范围内．(3)通过以上两题解答，请你思考如何建立合适的函数模型，以及利用函数关系式解题时，如何理解已知数的意义．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理函数的实际问题，要认真分析，构建函数模型，从而根据函数性质解答问题；实际问题中函数解析式的求法：设x 为自变量，y 为x 的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x 、y 的二元方程，再用含x 的代数式表示y ，最后还要写出自变量x 的取值范围．类型一 方程(组)、不等式中的函数应用例1 (2017·安徽模拟)给出下列命题及函数y ＝x ，y ＝x 2和y ＝1x.①如果1a >a>a 2，那么0＜a ＜1；②如果a 2>a>1a ，那么a ＞1；③如果1a>a 2>a ，那么－1＜a ＜0；④如果a 2>1a>a 时，那么a ＜－1.则( )A ．正确的命题是①④B ．错误的命题是②③④C ．正确的命题是①②D ．错误的命题只有③【解后感悟】本题是二次函数与不等式组的关系，实际上利用函数图象来比较代数式的大小，求出两交点的坐标，并准确识图．1．(1)(2017·兰州)下表是一组二次函数y ＝x 2＋3x －5的自变量x 与函数值y 的对应值：那么方程x 2＋3x －5＝0的一个近似根是( )A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.3(2) 如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝k 2x 交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜k 2x＋b 的解集是 ．类型二 几何图形中的函数应用例2 (2017·萧山模拟)在Rt △POQ 中，OP ＝OQ ＝4，M 是PQ 的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B.(1)求证：MA ＝MB ；(2)连结AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在．请说明理由．【解后感悟】该题的第(2)题是最小值问题，主要去构建一个函数模型，然后利用性质求最小值．在构造函数模型时注意两个方面：一是揭示基本图形，寻找基本的数量关系，二是确立哪个量作为自变量来构建函数．2．(2015·潍坊)如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )A .3cm 2B .323cm 2 C .923cm 2 D .2723cm 2类型三 一次函数的应用例3 (2015·杭州)方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地，设乙行驶的时间为t(h )，甲乙两人之间的距离为y(km )，y 与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h ，甲出发0.5小时与乙相遇，…，请你帮助方成同学解决以下问题：(1)分别求出线段BC ，CD 所在直线的函数表达式； (2)当20＜y ＜30时，求t 的取值范围；(3)分别求出甲、乙行驶的路程S 甲、S 乙与时间t 的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从N 地沿同一条公路匀速前往M 地，若丙经过43h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？【解后感悟】此题是一次函数的实际应用，注意理解题意，结合图象，根据实际选择合理的方法解答．3．(2017·台州模拟)某服装厂现有A 种布料70米，B 种布料52米，现计划用这两种布料生产M 、N 两种型号的时装共80套．已知做一套M 型号的时装需用A 种布料1.1米，B 种布料0.4米，可获利50元；做一套N 型号的时装需用A 种布料0.6米，B 种布料0.9米，可获利润45元．当M 型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大( )A ．40B ．44C ．66D ．804．(2015·舟山模拟)一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y(单位：升)与时间x(单位：分)之间的关系如图所示．当容器内的水量大于5升时，时间x 的取值范围为____________________．类型四反比例函数的应用例4(2015·南平模拟)小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)当0≤x≤8时，求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式；(2)求图中t的值；(3)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？【解后感悟】此题是一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．5．某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300N /m 2，那么此人必须站立在面积____的木板上才不至于下陷．(木板的重量忽略不计)( )A ．至少2m 2B ．至多2m 2C ．大于2m 2D ．小于2m 2类型五 二次函数的应用例5 (2017·镇江模拟)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x(单位：kg )之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【解后感悟】本题是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．6．(2017·丽水模拟)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－125x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB 为( )A ．－20mB ．10mC ．20mD ．－10m【实际应用题】(2015·舟山)某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧54x （0≤x≤5），30x ＋120（5<x≤15）.(1)李明第几天生产的粽子数量为420只？(2)如图，设第x 天每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元(利润＝出厂价－成本)?(3)设(2)小题中第m 天利润达到最大值，若要使第(m ＋1)天的利润比第m 天的利润至少多48元，则第(m ＋1)天每只粽子至少应提价几元？【方法与对策】本题是二次函数在实际生活中的应用，难点在于读懂题目信息，把实际问题构建成一个函数模型，解答时需要同学们仔细分析所示情景分类讨论，利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值．该题型是中考选择题中的压轴题，出现较多，学习过程中要重视．【建立坐标系时忽视符号】如图1，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线形水流与喷头底部A的距离为1 m处达到距地面最大高度2.25 m，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式．学生小龙在解答图1所示的问题时，具体解答如下：①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系；②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝ax2；③根据题意可得B点与x轴的距离为1 m，故B点的坐标为(－1，1)；④代入y＝ax2得－1＝a·1，所以a＝－1；⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝－x2.数学老师看了小龙的解题过程后说：“小龙的解答是错误的．”(1)请指出小龙的解题从第________步开始出现错误，错误的原因是什么？(2)请你写出完整的正确解答过程．参考答案第16讲函数的应用【考题体验】1．C 2.B【知识引擎】【解析】(1)f 、v 之间的关系式f ＝4000v .当v ＝100时，f ＝4000100＝40.答：当车速为100km/h 时，视野的度数为40度． (2)根据图象或函数增减性，f 随v 增大而减小，∴f ＝4000v≥50，v ≤80，∴车速不超过80km/h. (3)揭示问题中的数量关系，通过两个变量列方程，从而建立函数模型；对于问题中的数量，要寻找与变量之间的关系，以便解题．