高中数学 三角函数三角函数的应用讲义 新人教A版必修一第一册

第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性知识点一周期函数1．周期函数状元随笔关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．(2)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B，y＝A cos(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝2π|ω|求最小正周期．知识点二正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性状元随笔关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．[教材解难]1．教材P202思考函数的周期性与解析式中x的系数有关．2．教材P202思考知道了一个函数的周期性和奇偶性能更容易画出函数的图象，从而得到函数的性质． [基础自测]1．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析：对于A ，T ＝2π12＝4π，对于B ，T ＝2π2＝π，对于C ，T ＝2π14＝8π，对于D ，T ＝2π4＝π2.答案：D2．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故选A.答案：A3．下列函数中是偶函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝－sin x C ．y ＝sin|x | D ．y ＝sin x ＋1解析：A 、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，∴y ＝sin|x |是偶函数．答案：C 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ， 又因为cos(－x )＝cos x ，为偶函数，所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y 轴对称． 答案：B题型一 求三角函数的周期[教材P 201例2] 例1 求下列函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x ∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R .【解析】 (1)∀x ∈R ，有3sin(x ＋2π)＝3sin x . 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.(2)令z ＝2x ，由x ∈R 得z ∈R ，且y ＝cos z 的周期为2π，即cos(z ＋2π)＝cos z ，于是cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，所以cos 2(x ＋π)＝cos 2x ，x ∈R .由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)令z ＝12x －π6，由x ∈R 得z ∈R ，且y ＝2sin z 的周期为2π，即2sin(z ＋2π)＝2sinz ，于是2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋4π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.状元随笔 通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x ＋T)＝f(x)而求出相应的周期．对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x ＋T)＝cos 2x ，x∈R ； 对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋T )－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R .教材反思求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω>0)，可利用T ＝2πω来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．跟踪训练1 (1)下列函数中，不是周期函数的是( ) A.y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x |(2)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的周期为________． 解析：(1)画出y ＝sin|x |的图象，易知y ＝sin|x |不是周期函数．(2)方法一 因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6， 即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(x ＋6π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. 所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.方法二 函数的周期T ＝2π|ω|＝2π13＝6π.答案：(1)D (2)6π(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．(2)利用周期的定义，需要满足f(x ＋T)＝f(x) ；也可利用公式T ＝2π|ω|计算周期．题型二 正、余弦函数的奇偶性问题[经典例题] 例2 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2； (2)f (x )＝sin(cos x )．【解析】 (1)函数的定义域为R .且f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x .因为f (－x )＝－sin(－2x )＝sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R .且f (－x )＝sin[cos(－x )]＝sin(cos x )＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin(cos x )是偶函数.先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性．方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f (x )的定义域不关于原点对称，无论f (－x )与f (x )有何关系，f (x )仍然是非奇非偶函数．跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. 解析：(1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． (1)利用定义法判断函数的奇偶性．(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cos x 的值以及x 的值，最后判断函数的奇偶性．题型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[经典例题]例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．【解析】 因为f (x )的最小正周期是π， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3， 因为f (x )是R 上的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.利用周期性 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，再利用奇偶性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，最后代入求值．