上海市实验学校高二数学上学期期中试题沪教版

2022-2023学年上海市上海中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．集合中，共有（ ）个数是7的整数倍.{}18652024,Z x x x ≤≤∈A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】C【分析】由题意可令，求出的范围即可求解186572024k ≤≤k 【详解】令，由题意可得，7,Z x k k =∈186572024k ≤≤解得，1865202477k ≤≤所以，266.4289.1,Z k k ≤≤∈所以满足条件的整数共有个，289267123-+=故选：C2．将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（ ）.A ．正三棱柱B ．正四棱锥C ．正四棱柱D ．正六棱锥【答案】D【分析】根据几何体的结构特征逐一判断即可.【详解】正三棱柱中9条棱长度可以完全相同，故A 成立；正四棱锥中5条棱长度可以完全相同，故B 成立；正四三棱柱中12条棱长度可以完全相同，故C 成立；因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故D 不成立；故选：D.3．已知正五棱锥的外接球的球心为点O ，△PAB 的外心是点，则异面直线与P ABCDE -1O 1OO PA 所成角为（ ）.A ．54°B ．60°C ．72°D ．90°【答案】D【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质即可求解作答.【详解】点O 为正五棱锥的外接球球心，而点是的外心，即点是球O 被平P ABCDE -1O PAB 1O 面PAB 截得的截面小圆圆心，于是得平面PAB ，而平面PAB ，因此，1OO ⊥PA ⊂1OO PA ⊥所以异面直线与PA 所成角为.1OO 90 故选：D4．图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（ ）倍.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由图形分析出上下底面正方形的边长，即可求解【详解】观察两个相邻的正五边形，它们的组成的图形是对称的，由于它们的一侧可以夹一个正方形，所以另一侧也可以加一个正方形，因此，图中的三角形为等腰直角三角形，不妨设正五边形的边长为，1，所以下底面正方形的边长为1，所以上底面正方形的面积为2，下底面正方形的面积为1，所以上正方形面积是下正方形面积的2倍，故选：B二、填空题5．已知等差数列{}满足，则___．n a ()*3N n n a a n n -=∈21a a -=【答案】##0.512【分析】设公差为，由已知递推式有求公差，进而可得的值.d 1321a a d -==21a a -【详解】若数列{}的公差为，而，故，n a d 1321a a d -==12d =又.2112a a d -==故答案为：126．已知向量与垂直，则m 的值为______.()1,2,2a =-(),2,1b m m =-【答案】2【分析】直接根据向量垂直计算得到答案.【详解】，解得.()()1,2,2,2,12420a b m m m m ⋅=-⋅-=+--=2m =故答案为：27．在正方体中，______.1111ABCD A B C D -1AB AD BB ++=【答案】##1AC 1C A- 【分析】根据给定条件，利用正方体的结构特征，结合空间向量运算求解作答.【详解】在正方体中，，1111ABCD A B C D -11,AD BC BB CC ==所以.111AB AD BB BC CC C B A A +=++=+ 故答案为：1AC 8．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于______．【答案】3π【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果．【详解】∵圆锥的轴截面是正三角形，边长等于2ABC∴圆锥的高，2AO ==底面半径.1212r =⨯=∴这个圆锥的表面积：.221213S rl r πππππ=+=⨯⨯+⨯=故答案为．3π【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知球的表面积为，则它的体积为__________.12π【答案】【分析】先计算球的半径，再求体积【详解】设球的半径为R,则2344123R R V R πππ=∴===故答案为：10．已知，与、的夹角都是60°，且，，，则______.a b ⊥ c a b 1a = 2b = 3c = a b c +-=【分析】利用向量模的计算公式以及数量积的运算律求解即可.【详解】因为，与、的夹角都是60°，且，，，a b ⊥ c a b 1a = 2b = 3c = 所以，30,cos 60,cos 6032a b c a c a c b c b ⋅=⋅=⋅︒=⋅=⋅︒=所以()22222222a b c a b c a b c a b a c b c +-=+-=+++⋅-⋅-⋅ ，3149022352=+++-⨯-⨯=所以，a b +11．已知等差数列满足，，记表示数列的前n 项和，则当{}n a 1112130a a a ++>10150a a +<n S {}n a 时，n 的取值为______.10n n S S +<【答案】23【分析】根据题意得到，，计算得到，，得到答案.120a >130a <2312230S a =>()241213120S a a =+<【详解】，故，，故，故，1111212303a a a a =++>120a >110113520a a a a =++<130a <0d <，.()23123121232302S a a a =+⨯=>()()2412412131241202S a a a a =+⨯=+<，故.10n n S S +<23n =故答案为：2312．一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成______部分．【答案】21【分析】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，由此可得解.【详解】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将空间分成部分3721⨯=故答案为：21【点睛】思路点睛：本题考查将空间分成几部分的判断，解题时要认真审题，注意三棱柱的结构特征及平面的基本性质及推论的合理运用，属于基础题.13．设正四面体ABCD 的棱长为1，点M 、N 满足，，则______.2AM MD = 2= CN NB MN =【分析】利用空间向量的坐标运算求两点间的距离.【详解】如图,将正四面体ABCD 放在正方体中,,因为，,2AM MD= 2=CNNB 所以,,0M N ⎫⎪⎪⎭所以,0,MN ⎛=⎝ 14．将边长为24、20、16的三角形沿三条中位线折叠成一个四面体，则该四面体的体积为______.【答案】【分析】由题意可知该四面体的四个面都是一个边长分别为的三角形，12,10,8故该四面体可放置与一个长方体中，即可求解1111ABCD A B C D -【详解】由题意可知该四面体的四个面都是一个边长分别为的三角形，12,10,8故该四面体可放置与一个长方体中，即图中的三棱锥，1111ABCD A B C D -11A BC D -不妨设，则，1110,12,8A B BD A D ===111110,12,8DC A C BC ===设，则，1,,AB a AD b AA c ===22222222210128a c ab bc ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩解得，所以，222905410a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ab c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以11111114A BC D ABCD A BC D A ABDV V V ---=-⨯11432=⨯⨯⨯2133=⨯=⨯=故答案为：15．已知的三边长为4、4、3，它的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点.若点P ABC 到的三个顶点的距离相等，则三棱锥的体积为______.-P ABC 【答案】4【分析】根据给定条件，求出球O 的半径，过P 作平面于点，证明与点O 重合PO '⊥ABC O 'O '作答.【详解】依题意，不妨令，则，有4,3AB AC BC ===132cos 8BCABC AB ∠==sin ABC ∠==因此的外接圆半径，即球O 的半径为ABC 12sin AC R ABC =⨯=∠过点P 作平面于点，如图，因，于是得，即点是PO '⊥ABC O 'PA PB PC ==O A O B O C '''==O '外心，与点O 重合，ABC 又点P 在三棱锥的外接球球面上，则点P 是球O 直径的一个端点，即有-P ABC POR '=，11sin 4322ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=所以三棱锥的体积是.-PABC 11433A C A B P BC V S R -=⋅== 故答案为：416．在一个的长方体黑盒内，每个面的内壁都装有平面镜，八个角均凿了小孔，一束激光235⨯⨯从某个孔射入，入射光线与该孔所对应的三条棱的夹角均彼此相同，则该束光线经过______次反射后穿出盒外.【答案】21【分析】作出空间直角坐标系，得出三个坐标轴坐标的变化规律，得出光束的路径，进而求出光反射的次数.【详解】解：由题意，在的长方体中，235⨯⨯入射光线与该孔所对应的三条棱的夹角均彼此相同∴沿对角线入射，∴各坐标变化规律如下：:01210121x →→→→→→→→:01234543210123454321y →→→→→→→→→→→→→→→→→→→→:012321012321z →→→→→→→→→→→→建立空间直角坐标系如下图所示：假设光线从点射入，则光线路径如下：1A ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()110,0,31,1,22,2,11,3,00,4,11,5,22,4,31,3,20,2,11,1,02,0,11,1,20,2,31,3,22,4,11,5,00,4,11,3,22,2,31,1,20,0,11,1,02,2,11,3,20,4,31,5,22,4,11,3,00,2,11,1,22,0,3A B →→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→根据光线路径可知，共经过了21次反射.∴该束光线经过了21次反射.故答案为：21.三、解答题17．如图，已知该几何体由底面半径均为3的圆柱和圆锥粘合而成，它们的母线长均为5，求该几何体的体积.【答案】57π【分析】由圆锥与圆柱的体积公式求解即可，4=所以圆锥的体积为，21π3412π3⨯⨯⨯=圆柱的体积为，2π3545π⨯⨯=所以该几何体的体积为12π45π=57π+18．已知空间中三点、、.()1,1,1A -()0,2,1B ()2,1,3C -(1)当与的夹角为钝角时，求k 的范围；k AB AC ⋅+ 2k AB AC ⋅-(2)求原点O 到平面ABC 的距离.【答案】(1)；5(,0)(0,2)2- (2)1.【分析】（1）求出向量坐标，再利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答.,AB AC（2）求出平面ABC 的法向量，利用点到平面距离公式计算作答.【详解】（1）因点、、，则，()1,1,1A -()0,2,1B ()2,1,3C -(1,1,0),(1,0,2)AB AC ==-，，(1,,2)k AB AC k k ⋅+=- 2(2,,4)k AB AC k k ⋅-=+-因当与的夹角为钝角，则，且与k AB AC ⋅+ 2k AB AC ⋅- ()(2)0k AB AC k AB AC ⋅+⋅⋅-< k AB AC ⋅+ 不共线，2k AB AC ⋅-当时，，解得，()(2)0k AB AC k AB AC ⋅+⋅⋅-< 22(1)(2)82100k k k k k -++-=+-<522k -<<当与共线时，存在实数t ，有，于是得k AB AC ⋅+ 2k AB AC ⋅-(2,,4)(1,,2)k k t k k +-=-，解得，2(1)42k t k k tk t +=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩2,0t k =-=因此与不共线，则，k AB AC ⋅+ 2k AB AC ⋅-0k ≠所以k 的范围是.5(,0)(0,2)2- （2）由（1）知，，设平面的法向量为，(1,1,0),(1,0,2)AB AC ==- ABC (,,)n x y z = 则，令，得，，020n AB x y n AC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1z =(2,2,1)n =- (0,2,1)OB = 所以原点O 到平面ABC的距离||1||n OB d n ⋅===19．如图，正四棱锥的底面面积为4P ABCD -(1)求PA 和DC 的所成角的余弦值；(2)求侧棱PA 和侧面PBC 所成角的正弦值.【答案】【分析】（1）因为，则PA 和DC 的所成的角为或其补角，由余弦定理求解即可；//CD AB ∠PAB （2）连接交于点，连接，则易知两两垂直，故以为原点，,AC BD O OP ,,OA OB OP O 分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可,,OB OC OP ,,x y z 【详解】（1）因为正四棱锥的底面面积为4P ABCD-所以2,AB BC CD AD PA PB PC PD =======又，//CD AB 所以PA 和DC 的所成的角为或其补角，∠PAB 因为222cos 2PA AB PB PAB PA AB +-∠===⋅所以PA 和DC （2）连接交于点，连接，,AC BD O OP 则易知两两垂直，,,OA OB OP 故以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，O ,,OB OC OP ,,x y z 则，())()(0,,,,AB C P，(()(,,AP BC BP ===设平面的一个法向量为，BCP (),,n x y z =则，00BC n BP n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ 即，令，则，x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩2z=)2n = 设PA 和平面PBC 所成的角为，θ则，sin θ所以PA 和平面PBC20．已知底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被平面AEFG 所截后的几何体如图所示，若，2AB DG ==，.3CF =3BAD π∠=(1)求BE 的长；(2)求二面角的余弦值.A ECB --【答案】(1)1【分析】（1）由面面平行性质可得AEFG 为平行四边形，根据AE GF ==（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面BEC 和平面AEC 的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）由题意底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被平面AEFG 所截几何体，因为面面，面面，面面，//ABE CDGF AEFG ABE AE =AEFG CDGF GF =由面面性质定理可知，//AE GF 同理，即四边形AEFG 为平行四边形，//AG EF ，2AB DG ==3CF =∴∴.AE GF ===1BE =（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，过O 平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则，，，，)A ()0,1,0B ()C ()0,1,1E即，，，()AC =- )CE = ()1,0BC =- 设面AEC 法向量为，(),,n a b c = 则，∴，00n AC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00b c ⎧-=⎪++=设，则，1b =()0,1,1n=- 设平面BEC法向量为，则，(),,m x y z = 00m BC y m CE y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 设，则，1y =m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭所以，cos ,n m = 由图知二面角A ECB --21．在四面体ABCD 中，H 、G 分别是AD 、CD 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且.()0BF BE k k FC EA ==>(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面；(2)若平面EFGH 截四面体ABCD 所得的五面体的体积占四面体ABCD 的，求k 的AC EFGH -325值.【答案】(1)见解析(2)9k =【分析】（1）利用平行的传递性证明即可；//EF HG （2）延长，则必交于点，利用相似比求解即可,,EH FG BD M 【详解】（1）连接，,EF HG 因为H 、G 分别是AD 、CD 的中点，所以，//AC HG 又，()0BF BE k k FC EA ==>所以，//AC EF 所以，//EF HG 所以E 、F 、G 、H 四点共面；（2）延长，则必交于点，,,EH FG BD M 证明如下：设，= EH FG M 因为平面，EH ⊂ABD所以平面，M ∈ABD 同理平面，M ∈BCD 又平面平面，ABD ⋂BCD BD =所以，M ∈BD 所以，则必交于点，,,EH FG BD M 取的中点，连接，BD O ,OH OG 因为，()0BE k k EA =>所以，1BE k BA k =+又，12OH BA =所以，12OH k BE k +=所以，312M HOG M EBF V k V k --+⎛⎫= ⎪⎝⎭又，12MO OH k MB BE k +==所以，122MD DO k MD DO k ++=+所以，()()22121kMD kDO k MD k DO +=+++所以，即，()12k MD DO -=21MD DO k =-所以，，21M HDG D HOG V V k --=-11M HOG D HOG k V k --+=-所以，()()3333881111M EBF M HOG D HOG k k k V V V k k k ---+=⋅=⋅⋅-++()()333381181111111811HOG EBF D HOG A BCDk k k k k k V V V k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫++++=⋅-⋅=⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----++⎝⎭⎝⎭，221258A BCD V -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭所以，即，()338112211182581k k k k ⎛⎫+-⋅=- ⎪ ⎪-+⎝⎭()()3328111511251k k k k -+⋅=-+所以，即，227411512125k k k k ++=++212101630k k --=所以，()()12790k k +-=解得或，9k =712k =-又因为，0k >所以9k =【点睛】四点共面问题是立体几何中常考的问题之一，解决的方法是结合图象证明这四点成的两条线平行，通过两直线平行，从而说明四点共面。