【例题精析】例1 易求x ＝1时，三个函数的函数值都是1，所以，交点坐标为(1，1)．根据对称性，y ＝x 和y ＝1x 在第三象限的交点坐标为(－1，－1)．①如果1a>a>a 2，那么0＜a ＜1正确；②如果a 2>a>1a ，那么a ＞1或－1＜a ＜0，故本小题错误；③如果1a>a 2>a ，那么a 值不存在，故本小题错误；④如果a 2>1a>a 时，那么a ＜－1正确．综上所述，正确的命题是①④.故选A . 例2 (1)证明：连结OM.∵Rt △POQ 中，OP ＝OQ ＝4，M 是PQ 的中点，∴PQ ＝42，OM ＝PM ＝12PQ ＝22，∠POM ＝∠BOM ＝∠P ＝45°.∵∠PMA ＋∠AMO ＝∠OMB ＋∠AMO ，∴∠PMA ＝∠OMB.∴△PMA≌△OMB(ASA)．∴MA ＝MB. (2)△AOB 的周长存在最小值．理由如下：∵△PMA≌△OMB，∴PA ＝OB.∴OA＋OB ＝OA ＋PA ＝OP ＝4.设OA ＝x ，AB ＝y ，则y 2＝x 2＋(4－x)2＝2x 2－8x ＋16＝2(x －2)2＋8≥8.∴当x ＝2时y 2有最小值8，从而y 的最小值为2 2.∴△AOB 的周长存在最小值，其最小值是4＋2 2.例3 (1)直线BC 的函数表达式为：y ＝40t －60；直线CD 的函数表达式为：y ＝－20t ＋80；(2)OA 的函数表达式为：y ＝20t(0≤t≤1)，∴点A 的纵坐标为20，当20<y<30时，即20<40t－60<30或20<－20t ＋80<30，解得：2<t<94或52<t<3； (3)S 甲＝60t －60(1≤t≤73)，S 乙＝20t(0≤t≤4)，所画函数图象如图：(4) 当t ＝43时，S 乙＝803，丙距M 地的路程与时间的函数表达式为：S 丙＝－40t ＋80(0≤t≤2)，S 丙＝－40t ＋80与S 甲＝60t －60的图象交点的横坐标为75，∴丙出发75小时与甲相遇．例4 (1)当0≤x≤8时，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系为：y ＝kx ＋b ，依据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝20，8k ＋b ＝100，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝20，故此函数解析式为：y ＝10x ＋20；(2)在水温下降过程中，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式为：y ＝m x ，依据题意，得：100＝m 8，即m ＝800，故y ＝800x ，当y ＝20时，20＝800t，解得：t ＝40；(3)∵45－40＝5≤8，∴当x ＝5时，y ＝10×5＋20＝70，答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃. 例5 (1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y ＝k 1x＋b 1，∵y ＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42，∴解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－0.2，b 1＝60，∴这个一次函数的表达式为：y ＝－0.2x ＋60(0≤x≤90)；(3)设y 2与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，∵经过点(0，120)与(130，42)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝120，130k ＋b ＝42，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.6，b ＝120，∴这个一次函数的表达式为y ＝－0.6x ＋120(0≤x≤130)，设产量为x kg 时，获得的利润为W 元，当0≤x≤90时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－(－0.2x ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2250，∴当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2250；当90≤x≤130时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2535，∴当x ＝90时，W ＝－0.6(90－65)2＋2535＝2160，由－0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，∴90≤x ≤130时，W ≤2160，因此当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大值为2250元．【变式拓展】1．(1)C (2)－5＜x ＜－1或x ＞0 2.C 3.B 4.1<x<9 5.A 6.C【热点题型】【分析与解】(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只，由题意可知：30n ＋120＝420，解得n ＝10.答：第10天生产的粽子数量为420只． (2)根据图象求得成本p 与x 之间的关系，然后根据利润等于出厂价减去成本价，然后整理即可得到W 与x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答：由图象得，当0≤x≤9时，p ＝4.1；当9≤x≤15时，设p ＝kx ＋b ，把点(9，4.1)，(15，4.7)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧9k ＋b ＝4.1，15k ＋b ＝4.7，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.1，b ＝3.2，∴p ＝0.1x ＋3.2，①0≤x ≤5时，W ＝(6－4.1)×54x＝102.6x ，当x ＝5时，W 最大＝513(元)；②5<x≤9时，W ＝(6－4.1)×(30x＋120)＝57x ＋228，∵x 是整数，∴当x ＝9时，W 最大＝741(元)；③9<x≤15时，W ＝(6－0.1x －3.2)×(30x＋120)＝－3x 2＋72x ＋336，∵a ＝－3<0，∴当x ＝－b 2a＝12时，W 最大＝768(元)；综上，当x ＝12时，W 有最大值，最大值为768. (3)根据(2)得出m ＋1＝13，根据利润等于出厂价减去成本价得出提价a 与利润W 的关系式，再根据题意列出不等式求解即可：设第13天提价a 元，由题意得，W 13＝(6＋a －p)(30x ＋120)＝510(a ＋1.5)，∴510(a ＋1.5)－768≥48，解得a≥0.1.答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．【错误警示】(1)③ 原因：B 点的坐标写错了，应是(－1，－1)． (2)以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．设抛物线水流对应的二次函数关系式为y ＝ax 2，根据题意可得B 点与x 轴的距离为1 m ，故B 点的坐标为(－1，－1)，代入y ＝ax 2得－1＝a·1，所以a ＝－1，所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y ＝－x 2.。

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第二部分题型研究题型三函数实际应用题类型三几何类针对演练1. 火力发电站的燃烧塔的轴截面为如图所示的图形，四边形ABCD是一个矩形，DE、CF 分别是两个反比例函数图象的一部分，已知AB＝87 m,BC＝20 m，上口宽EF＝16 m，求整个燃烧塔的高度．第1题图2. （2017杭州)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.（1)设矩形的相邻两边长分别为x,y。

①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10。

你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？3. （2016义乌）课本中有一个例题:有一个窗户形状如图①,上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6 m,如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是:当窗户半圆的半径为0。

