2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：9.4随机事件的概率

课时跟踪检测(五十三) 椭 圆1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．52．(2012·海淀模拟)2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件3．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 4．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.455．(2012·安徽师大附中模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋146．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．8．(2012·郑州模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝________.9．(2013·哈尔滨模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．10．(2012·安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．11．(2012·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA，求直线AB 的方程．12．(2013·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，F 为椭圆的右焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF ,＝λFN,(λ＞0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN ,⊥AF,；(2)若当λ＝1时，有AM ,·AN ,＝1063，求椭圆C 的方程．1．(2012·太原模拟)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 21－a 22＝b 21－b 22；③a 1a 2＞b 1b 2；④a 1－a 2＜b 1－b 2. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④D ．①②③2．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．3．(2012·西城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．答 案课时跟踪检测(五十三)A 级1．选A 由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，所以|PF 2|＝6，由椭圆的定义知|PF 1|＝2×5－6＝4.2．选B 若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件．3．选B ∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.4．选C 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 5．选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12. 6．选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点(2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.7．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆定义知2a ＝12，即a ＝6，由ca ＝32，得c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 答案：x 236＋y 29＝18．解析：由题意知|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |， 由椭圆的定义，|AF 1|＋|AF 2|＝2， |BF 1|＋|BF 2|＝2，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4 ＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝3|AB |， 所以|AB |＝43.答案：439．解析：∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋10－|PF 2|＝10＋|PM |－|PF 2|≤10＋|MF 2|＝10＋5＝15， 当P ，M ，F 2三点共线时取等号． 答案：1510．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2， 得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知， a ＝10，b ＝5 3.11．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ―→＝2OA ―→及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB ＝2OA ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以 x 2A ＝41＋4k 2.由OB ＝2OA ， 得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 12．解：(1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， F (c,0)，则MF ,＝(c －x 1，－y 1)，FN,＝(x 2－c ，y 2)．当λ＝1时，MF ,＝FN,，∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c . ∵M ，N 两点在椭圆C 上，∴x 21＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 22b 2， ∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN ,＝(0,2y 2)，AF,＝(c ＋4,0)， ∴MN ,·AF ,＝0， ∴MN ,⊥AF(2)当λ＝1时，由(1)知x 1＝x 2＝c ， ∴M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， ∴AM ,＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，b 2a ， AN ,＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，－b 2a ，∴AM ·AN ＝(c ＋4)2－b 4a 2＝1063.(*) ∵c a ＝63，∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22，代入(*)式得 56c 2＋8c ＋16＝1063， ∴c ＝2或c ＝－585(舍去)．∴a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.B 级1．选C 由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.2．解析：设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y2，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝cy a 2＋c 2，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝cy b 2－2c2(b 2－2c 2≠0)由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝(a 2＋c 2)(2c 2－b 2)c 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2＞0，即e 2＞13，故33＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由a 2c －c ＝2c 得e ＝33，综上得33≤e ＜1. 答案：⎣⎡⎭⎫33，13．解：(1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k3＋4k 2.线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －4k 23＋4k 2.在上述方程中，令x ＝0，得 y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k . 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43；当k ＞0时，3k ＋4k ≥4 3.所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，312.。

2014届高三数学一轮复习专讲(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：1.3全称量词与存在量词、逻辑联结词课时跟踪检测(三)全称量词与存在量词、逻辑联结词1．命题a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2的否定是()A．存在a，b∈R，a2＋b2＋2ab≠(a＋b)2B．存在a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．任意a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．任意a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)22．(2012·山东高考改编)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cosx的图像关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()A．p为真 B．q为真C．p且q为假D．p或q为真3．下列命题中，真命题是()A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)`都是偶函数D．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数4．(2012·长沙模拟)设p、q是两个命题，则“命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是()A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真D．p为真，q为假5．(2012·揭阳模拟)已知命题p：存在x∈R，cos x＝54；命题q：任意x∈R，x2－x＋2>0，则下列结论正确的是()题为真命题．其中所有真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②④ C ．②D ．④8．(2012·石家庄模拟)已知命题p ：任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＝1或a ≤－2B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤19．命题“存在实数x ，使sin x ＝x ”的否定是________．10．已知命题p ：“存在正数x ，使x >1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．11．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________．12．若存在θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6的值为________．13．已知命题p ：存在a ∈R ，曲线x 2＋y2a ＝1为双曲线；命题q ：x －1x －2≤0的解集是{x |1<x <2}．