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数学建模答卷1. 摘要:C 题：追踪问题(1) 一只兔子在O 点处，它的洞穴在正北20米的B 点处，一只狼位于兔子正东33米的A 点处。
此刻，兔子迅速向洞口奔跑，而狼紧盯着兔子追击。
已知狼的速度是兔子速度的2倍，问：当兔子到达洞口前是否会被狼逮住？画出狼追击兔子的追逐曲线。
(2)在5角星的5个顶点A 、B 、C 、D 、E 处各有一人，顶点距5角星的中心O 的距离为1个单位。
在某一时刻5人同时出发，以匀速 v 走向顺时针方向的下一人，且他们的方向始终保持对准目标。
请画出每个人的行走轨迹。
(2) 条件同(2)。
如果5人的速率分别为1v 、1.1v 、1.2v 、1.3v 和1.4 v ，在这种情况下每个人的行走轨迹如何，他们在何处汇集？2 .数学模型第一小问 狼追踪兔子一题设坐标系如下，取狼的出发点为原点0（0,0）。
x 轴指向正北方向，y 轴指向正东方向。
当t=0时，狼位于O ，兔子位于点（0，H ），（H=33m ）设狼t 时刻的位置为P （)(),(t y t x ），由题意，（式一）其中Vw=2Vg另外在t 时刻，兔子位置应该为),(H t M v e ，v e 。
由于狼追踪轨迹的切线方向必须指向兔子，即直线PM 的方向就是导弹轨迹上点P 的切线方向，故有 x t y H dx dy v e --= （式二）)(xy H dt dx dt dy v e --=（式三） 方程（式三）初值条件想x （0）=0，y （0）=0 (4.4) 构成了一个关于时间变量t 的一阶微分方程组的初值问题。
由（式二）得两边对t 求导得即有把（式一）写为12+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dy dx v e dt dy 代入上式，就得到轨迹方程。
这是一个二阶非线性微分方程，加上初值条件，则初值问题 上式分别为（式五），（式六），（式七）。
就是导弹的轨迹的数学模型。
四．解释方法方程（式五）可以降阶。
令v v w dy dx p e ,==λ记，则式（式五）化为一介可分离变量方程易得由（式七）得H C λ-=，从而于是有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-H y H y H H p λλ21（式八） 于是积分又可以得到 利用（式六）得λλ211-=H C ,于是狼的追踪轨迹方程为 ()()()λλλλλλλλ21111121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=---+H x y H H H y H （式九） 设狼追上兔子于B （L ，H ），以y=H 代入（式九）得 v v v v ew H HL w e 2221-=-=λλ （式十） 而狼追上兔子的时刻 v v v v e w H LT w e 22-==（式十一）将数据代入（式十），（式十一）式，得L=11m ， T 的值由具体速度可求出。
2017满分作文：兴趣数学之狼追兔
2017满分作文：兴趣数学之狼追兔
兴趣数学之狼追兔
数学，在我们身边无处不在，只要你用心，你就会惊讶，原来有那么多的数学在我们身边，数学，我们离不开它，它已经融入了我们的生活，它使我们的生活更加的方便。
虽然这么说，今天我还是第一次知道了数学的重要性，而且还闹了一个小笑话。
在家，爸爸给我出了一道数学题：一条狼在距离一只兔子10米的时候，狼和兔子一起跑，狼一分钟跑12米，兔子一分钟跑10米，问多少分钟后，狼能够追上兔子？
我当时没有认真想，随便看了题目就说：“狼离兔子只有10米，而狼每分钟跑12米，肯定不用一分钟就可以追上了。
”爸爸听了后哈哈大笑，说：“难道那只兔子不跑的吗？如果你是那只兔子，你会乖乖的让狼吃吗？”“呃…”“你看，狼每分钟跑比兔子快两米，那原本的十米要多久才会被狼追上呢？”“哦…。
”我恍然大悟地说“用狼和兔子的距离去除以狼每分钟比兔子快的距离。
”“那列式呢？”“就用10÷（12-10）=5(分钟)”“对了，其实数学并不难，一些数学题中的.关键在和你玩捉迷藏，只有你细心，认真的去看题目，理解题目的意思才能够正确的解答，”
是啊，数学其实是跟着自己的，我们强大它就会认输，我们认输的话它就会变强大。
只有细心，认真的去解题，用不服输的精神去对待它，不要遇到一点困难就退缩，问题很快就会迎刃而解的。
狼追击兔子问题已知条件：兔子位于兔子窝正南方60米处，狼位于兔子正东方80米处，狼的速度是兔子速度的二倍。
狼发现兔子时兔子也发现狼，这时二者一起起跑，并且狼始终盯着兔子跑。