35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m．利用图③，解答下列问题:（1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；(2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．第3题图4. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值，如果没有,请说明理由；第4题图5. 如图，某校园内有一块菱形的空地ABCD,为了美化环境，现要进行绿化，计划在中间建设一个面积为S的矩形绿地EFGH，其中,点E、F、G、H分别在菱形的四条边上,AB＝a米,BE ＝BF＝DG＝DH＝x米，∠A＝60°（1)求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2）若a＝100，求s的最大值，并求出此时x的值．第5题图6. （2017潍坊)工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线、虚线表示折痕，并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长多大?(2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元．裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少?第6题图答案1。

浙江省2018年中考二轮复习：题型研究针对演练汇编目录浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型1分类讨论思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型2数形结合思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型3方程与函数思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型4转化思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型5整体思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型02二次函数性质综合题类型1二次项系数确定型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型02二次函数性质综合题类型2二次项系数不确定型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型03函数实际应用题类型1图象类针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型03函数实际应用题类型2最值类针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型03函数实际应用题类型3几何类针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型03函数实际应用题类型4抛物线类针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型04新定义与阅读理解题类型1新法则运算学习型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型04新定义与阅读理解题类型2新概念学习型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型04新定义与阅读理解题类型3新解题方法型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型1动点问题针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型2平移变换问题针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型3折叠问题针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型4旋转变换问题针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型5类比拓展探究问题针对演练含答案题型一 数学思想方法 类型一 分类讨论思想针对演练1. 已知直角三角形两边的长a 、b 满足|a －2|＋b 2－3＝0，则第三边长为_________．2. 若关于x 的方程kx 2＋2(k ＋1)x ＋k －1＝0有实数根，则k 的取值范围是________． 3. 已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE，则∠AED 的度数是_________．4. A ，B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t 小时两车相距50千米，则t 的值是________．5. 如果四个整数中的三个分别是2，4，6，且它们的中位数也是整数，那么它们的中位数是________．6. (2017襄阳)在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为1和2，则∠BAC 的度数为________．7. 如图，已知点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，那么满足条件的点P 共有________个．第7题图8. 书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是________元．9. 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2＝BD·DC，则∠BCA 的度数为________． 10. (2017杭州)已知△ABC 的三个顶点为A(－1，－1)，B (－1，3)，C(－3，－3)，将△ABC 向右平移m(m>0)个单位后，△ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数y ＝3x 的图象上，则m 的值为________．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，翻折∠C，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF(点E 、F 分别在边AC 、BC 上)当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为________．第11题图12. (2017鄂州)如图，AC ⊥x 轴于点A ，点B 在y 轴的正半轴上，∠ABC ＝60°，AB ＝4，BC ＝23，点D 为AC 与反比例函数y ＝kx 的图象的交点，若直线BD 将△ABC 的面积分成1∶2的两部分，则k 的值为________．第12题图13. 如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A ，B 两点的抛物线交x 轴于另一点C(3，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第13题图答案1. 1或7 【解析】由非负数的性质知，a －2＝0且b 2＝3，∴a ＝2，b ＝3，①当a 为斜边时，则由勾股定理得，第三边为1；②当a 为直角边时，则由勾股定理得，第三边为7.2. k≥－13 【解析】当k ＝0时，方程为2x －1＝0，x ＝12，方程有实根；当k≠0时，方程为一元二次方程，方程要有实数根，则[2(k ＋1)]2－4k(k －1)≥0，即k≥－13，综上所述，k 的取值范围是k≥－13.3. 15°或75° 【解析】①当点E 在正方形ABCD 外部时，AD ＝DE ，则∠AED ＝180°－（90°＋60°）2＝15°；②当点E 在正方形ABCD 内部时，AD ＝DE ，则∠AED ＝180°－（90°－60°）2＝75°.4. 2或2.5 【解析】①相遇前：120t ＋80t ＋50＝450，解得t ＝2；②相遇后：120t ＋80t －50＝450，解得t ＝2.5.5. 3或4或5 【解析】①当数据为2，2，4，6时，中位数为3；②当数据为2，4，4，6时，中位数为4；③当数据为2，4，6，6时，中位数为5.6. 15°或105° 【解析】⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，∴OA ＝OB ＝AB ，∴△AOB 是等边三角形，∠OAB ＝60°，∵弦AC ＝2，∴∠OAC ＝45°.