(应用数理统计)回归分析_01
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应用数理统计大作业1——逐步回归法分析终教学提纲
应用数理统计大作业1——逐步回归法分析终应用数理统计多元线性回归分析（第一次作业）学院：机械工程及自动化学院姓名：学号：2014年12月逐步回归法在AMHS物流仿真结果中的应用摘要：本文针对自动化物料搬运系统 (Automatic Material Handling System，AMHS)的仿真结果，根据逐步回归法，使用软件IBM SPSS Statistics 20，对仿真数据进行分析处理，得到多元线性回归方程，建立了工件年产量箱数与EMS 数量、周转箱交换周期以及AGC物料交换服务水平之间的数学模型，并对影响年产量箱数的显著性因素进行了分析，介绍了基本假设检验的情况。
关键词：逐步回归；残差；SPSS；AMHS；物流仿真目录1、引言 (1)2、逐步回归法原理 (4)3、模型建立 (6)3.1确定自变量和因变量 (6)3.2分析数据准备 (6)3.3逐步回归分析 (7)4、结果输出及分析 (9)4.1输入／移去的变量 (9)4.2模型汇总 (10)4.3方差分析 (10)4.4回归系数 (11)4.5已排除的变量 (12)4.6残差统计量 (13)4.7残差分布直方图和观测量累计概率P-P图 (14)5、异常情况说明 (15)5.1异方差检验 (15)5.2残差的独立性检验 (17)5.3多重共线性检验 (17)6、结论 (18)参考文献 (20)1、引言回归被用于研究可以测量的变量之间的关系，线性回归则被用于研究一类特殊的关系，即可用直线或多维的直线描述的关系。
这一技术被用于几乎所有的研究领域，包括社会科学、物理、生物、科技、经济和人文科学。
逐步回归是在剔除自变量间相互作用、相互影响的前提下，计算各个自变量x与因变量y之间的相关性，并在此基础上建立对因变量y有最大影响的变量子集的回归方程。
SPSS(Statistical Package for the Social Science社会科学统计软件包)是世界著名的统计软件之一，目前SPSS公司已将它的英文名称更改为Statistical Product and Service Solution，意为“统计产品与服务解决方案”。
概率论与数理统计-回归分析
第11章 回归分析设x 为普通变量，Y 为随机变量。
如果当x 变化时，Y 随着x 的变化大体上按某种趋势变化，则称x 与Y 之间存在相关关系，即),0(~,)(2σεεN x f Y +=例如，某地人均收入x 与某种商品的消费量Y 之间的关系；森林中树木的断面直径x 与高度Y 之间的关系；某种商品的价格x 与销售量Y 之间的关系；施用氮肥、磷肥、钾肥数量1x ，2x ，3x 与某种农作物产量Y 之间的关系。
在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的近似函数关系或得到样点之外的数据。
我们确定的函数要求在某种距离意义下的误差达到最小（通常用最小二乘法，即考虑使各数据点误差平方和最小）。
由一个（或几个）普通变量来估计或预测某个随机变量的取值时，所建立的数学模型及所进行的统计分析称为回归分析。
§11.1 一元线性回归假设有一批关于x 与Y 的离散样点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x集中在一条直线附近，说明x 与Y 之间呈线性相关关系，即),0(~,2σεεN bx a Y ++=称为一元线性回归模型。
一、模型中的参数估计 1、b a ,的估计 首先引进记号∑∑∑∑∑=====-=-=-===ni i i xy ni i yy ni i xx ni ini iyx n y x S y n y S x n x S y n y x n x 11221221111按最小二乘法可得到xxxyS S b =ˆ x b y a ˆˆ-= 称x b a yˆˆˆ+=为Y 关于x 的一元线性回归方程。
