2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)(课标I)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M=｛x|-1＜x ＜3｝,N=｛x|-2＜x ＜1｝则M∩N= ( ) A.)1,2(- B.)1,1(- C.)3,1( D.)3,2(-2.若0tan >α,则 ( ) A.0sin >α B.0cos >α C.02sin >α D.02cos >α3.设i iz ++=11,则=||z A.21B.22C.23D.24.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2,则=a ( ) A.2 B.26 C.25D.15.设函数)(),(x g x f 的定义域都为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A.)()(x g x f 是偶函数 B.)(|)(|x g x f 是奇函数 C.|)(|)(x g x f 是奇函数 D.|)()(|x g x f 是奇函数6.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点,则=+FC EB A.AD B .AD 21C.BCD.BC 217.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y =,③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中,最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是 ( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱9.执行右面的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1,2,3,则输出的M = ( )A.203B.72 C.165 D.15810.已知抛物线C:x y =2的焦点为F,A(x 0,y 0)是C 上一点,x F A 045=,则x 0= ( )A.1B.2C.4D.811.设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7,则a = ( )A.-5B.3C.-5或3D.5或-312.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是 ( )A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为_ _. 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为 .15.设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是__ _____.16.如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒;从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =,则山高MN =_ ___m .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程2560x x -+=的根. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.18.(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)频数 6 26 38 22 8(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19.(本题满分12分)如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形,C B 1的中点为O ,且⊥AO 平面C C BB 11. (1)证明:;1AB C B ⊥(2)若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.20.(本小题满分12分)已知点)2,2(P ,圆C :0822=-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程;(2)当OM OP =时,求l 的方程及POM ∆的面积21.(本小题满分12分)设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠,曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0. (1)求b 的值;(2)若存在01,x ≥使得()01af x a <-,求a 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题号. 22.(本小题满分10分)选修4-1,几何证明选讲如图,四边形ABCD 是O 的内接四边形,AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ,且CB CE =. (1)证明:D E ∠=∠;(2)设AD 不是O 的直径,AD 的中点为M ,且MB MC =,证明:ABC ∆为等边三角形.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线194:22=+y x C ,直线⎩⎨⎧-=+=ty t x l 222:(t 为参数) (1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程; (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求PA 的最大值与最小值.24.(本小题满分10分)选修4-5;不等式选讲 若,0,0>>b a 且ab ba =+11 (1)求33b a +的最小值;(2)是否存在b a ,,使得632=+b a ？并说明理由.参考答案一、选择题1-5. BABDA 6-10. CCBDC 11-12. BA 二、填空题 13.2314. A 15.(,8]-∞ 16. 150 三、解答题 17. 解:(1)方程2560x x -+=的两个根为2,3,由题意得因为242,3a a ==设数列{}n a 的公差为d,则422a a d -=,故12d =,从而132a = 所以{}n a 的通项公式为112n a n =+ (2)设{}2n na 的前n 项和为n S ,由(1)知1222n n n a n ++=,则2313412...2222n n n n n S +++=++++ ① 341213412 (22222)n n n n n S ++++=++++ ② ①-②得3412131112...242222n n n n n S ++++=++++-123112(1)4422n n n -++=+--,所以,1422n n n S ++=- 18.