如解图①，此时∠BAC＝∠BAO－∠CAO＝60°－45°＝15°；如解图②，∠BAC ＝∠BAO＋∠CAO＝60°＋45°＝105°.第6题解图7. 6 【解析】当以AB 为斜边时，∠APB ＝90°，与坐标轴有3个交点；当∠PAB＝90°时，与y 轴有一个交点；当∠PBA＝90°时，与x 轴，y 轴各有1个交点．∴满足条件的点P 共有6个．8. 248或296 【解析】设第一次购书原价为a 元，则第二次购书原价为3a 元，易知第一次购书原价必然不超过100元，否则两次付款必然大于229.4，故分类讨论如下： ①若a≤100且3a≤100，显然a ＋3a≤200＜229.4，舍去；②若a≤100且100＜3a≤200，则a ＋0.9×3a＝229.4，解得a ＝62，所以两次购书原价和为4a ＝4×62＝248元；③若a≤100且3a ＞200，则a ＋0.7×3a ＝229.4，解得a ＝74, 所以两次购书原价和为4a ＝4×74＝296元．综上所述：两次购书的原价和为248元或296元．9. 65°或115° 【解析】①如解图①，当△ABC 为锐角三角形时，△ABD ∽△CAD ，∠BCA ＝∠BAD ＝90°－25°＝65°；②如解图②，当△ABC 为钝角三角形时，∠BCA ＝∠CDA ＋∠CAD＝90°＋∠B ＝90°＋25°＝115°.图①图②第9题解图10. 0.5或4 【解析】依题可得：有两种可能，即AC 、AB 中点落在反比例函数y ＝3x 的图象上．①若为AC 中点(－2，－2)向右平移m 个单位后落在y ＝3x 的图象上，则有点(m －2，－2)在y ＝3x 的图象上，代入得－2＝3m －2，∴－2m ＋4＝3，∴m ＝0.5；②若为AB 中点(－1，1)向右平移m 个单位后落在y ＝3x 图象上，则有点(m －1，1)在y ＝3x 的图象上，代入得1＝3m －1，∴m －1＝3，∴m ＝4.所以m为0.5或4. 11. 1.8或2.5 【解析】有两种情况：①若CE∶CF＝3∶4，如解图①所示．∵CE ∶CF ＝AC∶BC，∴EF ∥AB.由折叠性质可知，CD ⊥EF ，∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高．在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∴cosA ＝0.6，AD ＝AC·cosA ＝3×0.6＝1.8；②若CF∶CE＝3∶4，如解图②所示．∴△CE F∽△CBA，∴∠CEF ＝∠B.由折叠性质可知，∠CEF ＋∠EC D ＝90°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A ＝∠ECD，∴AD ＝CD.同理可得：∠B＝∠FCD，CD ＝BD ，∴此时AD ＝BD ＝12×5＝2.5.综上所述，AD 的长为1.8或2.5.第11题解图①第11题解图②12. －8或－4 【解析】如解图，过点C 作CM⊥AB 于点M ，在Rt △CBM 中，BC ＝23，∠ABC＝60°，∴BM ＝3，CM ＝3，∴S △ABC ＝12A B ·CM ＝12AC ·AO ＝6，∵BD 将S △ABC 分成1∶2的两部分，则AD ＝13AC 或AD ＝23AC ，∵点D 在反比例函数y ＝k x 上，∴k ＝－13AC ·OA ＝－4或k ＝－23AC ·OA ＝－8.第12题解图 13. 解：(1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， ∵直线y ＝3x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ， ∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，3)， 又∵抛物线经过A ，B ，C 三点，点C 的坐标为(3，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2c ＝3， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴该抛物线的对称轴为直线x ＝1.设点Q 的坐标为(1，m)，则AQ ＝4＋m 2，BQ ＝1＋（3－m ）2，AB ＝10.当AB ＝AQ 时，10＝4＋m 2，解得m ＝±6， ∴点Q 的坐标为(1，6)或(1，－6)；当AB ＝BQ 时，10＝1＋（3－m ）2，解得m 1＝0，m 2＝6， ∴点Q 的坐标为(1，0)或(1，6)，但当点Q 的坐标为(1，6)时，点A ，B ，Q 在同一条直线上，∴舍去； 当AQ ＝BQ 时，4＋m 2＝1＋（3－m ）2，解得m ＝1， ∴点Q 的坐标为(1，1)．∴抛物线的对称轴上存在点Q(1，6)，(1，－6)，(1，0)，(1，1)，使△ABQ 是等腰三角形．第二部分题型研究题型一数学思想方法类型二数形结合思想针对演练1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有( )第1题图A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③2. 若m、n(其中n＜m)是关于x的一元二次方程1－(x－a)(x－b)＝0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是( )A. m＜a＜b＜nB. a＜m＜n＜bC. b＜n＜m＜aD. n＜b＜a＜m3. (2017凉山州)小明和哥哥从家里出去买书，从家出来走了20分钟到一个离家1000米的书店，小明买了书后随即按原速返回；哥哥看了20分钟书后，用15分钟返回家．下面的图形中哪一个表示哥哥离家时间与距离之间的关系( )m<0的图象分别交x轴、y轴于点M，N，线段MN上两点在x轴的垂4. 如图，函数y＝mx－4m()足分别为A1，B1，若OA1＋OB1>4，则△OAA1的面积S1与△OBB1的面积S2的大小关系是( )第4题图A. S1>S2B. S1＝S2C. S1<S2D. 不确定5. 如图，已知函数y＝x＋b和y＝ax＋3的图象交点为P，则不等式x＋b>ax＋3的解集为_________．第5题图6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”如图，在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，14，18，…，12n 的矩形彩色纸片(n 为大于1的整数)．请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算12＋14＋18＋…＋12n ＝________.第6题图7. 如图，点A 为函数y ＝9x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1x (x ＞0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为______．第7题图8. 如图，矩形ABCD 的长AD ＝5 cm ，宽AB ＝3 cm ，长和宽都增加 x cm ，那么面积增加y cm 2. (1)写出y 与x 的函数关系式；(2)当增加的面积y ＝20 cm 2时，求相应的x 是多少？第8题图9. (2017丽水)如图①，在△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿折线A －C －B 运动，点Q 从点A 出发以a(cm/s)的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ 的面积为y(cm 2)，y 关于x 函数图象由C 1，C 2两段组成，如图②所示．(1)求a 的值；(2)求图②中图象C 2段的函数表达式；(3)当点P 运动到线段BC 上某一段时，△APQ 的面积大于当点P 在线段AC 上任意一点时△APQ 的面积，求x 的取值范围．第9题图答案1. B 【解析】∵b 2－4ac>0，∴4ac<b 2；当x ＝－1时，y<0，即a －b ＋c<0，∴a ＋c<b ；∵x＝－b2a>1，a ＜0，∴－b<2a ，2a ＋b>0.故正确的有①③. 2. D 【解析】∵1－()x －a ()x －b ＝0，∴1＝()x －a ()x －b ，设y 1＝1，y ＝()x －a ()x －b ，画出图象得，n<b<a<m.第2题解图3. D 【解析】根据题意，从20分钟到40分钟哥哥在书店里看书，离家距离没有变化，是一条平行于x 轴的线段．4. A 【解析】设A(a ，am －4m)，B(b ，bm －4m)，结合图象知，S 1＝12a(am －4m)，S 2＝12b(bm －4m)，S 1－S 2＝12am(a －4)－12bm(b －4)＝12m ×(a 2－4a －b 2＋4b)＝12m[(a ＋b)×(a－b)－4(a －b)]＝12m(a －b)(a ＋b －4)，∵OA 1＋OB 1＝a ＋b ＞4，∴S 1－S 2＝12m(a －b)(a ＋b －4)＞0，∴S 1＞S 2.5. x>16. 