给出下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且(綈q )”是真命题；③命题“(綈p )或q ”为真命题；④命题“(綈p )或(綈q )”是真命题．其中正确的是________．14．下列结论：①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝2；命题q ：任意x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p 且(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)1．下列说法错误的是( )A ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：若“a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：存在x ∈R ，ln(x 2＋1)<0，则綈p ：任意x ∈R ，ln(x 2＋1)≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件2．(2013·“江南十校”联考)命题p ：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是()A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题C．綈p为假命题D．綈q为假命题3．已知命题p：“任意x∈R，存在m∈R,4x －2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________．4．下列四个命题：①存在x∈R，使sin x＋cos x＝2；②对任意x∈R，sin x＋1sin x≥2；③对任意x∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，tan x＋1tan x≥2；④存在x∈R，使sin x＋cos x＝ 2.其中正确命题的序号为________．5．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p 且q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．6．已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．答案课时跟踪检测(三)A级1．选A该命题是全称命题，即对任意a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，其否定为：存在a，b∈R，a2＋b2＋2ab≠(a＋b)2.2．选C命题p，q均为假命题，故p且q 为假命题．3．选A由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．4．解析：选C∵p或q为真⇔p、q中至少有一个为真；p且q为假⇔p、q中至少有一个为假，∴“命题p或q为真，p且q为假”⇔p 与q一真一假．5．选C命题p是假命题，命题q是真命题，∴p且q是假命题，p且(綈q)是假命题，(綈p)且q是真命题，(綈p)或(綈q)是真命题．6．选D因为对任意x∈R，e x＞0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，＝－1，故排除C.取a＝b＝0，则不能推出ab7．选C命题“存在x∈R，x2＋1>3x”的否定是“任意x∈R，x2＋1≤3x”，故①错；“p 或q”为假命题说明p和q都假，则綈p且綈q 为真命题，故②对；a>5⇒a>2，但a>2⇒/a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③错；“若xy＝0，则x＝0且y＝0”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．8．选A若命题p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0真，则a≤1.若命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0真，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a≥1或a≤－2，又p且q为真命题所以a＝1或a≤－2.9．对任意实数x，都有sin x≠x.10．解析：命题q为“对任意正数x，x≤1 x”是假命题．答案：对任意正数x，x≤1x假11．解析：由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图像知Δ＝a 2－4>0，解得a >2或a <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 12．解析：∵存在θ∈R 使sin θ－1≥0. 又－1≤sin θ≤1，∴sin θ＝1. ∴θ＝2k π＋π2(k ∈Z)．故cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＝12.答案：1213．解析：因为命题p 是真命题，q 为假命题，所以命题“p 且q ”是假命题，命题“p 且(綈q )”是真命题，命题“(綈p )或q ”是假命题，命题“(綈p )或(綈q )”是真命题．答案：②④14．解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p 且(綈q )”是假命题是正确的．在②中l 1⊥l 2⇔a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．答案：①③B 级1．选D sin θ＝12是θ＝30°的必要不充分条件．2．选B ∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p或q ”是假命题．3．解析：若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.答案：(－∞，1]4．解析：∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]；故①存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2错误； ④存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2正确； ∵sin x ＋1sin x ≥2或sin x ＋1sin x ≤－2，故②对任意x ∈R ，sin x ＋1sin x ≥2错误；③对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，tan x >0，1tan x >0，由基本不等式可得tan x ＋1tan x≥2正确．答案：③④5．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0， 得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3， 即p 为真命题时，1<x <3.由⎩⎨⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎨⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时，2<x ≤3.若p 且q 为真，则⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3，⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)设A ＝{x |x ≤a ，或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2，或x >3}，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]． 6．解：由2x 2＋ax －a 2＝0， 得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a >2，或a <－2.。

课时跟踪检测(二十三) 简单的三角恒等变形1.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α2．(2012·深圳调研)已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．13．(2012·山东高考)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74D.344．(2012·河北质检)计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．15．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6 C.π4D.π36．若－2π<α<－3π2，则1－cos (α－π)2的值是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α27．化简sin 235°－12cos 10°cos80°＝( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．18．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 9．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.10．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值； (2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值．11．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．12．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．1．(2012·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5―→|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π2．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.3．设函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x .(1)试判断函数f (x )的单调性，并说明理由；(2)已知f ′(x )为函数f (x )的导函数，且f ′(B )＝34，B 为锐角，求sin(B ＋10°)[1－3tan(B－10°)]的值．答 案课时跟踪检测(二十三)A 级1．选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.2．选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1， 即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.3．选D 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以cos 2θ<0， 所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.4．选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 5．选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.6．选D1－cos (α－π)2＝1－cos (π－α)2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2， ∵－2π<α<－3π2，∴－π<α2<－3π4，∴cos α2<0，∴⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 7．选C sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°·sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.8．解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2(sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°)2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 210．