【新教材】新人教A版必修一 三角函数的图象与性质 教案

三角函数的图象与性质——正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3．掌握正弦函数(n )si y A x ωϕ＝＋的周期及求法。

【教学重点】正、余弦函数的性质。

【教学难点】正、余弦函数性质的理解与应用。

【教学过程】一、讲解新课：（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(,)-∞+∞］，分别记作：sin y x x ∈R ＝，cos ,y x x =∈R（2）值域1sin 1x ≤≤-，-1cos 1x ≤≤也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[]-1,1。

其中正弦函数sin y x =，x ∈R（1）当且仅当x 2k 2ππ=+，k ∈Z 时，取得最大值1。

（2）当且仅当x 2k 2ππ=+，k ∈Z 时，取得最小值1-。

而余弦函数cos y x ＝，x ∈R当且仅当2x k π=，k ∈Z 时，取得最大值1(21)x k π=+，k ∈Z 时，取得最小值1-。

（3）周期性由sin(2)sin x k x π+=，cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

由此可知，2π，4π，…，2π-，4π-，…2k πk ∈Z 且0k ≠都是这两个函数的周期。

对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期。

注意：1．周期函数x ∈定义域M ，则必有x T M +∈，且若0T ＞则定义域无上界；0T ＜则定义域无下界； 2．“每一个值”只要有一个反例，则()f x 就不为周期函数（如()()00¹f x t f x +） 3．T 往往是多值的（如sin y x =，2π，4π，…，2π-，4π-，…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()f x 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k πk ∈Z 且0k ≠都是它的周期，最小正周期是2π（4）奇偶性由sin()sin x x -=-()cos x cosx -＝可知：sin y x =为奇函数cos y x =为偶函数∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于轴对称（5）单调性从sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象上可看出： 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，曲线逐渐上升，sin x 的值由1-增大到1。

2019-2020学年新人教A 版必修一 三角函数的图像与性质 教案题型一：三角函数的单调性与值域【例1】 函数1()tan 44y x x ππ=-<<的值域是（ ） A [1,1]- B (,1)(1,)-∞-+∞ C (,1]-∞D [1,)-+∞【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 略【答案】B【例2】 利用正切函数的单调性，比较下列各组中两个正切值的大小：（1）tan(138)-与tan125；（2）12tan()5π与16tan()3π-。

【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】（1）因为tan(138)0->，而tan1250<，故tan(138)tan125->。

（2）1222tantan(2)tan 555ππππ=+=， 1622tan()tan(6)tan 333ππππ-=-+=， ∵2tan 05π>，2tan 03π<， ∴1216tantan()53ππ>-【例3】 函数cos(sin )y x =的值域为_______【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【题型】填空【关键词】2018年，辽宁，高考【解析】sin t x =的值域为[1,1]-，而cos y t =在[1,1]-上先增后减，最大值在0t =处取到，故结合cos y t =的图象知cos(sin )y x =的值域为[cos1,1]【答案】[cos1,1]【例4】 若函数cos y a b x =-的最大值是32，最小值是12-，求函数4sin y a bx =-的最大值与最小值及周期。

【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】∵1cos 1x -≤≤，当0b >时，cos b b x b -≤≤，∴cos a b a b x a b -≤-≤+，∴ 1.50.5a b a b +=⎧⎨-=-⎩，解得0.51a b =⎧⎨=⎩，∴2sin y x =-，同理可得当0b <时， 1.50.5a b a b -=⎧⎨+=-⎩，此时0.51a b =⎧⎨=-⎩，∴2sin()2sin y x x =--=，从而，2sin y x =±，此函数的最大值是2，最小值是2-，周期是2π。