1－12n 【解析】由正方形的边长为1，得正方形的面积为1，正方形减去未贴彩色纸片部分的面积即是已贴彩色纸片部分的面积，12＋14＋18＋…＋12n ＝1－12n .7. 6 【解析】如解图，分别过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，则S △BOM S △AON ＝19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OB OA 2，∴OB OA ＝13，∵S △AOC ＝2×S △AON ＝9，∴S △ABC ＝23×9＝6.第7题解图 8．解：(1)由题意可得：(5＋x)(3＋x)－3×5＝y ，化简得y ＝x 2＋8x.故y 与x 的函数关系式为y ＝x 2＋8x ；(2)把y ＝20代入解析式y ＝x 2＋8x 中得x 2＋8x －20＝0， 解得x 1＝2，x 2＝－10(舍去)．∴当边长增加2 cm 时，面积增加20 cm 2.9. 解：(1)如解图①，过点P 作PD⊥AB 于点D.9题解图①∵∠A ＝30°，PA ＝2x ， ∴PD ＝PA·sin30°＝2x·12＝x ，∴y ＝12AQ ·PD ＝12ax ·x ＝12ax 2.由图象得，当x ＝1时，y ＝12，则12a ·12＝12， ∴a ＝1；(2)如解图②，当点P 在BC 上时，PB ＝5×2－2x ＝10－2x.第9题解图②∴PD ＝PB·sinB ＝(10－2x)·sinB ， ∴y ＝12AQ ·PD ＝12x ·(10－2x)·sinB.由图象得，当x ＝4时，y ＝43，∴12×4×(10－8)·sinB ＝43，∴sinB ＝13， ∴y ＝12x ·(10－2x)·13＝－13x 2＋53x ；(3)令12x 2＝－13x 2＋53x ，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2.由图象得，当x ＝2时，函数y ＝12x 2的最大值为y ＝12×22＝2.将y ＝2代入函数y ＝－13x 2＋53x ，得2＝－13x 2＋53x ，解得x 1＝2，x 2＝3.∴由图象得，x 的取值范围是2＜x ＜3.第二部分 题型研究题型一 数学思想方法 类型三 方程与函数思想针对演练1. 甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600 kg ，甲搬运5000 kg 所用的时间与乙搬运8000 kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运x kg 货物，则可列方程为( )A.5000x －600＝8000xB. 5000x ＝8000x ＋600C.5000x ＋600＝8000xD.5000x ＝8000x －6002. 如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH 的长是( )A. 3B. 4C. 5D. 6第2题图3. 如图，在△ABC 中， AB ＝AC ，∠BAC ＝120°， AD ⊥BC 于点D ，AE ⊥AB 交BC 于点E.若 S △ABC ＝m 2＋9n 2，S △ADE ＝mn ，则m 与n 之间的数量关系是( )第3题图A. m ＝3nB. m ＝6nC. n ＝3mD. n ＝6m4. 已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y ＝12x 上，点N 在直线y ＝x ＋3上，设点M的坐标为(a ，b)，则二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b)x( )A ．有最大值，最大值为－92B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为－925. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA ＝x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )6. 若3x 2m y m与x 4－n y n －1是同类项，则m ＋n ＝________．7. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y ＝－112(x －4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m.8. 设直线y ＝kx ＋k －1和直线y ＝()k ＋1x ＋k(k 是正整数)与x 轴围成的三角形面积为S k ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2018的值是________.9. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．(1)若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？ (2)房价定为多少时，宾馆的利润最大？ 答案1. B 【解析】甲每小时搬运x kg 货物，则乙每小时搬运(x ＋600)kg 货物，根据题意得5000x ＝8000x ＋600，故选B. 2. B 【解析】由题意设C H ＝x ，则DH ＝EH ＝(9－x)，∵BE ∶EC ＝2∶1，∴CE ＝13BC ＝3，∴在Rt △ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x )2＝32＋x 2，解得x ＝4，即CH ＝4.3. A 【解析】∵AB＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C＝30°，∵AD ⊥BC ，AE ⊥AB ，∴∠BEA＝∠BAD＝60°，∠EAC ＝∠C＝30°，设DE ＝a ，则AE ＝CE ＝2a ，∴BC ＝6a ，∴S △ABC ＝6S △ADE ，即m2＋9n 2＝6mn ，∴()m －3n 2＝0，∴m ＝3n.4. B 【解析】∵M，N 两点关于y 轴对称，点M 的坐标为(a ，b)，∴N 点的坐标为(－a ，b)．又∵点M 在反比例函数y ＝12x的图象上，点N 在一次函数y ＝x ＋3的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12a b ＝－a ＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12a ＋b ＝3，∴二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b)x ＝－12x 2＋3x ＝－12(x －3)2＋92.∵二次项系数为－12＜0，∴函数有最大值，最大值为92.5. B 【解析】根据题意可知，需分两种情况讨论：①当P 在AB 上时，x 的取值范围是0＜x≤3，此时点D 到PA 的距离等于AD 的长度4，∴y 关于x 的函数图象是一条平行于x 轴的直线；②当P 在BC 上时，x 的取值范围是3<x≤5，∵∠BAP ＋∠DAE＝∠BAP＋∠APB，∴∠DAE ＝∠APB，又∵∠B＝∠DEA＝90°，∴△ABP ∽△DEA ，∴DE AB ＝AD AP ，∴y 3＝4x ，∴y ＝12x，∴y 关于x 的函数图象是双曲线的一部分，由k ＝12可得函数在第一象限，且y 随x 的增大而减小．综合①②可知B 选项正确．第5题解图6. 3 【解析】根据同类项的概念得，⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝4m －n ＝－1，解得m ＝1，n ＝2，∴m ＋n ＝3.7. 10 【解析】在函数表达式y ＝－112(x －4)2＋3中令y ＝0，得－112(x －4)2＋3＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2(舍去)，∴铅球推出的距离是10 m.8. 20184038 【解析】∵方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋k －1y ＝()k ＋1x ＋k的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，∴两条直线的交点为()－1，－1，两直线与x 轴的交点分别为⎝⎛⎭⎪⎫1－k k ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k ＋1，0，∴S k ＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫1－k k －－k k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1，则S1＋S 2＋S 3＋…＋S 2018＝12×(1－12＋12－13＋13－14＋…＋12017－12018＋12018－12019)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12019＝20184038. 