方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (A ω≠0)或y ＝A cos ωx (A ω≠0)其中的一个．跟踪训练3 若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π的值．解析：因为f (x )的最小正周期是π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＝12利用周期性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6代入求值．课时作业 34一、选择题1．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( ) A.π3B ．3π C.2π3 D.3π2解析：该函数的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：C2．函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：因为f (x )的定义域是R ，且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数． 答案：A3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＋1 005π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＝－cos 2 010x ， f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－cos(－2 010x )＝－cos 2010x ＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数． 答案：B4．函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ( )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝x cosx ，所以f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．答案：A 二、填空题5．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数．答案：奇6．函数y ＝cos (1－x )π2的最小正周期是________．解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2x ＋π2，∴T ＝2ππ2＝2π×2π＝4.答案：47．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (8)＝________. 解析：∵f (x )的周期为2， ∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (8)＝f (2＋3×2)＝f (2)＝3.答案：3 三、解答题8．求下列函数的最小正周期： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6；(2)y ＝|sin x 2|. 解析：(1)利用公式T ＝2π|ω|，可得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6的最小正周期为T ＝2π|－2|＝π. (2)易知函数y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝2π12＝4π，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是由函数y ＝sin x 2的图象将在x 轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为2π.9．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3cos 2x ；(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(3)f (x )＝x ·cos x . 解析：(1)因为x ∈R ，f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos 2x ＝f (x )，所以f (x )＝3cos 2x 是偶函数． (2)因为x ∈R ，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，所以f (－x )＝－cos 3(－x )4＝－cos 3x 4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(3)因为x ∈R ，f (－x )＝－x ·cos(－x )＝－x ·cos x ＝－f (x )， 所以f (x )＝x cos x 是奇函数． [尖子生题库]10．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解析：(1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.。

5.4 三角函数的图象与性质最新课程标准：(1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．(2)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质．5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点正弦曲线与余弦曲线及其画法函数y＝sin x y＝cos x 图象图象画法五点法五点法关键五点(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫32π，0，(2π，1)状元随笔 1.关于正弦函数y＝sin x的图象(1)正弦函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z的图象与x∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y＝sin x，x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．[教材解难]1．教材P 196思考如图，在直角坐标系中画出以原点O 为圆心的单位圆，⊙O 与x 轴正半轴的交点为A (1,0)．在单位圆上，将点A 绕着点O 旋转x 0弧度至点B ，根据正弦函数的定义，点B 的纵坐标y 0＝sin x 0.由此，以x 0为横坐标，y 0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T (x 0，sinx 0)．2．教材P 197思考由诱导公式一可知，函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0的图象与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致．因此将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象．3．教材P 198思考在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)4．教材P 198思考对于函数y ＝cos x ，由诱导公式cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2得，y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R .而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R 的图象可以通过正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象．5．教材P 200思考能．