三角函数的图象与性质教案一、教学目标1. 理解三角函数的定义和基本性质。

2. 学会绘制和分析三角函数的图象。

3. 掌握三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质。

4. 能够应用三角函数的性质解决问题。

二、教学内容1. 三角函数的定义和基本性质。

2. 三角函数的图象绘制方法。

3. 三角函数的周期性性质。

4. 三角函数的奇偶性性质。

5. 三角函数的单调性性质。

三、教学重点与难点1. 三角函数的定义和基本性质的理解。

2. 三角函数图象的绘制和分析。

3. 三角函数周期性、奇偶性、单调性的理解和应用。

四、教学方法1. 采用多媒体教学，展示三角函数的图象和性质。

2. 利用数学软件或图形计算器进行图象绘制和分析。

3. 引导学生通过观察、分析和归纳三角函数的性质。

4. 利用例题和练习题巩固所学知识。

五、教学安排1. 第一课时：三角函数的定义和基本性质。

2. 第二课时：三角函数的图象绘制方法。

3. 第三课时：三角函数的周期性性质。

4. 第四课时：三角函数的奇偶性性质。

5. 第五课时：三角函数的单调性性质。

六、教学目标1. 理解正弦函数、余弦函数的周期性。

2. 学会应用周期性解决实际问题。

3. 掌握正弦函数、余弦函数的相位变换。

七、教学内容1. 正弦函数、余弦函数的周期性。

2. 周期性在实际问题中的应用。

3. 正弦函数、余弦函数的相位变换。

八、教学重点与难点1. 周期性的理解和应用。

2. 相位变换的理解和应用。

九、教学方法1. 通过实例讲解周期性在实际问题中的应用。

2. 利用数学软件或图形计算器进行相位变换的演示。

3. 引导学生通过观察、分析和归纳正弦函数、余弦函数的周期性和相位变换。

十、教学安排1. 第六课时：正弦函数、余弦函数的周期性。

2. 第七课时：周期性在实际问题中的应用。

3. 第八课时：正弦函数、余弦函数的相位变换。

十一、教学目标1. 理解正切函数的图象和性质。

2. 学会应用正切函数解决实际问题。

3. 掌握正切函数的周期性和奇偶性。

教学目标:
知识与技能：进一步理解、掌握正弦函数、余弦函数的图像及性质，能应用正弦、余弦函数
的图像与性质解决有关数学问题；
过程与方法：利用函数的性质研究三角函数的图像和性质
情感态度与价值观：培养学生用普遍联系的观点来学习数学，认识数学
教学重点:应用正弦、余弦函数的图像与性质解决数学问题；
教学难点：函数的单调性和奇偶性的应用
教学过程:
一、激趣导学：
三角函数的图像与性质
二、重点讲析：
例1.求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合 (1)3
cos x y = (2)x y 2sin 2-=
例2.求下列函数的值域 (1)1cos 2cos +=
x x y (2)x x y cos 2sin 212+-=
例3.(1)求函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的单调增区间； (2)求函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=4cos 2πx y 的单调减区间.
例4.求下列函数的定义域 (1)1sin 2+=x y (2)x
x y cos 13cos 2+--=
例5.比较下列各组数的大小
(1)o o 154sin 16sin 与
(2)o o 260cos 110cos 与
(3)o o 170cos 230sin 与
三、巩固迁移:33P / 4、5、6、7
四、小结
注意灵活运用三角函数线与三角函数图像及性质解决数学问题。

5.4 三角函数的图象与性质最新课程标准：(1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能画出这些三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．(2)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质．5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点 正弦曲线与余弦曲线及其画法函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象 画法 五点法五点法关键 五点(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1,(π,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1,(2π,0)(0,1),⎝⎛⎭⎪⎫π2，0,(π,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0,(2π,1) 状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x,x∈[2kπ,2(k ＋1)π],k∈Z 的图象与x∈[0,2π]上的图形一致,因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸,可以由y ＝sin x,x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确,但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法,在要求精度不高的情况下常用此法．提醒：作图象时,函数自变量要用弧度制,自变量与函数值均为实数,因此在x 轴、y 轴上可以统一单位,这样作出的图象正规便于应用．[教材解难] 1．教材P 196思考如图,在直角坐标系中画出以原点O 为圆心的单位圆,⊙O 与x 轴正半轴的交点为A(1,0)．在单位圆上,将点A 绕着点O 旋转x 0弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B 的纵坐标y 0＝sin x 0.由此,以x 0为横坐标,y 0为纵坐标画点,即得到函数图象上的点T(x 0,sin x 0)．2．教材P 197思考由诱导公式一可知,函数y ＝sin x,x∈[2kπ,2(k ＋1)π],k∈Z 且k≠0的图象与y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象形状完全一致．因此将函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数y ＝sin x,x∈R 的图象．3．教材P 198思考在函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象上,以下五个点：(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1,(π,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1,(2π,0)4．教材P 198思考对于函数y ＝cos x,由诱导公式cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2得,y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2,x∈R.而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2,x∈R 的图象可以通过正弦函数y ＝sin x,x∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．所以,将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度,就得到余弦函数的图象．5．教材P 200思考能．以函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象为基础,将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度,所得图象即函数y ＝1＋sin x,x∈[0,2π]的图象．能．以函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象为基础,作它关于x 轴对称的图象,所得图象即函数y ＝－cos x,x∈[0,2π]的图象． [基础自测]1．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x∈[2kπ,2(k ＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象,根据图象可知A,B,D 三项都正确．答案：C2．不等式sin x>0,x∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0,π] B ．(0,π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B3．下列图象中,是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称,故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x,x∈R 的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是________． 解析：令2x ＝0,π2,π,3π2和2π,得x ＝0,π4,π2,34π,π.答案：0,π4,π2,34π,π题型一 用“五点法”作三角函数图象[教材P 199例1] 例1 画出下列函数的简图： (1)y ＝1＋sin x,x∈[0,2π]； (2)y ＝－cos x,x∈[0,2π]． 解析：(1)按五个关键点列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来：(2)按五个关键点列表：x 0 π2π3π22πcos x 1 0 －1 0 1－cos x －1 0 1 0 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来：用五点法作图关键先找出5个关键点,再用平滑的曲线连接．教材反思作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y＝3＋2cos x的简图．解析：(1)列表,如下表所示x 0 π2π3π22πy＝cos x 1 0 －1 0 1y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 (2)描点,连线,如图所示：利用五点作图法画简图．题型二正、余弦函数曲线的简单应用[经典例题]例2 根据正弦曲线求满足sin x≥－32在[0,2π]上的x的取值范围．【解析】在同一坐标系内作出函数y＝sin x与y＝－32的图象,如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形,满足sin x≥－32的x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π,所以满足sinx≥－32在[0,2π]上的x的范围是{x0≤x≤43π或5π3≤x≤2π}.(或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π)在同一坐标系内作y＝sin x与y＝－32的图象,利用图象求x的范围.方法归纳利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤(1)作出直线y＝a,y＝sin x(或y＝cos x)的图象．(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．[注意] 解三角不等式sin x>a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围,然后根据终边相同角的同名三角函数值相等,写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x 的集合为π3＋2kπ,5π3＋2kπ,k∈Z.在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象,利用图象求x 的范围.课时作业 33 一、选择题1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π,6π]上的图象形状相同,只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称,故C 错误． 答案：C2．下列各点中,不在y ＝sin x 图象上的是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π,1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π,0),而不是(π,1)． 答案：D3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上,则m 等于( )A ．0B ．1三、解答题8．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121(2)9．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x≤12,x∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x≤5π6或7π6≤x≤5π3.[尖子生题库]10．利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y ＝1－cos x,x∈[0,2π]； (2)y ＝|sin x|,x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的简图,再作出y ＝cos x,x∈[0,2π]关于x 轴对称的简图,即y ＝－cos x,x∈[0,2π]的简图,将y ＝－cos x,x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y ＝1－cos x,x∈[0,2π]的简图,如图1所示．(2)首先用“五点法”作出函数y ＝sin x,x∈ [0,4π]的简图,再将该简图在x 轴下方的部分翻折到x轴的上方,即得到y＝|sin x|,x∈[0,4π]的简图,如图2所示．。