9. 解：(1)若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为(180＋40－20)×(50－4010)＝9200(元)；(2)设房价增加x 元时，利润为w ，则w ＝(180－20＋x)(50－x10)＝－110x 2＋34x ＋8000＝－110(x －170)2＋10890，当x ＝170时，房价为170＋180＝350(元)，w 最大为10890. 即当房价定为350元时，宾馆的利润最大．第二部分 题型研究题型一 数学思想方法 类型四 转化思想针对演练1. 我们解一元二次方程3x 2－6x ＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x(x －2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x ＝0或x －2＝0，进而得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A. 转化思想B. 函数思想C. 数形结合思想D. 公理化思想2. 已知a 2－b 2＝－16，a －b ＝12，则a ＋b a －b 的值为( )A. －12B. 13C. －23D. －323. (2017温州)我们知道方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3.现给出另一个方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0.它的解是( )A. x 1＝1，x 2＝3B. x 1＝1，x 2＝－3C. x 1＝－1，x 2＝3D. x 1＝－1，x 2＝－34. 如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N.若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为( )A. 23a 2B. 14a 2C. 59a 2D. 49a 2第4题图5. 如图，在大长方形ABCD 中，放入六个相同的小长方形，则图中阴影部分面积(单位：cm 2)为( )第5题图A. 16B. 44C. 96D. 1406. 设m 2＋m －1＝0，则代数式m 3＋2m 2＋2017的值为( ) A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 20207. 如图， △ABC 经过平移得到△A′B′C′， 若四边形ACDA′的面积为6 cm 2,则阴影部分的面积为________cm 2.第7题图8. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸，A 和B 是这个台阶的两个相对端点，A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是_________寸．第8题图9. 三个同学对问题“若方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，求方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a 1x ＋2b 1y ＝5c 13a 2x ＋2b 2y ＝5c 2的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________．10. 如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN＝45°.若BM ＝1，CN ＝3，求MN 的长．第10题图 答案1. A2. C 【解析】∵()a ＋b ()a －b ＝－16，a －b ＝12，∴a ＋b ＝－13，∴a ＋b a －b ＝－23.3．D 【解析】令y ＝2x ＋3，则原方程变形为y 2＋2y －3＝0，解得y 1＝1，y 2＝－3，所以2x ＋3＝1或2x ＋3＝－3，解得x 1＝－1，x 2＝－3.4. D 【解析】如解图，过E 作BC 和CD 的垂线，垂足分别为G ，H ，则△EGM≌△EHN，∴重叠部分四边形EMCN 的面积等于正方形EGCH 的面积，∵EC ＝2AE ，∴CE ＝23AC ，EG ＝23AB ＝23a ，∴正方形EGCH 的面积为49a 2.第4题解图5. B 【解析】设小长方形的长和宽分别为x ，y ，则由图形得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3x ＝14y ＋x －2x ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝8，则阴影部分面积为14×10－6×2×8＝140－96＝44.6. C 【解析】∵m 2＋m －1＝0，∴m 2＋m ＝1，则m 3＋2m 2＋2017＝m(m 2＋m)＋m 2＋2017＝m 2＋m ＋2017＝1＋2017＝2018.7. 6 【解析】∵由平移性质得，△ABC 的面积等于△A′B′C′的面积， ∴阴影部分的面积等于四边形ACDA′的面积等于6 cm 2.第7题解图8. 73 【解析】立体图形转化为平面图形，展开后变为长方形，根据题意得，∠C ＝90°，BC ＝3×()10＋6＝48，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝552＋482＝73.第8题解图9. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝10 【解析】将方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a 1x ＋2b 1y ＝5c 13a 2x ＋2b 2y ＝5c 2变为 ⎩⎪⎨⎪⎧35a 1x ＋25b 1y ＝c 135a 2x ＋25b 2y ＝c 2，设35x ＝m ，25y ＝n ，则原方程组转化为⎩⎪⎨⎪⎧a 1m ＋b 1n ＝c 1a 2m ＋b 2n ＝c 2，再根据方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，所以得出⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧35x ＝325y ＝4，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝10.10. 解：把△ABM 绕点A 逆时针旋转90°得到的△ACG，连接NG ，如解图，第10题解图∴∠BAM ＝∠GAC，AM ＝AG ， ∴△ABM ≌△ACG.∵∠MAN ＝45°， ∠BAC ＝90°， ∴∠GAN ＝∠MAN ＝45°， ∴△MAN ≌△GAN. ∴MN ＝NG ，∴∠BCA＋∠ACG＝90°.在Rt△GCN中，NG＝CN2＋CG2＝10，∴ MN＝NG＝10.第二部分 题型研究题型一 数学思想方法 类型五 整体思想针对演练1. 已知：a －b ＝35，b －c ＝35，a 2＋b 2＋c 2＝1，则ab ＋bc ＋ca 的值等于________．2. 如图，已知△ABC 的周长为20，一半径为1的圆紧贴三角形外侧旋转一周所经过的路程为________．第2题图3. 已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，则阴影部分的面积为________．第3题图4. 角α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已给出，在计算115(α＋β＋γ)的值时，全班得出23.5°、24.5°、25.5°这样三种不同结果，其中确定有正确的答案，那么α＋β＋γ＝________．5. 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝55x ＋4y ＝7，求代数式x ＋y 的值等于________．6. 已知1x ＋1y ＝2，则2x －3xy ＋2yx ＋xy ＋y的值为________．7. 计算(1－12－13－14－15)(12＋13＋14＋15＋16)－(1－12－13－14－15－16)(12＋13＋14＋15)的结果是________．8. 如图，已知Rt △ABC 的周长为2＋6，其中AB ＝2，则这个三角形的面积是________．第8题图9. 如图，△ABC 中，AC ＝8，BC ＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为________．