问题：狼是否能追击到兔子？在分析问题时我们先对理想条件进行判断，狼足够聪明以至于直接就看到了兔子窝，所以狼只需要直接跑直线就可以了，设兔子的速度为u ，那么狼的速度为u 2，狼距离兔子窝为1008060d 22=+=米，那么浪跑到兔子窝的时间为u /60u 2/100u 2/d t 〈==，由此可知狼先于兔子跑到窝边，狼只需要守窝待兔就可以吃到兔子。
但是在现实的大自然中，我们都知道兔子不吃窝边草因此狼在机智也不可能直接发现兔子窝，兔子窝通常有两个入口，两个入口距离10米左右。
我们现在对其进行实际分析需作如下假设（1）兔子与狼速度恒定即兔子速度为1v ，狼的速度为2v ，并且21v v 2=。
（2）离兔子最近的窝的入口位于兔子正北60米。
（3）兔子再回窝的过程中始终沿直线运动。
建立二维坐标系，取兔子初始时刻的位置上为坐标原点（0,0），兔子窝坐标为（0,60），狼的坐标为（80,0）；那么兔子的坐标位置与时间的关系为（0，t v 1）；设狼的坐标位置为（x,y ）. 由于狼始终盯着兔子跑，那么狼运动轨迹的切向方程为）（x dxdy y -=-X Y ……（1）（（X,Y ）为切线上的点） 那么兔子的坐标一定在切向方程上将（0，t v 1）带入（1）得到dxdy -x y -t v 1= ……（2） 狼的速度在水平方向的分量为dtdx v =- ……（3） 狼速度在垂直方向的分量为 dt dy v =⊥ ……（4） 由速度合成与分解得222dtdx dt dy v ）（）（+= ……（5） 将（2）式两边同时关于t 求导得）（x *dtdx *dx y d v 221-= (6)由（5）知2222v }dt dx dt dy{1dt dx =+）（）（则22dxdy 1v -dt dx ）（+=将此式带入（6）中得到 2/dxdy 1x *dx y d 222））（（）（+=……（7） 编写MATLAB 程序>> y=dsolve('x*D2y-sqrt(1+Dy^2)/2','y(80)=0','Dy(80)=0','x')得到方程y =(8*5^(1/2)*80^(1/2))/3 + (4*5^(1/2)*x^(1/2)*(x/80 - 3))/3- (8*5^(1/2)*80^(1/2))/3 - (4*5^(1/2)*x^(1/2)*(x/80 - 3))/3进行取舍得到狼的运动轨迹方程为3160)380)(*5(*34y +-=x x sqrt 得到函数图像clear all ;clc;x=80:-1:0y = 160/3 + 4*sqrt(5*x).*(x/80 - 3)/3plot(0,y,'y',x,y,'r');title('狼的追击曲线')运行得狼的追击曲线根据已知条件知兔子的窝在（0,60）处，然而兔子在（53.333,0）处已经被狼捕获，所以我们知道兔子有一次被吃掉了，这就是血淋林的事实。
饿狼追兔问题数学建模数学建模饿狼追兔问题摘要本文研究饿狼追兔问题，是在给定狼兔相对位置，以及兔子巢穴位置的情况下求解的，狼的速度是兔子速度两倍，在不考虑其他任何因素的情况下研究狼能否追上兔子的问题。
首先，我们对问题进行了适当的分析，然后根据已知条件建立了狼的运动轨迹微分模型。
其次，根据建好的模型，运用MATLAB编程，然后仿真画出了饿狼和野兔的运动轨迹图。
再次，用解析方法将建立的模型求解，并给出该问题的结论，准确的回答题目。
最后，用数值方法求解，将所求与前面所求进行对比，也给出结论，回答题目。
并将两种方法做相应比较。
结论：野兔可以安全回巢关键词：算法高阶常微分方程§1.1问题的提出在自然界中，各种生物都有它的生活规律，它们钩心斗角，各项神通，在饿狼追野兔的工程中，饿狼的速度是野兔的二倍，但是野兔有自己的洞穴，野兔在跑到自己洞穴之前被狼捉住，野兔就将会成为饿狼的囊中之物；如果野兔在饿狼捉住自己之前跑回到自己的洞穴，那么野兔就保住小命，得以生还。
图1-1-1为饿狼追野兔的两条曲线，其中绿线表示野兔，图中的箭头表示的是野兔的奔跑方向，野兔从远点开始沿y轴正方向运动，其洞穴在坐标为（0，60）的位置；红线为饿狼的运动轨迹，，图中的剪头表示饿狼追逐野兔的方向，饿狼从坐标为（100，0）的方向追逐野兔，饿狼的速度是野兔速度的二倍。
建立数学模型需研究一下几个问题：（1）设野兔的速度我v0，饿狼的速度为v1，野兔的奔跑方向是沿y轴正方向奔跑，而饿狼的方向是一直指向野兔的方向，即饿狼的运动的轨迹某一时候的切线指向同一时刻的野兔的位置。
建立饿狼追野兔的运动轨迹微分模型。
（2）根据建立的饿狼运动轨迹得微分模型，作出饿狼与野兔的运动轨迹图形。
（3）用解析方法求解，即根据第二步作出的饿狼渔业突地运动轨迹图形，分析兔子能否安全回到巢穴，即野兔的运动曲线与饿狼的运动曲线的交点是在点（0，60）-野兔巢穴的上面还是下面。
