6.2.3-4等差数列的前n项和

(对应学生用书第103页)考点1等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d、通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解、等差数列中包含a1、d、n、a n、S n五个量、可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时、可将已知和所求都用a1、d表示、寻求两者间的联系、整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．又零七、借问长儿多少岁、各儿岁数要详推．在这个问题中、记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n 、则a 1＝( )A ．23B ．32C ．35D ．38C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列、其公差为－3、则9a 1＋9×82×(－3)＝207、解得a 1＝35、故选C.]确定等差数列的关键是求出两个最基本的量、即首项a 1和公差d .考点2 等差数列的判定与证明等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．已知数列{a n}的前n项和为S n、a1＝1、a n≠0、a n a n＋1＝λS n－1、其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ、使得{a n}为等差数列？并说明理由．[解](1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1、a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1、两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1、由于a n＋1≠0、所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设知a1＝1、a1a2＝λS1－1、可得a2＝λ－1.由(1)知、a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3、解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4、由此可得{a2n－1}是首项为1、公差为4的等差数列、a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3、公差为4的等差数列、a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1、a n＋1－a n＝2、因此存在λ＝4、使得数列{a n}为等差数列．考点3等差数列的性质及应用B [数列{a n }为等差数列、则a m －1＋a m ＋1＝2a m 、则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0、解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39、则m ＝20.故选B.]2．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n 、若对任意的n ∈N *、都有Sn Tn ＝2n －34n －3、则a2b3＋b13＋a14b5＋b11的值为( ) A ．2945 B ．1329 C ．919 D ．1930C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8、∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.故选C.] 考点4 等差数列前n 项和的最值问题求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn 、通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0、d <0时、满足⎩⎨⎧am≥0，am ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0、d >0时、满足⎩⎨⎧am≤0，am ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .。

第5课时【教学题目】§6.2.4等差数列应用举例【教学目标】1.掌握等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式；3.掌握等差数列的前n 项和公式；4.会应用等差数列的相关知识解答实际问题.【教学内容】1.等差数列的概念；2.等差数列的通项公式；3.等差数列的前n 项和公式；4.应用等差数列的相关知识解答实际问题.【教学重点】1.等差数列的概念；2.等差数列的通项公式；3.等差数列的前n 项和公式.【教学难点】应用等差数列的相关知识解答实际问题.【教学过程】一、知识点梳理（一）等差数列的定义1n n a a d +-=；（二）等差数列的递推公式1n n a a d +=+；（三）等差数列的通项公式()11n a a n d =+-；（四）等差数列的前n 项和公式二、例题讲解例1、某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？解法1：由题意可知，各排座位数成等差数列，公差2d =,2570a =于是 ()1702512a =+-⨯，解得122a =.所以 ()2525227011502S ⨯+==. 答：礼堂共有1150个座位.解法2：由题意可知，各排座位数成等差数列，将最后一排看作第1排，则170a =，2d =-，25n =，因此()()25252512570211502S ⨯-=⨯+⨯-=. 答：礼堂共有1150个座位.例2、小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款.从元月份开始，每月第1天存入银行1000元，银行一年利率 1.71%计息，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）是多少（精确到0.01元）？说明：（1）年利率1.71%，折合月利率为0.1425%.计算公式为月利率=年利率÷12；()11.2n n n S na d -=+()12n n n a a S +=（2）年终结算时本金为1000*12；（3）每个月产生的利息是不同的，第一个月到年底时产生的利息为：1000*0.1425%*12，第二个月到年底时产生的利息为：1000*0.1425%*11，以此类推.解：年利率1.71%，折合月利率为0.1425%.第1个月的存款利息为 1000×0.1425%×12（元）； 第2个月的存款利息为 1000×0.1425%×11（元）； 第3个月的存款利息为 1000×0.1425%×10（元）；…第12个月的存款利息为 1000×0.1425%×1（元）. 应得到的利息就是上面各期利息之和：()10000.1425%12312111.15n S =⨯⨯+++=（元）.故年终本金与利息之和为：121000111.1512111.15⨯+=（元）.答：年终结算时本金与利息之和（简称本利和）为12111.15元.三、学生练习一个堆放钢管的V 型架的最下面一层放1根钢管，往上每一层都比它下面一层多放一个，最上面一层放30根钢管，求这个V 型架上共放着多少根钢管.分析：由题意知，V 型架每一层放的钢管数构成等差数列，且11a =，1d =，30n a =.由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-知：()30111n =+-⋅，解得30n =，故 ()()1303013046522n n a a S +⨯+===. 四、课堂小结（一）等差数列的概念；（二）等差数列的通项公式；（三）等差数列的前n项和公式；（四）应用等差数列的相关知识解答实际问题.五、作业布置（一）课本P11练习6.2.4；（二）课本P11练习6.2A组第9题、第10题、第7题，第8题.六、教学反思本节课的重点在于使学生利用等差数列的相关知识解答实际应用问题，是学生能将所学到的只是很好的应用到实际生活中去.这样有利于培养和提高学生学习数学的积极性和兴趣、也有利于使学生逐步学会理论联系实际.通过课堂练习和作业反映的情况来看，学生都能较好地将等差数列的相关知识应用于解答实际问题，但也有些学生表现出基础计算能力较弱，需教师加强指导.。