2020-2021学年上海市实验学校高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. “两条直线的斜率乘积为−1”是“两条直线互相垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2. 已知点M(a,b)在圆O ：x 2+y 2=1外，则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定3. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2=1+|x|y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )A. ①B. ②C. ①②D. ①②③4. 己知a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 是平面内的三个单位向量，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ +2c ⃗ |+|3a ⃗ +2b ⃗ −c ⃗ |的最小值为( )A. √29−3√2B. √29C. √29−2√3D. 5二、单空题（本大题共10小题，共50.0分）5. 过点(2,−1)且法向量为(2,−1)的直线方程是 ．6. 设向量a ⃗ =(3,0)，b ⃗ =(2,6)，则b ⃗ 在a⃗ 上的投影为______． 7. 已知点A(−2,0)，B(3,0)，动点P(x,y)满足PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−6，则动点P 的轨迹方程是______．8. 直线2x −y +2=0与4x +2y −3=0的夹角是______．9. 已知方程x 2+Axy +y 2+Dx +Ey +F =0表示一个圆的充要条件是______．10. 圆心在直线y =−x +1上，且与直线x +y −2=0相切于点(1,1)的圆的方程是______．11. 已知点A(2,−3)，B(−3,−2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为______．12. 已知直线l ：x −y −1=0，l 1：2x −y −2=0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程为______．13. 在△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点F 为△ADC 内(包括边界)任意一点，若EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λEB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ−2μ的取值范围为______．14. 若恰有三组不全为0的实数对(a,b)满足关系式|2a +b +3|=|5a −3b +3|=t√a 2+b 2，则实数t 的所有可能的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 15. 已知|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=1，且向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线．(1)若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为45°，求(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )；(2)若向量k a ⃗ +b ⃗ 与k a ⃗ −b ⃗ 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．16. 已知△ABC 的顶点A(2,1)，AB 边上的中线所在直线的方程为2x +3y −1=0，∠B 的平分线所在直线的方程为x −2y +5=0． (1)求B 点坐标；(2)求BC 边所在的直线方程．17. 在△ABC 中，AC =2，BC =6，∠ACB =60°，点O 为△ABC 所在平面上一点，满足OC⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R 且m +n ≠1)． (1)证明：CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =mm+n−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nm+n−1CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)若点O 为△ABC 的重心，求m 、n 的值； (3)若点O 为△ABC 的外心，求m 、n 的值．18. (1)已知直线l 过点P(−3,4)，若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的一般式方程；(2)已知直线l 过点P(3,2)且与x 轴，y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，求△ABO 面积最小值及这时直线l 的一般式方程；(3)已知直线l 经过点P(2,−2)，且与第一象限的平分线y =x(x ≥0)，y 轴(原点除外)分别交于A ，B 两点，直线l ，射线y =x(x ≥0)，y 轴围成的三角形OAB 的面积为12，则符合要求的直线共有几条，请说明理由．19.已知曲线C：y=ax2，直线l1、l2都过点(1,−2)且互相垂直，若曲线C与直线l1、l2中的至少一条相交，求a的取值范围．20.设0<a<b，过两定点A(a,0)和B(b,0)分别引直线l和m，使与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹．答案和解析1.【答案】A【解析】解：“两条直线的斜率乘积为−1”⇒“两条直线互相垂直”，反之不成立，例如：一条直线斜率为0，而另一条直线斜率不存在．∴“两条直线的斜率乘积为−1”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件．故选：A．由“两条直线的斜率乘积为−1”可得：“两条直线互相垂直”，反之不成立，可举例说明．本题考查了两条直线相互垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵点M(a,b)在圆O：x2+y2=1外，∴a2+b2>1．<1．∴圆O：x2+y2=1的圆心O(0,0)到直线ax+by=1的距离d=√a2+b2则直线ax+by=1与圆O的位置关系是相交．故选：A．由点M(a,b)在圆O：x2+y2=1外，得a2+b2>1，求得圆O的圆心到直线ax+by=1<1.则答案可求．的距离d=√a2+b2本题考查点与圆、直线与圆位置关系的应用，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了曲线与方程，属于拔高题．将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得．【解答】解：将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x=0时，代入得y2=1，∴y=±1，即曲线经过(0,1)，(0,−1)，当x>0时，方程变为y2−xy+x2−1=0，所以由△=x2−4(x2−1)≥0，解得x∈(0,2√33]，所以x只能取整数1，当x=1时，y2−y=0，解得y=0或y=1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确；当x>0时，由x2+y2=1+xy得x2+y2−1=xy≤x2+y22，(当x=y时取等)，∴x2+y2≤2，∴√x2+y2≤√2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2，故②正确；在x轴上方图形面积大于矩形面积=1×2=2，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=12×2×1=1，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3，故③错误，故选C．4.【答案】B【解析】解：根据题意设a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)，c⃗对应的点C在单位圆上，(a⃗+2c⃗ )2−(2a⃗+c⃗ )2=3c⃗2−3a⃗2=0，所以|a⃗+2c⃗|=|2a⃗+c⃗|，|2a⃗+c⃗|+|3a⃗+2b⃗ −c⃗|表示C点到点(−2,0)和(3,2)的距离之和，过点(−2,0)和(3,2)的直线为2x−5y+4=0，原点到直线2x−5y+4=0的距离为√22+(−5)2=√29<1，所以与单位圆相交，所以|2a ⃗ +c ⃗ |+|3a ⃗ +2b ⃗ −c ⃗ |的最小值为点(−2,0)和(3,2)之间的距离，为√29， 即|a ⃗ +2c ⃗ |+|3a ⃗ +2b ⃗ −c ⃗ |的最小值为√29． 故选：B ．把a ⃗ ，b ⃗ 当成平面直角坐标系的基向量，由|a ⃗ +2c ⃗ |=2|12a ⃗ +c ⃗ |，根据阿波罗尼斯圆的性质，可以转化为|a⃗ +2c ⃗ |=|2a ⃗ +c ⃗ |. 本题考查平面向量的坐标运算，用到了平面几何中的阿波罗尼斯圆的结论、解析几何中直线与圆的位置关系，综合性很强，属于中档题．5.【答案】2x −y −5=0【解析】 【分析】先求出直线的方向向量，可得直线的斜率，再用点斜式求直线的方程． 本题主要考查直线的法向量和方向向量，用点斜式求直线的方程，属于中档题． 【解答】解：过点(2,−1)且法向量为(2,−1)的直线的方向向量为(1,2)，故直线的斜率为21=2，故直线的方程为y +1=2(x −2)，即2x −y −5=0， 故答案为：2x −y −5=0．6.【答案】2【解析】解：因为向量b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为：a ⃗ ⋅b ⃗|a|⃗⃗⃗⃗ =√32+0=2， 故答案为：2．根据向量在向量上投影的概念，代入坐标计算可得． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算．属基础题．7.【答案】y 2=x【解析】解：由题意得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,−y)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−x,−y)， 又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−6，所以(−2−x,−y)⋅(3−x,−y)=x 2−6，可得y 2=x ． 故点P 的轨迹方程为y 2=x ． 故答案为：y 2=x ．先由两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，表示出本题中PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；利用斜率的数量积公式转化求解点P 的轨迹方程．本题考查两点确定向量坐标公式及两向量数量积公式的应用，轨迹方程的求法，是基础题．8.【答案】arctan 43【解析】解：直线2x −y +2=0的斜率为2，直线4x +2y −3=0的斜率为−2， 设它们的夹角为θ，则tanθ=|−2−21+2×(−2)|=43，故它们的夹角为arctan 43， 故答案为：arctan 43．先求出直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式，反三角函数，求得结果．本题主要考查直线的斜率，两条直线的夹角公式的应用，反三角函数的应用，属于中档题．9.【答案】A =0且D 2+E 2−4F >0【解析】解：方程x 2+Axy +y 2+Dx +Ey +F =0表示一个圆，则A =0，配方可得：(x +D2)2+(y +E2)2=D 2+E 2−4F4>0，∴方程x 2+Axy +y 2+Dx +Ey +F =0表示一个圆的充要条件是A =0，D 2+E 2−4F >0，故答案为：A =0，D 2+E 2−4F >0．方程x 2+Axy +y 2+Dx +Ey +F =0表示一个圆，必需A =0，配方可得：(x +D2)2+(y +E2)2=D 2+E 2−4F4>0，进而得出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、圆的一般方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】(x −12)2+(y −12)2=12【解析】解：设圆心坐标为O(a,b)． ∵圆心在直线y =−x +1上， ∴b =−a +1．又∵直线l ：x +y −2=0相切于点P(1,1)． 则OP ⊥l ． ∴k OP =1−a 1+a−1=1．解得，a =12． ∴b =−a +1=12．∴圆心O(12,12). 圆的半径r =|OP|=√(1−12)2+(1−12)2=√22． ∴圆的方程为：(x −12)2+(y −12)2=12． 故答案是：(x −12)2+(y −12)2=12．设圆心坐标为O(a,b).则b =−a +1.根据直线l ：x +y −2=0相切于点P(1,1).则OP ⊥l.可解得圆心坐标．利用两点的距离公式求出r =|OP|.从而得到圆的方程． 本题考查直线与圆相切的性质以及两点距离公式的运用．属于中档题．11.【答案】(−∞,−4]∪[34,+∞)【解析】解：如图， k PA =−3−12−1=−4，k PB =−2−1−3−1=34．∴直线l 的斜率k 的取值范围为(−∞,−4]∪[34,+∞)． 故答案为：(−∞,−4]∪[34,+∞)．由题意画出图形，求出PA 和PB 的斜率，数形结合得答案．本题考查了直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12.