2、2σ的估计)ˆ(21ˆ22xx yy S b S n --=σ求出关于的一元线性回归方程。
解：先画出散点图如下计算出 3985193282503.6714510======xy yy xx S S S y x n483.0ˆ==xxxyS S b 735.2ˆˆ-=-=x b y a所求的回归方程是x y483.0735.2ˆ+-=。
概率论与数理统计(回归分析)
调整R方值 考虑到自变量数量的R方值，用 于比较不同模型之间的拟合优度。 调整R方值越接近于1，说明模型 拟合优度越好。
残差图 通过观察残差与实际观测值之间 的关系，判断模型是否符合线性 关系、是否存在异方差性等。
05
逻辑回归分析
逻辑回归模型
01
逻辑回归模型是一种用于解决 二分类问题的统计方法，基于 逻辑函数将线性回归的预测值 转换为概率形式。
多元非线性回归模型
在多个自变量X1, X2, ..., Xp的条件下，预测因变量Y的非线性数 学模型。模型形式为Y = f(β0, β1*X1, β2*X2, ... , βp*Xp)，其
中f表示非线性函数。
多元逻辑回归模型
用于预测分类结果的多元回归模型，适用于因变量Y为二分 类或多分类的情况。
多重共线性问题
非线性回归模型是指因变量和自 变量之间的关系不是线性的，需 要通过变换或参数调整来拟合数 据。
形式
非线性回归模型通常采用指数函 数对数函数、多项式函数等形 式来表达。
适用范围
非线性回归模型适用于因变量和 自变量之间存在非线性关系的情 况，例如生物医学、经济学、社 会学等领域。
常用非线性回归模型
指数回归模型
线性回归模型假设因变量和自变 量之间存在一种线性关系，即当 一个自变量增加或减少时，因变 量也会以一种恒定的方式增加或 减少。
最小二乘法
01
02
03
最小二乘法是一种数学 优化技术，用于估计线
性回归模型的参数。
最小二乘法的目标是找 到一组参数，使得因变 量的观测值与预测值之
间的平方和最小。
最小二乘法的数学公式为： β=(XTX)^(-1)XTY，其中 X是自变量的数据矩阵，Y 是因变量的数据向量，β
数理统计回归分析
有了观测数据 (xi1, xi2 ,, xip , yi ) 后，同样可以用最小 二乘法获得参数 b0 , b1,, bp的最小二乘估计，记为 bˆ0 , bˆ1,, bˆp ，得多元线性回归方程：
yˆ bˆ0 bˆ1x1 bˆp x p （7）
同理，（7）式是否真正描述了 y 与 x1, x2 ,, x p 的客观存在的关系还需进一步检验
yˆ y bˆ(x x) （11）
（11）式给出了最小二乘估计的几何意义．当给定 样本观察值 (x1, y1 ), (x2 , y2 ),, (xn , yn ) 后，散点图中 直线很多.选取点 (xi , yi ) ，i 1,2,, n ，与诸直线的 偏差平方和最小的这条直线是一条通过散点图的几 何中心 (x, y) ，斜率为 bˆ 的直线，可以证明，在某 些假设下，aˆ 与 bˆ 是所有线性无偏估计中最好的.
n
n
n
a
i1
xi
b
i 1
x2i
i 1
xi yi
称为正规方程组，记
x
1 n
n i 1
xi
1 n
y n i1 yi
（9）
xi
由于 xi不完全相同，正规方程组的系数行列式
n
n
xi
i 1
n
xi
i 1
n x2i
n
n
i 1
x2i
9
11.5 11.3
10
13.3 12.0
解： 为求线性回归方程，计算得
x
1 10
10 i 1
xi
11.73
故
10
yˆ bˆ0 bˆ1x1 bˆp x p （7）
同理，（7）式是否真正描述了 y 与 x1, x2 ,, x p 的客观存在的关系还需进一步检验
yˆ y bˆ(x x) （11）
（11）式给出了最小二乘估计的几何意义．当给定 样本观察值 (x1, y1 ), (x2 , y2 ),, (xn , yn ) 后，散点图中 直线很多.选取点 (xi , yi ) ，i 1,2,, n ，与诸直线的 偏差平方和最小的这条直线是一条通过散点图的几 何中心 (x, y) ，斜率为 bˆ 的直线，可以证明，在某 些假设下，aˆ 与 bˆ 是所有线性无偏估计中最好的.