高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题第一章摘要概述本文以狼追击兔子这一现实情况为背景，并合理的加以数学假设，着重实际与模型的结合，现有一只兔子和一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设当狼发现兔子时，兔子同时也发现了狼，这时二者一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑,狼朝同样的方向在追兔子。
已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。
建立狼的运动轨迹微分模型。
通过画出的兔子与狼的运动轨迹图形，用解析方法及数值方法求解，兔子能否安全回到巢穴？经过分析与求解,得知兔子无危险.在自然科学和技术科学中往往遇到大量的微分方程问题。
通过对高阶微分方程的分析，我们对题目里提出的问题建立了符合实际的数学模型，在模型的求解过程中应用数学软件MATLAB等计算工具,编写相应的程序,解决实际问题。
论文最后对模型的优缺点进行了分析和评价，并提出了模型的改进方向和思路。
关键字微分方程饿狼追兔数学建模第二章模型的背景问题描述随着课改的深入开展，实际情景问题应运而生，并迅速发展成为命题的亮点、热点。
实际情景问题是复杂多变的，它贴近生活,为学生所熟悉，且以一定的知识为依托。
恶狼追兔的问题属于实际的情景问题，具有一定的时代气息.数学模型一般是实际事物的一种数学简化。
它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。
是研究现实世界数量关系和空间形式的科学,建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。
有助于我们提高用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程,提高我们分析问题和解决问题的能力，提高我们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使我们在今后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高我们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识,能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。
利用高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题现有一只兔子、一匹狼,兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。
个人资料整理仅限学习使用青岛大学软件技术学院游戏算法实践报告姓名曹宁专业数字媒体艺术班级10级4班指导教师刘春秋2018年1 月 16 日目录个人资料整理仅限学习使用1问题定义与描述 31.1问题定义 31.2问题描述 32关键技术 33数据的组织 33.1数据类型定义 33.2数据存储结构 44总体设计 44.1系统模块图 44.2栈的基本操作 44.3顺序表的基本操作 45详细设计 55.1顺序存储的线性表 56测试结果及分析 77心得体会 8附录：程序代码91问题定义与描述1.1问题定义现实中很多利用顺序表，栈解决一些数学模型问题1.2问题描述围绕着山顶有10 个圆形排列的洞，狐狸要吃兔子，兔子说：“可以，但必须找到我，我就藏身于这十个洞中，你可以先到 1 号洞找我，第二次隔一个洞<即 3 号洞）找，第三次隔两个洞 <即 6 号洞）找，以后如此类推，次数不限。
”但狐狸从早到晚进进出出1000 次，但仍没有找到兔子，问兔子究竟藏身于哪个洞里2.关键技术顺序表一次申请多个空间，包括结构体定义的。
N 为整数，这样得到的就是N 个连续的空间。
顺序表可以利用类似于数组的形式访问，即通过下标访问。
当然定义的变量类型必须是指针类型的，很方便，当然也可以通过像链表一样的访问。
单链表只是将空间分散开了，这样的优点就是动态申请，需要多少就申请多少，一般一次申请一个空间结点，即 N=1。
3数据的组织3.1 数据类型定义数据结构，顺序表，栈，单链表，数组。
在程序设计中，为了处理方便，把具有相同类型的若干变量按有序的形式组织起来。
这些按序排列的同类数据元素的集合称为数组。
在 C 语言中，数组属于构造数据类型。
一个数组可以分解为多个数组元素，这些数组元素可以是基本数据类型或是构造类型。
因此按数组元素的类型不同，数组又可分为数值数组、字符数组、指针数组、结构数组等各种类别。
3.2 数据存储结构栈以顺序结构实现，队列以链表结构实现。
