甘肃省兰州市2014年届高三1月第一次诊断数学文试卷

甘肃省兰州市2014年高三第一次诊断考试理科综合试卷可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 N—14 O—16 Na—23 Al—27 S—32 Cl—35.5 Cu—63.5Ⅰ卷（共126分）一、选择题(本题包括13小题。

每小题只有一个选项符合题意。

每小题6分)1．下图中①～④表示某细胞的部分细胞器。

下列有关叙述正确的是A．结构①是细胞生命活动所需能量的主要来源B．结构①～④中都含有大量磷脂C．此细胞不可能是植物细胞，只能是动物细胞D．该图一定是高倍光学显微镜下看到的结构2．下列关于细胞分化、衰老、凋亡和癌变的叙述，正确的是①个体发育过程中细胞的衰老对生物体都是有害的②正常细胞癌变后在体外培养可无限增殖③由造血干细胞分化成红细胞的过程是可逆的④癌细胞容易在体内转移，与其细胞壁上糖蛋白等物质减少有关⑤人胚胎发育过程中尾的消失是细胞凋亡的结果⑥原癌基因和抑癌基因的突变是细胞癌变的内因⑦低温引起的细胞冻伤和死亡属于细胞坏死A．1种B．2种C．3种D．4种3．氧的浓度会影响细胞呼吸。

在a、b、c、d条件下，底物是葡萄糖，测得某植物种子萌发时CO2和O2体积变化的相对值如下图。

则下列叙述中正确的是A．a、b、c、d条件下，细胞呼吸的场所均为细胞质基质和线粒体B．a条件时，细胞呼吸最终有[H]的积累C．b、c条件下，细胞呼吸的产物只有二氧化碳和水D．若底物是等量的脂肪，则在d条件下释放的CO2与吸收的O2的比值可能不为14．克氏综合征是一种性染色体数目异常的疾病，现有一对表现型正常的夫妇生了一个患克氏综合征并伴有色盲的男孩，该男孩的染色体组成为44+XXY，则染色体不分离发生在亲本的A．次级卵母细胞中B．次级精母细胞中C．初级卵母细胞中D．初级精母细胞中5．下列各组生命现象中，能体现生长素对植物器官具有相同作用的一组是A．根的向地性和茎的背地性 B．茎的背地性和茎的向光性C．对果实发育的影响与顶端优势对侧芽的影响 D．根的向地性和对插条生根的影响性6．如果给人注射灭活的甲型H1N1流感病毒，可预防甲型H1N1流感，那么灭活病毒在体内引起的免疫反应，正确的是A．B细胞接受刺激后形成浆细胞，能使靶细胞裂解B．T细胞接受刺激后形成效应T细胞，能释放淋巴因子C．吞噬细胞接受刺激后形成效应细胞，能产生相应的抗体D．淋巴细胞吞噬该病毒后形成记忆细胞，能释放白细胞介素7．下列有关叙述正确的是A．Na2O·SiO2是一种简单的硅酸盐，可溶于水B．绿色荧光蛋白质（GFP）是不可鉴别的高分子化合物，其水溶液有丁达尔效应C．稀硫酸、NaCl溶液是实验室常见的电解质D．酸性氧化物均能与水反应生成对应的酸，如CO2、SO3等8．下列表述或化学用语书写正确的是A．向Ba(OH)2溶液中滴加NaHSO4溶液至混合溶液恰好为中性：Ba2＋＋OH－＋H＋＋SO2－ 4=BaSO4↓＋H2OB．稀硫酸中加入铁粉：2Fe＋6H＋=2Fe3＋＋3H2↑C．FeSO4溶液与稀硫酸、双氧水混合：2Fe2＋＋H2O2＋2H＋=2Fe3＋＋2H2OD．金属铝与氧化镁发生铝热反应：2Al＋3MgO高温3Mg＋Al2O39．设N A代表阿伏加德罗常数的值，下列有关叙述正确的是A．标准状况下，44.8L NO与22.4L O2混合气体中分子总数等于3N AB．已知2CO(g)+O2(g) 2CO2(g) △H＝－akJ﹒mol-1将2N A个CO与N A个O2混合充分反应放出akJ的热量C．50mL18.4mol·L－1浓硫酸与足量铜微热反应，生成SO2分子的数目为0.46N AD．2.3g金属钠与过量的氧气反应，无论加热与否转移电子数均为0.1N A10．现有短周期元素X、Y、Z、M，X、Y位于同主族，Z、M位于同主族，Y、Z位于同周期，X与Z、M都不在同一周期，Z的核电荷数是M的2倍。