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算公式。

3. 能够运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

三、教学难点1. 等差数列的前n项和的公式的推导过程。

2. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列的前n项和的计算方法。

2. 通过实例分析，让学生掌握等差数列的前n项和的应用。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解等差数列的前n项和的性质。

五、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

3. 等差数列的前n项和的性质。

4. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

第一章：等差数列的概念及其性质1.1 等差数列的定义1.2 等差数列的性质1.3 等差数列的通项公式第二章：等差数列的前n项和的计算公式2.1 等差数列前n项和的定义2.2 等差数列前n项和的计算公式2.3 等差数列前n项和的性质第三章：等差数列的前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的单调性3.2 等差数列前n项和的奇偶性3.3 等差数列前n项和的最值问题第四章：运用等差数列的前n项和公式解决实际问题4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用4.2 等差数列前n项和的优化问题4.3 等差数列前n项和与数学竞赛第五章：等差数列的前n项和公式的推导过程5.1 等差数列前n项和公式的推导方法5.2 等差数列前n项和公式的证明5.3 等差数列前n项和公式的拓展与应用六、等差数列的前n项和的图形直观6.1 等差数列前n项和的图形表示6.2 等差数列前n项和的图形性质6.3 等差数列前n项和的图形应用7.1 等差数列前n项和的数值方法7.2 等差数列前n项和的数值例子7.3 等差数列前n项和的数值分析八、等差数列的前n项和的实际应用8.1 等差数列前n项和在经济学中的应用8.2 等差数列前n项在工程学中的应用8.3 等差数列前n项在和生物学中的应用九、等差数列的前n项和的问题拓展9.1 等差数列前n项和的相关问题拓展9.2 等差数列前n项和的问题研究进展9.3 等差数列前n项和的问题解决策略十、等差数列的前n项和的教学设计10.1 等差数列前n项和的教学目标设计10.2 等差数列前n项和的教学方法设计10.3 等差数列前n项和的教学评价设计重点和难点解析一、等差数列的概念及其性质补充和说明：等差数列是一种常见的数列，其特点是相邻两项的差值是常数。