第9题图10. 分解因式：(x 2－3x ＋2)(x 2－3x －4)－72.11. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？12. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，P 是BC 上一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，求PE ＋PF 的长．第12题图 答案1. －225 【解析】可将ab ＋bc ＋ca 当作整体去求解，不用分别求出a 、b 、c 的值．∵a－b ＝35，b －c ＝35，∴a －c ＝65，则有(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2＝5425，即a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝2725，又∵a2＋b 2＋c 2＝1，∴ab ＋bc ＋ac ＝－225.2. 20＋2π 【解析】⊙O 在△ABC 的三个顶点处所转过的圆心角度数和为360°×3－90°×2×3－180°＝360°.所以总长度为L ＝20＋2π.3.3π2【解析】将五个扇形的圆心角度和作为整体，∵五个扇形的圆心角的和＝(5－2)×180°＝540°，r ＝1，∴S 阴影部分＝540×π×12360＝3π2.4. 352.5° 【解析】将a ＋β＋r 看作整体．设0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，90°＜γ＜180°，∴90°＜α＋β＋γ＜360°，∴6°＜115(α＋β＋γ)＜24°.∵23.5°、24.5°、25.5°中有正确答案，∴115(α＋β＋γ)＝23.5°，∴α＋β＋γ＝352.5°.5. 43 【解析】将(x ＋y)作为整体，方程组中的两个方程相加得：9x ＋9y ＝12，∴9(x ＋y)＝12，即x ＋y ＝43.6. 13 【解析】∵1x ＋1y ＝2，∴x ＋y ＝2xy ，∴2x －3xy ＋2y x ＋xy ＋y ＝2（x ＋y ）－3xy （x ＋y ）＋xy ＝xy 3xy ＝13.7. 16 【解析】设12＋13＋14＋15＝a ，则原式＝(1－a)·(a＋16)－(1－a －16)a ＝16＋56a －a 2－56a ＋a 2＝16.8. 12 【解析】在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得a 2＋b 2＝22，即(a ＋b)2－2ab ＝4，又∵a＋b＝6，∴(6)2－2ab ＝4，∴ab ＝1，∴S ＝12ab ＝12.9. 13 【解析】∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA ＝EB ，则△BCE 的周长＝BC ＋EC ＋EB ＝BC ＋EC＋EA ＝B C ＋AC ＝13.10. 解：设x 2－3x ＝a ， 则原式＝(a ＋2)(a －4)－72 ＝a 2－2a －80 ＝(a －10)(a ＋8)＝(x 2－3x －10)(x 2－3x ＋8)＝(x －5)(x ＋2)(x 2－3x ＋8)．11．解：设甲、乙、丙三种货物的单价各为x 、y 、z 元， 由题意可得：3x ＋7y ＋z ＝3.15 ①， 4x ＋10y ＋z ＝4.20 ②，三个未知数，2个方程，故考虑将x ＋y ＋z 当作整体来解答． ②－①得x ＋3y ＝1.05 ③， ③×3得3x ＋9y ＝3.15 ④， ②－④得x ＋y ＋z ＝1.05，答：购甲、乙、丙各1件，共需1.05元．12. 解：由已知条件并不能求得PE 、PF 的长，我们把PE ＋PF 的值看成一个整体．由题设条件可知：△BPE∽△BDC，∴PE DC ＝BP BD ， ∵△CPF ∽△CAB ， ∴PF AB ＝CP CA， 又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝DC ＝6，AC ＝BD ＝AB 2＋AD 2＝62＋82＝10， ∴PE ＋PF AB ＝BP ＋CP AC ＝810，∴PE ＋PF ＝4.8.第二部分 题型研究题型二 二次函数性质综合题 类型一 二次项系数确定型针对演练1. 已知抛物线y ＝x 2＋px ＋q 的顶点M 为直线y ＝12x ＋12与y ＝－x ＋m －1的交点．(1)用含m 的代数式来表示顶点M 的坐标；(2)若m ＝6，当x 取值为t －1≤x≤t＋3时，二次函数y 最小值＝2，求t 的取值范围；(3)将抛物线y ＝x 2＋px ＋q 向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，与抛物线y ＝(x －3)2＋2重合，求p 、q 的值．2. 已知抛物线y ＝x 2－2bx ＋c.(1)若抛物线的顶点坐标为(2，－3)，求b ，c 的值；(2)若b ＋c ＝0，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1，请说明理由； (3)若c ＝b ＋2且抛物线在－2≤x≤2上的最小值是－3，求b 的值．3. 已知抛物线y ＝x 2－(m ＋1)x ＋12(m 2＋1)．(1)若抛物线与x 轴有交点，求m 的值；(2)在(1)的条件下，先作y ＝x 2－(m ＋1)x ＋12(m 2＋1)的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；(3)在(2)的条件下，当直线y ＝2x ＋n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n 2－4n 的最大值和最小值．4. 如图，已知点A(0，2)，B(2，2)，C(－1，－2)，抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－2与直线x ＝－2交于点P.(1)当抛物线经过点C 时，求它的表达式；(2)抛物线上有两点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，若－2≤x 1＜x 2，y 1＜y 2，求m 的取值范围；(3)设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线上有两点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，若x 1＜x 2≤－2，比较y 1与y 2的大小；(4)当抛物线与线段AB 有公共点时，直接写出m 的取值范围．第4题图答案1. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋12y ＝－x ＋m －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －33y ＝m 3；即顶点M 坐标为(2m －33，m 3)；(2)∵m＝6，∴二次函数图象的顶点为(3，2)，∴抛物线为y ＝(x －3)2＋2， ∴函数y 有最小值为2，∵当x 取值为t －1≤x≤t＋3时，二次函数y 最小值＝2， ∴t －1≤3，t ＋3≥3， 解得0≤t≤4；(3)平移后的抛物线为y ＝(x －3)2＋2，其顶点坐标为(3，2)， 平移前的抛物线为y ＝x 2＋px ＋q ，其顶点坐标为(－p 2，4q －p24)由题意可知：将(－p 2，4q －p24)向右平移1个单位，再向下平移2个单位后与(3，2)重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧－p2＋1＝34q －p 24－2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4q ＝8，故p 、q 的值分别为－4，8.2. 解：(1)∵抛物线y ＝x 2－2bx ＋c ∴a ＝1，∵抛物线的顶点坐标为 (2，－3)，∴y ＝(x －2)2－3，∵y ＝(x －2)2－3＝x 2－4x ＋1， ∴b ＝2，c ＝1；(2)由y ＝1得x 2－2bx ＋c ＝1，∴x 2－2bx ＋c －1＝0， ∵b ＋c ＝0， ∴c ＝－b ，∵Δ＝4b 2－4(c －1)＝4b 2＋4b ＋4＝(2b ＋1)2＋3＞0， ∴存在两个实数，使得相应的y ＝1；(3)由c ＝b ＋2，则抛物线可化为y ＝x 2－2bx ＋b ＋2，其对称轴为x ＝b ，①当x ＝b≤－2时，则有抛物线在x ＝－2时取最小值为－3，此时－3＝(－2)2－2×(－2)b ＋b ＋2，解得b ＝－95，不合题意；②当x ＝b≥2时，则有抛物线在x ＝2时取最小值为－3，此时－3＝22－2×2b＋b ＋2，解得b ＝3，符合题意．③当－2＜b ＜2时，则4（b ＋2）－4b 24＝－3，化简得：b 2－b －5＝0，解得：b 1＝1＋212(不合题意，舍去)，b 2＝1－212.