【例1】 2019-2020学年新人教A 版必修一 三角函数 的图像与性质2教案【例2】 若函数sin()y A x ωϕ=+，(0,0,02π)A ωϕ>><≤的图象上一个最高点的坐标为（，由这个最高点到相邻的最低点间，图象与x 轴的交点为(4,0).求此函数的解析式.【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】sin()y A x ωϕ=+其图象最高点的纵坐标为A，∴A =由题意(2,为最高点，而(4,0)为最高点到相邻最低点向图象与x 轴的交点，4224T =-=，∴2π8T ω==，∴π4ω=由题意(2,为最高点，∴sin(2)14πϕ⨯+=ππ2π22k ϕ+=+，2πk ϕ=，∴0ϕ=，k ∈Z【例3】 已知函数sin()y A x ωϕ=+，在同一周期内，当9x π=时函数取得最大值2，当49x π=时取得最小值2-，则该函数的解析式为（ ） A 2sin(3)6y x π=-B 2sin(3)6y x π=+C 2sin()36x y π=+D 2sin()36x y π=-【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】 由题可知：点(,2)9π和点4(,2)9π-都是图像上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以有：9243912ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得36ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，答案：B 。

点评：一般来说，如对所求函数式中的,,A ωϕ不加限制，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式（这是由于所求函数是周期函数所致），我们解这类题的方法很多，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中。