§6.2 等差数列及其前n 项和考纲展示►1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.考点1 等差数列的基本运算1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母________表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2.答案：(1)2 同一个常数 d 2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是________． (2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d 或S n ＝n a 1＋a n2.答案：(1)a n ＝a 1＋(n －1)d(1)[教材习题改编]已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________． 答案：52(2)[教材习题改编]在100以内的正整数中有________个能被6整除的数． 答案：16 知三求二．等差数列中，有五个基本量，a 1，d ，n ，a n ，S n ，这五个基本量通过________，____________联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解．答案：通项公式 前n 项和公式[典题1] (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6B ．－4C ．－2D ．2[答案] A[解析] 解法一(常规解法)：设公差为d ，则8a 1＋28d ＝4a 1＋8d ，即a 1＝－5d ，a 7＝a 1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.解法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质，可得S 8＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3， 所以a 6＝0，又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.(2)[2017·河北武邑中学高三期中]等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝( )A ．0B ．－9C ．10D ．－10[答案] A[解析] 因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且公差为d ＝1，故S 1010＝a 11＋1×(10－1)＝－9＋9＝0，故选A.(3)[2017·河北唐山模拟]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.[答案] 30[解析] 解法一：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，则S 6＝6a 1＋15d ＝30.解法二：∵等差数列{a n }，故可设S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1， 即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.[点石成金] 等差数列运算的解题思路及答题步骤 (1)解题思路由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．(2)答题步骤步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 步骤二：根据已知条件列方程求出未知量； 步骤三：利用前n 项和公式求得结果．考点2 等差数列的判断与证明等差数列的概念的两个易误点：同一个常数；常数.(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则该数列的通项公式为a n ＝__________. 答案：2n －1解析：由a n ＋1＝a n ＋2，知{a n }为等差数列，其公差为2，故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }的通项公式为a n ＝__________. 答案：1＋n n －12解析：由a n ＋1－a n ＝n ，得a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，…，a n －a n －1＝n －1，各式相加，得a n－a 1＝1＋2＋…＋n －1＝n －11＋n －12＝nn －12，故a n ＝1＋n n －12.[典题2] 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)[证明] 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)[解] 由(1)，可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12n －1＝n －1－n2n n －1＝－12n n －1.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.[题点发散1] 若将母题条件变为：数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n .求证：{a n}为等差数列．证明：∵2S n－na n＝n，①∴当n≥2时，2S n－1－(n－1)a n－1＝n－1，②①－②，得(2－n)a n＋(n－1)a n－1＝1，则(1－n)a n＋1＋na n＝1，∴2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)，∴数列{a n}为等差数列．[题点发散2] 若母题变为：已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝2－1a n－1(n≥2，n∈N*)，设b n＝1a n－1(n∈N*)．求证：数列{b n}是等差数列．证明：∵a n＝2－1a n－1，∴a n＋1＝2－1a n.∴b n＋1－b n＝1a n＋1－1－1a n－1＝12－1a n－1－1a n－1＝a n－1a n－1＝1，∴{b n}是首项为b1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．[点石成金] 等差数列的判定与证明方法n n34 117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞0，由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22， 所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解， 所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4， 故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n 1＋4n －32＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c.解法一：所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c，b 3＝153＋c(c ≠0)． 由2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－nn －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．解法二：由b n ＝S nn ＋c＝n 1＋4n －32n ＋c＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }为等差数列．考点3 等差数列的性质及应用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋________(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则____________． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为________． (4)若{a n }，{b n }是等差数列，公差为d ，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为________的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (7)S 2n －1＝(2n －1)a n .(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 答案：(1)(n －m )d (2)a k ＋a l ＝a m ＋a n (3)2d (5)md等差数列的基本公式：通项公式；前n 项和公式．(1)等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 5－2a 1＝27，则a 5＝________. 答案：13解析：设等差数列的公差为d ，则有2a 1＋3d ＝1,4d －a 1＝27，解得d ＝5，a 1＝－7，所以a 5＝a 1＋4d ＝13.(2)等差数列{a n }的首项为1，公差为4，前n 项和为120，则n ＝________. 答案：8解析：a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3，所以S n ＝n 1＋4n －32＝120，解得n ＝8或n ＝－152(舍去).等差数列运算的两个方法：应用性质；巧妙设元．(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 10＝12，则该数列前13项和S 13＝__________. 答案：78解析：由等差数列的性质与前n 项和公式，得S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝78.(2)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8，则{a n }的通项公式是__________．答案：a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7解析：设等差数列{a n }的前三项为a 2－d ，a 2，a 2＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＝－3，a 2－d a 2a 2＋d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，d ＝－3 或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，d ＝3，所以a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.[典题3] [2017·河南洛阳统考]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．36D ．27[答案] B[解析] 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.[点石成金] 在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具.1.[2017·宁夏银川模拟]已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32.若a m ＝8，则m ＝( )A ．8B ．12C ．6D ．