甘肃省2014年高考数学一模试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合{5}{20}A x Z x B x xA B =∈=≥⋂＜，﹣，则等于（ ） A ．25（，） B ．[25，） C ．{}234，， D ．{}345，，解析 A={x ∈Z||x|＜5}={x ∈Z|﹣5＜x ＜5}={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x ﹣2≥0}，∴A ∩B={2，3，4}，故选：C ．2．（5分）（2014•甘肃一模）复数21()1i i -+（i 是虚数单位）化简的结果是（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 解析==（）2=（﹣i ）2=﹣1． 故选：B ．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．3 解析 由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C ．4．（5分）从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M x y （，），则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．16解析 可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S （Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A ）==．所以P （A ）=．故选：B ．5．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a ﹣，则8S =（）A ．72B ．68C ．54D ．90解析 在等差数列{a n }中，∵a 4=18﹣a 5，∴a 4+a 5=18，则S 8=4（a 1+a 8）=4（a 4+a 5）=72故选：A6．（5分）阅读如图程序框图，输出的结果i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9解析 由程序框图可看出：S=1×23×25×…×22n+1=23+5+…+（2n+1）==， 由判断框的条件可知：当满足≥100时，应跳出循环结构，此时n 2+2n ＞6，解得n=3，∴i=2n+1=7．故应输出i 的值是7．故选：C ．7．（5分）设lg lg 2a e b e c ===，（）， ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>解析 ∵1＜e ＜3＜， ∴0＜lge ＜1，∴lge ＞lge ＞（lge ）2．∴a ＞c ＞b ．故选：C ．8．（5分）（2014•甘肃一模）已知点P x y （，）满足线性约束条件21x x y ≤⎧⎪⎨⎪-⎩y ＋x ≥≤1，点31M O （，），为坐标原点，则OM OP ∙的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1- 解析 设z=•，则z=3x+y ，即y=﹣3x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣3x+z ，由图象可知当直线y=﹣3x+z 经过点A 时，直线y=﹣3x+z 的截距最大，此时z 最大，由，解得，即A （3，2），此时z=3x+y=3×3+2=11，故•的最大值为11，故选：B ．9．（5分）若21()nx x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）A ．84-B ．84C ．36-D ．36 解析 展开式中所有二项式系数和为512，即2n =512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C 9r x 18﹣3r 令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故选：B ．10．（5分）（2014•西藏一模）已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的两条渐近线均和圆C ：22650x y x ++=﹣相切，则该双曲线离心率等于（ ）A BC ．32D 解析 双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±，即bx ±ay=0 圆C ：x 2+y 2﹣6x+5=0化为标准方程（x ﹣3）2+y 2=4∴C （3，0），半径为2∵双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2﹣6x+5=0相切∴∴9b 2=4b 2+4a 2∴5b 2=4a 2∵b 2=c 2﹣a 2∴5（c 2﹣a 2）=4a 2∴9a 2=5c 2∴=∴双曲线离心率等于故选：A ．11．（5分）定义在R 上的偶函数f x （）满足120f x f x f x +=≠（）（）﹣（（），且在区间20132014（，）上单调递增，已知αβ，是锐角三角形的两个内角，则sin cos f f αβ（）、（）的大小关系是（ ） A ．sin cos f f αβ（）<（） B ．sin cos f f αβ（）＞（）C ．sin cos f f αβ=（）（）D ．以上情况均有可能 解析 ∵定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+1）f （x ）=﹣2，∴f （x ）===f （x+2），∴f （x ）是周期为2的偶函数．∵函数f （x ）在区间（2013，2014）上单调递增，故函数在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减．∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sin α＞sin （﹣β）=cos β＞0． 则f （sin α）＜f （cos β），故选：A ．12．（5分）（2014•甘肃一模）设f x （）是定义在R 上的函数，x R ∀∈，都有22f x f x =+（﹣）（），f x f x =（﹣）（），且当[02]x ∈，时，22x f x =（）﹣，若函数log 10,1)g x f x a x a a =+≠（）（）﹣（）(＞在区间12014]（﹣，内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)(3,7)95B ．1(0,)(7,)9+∞C ．1(,1)(1,3)9D ．11(,)(3,7)73解析 由f （2﹣x ）=f （2+x ），得到函数f （x ）关于x=2对称，由f （﹣x ）=f （x ）得函数f （x ）是偶函数，且f （2﹣x ）=f （2+x ）=f （x ﹣2），即f （x+4）=f （x ），即函数的周期是4．当x ∈[﹣2，0]时，﹣x ∈[0，2]，此时f （x ）=f （﹣x ）=2﹣x ﹣2，由g （x ）=f （x ）﹣log a （x+1）=0得f （x ）=log a （x+1），（a ＞0，a ≠1）作出函数f （x ）的图象如图：①若a ＞1，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点A （2，2）时，两个图象有两个交点，此时g （2）=log a 3=2，解得a=，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点B （6，2）时，两个图象有四个交点， 此时g （6）=log a 7=2，解得a=，此时要使两个函数有3个不同的零点，则， ②若0＜a ＜1，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点C （4，﹣1）时，两个图象有两个交点， 此时g （4）=log a 5=﹣1，解得a=，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点D （8，﹣1）时，两个图象有四个交点， 此时g （6）=log a 9=﹣1解得a=，此时要使两个函数有3个不同的零点，则， 综上：实数a 的取值范围是（，）∪（，）， 故选：A ．二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数211()log ()1x f x x x -=++，则11()()20142014f f +-= ．解析 ∵函数， ∴＞0且x ≠0，解得：﹣1＜x ＜0 或 0＜x ＜1．∴定义域为{x|﹣1＜x ＜0 或 0＜x ＜1}，∴==﹣f （x ），∴函数是奇函数，∴==0． 故答案为：0 14．（5分）设随机变量ξ服从正态分布29N （，），若(1)(1)P c P c ξξ+=＞＜﹣，则c = ． 解析 ∵N （2，32）⇒， ，∴，解得c=2，故答案为：2．15．（5分）已知数列{}n a 满足110012n n a a a n =+=，﹣，则n a n的最小值 ． 解析 a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=4，…a n+1﹣a n =2n ，这n 个式子相加，就有a n+1=100+n （n+1），即a n =n （n ﹣1）+100=n 2﹣n+100，∴=n+﹣1≥2﹣1=19， 当且仅当n=，即n=10时，取最小值19．故答案为：19．16．（5分）若三棱锥SABC ﹣的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =，12AB AC ==，，60BAC ︒∠=，则球O 的表面积为 ．解析 如图，三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，∵SA ⊥平面ABC ，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°， ∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=AC=1， ∴球O 的半径R==2， ∴球O 的表面积S=4πR 2=16π．故答案为：16π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17．（12分）在ABC 中，三个内角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若1cos 1cos 3a C c A b +++=（）（）， （1）求证：a b c ，，成等差数列；（2）若604B b ∠=︒=，，求ABC 的面积．解析 （1）∵a （1+cosC ）+c （1+cosA ）=3b ，由正弦定理得，sinA （1+cosC ）+sinC （1+cosA ）=3sinB ，即sinA+sinC+sin （A+C ）=3sinB ，∴sinA+sinC=2sinB ，由正弦定理得，a+c=2b ，则a ，b ，c 成等差数列；（2）∵∠B=60°，b=4，∴由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB 得4=a 2+c 2﹣2accos60°，即（a+c ）2﹣3ac=16， 又a+c=2b=8，解得，ac=16（或者解得a=c=4），则S △ABC =acsinB=4．18．（12分）如图，在四棱锥PABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，且90AD BC ABC PAD ∠=∠=︒，，侧面PAD ABCD ⊥底面．若12PA AB BC AD ===． （Ⅰ）求证：CD PC ⊥； （Ⅱ）求二面角APD C ﹣﹣的余弦值．解析（Ⅰ）证明：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD，又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD，又∵∠BAD=90°，∴AB、AD、AP两两垂直，分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=2，则由题意得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∴，，∴=0，∴CD⊥PC．（Ⅱ）解：∵AB、AD、AP两两垂直，∴AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的一个法向量，设平面PCD的法向量，∵，∴，取x=1，得到=（1，1，2），设二面角A﹣PD﹣C的大小为θ，由图形知θ为锐角，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值为．19．（12分）某高中社团进行社会实践，对[2555]，岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如下统计表和如图所示各年龄段人数频率分布直方图请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n a p ，，的值（2）从[4045，）岁和[4550，）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[4045，）岁得人数为X ，求X 的分布列和数学期望E X （）解析 （1）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为=0.06．频率直方图如下：第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000，所以第二组的人数为1000×0.3=300，p==0.65，第四组的频率为0.03×5=0.15，第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（2）因为[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==所以随机变量X的分布列为∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=2﹣共线．20．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且AB与n=1)（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，O 为坐标原点，总使0OP OQ ∙<，求实数m 的取值范围．解析 （Ⅰ）解：设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），则∵A （a ，0）、B （0，b ）， ∴=（﹣a ，b ）， ∵与=（，﹣1）共线，∴a=b ，∵焦距为2， ∴c=1， ∴a 2﹣b 2=1， ∴a 2=2，b 2=1， ∴椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），把直线方程y=kx+m 代入椭圆方程，消去y 可得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，△=16k 2m 2﹣4×（2k 2+1）（2m 2﹣2）=16k 2﹣8m 2+8＞0（*） ∵•＜0，∴x 1x 2+y 1y 2＜0，∵y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=，∴+＜0，∴m 2＜，∴m 2＜且满足（*） 故实数m 的取值范围是（﹣，）．21．（12分）已知函数2ln f x x a x x =+（）（）﹣﹣在0x =处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程52f x x b =+（）﹣在区间[]02，上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n ，不等式23412ln(1)49n n n++++⋯++＞都成立． 解析 （Ⅰ）函数f （x ）=ln （x+a ）﹣x 2﹣x f ′（x ）=﹣2x ﹣1当x=0时，f （x ）取得极值，∴f ′（0）=0 故，解得a=1，经检验a=1符合题意， 则实数a 的值为1；（Ⅱ）由a=1知f （x ）=ln （x+1）﹣x 2﹣x 由f （x ）=﹣x+b ，得ln （x+1）﹣x 2+x ﹣b=0 令φ（x ）=ln （x+1）﹣x 2+x ﹣b ，则f （x ）=﹣x+b 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x ）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根． φ′（x ）=﹣2x+=，当x ∈[0，1]时，φ′（x ）＞0，于是φ（x ）在[0，1）上单调递增；当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，依题意有φ（0）=﹣b≤0，φ（1）=ln（1+1）﹣1+﹣b＞0，φ（2）=ln（1+2）﹣4+3﹣b≤0解得，ln3﹣1≤b＜ln2+，故实数b的取值范围为：[ln3﹣1，ln2+）；（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x的定义域为{x|x＞﹣1}，由（1）知f（x）=，令f′（x）=0得，x=0或x=﹣（舍去），∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（0）为f（x）在（﹣1，+∞）上的最大值．∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）﹣x2﹣x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）对任意正整数n，取x=＞0得，ln（+1）＜+∴ln（）＜，故2+++…+＞ln2+ln+ln+…+ln=ln（n+1）．四、请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．（选修4-1：几何证明选讲）22．（10分）如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：2•=；PM PA PC（Ⅱ）若O的半径为OA=，求MN的长．解析 （Ⅰ）证明：连接ON ，因为PN 切⊙O 于N ， ∴∠ONP=90°， ∴∠ONB+∠BNP=90° ∵OB=ON ， ∴∠OBN=∠ONB 因为OB ⊥AC 于O ， ∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN ，PM=PN ∴PM 2=PN 2=PA •PC （Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4 ∵BM •MN=CM •MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：x m ty t=+⎧⎨=⎩，（t 是参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且|||AB ，试求实数m 的值． 解析 （Ⅰ）∵ρ=4cos θ，∴ρ2=4ρcos θ，化为直角坐标方程x 2+y 2=4x ． 由直线l 的参数方程：，（t 是参数），消去t 可得x ﹣y ﹣m=0．（Ⅱ）由圆C 的方程（x ﹣2）2+y 2=4可得圆心C （2，0），半径r=2． ∴圆心C 到直线l 的距离d==．∵，|AB|=∴，化为|m ﹣2|=1，解得m=1或3．选修4-5：不等式选讲24．已知函数()lg(12)f x x x a =+++﹣．（Ⅰ）当5a =﹣时，求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解析 （Ⅰ）当a=﹣5时，要使函数有意义，则|x+1|+|x ﹣2|﹣5＞0，即|x+1|+|x ﹣2|＞5， 在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x ﹣2|与y=5的图象如图：则由图象可知不等式的解为x ＜﹣2或x ＞3，即函数f（x）的定义域为{x|x＜﹣2或x＞3}．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，|x+1|+|x﹣2|+a＞0恒成立，即|x+1|+|x﹣2|＞﹣a恒成立，由图象可知|x+1|+|x﹣2|≥3，即﹣a＜3，解得a＞﹣3．。

兰州市2014高三第一次诊断考试数学（理科）试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。

第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 已知集合}0)3(|{<-=x x x P ，}2|||{<=x x Q ，则=Q P I （ ） A ．)0,2(-B ．)2,0(C ．)3,2(D ．)3,2(-2. i 是虚数单位,复数31ii--= （ ） A ． 2i +B ．12i -C ．i 21+D ．2i -3.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()()212x y x R π=-∈D ．5sin()()224x y x R π=+∈ 4.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )A ．63π+B ．π343+C ．π3433+D ．633π+5.设3212a=log 2b=log 3c=log 5，，,则（ ）A ．c ﹤b ﹤aB ．a ﹤c ﹤b C. c ﹤a ﹤b ．D ．b ﹤c ﹤a6. 已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂； ③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂其中正确的命题是 （ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有( )种.A.150B.300C.600D.9008．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=9.下列五个命题中正确命题的个数是( )（1）对于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>；（2）3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08(4)．若实数[],1,1x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π. (5) 曲线2y x =与y x =所围成图形的面积是120()S x x dx =-⎰A.2B.3C.4D.5 10. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为( )(A)3 (B)43(C)12 (D)－2(第10题图) （第11题图） 11.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n n D C ,在函数())0(1>+=x xx x f 的图象上.若点n B 的坐标()),2(0,+∈≥N n n n ，记矩形nnnnDC B A 的周长为n a ，则=+++1032a a a Λ （ ）A ．208 B.216 C.212 D.220A n D nB nO x y C n12. 设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足下面两个条件则称()f x 为闭函数：①()f x 是D 上单调函数；②存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上值域为[,]a b . 现已知()21f x x k =++为闭）A ．112k -<≤-B ．1k <C ．112k ≤< D ．1k >- 第Ⅱ卷 （90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．在531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为 . 14．已知x ，y 满足约束条件22344,0x x y x y y ≥⎧⎪+≥+⎨⎪≥⎩则的最小值是15．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是 。

