考点49 随机事件的概率、古典概型
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A 组 基础题组
1．(2018·广西钦州月考，10)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
那么互斥而不对立的两个事件是
( D ) A ．至少有一个黑球与都是黑球
B ．至少有一个黑球与都是红球
C ．至少有一个黑球与至少有一个红球
D ．恰有一个黑球与恰有两个黑球
【解析】 对于A ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，∴A 不正确；对于B ：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴B 不正确；对于C ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C 不正确；对于D ：事件：“恰有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴D 正确．
2．(2018·山东济宁检测，6)学校为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生，将梅、兰、
竹、菊四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三位学生，每个学生至少获得一幅，则在所有送法中甲得到名画“竹”的概率是
( C ) A.23 B.12 C.13
D.16 【解析】 由题意可知总方法数，先分3组，C 24＝6，再分配A 33＝6，由分步
计数原理可知总方法数N ＝C 24A 33＝36，满足条件方法数N 1＝C 23A 22＋A 33＝12，
概率P ＝N 1N ＝1236＝13.故选C.
3．(2018·广西钦州期中，8)根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为
O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%.现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为
( D ) A ．15% B ．20% C ．45% D ．65%
【解析】 ∵某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%.
现在能为A 型病人输血的有O 型和A 型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%.故选D.
4．(2018·内蒙古包头期末，9)10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1
张，至少有1人中奖的概率是
( B )
A.310
B.1112
C.12
D.112 【解析】 根据题意，由于10张奖券中只有3张有奖，那么5个人购买，每
人1张，所有的情况为C 510，没有人中奖的情况为C 57，可知没有人中奖的概
率为C 57C 510
＝112，根据对立事件的概率可知至少有1人中奖的概率为1－112＝1112.故选B.
5．(2018·广东兴宁月考，9)“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微
信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为
1.72元，1.83元，
2.28元，1.55元，0.62元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于
3.5元的概率是( B ) A.12 B.25 C.35 D.45
【解析】 由题意可得总共情况有A 25＝20种，满足条件的有(2.28，1.83)，(2.28，
1.72)，(
2.28，1.55)，(1.83，1.72)可以交换顺序，所以共8种，所以概率为P ＝820＝25.故选B.
6．(2018·江苏苏州模拟，6)若a ，b ∈{0，1，2}，则函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 有零
点的概率为__23__．
【解析】 a ，b ∈{0，1，2}，当函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 没有零点时，a ≠0，且Δ＝4－4ab ＜0，即ab ＞1，∴(a ，b )有3种情况：(1，2)，(2，1)，(2，2)．
基本事件总数n ＝3×3＝9，∴函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 有零点的概率为P ＝1－39＝
23.
7．(2018·江苏南京模拟，9)从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不
同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为__112__．
【解析】 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的数，有n ＝9×82＝36(种)情形，其中一个数是另一个数的3倍的事件有(1，3)，(2，6)，
(3，9)，共3种情形，所以由古典概型的计算公式可得其概率是P ＝336＝112.
B 组 能力题组
8．(2018·湖南郴州模拟，3)从集合A ＝{－2，－1，2}中随机选取一个数记为a ，从集合B ＝{－1，1，3}中随机选取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为
( A ) A.29 B.13 C.49
D.14 【解析】 由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件a ∈A ＝{－2，－1，2}，b ∈B ＝{－1，1，3}，
得到(a ，b )的取值所有可能的结果有(－2，－1)，(－2，1)，(－2，3)，(－1，－1)，(－1，1)，(－1，3)，(2，－1)，(2，1)，(2，3)，共9种结果．
由ax －y ＋b ＝0得y ＝ax ＋b ，当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b ≥0
时，直线不经过第四象限，符合条件的(a ，b )有(2，1)，(2，3)，共2种结果，
∴直线不经过第四象限的概率P ＝29.
9．(2018·湖北武汉调研，9)标有数字1，2，3，4，5的卡片各一张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
( A ) A.12 B.15 C.35
D.25 【解析】 5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这5张卡片中随机抽取2张，
基本事件总数n ＝A 25＝20，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的情况有
①第一张抽到2，第二张抽到1；
②第一张抽到3，第二张抽到1或2；
③第一张抽到4，第二张抽到1或2或3；
④第一张抽到5，第二张抽到1或2或3或4.共10种．
故抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为P ＝1020＝12.
10．(2018·广东兴宁月考，20，12分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；
(3)若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学
生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a ，b 的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率．
解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，
∴此次测试总人数为70.14＝50(人)．
∴第4，5，6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．
(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等．前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内．
(3)设成绩优秀的9人分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，k ，
则选出的2人所有可能的情况为ab ，ac ，ad ，ae ，af ，ag ，ah ，ak ；bc ，bd ，be ，bf ，
bg ，bh ，bk ；cd ，ce ，cf ，cg ，ch ，ck ；de ，df ，dg ，dh ，dk ；ef ，eg ，eh ，ek ；fg ，fh ，fk ；gh ，gk ；hk .共36种，其中a ，b 至少有1人入选的情况有15种， ∴a ，b 两人至少有1人入选的概率为
P ＝1536＝512.
C 组 素养练
11．(2018·山东淄博月考，10)将一颗骰子投掷两次第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b .设任意投掷两次使两条不重合直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2.若点(P 1，P 2)在圆(x －m )2＋y 2＝
137144的内部，则实数m 的取值范围是
( D )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－518，＋∞
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，718 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－718，518 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－518，718 【解析】 对于a 与b 各有6种情形，故总数为36种． 两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的情形有a ＝2，b ＝4或a ＝3，b ＝6，
∴概率P 1＝236＝118.
两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2相交的情形除平行与重合(a ＝1，b ＝
2)即可，∴P 2＝3336＝1112.
∵点(P 1，P 2)在圆(x －m )2＋y 2
＝137144的内部， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫118－m 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫11122<137144， 解得－518<m <718.故选D.。
