人教高中数学必修一A版 《两角差的余弦公式》三角函数PPT教学课件2

2 D. 2
达标检测
3．已知 cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则 cos αcos β＝___0_____.
由条件知：
cosα＋β＝cos cosα－β＝cos
αcos αcos
β－sin β＋sin
αsin αsin
β＝54，① β＝－45.
②
①＋②得 2cos αcos β＝0，∴ cos αcos β＝0.
题型探究
题 型 一
给 角 求 值 问 题
[例1] 求值：(1)sin(－15°)；
sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45°
＝21×
22－
23×
2 2
＝
2－ 4
6
题型探究
题 型 一
给 角 求 值 问 题
[例 1]
求值： (2)(tan 10°－
αsin
β＝－2
5
5×－3
1010－
55×
1100＝
2 2.
由 α 和 β 均为钝角，得 π＜α＋β＜2π，
∴α＋β＝74π.
归纳总结
方法 总结
给值求角问题的解题步骤
第一步，求角的某一个三角函数值； 第二步，确定角所在的范围； 第三步，根据角的取值范围写出所求的角． 至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值 范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内.
[例 1]
求值： (2)(tan 10°－
cos 10° 3)sin 50°.
原式＝csoins 1100°°－
cos 10°
3
sin
50°
＝sin

A
在单位圆中
OA cos,sin， OB cos,sin ，
OAOBOAOBcos()
y
α
B
β
o
1x
-1
cos().
因 为 O A O B c o sc o s s i n s i n .
所 以 c o s ( ) c o sc o s s i n s i n .
c o （ s ） c o sc o s s i n s i n
•
•
• • 之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。
利用同角的三角函 数关系式求值时，要 注意角的范围.
三、《教材》 P127 练习1、2、3、4.
你学会了吗?
※对自己说，你有什么收获？ ※对同学说，你有什么提示？ ※对老师说，你有什么疑惑？
1.两角和与差的余弦公式：
cos()c o sc o s sin sin
cos()c o sc o s sin sin
6 2. 4
解法2：cos 15 co（ s 60-45） =cos 60 cos 45 sin 60 sin 45
1 2
2 2
3 2
2 2
把非特殊角变为 特殊角,把未知角
2 6.
变为已知角.
4

(5)∵(1+tan 21°)(1+tan 24°)=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24°
=1+tan(21°+24°)(1-tan 21°tan 24°)+tan 21°tan 24°
=1+(1-tan 21°tan 24°)tan 45°+tan 21°tan 24°
4
变式训练1
sin50°-sin20°cos30°
求
的值.
cos20°
解
sin(20°+30°)-sin20°cos30°
原式=
cos20°
sin20°cos30°+cos20°sin30°-sin20°cos30°
=
cos20°
cos20°sin30°
=
=sin
cos20°
1
30°= .
2
探究点二 利用两角和与差的三角函数公式解决给值求值问题
角和与差的正弦吗？
π


π

sin(α＋β)＝cos 2－α＋β ＝cos 2－α－β 利用两角差的余弦公式展开





即可，或者
π




sin(α＋β)＝－cos2＋α＋β利用两角和的余弦展开即可.



对于 sin(α－β)我们可利用已知的三种表示方法得到 sin(α－β)＝sin[α＋
也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,
是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=

化简得：cos (α−β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ；
将 α = 2kπ + β（k∈Z）带入上式，易证上式仍然成立；
所以，对于任意 α，β 有：cos (α−β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ，
简记作：C( α − β ) .
思考：上述差角的余弦公式，在三角函数计算过程中有何作用？
5.5.1.1 两角差的余弦公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.理解两角差的余弦公式的推导过程；（重点）
2. 会利用两角差的余弦公式化简、求值、证明等.（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
回顾：诱导公式都是特殊角与任意角 α 的和（或差）的三角函数与这个任
意角 α 的三角函数的恒等关系.
思考：如果把特殊角换为任意角 β，那么任意角 α 与 β 的和（或差）的三
PQ =
1 − 2
2
+ 1 − 2
2
.
注：公式使用过程中，可先建立直角坐标系，将任意两点的坐标标出，再
套公式求解！
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题 2：如果已知任意角 α、β 的正弦、余弦，你能由此推出 α – β 的余弦吗？
若能，请说明理由.
令 ≠ 2kπ + β，k∈Z，如图，以 x 轴非负半轴为始边作角 α，β，α – β，
根据勾股定理得：MQ2+MP2
=
M
PQ2，
即：(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = PQ2，
故 PQ 的距离为：
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
o
.