n
n
n
a
i1
xi
b
i 1
x2i
i 1
xi yi
称为正规方程组，记
x
1 n
n i 1
xi
1 n
y n i1 yi
（9）
xi
由于 xi不完全相同，正规方程组的系数行列式
n
n
xi
i 1
n
xi
i 1
n x2i
n
n
i 1
x2i
9
11.5 11.3
10
13.3 12.0
解： 为求线性回归方程，计算得
x
1 10
10 i 1
xi
11.73
故
10
第6章 回归分析 《应用统计学》PPT课件
二、回归分析和相关分析
➢联系 由相关系数的大小决定是否需要进行回归分析。
在相关分析的基础上建立回归模型，以便进行推算、 预测，同时相关系数还是检验回归分析效果的标准。
➢ 区别 相关分析研究的变量都是随机变量，并且不分
自变量与因变量；回归分析研究的变量要首先明确 那些是自变量，那些是因变量？并且自变量是确定 的普通变量，因变量是随机变量。
设所研究的对象受多个因素 x1, x2,, xm 的影响，假定各个影响 因素与 y 的关系是线性的，这时就需要建立多元线性回归模型：
Y XB
给定变量 y, x1, x2 ,, xm 的一组观测值 yi , x1i , x2i ,, xmi ，对应
地有
yi 1x1i 2x2i mxmi i ， i 1,2,,n
三、回归模型的种类
根据自变量的多少 回归模型可以分为一元回归模型和多元回归模型。
根据回归模型的形式线性与否 回归模型可以分为一元回归模型和多元回归模型。
根据回归模型是否带有虚拟变量 回归模型可以分为普通回归模型和带虚拟变量的回
归模型。 此外，根据回归模型是否用滞后的因变量作自变量，
回归模型又可分为无自回归现象的回归模型和自回归 模型。
-
2)
s0
则在显著性水平为α时，预
测值 yˆ 0 的预测区间为
yˆ 0 t 2 (n 2) s0
当实际观测值较多时， 一般n>30，式 （6.2.31）可简化为
yˆ 0 Z 2 • sy
七、几个应当注意的问题
1．重视数据的收集和甄别
在收集数据的过程中可能会遇到以下困难： （1）一些变量无法直接观测。 （2）数据缺失或出现异常数据。 （3）数据量不够。 （4）数据不准确、不一致、有矛盾。
应用统计方法第四章-回归分析PPT课件
应用统计方法第四章-回归分 析ppt课件
• 回归分析概述 • 线性回归分析 • 非线性回归分析 • 多元回归分析 • 回归分析的注意事项
01
回归分析概述
回归分析的定义
回归分析是一种统计学方法，用于研 究自变量和因变量之间的相关关系， 并建立数学模型来描述这种关系。
它通过分析因变量对自变量的依赖程 度，来预测因变量的未来值或解释因 变量的变异。
影响
共线性会导致回归系数不 稳定，降低模型的预测精 度和可靠性。
解决方法
通过剔除不必要的自变量、 使用主成分分析等方法来 降低共线性的影响。
05
回归分析的注意事项
数据质量与预处理数据完整性源自确保数据集中的所有必要 信息都已收集，没有遗漏 或缺失值。
数据准确性
核实数据的准确性，并处 理任何错误或异常值。
回归分析的分类
线性回归分析
研究自变量和因变量之间线性关系的回归分析。
多元回归分析
研究多个自变量与一个因变量之间关系的回归分析。
ABCD
非线性回归分析
研究自变量和因变量之间非线性关系的回归分析，如多 项式回归、指数回归、对数回归等。
一元回归分析
研究一个自变量与一个因变量之间关系的回归分析。
回归分析的应用场景
02
线性回归分析
线性回归模型
线性回归模型
描述因变量与自变量之间线性关系的 数学模型。
模型形式
(Y = beta_0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ldots + beta_pX_p + epsilon)
最小二乘法估计
最小二乘法
01
通过最小化预测值与实际值之间的残差平方和来估计回归参数
• 回归分析概述 • 线性回归分析 • 非线性回归分析 • 多元回归分析 • 回归分析的注意事项
01
回归分析概述
回归分析的定义
回归分析是一种统计学方法，用于研 究自变量和因变量之间的相关关系， 并建立数学模型来描述这种关系。