【答案】B【例4】 已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示，π223f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()0f =（ ）A.23-B.12-C.23D.12【考点】三角函数的图像【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，辽宁，高考【解析】 法一：由图象可知，2π3T =，则3ω=，∴()cos(3)f x A x ϕ=+， ∵π223f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴2sin 3A ϕ=-，而(0)cos f A ϕ=，由于点7π012⎛⎫⎪⎝⎭，在递增的那段曲线上， ∴7π7π3[2ππ2π2π]124k k k ⋅=∈++∈Z ，， ∴π2π4k ϕ=-，k ∈Z ，∴sin ϕ=cos ϕ=.解得：A =，∴2(0)3f == 法二：由图象可得最小正周期为2π3，于是2π(0)3f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，注意到2π3与π2关于7π12对称，则2ππ2323f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】C【例5】 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值． 【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x fx ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】∵()f x 是偶函数，∴y 轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，∴(0)sin 1f ϕ==±，又0πϕ≤≤，∴π2ϕ=． 由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫⎪⎝⎭，对称， ∴3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫⨯+== ⎪⎝⎭，又0ω>，∴3πππ0,1,242k k ω=+=，…． ∴2(21),0,1,2,3k k ω=+=当0k =时，23ω=， 2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当2k ≥时，103ω≥，π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数．综上所述，23ω=或π22ωϕ==，．【例6】 已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ）【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2009年，浙江，高考【解析】 D ．当1a >时，振幅变大，周期变小，是B 的情形；同理，1a <时，是A 中的情形；当0a =时，是C 中的情形．【答案】D【例7】 已知正弦曲线sin()(0,0,02π)y A x A ωϕωϕ=+>><<上的一个最高点是(2,，由这个最高点到相邻的最低点，曲线与x 轴相交于点(6,0)，试求这个函数的解析式.【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】因为曲线的最高点为(2,，0A >，所以A =.又由曲线过最高点与相邻最低点与x 轴的交点，∴6244T=-=， ∴16T =，则2ππ8T ω==，∴π2sin 8y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又原函数过点(6,0)π28ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭∴ππ2π42k ϕ+=+，解得：π2π4k ϕ=+()k ∈Z 又02πϕ<<，解得：π4ϕ=∴函数的解析式是ππ84y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【例8】 已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为0(,2)x 和0(3π,2)x +-. ⑴求()f x 的解析式；⑵用列表作图的方法画出函数()y f x =在长度为一个周期的闭区间上的图象.【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】⑴由已知，易得2A =．00(3π)3π2T x x =+-=，解得6πT =，13ω=． 把(0,1)代入解析式2sin()3x y ϕ=+，得2sin 1ϕ=．又π2ϕ<，解得π6ϕ=．∴π2sin()36x y =+为所求．⑵【例9】 如图，是函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>，πϕ<的图象的一部分，由图中条件写出函数解析式．【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】由图可知5A =，由5π3ππ222T =-=，得3πT = ∴2π23T ω==，此时25sin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭下面介绍怎样求初相ϕ 法一：（单调性法）∵点(π,0)在递减的那段曲线上， ∴2ππ3π2π,2π,()322k k k ϕ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ， 由2πsin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2π2ππ3k ϕ+=+， ∴π2π3k ϕ=+()k ∈Z ，∵πϕ<，∴π3ϕ=．法二：(最值点法)将最高点坐标π,54⎛⎫ ⎪⎝⎭代入25sin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得π5sin 56ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ππ2π62k ϕ+=+， π2π()3k k ϕ=+∈Z ，又πϕ<，∴π3ϕ=，法三：（起始点法）函数sin()y A x ωϕ=+的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正式由0x ωϕ+=解得，故只要找出起始点横坐标0x ，就可以迅速求得角ϕ，由图象易得0π2x =-，(增区间中与原点的距离最小的零点)，∴02ππ323x ϕω⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭．【例10】 右图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,02π)A ωϕ>><< 的图象的一部分，试求此函数的解析式.【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】由图可知A =，2[6(2)]16T =⨯--=，∴π8ω=，由图象过点(6,0)，且函数在此单调递增有ππ3πsin()sin(6)sin()0884x ϕϕϕ+=⨯+=+=3π2π4k ϕ+=()k ∈Z ，∴3π2π()4k k ϕ=-∈Z ， ∵02πϕ<<，解得：3π5π2π44ϕ=-=∴π5π84y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【例11】 函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,π)A ωϕ>><的图象的一段如图所示，确定该函数的解析式.【考点】三角函数的图像 【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】如图所示，22y -≤≤，即2A =，∴函数解析式2sin()y x ωϕ=+，又函数的图象过点7π,012P ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,1Q ∴7πsin 0121sin 2ωϕϕ⎧⎛⎫-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，由五点法作图知7ππ12π6ωϕϕ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2π6ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩∴函数解析式为π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭题型六：三角函数的交点问题【例12】 在同一平面直角坐标系中，函数3πcos ([0,2π])22x y x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象和直线12y =的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4【考点】三角函数的交点问题 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2018年，浙江，高考【解析】 设3π1cos sin 2222x x ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π2π,26x k k =+∈Z 或5π2π,26x k k =+∈Z ∴π4π,3x k k =+∈Z 或5π4π,3x k k =+∈Z ，由[0,2π]x ∈ 解得：π3x =或5π3x =． 【答案】C【例13】 求证：在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的实数对(,)c d ，π,0,2c d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c d <，使得sin(cos )c c =，cos(sin )d d =成立．【考点】三角函数的交点问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】分析：构造函数()sin(cos )f x x x =-，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而利用函数的性质得到函数的图象与x 轴有唯一的交点，从而确定有唯一的实数存在．设函数()sin(cos )f x x x =-，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，任取1x ，2x π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12π02x x <≤≤111()sin(cos )f x x x =-，222()sin(cos )f x x x =-由于cos y x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则12cos cos x x >，且12πcos ,cos 0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，而sin y x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增的，所以12sin(cos )sin(cos )x x >又由12x x <，则1122sin(cos )sin(cos )x x x x ->-，即12()()f x f x >，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数又(0)sin10f =>，ππ022f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()f x 的图象在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上与x 轴有唯一交点，即存在唯一实数π0,2c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得等式sin(cos )c c =成立同理可证明存在唯一实数π0,2d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得等式()cos sin d d =成立因为cos(sin )d d =，所以sin(cos(sin ))sin d d =又πsin 0,2d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内只有唯一解c 使得sin(cos )c c =成立，故sin c d =当0x >时，sin x x <成立，则sin d d <，于是c d <，命题成立.【例14】 已知函数2sin()y x ωϕ=+(0π)ϕ<<为偶函数，其图象与直线2y =相邻的两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，且12πx x -=，则( ) A.π2,2ωϕ==B.1π,22ωϕ==C.1π,24ωϕ==D.π2,4ωϕ== 【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】 由πT =，则2π2Tω==，由函数为偶函数，即三角函数图象有一条对称轴为0x =，∴π0π2k ωϕ⋅+=+，∴ππ2k ϕ=+，又π0ππ2k <+<，解得：0k =，π2ϕ=. 【答案】A【例15】 ()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数且(2)0f =，则方程()0f x =在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A.2B.3C.4D.5【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2018年，福建，高考【解析】 ∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =又∵3T =，∴(3)(03)(0)0f f f =+== 又∵(2)0f =∴(5)(23)(2)0f f f =+==，(1)(23)(2)0f f f -=-== ∵()f x 是奇函数，∴(1)(1)0f f =--=∴(4)(13)(1)0f f f =+==综上可知()0f x =在(0,6)内有解1,2,3,4,5共5个，故选D【答案】D【例16】 函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是 .【考点】三角函数的交点问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2018年，广东，高考【解析】 设2πT ω=是最小正周期，则1(49)14T +=和1(50)14T +=时，分别有50个和51个最大值点，当T 增大时最大值个数或不变或减少.故197π201π,22ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 本题可从sin y x =在一个周期内有几个最大值点入手，在长度为一个标准周期2π的区间内，在[)0,2π内只有一个最大值点π2x =，但在ππ[,2π]22+内有两个最大值π2x =和π2π2x =+，如果要出现连续的50个最大值，最少要包含49个周期的图象 .如：函数sin y x =在含49个周期的区间ππ,98π22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有50个最大值，在含49个多周期的区间π0,98π2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上恰好有50个最大值，一般地，只有在区间[0,]a ，ππ98π100π22a +<+≤上恰好有50个最大值.【答案】197π201π,22ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【例17】 函数21π5cos π36k y x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭()k *∈N 对于任意实数a ，在区间[,3]a a +上的值54出现的次数不少于4次且不多于8次，试求k 的值.【考点】三角函数的交点问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】在一个周期内，余弦型函数的一个值可以出现两次，如果在一个区间内，余弦型函数的函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，此函数在该区间上至少有两个周期，但不超过四个周期.由条件可知，该函数周期2π62121π3T k k ==++，区间长度(3)3l a a =+-= 由题意知2π2421π3k +≤≤()k *∈N∴327k ≤≤∴2k =或3题型七：三角函数的绝对值变换【例18】 函数sin 2sin y x x =-的值域为（ ）[]()3,1A -- []()1,3B - []()0,3C []()3,0D -【考点】三角函数的交点问题 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 讨论sin 0sin 0x x ≥<和【答案】B【例19】 若函数πsin()13y x ω=+-的最小正周期为π2，那么正数ω的值是( )A.8B.4C.2D.1【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ∵π1sin()13x ω-+≤≤，∴ππsin 11sin 33y x x ωω⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2T ω==，∴4ω=. 【答案】B【例20】 函数sin y x =的一个单调增区间是( )A.ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B.3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C.3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D.32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， 【考点】三角函数的交点问题 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 由sin y x =的周期为π可知，函数的单调增区间为πππ[,]()222k k k +∈Z ，当2k =时，有3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调增区间 也可直接根据图象得到.【答案】C【例21】 求函数sin cos x x ⋅的最小正周期.【考点】三角函数的交点问题 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】根据图象可知函数的最小正周期为2π【例22】 求函数()2sin 33sin 4f x x x =+的最小正周期【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】奇函数1()2sin 3f x x =的最小正周期12π3T =，偶函数2()3sin 4f x x =的最小正期2π4T =，故()f x 的最小正周期为1T ，2T 的最小公倍数2π【例23】 已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--，求()f x 的值域．【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】当sin cos x x >时，11()(sin cos )(sin cos )cos 22f x x x x x x =+--=当sin cos x x ≤时，11()(sin cos )(cos sin )sin 22f x x x x x x =+--=结合正余弦函数的图象知函数()f x 的图象是下图的实线部分：由此知()f x的值域为[-【例24】 求证函数()|cos ||sin |f x x x =+的最小正周期是π2．【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】先证2π是()f x 的周期． ∵()|cos()||sin()||sin ||cos |()πππ222f x x x x x f x +=+++=+=．∴π2是()f x 的周期， 再证π2是()f x 的最小正周期．假设有正数0π2T <<也是()f x 的周期，则()()f x T f x +=，即|cos()||sin()||cos ||sin |x T x T x x +++=+对于一切x 均成立 故令π2x =，因为π2x =也是f(x)的周期， 故有()f x T +()f x ==|cos ||sin |()1012πT T f +==+=．但当0π2T <<时，|cos ||sin |cos sin 1T T T T +=+>矛盾．因此π2是()|cos ||sin |f x x x =+的最小正周期．【例25】 函数πsin()4y x =+的最小正周期为 ，单调增区间为____ __ ．【考点】三角函数的交点问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 πsin()4y x =+的图象可以由这样的变换得到：将sin y x =的图象左移π4个单位，再将x 轴下方的部分作关于x 轴对称翻转到x 轴上方，再将下方的图象除去，便可得到πsin()4y x =+的图象，如图：由此图象知πsin()4y x =+的周期为π，单调增区间为：ππ[π,π],44k k k -+∈Z ．此题也可以通过复合函数的观点来求πsin()4y x =+的增区间：πsin()4u x =+，y u =当0u >时，πsin()4u x =+的增区间就是πsin()4y x =+的增区间；当0u ≤时，πsin()4u x =+的减区间是πsin()4y x =+的增区间但此题中这种方法没有图象法简单形象．【答案】π，ππ[π,π],44k k k -+∈Z【例26】 已知函数()sin f x x a =-，a ∈R⑴讨论函数()f x 的奇偶性⑵求当()f x 取最大值时，自变量x 的取值集合.【考点】三角函数的交点问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】⑴当0a =时，()sin f x x =，()sin()sin f x x x -=-=，故()f x 是偶函数当0a ≠时，∵(0)0f a =≠，故()f x 不是奇函数，又π12f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12f a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，ππ22f f ⎛⎫⎛⎫≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()f x 不是偶函数∴当0a ≠时，()f x 非奇非偶⑵当0a >时，()sin f x x a =-取最大值时，sin 1x =-，此时x 的集合为π2π,2x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z当0a <时，()sin f x x a =-取最大值时，sin 1x =，此时x 的集合π2π,2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z当0a =时，()sin f x x a =-取最大值时，sin 1x =±，此时x 的集合为ππ,2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z【例27】 设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ）A ．在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．在区间,2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2018年，天津文，高考【解析】 由函数图象的变换可知:()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象是将()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象x 轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为π,则函数在区间ππππ32k x k ++≤≤即ππππ36k x k -+≤≤上为增函数,当1k =时有: 2736x ππ≤≤,故在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()f x 是增函数. 【答案】A【例28】 设函数()sin 3|sin 3|f x x x =+，则()f x 为( )A ．周期函数，最小正周期为π3B ．周期函数，最小正周期为2π3C ．周期函数，最小正周期为2πD ．非周期函数【考点】三角函数的交点问题 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2018年，江西，高考【解析】 2π22sin 3 ππ333()π22π20 ππ3333x k x k f x k x k ⎧<<+⎪⎪=⎨⎪+<<+⎪⎩()k ∈Z ，因此()f x 为周期函数，且最小正周期为2π3. 【答案】B【例29】 函数()sin 2sin f x x x =+，[0,2π]x ∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ．【考点】三角函数的交点问题【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】3sin0π()sinπ2πx xf xx x⎧=⎨-<⎩≤≤≤，由函数图象可知k的取值范围为13k<<【答案】13k<<【例30】函数sin cos1y x x=-的最小正周期与最大值的和为．【考点】三角函数的交点问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2018年，湖北文，高考【解析】1sin21,2π(21)π,2sin cos11sin21,(21)π(22)π,2x k x k ky x xx k x k k⎧-+∈⎪⎪=-=⎨⎪--++∈⎪⎩ZZ≤≤≤≤其图象如图所示，函数最小正周期2πT=，最大值为max12y=-，故最小正周期与最大值之和为12π2-。