一只狼追逐一只兔子，狼追兔问题解读及练习题简介一只狼追逐一只兔子是一个常见的问题，用于解释追及一点的概念。
该问题基于以下背景：一只兔子以恒定速度向前跑动，而一只狼以更快的速度开始追逐兔子。
问题是，狼是否能追上兔子，并且若能追上，则需要多长时间。
解读该问题可以用简单的数学模型来解决。
假设兔子的速度为v1，狼的速度为v2，并且兔子与狼的初始距离为d。
根据这些条件，可以得出以下结论：- 如果v2大于v1，则狼能追上兔子并且需要的时间为d / (v2 - v1)。
- 如果v2小于或等于v1，则狼永远无法追上兔子。
练题下面是一些练题，帮助你巩固对狼追兔问题的理解。
问题一一只兔子以10 m/s的速度向前跑动，而一只狼以15 m/s的速度开始追逐兔子。
兔子与狼的初始距离为1000米。
狼需要多长时间才能追上兔子？解答一根据公式，狼需要的时间为1000米 / (15 m/s - 10 m/s) = 200秒。
问题二一只兔子以20 km/h的速度向前跑动，而一只狼以18 km/h的速度开始追逐兔子。
兔子与狼的初始距离为5公里。
狼能否追上兔子？解答二根据公式，狼需要的时间为5公里 / (18 km/h - 20 km/h) = -5公里 / 2 km/h = -2.5小时。
由于时间为负值，狼无法追上兔子。
总结一只狼追逐一只兔子是一个简单而有趣的问题，通过数学模型可以确定是否狼能追上兔子以及需要的时间。
记住，狼只有在速度比兔子快时才能追及兔子，否则狼将永远无法追上。
数学模型--狼追击兔子的问题
一、问题重述与分析
（一）问题描述
神秘的大自然里，处处暗藏杀机，捕猎和逃生对动物的生存起着至关重要的作用，而奔跑速度和路线是能否追上和逃生的关键因素。
狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达•芬奇提出的一个数学问题。
当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。
当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。
狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。
狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？
为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。
（二）问题分析
1、本题目是在限定条件下求极值的问题，可以通过建立有约束条件的微分方程加以模拟。
2、通过运用欧拉公式及改进欧拉公式的原理，结合高等数学的有关知识，对微分方程进行求解。
3、将数学求解用Matlab程序语言进行实现得出方程的近似解。
4、最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。
二、变量说明
V1 :兔子的速度（单位：码/秒）
r :狼与兔子速度的倍数；
V2：狼的速度（单位：码/秒），显然有v rv i
t:狼追击兔子的时刻（t=0时，表示狼开始追兔子的时刻）
◎:在时刻t，兔子跑过的路程（单位：码），$ s（t）
S2 ：在时刻t，狼跑过的路程（单位：码），S2 S2（t）
Q（x i,yj :表示在时刻t时，兔子的坐标
P（x,y）:表示在时刻t时，狼子的坐标
三、模型假设
1、狼在追击过程中始终朝向兔子；
2、狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P（x, y）的轨
迹看作一条曲线，曲线方程表示为y y（x）。
3、当猎狗与兔子之间的距离相当小时认为猎狗已经追上了兔子。
四、模型建立
（一）建模准备
以t = 0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x轴正向；
则显然有兔子位置的横坐标x i 0。
对狼来说，当x = 100 , y= 0,即y x 1000
在t = 0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x轴负方向, 则有y xi00 0
（二）建立模型
1、追击方向的讨论
由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P（x,y）点过狼的轨迹处的切线
方向在y轴上的截距为y i。
设切线上的动点坐标为（X，Y）,则切线方程为
Y y y(x x) (1) 在（1 ）中，令X= 0,则截距丫 y yx。
此时y1 wt。
则此时截距等于兔子所跑过的路程，即:
y i
，
从而可得
Y y i y y x (2)
2、狼与兔子速度关系的建模
在t时刻，兔子跑过的路程为