以函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象为基础，将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度，所得图象即函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．能．以函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象为基础，作它关于x 轴对称的图象，所得图象即函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的图象．[基础自测]1．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确． 答案：C2．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B3．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________．解析：令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π题型一 用“五点法”作三角函数图象[教材P 199例1] 例1 画出下列函数的简图： (1)y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]． 解析：(1)按五个关键点列表：x 0π2π3π22πsin x 010－101＋sin x 1210 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来：(2)按五个关键点列表：x 0π2π3π22πcos x 10－10 1－cos x －1010－1用五点法作图关键先找出5个关键点，再用平滑的曲线连接．教材反思作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y＝3＋2cos x的简图．解析：(1)列表，如下表所示x 0 π2 π 3π2 2π y ＝cos x 1 0 －1 0 1 y ＝3＋2cos x53135(2)描点，连线，如图所示：利用五点作图法画简图．题型二 正、余弦函数曲线的简单应用[经典例题] 例2 根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围． 【解析】 在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.(或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π)在同一坐标系内作y ＝sin x 与y ＝－32的图象，利用图象求x 的范围. 方法归纳利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤 (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值．(3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．[注意] 解三角不等式sin x >a ，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x ∈[0,2π]范围内x 的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x ≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z .在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象，利用图象求x 的范围.课时作业 33 一、选择题1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误． 答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)． 答案：D3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1. 答案：C4．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B 二、填空题5．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)6．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同； 对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确． 答案：(2)(4)7．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又∵x ∈[0,2π]，故x＝π6或56π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题8．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121(2)9．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3.[尖子生题库]10．利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝|sin x |，x ∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的简图，再作出y ＝cos x ，x∈[0,2π]关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图1所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈ [0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图2所示．。

第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式学 习 目标核 心 素 养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.1．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式使用条件两角差的余弦公式 C (α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C (α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R名称 简记符号 公式使用条件两角和的正弦S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦 S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈Ry ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θ＝a a 2＋b 2，sinθ＝b a 2＋b 2.1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A ．0 B.12 C.32D ．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.] 3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝______. －210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.],给角求值问题【例1】 (1)cos70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32.(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513＝－12＋5326.] (3)[解] 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题【例2】 (1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值．