三角函数图像与性质11.基本三角函数的图像2.正弦函数x y sin =与()ϕω+=x A y sin 的图像性质关系 类比于研究y ＝sin x 的性质，只需将y ＝Asin(ωx ＋φ)中的ωx ＋φ看成y ＝sin x 中的x ，但在求y ＝Asin(ωx ＋φ)的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，y ＝Atan(ωx ＋φ)的性质的方法与其类似，也是类比、转化． 3.余弦函数与xy cos =()ϕω+=x A y cos 的图像性质关系4.正切函数xy tan =与()ϕω+=x A y tan 的图像性质关系例1：函数y=2sin （3x+），x ∈R 的最小正周期是（ ） A ．B ．C ．D ．π 解：x y cos =()ϕω+=x A y cos周期 π2ωπ2 定义域 RR最大值 1，当πk x 2=取得 A ，当ωϕπ-=k x 2取得 最小值 -1，当ππ+=k x 2取得-A ，当ωϕππ-+=k x 2取得单调增区间[]πππk k 2,2- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ωϕπωϕππk k 2,2 单调减区间 []πππ+k k 2,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-ωϕππωϕπk k 2,2 对称轴πk x =ωϕπ-=k x对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππk⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0,2ωϕππkx y tan =()ϕω+=x A y tan周期πωπ定义域⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,2ππππk k⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--ωϕππωϕππ2,2k k 最大值 无 无 最小值无无单调增区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,2ππππk k⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--ωϕππωϕππ2,2k k 单调减区间 无 无 对称轴无无对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭2,0k πφω⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭223T ππω==,故选B 。