【答案】x −2y −1=0【解析】解：联立{x −y −1=02x −y −2=0解得{x =1y =0，所以三条直线的交点为(1,0) 在l 1上取点(2,2)，依题意该点关于l 的对称点(3,1)在l 2上 由两点式得l 2的方程为y−01−0=x−13−1，化简得x −2y −1=0 故答案为：x −2y −1=0．先解方程组得l 与l 1的交点(1,0)也在l 2上，然后在l 1上去一点(2,2)，则该点关于l 的对称点(3,1)也在l 2上，用两点式即可求得l 2的方程． 本题考查了直线与直线关于直线对称，属中档题．13.【答案】[−8,−1]【解析】解：如图所示：记ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λEB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μED ⃗⃗⃗⃗⃗ =λEB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2μEG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，于是由“等系数和线”知识可得： 当F 点位于直线BG 上时，λ−2μ=1；当F 位于点A 时，λ−2μ取得最大值−1，此时EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +0⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ=−1,μ=0； 当F 为点C 时，λ−2μ取得最小值−8，此时EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(−EB⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ=−2，μ=3； 综上可得：λ−2μ的取值范围为[−8,−1]， 故答案为：[−8,−1]．利用数形结合以及等系数和线知识，即可求解．本题考查了平面向量基本定理知识，涉及到数形结合思想，属于中档题．14.【答案】52，11√5353，115【解析】解：由已知可得t >0，整理可得t =√a 2+b 2=√a 2+b 2，看成恰有三条直线满足A(2,1)，b(5,−3)到直线ax +by +3=0(不过原点)的距离相等， 由|AB|=√(2−5)2+(1−(−3))2=5，(1)当t =12|AB|=52，此时，可得符合题意的直线l 为AB 的垂直平分线6x −8y −29=0， 以及直线AB 平行的两条直线8x +6y +3=0和8x +6y −47=0；(2)当t <12|AB|=52，有4条直线l 会使A ，B 到它们的距离相等，注意到l 不过原点， 所以当其中一条直线经过原点，会作为增根舍去，设A 到直线l 的距离为d ， ①作为增根被舍去的直线l ，过原点和AB 的中点(72,−1)，其方程为2x +7y =0，此时t =d =√53<52，符合；②作为增根被舍去的直线l ，过原点且以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为方向向量，其方程为4x +3y =0，此时t =d =115<52，符合；综上可得，满足题意的t 为52，11√5353，115． 故答案为：52，11√5353，115． 化简得到t =√a 2+b 2=√a 2+b 2，看成恰有三条直线满足A(2,1)，b(5,−3)到直线ax +by +3=0(不过原点)的距离相等，再对t 讨论，可得所求值．本题考查点到直线的距离公式的运用，以及方程组解的个数问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．15.【答案】解：(1)∵a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为45°，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos45°=1×1×√22=√22． ∴(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=2a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=2+√22−1=1+√22．(2)∵向量k a ⃗ +b ⃗ 与k a ⃗ −b ⃗ 的夹角为钝角，∴(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(k a ⃗ −b ⃗ )<0，且不能反向共线，故k ≠0，∴k 2a ⃗ 2−b ⃗ 2=k 2−1<0，解得−1<k <1．∴实数k 的取值范围是(−1,0)∪(0,1)．【解析】(1)由a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为45°，可得a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos45°.展开(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=2a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2，代入即可得出．(2)由向量k a ⃗ +b ⃗ 与k a ⃗ −b ⃗ 的夹角为钝角，可得(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(k a ⃗ −b ⃗ )<0，且不能反向共线，即可得出．本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)设B(m,n)，由题意可知，B(m,n)在∠B 的平分线x −2y +5=0上， ∴m −2n +5=0①， 从而AB 的中点(1+12m,1+n 2)，因为AB 边上的中线所在直线的方程为2x +3y −1=0， 所以2+m +3+3n 2−1=0②，①②联立可得，n =57，m =−257 ∴B(−257,57)，(2)设A 关于x −2y +5=0对称的点D(x,y)，则{y−1x−2=−2x+22−2×y+12+5=0，解可得，x =0，y =5， 由题意可得D(0,5)在BC 上， ∴BC 边所在的直线斜率k =5−57257=65， 故BC 所在的直线方程为y =65x +5即6x −5y +25=0．【解析】(1)设B(m,n)，由题意可知，B(m,n)在∠B 的平分线x −2y +5=0上，AB 的中点(1+12m,1+n 2)在AB 边上的中线上，从而可求．(2)设A 关于x −2y +5=0对称的点D(x,y)，由题意可得D 在BC 上，根据对称性可求D ，进而可求．本题主要考查了直线方程的求解，直线对称性的应用，属于中档试题．17.【答案】解：(1)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+n(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =mm+n−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nn+m−1CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， (2)点O 为△ABC 的重心， ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴m =−1，n =−1； (3)点O 为△ABC 的外心，∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=18，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×6×12=6， ∵CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m m+n−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n n+m−1CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m m+n−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n n+m−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{2m −3n =3m +2n =−1，∴{m =37n =−57．【解析】(1)由OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+n(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，整理即可求解； (2)由三角形重心性质可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，代入即可求解； (3)由O 为△ABC 的外心，可求CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=18，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×6×12=6，然后根据已知分别求CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据平面向量的基本定理即可求出m ，n ．本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，考查化简运算能力，属于难题．18.【答案】解：(1)由题意显然直线的斜率存在求不为0，设直线l 的方程为y =kx +b ， 由直线过P 点(−3,4)，所以4=−3k +b ，所以b =3k +4，所以直线在x 轴的截距−bk =−3−4k ， 在y 轴的截距为b =3k +4，由题意可得3k +4−3−4k =12，整理可得：3k 2−11k −4=0，解得：k =−13或k =4，所以直线l的方程为：y=−13x+3或y=4x+16，即x+3y−9=0或4x−y+16=0；(2)直线l过点P(3,2)且与x轴，y轴的正半轴相交于A，B两点，设直线方程为y=kx+b，k<0，过P(3,2)，所以2=3k+b，所以b=2−3k，可得在x轴的截距为：−bk =3−2k，在y轴的截距为b=2−3k，所以S△OAB=12(2−3k)⋅(3−2k)=12[12+(−9k)+(−4k)]，因为−9k>0，−4k>0，所以12⋅[12+(−9k)+(−4k)]≥12⋅(12+2√(−9k)⋅(−4k))=12，当且仅当−9k=−4k，k<0即k=−23，b=2−3k=4，所以△ABO面积最小值为12，此时直线的方程为y=−23x+4即2x+3y−12=0；(3)符合要求的直线共有1条；理由如下：设直线AB的方程为：y=kx+b，k>0且b<−4，由过P(2,−2)，所以可得−2=2k+b，即b=−2−2k，所以在y轴的截距为b=−2−2k<−4，即k>1，与直线y=x的交点为x=y=b1−k，所以可得S△OAB=12⋅|x A|⋅|x B|=12⋅b1−k⋅(2+2k)=12⋅(−2+2k1−k)⋅(2+2k)=−2(1+k)21−k，由题意可得−2(1+k)21−k=12解得k=2−√11(舍去)或k=2+√11．∴符合要求的直线共有1条．【解析】(1)设直线l的方程为y=kx+b(k、b≠0)，根据截距之和为12，即可直线方程．(2)利用基本不等式求△ABO面积最小值，可得k的值，从而求解直线l的一般式方程；(3)根据直线l经过点P(2,−2)，且与第一象限的平分线y=x(x≥0)，y轴(原点除外)分别交于A，B两点，可设直线AB的方程为：y=kx+b，k>0且b<−4，根据射线y= x(x≥0)，y轴围成的三角形OAB的面积为12，即可求解k的值，从而可判断条数．本题考查了直线方程的求法，截距问题，面积的最小值问题，基本不等式的应用，属于中档题．19.【答案】解：由题意，可得a ≠0，若a <0，可得曲线C 为开口向下的抛物线，而(1,−2)为第四象限的点， 可得曲线C 与直线l 1、l 2中的至少一条相交； 若a >0，先考虑抛物线与直线l 1，l 2都没有交点．则可设l 1的斜率存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为−1k ， 则l 1的方程为y +2=k(x −1)，l 2的方程为y +2=−1k (x −1)， 由{y =ax 2y +2=k(x −1)可得ax 2−kx +k +2=0， 由l 1与y =ax 2的图象没有交点，则△1=k 2−4a(k +2)<0，①同理可得，由l 2与y =ax 2的图象没有交点，则△2=(−1k )2−4a(−1k +2)<0，② 由①得2a −2√a 2+2a <k <2a +2√a 2+2a ， 由②得k <a−√a2+2a4a或k >a+√a2+2a4a，若①②无解，可得2a −2√a 2+2a ≥a−√a 2+2a4a且2a +2√a 2+2a ≤a+√a2+2a4a，解得0<a ≤18，所以①②有解等价为a >18，所以曲线C 与直线l 1、l 2中的至少一条相交，则a 的取值范围是(0,18]. 综上可得，a 的取值范围是(−∞,0)∪(0,18].【解析】首先确定a ≠0，判断a <0满足题意，考虑a >0，首先求抛物线与直线l 1，l 2都没有交点，设出直线方程，联立抛物线的方程，由判别式小于0，解a 的不等式组可得a 的范围．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用判别式法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：设l ：y =k 1(x −a)，m ：y =k 2(x −b)，于是l 、m 可写为(k 1x −y −k 1a)(k 2x −y −k 2b)=0．∴交点满足{y 2=x(k 1x −y −k 1a)(k 2x −y −k 2b)=0若四个交点共圆，则此圆可写为(k1x−y−k1a)(k2x−y−k2b)+λ(y2−x)=0．此方程中xy项必为0，故得k1=−k2，设k1=−k2=k≠0，于是l、m方程分别为y=k(x−a)与y=−k(x−b)．消去k，得2x−(a+b)=0，(y≠0)即为所求轨迹方程．【解析】设出l、m的方程，进而可表示圆的方程，利用圆方程的特点，确定l、m斜率的关系，消去参数，即可求得结论．本题考查轨迹方程，考查圆的方程，利用圆系是解题的关键．。