[思路点拨] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [由题意可得，cos∠xOP ＝45， 所以sin∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513，可得sin∠xOQ ＝－1213，所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·sin∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.] (2)[解] ①因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式． 提示：a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定)．【例3】 (1)sin π12－3cos π12＝________.(2)已知f (x )＝3sin x －cos x ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间．[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.](2)[解] f (x )＝3sin x －cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .1．若将例3(2)中函数改为f (x )＝－sin x ＋3cos x ，其他条件不变如何解答？ [解] f (x )＝－sin x ＋3cos x ＝232cos x －12sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴T ＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2k π≤x ＋π6≤2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，－π6＋2k π，k ∈Z .2．若将例3(2)中函数改为f (x )＝m sin x ＋m cos x ，其中m ＞0，其他条件不变，应如何解答？[解] f (x )＝m sin x ＋m cos x ＝2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π，值域为[－2m ，2m ]，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b2cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin 3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) [提示] (1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．化简2cos x －6sin x 等于( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x D ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x D [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x －sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22， ∴α－β＝－π4.。

5.1 任意角和弧度制最新课程标准：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．5.1.1 任意角知识点一角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．状元随笔(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”知识点二角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．知识点三角的分类在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．知识点五终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．状元随笔(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．[教材解难]象限角的集合表示.[基础自测]1．下列说法中正确的是( )A．终边相同的角都相等B．钝角是第二象限的角C．第一象限的角是锐角 D．第四象限的角是负角解析：终边相同的角不一定相等，第一象限角不一定是锐角，第四象限角可能为正角，也可能为负角，故选B.答案：B2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B.答案：B3．与30°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈ Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：A4．2 019°是第________象限角．解析：2 019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°.∴2 019°是第三象限角．答案：三题型一 任意角的概念及应用[经典例题]例1 (1)若角的顶点在原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．【解析】 (1)①错误，0°角是象限界角；②③④正确．(2)分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×223＝－960°. 【答案】 (1)C (2)－960°按照象限分类，角可以分为象限角和象限界角；角的正负是由终边的旋转方向决定的． 分针1个小时转过的角度的绝对值是360 °.方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练1 在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________．解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确． ②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确． ③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．答案：①②④题型二 终边相同的角[经典例题]例2 写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．【解析】 与75°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋75°，k ∈Z }．当360°≤β<1 080°，即360°≤k ·360°＋75°<1 080°时，解得1924≤k <21924.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1 080°范围内的角为435°角和795°角． 状元随笔 根据与角α终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k·360 °＋α，k∈Z }，写出与75 °角终边相同的角的集合，再取适当的k 值，求出360 °～1 080 °范围内的角．方法归纳(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．(2)终边相同角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．跟踪训练2 写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中满足－360°≤α<720°的元素写出来．(1)60°；(2)－210°；(3)364°13′.解析：(1)S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝－1时，α＝－300°；当k ＝0时，α＝60°；当k ＝1时，α＝420°.