兰州市2014高三第一次诊断考试数学（理科）试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。

第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 已知集合}0)3(|{<-=x x x P ，}2|||{<=x x Q ，则=Q P （ ） A ．)0,2(- B ．)2,0(C ．)3,2(D ．)3,2(-答案 B解析 }22|{},30|{<<-=<<=x x Q x x P ，)2,0(=∴Q P . 2. i 是虚数单位,复数31ii--= （ ） A ． 2i + B ．12i -C ．i 21+D ．2i -答案 A 解析i i i i i i i +=-+-+=--2)1)(1()3)(1(13. 3.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈B ．5sin()()212x y x R π=+∈ C ．sin()()212x y x R π=-∈ D ．5sin()()224x y x R π=+∈答案 B解析 将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度的函数)125sin()64sin(πππ+=++=x x y 的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得函数，)R )(12521sin(∈+==x x y π.4.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A ．63π+ B ．π343+C ．π3433+D ．633π+答案 D解析 依题意，原几何体是一个三棱柱上面放一个球题，其体积63)21(3460sin 22213ππ+=⋅+⋅⋅⋅=V . 5.设3212a=log 2b=log 3c=log 5，，,则（ ） A ．a b c << B ． b c a << C. b a c <<D ．a c b <<答案 C解析 12log 03<<，13log 2>，051log 5log 5log 2221<=-=，b a c <<∴. 6. 已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确的命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④答案 D解析 ①由平面与平面垂直的判定定理知，是真命题；②当直线m ，n 平行时，α与β不一定平行，是假命题；③直线n 与平面α可能平行，假命题；④真命题. 故正确的命题是①④. 7.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有( )种.A.150B.300C.600D.900 答案 C解析 分两步，第一步，先选4名教师，又分两类：第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有1025=C 种不同的方法，第二类，甲不去，则丙一定去，乙可能去也可能不去，有1546=C 种不同的方法，∴不同的选法有251510=+种.第二步，四名教师去4个边远地区支教，有2444=A 种方法，最后由乘法原理，共有6002425=⨯种不同的方法.8．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=答案 C解析 依题意，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=2222223443cb a a bc ，解得92=a ，162=b ，双曲线方程为221916x y -=.9.下列五个命题中正确命题的个数是( )①对于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++> ②3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08④若实数[],1,1x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π⑤ 曲线2y x =与y x =所围成图形的面积是120()S x x dx =-⎰A.2B.3C.4D.5 答案 A解析 对①，因为命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有012≤++x x ，故①错误；对②，由于直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 垂直的充要条件是3=m 或0，故②错误；对③，设线性回归方程为a x y+=23.1ˆ，由于样本点的坐标)5,4(满足方程，则a +⨯=423.15，解得08.0=a ，∴回归直线方程为08.023.1ˆ+=x y ，故③正确；对④，有几何概型知，所求概率为41221222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故④错误；对⑤，曲线2y x =与y x =所围成图形的面积是dx x x )(12⎰-，正确.故正确的是③⑤，共2个.10. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为( )A.3B.43C.12D.－2答案 C解析 由1,3==k S ，第一次循环，34322=-=S ，211=+=k ； 第二次循环，213422=-=S ，312=+=k ； 第三次循环，22122-=-=S ，413=+=k ；第四次循环，3222=--=S ，514=+=k ； ⋅⋅⋅则S 的值以4呈周期性变化，当2010=k 时，34=S ，满足进行循环的条件，第2010次循环后，21=S ，2011=k ，不满足循环条件，故输出的S 值为21.11.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n C ，n D 在函数)0(1)(>+=x xx x f 的图象上，若点n B 的坐标)N ,2)(0,(*∈≥n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长n a ，则=+⋅⋅⋅++1032a a a （ ）A ．208 B.216 C.212 D.220答案 B解析 点n B 的坐标为)0,(n )N ,2(*∈≥n n ，顶点n C 、n D 在函数)0(1)(>+=x xx x f 的图象上，)1,(n n n C n +∴，依题意，)1,1(n n n D n +，)N ,2(1||*∈≥-=∴n n nn B A n n ， n nn n n a n 4)1(2)1(2=-++=∴，41=-∴+n n a a ，又41=a ，∴数列}{n a 数首项为4，公差为4的等差数列，21629)408(29)(1021032=⨯+=⨯+=+⋅⋅⋅++∴a a a a a .12. 设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足下面两个条件，则称()f x 为闭函数：①()f x 是D 上单调函数；②存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上值域为[,]a b . 现已知()f x k=为闭函数，则k 的取值范围是（ ） AB ．1k <CD ．1k >- 答案 A解析 函数12+=x y 是定义在),21[+∞-上的增函数，k 为常数， ∴函数k x x f ++=12)(在),21[+∞-上的增函数，因此函数k x x f ++=12)(为闭函数，则存在区间D b a ⊆],[，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ，可得函数)(x f y =的图象与直线x y =相交于点),(a a 和),(b b ，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++∴bk b a k a 1212，即方程12+-=x x k 在),21[+∞-上有两个不等的实数根a 、b ，令12+=x t ，则212-=t x ，设函数0),(12)(≥=+-=t t g x x x h ，即（2121)(2--=t t t g ，在]1,0[∈t 时，)(t g 为减函数，则21)(1-≤≤-t g ；在),1[+∞∈t 时，)(t g 为增函数，则1)(-≥t g ，∴当211-≤<-k 时，有两个不等的t 值使得k t g =)(成立，相应地有两个不等的实数根a 、b 满足12+-=x x k ，故当k x x f ++=12)(为闭函数时，实数k 的取值范围是211-≤<-k . 第Ⅱ卷 （90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．在531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为 . 答案 10解析 由32553551)1()(rr r r rr r xC xx C T ---+⋅=⋅⋅=，0325=--∴rr ，解得3=r ，∴所求的展开式的常数项为1035=C .14．已知x ，y 满足约束条件220344,0x x y x y y ≥⎧⎪+≥+⎨⎪≥⎩则的最小值是 .答案 2516解析 不等式组表示的平面区域是图中直线右上方的阴影部分，22y x +的最小值为圆心)0,0(到直线0443=++y x 的距离2||OA ，即2516)434(22=+.15. 如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是.答案 x y 32=解析 如图，分别过点A 、B 作准线的垂线，分别交准线于D 、E ，设a BF =||，则由已知得a BC 2||=，由抛物线的定义知a BD =||，故30=∠BCD ，在直角三角形ACE 中，a AC AF 33||,3||+==， ||||2AC AE =∴，633=+∴a ，即3=a ，又FG BD //，321=∴p ，即23=p ，故所求抛物线方程为x y 32=.16.数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=，若10112b b ⋅=，则21a = . 答案 1024 解析 由n n n a a b 1+=，且11=a ，得2121a a ab ==， 232a a b =，即21223b b b a a ==， 343a a b =，即321334b b b b a a ==，⋅⋅⋅1321-⋅⋅⋅=∴n n b b b b a ，2032121b b b b a ⋅⋅⋅=∴，数列}{n b 为等比数列，10242)()()()(10101110111019220121===⋅⋅⋅⋅=∴b b b b b b b b a .三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量)cos ,(cos C B m =，(2,)n a c b =+，且⊥.（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若3=b ，求c a +的范围.解析 （Ⅰ）∵ )cos ,(cos C B =，(2,)n a c b =+，且⊥.0cos )2(cos =++∴C b c a B ，0cos sin )sin sin 2(cos =++∴C B C A B ， 0cos sin sin cos sin cos 2=++C B C B A B ，即A C B A B sin )sin(sin cos 2-=+-=，21cos -=∴B ，而 1800<≤B ，故120=B . （6分）（Ⅱ）由余弦定理，得ac c a ac c a ac c a b -+=++=-+=222222)(32cos2π 222)(43)2()(c a c a c a +=+-+≥ ， 当且仅当c a =时，取等号. 4)2≤+∴c a （， 2≤+c a ，又3=>+b c a ， ]2,3(∈+∴c a . （12分）18.（本题满分12分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18.（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望. 解析 （Ⅰ）依题意，18.018=n，得100=n . （2分） （Ⅱ）由3.010097=++a，得14=a .∵100654182097=++++++++b a ，∴17=b ， （5分） （Ⅲ）由题意，知31=+b a ，且1712,10≤≤≥b a ，∴满足条件的),(b a 有：(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12)，共6组. ∵b a -=ξ，∴ξ的取值为1,3,5,7.3162)1(===ξP ，3162)3(===ξP ，61)5(==ξP ，61)7(==ξP . （8分） 故ξ的分布列为∴367653331=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . （12分）19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222,AB AD CD E ===是PB 的中点.（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC（Ⅱ）若二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明： ⊥PC 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴，2,2===CD AD AB ，2==∴BC AC ， 222AB BC AC =+∴，则BC AC ⊥，又C PC BC = ，⊥∴AC 平面PBC ，⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC . （4分）（Ⅱ）如图，以C 为原点，取AB 的中点F ，以、、CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,1,1(A ，)0,1,1(-B ，设，则)2,21,21(aE -， )0,1,1(-=，),0,0(a =，)2,21,21(a-=，取)0,1,1(-=，则0=∙=∙，即为平面PAC 的一个法向量， 设),,(z y x n =为平面EAC 的一个法向量，则0=∙=∙CE m CA m ，则⎩⎨⎧=+-=+00az y x y x ，取a x =，2,-=-=∴z a y ，则2,,(-a a依题意，362|,cos |2=+==><a a ，2=∴a ， （10分） 于是)2,2,2(-=，)2,2,1(-=，设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则32|,cos |sin ==><=θ， 故直线PA 与平面EAC所成角的正弦值3. （12分） 20．（本小题满分l2分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，直线l ：2a x =交x 轴于点A ，且122AF AF =． （Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示） 试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．解析 （Ⅰ）由题意，212||22,(,0),F F c A a ==∴212AF AF = 2F ∴为1AF 的中点2,322==∴b a 即：椭圆方程为.12322=+y x （3分）（Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==a b DE ，此时322||==a MN ，四边形DMEN的面积||||42DE MN S ⋅==．同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积||||42DE MN S ⋅==． 当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE :)1(+=x k y ，代入消去y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x k k x x y x E y x D 则 （6分）所以，231344)(||222122121++⋅=-+=-k k x x x x x x ，所以，2221232)1(34||1||k k x x k DE ++=-+=，同理22211)1]3(1)||.1323()2k k MN k k -++==+-+ （9分）所以四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||k k k k MN DE S ++⋅++⋅=⋅=13)1(6)21(242222++++=k k k k令u uu S kk u 61344613)2(24,122+-=++=+=得因为,2122≥+=k k u 当2596,2,1==±=S u k 时，且S 是以u 为自变量的增函数，所以42596<≤S ．综上可知，96425S ≤≤．故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596． （12分）21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，其中()g x 的函数图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴．（Ⅰ）确定a 与b 的关系；（Ⅱ）若0a ≥，试讨论函数()g x 的单调性；（Ⅲ）设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y （12x x <） 证明：2111k x x <<． 解析 （Ⅰ）依题意得2()ln g x x ax bx =++，则1'()2g x ax b x=++， 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++=. ∴21b a =-- . （3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)ax x x--=∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a =时，1'()x g x x-=-由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >， 即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； 当0a >时，令'()0g x =得1x =或12x a=， 若112a <，即12a >时，由'()0g x >得1x >或102x a <<，由'()0g x <得112x a<<，即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a单调递减；若112a >，即102a <<时，由'()0g x >得12x a >或01x <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a单调递减；若112a =，即12a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥， 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，综上所述：当0a =时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； 当102a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1(,)2a+∞上单调递增；当12a =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当12a >时，函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增，在1(,1)2a单调递减；在(1,)+∞上单调递增．（8分） （Ⅲ）依题意得21212121ln ln y y x x k x x x x --==--， 证2111k x x <<，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-因210x x ->，即证21221211ln x x x x xx x x --<< 令21x t x =（1t >），即证11ln 1t t t -<<-（1t >）令1()ln 1h t t t=+-（1t >）则22111'()t h t t t t-=-=0>∴()h t 在（1，+∞）上单调递增，∴()(1)h t h >=0，即1ln 1t t>-（1t >）. ① 令1ln )(+-=t t t u ， ∵tt t t u -=-='111)(，又∵1>t ，∴)(t u 在),1(+∞单调递减， ∴0)1()(=<u t u ∴1ln -<t t ② 综①②得11ln 1t t t-<<-（1t >），即2111k x x <<． （12分） 四、选做题：22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，ABC ∆是直角三角形，︒=∠90ABC ，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M . （Ⅰ）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； （Ⅱ）求证：AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22证明：（Ⅰ）连接BE 、OE ，则EC BE ⊥ 又D 是BC 的中点，所以BD DE = 又OB OE =，OD OD = 所以ODB ODE ∆≅∆. 所以︒=∠=∠90OBD OED所以O 、B 、D 、E 四点共圆. （5分） （Ⅱ）延长DO 交圆O 于点H因为)(2OH DO DM DH DM DE +⋅=⋅=OH DM DO DM ⋅+⋅=.所以)21()21(2AB DM AC DM DE ⋅+⋅=OABDC EM所以AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22 . （5分） 23.（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），直线l 的极坐标方程为22)4cos(=-πθρ.（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离，并求出这个点的坐标.解析 （Ⅰ）由22)4cos(=-πθρ得4)sin (cos =+θθρ，则直线l 的普通方程为04=-+y x .由⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x 得曲线C 的普通方程为1322=+y x . （5分） （Ⅱ）在:C 1322=+y x 上任取一点)sin ,cos 3(θθP ，则点P 到直线l 的距离为 232|42|2|4)3sin(2|2|4sin cos 3|=--≤-+=-+=πθθθd ，∴当1)3sin(-=+πθ，即Z ,265∈+-=k k ππθ时，23=Max d ，此时点)21,23(--P . （10分)24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）已知x 、y 都是正实数，求证：2233xy y x y x +≥+；（Ⅱ）对满足1x y z ++=的一切正实数,,x y z 恒成立，求实数a 的取值范围.解析 （Ⅰ）证明：由)()()()(222233x y y y x x xy y x y x -+-=+-+ ))((22y x y x --=)()(2y x y x +-=. 又x 、y 都是正实数，所以0)(2≥-y x 、0>+y x ，即0)()(2233≥+-+xy y x y x所以2233xy y x y x +≥+. （5分） （Ⅱ）根据柯西不等式有(()()222222221111113333618x y z +=⎡⎤≤++++=⋅+++=⨯=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦≤.又1a -≥恒成立，1a ∴-≥，1a ∴-≥或1a -≤-，即1a ≥+或1a ≤-，所以a 的取值范围是(),1132,⎡-∞-++∞⎣. （5分）。

