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函数极限的主要性质
其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
函数f中对应输入值x的输出值的
标准符号为f(x)。
性质一：对称性
数轴对称：所谓数轴对称也就是说函数图像关于坐标轴x和y轴对称。
原点对称：同样，这样的对称是指图像关于原点对称，原点两侧，距离原点相同的函
数上点的坐标的坐标值互为相反数。
关于一点等距：这种类型和原点等距十分相似，相同的就是此时对称点不再仅限于原点，而是坐标轴上的任一一点。
性质二：周期性
所谓周期性也就是说，函数在一部分区域内的图像就是重复发生的，假设一个函数
f(x)就是周期函数，那么存有一个实数t，当定义域内的.x都加之或者乘以t的整数倍时，x所对应的y维持不变，那么可以说道t就是该函数的周期，如果t的绝对值达至最轻，
则称作最轻周期。
求极限小知识点总结极限是微积分最基本的概念之一，它是描述函数在某一点附近的行为的重要工具。
在数学的发展历程中，极限的概念扮演了重要的角色，它不仅在微积分中有着重要的地位，而且在数学的许多领域中都有着广泛的应用。
一、极限的概念极限是函数在自变量趋于某个值时的稳定值，也就是当自变量趋于某一值时，函数值趋于的值。
它是对函数在某一点附近的行为进行描述的工具。
在数学上用极限的概念可以严格地刻画出函数在某一点附近的性质，例如函数的连续性、导数、积分等。
因此，极限是微积分中最基本的概念之一，也是研究函数的性质的重要工具。
极限的概念最早可以追溯到17世纪的牛顿和莱布尼兹等人的工作，而在当代数学中，极限是微积分和实变函数论中非常基本的概念。
例如，在微积分中，导数和积分等概念都可以通过极限的概念来定义和理解；在实变函数论中，函数的极限是研究函数连续性和收敛性等问题的重要工具。
二、极限的性质极限具有一些重要的性质，这些性质对于研究函数的性质和计算极限都是非常重要的。
下面我们来介绍一些关于极限性质的基本知识。
1. 唯一性：如果一个函数在某点存在极限，则此极限是唯一的。
也就是说，当自变量趋于某一点时，函数值的稳定值是唯一确定的。
这个性质可以从极限的定义和数学分析的角度来证明。
2. 有界性：如果一个函数在某点存在极限，则该函数在该点附近一定有界。
有界性是极限的重要性质之一，它可以帮助我们研究函数的性质，例如函数的连续性和收敛性等。
3. 保号性：如果一个函数在某点的左右极限均存在且相等，并且极限值为正（或负），则该函数在该点附近一定保持正（或负）号。
这个性质对于研究函数的性质以及计算极限都是非常重要的。
4. 夹逼性：如果一个函数在某点的左右极限存在且小于（或大于）某个值，同时该点附近的另一个函数的值恒大于（或小于）这个值，那么该函数在该点的极限也是小于（或大于）这个值。
夹逼性是计算极限和研究函数性质的常用技巧，它可以帮助我们确定函数在某一点的极限值。
函数的极限性质及计算方法函数的极限性质是微积分学中的重要内容，它描述了函数在特定条件下趋向于某个确定值的特点。
通过研究极限性质，我们可以深入理解函数的行为，并进一步应用于微积分的相关计算中。
本文将介绍函数的极限性质及其计算方法。
1. 极限的定义函数f(x)在点x=a处的极限表示为lim┬(x→a)〖f(x)。
如果对于任意给定的ε>0〗，存在对应的δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
其中L为常数，表示函数f(x)在x=a处的极限值。
2. 极限的性质函数极限具有以下性质：- 唯一性：函数的极限值唯一，即lim┬(x→a)〖f(x)〗唯一存在。
- 局部性：如果lim┬(x→a)〖f(x)〗存在，那么f(x)在点x=a的某个足够小的邻域内都接近于lim┬(x→a)〖f(x)〗。
- 保号性：如果lim┬(x→a)〖f(x)〗=L且L>0，则存在点x=a的某个足够小的邻域，使得f(x)>0。
- 四则运算性质：设lim┬(x→a)〖f(x)〗=A，lim┬(x→a)〖g(x)〗=B，那么lim┬(x→a)〖(f(x)±g(x))〗=A±B，lim┬(x→a)〖(f(x)·g(x))〗=A·B，lim┬(x→a)〖(f(x)/g(x))〗=A/B（若B≠0）。
3. 常见函数的极限计算方法- 多项式函数的极限：对于多项式函数f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，当x→a时，lim┬(x→a)〖f(x)〗=f(a)。