解: (1)…………………………4分(2)质量指标值的样本平均数为806902610038110221208100100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==质量指标值的样本方差为所以,这种产品质量指标的平均数估计值为100,方差的估计值为104. ……10分 (3)依题意38228100++= 68％ < 80％所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定.12分19.(1)证明:连接1BC ,则O 为1B C 与1BC 的交点,因为侧面11BB C C 为菱形, 所以11B C BC ⊥,又AO ⊥平面11BB C C ,所以1B C AO ⊥,故1B C ABO ⊥平面 由于AB ABO ⊂平面,故1B C AB ⊥…………………………6分 (2)作OD BC ⊥,垂足为D,连接AD,做OH AD ⊥,垂足为H. 由于,BC AO BC OD ⊥⊥,故BC AOD ⊥平面,所以OH BC ⊥，又OH AD ⊥,所以OH ABC ⊥平面因为160CBB ∠=,所以1CBB ∆为等边三角形,又1BC =,可得34OD =由于1AC AB ⊥,所以11122AO B C == 由OH AD OD OA ⋅=⋅,且2274AD OD OA =+=,得2114OH = 又O 为1B C 的中点,所以点1B 到平面ABC 的距离为217,故三棱柱111ABC A B C -的高为217…12分20.(1)方法一:圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=,所以,圆心为(0,4)C ,半径为4,设(,)M x y ,则(,4),(2,2)CM x y MP x y =-=--, 由题设知0CM MP ⋅=,故(2)(4)(2)0x x y y -+--=,即22(1)(3)2x y -+-=由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=……………6分方法二:圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=,所以,圆心为(0,4)C ,半径为4,设(,)M x y ,设24,2AB CM y y k k x x --==-,则24,2AB CM y y k k x x --==- 所以2412AB CM y y k k x x--==--化简得,222680x y x y +--+=,即22(1)(3)2x y -+-=所以M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=.(2)方法一:由(1)可知M 的轨迹是以点(1,3)N 为圆心,2为半径的圆, 由于||||OP OM =,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON PM ⊥,因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为13-, 所以l 的方程为1833y x =-+,又||||22OM OP ==,O 到l 的距离为410410,||55PM =, 所以POM ∆的面积为165.方法二:依题意,||22OP =,因为||||22OM OP ==,所以,M 也在228x y +=上所以222282680x y x y x y ⎧+=⎪⎨+--+=⎪⎩,两式相减,得26160x y --+=,即1833y x =-+, 此方程也就是l 的方程,由(1)知,M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=,设此方程的圆心为N ,则(1,3)N ,所以|198|10d +-=又22||(12)(32)2NP =-+-=所以2410||2255MP =-=,O 到l 的距离810h =,所以,184101625510POM S ∆=⨯⨯= 综上所述,l 的方程为1833y x =-+,POM ∆的面积为16521.(1)()(1)af x a x b x'=+--,由题设知(1)(1)0f a a b '=+--=,解得1b =……………………………………………………………………………4分(2)()f x 的定义域为(0,)+∞,由(1)知,21()ln 2a f x a x x x -=+-,1()(1)1()(1)1a a af x a x x x x x a -'=+--=---(ⅰ)若12a ≤,则11aa≤-,故当(1,)x ∈+∞时,()0,()f x f x '>在(1,)+∞单调递增,所以,存在01x ≥,使得0()1a f x a <-的充要条件为(1)1a f a <-,即1121a aa --<-, 解得2121a --<<-(ⅱ)若112a <<,则11a a >-,故当(1,)1a x a ∈-时,()0f x '<;当(,)1a x a ∈+∞-时,()0f x '>;所以()f x 在(1,)1a a -单调递减,在(,)1aa+∞-单调递增,所以,存在01x ≥,使得0()1a f x a <-的充要条件为()11a af a a <-- 而21()ln 112(1)11a a a a f a a a a a a =++>-----,所以不合题意 (ⅲ)若1a >,则11(1)1221a a af a ---=-=<- 综上所述,a 的取值范围是(21,21)(1,)---⋃+∞……………………………12分 22.(1)证明:由题设得,A,B,C,D 四点共圆,所以,D CBE ∠=∠, 又CB CE =,CBE E ∴∠=∠所以D E ∠=∠………………………5分(2)证明:设BC 的中点为N ,连结MN ,则由MB MC =知MN BC ⊥, 故O 在直线MN 上.又AD 不是O 的直径,M 为AD 的中点, 故OM AD ⊥,即MN AD ⊥. 所以//AD BC ,故A CBE ∠=∠又CBE E ∠=∠,故A E ∠=∠,由(1)知,D E ∠=∠,所以ADE ∆为等边三角形.………………………………………………………10分23.(1)曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)直线l 的普通方程为260x y +-=(2)曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为5|4cos 3sin 6|5d θθ=+- 则25|||5sin()6|sin 305d PA θα==+-,其中α为锐角,且4tan 3α= 当sin()1θα+=-时,||PA 取得最大值,最大值为2255.当sin()1θα+=时,||PA 取得最小值,. …………………………………10分24.(1)11a b =+≥,得2ab ≥,且当a b ==.故33a b +≥,且当a b ==.所以33a b +的最小值为. …………………………………………………………5分(2)由(1)知,23a b +≥≥由于6>,从而不存在,a b ,使得236a b +=. ………………………………10分。