它通过分析因变量对自变量的依赖程 度，来预测因变量的未来值或解释因 变量的变异。
影响
共线性会导致回归系数不 稳定，降低模型的预测精 度和可靠性。
解决方法
通过剔除不必要的自变量、 使用主成分分析等方法来 降低共线性的影响。
05
回归分析的注意事项
数据质量与预处理数据完整性源自确保数据集中的所有必要 信息都已收集，没有遗漏 或缺失值。
数据准确性
核实数据的准确性，并处 理任何错误或异常值。
回归分析的分类
线性回归分析
研究自变量和因变量之间线性关系的回归分析。
多元回归分析
研究多个自变量与一个因变量之间关系的回归分析。
ABCD
非线性回归分析
研究自变量和因变量之间非线性关系的回归分析，如多 项式回归、指数回归、对数回归等。
一元回归分析
研究一个自变量与一个因变量之间关系的回归分析。
回归分析的应用场景
02
线性回归分析
线性回归模型
线性回归模型
描述因变量与自变量之间线性关系的 数学模型。
模型形式
(Y = beta_0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ldots + beta_pX_p + epsilon)
最小二乘法估计
最小二乘法
01
通过最小化预测值与实际值之间的残差平方和来估计回归参数
回归分析应用PPT课件
回归分析的应用场景
A
经济预测
通过分析历史数据，预测未来的经济趋势，如 股票价格、GDP等。
市场营销
通过研究消费者行为和购买历史，预测未 来的销售趋势和客户行为。
B
C
医学研究
研究疾病与风险因素之间的关系，预测疾病 的发生概率。
科学研究
在各种科学领域中，如生物学、物理学、化 学等，回归分析被广泛应用于探索变量之间 的关系和预测结果。
06 回归分析的局限性
多重共线性问题
总结词
多重共线性问题是指自变量之间存在高 度相关关系，导致回归系数不稳定，影 响模型预测精度。
VS
详细描述
在回归分析中，如果多个自变量之间存在 高度相关关系，会导致回归系数的不稳定 性，使得模型预测精度降低。这种情况在 数据量较小或者自变量较多的情况下更容 易出现。为了解决这个问题，可以采用减 少自变量数量、使用主成分分析等方法。
预测能力评估
使用模型进行预测，并比较预 测值与实际观测值之间的误差
，评估模型的预测能力。
03 多元线性回归分析
多元线性回归模型
01
确定因变量和自变 量
在多元线性回归模型中，因变量 是我们要预测的变量，而自变量 是影响因变量的因素。
02
建立数学模型
03
模型参数解释
通过最小二乘法等估计方法，建 立因变量与自变量之间的线性关 系式。
回归分析可以帮助我们理解数据的内在规律，预测未来的趋势，并优化决 策。
回归分析的分类
01
一元回归分析
研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
02
多元回归分析
研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
03
线性和非线性回归分析
应用统计学：回归分析PPT课件
03
使用方法
通过菜单和对话框选择分析方法，导入数据，设置参数，运行分析并查
看结果。
Stata软件介绍
适用范围
Stata（Statistical Data Analysis） 是一款适用于各种统计分析和数 据管理的软件，尤其适用于回归 分析。
特点
功能强大、命令语言简洁，支持多 种数据管理操作，提供多种统计分 析方法，结果输出详细且可视化效 果好。
使用方法
通过命令行输入分析命令，导入数 据，设置参数，运行分析并查看结 果。
R软件介绍
适用范围
R（Software for Statistical Computing）是一款开源的统 计软件，适用于各种统计分析，
包括回归分析。
特点
功能强大、社区活跃、可扩展性 强，支持多种编程语言和数据可 视化工具，提供丰富的统计函数
分层回归分析的基本思想是将多个自变量分为若干个层次，每个层次内 部的自变量之间存在较强的相关性，而不同层次的自变量之间相关性较
弱。
分层回归分析在生态学、社会学、医学等领域有广泛应用，例如研究不 同层次的人口特征对健康状况的影响、研究不同层次的社会经济因素对 犯罪率的影响等。