解：(1)法一：由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2得 tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2，即1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13.法二：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋αtan π4＝2－11＋2×1＝13.(2)sin ()α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝－(sin αcos β－cos αsin β)cos αcos β＋sin αsin β＝－sin (α－β)cos (α－β)＝－tan(α－β) ＝－tan α－tan β1＋tan αtan β＝－13－121＋13×12＝17.11．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3， 所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.12．解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin [α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4. B 级1．选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图像(如图所示)可知，|15P P |＝2π.2．解析：∵α是第二象限的角，∴α2可能在第一或第三象限．又sin α2<cos α2，∴α2为第三象限的角．∴cos α2<0. ∵tan α＝－43，∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 答案：－553．解：(1)因为f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ＝12－12sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增． (2)由(1)知f ′(B )＝12－12sin π6－B ＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎫π6－B ＝－12，因为B 为锐角，所以B ＝60°. 故sin(B ＋10°)[1－3tan(B －10°)] ＝sin 70°(1－3tan 50°)＝sin 70°⎝⎛⎭⎫1－3sin 50°cos 50°＝sin 70°·cos 50°－3sin 50°cos 50°＝sin 70°·2cos (50°＋60°)cos 50°＝sin 70°·－2cos 70°cos 50°＝－sin 140°cos 50°＝－1.。

课时跟踪检测(六) 函数的单调性与最值1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( ) A ．－7 B ．1 C ．17D ．253．(2013·佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减少的，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增加的B ．减少的C ．先增后减D ．先减后增4．给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．(2012·青岛模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)6．(2012·丹东模拟)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43 C.⎣⎡⎭⎫0，32 D ．[1,2)7．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．8．(2012·台州模拟)若函数y ＝|2x －1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________．9．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增加的，则a 的取值范围是________．10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．12．(2011·上海高考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．1．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫132．(2012·黄冈模拟)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为( )A.14B.12C.22D.323．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数m ，n ，总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.(1)试求f (0)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明你的结论；(3)设A ＝{(x ，y )|f (x 2)·f (y 2)>f (1)}，B ＝{(x ，y )|f (ax －y ＋2)＝1，a ∈R}，若A ∩B ＝∅，试确定a 的取值范围．答 案 课时跟踪检测(六)A 级1．选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．选D 依题意，知函数图像的对称轴为x ＝－－m 8＝m8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.3．选B ∵y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a <0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减少的．4．选B ①y ＝x 12在(0,1)上单调递增，②y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上单调递减，③y ＝|x －1|在(0,1)上单调递减， ④y ＝2x＋1在(0,1)上单调递增．5．选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增， 所以f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．6．选D 由2－x >0，得x <2，即函数定义域是(－∞，2)．作出函数y ＝|ln(－x )|的图像，再将其向右平移2个单位，即得函数f (x )＝|ln(2－x )|的图像，由图像知f (x )在[1,2)上为增加的．7．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0. 作出该函数的图像，观察图像知递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32. 答案：⎣⎡⎦⎤0，32 8．解析：画出图像易知y ＝|2x －1|的递减区间是(－∞，0]， 依题意应有m ≤0. 答案：(－∞，0]9．解析：设x 1>x 2>－2，则f (x 1)>f (x 2)， 即f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1(x 1＋2)(x 2＋2)＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)>0，则2a －1>0.得a >12.答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 10．解：(1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1) (x1－a)(x2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述a的取值范围是(0,1]．11．解：(1)证明：法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又∵x>0时，f(x)<0.而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．法二：在R上任取x1，x2，且x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在R上为减函数，∴f(x)在[－3,3]上是减少的，∴f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)，而f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－2.∵0＝f(0)＝f(3－3)＝f(3)＋f(－3)，∴f(－3)＝－f(3)＝2，因此，f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.12．解：(1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)．∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 同理，当a <0，b <0时，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0， 当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ， 则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫－a2b ； 同理，当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a2b ， 则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a2b . B 级1．选C 由f (2－x )＝f (x )可知，f (x )的图像关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增加的，所以当x <1时f (x )为减少的，因为⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)．2．选C 显然函数的定义域是[－3,1]且y ≥0，故y 2＝4＋2(1－x )(x ＋3)＝4＋2－x 2－2x ＋3＝4＋2－(x ＋1)2＋4，可得4≤y 2≤8，故2≤y ≤22，即m ＝2，M ＝22，所以m M ＝22.3．解：(1)在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中， 令m ＝1，n ＝0， 得f (1)＝f (1)·f (0)． 因为f (1)≠0，所以f (0)＝1. (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.在已知条件f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，则已知条件可化为： f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)．由于x 2－x 1>0，所以0<f (x 2－x 1)<1.为比较f (x 2)，f (x 1)的大小，只需考虑f (x 1)的正负即可． 在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中， 令m ＝x ，n ＝－x ， 则得f (x )·f (－x )＝1.因为当x>0时，0<f(x)<1，所以当x<0时，f(x)＝1f(－x)>1>0.又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R，均有f(x1)>0.所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0.所以函数f(x)在R上单调递减．(3)f(x2)·f(y2)>f(1)，即x2＋y2<1.f(ax－y＋2)＝1＝f(0)，即ax－y＋2＝0.由A∩B＝∅，得直线ax－y＋2＝0与圆面x2＋y2<1无公共点，所以2a2＋1≥1，解得－1≤a≤1.。