∴S 中满足－360°≤α<720°的元素是－300°，60°，420°.(2)S ＝{α|α＝－210°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝0时，α＝－210°；当k ＝1时，α＝150°；当k ＝2时，α＝510°.∴S 中满足－360°≤α<720°的元素是－210°，150°，510°.(3)S ＝{α|α＝364°13′＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝－2时，α＝－355°47′；当k ＝－1时，α＝4°13′；当k ＝0时，α＝364°13′.∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－355°47′，4°13′，364°13′.求与已知角α终边相同的角时，首先将这样的角表示成k·360 °＋α(k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解相应不等式，确定k的值，求出满足条件的角．题型三象限角与区间角的表示[教材P170例1]例3 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．【解析】－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.先求出与－950 °12 ′终边相同的角，再判断是第几象限角．教材反思象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．跟踪训练3 (1)若α是第四象限角，则－α一定在( )A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．解析：(1)因为α是第四象限角，所以k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z.所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．依题意写出α的范围，再求－α的范围．(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋360°·k，k∈Z.所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值集合为{α|30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z}．由图写出终边OA表示的角，终边OB表示的角，再求阴影的范围.答案：(1)A (2)见解析一、选择题1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( )A．45° B．90°C．180° D．270°解析：根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．答案：B2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A．120° B．－120°C．240° D．－240°解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.答案：D3．与－457°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.答案：C4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，故选C.答案：C二、填空题5．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.答案：390° －150° 60°6．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.解析：由条件知，2α＝α＋k ·360°，所以α＝k ·360°(k ∈Z )，因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°.答案：0°7．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }．答案：{α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }三、解答题8．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解析：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°.因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．9．已知α与240°角的终边相同，判断α2是第几象限角． 解析：由α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，得α2＝120°＋k ·180°，k ∈Z . 若k 为偶数，设k ＝2n ，n ∈Z ，则α2＝120°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与120°角的终边相同，是第二象限角； 若k 为奇数，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则α2＝300°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与300°角的终边相同，是第四象限角． 所以，α2是第二象限角或第四象限角．[尖子生题库]10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，则终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)终边落在直线ON上的角的集合为C＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．。

最新课程标准：能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.知识点一两角和的余弦公式cos（α＋β）＝cos_αcos_β—sin_αsin_β，简记为C（α＋β），使用的条件为α，β为任意角．知识点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S（α＋β）sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦S（α—β）sin（α—β）＝sin_αcos_β—cos_αsin_βα，β∈R错误!公式的记忆方法（１）理顺公式间的联系．C（α＋β）错误!C（α—β）错误!S（α—β）错误!S（α＋β）（２）注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C（α—β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S（α—β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”．公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin（α＋β），sinαcosβ—cosαsinβ＝sin（α—β），cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos（α—β），cosαcosβ—sinαsinβ＝cos（α＋β）．知识点三两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan（α＋β）＝错误!T（α＋β）α，β，α＋β≠kπ＋错误!（k∈Z）两角差的正切tan（α—β）＝错误!T（α—β）α，β，α—β≠kπ＋错误!（k∈Z）错误!公式T（α±β）（１）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为１与tanαtanβ的差或和．（２）符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．[教材解难]１．教材P２１7思考能．