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人教版数学八年级上册13.等边三角形(30度角直角三角形的性质)课件

人教版数学八年级上册13.等边三角形(30度角直角三角形的性质)课件
角形的性质的简单应 П 用．
了解等边三角形与30°角互相转化的
事实，培养我们用发展变化的思想看
Ш
问题的价值观。
学习重难点：含30°角的直角三角形的性 质定理的发现与证明．
自 学指 导
阅读课本80-81页，思考下列问题：
A.直角三角形的角之间都有什么数量关系？ B.用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角
问题E： 得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关系， 说明理由.
合 作探 究
我们可以用两个同样大小的三角尺（含30 °和60 °的角）拼接 起来验证
A
B
C
D
合 作探 究
A
A
30°
数学化
B
C
D
B
C
D
合 作探 究
可得：
A
△ABD是等边三角形
∵ AC ⊥BD
∴
BC=CD=
1 2
BD
∵ BD=AB
我们每个人都有一双隐形的翅膀， 只要你愿意， 只要肯努力， 只要不放弃， 你一定能张开翅膀在知识的天空 中自由翱翔！
构建快乐课堂 塑造美丽
目标解读
学习环节
快乐晋级
知 识回 顾
1、等边三角形的性质 2、等边三角形的判定
回 顾反 馈
1、等边三角形三边 相___等___ ,三个角都等于 6_0__°__.
4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√
快 乐晋 级
深思熟虑，我来我行！ 3、在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，B
AB=4，则BC=___2___；
C
A
4、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=900,
CD⊥AB于D, ∠A=300,且AB=8cm,

含30度角直角三角形的性质

含30度角直角三角形的性质
在实际问题中，也经常会遇到需要利用全等三角形性质来解决的问题。例如，在建筑、工程或物理等领域中，可能需要利用全等三角形来计算距离、角度或面积等问题。通过灵活运用全等三角形的性质和判定方法，可以有效地解决这些问题。
05
CHAPTER
含30度角直角三角形相似性质探讨
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
02
CHAPTER
含30度角直角三角形特点
角度关系
含30度角的直角三角形中，另一个锐角为60度，直角为90度。
边长比例
对于含30度角的直角三角形，若设30度角所对的直角边为a，斜边为c，则另一条直角边b满足b = (√3/2)c，即b : c = 1 : 2。同时，a : b = 1 : √3，a : c = 1 : 2√3。
要点一
要点二
相似三角形性质
相似三角形的对应边成比例，对应角相等，面积比等于相似比的平方。
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
预备定理
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定定理1
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
含30度角直角三角形全等判定方法
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等三角形的周长、面积相等；全等三角形的对应边上的中线、高线、角平分线分别相等。
HL全等
直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。
外心位置
外心是三角形外接圆的圆心，位于三角形外部。在含30度角的直角三角形中，外心位于斜边中线的延长线上，且距离直角顶点较远。

含30度角的直角三角形性质

含30度角的直角三角形性质
永福县湾里初中
刘佳双
A
60°
B
60°
60°
C
（1） 等边三角形的三边都相等 （2） 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角 都等于60° （3） 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 （4） 等边三角形各边上中线、高和所对角的平分 线都三线合一
？
一个三角形满足什么条件 件就是等边三角形呢?
一般三角形
等边三角形
1、三边相等的三角形是等边三角形. 2、三个角都相等的三角形是等边三角形.
等腰三角形
等边三角形
3、有一个角是60°的个角是30 °， 那么30 °的角所对的直角边与斜边又有什么 关系呢？如图右： △ABC 中，∠A＝ 30 °， ∠Ｃ＝ ９0°，问ＢＣ与ＡＢ有怎样的数量关系？
A
30°
C ┓
B
∵△ABC与△ADC关于AC轴对称 ∴AB＝AD ∵∠BAD=2 × 30°=60° ∴ △ABD是等边三角形 1 又∵AC⊥BD∴BC＝DC＝ 2 AB A 你还能用其他 方法证明吗?
B
C
D
将△ABC延∠ABC的平分线BD折叠，点C落在点E处，
A
30° E D
B
C
∟
定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于
解：在Rt∆ABC中 ∵∠A=30° ∴AB=2BC=2 ∵∠A+∠B=90° ∴∠B=90°－30°=60° A 又∵CD⊥AB ∴∠BCD=90°－60°=30° 1 1 ∴BD= BC= 2 2
K1 K3 Kn Mn M3 M2 K2
C
M1 D
∟
∟
∟
B
要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、 丙三家农户去种植,如果∠C＝90°∠B＝ 30°,要使这三家农户所得土地的大小和 形状都相同,请你试着分一分,在图上画出 来. A