一、填空题1．“点A 在直线上”用符号语言可以表示为_____________.l 【答案】∈A l 【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案.【详解】A 在直线上，即l ∈A l 故答案为：∈A l 2．直线与直线为两条异面直线，已知直线，那么直线与直线的位置关系为________．a b //l a l b 【答案】异面或相交【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可得出结果.【详解】由题意可知，与直线为两条异面直线，若，a b //l a 由平行直线的传递性可知，直线与直线不可能平行，l b 故直线与直线的位置关系为异面或相交.l b 故答案为：异面或相交3．圆台的轴截面上､下底边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是___________.【分析】根据圆台的轴截面的长度关系，可得到2,1,22DC AB R r h AE ======体积公式，即得解 【详解】如图所示，不妨设圆台的轴截面为，过分别作于ABCD ,A B ,AE CD BF CD ^^,E F 由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此 4212DE CF -===AE ∴==由圆台的体积公式， 221()3V h R r R r π=++⋅其中，2,1,22DC AB R r h AE ======221(2121)3V π∴=++⋅=4．正方体的棱长为2，是的中点，则到平面的距离______．1111ABCD A B C D -E 11A B E 11ABC D【分析】利用线面平行，将点到平面的距离，转化为到平面的距离来求解.E 11ABC D 1B 11ABC D 【详解】由于，所以平面，因此到平面的距离等于到平面11//A B AB 11//A B 11ABC D E 11ABC D 1B 的距离.连接，交点为，由于，所以平面，所11ABC D 11,BC B C O 111,B O BC B O AB ⊥⊥1B O ⊥11ABC D以为所求点到面的距离，由正方形的性质可知1B O 111122B O B C ==⨯【点睛】本小题主要考查空间点到面的距离，考查线面平行的判定，考查空间想象能力，属于基础题.5．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则的面积为ABC 2cm A B C '''∆A B C '''∆__________.【分析】根据平面图形的直观图画法，求出，再由斜二测的特点求出高，即可求解''O C h【详解】根据斜二测画法基本原理，应将高长度变为原来的一半，再向右倾斜45°得到右图，横长不OC AB发生变化，则， ''2A B =1''2O C OC ==则，则的面积为'''sin 45h O C =⋅︒==A B C '''∆122S =⨯=【点睛】本题考查平面图形斜二测的基本画法及对应边长的求法，属于基础题6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的底面积是________ R 【答案】 214R π【分析】根据展开后半圆的弧长等于原圆锥底面的周长求解即可.【详解】由题,展开图半圆的弧长为.设圆锥的底面半径为则,故. R πr 2r R ππ=12r R =故底面积为. 221124R R ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭故答案为： 214R π【点睛】本题主要考查了圆锥侧面展开图中的运算,注意展开后半扇形的弧长等于原圆锥底面的周长计算.属于基础题.7．若两个平行平面距离为1，其中一个平面截半径为5的球得到的截面面积为，则另一平面O 16π截球得到的截面面积为_________O 【答案】或9π21π【分析】将题中问题具体化，然后抓住以下两点求解：①用平面去截一个球，截面必为圆；②球心的半径，截面圆圆心的半径以及球心与截面圆圆心的连线构成一直角三角形.【详解】用平面去截一个球，截面必为圆，作出过球心，截面圆圆心的截面.设平面截半径为5的球得到的截面为圆，且圆面积为，αO 1O 1O 16π则圆的半径为，1O 14r =3=设平面平行平面，且两平面的距离为1，βα记平面截半径为5的球得到的截面为圆，半径为，βO 2O 2r当有，解得或.211OO OO -=22OO =24OO =当时，的面积为；22OO =2r ==2O 21π当时，，圆的面积为.24OO =23r ==2O 9π综上可知，所求截面面积为或.9π21π故答案为：或.9π21π8．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形为矩形，和都是等ABCD ADE V BCF △腰三角形，，，若，且，则异面直线AE ED BF CF ====//EF AB 3AB EF =2AD EF =AE 与所成角的大小为______.CF【答案】π3##60°【分析】作平行四边形，得到，异面直线与所成角为，求出AGFE //AE GF AE CF GFC ∠GFC 的边长求角即可.【详解】设，在上取点满足，如图，1EF =AB G 1AG EF ==故且，故四边形是平行四边形，故//AG EF AG EF =AGFE //AE GF异面直线与所成角为或其补角 ，AE CF GFC ∠GF CF ==CG ===故为等边三角形GFC 故 3GFC π∠=故答案为：3π9．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成2a 345a a a ，，0a >一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是a _______．【答案】0a <<【分析】由题意拼成一个三棱柱,分3种情况求出表面积；拼成一个四棱柱,3种情况分别求出表面积,然后求出a 的范围.【详解】①拼成一个三棱柱时,有三种情况：将上下底面对接,其全面积为：； ()21423434512482S a a a a a a a=⨯⨯⨯+++⨯=+三棱柱表面积3a 边可以合在一起时, ； ()212223425424362S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积4a 边合在一起时， . ()212223425324322S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积②拼成一个四棱柱,有三种情况：就是分别让边长为3a ,4a ,5a 所在的侧面重合,其上下底面积之和都是，但侧面积分别为:, ,212234242a a a ⨯⨯⨯⨯=()224536a a a +⨯=()223532a a a +⨯=， ()223428a a a+⨯=显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：. ()212223423424282S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+四棱柱表面积由题意得：，解得：2224281248a a +<+0a <<故答案为 ：0a <<【点睛】（1）求解以由多个几何体构成组合体的体积的关键是确定组合体的形状以及组合体图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则此矩形绕轴旋转而x 2(0)1x y x x =>+x 成的几何体的体积的最大值为___________. 【答案】4π【分析】设矩形在上的两个项点坐标为，利用是关于的方程21x y x =+()()12,,,x y x y 12,x x x 21x y x =+的两根，求得，然后同体积公式得，结合二次函数知识得最大值．12x x -212V y x x π=-【详解】设矩形在上的两个项点坐标为， 21x y x =+()()12,,,x y x y 由，知是方程的两个根. ()2201x y yx x y x*=⇒-+=+12,x x ()*，，， 121x x y +=121=x x 2212121221()()44x x x x x x y -=+-=-212V y x x y ππ∴=-==当且仅当时，. 218y =max 4V π=故答案为：． 4π二、单选题11．设，为空间的两条直线，，为空间的两个平面，下列命题中真命题的个数为（ ） m n αβ（1）若，，则；（2）若，，则；//m α//m β//αβm α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则；（4）若，，则．//m α//n α//m n m α⊥n α⊥//m n A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用立体几何中直线与平面的平行与垂直关系进行判断即可.【详解】（1）若，，则与相交或平行，故（1）不正确；//m α//m βαβ（2）若，，则，故（2）正确；m α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则与平交、平行或异面，故（3）不正确；//m α//n αm n （4）若，，则，故（4）正确；m α⊥n α⊥//m n 综上：（2）（4）正确，（1）（3）不正确，故真命题的个数为2.故选：B ．12．对关于的一元二次方程，通过掷骰子确定其中的系数，第一次出现的数作为x 20x bx c ++=b ，第二次出现的数作为（一颗骰子有6个面，分别刻有1、2，3、4、5、6六个数，每次扰掷，c 各数出现的可能性相同），那么，这个方程有解的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 4912193659【答案】C【分析】记事件 “方程有实根”．由，得：，利用列举法得到A =20x bx c ++=240b c ∆=-…24b c …事件包含的基本事件的个数，又总的基本事件共个，由古典概型概率公式求出方程有解A 6636⨯=的概率．【详解】记事件 “方程有实根”．A =20x bx c ++=由，得：240b c ∆=-…24b c …又基本事件共个，6636⨯=其中事件包含19个基本事件，列举如下：A ，，，，，，,,，，，，(2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3)(44),(51)(5,2)(5,3)(5,4)，，，，，，，(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)所以， 19()36P A =故选：C. 13．