例如把—β代入β由C（α—β）可求出C（α＋β）．２．教材P２１9思考成立．方法一：sin错误!＝sin错误!＝cos错误!或cos错误!＝cos错误!＝sin错误!.方法二：由于sin错误!＝sin错误!cos α—cos错误!sin α＝错误!（cos α—sin α），cos错误!＝cos错误!cos α—sin错误!sin α＝错误!（cos α—sin α），故sin错误!＝cos错误!.[基础自测]１．sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin１0５°等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin １0５°＝sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin 7５°＝sin（１５°＋7５°）＝sin 90°＝１．答案：D２．设α∈错误!，若sin α＝错误!，则错误!cos错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!解析：易得cos α＝错误!，则错误!cos错误!＝错误!错误!＝错误!.答案：B３．已知tan α＝４，tan β＝３，则tan（α＋β）＝（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：B４．已知sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝________.解析：由sin α＋cos β＝１与cos α＋sin β＝0分别平方相加得sin２α＋２sin αcos β＋cos２β＋cos２α＋２cos αsin β＋sin２β＝１，即２＋２sin αcos β＋２cos αsin β＝１，所以sin（α＋β）＝—错误!.答案：—错误!题型一给角求值[教材P２１9例４]例１利用和（差）角公式计算下列各式的值：（１）sin 7２°cos ４２°—cos 7２°sin ４２°；（２）cos ２0°cos 70°—sin ２0°sin 70°；（３）错误!.【解析】（１）由公式S（α—β），得sin 7２°cos ４２°—cos 7２°sin ４２°＝sin（7２°—４２°）＝sin ３0°＝错误!.（２）由公式C（α＋β），得cos ２0°cos 70°—sin ２0°sin 70°＝cos（２0°＋70°）＝cos 90°＝0．（３）由公式T（α＋β）及tan ４５°＝１，得错误!＝错误!＝tan（４５°＋１５°）＝tan 60°＝错误!.和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．教材反思解决给角求值问题的方法（１）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．（２）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．跟踪训练１求值：（１）cos １0５°；（２）错误!；（３）错误!.解析：（１）cos １0５°＝cos（60°＋４５°）＝cos 60°cos ４５°—sin 60°sin ４５°＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.（２）错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.（３）错误!＝错误!＝tan ４５°＝１．（１）１0５°＝60 °＋４５°（２）找到３１°、9１°、２9 °之间的联系利用公式化简求值．题型二给值求值例２已知错误!<β<α<错误!，cos（α—β）＝错误!，sin（α＋β）＝—错误!，求cos ２α与cos ２β的值．【解析】因为错误!<β<α<错误!，所以0<α—β<错误!，π<α＋β<错误!.所以sin（α—β）＝错误!＝错误!＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!＝—错误!＝—错误!.所以cos ２α＝cos[（α＋β）＋（α—β）]＝cos（α＋β）cos（α—β）—sin（α＋β）sin（α—β）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!，cos ２β＝cos[（α＋β）—（α—β）]＝cos（α＋β）cos（α—β）＋sin（α＋β）sin（α—β）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.１．正确判断α—β，α＋β的范围是求解前提．２．巧妙利用角的变换方法，是求解此类题目常用方法．方法归纳给值（式）求值的策略（１）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．（２）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．跟踪训练２本例条件变为：错误!<β<α<错误!，sin（α—β）＝错误!，sin（α＋β）＝—错误!，求sin ２β的值．解析：因为错误!<β<α<错误!，所以0<α—β<错误!，π<α＋β<错误!π.所以cos（α—β）＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!，sin ２β＝sin[（α＋β）—（α—β）]＝sin（α＋β）cos（α—β）—cos（α＋β）sin （α—β）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝0．（１）由已知求出α—β、α＋β的范围．（２）２β＝（α＋β）—（α—β）．（３）利用公式求值．题型三给值求角例３已知cos α＝错误!，sin（α＋β）＝错误!，0<α<错误!，0<β<错误!，求角β的值．【解析】因为0<α<错误!，cos α＝错误!，所以sin α＝错误!.又因为0<β<错误!，所以0<α＋β<π.因为sin（α＋β）＝错误!<sin α，所以cos（α＋β）＝—错误!，所以sin β＝sin[（α＋β）—α]＝sin（α＋β）cos α—cos（α＋β）sin α＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.又因为0<β<错误!，所以β＝错误!.（１）已知α的范围及cosα，求sinα.（２）求α＋β的范围及sin（α＋β），求cos（α＋β）．（３）利用sinβ＝sin[（α＋β）—α]，求值．方法归纳解决给值（式）求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是（0，π）或（π，２π）时，选取求余弦值，当所求角范围是错误!或错误!时，选取求正弦值．跟踪训练３已知tan（α—β）＝错误!，tan β＝—错误!，α，β∈（0，π），求２α—β的值．解析：tan α＝tan[（α—β）＋β]＝错误!＝错误!＝错误!.又因为α∈（0，π），而tan α>0，所以α∈错误!.tan（２α—β）＝tan[α＋（α—β）]＝错误!＝错误!＝１．因为tan β＝—错误!，β∈（0，π），所以β∈错误!，所以α—β∈（—π，0）．由tan（α—β）＝错误!>0，得α—β∈错误!，所以２α—β∈（—π，0）．又tan（２α—β）＝１，所以２α—β＝—错误!.（１）先求tanα＝tan[（α—β）＋β]（２）再求tan（２α—β）＝tan[α＋（α—β）]（３）由已知求２α—β的范围，最后求值易错易误忽略条件中隐含的角的范围而致错例已知tan２α＋6tan α＋7＝0，tan２β＋6tan β＋7＝0，α，β∈（0，π），且α≠β，求α＋β的值．【错解】由题意知tan α，tan β是方程x２＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：错误!∴tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝１．∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<２π，∴α＋β＝错误!或α＋β＝错误!π.【错因分析】由１２知tan α<0，tan β<0．角α，β都是钝角，上述解法忽视了这一隐含条件．【正解】由错误!易知tan α<0，tan β<0．∵α，β∈（0，π）∴错误!<α<π，错误!<β<π.∴π<α＋β<２π.