主成分回归分析
主成分回归分析的基本思想是将多个自变量进行主成 分分析，得到少数几个主成分，这些主成分能够反映 原始数据的大部分变异，然后利用这些主成分进行回 归分析。
线性回归模型
线性回归模型是回归分析中最常用的一种模型，其形式为 (Y = beta_0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ldots + beta_pX_p + epsilon)。
其中 (Y) 是因变量，(X_1, X_2, ldots, X_p) 是自变量，(beta_0, beta_1, ldots, beta_p) 是回归系数，(epsilon) 是误差项。
数理统计分析知识及回归分析方法
数理统计分析知识及回归分析方法把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个单位称为 个体，通常用N 表示总体所包含的个体数。
总体的一部分称 为样本（或成子样），通常用n 表示样本所含的个体数，称 为样本容量。
从总体中抽区样本称为抽样。
若总体中每个个体被抽取的可能性相同，这样的抽样称为随机抽样，所获得的样本称 为随机样本。
在许多情况下不可能直接试验或研究总体，例如灯泡的 寿命、混凝土强度等，总是采用抽样的方法，通过试验或研 究样品的特性，去估计该批产品的特性或质量状况。
数理统 计就是一种以概率论为理论基础、 通过研究随机样本（样品） 对总体的特性或质量状况作出估计和评价的方法。
对于工程试验中常见的正态分布，主要计算样本的三个 统计量，即平均值、标准差（或极差）和变异系数。
一、样本平均值：以算术平均值 X 表示，可按下式计xi式中：xi ——各个试验数据试验数据个数nxi各个试验数据之和、样本标准差：以标准差s表示，可按下式计算:xi上式又称贝塞尔公式。
标准差表示一组试验数据对于其平均值的离散程度，也就是数据的波动情况，具有与平均值相同的量纲。
在相同平均值条件下，标准差大表示数据离散程度大，即波动大；标准差小表示数据离散程度小，波动小三、样本极差：极差也可以表示数据的离散程度。
极差是数据中最大值与最小值之差：极差也可以表示数据的离散程度。
极差是数据中最大值与最小值之差：当一批数据不多时（n W 10）,可用样本极差估计总体标准差:A式中：：标准差的估计值;R :极差;dn:与n有关的系数，一般，dn可近似地取为:X max x mins1ni 1,2< n W 10四、样本变异系数：变异系数表示数据的相对波动大小，按下式表示：sC v 100%x数据的性Cv可用于不同平均制条件下数据饿波动情况，更能反映质。
回归分析回归分析是一重处理变量与变量之间关系的数学方法。
变量与变量之间存在对应关系的，称为函数关系。
应用数理统计回归分析课件
(xi ? x)( yi ? y) ?
n
xi yi ? nx y
i?1
i?1
n
n
? ? Sxx ? (xi ? x)2 ? xi2 ? nx 2
i?1
i?1
则
? ?
b?
?
?
S xy S xx
? ?
a?
?
y?
xb?
12
最小二乘估计
所求线性回归方程为 y? ? a? ? b?x 由 a? ? y ? xb? 知 y ? a? ? b?x 所以 y? ? y ? b?(x ? x)
(n? 2)??2 ?2
(n
?
2)
?
b?? b
??
Sxx ~t(n? 2)
18
线性假设的显著性检验
在H0成立时，取统计量为
T
?
b?
??2
S xx ~ t(n ? 2)
给定显著性水平? ，H0的拒绝域为
b?
t ? ??2
S xx ? t? (n ? 2) 2
计算出|t|的值，查出 t? (n ? 2) 2
19
线性假设的显著性检验
若
t
?
t?
2
(，n ?则2)拒绝H0；否则就接受
H0 。拒绝H0，意味着回归效果是显
著的。在回归效果显著的情况下，
对回归系数作区间估计，可得出b的
置信度为1-? 的置信区间为
? ? (b,
b
)
?
???b??
t? 2
(n
?
2)
?
? , b?? t? (n ? 2)
S xx
2
? ??