4答案：A解析：由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得 (a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，即4a 8＝32， ∴a 8＝8，∴m ＝8.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案：60解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20， ∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60.考点4 等差数列前n 项和的最值问题[典题4] 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16 D ．S 17 [答案] A[解析]∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋30n＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．[题点发散1] 若将条件“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 1>0，S 5＝S 12”，如何求解？ 解：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 5＝S 12，得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ， 解得d ＝－18a 1<0.所以S n ＝na 1＋n n －12d＝na 1＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1722＋28964a 1.因为a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 解法二：设等差数列{a n }的公差为d ， 同解法一得d ＝－18a 1<0.设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a n＝a 1＋n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≥0，a n ＋1＝a 1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 解法三：设等差数列{a n }的公差为d ， 同解法一得d ＝－18a 1<0.由于S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设f (x )＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ，则函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线，由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．[题点发散2] 若将条件“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 3＝12，S 12>0，S 13<0”，如何求解？ 解：因为a 3＝a 1＋2d ＝12， 所以a 1＝12－2d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝12a 1＋66d >0，S 13＝13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧144＋42d >0，156＋52d <0，解得－247<d <－3.故公差d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3. 解法一：由d <0可知，{a n }为递减数列，因此，在1≤n ≤12中，必存在一个自然数n ，使得a n ≥0，a n ＋1<0， 此时对应的S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．由于⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝6a 6＋a 7>0，S 13＝13a 7<0，于是a 7<0，从而a 6>0，因此S 6最大．解法二：由d <0可知{a n }是递减数列，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 3＋n －3d ≥0，a n ＋1＝a 3＋n －2d <0，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤3－12d ，n >2－12d.由－247<d <－3，可得⎩⎨⎧n ≤3－12d <3＋123＝7，n >2－12d >2＋12247＝5.5，所以5.5<n <7，故n ＝6，即S 6最大．[题点发散3] 若将“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 5>0，a 4＋a 7<0”，如何求解？解：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.[点石成金] 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 的值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大； ②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大.1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案：B解析：依题意，得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0.又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6，故选B.2．[2017·安徽望江中学模拟]设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11 答案：C解析：由题意，得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，故选C.[方法技巧] 1.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为：(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定．2．数列{a n }为等差数列．(1)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1.3．若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a m b m. 4．若a m ＝n ，a n ＝m (m ≠0)，则a m ＋n ＝0. [易错防范] 1.公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n (n 为正整数)；若对称轴对应在两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n 值．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97 答案：C解析：由等差数列性质知，S 9＝9a 1＋a 92＝9×2a 52＝9a 5＝27， 解得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2．[2015·北京卷]设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0答案：C解析：A ，B 选项易举反例．C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立．D 中，若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故D 选项错误．故选C.3．[2016·江苏卷]已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．答案：20解析：设等差数列{a n }公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋d 2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.课外拓展阅读巧用三点共线解等差数列问题1．等差数列的求解由等差数列与一次函数的关系可知：对于公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }，其通项公式为a n ＝dn ＋(a 1－d )，则点(n ，a n )(n ∈N *)共线，又d ＝a n －a m n －m(n ≠m )，所以d 为过(m ，a m )，(n ，a n )两点的直线的斜率．由此可用三点共线解决等差数列问题．[典例1] 若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝________.[思路分析][解析] 解法一：设数列{a n }的公差为d ，因为a p ＝a q ＋(p －q )d ，所以q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d .因为p ≠q ，所以d ＝－1.所以a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝q ＋q (－1)＝0.解法二：因为数列{a n }为等差数列，所以点(n ，a n )(n ∈N *)在一条直线上．不妨设p <q ，记点A (p ，q )，B (q ，p )，则直线AB的斜率k ＝p －q q －p＝－1，如图所示， 由图知OC ＝p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q,0)，故a p ＋q ＝0.[答案] 0[典例2] 已知{a n }为等差数列，且a 100＝304，a 300＝904，求a 1 000.[思路分析][解] 因为{a n }为等差数列，则(100,304)，(300,904)，(1 000，a 1 000)三点共线，所以904－304300－100＝a 1 000－9041 000－300， 解得a 1 000＝3 004.2．等差数列前n 项和的求解在等差数列前n 项和公式的变形S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 中，两边同除以n 得S n n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2.该式说明对任意n ∈N *，所有的点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 都在同一条直线上，从而对m ，n ∈N *(m ≠n )有S n n －S m m n －m ＝d 2(常数)，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列． [典例3] 已知在等差数列{a n }中，S n ＝33，S 2n ＝44，求这个数列的前3n 项的和S 3n .[解] 由题意知，⎝⎛⎭⎪⎫n ，33n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，442n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ，S 3n 3n 三点在同一条直线上， 从而有442n －33n 2n －n ＝S 3n 3n －442n 3n －2n，解得S 3n ＝33. 所以该数列的前3n 项的和为33.。