s i y1 wt (3)由于狼的速度是兔子的r倍，则狼跑的路程为
s2rs1ry1
狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到,
S2 ：00『7九如下
(5)
联立(2 )、(4 )、(5 )得
100 --------------- 2
x \1 y dx ry1 r( y y x)
(6) 对（6 ）两边求对x的导数，化简得
微分方程（7）式的初始条件有：
y
x io 。
0 y
x io 。
0
3、是否追上的判断
要判定狼是否追上兔子， 可以通过（7）式判定。
对（7）式，
当x = 0，如果计算求解得到y 60，则视为没有追上； 当x = 0，如果计算求解得到y 60，则视为兔子被追上; 五、模型求解 由微分方程得到其 Matlab 函数
fun cti on yy=odefu nlt(x,y)
%以狼在追击过程中的横坐标为自变量 yy(i,i)=y(2);
yy(2,1)=sqrt(1+y(2)八2)./(2.*x);
主程序：
tspa n=100:-0.1:0.1; %以狼的x 坐标为自变量 y0=[0 0];
%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时,
狼与兔之间的距离
1 y
2 rx
(7)
[T,Y] = ode45( 'odefunit' ,tspan,yO);
n=size( Y,1);
disp('狼的坐标(x=0.1)')
disp(Y(n,1)) %通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)
时，狼的纵坐标
六、模型结果与分析
运行结果：
狼的坐标(x=0.1)
62.1932
通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。
七、思考题
通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。
那么兔子跑回窝边
时，狼与兔子之间的距离是多少？上面的程序不能解决此问题，那么用什么办法解决呢？
(一)解决思路
可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟，然后从模拟结
果获取。
模拟程序如下，程序文件名sim」an gtu.m :
fun cti on sim_la ngtu
%《狼兔追击问题》
%(离散模拟) %这里没有具体考虑狼、兔的具体速度%主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程
Q=[0 0]; % 兔子坐标
P=[100 0]; %狼坐标
PQ=Q-P; %狼兔方向向量
step =1; % 模拟步长：兔子奔跑的距离，step 越小就越精确count =
60/step; % 以兔子的奔跑距离划分
PQ=PQ/norm(PQ)*step; %归一化，单位向量trackP=P;
trackQ=Q;
for k=1:count;
P = P + 2*PQ; %2倍速度
Q = Q + step*[0 1]; %[0 1] 为兔子奔跑方向的单位方向向量PQ = Q - P;
trackP(1+k,:)=P; trackQ(1+k,:)=Q;
PQ=PQ/norm(PQ)*step; % 归一化，单位向量
dis二 sqrt(sum((P-Q).八2));
plot(trackP(:,1),trackP(:,2), '*' ,Q(1),Q(2), 'rp' ,0,60, 'r+' ); pause(0.5) end %for
dis%兔子到达窝边时，狼兔之间的距离
P %兔子到达窝边时，狼的坐标
Q %兔子到达窝边时，兔子的坐标
（二）模拟程序运行结果
dis =
7.0619
P =
1.6805 53.1410
Q =
0 60
注：如果修改程序中的step赋值，则结果稍有不同。
程序结束后，输出狼兔的位置图如下。
通过下图可以直观的看到，当兔子回到窝边时，狼还与兔子有一段距离，这表示兔子成功逃脱。
八、模型评价
1、优点
可以熟练的运用Matlab解决一些问题，对用Matlab编程有了更加深刻的了解。
懂得了使用数学软件求解极限，积分等问题的方法。
对于追击问题的数学模型有了一定的了解，并能简单的运用。
对遇到的一些编程问题有了切身的解决办法提高了自己的编程能力。
2、缺点
许多数学公式的符号十分难输入，致使数学理论表述十分困难。
需要输入的数据太多，容易出现输入错误，特别是容易遗漏标点符号。
3、改进方向
应考虑向简单模型优化，现有的模型还是很复杂，尤其是一些数学的计算要能非常熟练的运用微积分知识。
所以应考虑更加简便易懂的模型。