又∵tan（α＋β）＝１，∴α＋β＝错误!π.【点评】在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误．课时作业３8一、选择题１．sin １0５°的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：sin １0５°＝sin（４５°＋60°）＝sin ４５°cos 60°＋cos ４５°sin 60°＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.答案：D２．sin ２0°cos １0°—cos １60°sin １0°＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：原式＝sin ２0°cos １0°＋cos ２0°sin １0°＝sin（２0°＋１0°）＝错误!.答案：D３．若cos α＝—错误!，α是第三象限的角，则sin错误!＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：因为cos α＝—错误!，α是第三象限的角，所以sin α＝—错误!，由两角和的正弦公式可得sin错误!＝sin αcos错误!＋cos αsin错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.答案：A４．若错误!＝错误!，则tan错误!＝（）Ａ．—２Ｂ．２Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：因为错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，因为错误!＝错误!＝—tan错误!＝错误!，所以tan错误!＝—错误!.答案：C二、填空题５．已知cos错误!＝错误!错误!，则cos α＝________.解析：由于0<α—错误!<错误!，cos错误!＝错误!，所以sin错误!＝错误!.所以cos α＝cos错误!＝cos错误!cos错误!—sin错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.答案：错误!6．若tan α＝３，则tan错误!＝________.解析：因为tan α＝３，所以tan错误!＝错误!＝错误!＝—２．答案：—２7．已知sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝________.解析：∵sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，∴sin２α＋cos２β＋２sin αcos β＝１１，cos２α＋sin２β＋２cos αsin β＝0 ２，１２两式相加可得sin２α＋cos２α＋sin２β＋cos２β＋２（sin αcos β＋cos αsin β）＝１，∴sin（α＋β）＝—错误!.答案：—错误!三、解答题8．求下列各式的值．（１）sin ３４7°cos １４8°＋sin 77°cos ５8°；（２）错误!sin错误!＋cos错误!；（３）tan ２３°＋tan ３7°＋错误!tan ２３°tan ３7°.解析：（１）原式＝sin（３60°—１３°）·cos（１80°—３２°）＋sin（90°—１３°）cos（90°—３２°）＝sin １３°cos３２°＋cos １３°sin ３２°＝sin（１３°＋３２°）＝sin ４５°＝错误!.（２）原式＝２错误!＝２错误!＝２sin错误!＝２sin错误!＝错误!.（３）∵tan 60°＝错误!＝错误!，∴tan ２３°＋tan ３7°＝错误!—错误!tan ２３°tan ３7°，∴tan ２３°＋tan ３7°＋错误!tan ２３°tan ３7°＝错误!.9．已知△ABC，若sin（A＋B）＝错误!，cos B＝—错误!，求cos A的值．解析：∵cos B＝—错误!，∴错误!<B<π，错误!<A＋B<π，∴sin B＝错误!＝错误!，cos（A＋B）＝—错误!＝—错误!，∴cos A＝cos[（A＋B）—B]＝cos（A＋B）cos B＋sin（A＋B）sin B＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.[尖子生题库]１0．已知tan α＝错误!，sin β＝错误!，且α，β为锐角，求α＋２β的值．解析：∵tan α＝错误!<１且α为锐角，∴0<α<错误!.又∵sin β＝错误!<错误!＝错误!且β为锐角．∴0<β<错误!，∴0<α＋２β<错误!.１由sin β＝错误!，β为锐角，得cos β＝错误!，∴tan β＝错误!.∴tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝错误!.∴tan（α＋２β）＝错误!＝错误!＝１．２由１２可得α＋２β＝错误!.。

学习目标核心素养１．能画出正切函数的图象．（重点）２．掌握正切函数的性质．（重点、难点）３．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．（易错点）１．借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养.２．通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养.正切函数的图象与性质解析式y＝tan x图象定义域错误!值域R周期π奇偶性奇函数对称中心错误!，k∈Z单调性在开区间错误!，k∈Z内都是增函数１．在下列函数中同时满足：１在错误!上递增；２以２π为周期；３是奇函数的是（）Ａ．y＝tan xＢ．y＝cos xＣ．y＝tan错误!Ｄ．y＝—tan xC[A，D的周期为π，B中函数在错误!上递减，故选Ｃ．]２．函数y＝tan错误!的定义域为________．错误![因为２x—错误!≠kπ＋错误!，k∈Z，所以x≠错误!＋错误!，k∈Z所以函数y＝tan错误!的定义域为错误!.]３．函数y＝tan ３x的最小正周期是________．错误![函数y＝tan ３x的最小正周期是错误!.]４．函数y＝tan错误!的单调增区间是________．错误!，k∈Z[令kπ—错误!＜x—错误!＜kπ＋错误!，k∈Z得kπ—错误!＜x＜kπ＋错误!，k∈Z即函数y＝tan错误!的单调增区间是错误!，k∈Z.]有关正切函数的定义域、值域问题【例１】（１）函数y＝错误!错误!的值域是（）Ａ．（—１,１）Ｂ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）Ｃ．（—∞，１）Ｄ．（—１，＋∞）（２）函数y＝３tan错误!的定义域为________．（３）函数y＝错误!＋lg（１—tan x）的定义域为________．[思路点拨] 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．（１）B（２）错误!（３）错误![（１）当—错误!＜x＜0时，—１＜tan x＜0，∴错误!≤—１；当0＜x＜错误!时，0＜tan x＜１，∴错误!≥１．即当x∈错误!∪错误!时，函数y＝错误!的值域是（—∞，—１）∪（１，＋∞）．（２）要使函数有意义应满足错误!—错误!≠kπ＋错误!，k∈Z，得x≠—４kπ—错误!，k∈Z，所以函数的定义域为错误!.（３）要使函数y＝错误!＋lg（１—tan x）有意义，则错误!即—１≤tan x<１．在错误!上满足上述不等式的x的取值范围是错误!.又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为错误!.]１．求正切函数定义域的方法（１）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x有意义即x≠错误!＋kπ，k∈Z.（２）求正切型函数y＝A tan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋错误!，k∈Z，解得x.２．解形如tan x＞a的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．１．函数y＝log错误!tan错误!的定义域是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[由题意tan错误!＞0，即tan错误!＜0，∴kπ—错误!＜x—错误!＜kπ，∴kπ—错误!＜x＜kπ＋错误!