【课题】 6.2.3 等差数列的前n 项和公式【教学目标】知识目标：理解等差数列通项公式及前n 项和公式．项和公式． 能力目标：通过学习前n 项和公式项和公式,,培养学生处理数据的能力．培养学生处理数据的能力．【教学重点】等差数列的前n 项和的公式．项和的公式．【教学难点】等差数列前n 项和公式的推导．项和公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等差数列的前n 项和公式项和公式,,等差数列应用举例等差数列应用举例..重点是等差数列的前n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导以及知识的简单实际应用．项和公式的推导以及知识的简单实际应用．等差数列前n 项和公式的推导方法很重要项和公式的推导方法很重要,,所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并学会应用．等差数列中的五个量1a 、d 、n 、n a 、n S 中,知道其中三个知道其中三个,,可以求出其余两个可以求出其余两个,,例5和例6是针对不同情况是针对不同情况,,分别介绍相应算法．分别介绍相应算法．例7将末项看作是首项的思想是非常重要的将末项看作是首项的思想是非常重要的,,以这类习题作为载体以这类习题作为载体,,对培养学生的创新精神是十分重要的．精神是十分重要的．【教学备品】教学课件．教学课件．【课时安排】1课时．课时．((40分钟分钟) )【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题6．2 等差数列．等差数列． *创设情境 兴趣导入【趣味数学问题】 数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天赋．据传说，老师在数学课上出了一道题目：“把1到100的整数写下从小故事过 程行为 行为 意图 间来，然后把它们加起来!”对于这些十岁左右的孩子，这个题目是比较难的．但是高斯很快就得到了正确的答案，此时其他的学生正在忙碌地将数字一个个加起来，额头都流出了汗水．字一个个加起来，额头都流出了汗水．小高斯是怎样计算出来的呢?他观察这100个数个数1, 2, 3, 4, 5, …，96, 97, 98, 99, 100. 并将它们分成50对，依次计算各对的和：对，依次计算各对的和：1+100=101 2+99=101 3+98=101 4+97=101 5+96=101 …… 50+51=101 所以，前100个正整数的和为个正整数的和为101´50=5050. 质疑质疑引导引导 分析分析思考思考参与参与 分析分析讲起引起引起 学生学生 兴趣兴趣*动脑思考 探索新知从小到大排列的前100个正整数，组成了首项为1，第100项为100，公差为1的等差数列．小高斯的计算表明，这个数列的前100项和为项和为()21001001´+． 现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前n 项和．项和． 将等差数列{}n a 前n 项的和记作n S ．即．即12321n n n n S a a a a a a --=++++++ ． （1） 也可以写作也可以写作 12321n n n n S a a a a a a --=++++++ ． （2）总结总结 归纳归纳思考思考 归纳归纳带领带领 学生学生 总结总结 问题问题 得到得到 等差过 程行为 行为 意图 间由于由于nn aa a a +=+11，()()2111n n n a a a d a d a a -+=++-=+，()()n n n aa d a d a aa +=-++=+-112322， …… (1)式与（2）式两边分别相加，得）式两边分别相加，得()12n n S n a a =+，由此得出等差数列{}n a 的前n 项和公式为项和公式为 （6.3）即等差数列的前n 项和等于首末两项之和与项数乘积的一半．半．知道了等差数列{}n a 中的1a 、n 和n a ，利用公式（6.3）可以直接计算nS ．将等差数列的通项公式()d n a a n 11-+=代入公式（6.3），得，得知道了等差数列{}n a 中的1a 、n 和d ，利用公式（6.4）可以直接计算n S ．()12n n n a a S +=．仔细仔细分析分析 讲解讲解 关键关键 词语词语理解理解 记忆记忆数列求和公式公式 引导启发学生思考求解求解（6.4）()112n n n S na d -=+过 程行为 行为 意图 间【想一想】在等差数列{}n a 中，知道了1a 、d 、n 、n a 、n S 五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？*巩固知识 典型例题例5 已知等差数列{}n a 中，18a =-,20106a =, 求20S ． 解 由已知条件得由已知条件得 ()202081069802S ´-+==． 例6 等差数列等差数列 ,3,1,5,9,13----… 的前多少项的和等于50？解 设数列的前n 项和是50，由于，由于 ,4)1(3,131=--=-=d a 故 (1)50134,2n n n -=-+× 即 0501522=--n n ， 解得解得 (25,1021-==n n 舍去）， 所以，该数列的前10项的和等于50． 【想一想】例6中为什么将负数舍去？说明说明 强调强调引领引领 讲解讲解 说明说明引领引领 分析分析 强调强调 含义含义说明说明 观察观察思考思考 主动主动 求解求解 观察观察思考思考 求解求解 领会领会思考思考 求解求解通过例题进一步领会注意注意观察观察 学生学生 是否是否 理解理解 知识知识 点反复反复 强调强调过 程行为 行为 意图 间30 *运用知识 强化练习 练习 6.2.31. 求等差数列1,4,7,10,…的前100项的和．项的和．2. 在等差数列{n a }中,4a =6,269=a ,求20S ． 启发启发 引导引导 提问提问 巡视巡视 指导指导 思考思考 了解了解动手动手 求解求解可以可以 交给交给 学生学生 自我自我 发现发现 归纳归纳*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：思考并回答下面的问题：等差数列的前n 项和公式是什么？项和公式是什么？ 结论：()12n nn a a S +=，()112n n n S na d -=+．质疑质疑 归纳强调强调回答回答理解理解强化强化以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点突破难点难点*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导引导回忆回忆*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何提问提问反思反思培养学生总结反思学习过程的能力*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材读书部分：教材(2)书面作业书面作业::《练与考》第5页说明说明 记录记录 分层次要求。