例2：函数f （x ）=tan （+）的最小正周期为（ ）A ．3πB ．6πC ．D ．解：3T ππω==,故选A 。

【新教材】5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教学设计（人教A版）本节课是正弦函数、余弦函数图像的继续，本课是正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质.课程目标1.了解周期函数与最小正周期的意义;2.了解三角函数的周期性和奇偶性;3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);5.能利用性质解决一些简单问题.数学学科素养1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；2.逻辑推理：求正弦、余弦形函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本201-205页，思考并完成以下问题1. 周期函数、周期、最小正周期等的含义？2. 怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？3. 通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).2.值域(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是.(2)最值正弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值余弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值3.周期性定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.由此可知,都是这两个函数的周期.对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性()为奇函数,其图象关于原点对称()为偶函数,其图象关于轴对称5.对称性。

【新教材】5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像教学设计（人教A版）由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．课程目标1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.数学学科素养1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；4.数学运算：五点作图；5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.重点：正弦函数、余弦函数的图象．难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当x ∈[0,2π]时，y ＝sinx 的图象．要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本196-199页，思考并完成以下问题1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？ 2．怎样作出正弦函数y=sinx 的图像？ 3.怎样作出余弦函数y ＝cos x 的图像？ 4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系.要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三角函数的图象与性质第2课时 正弦、余弦函数的性质【教学目标】1. 理解三角函数的奇、偶性和单调性；2. 掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间【教学重难点】正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用【教学过程】一、复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？二、讲解新课：1.奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。

例如：f(-)=,f()= ,即f(-)=f()；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。

(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

3π213π213π3π也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。

2.单调性从y ＝sin x ，x ∈［－］的图象上可看出： 当x ∈［－，］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1. 当x ∈［，］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－＋2k π，＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2k π，＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.3.有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx 的对称轴为x= k ∈Zy=cosx 的对称轴为x= k ∈Z练习1（1）写出函数的对称轴；（2）的一条对称轴是（ C ） 23,2ππ2π2π2π23π2π2π2π23π2ππ+k πk x y 2sin 3=)4sin(π+=x y(A) x 轴， (B) y 轴， (C) 直线， (D) 直线 4.例题讲解例1 判断下列函数的奇偶性(1) (2) 例2 函数f (x )＝sin x 图象的对称轴是 ；对称中心是 . 例3 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0； ① ② 例4 求函数 的单调递增区间； 思考：你能求的单调递增区间吗？三、小 结：本节课学习了以下内容：正弦、余弦函数的性质 1． 单调性2． 奇偶性3． 周期性4π=x 4π-=x 1sin cos ();1sin cos x x f x x x+-=++()lg(sin f x x =)10sin()18sin(ππ---)417cos()523cos(ππ---)321sin(2π+=x y ]2,2[)213sin(πππ-∈-=x x y。

《三角函数的图像与性质应用》教学设计一、教学目标：1.通过研究掌握正弦函数图像及其画法；掌握余弦函数图像；深刻理解五点作图法中五点的本质。

利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等），自己或合作通过绘制正切线的变化研究性质，根据性质探究正切函数的图象。

2.通过主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使对正弦函数图像的认知更为深刻。

让学生借助单位圆中的三角函数线能画出tan y x =的图象，借助图象理解正切函数在(,)22ππ-上的性质（如单调性、周期性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等），并能解决一些简单问题。