甘肃省2024届高三2024年1月份高考诊断考试语文试题一、现代文阅读(35 分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5 小题,19 分)阅读下面的文字，完成1-5 题。

材料一：①先秦两汉时期，崇侠尚任，养士与游侠活动盛行。

除正史文献外，民间歌谣时谚与史相依，广泛真实地反映了当时游侠活动的生动内容，并从社会生活史的视角，保存、补充或拓展了正史的相关记载，为古代咏侠诗的创作发展提供了现实素材、文学形象和审美指向，成为我国古代咏侠诗的直接源头，哺育启迪了古代文人咏侠诗的创作，有着重要的史料价值和文学史意义。

②在游侠现实存在重要的历史时期，尚武任侠作为当时普遍性的社会风气，虽未引起文人的审美观照，但作为大众追慕的对象，反映游侠生活的民间歌谣时谚开始繁荣。

作为古代咏侠诗滥觞和咏侠主题雏形的咏侠谣谚，简单直白，且多与史传、辞赋等相混，反映着作为实录阶段游侠的自由流动、血性张扬和侠义观念，以及超越世俗的荣名和气节，展现着快义之士冀知报恩、重诺轻生、借躯报仇的任侠精神，言信行果、急难救困的侠客之义，温良泛爱、轻财好施的人格风范。

值得注意的是，此时女性中亦多侠义有气节者，并被诉诸歌咏。

且从其行为可看出当时人们对快义精神的认可和自觉践行，如《伍子胥歌》等。

③先秦两汉咏侠谣谚是中国古代咏侠诗从民间歌谣到成熟的文人诗创作发展中不可或缺的一环，其源发和承继关系十分清晰。

比如，咏侠歌谣《长安为尹赏歌》等对乐府咏侠诗《结客少年场行》《游侠篇》的形成产生了重要影响。

④先秦两汉咏侠谣谚通过描写当时炽烈的任侠风气、歌咏任侠之士，为诗歌创作提供了一种成品或半成品的文学素材。

古代文人借任侠张扬自我，抒发豪气干云的气概，并不断对其进行“义化”改造和理想化、英雄化的艺术创造，最终使咏侠题材成为绵绵不绝的咏侠诗潮，并使咏侠谣谚所歌咏的侠义行为及其人格精神，沉淀为咏侠诗创作中稳定不变的主题内涵，为中国古代诗歌中咏侠主题的形成起了重要的奠基作用。