- 有理函数的极限：对于有理函数f(x)=p(x)/q(x)，其中p(x)和q(x)都是多项式函数，当x→a时，如果q(a)≠0，则lim┬(x→a)〖f(x)〗=p(a)/q(a)。
- 指数函数与对数函数的极限：当x→∞时，lim┬(x→∞)〖a^x=∞〗，lim┬(x→∞)〖logₐx=∞〗。
大一高数知识点总结极限大一高数知识点总结极限极限是高等数学中非常重要的概念，它是数学分析的基础，也是其他数学学科的重要工具。
在大一的高等数学课程中，学生们会接触到很多与极限相关的知识点。
本文将就大一高数中与极限相关的知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、函数极限及其性质在高等数学中，我们常常要探讨函数在某个点处的“趋近”行为。
这种趋近的行为就是函数的极限。
函数极限的定义是：当自变量趋近于某个值时，函数的值也会趋近于一个确定的值，那么这个确定的值就是函数的极限。
具体来说，我们用以下符号表示函数极限：lim(x→a) f(x) = L其中，“lim”表示极限，“(x→a)”表示自变量x趋近于a，“f(x)”表示函数f(x)，“L”表示极限值。
在探讨函数极限的性质时，我们会遇到以下重要概念和定理：1. 唯一性定理：如果函数在某点存在极限，那么它的极限值是唯一的。
2. 夹逼定理：如果一个函数在某点的左、右两侧有两个函数夹住，并且这两个函数的极限相等，那么该函数在该点处的极限存在，并且等于这个相等的极限值。
3. 无穷小量：如果函数在某点的极限是0，那么该函数在该点处是无穷小量。
4. 无穷大量：如果函数在某点的极限不存在或为无穷大，那么该函数在该点处是无穷大量。
二、常见函数的极限计算在大一的高等数学学习中，我们经常需要计算一些常见函数在某点处的极限。
以下是一些常见函数的极限计算方法：1. 多项式函数：多项式函数在任何有限点处的极限存在，且极限值等于该点处的函数值。
2. 指数函数：指数函数e^x在任何有限点处的极限都存在，并且极限值等于该点处的函数值。
3. 对数函数：对数函数log(x)在x趋近于正无穷时的极限为正无穷，在x趋近于0时的极限为负无穷。
4. 三角函数：三角函数sin(x)和cos(x)在任何有限点处的极限存在，且极限值等于该点处的函数值。
三、无穷极限和级数除了常见函数的极限计算外，大一高数还会涉及无穷极限和级数的讨论。
数列极限的性质
数列极限的性质如下：
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。
3、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有 xn≥yn。
附：极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中遇到大量的问题。
开始人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破’只研
究常量‘的传统范围，而寻找能够提供能描述和研究运动、变化过程的新工具，是促进’极限‘思维发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
§1 极限的重要性质 §2 求极限的方法【例1】．，则，又________)(lim 0)(g lim )()(lim000===→→→x f x A x g x f x x x x x x ．＝00))()()((lim )(lim 0=⨯=⋅→→A x g x g x f x f x x x x 【例2】设｛a n ｝，｛b n ｝，｛c n ｝均为非负数列，且，，，∞===+∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim 1lim 0lim 则必有（A ）a n ＜b n 对任意n 成立． （B ）b n ＜c n 对任意n 成立．（C ）极限n n n c a ∞→lim 不存在． （D ）n n n c b ∞→lim 不存在．