3.用联系的观点看待问题，善于类比联想，直观想象，对数形结合有进一步认识，激发学习数学的兴趣，养成良好的数学品质。

让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

二、教学重点、难点1. 教学重点：（1）正弦函数、余弦函数的图像形状（2）利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，（3）根据性质探究正切函数的图象。

2.教学难点：sin y x =在[]0,2x π∈时的函数图像。

画正切函数的简图，体会与x 轴的交点以及渐近线在确定图象形状时所起的关键作用。

三、教学流程首先，我们来看三角函数图像的作法。

第一种，几何法，将圆放在平面直角坐标系中，将其等分12份，作正弦线，再将正弦线平移到对应的x 轴上，连线就得到了正弦函数的图像。

因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx 的图象在[]ππ2,4--[],0,2,π-[],2,0π[],4,2ππ上与y=sinx,x ∈[0,2π]的图象相同。

我们由余弦函数y=cosx=sin(x+π/2）可知，将正弦函数的图像向左移π/2个单位可得到余弦函数的图像。

正,余弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点。

除了几何法作图，我们还有五点法，五点法作图有三步。

三角函数图像与性质2例1：要得到cos(2)4y x=-的图象, 且使平移的距离最短, 则需将cos 2y x =的图象向方向解：2,ω=∴此题为先缩后移，故需将例2：将函数y=sin(2x+3)的图象经过怎样的平移所得图象关于点（12-，0)中心对称( )A 。

向右平移12π B.向右平移π C 。

向左平移π D 。

向左平移π1。

要得到函数)42sin(-=x y 的图像，需将函数x y 2sin =的图像（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D.向右平移4π个单位 2. 将函数sin()6y x π=+的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ） A ．5sin(2)12y x π=+B ．5sin()212x y π=+C ．sin()212x y π=-D ．5sin()224x y π=+ 3。

函数f(x ）=2sin （2x －3π）的图象为C ，①图象C 关于直线x=π1211对称；②函数f(x)在区间（125,12ππ-)内是增函数；③由2sin 2y x =的图象向右平移3π个单位可以得到图象C 。

正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34. 为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像,只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 （ ） （A ）向左平移4π个单位（B)向右平移4π个单位（C ）向左平移2π个单位 （D)向右平移2π个单位5. 把函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π个单位,再向下平移1个单位，则得到的函数的解析式是____________｡ 6.函数f （x)=sin(ωx+φ）(x ∈R ，ω＞0,|φ｜＜)的部分图象如图所示，则f （x)的解析式为；f （x)的图象的横坐标缩小为原来的后得函数y=g （x ）的图象，则g （x ）的单调减区间为．7.函数f （x ）=sin(ωx+φ）(ω＞0，｜φ｜≤）的最小正周期是π,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)（ ）A ．关于点(，0）对称B ．关于点（，0）对称C ．关于直线x=对称 D ．关于直线x=对称8。

三角函数的图象与性质第1课时 正弦、余弦函数的图象【教学目标】1.利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象的形状；2.根据关系，作出的图象；3.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；【教学重难点】理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；【教学过程】一、复习引入：1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离r () 则比值叫做的正弦 记作：sin 比值叫做的余弦 记作： cos 3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有， 向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．R x x y ∈=,sin )2sin(cos π+=x x R x x y ∈=,cos αα02222>+=+=y x y x r ry ααrx ααMP ry ==αsin r y)(x,αP二、讲解新课：1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．（1）函数y=sinx 的图象第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x 的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.（2）余弦函数y=cosx 的图象探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换1O 1O 6,0π3π2π()x R∈得到余弦函数的图象？根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx 的图象. （课件第三页“平移曲线” ）正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (π,0) (,-1) (2π,0)余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) (,0) (π,-1) (,0) (2π,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以3、讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx探究2． 如何利用y=sinx ，x ∈(0,2π)的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y ＝1＋sinx ,x ∈(0,2π)的图象；（2）y=sin(x - π/3)的图象？小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

2019-2020学年新人教A 版必修一 三角函数的图象与性质 教案换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． (2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cos x ．转化为二次函数最值问题．[解] (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]． 又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y 大＝f (2)＝32＋ 2.[方法点评] (1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可设sin x ＝t ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[跟踪练习] 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782A 组 考点能力演练1．(2015·唐山期末)函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D ．4π解析：∵f (x )＝1－2sin 2x 2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.答案：A2．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C.答案：C3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．πD.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0， ∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， ∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2. 答案：B5．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，故选D. 答案：D6．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1<πk <2，即k <π<2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或37．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π； ③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题的是________．解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故④是真命题． 答案：③④9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．(2016·长沙模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值， 当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈ ⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析：由周期公式T ＝2π2＝π.答案：B2．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x 解析：采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.答案：A3．(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) 4．(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3， x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π5．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。

判天地之美，析万物之理——《5.4三角函数的图象与性质》教学设计和教后反思名师工作室要去ⅩⅩ区ⅩⅩ高级中学送教，我积极报名参加。

课题是《5.4三角函数的图象与性质与5.6函数sin()y A x ωϕ=+的性质》，大约有一周的时间备课，除了正常的教育教学工作外一直在深入思考，寻找思路。

一、通读教材，明确内容把新教材三角函数部分通读了一遍，确定复习内容。

本课题大约三个单元6个课时的课程，用一节课复习，内容多，容量大。

主要内容有5.4，5.6两部分：5.4.1.用正弦函数的定义发现每旋转一周，函数值周而复始的出现，问题归结到画出]2,0[π的图象，然后再平移就可以的得到实数集R 上的图象，任取一点0x ，如何求出0sin x ，作点)sin ,(00x x ，利用细线缠绕的方法找到角0x 对应的终边与单位圆的交点，通过0x 正弦值的几何意义作图，接下来平分]2,0[π，平分单位圆，如法炮制，描点，连线，也可以用信息技术让任意点动起来得到图象。