⑤在人物形象的塑造上，先秦两汉咏侠谣谚中所歌咏的荆轲等古游侠，为后世文人咏侠诗的创作提供了侠义形象和素材。

第Ⅰ 卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|3100M x R x x =∈--<，{|||2}N x Z x =∈<，则M N 为 （ ）A ．)2,2(-B ．)2,1(C ．{-1，0，1}D ．}2,1,0,1,2{--2．若复数3()1x iz x R i+=∈-是实数，则x 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．0D ．33．角α的终边经过点A ()a ，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（ ） A ．12- B ．12C． D4．已知变量x ，y 满足125,31x y x y z x y x -≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩则的最大值为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为 （ ） A ．B ．20C ．D ．28 6．给出如下四个命题：①若“p ∨q ”为真命题，则p 、q 均为真命题； ②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b -≤”；③“2,1x x x ∀∈+R ≥”的否定是“2000,1x x x ∃∈+R ≤”；④“0x >”是“12x x+≥”的充要条件.其中不正确的命题是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③D ．③④7．双曲线12222=-by a x 的离心率为3,则它的渐近线方程是（ ）A ．x y 2±=B ．x y 22±=C ．x y 2±=D ．x y 21±=8. 函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭其中的图象如图所示，为了得到()sin 3g x x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向左平移12π个单位9．数列{}n a 的前n 项和21n s n n =++；(1)n n n b a =-（n ∈N*）；则数列{}n b 的前50项和为 （ ）A ．49B ．50C ．99D ．10010．在区间[],ππ-内随机取两个数分别为,a b ，则使得函数()2222f x x ax b π=+-+有零点的概率为( )A ．18π-B ．14π-C ．12π-D ．314π-11. 设函数()f x 的定义域为R ，(),0111,103xx x f x x R x ≤≤⎧⎪=∈⎨⎛⎫--<<⎪⎪⎝⎭⎩，且对任意的都有()()11f x f x +=-，若在区间[]()()1,5g x f x mx m -=--上函数，恰有6个不同零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．11,46⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,34⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数记为()f x '，若对于任意实数x ，有()()f x f x '>，且()1y f x =-为奇函数，则不等式()x f x e <的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．4(,)e -∞D ．4(,)e +∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段没有超速的有 辆．14. 执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的___15. 若,αβ为两个不同的平面，m 、n 为不同直线，下列推理:①若,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥则直线； ②若直线//m n m α⊥平面，直线直线， n α⊥则直线平面；③若直线m//n ，,m n αβ⊥⊂， αβ⊥则平面平面； ④若平面//m αββ⊥平面，直线平面，,n m α⊂⊥则直线直线n ；其中正确说法的序号是________.16. 设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()3,,16OP OA OB R λμλμλμ=+∈=，则该双曲线的离心率为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设函数22()cos()2cos ,32x f x x x π=++∈R .（1）求()f x 的值域；（2）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c，若()1,1,f B b c ===，求a的值. 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点． （I ）求证：//EF 平面PAD ； （II ）求证：EF CD ⊥；（III ）设PD=AD=a , 求三棱锥B-EFC 的体积.19.（本小题满分12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：（Ⅰ）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这条道路中抽取条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过的概率. 20．（本小题满分12分）已知函数()f x =x x ax ln 232+-，a 为常数. （I ）当a =1时，求()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在区间[1，2]上为单调函数，求a 的取值范围.21. (本小题满分12分) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:L y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且22OA OBb k k a⋅=-，判断△AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答。

数学试题(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合22{|20,},{|20,}M x x x x R N x x x x R =+=∈=-=∈，则 M N =( )A . {0}B . {0,2}C . {2,0}-D . {2,0,2}- 2. 若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为 （ ） A ．45-B ．45C ．4-D ．4 3. 若3sin 5α=，α是第二象限的角，则tan 2α的值为 （ ） A .247 B . 247- C . 724 D . 724- 4. 已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ==-=,若2a b -与c 共线，则k 的值为 ( ) A . 1B .1-C . 2D . 2-5. 若函数()f x 为R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1,(2)2f f ==，则(3)(4)f f -= （ ）A .2-B . 2C . 1-D . 16.“0a ≤”是“函数()(1)f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则()y f x = （ ）A ．在区间1(,1)e ， (1,)e 内均有零点B ．在区间1(,1)e ， (1,)e 内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点D ．在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点8. 设123log 2,ln 2,5a b c -===则( )A .a b c <<B . b c a <<C . c a b <<D . c b a << 9. 函数c o s (2)(y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ的值为 ( )A .56π B . 56π- C . 6π D . 6π- 10. 设,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅=，则()()a c b c -⋅-的最小值为 ( )A 1B . 1C .D .11. 已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是 （ ） A . ()y f x =的图象关于点 (,0)π中心对称 B . ()y f x =的图象关于直线2x π=对称C . ()f xD . ()f x 既是奇函数，又是周期函数12. 已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是 （ ） A . (,0)-∞ B . (0,)+∞ C . (0,1) D . 1(0,)2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(2,1),10,52a a b a b =⋅=+=，则b =_ _. 14. 若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减， 则ω= .15. 若存在正数x ，使2()1xx a -<成立，则a 的取值范围是 . 16. 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点.若点,P A 之间的最短距离为，则实数a 值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)设函数1()log (1)1axf x a x+=>-. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性；（Ⅱ）当[0,1)x ∈时，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围．18.（本小题满分12分）设向量(3sin ,sin ),(cos ,sin ),[0,]2a x xb x x x π==∈.（Ⅰ）若,a b =求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的值域.19.（本小题满分12分）已知函数2()()4xf x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为44y x =+.（Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）求()f x 的极大值.20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知c o s 2c o s 2c o s A C c aB b--=. （Ⅰ）求sin sin CA的值；（Ⅱ）若1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积S .21．（本小题满分12分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m .在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，1312cos =A ，53cos =C . （Ⅰ）求索道AB 的长；（Ⅱ）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （Ⅲ）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？22．（本小题满分12分）已知函数()ln ,(0,]f x ax x x e =-∈，ln (),xg x x=其中e 是自然常数, .a R ∈（Ⅰ）讨论1a =时，()f x 的单调性； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）条件下1()()2f xg x >+； （Ⅲ）是否存在实数,a 使()f x 的最小值是3,若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.兰州一中2013-2014-1学期期中考试 高三数学试题参考答案（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