用相消法求00或∞∞型极限 )cos 1(sin 1tan 1limx x xx I x -+-+=→22411limsin x x x x I x x→-∞+-++=+利用洛必达法则求极限设f （x ）在x = 0有连续导数，又2)(sin lim 20=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→x x f x x I x ,(0)(0)f f '与)1ln()cos 1(1cossin 2lim20x x x x x x +++→ xx I xx e)1(lim10-+=→xx I xx x sin e e lim sin 0--=→若306sin ()lim0x x xf x x →+=，则__________)(6lim 20=+→x x f x ． )1ln(0)(tan lim x x x I -+→=设α＞0，β≠0为常数且122lim [()]aa ax I xx x β→+∞=+-=.则（α，β） = __________．分别求左、右极限的情形，分别求n n n n x x 212lim lim +∞→-+∞→与的情形||sin e1e 2)(41x xx f xx +++，求0lim ()x f x →．nn n I n )1(1lim -+∞→⎪⎭⎫⎝⎛+=利用函数极限求数列极限)1＞(lima an I nn +∞→=21lim (tan )n n I n n→+∞=§3 无穷小和它的阶⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+=→13cos 21lim 30x x x xI __________)(lim 513]2sin )(1ln[lim200==-+→→xx f x x f x x x ，则 设x →a 时（x ），（x ）分别是x － a 的n 阶与m 阶无穷小，又0)(lim ≠=→A x h ax ，则x →a 时（1）（x ）h （x ）是x － a 的__________阶无穷小． （2）（x ）（x ）是x － a 的__________阶无穷小．（3）n ＜m 时，（x ）±（x ）是x － a 的__________阶无穷小． （4）n ＞m 时)()(x x βα是x － a 的__________阶无穷小． （5）k 是正整数时，k是x － a 的__________阶无穷小．设f （x ）连续，x →a 时f （x ）是x － a 的n 阶无穷小，求证：⎰xadt t f )(是x － a 的n + 1阶无穷小．x → 0时，231)1(xx x ++是x 的________阶无穷小；332x x -是x 的_________阶无穷小；)1ln(sin 3x x +是x 的_________阶无穷小，⎰x dt t 02sin 是x 的_________阶无穷小．x → 0时，下列无穷小中（ ）比其他三个的阶高，（A ）x 2 （B ）1－c os x （C ）112--x （D ）x － tan x【例7】当x → 0时，⎰=xdt t x f sin 02sin )(与43)(x x x g +=比较是（ ）的无穷小．（A ）等价 （B ）同阶非等价（C ）高阶 （D ）低阶§4 连续性及其判断【例1】 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界． （A ）（－1，0）． （B ）（0，1）． （C ）（1，2）． （D ）（2，3）． 【例2】设⎩⎨⎧-=1＞11)(2x xx xx f ≤，⎪⎩⎪⎨⎧+-=xx x x x x x g ＜535＜2)1(22)(≤≤，讨论y = f （g （x ））的连续性，若有间断点并指出类型§1 一元函数微分学中的基本概念及其联系（1）说明下列事实的几何意义（1）．x g x f x g x f )()()()(0000'='=，（2）f (x )，g (x )在x = x 0处有连续二阶导数，''0000()()()()f x g x f x g x ==，，．x g x f 0)()(00≠''=''（3）f (x ）在x = x 0处存在''00()()f x f x +-，，但''00()()f x f x +-≠. （4）y = f (x ）在x = x 0处连续且000()()lim.x x f x f x x x →-=∞-【例2】()()()g x f x h x ⎧=⎨⎩0000x x x x x x -∂<<<+∂≤，δ＞0为某常数．设'000()(),(),g x h x g x -='0()h x +均存在且''00()()g x h x -+=.