平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是1111ABCD A B C D -1A 11AB D 11AB D 的________心，点在面上的射影一定是的________心（ ）1A 1BC D 1BC DA ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心【答案】C【解析】将三棱锥、三棱锥分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证111A AB D -11A BC D -明的射影点分别是和的哪一种心.1A 11AB D 1BC D 【详解】三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，111A AB D -1A 11AB D O 11,,AO B O D O因为，又平面，11111AA A D A B ==1A O ⊥11AB D所以 11111AA A D A B ===所以，所以为的外心；11AO OB OD ==O 11AB D 三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，11A BC D -1A 1BC D 1O 1111,,BO C O DO因为，且四边形是菱形，所以，所以，11//BC AD 11ADD A 11AD A D ⊥11BC A D ⊥又因为平面，所以，11A O ⊥1BC D 1111111,A O BC A O A D A ⊥= 所以平面，又因为平面，所以，1BC ⊥11AO D 1DO ⊂11AO D 11DO BC ⊥同理可知：，所以为的垂心，1111,BO DC C O DB ⊥⊥1O 1BC D 故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关1A 系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.三、解答题14．在一只袋子中装有若干个红玻璃球和绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为. 715115(1)求取得两个同颜色的玻璃球的概率；(2)求至少取得一个红玻璃球的概率.【答案】(1) 815(2)1415【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）利用间接法及对立事件的概率公式即可得解.【详解】（1）设“取得两个红玻璃球”为事件，“取得两个绿玻璃球”为事件，A B 则，，即事件互斥， ()()71,1515P A P B ==()0P AB =,A B 所以取得两个同颜色的玻璃球的概率为. ()()()718151515P A B P A P B ⋃=+=+=（2）至少取得一个红玻璃球的的对立事件为事件，B 所以其概率为. ()114111515P B -=-=15．如图，在长方体中，，；1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =（1）求证：平面平面；11//AB D 1BDC （2）求与平面所成的角．11A B 11AB C D 【答案】（1）证明见详解；（2） 3arctan 4【分析】（1）根据面面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）过点作于点，证明平面，得到为与平面所1A 1A O ⊥1AB O 1A O ⊥11AB C D 11∠A B A 11A B 11AB C D 成的角，再由题中数据，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体中，易知：且，且1111ABCD A B C D -11//BB DD 11BB DD =11//AB C D ，11AB C D =所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形；11BB D D 11ABC D 因此，；11//BD B D 11//AD BC 又平面，平面；平面，平面；BD ⊂1C BD 11B D ⊄1C BD 1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 所以平面；平面；11//B D 1C BD 1//AD 1C BD 又平面，平面，，11B D ⊂11AB D 1AD ⊂11AB D 1111AD B D D ⋂=所以平面平面；11//AB D 1BDC （2）过点作于点，1A 1A O ⊥1AB O 因为在长方体中，易知：平面，1111ABCD A B C D -AD ⊥11B BAA 所以，又平面，平面，1⊥AD A O 1AB ⊂11AB C D AD ⊂11AB C D 所以平面，1A O ⊥11AB C D 因此，为与平面所成的角；11∠A B A 11A B 11AB C D 又在长方体中，，，1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =因此， 111113tan 4∠==A A A B A A B 所以； 113arctan 4∠=A B A 即与平面所成的角为. 11AB 11ABCD 3arctan 4【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记面面垂直的判定定理，以及直线与平面所成角的几何求法即可，属于常考题型.16．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个12cm 四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义V x 域；(2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．（i ）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积； x S （ii ）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．V '【答案】(1) ()321301282V x x x =-+<<(2)（i ），；（ii ） 6x =2S =3cm V '=【分析】（1）利用表示出三棱柱的高和底面三角形面积，根据棱柱体积公式可得函数关系式； x （2）（i ）利用减掉的三个四边形面积之和等于棱柱底面三角形面积可构造方程求得，进而根据棱x 柱侧面积求法可求得；S （ii ）根据底面三角形内切圆半径和棱柱的高可确定当球的直径与棱柱高相等时，球的体积最大，由此可得所求球的半径，利用球的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图所示，，又，， 12622x x DF -==-π6EDF ∠=πtan 662x EF DF ⎫∴=⋅=-⎪⎭即三棱柱的高，又棱柱底面积， 62x h ⎫=-⎪⎭221πsin 23S x x =⋅=三棱柱容器的体积， ∴232136282x V Sh x x ⎫==-=-+⎪⎭即所求函数关系式为. ()321301282V x x x =-+<<（2）（i ）减掉的三个四边形材料面积之和为， 2213266222x x ⎫⎫⨯⨯-=-⎪⎪⎭⎭，解得：， 2262x ⎫-=⎪⎭()6cm x =三棱柱容器的侧面积； ∴)2363cm S =⨯=（ii ）正三棱柱容器底面三角形内切圆半径为， )16cm 3⨯=若球的体积最大，则直径应与三棱柱的高相等，球的半径， ∴∴R =球体的最大体积. ∴()334πcm 3V R '==17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，OA 、OB 是底面半径，且PO =，M 为线段AB 的中点，如图所示.0OA OB ⋅=（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.【答案】（1）；（2）12π【分析】（1）根据题意，求得圆锥底面圆的半径，根据圆锥表面积公式代入数值求解即可；（2）取中点，联结、，与所成角即为所求，求得各边的长，可得该OA E PE EM EM PM PEM ∆三角形为直角三角形，与所成的角即tan PE PME EM ∠===PM OBPME ∠=【详解】（1）圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，，，PO =2OA ∴==.242412S r rl πππππ=+=+⨯=表面积（2）取OA 中点E ，连接PE 、EM ，E 为OA 的中点，M 为AB 的中点，，与所成角为所求，//EM OB ∴EM ∴PM ，，0OA OB ⋅= OA OB ∴⊥ 为线段的中点，M AB， ，2OA OB ==OM ∴=在中，Rt POM PM =， ==在中，Rt POE △PE ===， 121EM OB ==，， 2221+= PE EM ∴⊥tan PE PME EM ∠===PME ∴∠=答：异面直线PM 与OB 所成的角的大小为【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，以及异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．18．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所ABCD AB 在直线为旋转轴顺时针旋转得到的，是的中点． 23πG DF(1)求此几何体的体积；(2)设是上的一点，且，求的大小； P CEAP BE ⊥CBP ∠(3)当，时，求二面角的大小．3AB =2AD =E AG C --【答案】(1) 83π(2)30CBP ∠= (3)．60【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得平面，然后结合几何体的结构特征计算可得的大BE ⊥ABP CBP ∠小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角的余弦值，从而可得二面角的大E AG C --小.【详解】（1）此几何体的体积； 2182233V ππ=⋅⋅=（2）因为，，，平面，， AP BE ⊥AB BE ⊥AB AP ⊂ABP AB AP A =I 所以平面， 又平面， 所以， BE ⊥ABP BP ⊂ABP BE BP ⊥又，因此120EBC ∠= 30CBP ∠= （3）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴， B ,,BE BP BA ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，(0,0,3),(2,0,0),(A E G C -故，，， (2,0,3)AE =-AG = (2,0,3)CG = 设是平面的一个法向量．111(,,)m x y z = AEG 由，得，取，则， 00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩12z=113,x y ==得平面的一个法向量．AEG (3,m =设是平面的一个法向量． 222(,,)n x y z = ACG 由，得，取，则， 00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22z =-113,x y ==得平面的一个法向量．ACG (3,2)n =- 所以． 1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅ 因此二面角的大小为．E AG C --60。