称为一元正态线性回归模型。
n
xi yi ? nx y
i?1
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n
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i?1
i?1
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xb?
12
最小二乘估计
所求线性回归方程为 y? ? a? ? b?x 由 a? ? y ? xb? 知 y ? a? ? b?x 所以 y? ? y ? b?(x ? x)
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(n
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2)
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Sxx ~t(n? 2)
18
线性假设的显著性检验
在H0成立时，取统计量为
T
?
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S xx ~ t(n ? 2)
给定显著性水平? ，H0的拒绝域为
b?
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S xx ? t? (n ? 2) 2
计算出|t|的值，查出 t? (n ? 2) 2
19
线性假设的显著性检验
若
t
?
t?
2
(，n ?则2)拒绝H0；否则就接受
H0 。拒绝H0，意味着回归效果是显
著的。在回归效果显著的情况下，
对回归系数作区间估计，可得出b的
置信度为1-? 的置信区间为
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称为一元正态线性回归模型。
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第6章 回归分析
回归分析的目的：依靠观察数据建立变量间的关系， 分析数据规律。 回归分析的内容： 参数回归分析 回归分析 非参数回归分析 线性回归分析
非线性回归分析
• 本章内容：线性回归分析。
回归分析是描述数据处理方法的一门应用学
科，它是统计学者常用的工具，它理论完善，计
算方法灵活巧妙，无论从事理论研究还是从事应
让我们来看一下有联系的变量之间的关系:
例如, 矩形的面积S和矩形的两条边长a和 b有关系: b S a S=a. b
又如著名的欧姆定律指出, 电压V、电阻R 与电流I之间有关系:
V=I. R
以上两例的共同点在于，三个量中任意 两个已知，其余一个就可以完全确定. 也就 是说，变量之间存在着确定性的关系，并且 可以用数学表达式来表示这种关系。 然而，在大量的实际问题中，变量之 间虽有某种关系，但这种关系很难找到一 种精确的表示方法来描述。
这种大量存在的变量间既互相联系但 又不是完全确定的关系，称为相关关系. 从数量的角度去研究这种关系，是数 理统计的一个任务. 这包括通过观察和试 验数据去判断变量之间有无关系，对其关 系大小作出数量上的估计 , 对互有关系的 变量通过其去推断和预测其它,等等. 回归分析就是研究相关关系的一种重 要的数理统计方法.
1.最小二乘估计
设 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), , ( xn , y n )是( x, y )的一组 观测值,对每个样本观测值 ( xi , yi )考虑 y i与其回归值
E ( y i ) 0 1 xi
的离差
yi E ( yi ) yi 0 1 xi
ˆ y ˆx 0 1
1 n y yi n i 1
若记
Lxx ( xi x )
例如,人的身高与体重之间有一定的关系, 知道一个人的身高可以大致估计出他的体重, 但并不能算出体重的精确值.
其原因在于人有较大的个体差异, 因而身高 和体重的关系, 是既密切但又不能完全确定 的函数关系.
类似的变量间的关系在大自然和社会中 屡见不鲜. 例如 , 小麦的穗长与穗重的关系 ; 某班学生最 后一次考试分数与第一次考试分数的关系;温 度、降雨量与农作物产量间的关系;人的年龄 与血压的关系; 家庭收入与支出的关系等等.