求证：''0000()()()()f x f x g x h x -+''==存在且. 【例3】请回答下列问题：（1）设y = f （x ）在x = x 0可导，相应于x 有y = f （x 0 +x ）－f （x 0），x x f dy ∆'=)(0x →0时它们均是无穷小．试比较下列无穷小：y 是x 的__________无穷小；y －dy 是x 的________无穷小；0)(0≠'x f 时y 与dy 是________无穷小． （2）du 与u 是否相等？【例4】设f （x ）连续，试讨论)(0x f '的存在性与0|)(|x x x f ='的存在性之间的关系．（1）考察下列两个函数图形，由导数的几何意义来分析)(0x f '存在与0|)(|x x x f ='存在之间的关系．（2）f （x 0）≠0时，求证：)(0x f '存在|)(|x x x f ='存在．【例5】 设函数f (x ）连续，且(0)0f '>，则存在 ＞0，使得（A ）()f x 在（0，）内单调增加． （B ）()f x 在（－，0）内单调减少． （C ）对任意的x（0，）有()f x ＞f （0）．（D ）对任意的x（－，0）有()f x ＞f（0）§2一元函数求导法【例】 设y =y （x ）满足xy e 2='，求它的反函数的二阶导数22d d yx．【例1】 设f （x ）在（－∞，+ ∞）连续且10()(s )d xn n n Φx s f x s -=-⎰，求)(x Φ'．【例2】设f （x ）在（－∞，+∞）连续，又⎰-=x t t f t x x Φ02d )()(21)(，求)()(x Φ，x Φ'''【例3】设y t tt x Φy xd )d 1sin ()(222⎰⎰+=，求)(x Φ''． 【例4】设f （x ）为连续函数，⎰⎰=t tyx x f y t F 1d )(d )(，则)2(F '等于（A ）2f （2）． （B ）f （2）． （C ）－f （2）． （D ）0． 隐函数求导法：【例1】y = y （x ）由0e )sin(222=-++xy y x x 所确定，则．xy________d d = 【例2】y = y （x ）由下列方程确定，求．xyx y 22d d d d ，（1）x + arctan y = y ； （2）y y f e x =)(e，其中1)()(≠'''x f x f 存在，．【列3】设y = y （x ）由方程y －x e y= 1确定，求022d d =x xy的值．分段函数求导法：【列1】设f （x ）= x 2｜x ｜，则使()()n f x 处处存在的最高阶数n 为________．【例2】设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=⎰0＜d sin 10)(000＞1sin )1ln(1)(203x t t x x x f ，x x x x x x f x ，处在则，，（A ）不连续 （B ）连续，但不可导 （C ）可导但导函数不连续 （D ）可导且导函数连续【例3】求常数a ，b 使函数⎩⎨⎧+=3＜3)(2x b ，ax x x x f ≥处处可导，并求出导数．高阶导数与n 阶导数的求法常见的五个函数的n 阶导数公式：b ax n n b ax a ++=e )e ()()2πsin())(sin()(n b ax a b ax n n ++=+ )2πcos())(cos()(n b ax a b ax n n ++=+1()(1)(1)!(ln ||)()n n n nn a ax b ax b ---+=+()(())(1)(1)()n n n ax b n a ax b βββββ-+=--++§3 一元函数导数（微分）概念的简单应用【例1】设n x x f =)(,在点()1,1处的切线与轴的交点为(),0n ξ，则lim ()_______.n n f ξ→∞=【例2】若周期为4的函数f （x ）可导且12)1()1(lim-=--→xx f f x则曲线y = f （x ）在点（5，f （5））处的切线斜率k = ________．【例3】设y = f （x ）由方程e 2x +y －cos （xy ）= e －1所确定，则曲线y = f （x ）在点（0，1）处的法线方程为________．【例4】已知曲线Γ的极坐标方程为ρ = 2sin θ，点M 0的极坐标为（1，6π），则点M 0处Γ的切线的直角坐标方程为________．。