2014年高三双基考试数学答案解析注意事项：本试卷满分150分，考试用时120分。

答题全部在“答题纸”上完成，试卷上答题无效。

试题前标有（理）的试题理科考生作答，标注有（文）的试题文科作答，没有标注的试题文理科考生、均作答。

第I 卷 (选择题，共60分)选择题（本大题共12小题.每小题5分，共60分.每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（文）设集合 {2}M x x =>- ，{41}N x x =-≤≤，则M N =∩ （ D ）.[4,)A -+∞ .(2,)B -+∞ .[4,1]C - .(2,1]D - （理）已知全集{1,2,3,4}U = ，集合{1,2},{2,3},M N ==则U ()M N =∪饀 （ D ） {}.1,3,4A {}.3,4B {}.3C {}.4D 2.（文）复数11z i =- 的模为 （ B ） 1.2A 2.2B .2C .2D解析：11121122z i i ====-- （理）若复数z 满足(34)43i z i +=+，则z 的虚部为 （ D ） .4A - 4.5B - .4C 4.5D 解析：435(34)34342555i i z i i ++===+- ，所以虚部为453.（文）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行诘查，其中从丙车间的产品中国取了3件，则n= （ D ）. 9A . 10B . 12C . 13D 解析： 6031208060n ⨯=++∵， 13n =∴ （理）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ C ）33. 3A A 333. 3(A )B 343. (A )C 99. A D 解析：每家人看成一个整体的全排列共有33A 种，每家的三人的不同排法分别有33A ，所以共有343(A )种不同排法.否是开始 输入f 0(x)i=0 i=i+1 1()()i i f x f x -'= i=2013 ()i f x 输出结束4.已双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b +=>> 的离心率为 52，则C 的渐近线方程为（ C ）1. 4A y =x ± 1. 3B y =x ± 1. 2C y =x ± .D y =x ± 解析：22225511, , , 2442c c b y x a a a ====±∵∴∴∴渐近线为 5.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为 1V ，直径为4的球的体积为2V ，则 12:V V = 有 （ B ） A ．1：4 B. 1：2C ．1：1 D. 2：1解析： 1216833V ππ=⨯= ，2432833V ππ=⨯=所以12:1:2V V =6.（文）已知点 (,)P x y 满足1x y +≤ ，则2z x y =-+ 的取值范围是： （ D ）.[1,1]A - .[1.2]B - .[2,1]C - .[2,2]D - 解析：如图当直线2z x y =-+过（-1，0）时值最大，过（1，0）时值最小，所以 22z -≤≤ 故选D.（理）在如右程序框图中，若0()x f x xe = ，则输出的是（ C ） A ．2014x x e xe + B ．2012x x e xe + C ．2013x x e xe + D ．2013x e x + 解析：进入循环体后1i = 时，10()()x x f x f x e xe '==+2i =时，21()()2xxf x f x e xe '==+ 3i =时，31()()3x x f x f x e xe '==+…………………………………….当2013i =时，20132012()()2013x x f x f x e xe '==+ 此时输出20132012()()2013x x f x f x e xe '==+,故选C 7.（文）在如右程序框图中，若0()x f x xe = ，则输出的是（ C ）42侧视图主视图俯视图否是开始 输入f 0(x)i=0 i=i+1 1()()i i f x f x -'= i=2013 ()i f x 输出结束A ．2014x x e xe +B ．2012x x e xe +C ．2013x x e xe +D ．2013x e x + 解析：进入循环体后1i = 时，10()()x x f x f x e xe '==+2i =时，21()()2xxf x f x e xe '==+ 3i =时，31()()3x x f x f x e xe '==+…………………………………….当2013i =时，20132012()()2013x x f x f x e xe '==+ 此时输出20132012()()2013x x f x f x e xe '==+,故选C （理）已知 0,,a x y <，满足约束条件0(3)3x y a x x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≤≤ ,若 2z y x =-的最大值为3，则a=（A ）.1A - .2B - .3C - .4D - 解析：如图，当直线2z y x =-经过 (0,3)a - 点时， z 取最大值，所以33a -= ，所以 1a =-8.（文）设m 、n 表示不同直线，α、β 表示不同平面，则下列结论中正确的是 （ B ） A ．若αβ⊥ ，m α⊥，n β∥，则m n ⊥ B ．若αβ⊥ ，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ C ．若m α∥ ，m n ∥，，则n α∥ D ．若m α⊂ ，n β⊂，m β∥n α∥，则αβ∥ （理）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{}(2)0x f x ->=（ B ） A. {}24x x x <->或 B. {}04x x x <>或 C. {}06x x x <>或 D. {}22x x x <->或 解析：因为函数是偶函数，所以函数的零点为了-2和2，所以(2)0f x ->时，2222x x ->-<-或, 故40xx ><或，故选B9.（文）已知命题：1p ：函数 1()(1)1f x x x x =+>- 的最小值是3; {}21:1 1p x x x><不等式的解集是3:,,sin()sin sin p αβαβαβ∃+=+使得成立4t a n t a n:,,t a n ()1t a n t a np αβαβαβαβ+∀+=-使得成立其中的真命题是：（ A ）13:,A p p 14:,B p p 24:,C p p 23:,D p p 解析：1111,(1)13,11x x x p x x >+=-++--因为所以≥为真 {}221: 1 01,p x x p x><<不等式的解集是为假 因为3:0,0,sin(00)sin0sin0p αβ∃==+=+使得成立，所以3p 真4tan tan :,tan()41tan tan p παβαβαβαβ+∃==+=-因为时不成立，所以4p 假(理)已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>> 的离心率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为：（ B ）22.1126x y A += 22.1205x y B += 22.1164x y C += 22.182x y D += 解析：设第一象限的交点为(,),0m m m >，则2416,2m m ==∴,2231, , 2,5,2022c b e a b b a a a ======∵∴∴∴，所以椭圆方程为：221205x y += 10.（文）在区间[3,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足x m ≤的概率为57，则m =（ C ）5.4A 5.6B 5.2C .5D解析：2()7m p x m =∵≤，57p =又∵，2577m =∴，52m =∴ （文）在区间[4,4]-上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为 （ D ）1.2A2.3B3.4C 3.8D解析：解不等式121x x +--≥得1x ≥，413(121)88p x x -+-==∴-≥11.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，底面是边长为3的正三角形，六个顶点均在体积为776π的球面上．若P 为底面111A B C 所在平面截该球所得圆的圆的心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ A ）.3A π .4B π .6C π.12D π解析：如图233132AQ =⨯⨯=，347736R ππ=∵ 362377, 44R ==∴R ∴，又2221PQ OQ R ==-2tan 213PQPAQ R AQ∠==-=∴，3PAQ π∠=∴12.若函数()3sin2cos2f x x x m =+-在[0,]2π上有两个零点12,x x ，则12tan 2x x +的值为（ A ）3.3A 2.2B .1C .3D 解析：因为()3sin 2cos22sin(2)6f x x x m x m π=+-=+-，又因为在[0,]2π上有两个零点12,x x所以12()2x x f x +在取最大什值，所以1226x x x π+==，所以123tan tan 263x x π+== 第II 卷 (选择题，共90分)二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）13.已知a 与b 的夹角为23π，且2a =，5b =，则(2)_____________a b a -⋅=解析：22(2)2810cos 133a b a a a b π-⋅=-=-= 14（文）O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若42PF =，则点P 的横坐标为______________.解析：设(,)P m n ，则242m +=，所以32m =，故P 点的横坐标为32 （理）在ABC △中，4ABC π∠=，2AB =，BC =3，则___________BAC ∠=sin解析：因为在ABC △中，4ABC π∠=，2AB =，BC =3，所以QPOC 1B 1A 1CB A222cos 5AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠==, s i n s i nB CA CA B =∵ 3310sin 1010BAC ∠== ∴ 15.（文）在锐角ABC △中，角,A B 所对的边长分别为a ，b ，.若2sin 3a B b =,则____A ∠= 解析：因为2sin 3a B b =，所以2sin sin 3sin A B B =，因为sin 0B ≠，所以3sin 2A = 又因为三角形为锐角三角形，所以3A π=（理）4cos50tan40____________-=4s i n 40c o s 40s i n 402s i n 80s i n 404c o s 50t a n 40c o s 40c o s 4033cos10sin102cos10sin(1030)22cos40cos40313(cos10sin10)3cos40223cos40cos40---==--+==-===解析： 16.已知函数()log (01)a f x x x b a a =+->≠且,且234a b <<<<.若函数()f x 的零点0(,1)x n n ∈+，*n N ∈，则______________n =解析：因为(1)10f b =-<，(2)log 22a f b =+-，又因234a b <<<<，所以0log 21a << 所以(2)log 220a f b =+-<，又log 31a >，所以(3)log 330a f b =+->，又因为()f x 是增函数，所以零点0(2,3)x ∈，故2n =三、解答题（本大题共6小题，计70分.）17.(本小题满分12分)（文）等差数{}n a 中，74a =，1992a a =. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S 解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a =⎧⎨=⎩,所以11164182(8)a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩. 解得,111,2a d ==.所以{}n a 的通项公式为12n n a +=. ……………6分 (Ⅱ)1222(1)1n n b na n n n n ===-++, 所以2222222()()()122311n n S n n n =-+-++-=++ ……………12分 （理）等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =. (Ⅰ) 求{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 若32log (1)nn a b n n =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S 解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q ，依题意可得∴ 11223423=19a a q a a +⎧⎨=⎩ 219q = ∵数列{}n a 的各项均为正数 ∴13q = 113a = ∴111111()333n n n n a a q --==⨯= (6)分(Ⅱ) ∵3322log 11111log (1)(1)3(1)1n n n a b n n n n n n n n =-=-⨯==-++++ ∴11111112231n S n n =-+-++-+ 1111nn n =-=++ ……………12分18.