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(2)适用范围: 它不仅适用于电子,也适用于其他微观粒子。不确定性关系表明: 对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述。
典题例解
【例 2】 一灰尘质量 m=10-12 kg,速度 v=10 m/s,用毫米刻度尺
测得其某一时刻位置 x=52.33 cm。毫米刻度尺的最大误差 Δx=0.05
2.物理模型与物理现象 在经典物理学中,对于宏观对象,我们分别建立粒子模型和波动 模型;在微观世界里,也需要建立物理模型,像粒子的波粒二象性模型。 预习交流 (1)如何理解粒子位置的不确定性? 答案:单缝衍射现象中,入射的粒子有确定的动量,但它们可以处 于挡板左侧的任何位置,也就是说,粒子在挡板左侧的位置是完全不 确定的。
B.单个光子的运动没有确定的轨道 C.干涉条纹中明亮的部分是光子到达机会较多的地方 D.只有大量光子的行为才能表现出波动性 解析:光是一种概率波,对于一个光子通过单缝落在何处,是不确 定的,但概率最大的是中央亮纹处,可达 95%以上,还可能落到暗纹处, 不过落在暗纹处的概率最小(注意暗纹处并非无光子到达)。故 C、 D 选项正确。
迁移应用 (多选)关于不确定性关系 ΔxΔp≥4ℎπ有以下几种理解,其中正确 的是( ) A.微观粒子的动量不可能确定 B.微观粒子的坐标不可能确定 C.微观粒子的动量和坐标不可能同时确定 D.不确定性关系不仅适用于电子和光子等微观粒子,也适用于 其他宏观粒子 解析:不确定性关系 ΔxΔp≥4ℎπ表示粒子的位置和动量互相制约, 此消彼长,当粒子位置的不确定性变小时,粒子动量的不确定性变大; 当粒子位置的不确定性变大时,粒子动量的不确定性变小。故不能同 时准确确定粒子的动量和坐标。不确定性关系也适用于其他宏观粒 子,不过这些不确定量微乎其微。
(2)如何理解粒子动量的不确定性?
答案:微观粒子具有波动性,会发生衍射。大部分粒子到达狭缝 之前沿水平方向运动,而在经过狭缝之后,有些粒子跑到投影位置以 外。这些粒子具有与其原来运动方向垂直的动量。由于哪个粒子到 达屏上的哪个位置是完全随机的,所以粒子在垂直方向上的动量也 具有不确定性,不确定量的大小可以由中央亮条纹的宽度来衡量。
案例探究 已知4ℎπ=5.3×10-35J·s,试求下列两种情况中位置的不确定量。 (1)一电子具有 200 m/s 的速率,动量的不确定范围为 0.01%。 (2)一颗质量为 10 g 的子弹,具有 200 m/s 的速率,动量的不确定 量为 0.01%。
解析:(1)电子的动量为 p=mv=9.1×10-31kg×200 m·s-1=1.8×10-28 kg·m·s-1。 动量的不确定范围为 Δp=0.01%p=1.0×10-4×1.8×10-28 kg·m·s-1=1.8×10-32 kg·m·s-1, 由不确定性关系式 ΔxΔp≥4ℎπ,得电子位置的不确定范围为 Δx≥4πℎΔ������,所以 Δx≥51..38××1100--3352 m=2.9×10-3 m。
也就是说,单个粒子位置是不确定的,具有偶然性;大量粒子运动 具有必然性,遵循统计规律。概率波将波动性和粒子性统一起来。
思考探究
电子束通过铝箔 时的衍射图样
1927 年,两位美国物理学家用电子束照射到铝箔的金属晶体上 得到了电子束的衍射图案(如图),从而证实了德布罗意的假设。在电 子衍射图样中,出现明暗相间的圆环,说明什么?