1 2 3
利用三角函数诱导公式推导
通过三角函数的周期性和对称性，利用诱导公式 将角度转换到易于计算的角度范围，然后利用两 角和与差公式进行推导。
利用单位圆性质推导
利用单位圆的性质，将两角差的余弦表示为向量 夹角的余弦值，然后利用向量的数量积和模长进 行推导。
推导过程的证明
证明两角差的余弦公式需要利用三角函数的周期 性和对称性、单位圆的性质以及代数运算和三角 恒等变换进行证明。
学习目标
掌握公式的推导过程，理解公式 的几何意义，能够熟练应用公式 进行计算
THANKS
感谢观看
进阶习题3
已知cos(π/3 + α) = 1/3，求 cos(2π/3 - 2α)的值。
习题解析
解析1
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 - α)转化为 关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
解析2
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/4 - α)转化为关 于sin(3π/4 - 2α)的表达式，然后进行计算。
适用于任意角度α、β的三角函数计算
公式应用注意事项
角度范围
在使用两角差的余弦公式时，需 要注意角度α、β的范围，以避免
出现负数平方根的情况
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问 题，以避免误差的积累
特殊角的处理
对于一些特殊角，如90°、180° 等，需要特别注意公式的应用方
式
下章预告
学习内容
学习两角和与差的正弦、余弦、 正切公式
解析6
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 + α)转化为 关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
05

原则.整体分析三角函数式的特点,如果整体符合三角公式,那
么整体变形,否则要进行局部的变换.
【变式训练 1】 计算:
(1)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°;
°+°°
(2)
°-°°
.
解:(1)原式=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)
的和或差的形式;
(2)当“已知角”有一个时,此时应先注意 “所求角”与“已知角”
的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
2.给值求角问题本质上为给值求值问题,解题时应注意对角的
取值范围加以讨论,以免产生增解或漏解.


【变式训练 2】 已知 α,β 为第二象限角,cos - =-,
°°
°
= °° = °=tan 15°=tan(45°-30°)
°-°
=
+°°

=
-
=2.

+
探究二 给值求值(角)
【例 2】 已知 sin



+ = ,cos
求 cos(α+β).



= [sin(2x+)· +cos + · ]



= sin[ + + ]= sin(2x+)=

x·)

- .
答案:①2 sin
② cos 2x
cos 2x.

-
(2)若锐角 α,β 满足(1+ tan α)(1+ tan β)=4,求 α+β 的值.

例2：cos175ºcos55º+sin175ºsin55º
解：原式＝cos(175º－55º) ＝cos(120º)
＝- 1 2
知识点:1.根据CCSS识别两角差的余弦公式 2.公式的逆运算应用.
例3：利用公式 C(α-β)证明：
(1) cos( ) sin；
2
(2) cos( ) -cos
1 2
三角函数 三角函数值
cos30°
3 2
sin45°
2 2
cos45°
2 2
sin60°
3 2
cos60°
1 2
问题1：如何计算cos15º？
cos15º= cos(45º－30º) = ? cos15º= cos(60º－45º) = ?
问题2：设α,β为两个任意角，那么 cos(α-β) = cosα-cosβ 恒成立吗？
α-β
o
Ax
化简得
cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ
当角α，β终边相同时，上式是否成立？
代入验证：∵角α，β终边相同 ∴α=β+2kπ，k∈Z
∴左式=cos(α-β)=cos2kπ=cos0=1 ∴右式=cos(β+2kπ) cosβ + sin(β+2kπ)sinβ=cos2β+sin2β =1 ∴左式=右式 ∴当角α，β终边相同时，也满足公式
5.5.1两角差的 余弦公式
授课老师：某某某
学习 目标
重点 难点
1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程 2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利 用该公式进行求值、计算
两角差的余弦公式的应用

2
2
15
课 堂
1、
已
知
cos＝
－
5， 13
，3 2
，
则
练 习
cos
＋
6
的
值
是
＿
＿
＿
＿
；
2 、c o s 2 1 5 - s i n 2 1 5 _ _ _ _ _ _ _ ；
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。

＝sin（72°－42°）＝sin 30°＝ 1 ； 2
（2）由公式C（α＋β），得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70° ＝cos（20°＋70°）＝cos 90°＝0；
新知探究
立德树人 和谐发展
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（3） sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°；
如果α是第四象限角，则所求的三个三角函数值依次是
72 10
，7 2 10
，7．
头脑风暴
立德树人 和谐发展
思考：由以上解答可以看到，在本题的条件下有sin( ) cos( ),
4
4
那么对于任意角，此等式都成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
解：方法一、sin( ) cos[ ( )] cos( )
解：（3）方法一：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝cos24°cos 36°－sin 36°sin 24°，
由公式C（α＋β），原式＝cos（36°＋24°）＝cos60°＝
1 2
．
方法二：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝sin 66°cos36°－cos 66°sin 36°，
所以 sin
+π
π
π
=sinθcos +cosθsin
4
4
4
= 2× 2 2 + 1 =4+ 2,
2
3
3
6
sin - π =sinθcosπ-cosθsinπ
6
66Leabharlann =2 2× 3-1×1=2 . 6-1
3
23 2 6

16
＝
cos 3 8
1 sin
16
16
16 16
28
＝2·
cos
2
sin
8
8
＝
2sin 8
sin 8
＝2.
【答案】 2
利用二倍角公式给角求值的基本思路 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关 系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦 公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得 问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
A.
5 3
【解析】
5
1
1
B. 9 C. 9 D.± 9
若 sin
4
＝
2 3
，则
sin
4
＝-
2 3
，
∴
sin
2θ＝
cos
2
2
＝1-2sin
2
4
＝1-2×
4 9
1
＝9.
【答案】 C
条件求值问题解法 条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名 向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条 件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.
研究三角函数的性质；
4.反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.
小结
2、注意正 用 、逆用、变形用 cos 2α＝1-2sin2α＝2cos2α-1.
升幂降角公式 降幂升角公式
2
6
-
1 2
=
3 10
，∴
sin
2