含有30度角的直角三角形的性质

含有30度角的直角三角形的性质

2.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,
若AB=10,则BC=----5------
3、如图Rt△ABC中，CD是斜边AB
C
上的高，若∠A=300，BD=1cm,
那么∠BCD=_3_0_0__, BC=_2_c_m__. A
DB
4、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=900,
CD⊥AB于D, ∠A=300,且AB=8cm,
4
A BD
拓 展提 升
已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20. 求:腰上的高.
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D
A
∵∠B=∠ACB=150(已知),
B
150
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300
∴CD= 1 AC= 1 ×20=10
2
2
D
150
C
课堂检测
1则.∠在A△A=BC--中-3--0，-0--∠--,CA=B9=0-0-,1--4-∠---B--=600,BC=7,
则∠DCB=∠B=600
A
∴△ADC是等腰三角形， △BCD是等边三角形
∴AD=CD=BD=BC
∴ BC 1 AB
C
2
D B
A
证法三：
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC E
∵ ∠B= 60° ，BE=BC
∴ △BCE是等边三角形
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC
∵ ∠A= 30°
B
C
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°
可得：
A
△ABD是等边三角形
∵ AC ⊥BD
∴
BC=CD=

19.1.2含有30度角的直角三角形的性质

19.1.2含有30度角的直角三角形的性质

30°
2X
1 ∴ BC= AB 2
B
C X
1、如图，在Rt△ABC中∠C=900 ,∠B=2 ∠A， 3cm AB=6cm，则BC=________.
B
2、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°， 8cm AB+BC=12cm，则AB= _______. C
D
A
3、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°，BD平分∠ABC， 且BD=16cm，则AC= 24cm .
证明：延长BC至D，△ADC中 BC＝DC ∠ACB=∠ACD AC=AC ∴ △ABC≌△ADC（SAS） ∴AB=AD
1 ∵ BC= AB 2
A
?
2X
CD=BC
∴AB=AD=BD ∴△ABD是等边三角形 ∴ ∠BAC=30°
B
X
C
D
证明方法一： 短线段加倍法
1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， BC= AB。 2 求证： ∠BAC=30°。
1 AB. 4
B C
D
A
拓
展
提
升
D
已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20. 求:腰上的高.
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D ∵∠B=∠ACB=150(已知),
B
150
A
150
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300 ∴CD= 1 AC=
2
C
1 ×20=10 2
课堂检测
0, ∠B=600,BC=7, 1.在△ABC中，∠C=90 0 30 14 则∠A = ----------,AB=---------2.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3, 5 若AB=10,则BC=---------C 3、如图Rt△ABC中，CD是斜边AB 上的高，若∠A=300，BD=1cm, 那么∠BCD=_____, BC=_____. 300 2cm A D