（本小题满分12分）（文）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]得到如图的频率分布直方图. (Ⅰ)求图实数a 的值；(Ⅱ)若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高年级在这次考试中成绩不低于 60分的人数； (III)若从样本中数学在绩在[40,50)与[90,100] 两个分数段内的不生中随机选取两名学生， 试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的 绝对值不大于10的频率.解: （Ⅰ）由(0.0050.010.020.0250.01)10101a ++++⨯+=，可得 ……………2分003.a =0.0050.010 0.0200.025 a O40 50 60 70 80 90 100分数频率/组距（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为:0.20.250.30.10.85+++=数学成绩不低于60分的人数为5000.85425⨯=人 ……………6分 （Ⅲ）数学成绩在[40,50)的学生人数:400.052⨯=人数学成绩在[90,100]的学生人数: 400.14⨯=人设数学成绩在[40,50)的学生为1A ，, 数学成绩在[90,100]的学生为3A ，4A ，5A ，6A 选取的两名学生的结果为：1213141516{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ,23242526343536454656{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 共15种.其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有：12343536454656{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A 共7种,因此,抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为715.……………12分 （理）某电视台为了烘托2014元旦联欢晚会气氛，决定举行抽奖活动.该电视台设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品. （Ⅰ）若嘉宾M 选择方案甲抽奖，嘉宾N 选择方案乙抽奖，记她们累计得分为X ，求3X ≤的概率；（Ⅱ）若嘉宾M 和嘉宾N 两人都选择同一方案抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解： (Ⅰ)由已知得: 嘉宾M 中奖的概率为23,嘉宾N 中奖的概率为25,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3X ≤”的事件为A解法一：则A 事件的对立事件为“5X =” ∵224(5)3515P X ==⨯=∴11()1(5)15P A P X =-== ∴这两人的累计得分3X ≤的概率为1115.………6分解法二：则事件A 包括：嘉宾M 中奖而嘉宾N 不中奖、嘉宾M 不中奖而嘉宾N 中奖、两人都不中奖三种情况∴22222211()(1)(1)(1)(1)35353515P A =⨯-+-⨯+-⨯-=(Ⅱ)设嘉宾M 和嘉宾N 两人都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X ，由已知:12(2,)3X B ，22(2,)5X B∴124()233E X =⨯=，224()255E X =⨯= ∴118(2)2()3E X E X ==，2212(3)3()5E X E X ==∴ 12(2)(3)E X E X >所以他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大. ……………12分19.（本小题12分）（文）在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，1AD A BC ⊥平面，其垂足D 在1A B 上. （Ⅰ）求证：1BC A B ⊥(Ⅱ) 若3AD =，2AB BC ==，P 为AC 的中点，求三棱锥1P A BC -的体积. 解:（Ｉ）证明：三棱柱111ABC A B C -中侧棱与地面垂直∴平面， 又平面，∴平面，且平面，∴又 平面,平面,， ∴平面， 又平面，∴ ……………6分 （Ⅱ）在中，，2AB =, ∴ ∴ 在中，由（Ｉ）知平面，平面，从而， ∴1122222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯⨯= ∴为的中点，112BCP ABC S S ∆∆== ∴1111123123333P A BC A BCP BCP V V S A A --∆==⋅=⨯⨯= ……………12分（理）在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，1AD A BC ⊥平面，其垂足D 在1A B 上.（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥(Ⅱ) 若3AD =，2AB BC ==，P 为AC 的中点，求二面角1A PB A --的正切值.⊥A A 1ABC ⊂BC ABC BC A A ⊥1AD ⊥1A BC ⊂BC 1A BC BC AD ⊥⊂1AA AB A 1⊂AD AB A 1A AD A A =⋂1BC ⊥1A AB ⊂B A 1BC A 1B A BC 1⊥Rt ABD ∠∆3AD =3sin 2AD ABD AB ∠==060ABD ∠=1Rt ABA ∠∆tan AA AB =⋅=016023BC ⊥1A AB ⊂AB AB A 1AB BC ⊥P AC A 1B 1C 1ABCDPA 1B 1C 1AB CD P解:（Ｉ）证明：∵三棱柱111ABC A B C -中侧棱与地面垂直∴平面， 又平面，∴ ∵平面，且平面，∴ 又 平面,平面，， ∴平面， 又平面，∴ ……………6分（Ⅱ）在中，，2AB =∴ ∴ 在中，∵ 2AB BC ==，P 为AC 的中点 ∴ BP AC ⊥ 由（Ｉ）知，平面 ∴1AA BP ⊥ 而1A A AC A =∴BP ⊥平面1A AC ∴1BP A P ⊥，BP AP ⊥∴1A PA ∠是二面角1A PB A --的平面角，又平面1A AB ，2AB BC ==∴2AP = ∴1123tan 62AA A PA AP ∠=== ……………12分 20.（本小题12分）已知动点(,)M x y 到直线:8l x =-的距离是它到点(2,0)N -的距离的2倍. （Ｉ）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程;（Ⅱ）是否存在直线m 过点(0,6)P -与动点M 的轨迹交于A 、B 两点,且A 是PB 的中点?若不存在,请说明理由;若存在求出直线的斜率. 解: (Ⅰ)依题意有22|8|2(2)x x y +=++ 化简得：2211612x y +=∴动点M 的轨迹C 的方程2211612x y += ……………5分 ⊥A A 1ABC ⊂BC ABC BC A A ⊥1AD ⊥1A BC ⊂BC 1A BC BC AD ⊥⊂1AA AB A 1⊂AD AB A 1A AD A A =⋂1BC ⊥1A AB ⊂B A 1BC A 1B A BC 1⊥Rt ABD ∠∆3AD =3sin 2AD ABD AB ∠==060ABD ∠=1Rt ABA ∠∆tan AA AB =⋅=016023⊥A A 1ABC BC ⊥(Ⅱ)∵C 上下顶点坐标分别为(0,23)和(0,23)-且有236232-≠- ∴直线m 不经过C 的上、下顶点，即不与x 轴垂直 ……………6分假设存在斜率为k 的直线m 满足条件，其方程为6y kx =-，设11(,)A x y 、22(,)B x y ， 则： 2102x x +=，2162y y -= 由22116126x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：22(34)48960k x kx +-+= ……………8分 ∴1224834k x x k +=+，1229634x x k ⋅=+ ∴1248334k x k =+，21296234x k =+ ∴2221648()3434k k k =++ 解得：32k =± 由于222(48)496(34)230k k k ∆=--⨯+=->时，有62k <-或62k > ∴存在直线m 满足条件，其斜率为32± ……………12分 21. （本小题12分）已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.(Ⅰ)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处有切线,求,a b 的值. (Ⅱ)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-的最大值 解: (Ⅰ) ∵曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线∴2311a b a c b c =+⎧⎪+=⎨⎪+=⎩∴3a b == ……………6分(Ⅱ)设()()()h x f x g x =+24a b = ∴3221()14h x x ax a x =+++ ∴221()324h x x ax a '=++ 令()0h x '=解得：12a x =-，26a x =-0a > ∴26a a -<- ∴ 函数()h x 在(,)2a -∞-单调递增,在(,)26a a --单调递减,在上(,)6a -+∞单调递增 ……………8分①若12a -<-,即2a <时,最大值为21(1)4h a a -=-； ②若126a a -≤-<-,即26a <<时,最大值为()12a h -=；因为()(1)2a h h ->- ③若16a -≥-时,即6a ≥时,最大值为()12a h -=. 综上所述:当(0,2)a ∈时,最大值为21(1)4h a a -=-； 当[2,)a ∈+∞时,最大值为()12a h -=.……………12分 请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号.22. （本小题12分）选修4-1:几何证明选讲如图，AB 是O ⊙的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是O ⊙的割线， 已知AC AB =.(Ⅰ)求证: FG AC ∥（Ⅱ）若1CG =,4CD =,求DE GF 的值. 解：(Ⅰ)因为AB 为切线，AE 为割线，所以2AB AD AE =⋅，又因为，所以2AC AD AE =⋅． 所以AD AC AC AE =，又因为， 所以∽，所以，又因为，所以，所以． ……………5分 (Ⅱ)由题意可得：四点共圆，∴CGF CDE ∠=∠，CFG CED ∠=∠∴CGF ∆∽CDE ∆ ∴DE CD GF CG = ∵1CG =，4CD =∴4DE GF=……………10分 23. （本小题12分）选修4-4：极坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以直角坐标系xoy 中原点为极点,以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中.圆C 的方程为25sin ρθ=(Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程;AC AB =EAC DAC ∠=∠ADC △ACE △ADC ACE ∠=∠ADC EGF ∠=∠EGF ACE ∠=∠AC FG //F D E G ,,, A BC D E F G ·O(Ⅱ)已知点(3,5)P ,圆C 与直线l 交于,A B 两点,求PA PB +. 解：(Ⅰ)由25sin ρθ=，得22250x y y +-= 即22(5)5x y +-= ……………5分(Ⅱ)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得2222(3)()522t t -+= 即23240t t -+= 由于2(32)4420∆=-⨯=>，故可设1t ，2t 是上述方程的两实根，则有 1232t t +=， 124t t ⋅= 又直线l 过点(3,5)P∴ 12||||||||32PA PB t t +=+= ……………10分24. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉. (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求函数()2f x x a x =++-的最小值. 解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = ……………5分 (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为3……………10分。