上海市行知中学第一学期期中考试高二年级 数学试卷题类 一 二 19 20 2l 22 23 总分 得分值一、填空题：(本题共14小题，每小题4分，满分56分) 1．若1225PP PP =-，设121PP PP λ=，则λ的值为 。

2．已知{n a }是等比数列，则方程组124568a x a y a a x a y a +=⎧⎨+=⎩的解的个数是 。

3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，3)，则行列式sin tan 1cos ααα的值为 。

4．等边△ABC 边长为1，则AB BC BC CA CA AB ++= 。

5．向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭经矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭变换后得到矩阵23⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= 。

6．执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是7，则输出S 的值是 。

7．如果131lim 3(1)3n n n x a +→∞=++，那么a 的取值范围是 。

8．用数学归纳法证明“(1)(2)...()213...(21)nn n n n n +++=-”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为 。

9．已知等差数列{n a }前n 项和为n S ，若10071008OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(不过原点)，则2014S = 。

10．已知a 与b 均为非零向量，给出下列命题：①22()()()a b a b =； ②2||()a a a =； ③若a c b c =，则a b =； ④()()a c b a c b =， 上述命题中，真命题的个数是 。

11．在等差数列{n a }中，113a =，前n 项和为n S ，且311S S =，则使得n S 最大的正整数n 为 。

12．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(2，0)，P 是线段CD 上的任意一点，则AP BP 的最小值是 。

上海市高二第一学期数学期中考试试卷（满分：100分 考试时间：90分钟）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每小 题填对得3分，否则一律得零分.1. 已知()1,3a =-，则a =___________.2. 方程组21320x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_______________________.3. 行列式101213131--- 中3-的代数余子式的值为___________.4. 已知R a ∈，若11321lim22=+--+∞→n n n an n ,则=a ___________． 5. 1134lim 34n nn n n ++→∞-=+____________． 6. 若首项为2的无穷等比数列{}n a 的各项的和为10，则公比q =___________.7. 已知3a =，4b =，5a b +=，则a 与b 的夹角为 . 8. 已知()1,2a =，(),4b m =，()||2a a b +，则实数m 的值为_____________. 9. 设向量()3,0a =-，()2,6b =-，则b 在a 上的投影为______________. 10. 已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则=∞→2limnnn a S __________．11. 已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____________________.12. 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x =>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13. 下列命题中，真命题为………………………………………………………（ ）（A ）若0 =a ，则0=a； （B ）若b a =，则b a =或b a -=；（C ）若a 与b 是平行的向量，则a 与b是相等的向量；（D ）若a b -=，则0=+b a ． 14. 数列{}n a 的通项公式是1(1)2nn a +-=，则此数列…………………………（ ）（A ）有极限，其值是整数； （B ）有极限，其值是分数； （C ）有两个极限； （D ）lim n n a →∞不存在．15. 在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-++--，则1k a +=…………（ ） (A) 121k a k ++ (B) 112224k a k k +-++ (C) 122k a k ++ (D)112122k a k k +-++ 16. 有下列四个命题：①若22lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→lim ； ②若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>A ；③若()0lim =-∞→n n n b a ，则n n n n b a ∞→∞→=lim lim ；④若A a n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→.其中正确命题的个数是……………………………………………………………（ ） （A ）1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.（本题满分10分）已知)10,5(),4,3(---B A ，O 为坐标原点， (1) 求向量AB 的坐标及AB ；(2) 若OB OA OC +=，求与OC 同向的单位向量的坐标．18.（本题满分10分）用行列式的方法解关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩，并对解的情况进行讨论.19. （本题满分10分）已知O 为坐标原点，()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---. （1）若A ，B ，C 三点共线，求m 的值；（2）若△ABC 是以角A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.20．（本题满分10分）已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，11lim()12n n a q q →∞-=+，求首项1a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知点的序列(),0,*,n n A x n N ∈，其中()120,0,x x a a ==>，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点，n A 是线段21n n A A --的中点，（1）写出n x 与12,n n x x --之间的关系式()3n ≥；（2）设1n n n a x x +=-，计算123,,,a a a 由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明.第一学期高二数学期中考试试卷答案及评分细则注：填空题结果只要等价就得分；解答题其他解法相应给分。

上海市实验学校2014学年度第一学期期中考试试卷高二数学(考试时间：90分钟)一、填空题（本大题满分40分，共10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律零分）1.已知向量错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

,若向量错误!未找到引用源。

互相平行，则x=________.答案：错误!未找到引用源。

2.已知直线l1:错误!未找到引用源。

l2:错误!未找到引用源。

,则直线l1与l2的夹角是________.答案：错误!未找到引用源。

3.已知直线l:错误!未找到引用源。

与圆：错误!未找到引用源。

相较于A、B两点，错误!未找到引用源。

,则错误!未找到引用源。

________.答案：-0.54.已知A(3，-4),B(-1，2),点P在直线AB上，且错误!未找到引用源。

,则点P坐标为________. 答案：（-5,8），（1/3,0）5.设向量错误!未找到引用源。

满足错误!未找到引用源。

则错误!未找到引用源。

=________. 答案：16.已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴，且圆与直线错误!未找到引用源。

相切，则圆的标准方程是_________________.答案：错误!未找到引用源。

7.已知圆O:错误!未找到引用源。

，O是坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值为________.答案：错误!未找到引用源。

+18.已知a,b,c成等差数列，点P(-1，0)在直线错误!未找到引用源。

上的射影是Q，则Q的轨迹方程是_________________.答案：错误!未找到引用源。

9.在平面直角坐标系xOy中，已知三点A(a,b),B(b,c),C(c,a) (a,b,c均不相等)，且直线AB的倾斜角与AC的倾斜角互补，则直线AB的斜率为________.10. 在平面xOy上有一系列的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),……,P n(x n,y n),……对于所有的正整数n，点P n位于函数错误!未找到引用源。

上海市实验学校东滩高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题7．一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，形的面积为．如图，在正四面体A BCD -为.9．如图，边长为1的正方形ABCD 中，,E F 分别是个正方形折成一个四面体使,,B C D 三点重合，重合后的点记为中，点G 到平面AEF 的距离为.10．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2正四棱锥内放有一个圆柱，使圆柱的下底面在正四棱锥的底面上，锥的四个侧面相切.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为二、单选题11．如图，长方体ABCD A B C D -''''被截去一部分，其中//EH A D ''，剩下的几何体是（）A ．棱台C ．五棱柱12．已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是（A ．23πB ．413．下列说法正确的是（）A ．设空间两个角A ∠与B ．若不重合的三条直线相交于一点，则它们能确定C ．若直线l 和平面α平行，且直线D ．若直线//l 平面α，直线14．某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径母线SA 的一个三等分点（靠近点光带的最小长度为（）A ．67mB ．16mC ．6三、解答题15．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知它的底面边长为2.(1)若该正三棱柱的高为4，分别求其表面积与体积.(2)若直线1AC 与平面ABC 所成角的大小为45︒，求三棱锥111C CA B -的体积.16．在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N E 分别是11,,AB DD AA 的中点．(1)证明：平面//MNE 平面BCD (2)求直线MN 与1D C 所成角的正切值．17．已知空间三点()2,1,2A -、(1)若2AD DB = ，求点D 坐标；(2)若向量ka b + 与2ka b - 互相垂直，求实数(3)若向量a b λ- 与a b λ- 平行，求实数18．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为如图，在“阳马”P ABCD -中，侧棱(1)若4PB =，试计算底面ABCD (2)过棱PC 的中点E 作EF PB ⊥面DEF(3)若平面DEF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为19．如图，四棱锥P ABCD -中，,//,,2PCD AD BC DAB π∠=AP =(1)求证:BE ⊥平面APC ;(2)求证:PO ⊥平面ABCD ;(3)求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值20．如图，在三棱锥-P ABC 中，8,AC PA ==5,PC O =为AC 中点，PO ⊥平面,ABC H 为PBC 内的动点(含边界).(1)求平面PAB 与平面PBC 夹角的正弦值;(2)若//OH 平面PAB ，求直线PH 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。