通过诱导公式平移正弦曲线得到余弦函数图象，然后总结五点法快捷的画出图象，包括画出上下平移、关于x 轴对称关于y 轴对称的图象，渗透了图象变换的方法。

5.4.2.利用图象研究正、余弦函数的性质，主要是周期性、奇偶性、单调性和最值；借助正、余弦函数图象与性质研究函数sin()y A x ωϕ=+的性质。

5.4.3.用定义得到正切函数的周期性和奇偶性，再利用正切值的几何意义画出半个周期的图象，结合性质得到定义域上的图象，再来研究性质，以及解决)tan(ϕω+=x A y 的性质。

5.6.1.以筒车为背景建立一般圆周运动的数学模型，弄清ϕω、、A 的实际意义。

5.6.2.研究正弦曲线与函数sin()y A x ωϕ=+的图象的关系，能由正弦曲线变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象，理解ϕω、、A 分别对函数图象的影响。

5.6.3能用五点法画出给定区间上函数sin()y A x ωϕ=+的图象，验证性质。

【新教材】5.4.3 正切函数的图像与性质（人教A版）1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；2.逻辑推理：求正切函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.4.直观想象：正切函数的图像；5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.一、预习导入阅读课本209-212页，填写。

1.正切函数，且图象：2.观察正切曲线，回答正切函数的性质：定义域：__________________ 值域：__________________Rxxy∈=tan()zkkx∈+≠ππ2最值： 无最值 渐近线：x =π2+kπ(k ∈Z)周期性：__________________ 奇偶性: __________________ 单调性：__________________ 图像特征：__________________1．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的周期为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A.π4B ．0C ．1D ．－12．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ可以是( )A ．－π6B.π6 C ．－π12D.π123．作出函数y ＝|tan x |的简图，并指出其周期，单调区间，值域．题型一 正切函数的性质例1 求函数f (x )＝tan23x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定义域、周期和单调递增区间． 跟踪训练一 1．下列命题中：①函数y ＝tan(x ＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y ＝tan(x ＋φ)的最小正周期为π；③函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；④函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像关于直线x ＝π4对称． 其中正确命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个题型二 比较大小例2 0tan167与0tan173跟踪训练二1．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则( )A ．f (0)＞f (－1)＞f (1)B ．f (0)＞f (1)＞f (－1)C ．f (1)＞f (0)＞f (－1)D ．f (－1)＞f (0)＞f (1)1．与函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像不相交的一条直线是（ ） A.2x π=B.2y π=C.8x π=D.8y π=2．在下列函数中，同时满足：①在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数的是（ ） A.tan3x y = B.cos y x =C.tan2x y = D.tan y x =-3．tan 2与tan3的大小关系是____________（用“<”连接）． 4．函数()tan 21y x =+的定义域为______________.5．求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.答案小试牛刀 1．B. 2．A.3．【答案】见解析.【解析】由y ＝tan x 的图像可得函数y ＝|tan x |的图像．如下图所示．周期：π.单增增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，单减减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． 值域：[0，＋∞)． 自主探究例1 【答案】定义域：{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }；最小正周期为2；单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－53＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . 【解析】由π2x ＋π3≠k π＋π2，得x ≠2k ＋13(k ∈Z )．所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }；由于ππ2＝2，因此函数f (x )的最小正周期为2.由－π2＋k π＜π2x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53＋2k ＜x ＜13＋2k ，k ∈Z .因此，函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－53＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . 跟踪训练一 1．下列命题中：①函数y ＝tan(x ＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y ＝tan(x ＋φ)的最小正周期为π；③函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；④函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像关于直线x ＝π4对称． 其中正确命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个例2【答案】00tan167tan173<.【解析】000090167173180<<<又tan ,y x =在00(90,270)上是增函数 00tan167tan173∴<跟踪训练二 1．【答案】A【解析】 f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫－3π4，π4内是增函数． 又0，－1∈⎝⎛⎭⎫－3π4，π4，0＞－1，∴f (0)＞f (－1)． 又f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π4，5π4上也是增函数，f (－1)＝tan ⎝⎛⎭⎫－1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4－1＝tan ⎝⎛⎭⎫5π4－1.∵5π4－1,1∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4，且5π4－1＞1，∴f (－1)＞f (1)． 从而有f (0)＞f (－1)＞f (1)． 当堂检测1-2．CC 3．tan 2tan3< 4． 1,242k x x k Z ππ⎧⎫≠+-∈⎨⎬⎩⎭. 5．【答案】定义域为5|,,318k x x x k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z 且，值域为R ，非奇非偶函数，递增区间为5,()183183k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】tan y t =的定义域为|,2t t k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 单调增区间为,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 又tan 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭看成tan ,33y t t x π==-的复合函数，由2t k ππ≠+得5,318k x k Z ππ≠+∈， 所以所求函数的定义域为5|,318k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，值域为R ； 函数tan 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域不关于原点对称，因此该函数是非奇非偶函数； 令3232k x k πππππ-<-<+，解得5,318318k k x k Z ππππ-<<+∈， 即函数tan 33y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为5,,318318k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭.。