含有30度角的直角三角形的性质

含有30度角的直角三角形的性质

可得：
A
△ABD是等边三角形
∵ AC ⊥BD
∴
BC=CD=
1 2
BD
∵ BD=AB
60°
60°
∴ BC=
1 2
AB
B
C
D
在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那
么它所对的直角边等于斜边的一半。
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°。 求证：BC=1 AB。
证明：延长BC至D2 ，使CD=BC，连结AD.
二、 等边三角形的判定
1．三个边都相等的三角形是等边三角形； 2．三个角都相等的三角形是等边三角形； 3．有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形．
学习目标
• 1、理解“在直角三角形中，如果一 个锐角等于300，那么它所对的直角 边等于斜边的一半”。
• 2、会用添加辅助线的不同方法证明 含有30度角的直角三角形的性质。
课堂小结
• 本节课你有何收获？ • 1、含有30度角的直角三角形的性质：在直
角三角形中，如果一个锐角等于300，那么 它所对的直角边等于斜边的一半。 • 2、添加辅助线不同的证明方法。
大 胆尝 试
已知:如图,在△ABC中, ∠ACB= 900
∠A=300,CD⊥AB于D.
C
求证:BD= 1 AB.
• 探究2
①当将两个同样大小的三角板（含30 °和60 °的 角）摆在一起，新得到的三角形是特殊的三角 形吗？请说明理由；
②得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关 系，说明理由.
验证：我们可以用两个同样大小的三角尺
（含30 °和60 °的角）拼接起来验证
A
B
C
D

30度角的直角三角形性质。ppt

30度角的直角三角形性质。ppt
15.3等腰三角形
（第4课时）
如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等. （简称“等角对等边”）
用符号语言表示为： A 在△ABC中， ∵∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC=AB. ( 等角对等边 )
B
C
推论2 如果一个等腰三角形中有一个角是 60°，那么这个三角形是
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
提高训练
1. 已知：如图，在△ABC 中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线， 且BD=DC，求证：BC=2AB. A 证明：∵∠A=90°（已知） D ∴∠ABC+∠C=90° (直角三角形两锐角互余) 又∵BD平分∠ABC（已知） B ∴∠ABD=∠CBD（角平分线定义） 又∵BD=DC（已知） ∴∠DBC=∠C（等边对等角） ∴∠ABD=∠CBD =∠C（等量代换） ∴ ∠C =30° ∴BC=2AB（Rt△中，30°角所对边等于斜边的一半）
作业：
1、当堂作业：课本P138练习第3题 2、课本P139＿＿P140习题15.3 3、完成基础训练和畅优新课堂15.3 4、预习15.4，课本P141＿＿P142 思考的上方（作角平分线）Leabharlann C提高训练A
2.已知：如图，△ABC中， ∠ABC与∠ACB的平分线 相交于点O，DE∥BC。
E B
O
你能得出什么结论？
D C
提高训练
3.已知：在△ABC中，内角∠ABC的平分线 BD与外角∠ACP的平分线交于D点， DE∥BC.求证：EF=BE-CF
A E F
D
B
C
P
本节课学习了什么内容？
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

1535含30°角的直角三角形的性质

1535含30°角的直角三角形的性质
（来自《典中点》）
知2－练
4 将一副三角尺如图叠放在一起，若AB＝10 cm，
则阴影部分的面积是____2_5___cm2. 2
（来自《典中点》）
1.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一 半．这个定理将特殊的直角三角形中的角度关系转化 为直角三角形中边的等量关系．在一般情况下，遇到 30°角常用的添加辅助线的方法就是作垂线，构造含 30°角的直角三角形，解决相关的线段问题．
2.利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的长： 依据：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边
的一半． 用途：求线段长度和证明线段倍分关系． 作法：当图形中含有30°角时，通过作垂线构造含
有30°角的直角三角形．
请完成《点拨训练》 P94对应习题。
∵DE ∥AB，∴∠EDC ＝∠B＝60°，
∵EF ⊥DE，∴∠DEF ＝90°，
∴∠F ＝90°－∠EDC＝30°；
(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴∠DEC＝60°, ∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝2.
∵∠DEF ＝90°，∠F ＝30°，∴DF ＝2DE＝4.
总结
知1－讲
∵BA=10×(10-8)=20(n mile), ∴BC=20（n mile ）.
即从 B处到礁石C的距离是20n mile.
知2－讲
（来自教材）
知2－练
1 如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横 梁AD，AB＝8 m，∠A＝30°，则立柱BC的长
度为( ) A．4 mA
B．8 m
C．10 m
D．16 m
（来自《典中点》）
知2－练
2 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图， 其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，