上海实验学校高二期中数学试卷一.填空题1. 过点()2,1-且法向量为()2,1-的直线方程是________ 【答案】250x y --= 【解析】 【分析】根据直线的点法向式可直接得到结果.【详解】设(),x y 是所求直线上任意一点，则()()2210x y --+=， 整理可得所求直线方程为：250x y --=. 故答案为：250x y --=.2. 已知向量()3,0a =，()2,6b =，则b 在a 上的投影是________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量投影的定义，结合向量数量积的坐标运算，即可得出结果. 【详解】因为向量()3,0a =，()2,6b =， 所以326a b ⋅=⨯=，则b 在a 上的投影是6cos ,23a b b a b a ⋅<>===. 故答案为：2.3. 已知点()2,0A -，()3,0B ，动点(,)P x y 满足26PA PB x ⋅=-，则动点P 的轨迹方程是________ 【答案】2y x = 【解析】 【分析】根据26PA PB x ⋅=-列式化简，即可得出结果. 【详解】因为()2,0A -，()3,0B ，(),P x y ，所以()2,PA x y =---，()3,PB x y =--，又26PA PB x ⋅=-，所以()()22236x x y x ---+=-，整理得2y x =. 故答案为：2y x = 【点睛】方法点睛： 求轨迹方程的一般步骤：（1）设所求轨迹上任意一点的坐标为(),x y ； （2）根据题中条件列出等量关系； （3）化简整理，即可得出所求轨迹方程.4. 直线220x y -+=与4230x y +-=的夹角是________ 【答案】4arctan 3【解析】 【分析】先由直线方程，分别得到两直线的斜率，再由直线的夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为直线220x y -+=与4230x y +-=的斜率分别为12k =与22k =-， 记这两直线的夹角为θ， 则1212224tan 1143k k k k θ-+===+-，所以4arctan3θ=. 故答案为：4arctan 3.5. 已知方程220x Axy y Dx Ey F +++++=表示一个圆的充要条件是________ 【答案】0A =且2240D E F +-> 【解析】 【分析】根据圆的定义和标准方程的形式可得到结果.【详解】原方程可整理为：22224224D E D E F x y Axy +-⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由圆的定义可知，若方程表示圆，则需0A =且22404D E F+->，即0A =且2240D E F +->；当0A =且2240D E F +->时，方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆；综上所述：所求的充要条件为：0A =且2240D E F +->. 故答案为：0A =且2240D E F +->.6. 圆心在直线1y x =-+上，且与直线20x y +-=相切于点()1,1的圆的方程是________ 【答案】22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】假设圆心坐标，利用切点可构造方程求得圆心坐标，进而确定半径，由此得到圆的方程. 【详解】设所求圆的圆心为(),1a a -+，则圆心与()1,1连线与直线20x y +-=垂直，1111a a -+-∴=-，解得：12a =，∴圆心为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴半径2r ==， ∴所求圆的方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7. 已知点()2,3A -，()3,2B --，直线l 过点()1,1P 且与直线AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是________【答案】11,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】根据两直线不平行可得到结果.【详解】若l 与直线AB 有交点，则直线l 与直线AB 不平行， 又231325AB k -+==---，15k ∴≠-，即k 的取值范围为11,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】易错点睛：需注意过定点的直线与已知直线无交点、与已知线段无交点两种题目的区别： （1）两条直线无交点，则两条直线不平行；（2）直线与线段无交点，则临界状态为定点与线段两端点连线的位置.8. 已知直线:10l x y --=，1:220--=l x y 若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程为______． 【答案】210x y --= 【解析】 【分析】先解方程组得l 与1l 的交点()1,0也在2l 上，然后在1l 上取一点()2,2，则该点关于l 的对称点()3,1也在2l 上，用两点式即可求得2l 的方程． 【详解】联立10220x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得1x y =⎧⎨=⎩，所以三条直线的交点为()1,0在1l 上取点()2,2，依题意该点关于l 的对称点()3,1在2l 上 由两点式得2l 的方程为011031y x --=--，化简得210x y --= 故答案为210x y --=【点睛】本题主要考查求关于直线对称的直线方程，熟记直线方程的一般式即可，属于常考题型. 9. 在△ABC 中，12BD DC =，AE EB =，点F 为△ADC 内（包括边界）任意一点，若EF EB ED λμ=+，则2λμ-的取值范围为________ 【答案】[]8,1-- 【解析】 【分析】记2ED EG =-，可得出2EF EB EG λμ=-，设直线EF 交BG 于点N ，设EN mEB nEG =+，证明出1m n +=，设EF k EN =，可得出2EFk ENλμ-==-，然后过点F 作BG 的平行线交CE 于点P ，进而得出EP k EM=-，求出EPEM的最大值和最小值，进而可得出2λμ-的取值范围. 【详解】记2ED EG =-，从而2EF EB ED EB EG λμλμ=+=-， 在直线BG 上任取一点N ，设EN mEB nEG =+，由于//BN BG ，则存在实数x ，使得BN xBG =，即()EN EB x EG EB -=-，()1EN x EB xEG mEB nEG ∴=-+=+，则11m n x x +=-+=，设直线FE 交直线BG 于点N ，过点F 作直线BG 的平行线交直线CE 于点P ， 则EF EP ENEM=，设EF k EN =，则EP k EM =，且()EF kEN k mEB nEG ==+，即2EB EG kmEB knEG λμ-=+，由于EB 、EG 不共线，则2kmknλμ=⎧⎨-=⎩，()2km kn k m n k λμ∴-=+=+=，由于EP 与EM 方向相反，则k 0<且EP k EM=-，过点A 作直线BG 的平行线交CE 于点Q ， 当点P 与点Q 重合时，此时EP EM 取得最小值，此时1EP EAEM EB==，即max 1k =-； 当点P 与点C 重合时，此时EPEM取得最大值，设直线AQ 交BC 于点S ，直线AQ 交DG 于点T ， 易证AET BEG ≅△△，可得EG ET =，2ED EG =-，可得22ED EG ET ==，所以，T 为线段ED 的中点，//AS BG ，则13DS DT BD DG ==， 12BD DC =，则26DC BD DS ==，取BS 的中点U ，连接UE ，则//UE AS ，且13BU BD =，从而8CU BU =， //AS BG ，则//EU BG ，所以，8CE CU EMBU==，所以，EPEM的最大值为8，即min 8k =-.综上所述，2λμ-的取值范围是[]8,1--.故答案为：[]8,1--.【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求含参代数式的取值范围，考查了等和线性质的应用，考查数形结合思想以及计算能力，属于难题.10. 若恰有三组不全为0的实数对(,)a b 满足关系式22|23||533|a b a b t a b ++=-+=+则实数t 的所有可能的值为________ 【答案】52，115115353【解析】 【分析】 2222t a ba b==++，然后，根据情况，对t 进行分类讨论即可求解【详解】由已知得，明显地，0t >2222t a ba b==++，看成有且仅有三条直线满足，(2,1)A 和(5,3)B -到直线:30l ax by ++=（不过原点）的距离t 相等； 由22(52)(31)5AB =-+--=，（1）当522AB t ==，此时，易得符合题意的直线l 为线段AB 的垂直平分线68290x y --=以及直线AB 平行的两条直线8630x y ++=和86470x y +-=（2）当522AB t <=时，有4条直线l 会使得点(2,1)A 和(5,3)B -到它们的距离相等，注意到l 不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点A 到l 的距离为d ，①作为增根被舍去的直线l ，过原点和,A B 的中点7(,1)2M -，其方程为270x y +=，此时，52t d ==<，符合； ②作为增根被舍去的直线l ，过原点且以AB 为方向向量，其方程为430x y +=，此时，11552t d ==<，符合；综上，满足题意的实数t 为52，115故答案为：52，115t ==，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，(2,1)A 和(5,3)B -到直线:30l ax by ++=（不过原点）的距离t 相等，这是本题的解题关键，本题难度属于困难二.选择题11. “两条直线的斜率乘积为1-”是“两条直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直与斜率的关系判断即可得到结果.【详解】当两条直线斜率乘积为1-时，两条直线互相垂直，充分性成立； 当两条直线互相垂直时，其中一条直线可能斜率不存在，必要性不成立；∴“两条直线的斜率乘积为1-”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A .12. 已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ ）． A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系. 【详解】点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，221a b ∴+>，圆心O 到直线1ax by +=距离221d a b=<+，∴直线1ax by +=与圆O 相交.故选B.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2 ③曲线C 所围成“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是A. ①B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.14. 已知,,a b c 是平面内的三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值为（ ） A .2932 292923D. 5【答案】B 【解析】【分析】采用向量的坐标运算，得到所求模长之和的几何意义，将问题转化为单位圆上的点到()2,0-和()3,2两点的距离之和的最小值的求解问题，根据直线与圆相交可知所求最小值即为两点间距离，由此计算得到结果. 