y x 1
高尔顿对此进行了深入研究 . 他们将观察值在平面直角 坐标系上绘成散点图,发现趋势近乎一条直线,计算出的回归 直线方程为
ˆ 33.73 0.516 x y
如果
与随机变量y之间存在相关关系, ——解释变量
y —— 被解释变量 ε ——其它随机因素的影响,通常假设ε 是不可观 测的随机误差,它是一个随机变量. 多元线性回归模型 :
ˆ n x ˆ ny , n 1 0 n n ˆ 2 ˆ n x 0 ( xi ) 1 xi y i . i 1 i 1
ˆ 1
( x x )( y y )
i 1 i i
n
(x x )
i 1 i
n
2
பைடு நூலகம்
1 n x xi n i 1
多元线性回归方程 ：
第一节 一元线性回归
一元线性回归模型
y 0 1 x
一元线性回归方程
ˆ ˆx ˆ y 0 1
通常假定
~ N (0, 2 )
设 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), , ( xn , y n ) 是 ( x, y ) 的一组 观测值,则
综合考虑每个离差值,定义离差平方和
Q ( 0 , 1 ) y i E ( y i ) ( y i 0 1 xi )
2 i 1
n
n
2
i 1
所谓最小二乘法,就是寻找参数 0 , 1 的估计值
ˆ, ˆ ，使得离差平方和达到极小值,即选择 ˆ, ˆ 0 1 0 1
Q 0
即
0
ˆ , ˆ ( 0 1)
Q 1
0
ˆ , ˆ ( 0 1)
n ˆ ˆ x ) 0, ( y i 0 1 i i 1 n ˆ ˆ x )x 0. ( y i 0 1 i i i 1
整理得正规方程组
回归分析的基本思想是由英国著名生物学家兼统 计学家F.高尔顿（F.Galton：1822-1911）在研究人 类遗传问题时提出的. 他和他的学生、现代统计学的奠基者之一 K. 皮 尔逊（ K.Pearson ： 1856-1936 ）在研究父母亲身高 与其子女身高的遗传关系时 , 观察了 1078 对夫妇 , 他 们观察的这 1078 对夫妇的平均身高为 68 英寸，而其 成年儿子的平均身高为69英寸.
使得
ˆ , ˆ ) min Q( , ) Qe Q( 0 1 0 1 ˆ, ˆ 称为回归参数 , 的最小 0 1 0 1
满足上式的
二乘估计。 由于
Q( 0 , 1 ) ( yi 0 1 xi )
i 1
n
2
的极小值总是存在的
ˆ , ˆ 应满足 因此 0 1
用的统计学者对此都很感兴趣。 本章对回归分析的基础知识和应用作简单介 绍。主要包括一元线性回归与多元线性回归。介 绍回归分析中的参数估计，假设检验以及预测等 内容。
从浩瀚无垠的宇宙到微小的分子、原子， 从无机界到有机界，从自然到社会，无一事物 不处在与其他事物的联系之中 .事物之间不仅存 在着相互联系，而且还具有一定的内部规律.
y i 0 1 xi i
i 1,2,, n
i 1,2,, n
假设 观测值 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), , ( xn , y n ) 相互独立
y1 , y2 ,, yn 相互独立 1 , 2 ,, n 相互独立
假设 x1 , x2 ,, xn 是确定性的变量,其值是可以精确 测量和控制的.
回归分析的目的：依靠观察数据建立变量间的关系， 分析数据规律。 回归分析的内容： 参数回归分析 回归分析 非参数回归分析 线性回归分析
非线性回归分析
• 本章内容：线性回归分析。
回归分析是描述数据处理方法的一门应用学
科，它是统计学者常用的工具，它理论完善，计
算方法灵活巧妙，无论从事理论研究还是从事应
让我们来看一下有联系的变量之间的关系:
例如, 矩形的面积S和矩形的两条边长a和 b有关系: b S a S=a. b
又如著名的欧姆定律指出, 电压V、电阻R 与电流I之间有关系:
V=I. R
以上两例的共同点在于，三个量中任意 两个已知，其余一个就可以完全确定. 也就 是说，变量之间存在着确定性的关系，并且 可以用数学表达式来表示这种关系。 然而，在大量的实际问题中，变量之 间虽有某种关系，但这种关系很难找到一 种精确的表示方法来描述。
这种大量存在的变量间既互相联系但 又不是完全确定的关系，称为相关关系. 从数量的角度去研究这种关系，是数 理统计的一个任务. 这包括通过观察和试 验数据去判断变量之间有无关系，对其关 系大小作出数量上的估计 , 对互有关系的 变量通过其去推断和预测其它,等等. 回归分析就是研究相关关系的一种重 要的数理统计方法.