含30度角的直角三角形的性质

含30度角的直角三角形的性质
总结1
含30度角的直角三角形具有特殊的性质，其中最显著的是30度角所对的直角边等于斜边的一半。
总结2
除了上述性质外，含30度角的直角三角形还具有其他一些性质，如30度角的对边与邻边的比值为$sqrt{3}$，以及30度角 所对的直角边的平方等于另一直角边与斜边的乘积。
总结3
这些性质在几何学中具有重要意义，不仅在证明定理和解决几何问题时经常用到，而且在工程、建筑和 科学实验等领域也有广泛的应用。
重要性及应用场景
含30度角的直角三角形在几何学、 三角函数和实际生活中具有广泛的应 用。
在建筑、工程和物理等领域，经常需 要使用到含30度角的直角三角形的性 质来解决实际问题。
02 含30度角的直角三角形的 定义
定义及特点
定义
含有一个30度角的直角三角形， 其中30度角所对的直角边等于斜 边的一半。
解决几何问题
含30度角的直角三角形性质可用于解 决各种几何问题，如面积计算、角度 计算等。
在物理学中的应用
力的分析
在物理学中，含30度角的直角三角形性质可用于分析力的方向和大小，如在分析重力、 弹力等作用力时，可以利用三角函数和勾股定理来计算。
运动学分析
在运动学中，含30度角的直角三角形性质可用于分析物体的运动轨迹和速度，如在分析 抛体运动、圆周运动等运动时，可以利用三角函数和向心力公式来计算。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在含30度角的直角三角形中，面积也可以用斜边和30度角 所对的边来计算，公式为1/2 *斜边*30度角所对的边。
04 性质的应用
在几何学中的应用
确定特殊三角形
构造几何图形
含30度角的直角三角形是特殊三角形的 一种，其性质可用于证明其他几何定理 和性质，如勾股定理、射影定理等。
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12.3.2含30°角直角三角形的性质
精选
1
学习目标
1．探索并掌握含30°角直角三角形的性质 2．应用该性质解决相关的问题．
精选
2
复习巩固
一、等边三角形的性质
1．等边三角形的内角都相等，且都等于60 °； 2．等边三角形是轴对称图形，有三条对称； 3．等边三角形每条边上中线，高线和所对角的平 分线都三线合一．
∴BC= 1AB (或AB = 2BC)
2
B
C
精选
7
自 学 例5
例５，下图是屋架设计图的一部分,点D是斜 梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于横梁AC, AB＝7.4m,∠A＝30°,立柱BC 、 DE要多长?
B
D
30°
A EC 精选
C
8
当堂检测t △ABC中， ∠C=90°,∠B =2∠A， ∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
A E
B
精选
C
13
小结
❖ 含30°角直角三角形的性质
精选
14
精选
15
精选
10
2、RT△ABC中，CD是斜边AB边上的高， ∠B=30°,CD=5cm,则BC的长度是？
精选
11
拓展提高
3.若一个等腰三角形的底角是15°，腰 长为6cm，求这个等腰三角形的面积
D
A
150°
30°
B
15°
15°
C
精选
12
课本54页第11题
已知△ABD,△AEC都是等边三角形，求证BE=AC D
精选
4
探究
A
A
30°
数学化
B
C
D
B
C
D
精选
5
可得：
△ABD是等边三角形
∵ AC ⊥BD
∴
BC=CD=
1 2
BD
∵ BD=AB
∴ BC=
1 2
AB
A
60°
60°
B
C
D
精选
6
含30°角直角三角形的性质
性质：在直角三角形中,如果一个锐角等
于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
几何语言： ∵在RT△ABC中，∠A＝30°
二、 等边三角形的判定
1．三边相等的三角形是等边三角形； 2．三个角都相等的三角形是等边三角形； 3．有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形．
精选
3
自学提纲
自学内容：课本55页探究. 自学时间：5分钟. 自学要求： ①当将两个三角尺摆在一起，新得到的△ABD是特
殊的三角形吗？请说明理由；
②得出BC与AB之间的数量关系，说明理由.