【详解】,,a b c 均为单位向量且a b ⊥，∴不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =且221x y +=，()221,2a c x y ∴+=+，()323,2a b c x y +-=--，(23221a c a b c x ∴+++-=+4x x y =+++=，232a c a b c ∴+++-的几何意义表示的是点(),x y 到()2,0-和()3,2两点的距离之和，()2,0-和()3,2两点确定的直线为()225y x =+，即2540x y -+=，∴原点到2540x y -+=的距离1d ==<，∴221x y +=与2540x y -+=相交，则点(),x y 到()2,0-和()3,2两点的距离之和的最小值即为()2,0-和()3,2两点间距离，∴=故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将所求模长之和的最值通过几何意义进行等价转化，将问题转化为单位圆上的点到两个定点距离之和的最值的求解问题.三.解答题15. 已知||1,||1a b ==，且向量a 与b 不共线. （1）若a 与b 的夹角为45︒，求(2)?()a b a b -+；（2）若向量ka b +与ka b -的夹角的钝角，求实数k 的取值范围. 【答案】(1) 212+ (2) -11k <<且0k ≠ 【解析】 【分析】（1）因为a 与b 的夹角为45︒，所以可求得2•=2a b .展开(2)()a b a b -⋅+代入2•=2a b 即可求得结果. （2）由向量ka b +与-ka b 的夹角的钝角，可得()()0-ka b ka b ⋅<+且不反向共线，展开解k 即可. 【详解】解：（1）a 与b 的夹角为45︒，•cos 4511a b a b ∴=︒=⨯=.222(2)()221122a b a b a a b b ∴-⋅+=+⋅-=+-=+. （2）向量ka b +与ka b -的夹角为钝角， ()?()0-ka b ka b ∴<+，且不能反向共线，222210k a b k ∴-=-<，解得11,0k k -<<≠∴实数k 的取值范围是-11k <<且0k ≠ .【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，考查已知向量夹角求参，考查向量夹角为钝角的求解运算，考查了学生转化的能力，属于基础题.16. 已知△ABC 的顶点()2,1A ，AB 边上的中线所在直线的方程为2310x y ，B 的平分线所在直线的方程为250x y -+=.（1）求B 点坐标；（2）求BC 边所在的直线方程.【答案】（1）255,77⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）65250x y -+=. 【解析】【分析】（1）设点()25,B b b -，由线段AB 的中点在直线2310x y 上可得出关于实数b 的等式，可求得实数b 的值，由此可求得点B 的坐标；（2）求出点A 关于直线250x y -+=的点M 的坐标，求出直线BM 的方程，即为直线BC 的方程.【详解】（1）由题意可知，点B 在直线250x y -+=上，设点()25,B b b -，线段AB 的中点坐标为231,22b b -+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意可知，点231,22b b -+⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线2310x y 上，则231231022b b -+⨯+⨯-=， 解得57b =，则25257b -=-，所以，点B 的坐标为255,77⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）设点A 关于直线250x y -+=的对称点为点(),M m n ，则点M 在直线BC 上， 由题意可得212502211122m n n m ++⎧-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得05m n =⎧⎨=⎩，即点()0,5M ， 直线BM 的斜率为556725507BM k -==--， 所以，直线BC 的方程为655y x =+，即65250x y -+=. 【点睛】解决点关于直线对称问题要把握两点：点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．17. 在ABC ∆中，2AC =，6BC =，60ACB ∠=︒，点O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OC mOA nOB =+（,m n ∈R 且1m n +≠）． （1）证明：11m n CO CA CB m n m n =++-+-； （2）若点O 为ABC ∆的重心，求m 、n 的值；（3）若点O 为ABC ∆的外心，求m 、n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1m =-，1n =-；（2）3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【解析】【分析】（1）根据条件OC mOA nOB =+,结合向量的加法运算,化简即可证明.（2）根据重心的向量表示为0OA OB OC ++=,即可求得m 、n 的值.（3）根据点O 为ABC ∆的外心,求得21||2CO CB CB ⋅=,21||2CO CA CA ⋅=,CA CB ⋅,再根据已知分别求得CO CB ⋅,CO CA ⋅,结合平面向量基本定理即可求得m 、n 的值.【详解】（1）CO mAO nBO =+()()m AC CO n BC CO =+++ mAC mCO nBC nCO =+++即CO mAC mCO nBC nCO =+++所以CO mCO nCO mAC nBC --=+则()1m n CO mAC nBC --=+ 所以11m n CO CA CB m n m n =++-+-； （2）若点O 为ABC ∆的重心则0OA OB OC ++=因为OC mOA nOB =+所以0mOA nOB OC --+=则1m =-,1n =-（3）由O 是ABC 的外心 得21||182CO CB CB ⋅==,21||22CO CA CA ⋅==,6CA CB ⋅=, 所以,1111m n CO CB CA CB CB CB m n m n m n CO CA CA CA CB CA m n m n ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎪+-+-⎨⎪⋅=⋅+⋅⎪+-+-⎩即23321m n m n -=⎧⎨+=-⎩, 解得3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了平面向量加法和减法运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.18. （1）已知直线l 过点()3,4P -，若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的一般式方程； （2）已知直线l 过点()3,2P 且与x 轴，y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，求ABO 面积最小值及这时直线l 的一般式方程；（3）已知直线l 经过点()2,2P -，且与第一象限的平分线(0)y x x =≥，y 轴（原点除外）分别交于A ，B 两点，直线l ，射线(0)y x x =≥，y 轴围成的三角形OAB 的面积为12，则符合要求的直线共有几条，请说明理由.【答案】（1）390x y +-=或4160x y -+=；（2）ABO 面积最小值为12，直线l 的一般式方程23120x y +-=；（3）符合条件的直线只有一条.【解析】【分析】（1）先设直线截距式方程，再将点代入，结合条件，即得结果；（2）先设直线截距式方程，再将点代入，利用基本不等式求ab 最值，即得面积最值和对应方程； （3）先设交点，利用面积和斜率列关系，计算参数，即得结果.【详解】解：（1）设直线l 的方程为1x y a b +=，把点()3,4P -代入可得341a b-+=，又因为12a b +=， 解得，9,3a b ==或4,16a b =-=，故直线l 的方程为193x y +=或1416x y +=-， ∴ 直线l 的一般式方程390x y +-=或4160x y -+=；（2）设()(),0,0,,0,0A a B b a b >>，则直线l 方程为1x y a b +=，把点()3,2P 代入可得321a b+=，所以321a b +=≥24ab ≥当且仅当32a b =时等号成立， 即6,4a b ==时()min 24ab =，又12ABO Sab =，故最小值为12，此时直线l 的方程为164x y +=，即直线l 的一般式方程23120x y +-=.（3）依题意，设()(),,0,A a a B b ，则0,0a b >>，面积为1122ab =24ab ∴=， 易见，直线l 斜率存在，三点都在线上，则AP BP k k =，即2222a b a ++=--，化简得2120a b -+=，联立方程得26120a a +-=，0∆>，两根之积120-<，故只有一正解，即符合条件的直线只有一条.【点睛】本题考查了直线方程的综合应用，考查了基本不等式，属于中档题.四.附加题19. 已知曲线2:C y ax =，直线1l 、2l 都过点(1,2)-且互相垂直，若曲线C 与直线1l 、2l 中的至少一条相交，求a 的取值范围.【答案】(]1,0,8⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意设直线1l 、2l 的斜率为k 、1k-，设出直线1l 、2l 的方程，由直线方程与曲线2:C y ax =联立，利用判别式小于0可得a 的取值范围，进而可得直线与曲线至少有一条相交的a 的取值范围.【详解】首先假设抛物线与直线1l 、2l 都没有公共点，可知两直线斜率存在且不为0， 当0a >时，设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-， 则直线1l 的方程为：()21y k x +=-，直线2l 的方程为：()121y x k +=--， 由()221y ax y k x ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩可得220ax kx k -++=， 若直线1l 与抛物线没有公共点，则()21420k a k ∆=-+<，① 同理若直线2l 与抛物线没有公共点，则2211420a k k ⎛⎫⎛⎫∆=---+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②由①可得：22a k a -<<+，由②可得：k <k >， 由题意知方程组无解，所以2a -≥且24a a a +≤， 解得108a <≤，所以若方程组有解则0a ≤或18a >. 【点睛】方法点睛：直线与抛物线的交点个数的判断：将直线y kx m =+与抛物线方程()220y px p =>联立，消元后转化为关于x 或y 的一元二次方程2220ky py pm -+=，其判别式∆，()1 若0k =时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线交于一点；()2 若0k ≠时，①0∆>⇔直线与抛物线相交，有2个交点；②0∆=⇔直线与抛物线相且，有1个交点；③0∆<⇔直线与抛物线相离，没有交点.20. 设0a b <<，过两定点(),0A a 和(),0B b 分别引直线l 和m ，使与抛物线2y x =有四个不同的交点．当这四点共圆时，求这种直线l 与m 的交点P 的轨迹． 【答案】,(0)2a bx y +=≠【解析】【详解】设12:(),:()l y k x a m y k x b =-=-于是,l m 为1122()()0k x ak y k x y k b ----=四点共圆方程可写为21122()()()0k x ak y k x y k b y x λ----+-=因为xy 项系数为零，所以1212(),()()k k y k x a y k x b x a x b =-∴=-=-⇒-=-- 直线l 与m 的交点P 的轨迹方程为,(0)2a bx y +=≠。