1.最小二乘估计
设 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), , ( xn , y n )是( x, y )的一组 观测值,对每个样本观测值 ( xi , yi )考虑 y i与其回归值
E ( y i ) 0 1 xi
的离差
yi E ( yi ) yi 0 1 xi
ˆ y ˆx 0 1
1 n y yi n i 1
若记
Lxx ( xi x )
例如,人的身高与体重之间有一定的关系, 知道一个人的身高可以大致估计出他的体重, 但并不能算出体重的精确值.
其原因在于人有较大的个体差异, 因而身高 和体重的关系, 是既密切但又不能完全确定 的函数关系.
类似的变量间的关系在大自然和社会中 屡见不鲜. 例如 , 小麦的穗长与穗重的关系 ; 某班学生最 后一次考试分数与第一次考试分数的关系;温 度、降雨量与农作物产量间的关系;人的年龄 与血压的关系; 家庭收入与支出的关系等等.
y x 1
高尔顿对此进行了深入研究 . 他们将观察值在平面直角 坐标系上绘成散点图,发现趋势近乎一条直线,计算出的回归 直线方程为
ˆ 33.73 0.516 x y
如果
与随机变量y之间存在相关关系, ——解释变量
y —— 被解释变量 ε ——其它随机因素的影响,通常假设ε 是不可观 测的随机误差,它是一个随机变量. 多元线性回归模型 :
ˆ n x ˆ ny , n 1 0 n n ˆ 2 ˆ n x 0 ( xi ) 1 xi y i . i 1 i 1
ˆ 1
( x x )( y y )
i 1 i i
n
(x x )
i 1 i
n
2
பைடு நூலகம்
1 n x xi n i 1
多元线性回归方程 ：
第一节 一元线性回归
一元线性回归模型
y 0 1 x
一元线性回归方程
ˆ ˆx ˆ y 0 1
通常假定
~ N (0, 2 )
设 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), , ( xn , y n ) 是 ( x, y ) 的一组 观测值,则
综合考虑每个离差值,定义离差平方和
Q ( 0 , 1 ) y i E ( y i ) ( y i 0 1 xi )
2 i 1
n
n
2
i 1
所谓最小二乘法,就是寻找参数 0 , 1 的估计值
ˆ, ˆ ，使得离差平方和达到极小值,即选择 ˆ, ˆ 0 1 0 1
Q 0
即
0
ˆ , ˆ ( 0 1)
Q 1
0
ˆ , ˆ ( 0 1)
n ˆ ˆ x ) 0, ( y i 0 1 i i 1 n ˆ ˆ x )x 0. ( y i 0 1 i i i 1
整理得正规方程组
回归分析的基本思想是由英国著名生物学家兼统 计学家F.高尔顿（F.Galton：1822-1911）在研究人 类遗传问题时提出的. 他和他的学生、现代统计学的奠基者之一 K. 皮 尔逊（ K.Pearson ： 1856-1936 ）在研究父母亲身高 与其子女身高的遗传关系时 , 观察了 1078 对夫妇 , 他 们观察的这 1078 对夫妇的平均身高为 68 英寸，而其 成年儿子的平均身高为69英寸.
使得
ˆ , ˆ ) min Q( , ) Qe Q( 0 1 0 1 ˆ, ˆ 称为回归参数 , 的最小 0 1 0 1
满足上式的
二乘估计。 由于
Q( 0 , 1 ) ( yi 0 1 xi )
i 1
n
2
的极小值总是存在的
ˆ , ˆ 应满足 因此 0 1
用的统计学者对此都很感兴趣。 本章对回归分析的基础知识和应用作简单介 绍。主要包括一元线性回归与多元线性回归。介 绍回归分析中的参数估计，假设检验以及预测等 内容。
从浩瀚无垠的宇宙到微小的分子、原子， 从无机界到有机界，从自然到社会，无一事物 不处在与其他事物的联系之中 .事物之间不仅存 在着相互联系，而且还具有一定的内部规律.
y i 0 1 xi i
i 1,2,, n
i 1,2,, n
假设 观测值 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), , ( xn , y n ) 相互独立
y1 , y2 ,, yn 相互独立 1 , 2 ,, n 相互独立
假设 x1 , x2 ,, xn 是确定性的变量,其值是可以精确 测量和控制的.