，k∈Z，故选Ｂ．]２．求函数y＝tan２错误!＋tan错误!＋１的定义域和值域．[解] 由３x＋错误!≠kπ＋错误!，k∈Z，得x≠错误!＋错误!（k∈Z），所以函数的定义域为错误!.设t＝tan错误!，则t∈R，y＝t２＋t＋１＝错误!２＋错误!≥错误!，所以原函数的值域是错误!.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例２】（１）函数f（x）＝tan错误!的周期为________．（２）已知函数y＝tan错误!，则该函数图象的对称中心坐标为________．（３）判断下列函数的奇偶性：１y＝３x tan ２x—２x４；２y＝cos错误!＋tan x.[思路点拨] （１）形如y＝A tan（ωx＋φ）（Aω≠0）的周期T＝错误!，也可以用定义法求周期．（２）形如y＝A tan（ωx＋φ）（Aω≠0）的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝错误!，k∈Z求出．（３）先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f（—x）与f（x）的关系．（１）错误!（２）错误!，k∈Z[（１）法一：（定义法）∵tan错误!＝tan错误!，即tan错误!＝tan错误!，∴f（x）＝tan错误!的周期是错误!.法二：（公式法）f（x）＝tan错误!的周期T＝错误!.（２）由x—错误!＝错误!（k∈Z）得x＝错误!＋错误!（k∈Z），所以图象的对称中心坐标为错误!，k∈Z.]（３）１定义域为错误!，关于原点对称，又f（—x）＝３（—x）tan ２（—x）—２（—x）４＝３x tan ２x—２x４＝f（x），所以它是偶函数．２定义域为错误!，关于原点对称，y＝cos错误!＋tan x＝sin x＋tan x，又f（—x）＝sin（—x）＋tan（—x）＝—sin x—tan x＝—f（x），所以它是奇函数．１．函数f（x）＝A tan（ωx＋φ）周期的求解方法：（１）定义法．（２）公式法：对于函数f（x）＝A tan（ωx＋φ）的最小正周期T＝错误!.（３）观察法（或图象法）：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．２．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f（—x）与f（x）的关系．提醒：y＝tan x，x≠kπ＋错误!，k∈Z的对称中心坐标为错误!，k∈Z.３．判断下列函数的奇偶性：（１）f（x）＝错误!；（２）f（x）＝tan错误!＋tan错误!.[解] （１）由错误!得f（x）的定义域为错误!，不关于原点对称，所以函数f（x）既不是偶函数，也不是奇函数．（２）函数定义域为错误!，关于原点对称，又f（—x）＝tan错误!＋tan错误!＝—tan错误!—tan错误!＝—f（x），所以函数f（x）是奇函数．正切函数单调性的应用[探究问题]１．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋错误!（k∈Z）隔开，所以它的单调区间只在错误!（k∈Z）内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x１＝错误!，x２＝错误!π，x１<x２，但tan x１＝tan x２.２．如果让你比较tan错误!与tan错误!的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例３】（１）tan １，tan ２，tan ３，tan ４从小到大的排列顺序为________．（２）求函数y＝３tan错误!的单调区间．[思路点拨] （１）利用y＝tan x在错误!上为增函数比较大小，注意tan １＝tan（π＋１）．（２）先将原函数化为y＝—３tan错误!，再由—错误!＋kπ＜２x—错误!＜错误!＋kπ，k∈Z，求出单调减区间．（１）tan ２＜tan ３＜tan ４＜tan １[（１）y＝tan x在区间错误!上是单调增函数，且tan １＝tan（π＋１），又错误!＜２＜３＜４＜π＋１＜错误!，所以tan ２＜tan ３＜tan ４＜tan １．]（２）y＝３tan错误!＝—３tan错误!，由—错误!＋kπ＜２x—错误!＜错误!＋kπ，k∈Z得，—错误!＋错误!π＜x＜错误!＋错误!π，k∈Z，所以y＝３tan错误!的减区间为—错误!＋错误!π，错误!＋错误!π，k∈Z.１．将本例（２）中的函数改为“y＝３tan错误!”，结果又如何？[解] 由kπ—错误!<错误!x—错误!<kπ＋错误!（k∈Z），得２kπ—错误!<x<２kπ＋错误!π（k∈Z），∴函数y＝３tan错误!的单调递增区间是２kπ—错误!，２kπ＋错误!π（k∈Z）．２．将本例（２）中的函数改为“y＝lgtan x”结果又如何？[解] 因为函数y＝lg x在（0，＋∞）上为增函数．所以函数y＝lgtan x的单调递增区间就是函数y＝tan x（tan x＞0）的递增区间，即错误!，k∈Z.１．求函数y＝A tan（ωx＋φ）（A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数）的单调区间的方法（１）若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ—错误!＜ωx＋φ＜kπ＋错误!，k∈Z，解得x的范围即可．（２）若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan（ωx＋φ）转化为y＝A tan[—（—ωx—φ）]＝—A tan （—ωx—φ），即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．２．运用正切函数单调性比较大小的步骤（１）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．（２）运用单调性比较大小关系．提醒：y＝A tan（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）只有增区间；y＝A tan（ωx＋φ）（A＜0，ω＞0）只有减区间．１．利用单位圆中的正切线作正切函数的图象，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图．２．正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较．性质正切函数正弦函数、余弦函数定义域错误!R值域R[—１,１]最值无最大值为１最小值为—１单调性仅有单调递增区间，不存在单调递减区单调递增区间、单调递减区间均存在间奇偶性奇函数正弦函数是奇函数余弦函数是偶函数周期性T＝πT＝２π对称性有无数个对称中心，不存在对称轴对称中心和对称轴均有无数个１．思考辨析（１）正切函数的定义域和值域都是R.（）（２）正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．（）（３）正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±错误!，k∈Z.（）（４）正切函数是增函数．（）[提示] 由正切函数图象可知（１）×，（２）√，（３）×，（４）×.[答案] （１）×（２）√（３）×（４）×２．若tan x≥１，则（）Ａ．２kπ—错误!＜x＜２kπ（k∈Z）Ｂ．x≤（２k＋１）π（k∈Z）Ｃ．kπ—错误!＜x≤kπ（k∈Z）Ｄ．kπ＋错误!≤x＜kπ＋错误!（k∈Z）D[因为tan x≥１＝tan错误!.所以错误!＋kπ≤x＜错误!＋kπ，k∈Z.]３．求函数y＝tan（π—x），x∈错误!的值域为________．（—错误!，１）[y＝tan（π—x）＝—tan x，在错误!上为减函数，所以值域为（—错误!，１）．]４．求函数y＝tan错误!的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] １由错误!—错误!≠kπ＋错误!，k∈Z，得x≠２kπ＋错误!，k∈Z，∴函数的定义域为错误!.２T＝错误!＝２π，∴函数的最小正周期为２π.３由kπ—错误!＜错误!—错误!＜kπ＋错误!，k∈Z，得２kπ—错误!＜x＜２kπ＋错误!，k∈Z，∴函数的单调递增区间为错误!，k∈Z.４由错误!—错误!＝错误!，k∈Z，得x＝kπ＋错误!，k∈Z，∴函数图象的对称中心是错误!，k∈Z.。