综上：b ＝3或1－212.3. 解：(1)抛物线与x 轴有交点，则一元二次方程x 2－(m ＋1)x ＋12(m 2＋1)＝0，Δ＝(m ＋1)2－2(m 2＋1)＝－m 2＋2m －1＝－(m －1)2，∵方程有实数根，∴－(m －1)2≥0， ∴m ＝1；(2)由(1)可知y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2， 图象如解图所示：第3题解图平移后的解析式为y ＝－(x ＋2)2＋2＝－x 2－4x －2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋n y ＝－x 2－4x －2消去y 得到x 2＋6x ＋n ＋2＝0， 由题意Δ≥0， ∴36－4n －8≥0， ∴n ≤7，∵n ≥m ，m ＝1， ∴1≤n ≤7，令y′＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，∴n ＝2时，y ′的值最小，最小值为－4， n ＝7时，y ′的值最大，最大值为21， ∴n 2－4n 的最大值为21，最小值为－4. 4. 解： (1)∵抛物线经过点C(－1，－2)，∴－2＝1＋2m ＋m 2－2， ∴m ＝－1，∴抛物线的表达式是y ＝x 2＋2x －1； (2)抛物线的对称轴为直线x ＝m ， 当x≥m 时，y 随x 的增大而增大； 点M ，N 均在直线x ＝－2的右侧，∴直线x ＝－2必须在直线x ＝m 右侧或与之重合． ∴m ≤－2.(3)当x ＝－2时，y P ＝4＋4m ＋m 2－2＝(m ＋2)2－2. ∴y P 的最小值为－2，此时m ＝－2，∴当x ＜－2时，y 随x 的增大而减小， ∵x 1＜x 2≤－2， ∴y 1＞y 2；(4)∵y＝(x －m)2－2，∴抛物线的顶点在直线y ＝－2上．当x ＝0时，y ＝m 2－2.当x ＝2时，y ＝m 2－4m ＋2. ∵抛物线与线段AB 有交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2≤2m 2－4m ＋2≥2 或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2≥2m 2－4m ＋2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2≥0m 2－4m ＋2≥20＜m ＜2， 解得：－2≤m≤0或2≤m≤4.第二部分 题型研究题型二 二次函数性质综合题 类型二 二次项系数不确定型针对演练1. (2013杭州)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴相交于点A 、B(点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A 、C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．2. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2(m≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B.(1)求点A ，B 的坐标；(2)若抛物线在－2≤x≤3的区间上的最小值为－3，求m 的值；(3)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．第2题图3. 已知二次函数y ＝kx 2＋(3k ＋2)x ＋2k ＋2.(1)若二次函数图象经过直线y ＝x －1与x 轴的交点，求此时抛物线的解析式；(2)点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数图象上的两个点，若满足x 1＋x 2＝－3，试比较y 1和y 2的大小关系．4. (2012杭州)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k(x 2＋x －1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．(1)当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．考向 2) 函数类型不确定型(杭州：2015.20，2014.23，2012.18) 针对演练1. (2012杭州)当k 分别取－1，1，2时，函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值．2. (2015杭州)设函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)．(1)当k 取1和2时的函数y 1和y 2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y 2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y 3的图象，求函数y 3的最小值．第2题图3. (2011杭州)设函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1(k 为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k ，函数的图象都具有的特征，并给予证明； (3)对任意负．实数k ，当x ＜m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．4. 已知函数y ＝(k －1)x 2＋x －k ＋2(k 为常数)．(1)求证：不论k 为何值，该函数的图象与x 轴总有交点；(2)当k 为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x 轴的另一个交点；(3)试问该函数是否存在最小值－3？若存在，求出此时的k 值；若不存在，请说明理由．5. 已知关于x 的函数y ＝kx 2＋(2k －1)x －2(k 为常数)．(1) 试说明：无论k 取什么值，此函数图象一定经过(－2，0)； (2) 在x>0时，若要使y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；(3) 若该函数图象为抛物线，将其向上平移2个单位后，平移前后图象、对称轴和y 轴围成的图形面积为4，求此时k 的值．6. 关于x 的函数y ＝2kx 2＋(1－k)x －1－k(k 是实数)，探索发现了以下四条结论： ①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；②当k ＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，83)；③当k>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；④当k≠0时，函数图象总经过两个定点． 请你判断四条结论的真假，并说明理由．答案1. 解：∵点C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段OC 长为8，∴n ＝±8，①当n ＝8时，一次函数为y 2＝43x ＋8，当y ＝0时，x ＝－6，求得点A 的坐标为A(－6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，∴这时抛物线开口向下，B(10，0)；如解图①所示，抛物线的对称轴是x ＝2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x≥2；第1题解图①②当n ＝－8时，一次函数为y 2＝43x －8，当y ＝0时，x ＝6，求得点A 的坐标为(6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，∴这时抛物线开口向上，B(－10，0)，如解图②所示，抛物线的对称轴是x ＝－2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x≤－2；第1题解图②综合以上两种情况可得：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x≥2或x≤－2. 2. 解：(1)当x ＝0时，y ＝－2， ∴A(0，－2)，∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m2m＝1，∴B(1，0)；(2)易知抛物线y ＝mx 2－2mx －2的对称轴为x ＝1， 当m ＞0时，抛物线开口向上，∵－2≤x≤3，∴y 最小值在x ＝1处取得，y 最小值＝－m －2， ∴－m －2＝－3，∴m ＝1， 当m ＜0时，抛物线开口向下，y 最小值在x ＝－2处取得，即8m －2＝－3，∴m ＝－18.。