2014年甘肃省高考数学一模试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合{5}{20}A x Z x B x xA B =∈=≥⋂＜，﹣，则等于（ ） A ．25（，） B ．[25，） C ．{}234，， D ．{}345，，解析 解：A={x ∈Z||x|＜5}={x ∈Z|﹣5＜x ＜5}={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x ﹣2≥0}，∴A ∩B={2，3，4}，故选：C ．2．（5分）复数11i i -+（i 是虚数单位）化简的结果是（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -解析． ∴． 3．（5分）（2014•甘肃一模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．3π3πB ．203πC ．73πD ．π 解析 几何体是一个组合体，下部底面半径为1，高为2的圆柱；上部是圆锥，其底面半径为1，母线为． 该几何体的体积：故选C ．4．（5分）设0.5353log cos3a b c ===，，，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<解析 ∵30.5＞1，0＜log 53＜1，cos3＜0，∴a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0，即c ＜b ＜a ．故选A ．5．（5分）阅读如图程序框图，输出的结果i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9解析 由程序框图可看出：S=1×23×25×…×22n+1=23+5+…+（2n+1）==， 由判断框的条件可知：当满足≥100时，应跳出循环结构，此时n 2+2n ＞6，解得n=3，∴i=2n+1=7．故应输出i 的值是7．故选：C ．6．（5分）已知数列{a n }为等差数列，且123456213a a a a a a =+=++，，则等于（ ）A ．40B ．42C ．43D ．45解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=2，a 2+a 3=13，∴，解得．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=2+（n ﹣1）×3=3n ﹣1．∴a 4+a 5+a 6=3a 5=3×（3×5﹣1）=42．故选B ．7．（5分）已知两条直线m n ，和平面α，且m 在α内，n 在α外，则“n α”是“m n ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若n ∥α，则m ∥n 或m 与n 是异面直线，若m ∥n ，则根据线面平行的判定定理可知n ∥α成立，故“n ∥α”是“m ∥n ”成立的必要不充分条件．故选：B ．8．（5分）已知α是第二象限角，且3sin(),tan 25παα+=-则的值为（ ）A ．45 B ．237- C ．247- D ．83-解析 由sin （π+α）=﹣sin α=﹣，得到sin α=，又α是第二象限角，所以cos α=﹣=﹣，tan α=﹣，则tan2α===﹣．故选C9．（5分）已知点P x y （，）满足线性约束条件21x x y ≤⎧⎪⎨⎪-⎩y ＋x ≥≤1，点31M O （，），为坐标原点，则OM OP ∙的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1- 解析 设z=•，则z=3x+y ，即y=﹣3x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣3x+z ，由图象可知当直线y=﹣3x+z 经过点A 时，直线y=﹣3x+z 的截距最大，此时z 最大， 由，解得，即A （3，2），此时z=3x+y=3×3+2=11， 故•的最大值为11，故选：B ．10．（5分）已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y +=﹣，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．5222+B ．5212+C ．5222- D ．5212- 解析 如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线x ﹣y+4=0的垂线，此时d 1+d 2=|PF|+d 2﹣1最小，∵F （1，0），则|PF|+d 2==，则d 1+d 2的最小值为． 故选D ．11．（5分）四棱锥PABCD ﹣的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，2PA ABCD PA ⊥=，，则该球的表面积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析 把四棱锥补成正四棱柱，则四棱锥的外接球是正四棱柱的外接球，∵正四棱柱的对角线长等于球的直径，∴2R==2，∴R=1，外接球的表面积S=4π．故选：D ．12．（5分）定义在R 上的偶函数f x （）满足120f x f x f x +=≠（）（）﹣（（），且在区间20132014（，）上单调递增，已知αβ，是锐角三角形的两个内角，则sin cos f f αβ（）、（）的大小关系是（ ）A ．sin cos f f αβ（）<（）B ．sin cos f f αβ（）＞（）C ．sin cos f f αβ=（）（）D ．以上情况均有可能解析 ∵定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+1）=（f （x ）≠0），∴f （x+1）•f （x ）=2，f （x+2）•f （x+1）=2，即f （x+2）=f （x ），∴函数f（x）是最小正周期为2的函数，∵函数f（x）在区间（2013，2014）上单调递增，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上也是单调递增，∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）在区间（0，1）上是单调递减，∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，即，由正弦函数的单调性得，再由三角函数的诱导公式得sinα＞cosβ，∵sinα，cosβ∈（0，1），∴由f（x）在（0，1）上递减得f（sinα）＜f（cosβ），故选：A．第Ⅱ卷二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）在边长为3的正方形ABCD内任取一点P，则P到正方形四边的距离均不小于1的概率为．解析满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点P到正方形四边的距离均不小于1的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积S正方形=9阴影部分的面积S阴影=1故P到正方形四边的距离均不小于1的概率P==．故答案为：．14．（5分）已知函数1,0(),0x x x f x e x +<⎧=⎨≥⎩，则03f f （（）﹣）= ． 解析 ∵函数，∴f （0）=e 0=1，f （0）﹣3=1﹣3=﹣2＜0，∴f （﹣2）=﹣2+1=﹣1，所以 f （f （0）﹣3）=f （﹣2）=﹣1，故答案为﹣1；15．（5分）已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >> 的一条渐近线经过点12（，），则该双曲线的离心率的值为 ．解析 双曲线的渐近线方程为y=x ，故y=x 经过点（1，2），可得b=2a ，故双曲线的离心率e==== 故答案为：16．（5分）已知数列{}n a 满足111002n n a a a n +==，﹣，则n a n 的最小值 ． 解析 a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=4，…a n+1﹣a n =2n ，这n 个式子相加，就有a n+1=100+n （n+1），即a n =n （n ﹣1）+100=n 2﹣n+100， ∴=n+﹣1≥2﹣1=19，当且仅当n=，即n=10时，取最小值19． 故答案为：19．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17．（12分）在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，．4cos 2cos 5C c b A ==，． （Ⅰ）求证：A B =；（Ⅱ）若ABC 的面积152S =，求c 的值． 解析 （Ⅰ）∵c=2bcosA ，∴根据正弦定理得：sinC=2sinB •cosA ，又sinC=sin[π﹣（A+B ）]=sin （A+B ），∴sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB=2sinB •cosA ，整理得：sinAcosB ﹣cosAsinB=sin （A ﹣B ）=0，在△ABC 中，∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，∴﹣π＜A ﹣B ＜π，则A=B ；（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）A=B ，可得a=b ， ∵，且C 为三角形的内角，∴sinC==， 又△ABC 的面积S=， ∴S=absinC=ab=， 即ab=a 2=25， ∴a=b=5，又cosC=，由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=10， 则．（13分）18．（12分）如图，在四棱锥PABCD ﹣中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，2PD DC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明：PA EDB 平面；（Ⅱ）求三梭锥A BDP 一的体积．解析 （I ）证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，∵ABCD 是正方形，∴O 为AC 的中点，又E 是PC 的中点，∴OE ∥PA ，PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，∴PA ∥平面BDE ；（II ）∵侧棱PD ⊥底面ABCD ，∴PD 为三棱锥P ﹣ABD 的高，PD=DC=2，∴V A ﹣BDP =V P ﹣ABD =×S △ABD ×PD=××2×2×2=．19．（12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：频数（天）频率组别PM2.5浓度（微克/立方米）第一组（0，25] 5 0.25第二组（25，50] 10 0.5第三组（50，75] 3 0.15第四组（75，100） 2 0.1（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．解析（Ⅰ）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种．…（4分）其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种．…（6分）所以所求的概率．…（8分）（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）．…（10分）因为40＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． …（12分）20．（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0,0)a b >> 的离心率为22，其中左焦点20F （﹣，）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y x m =+与椭圆C 交于两个不同的两点A B ，，且线段的中点M 总在圆221x y +=的内部，求实数m 的取值范围．解析 （Ⅰ）∵椭圆的离心率为，其中左焦点F （﹣2，0）． ∴，∴a=2，b=2，∴椭圆C 的方程为； （Ⅱ）设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0），由直线代入椭圆方程消y 得，3x 2+4mx+2m 2﹣8=0，△=96﹣8m 2＞0，∴﹣2＜m ＜2． ∴x 0==﹣，y 0=x 0+m=．∵点M （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=1上的内部， ∴（﹣）2+（）2＜1， ∴﹣＜m ＜．21．（12分）已知函数ln 0f x a x a a R =+≠∈（）（，）．（Ⅰ）若1a =，求函数1f x x =（）在处的切线方程；（Ⅱ）若在区间0]e （，上至少存在一点0x ，使得00f x （）<成立，求实数a 的取值范围．解析 （Ⅰ）∵f （x ）=+alnx （a ≠0，a ∈R ）．∴x ＞0，且f ′（x ）=若a=1，则f ′（x ）==，f ′（1）=0，f （1）=1+ln1=1，故函数f （x ）在x=1处的切线方程是y=1；（Ⅱ）∵f （x ）=，（a ≠0，a ∈R ）．令f ′（x ）=0，得到x=，若在区间[1，e]上存在一点x 0，使得f （x 0）＜0成立，其充要条件是f （x ）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（1）当x=＜0，即a ＜0时，f ′（x ）＜0对x ∈（0，+∞）成立，∴f （x ）在区间[1，e]上单调递减，故f （x ）在区间[1，e]上的最小值为f （e ）==， 由，得a ． （2）当x=＞0，即a ＞0时，①若e ≤，则f ′（x ）≤0对x ∈[1，e]成立，∴f （x ）在区间[1，e]上单调递减，∴f （x ）在区间[1，e]上的最小值为f （e ）==＞0，显然，f （x ）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立．②若1＜＜e ，即a ＞时，则有 x（1，） （，e ） f ′（x ） ﹣ 0 +f （x ） ↘ 极小值 ↗∴f （x ）在区间[1，e]上的最小值为f （）=a+aln ，由f （）=a+aln =a （1﹣lna ）＜0，得1﹣lna ＜0，解得a ＞e ，即a ∈（e ，+∞）．综上，由（1）（2）可知：a ∈（﹣∞，﹣）∪（e ，+∞）．请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ．（Ⅰ）求证：2•PM PA PC =；（Ⅱ）若O 的半径为23，3OA OM =，求MN 的长．解析 （Ⅰ）证明：连接ON ，因为PN 切⊙O 于N ，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON ，∴∠OBN=∠ONB因为OB ⊥AC 于O ，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN ，PM=PN∴PM 2=PN 2=PA •PC（Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4 ∵BM •MN=CM •MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）已知直线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：x m t y t =+⎧⎨=⎩，（t 是参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且|||14AB =，试求实数m 的值．解析 （Ⅰ）∵ρ=4cos θ，∴ρ2=4ρcos θ，化为直角坐标方程x 2+y 2=4x ．由直线l 的参数方程：，（t 是参数），消去t 可得x ﹣y ﹣m=0．（Ⅱ）由圆C 的方程（x ﹣2）2+y 2=4可得圆心C （2，0），半径r=2．∴圆心C 到直线l 的距离d==． ∵，|AB|= ∴，化为|m ﹣2|=1，解得m=1或3．选修4-5：不等式选讲24．（10分）已知函数()lg(12)f x x x a =+++﹣．（Ⅰ）当5a =﹣时，求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解析 （Ⅰ）当a=﹣5时，要使函数有意义，则|x+1|+|x ﹣2|﹣5＞0，即|x+1|+|x ﹣2|＞5， 在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x ﹣2|与y=5的图象如图：则由图象可知不等式的解为x ＜﹣2或x ＞3，即函数f （x ）的定义域为{x|x ＜﹣2或x ＞3}．（Ⅱ）∵函数f （x ）的定义域为R ，|x+1|+|x ﹣2|+a ＞0恒成立，即|x+1|+|x ﹣2|＞﹣a 恒成立，由图象可知|x+1|+|x ﹣2|≥3，即﹣a ＜3，解得a ＞﹣3．。