专题6.2 等差数列及其前n 项和1．（江西师范大学附属中学2019届高三三模）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（ ）A ．2B ．7C ．14D ．28【答案】C 【解析】5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a =()177477142a a S a +∴===，本题选C 。

2．（安徽省1号卷A10联盟2019届模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则31119a a a ++=（ ）A ．12B ．9C ．6D ．3【答案】B【解析】由等差数列性质可知：21112163S a ==，解得：113a =311191139a a a a ∴++==本题选B 。

3．（贵州省贵阳市2019届高三模拟）已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（ ） A ．6 B ．6-C ．2-D ．4【答案】A【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8， ∴a 5+a 6=2，∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5＜a 6， ∴a 5=-2，a 6=4， ∴d=a 6-a 5=6， 故选A 。

4．（河北衡水中学2019届高三调研）已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则5a =（ ）A ．2B ．2或32C ．2或-32D ．-1【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q （q 0≠），1324,,2a a a 成等差数列， 321224a a a ∴=+，10a ≠， 220q q ∴--=，解得：q=2q=-1或，451a =a q ∴，5a =232或，故选B.5．（浙江省金华十校2019届高三模拟）等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】B【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=，则2291812(1)211a d q q =+=+-=->-，可得9a 能取到的最小整数是0，故选B 。