答案:CD
运用不确定性关系解题的方法
知识链接 1.运用不确定性关系 ΔxΔp≥4ℎπ时,应明确两点: (1)位置不确定量 Δx,在单缝衍射中,Δx 为狭缝的宽度,也可以是 光子或电子偏离中心的距离。子弹射出枪口时,Δx 为枪口的直径,也 可以认为是子弹偏离中心的距离。电子在晶体中衍射时,Δx 为晶体 中原子间的距离,其单位必须化为国际单位米(m),Δx 同时也可以是 粒子打在屏上偏离中心的距离。 (2)动量的不确定量 Δp: ①对宏观的运动物体,Δp=mΔv,其中 Δv 为子弹射出枪口时横向 速度的确定量,而 m 为物体的质量,单位应统一为国际单位。 ②对微观粒子如光子,Δp=ℎ������。
预习导引
一、概率波 1.经典的粒子和经典的波 (1)经典的粒子:在经典物理学的概念中,粒子有一定的空间大小,
有一定的质量,有的还具有电荷。任意时刻的确定的位置和速度以及 时空中确定的轨道,是经典物理学中粒子的运动特征。
(2)经典的波:经典的波在空间中是弥散开来的,其特征是具有频 率和波长,也就是说具有时空的周期性。
正如我们在经典力学中所知道的,对于宏观粒子,它在任意时刻 的位置和动量都可同时确定,而对微观粒子来说,同时确定其位置和 动量是没有意义的。这是因为 Δx 和 Δp 都不可能同时为零。当欲精 确地确定粒子的位置(即 Δx→0)时,其动量必然更不精确(Δp→∞),反 之亦然。微观粒子的这个特性是由于它既具有粒子性,也同时具有波 动性的缘故。
答案:CD
迁移应用
(多选)电子的运动受波动性的支配,对于氢原子的核外电子,下 列说法不正确的是( )
A.氢原子的核外电子可以用确定的坐标描述它们在原子中的 位置
B.电子绕核运动时,可以运用牛顿运动定律确定它的轨道 C.电子绕核运动的“轨道”其实是没有意义的 D.电子轨道只不过是电子出现的概率比较大的位置 解析:微观粒子的波动性是一种概率波,对应微观粒子的运动,牛 顿运动定律已经不适用了,所以氢原子的核外电子不能用确定的坐 标描述它们在原子中的位置,电子的“轨道”其实是没有意义的,电子 轨道只不过是电子出现的概率比较大的位置,综上所述 C、D 正确。 答案:CD
二、不确定性关系
1.不确定性关系 利用数学方法对微观粒子的运动进行分析可以知道,如果以 Δx 表示粒子的位置不确定量,以 Δp 表示粒子在 x 方向上的动量不确定 量,那么有 ΔxΔp≥ 4ℎπ,这就是著名的不确定性关系,简称不确定关系。 在经典物理学中,可以同时用质点的位置和动量(或速度)精确 地描述它的运动,如果知道了质点的加速度,还可以预言它以后任意 时刻的位置和动量(或速度)。 在微观物理学中,不确定关系告诉我们,如果要准确地确定粒子 的位置(即 Δx 很小),那么动量的测量一定会不准确(即 Δp 很大),也就 是说,不可能同时准确地知道粒子的位置和动量。
一、 概率波
知识精要 1.单个光子运动的偶然性 用弱光照射双缝,当照射时间很短时,胶片上出现的是散乱的感 光点,这一个个感光点表明光在与胶片作用(使其感光)时,是一份一 份进行的;同时,感光点的散乱还表明单个光子通过双缝后到达胶片 的什么位置是随机的,是预先不能确定的。
2.大量光子运动的必然性 当弱光照射双缝较长一段时间后,有大量光子先后通过双缝落 在胶片上,出现大量的感光点,这些感光点形成分隔的一条条感光带, 这正是光的双缝干涉条纹。在明条纹(感光强)处光子到达的多,单个 光子到达明条纹处的概率大,而在暗条纹(感光弱)处,光子到达的概 率小,因此,尽管单个光子通过双缝后落在胶片上何处是随机的,但它 到达胶片上某位置处的概率大小却符合波动规律。从这个意义上讲, 光是一种概率波。
二、 不确定性关系
知识精要 1.认识微观粒子运动的基本特征 微观粒子的运动不再遵守牛顿第二定律,不可能同时准确地知 道粒子的位置和动量,因而也就不可能用“轨迹”来描述粒子的运动, 微观粒子的运动状态只能通过大量粒子的运动做统计性的描述。 2.不确定性关系的物理意义、适用范围 (1)物理意义: 微观粒子的坐标测得越准确(Δx→0),动量就越不准确(Δp→∞); 微观粒子的动量测得越准确(Δp→0),坐标就越不准确(Δx→∞)。 但这里要注意,不确定性关系不是说微观粒子的坐标测不准,也 不是说微观粒子的动量测不准,更不是说微观粒子的坐标和动量都 测不准,而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准。
答案:在电子衍射图样中,出现明暗相间的圆环,说明电子落在 “亮圆”上的解 【例 1】(多选)物理学家做了一个有趣的实验:在双缝干涉实验 中,在光屏处放上照相底片,若减弱光的强度,使光子只能一个一个地 通过狭缝,实验结果表明,如果曝光时间不太长,底片上只出现一些不 规则的点子;如果曝光时间足够长,底片上就出现了规则的干涉条纹。 对这个实验结果,下列认识正确的是( ) A.曝光时间不长时,光子的能量太小,底片上的条纹看不清楚,故出现 不规则的点子
3.和谐的统一 概率是一种统计概念,少量光子的行为显示不出概率统计规律, 大量光子才显示出这种规律。“概率波”实际上是将光的波动性和粒 子性统一起来的一种说法。
4.波动性是光子的属性 从经典物理学的角度上讲,波动应该是质点间相互作用的结果。 在这里,光子具有波动性,就应该是光子与光子作用的结果。但人们 发现在双缝干涉实验中,即使光很弱,弱到光子一个一个地射向胶片 (这时排除了光子间有相互作用),在照射时间足够长时,底片上最终 还是形成了干涉图样,这正说明波动性不是由光子间相互作用而引 起的,而是光子的固有属性。 5.物质波也是概率波 对于电子、实物粒子等其他微观粒子,同样具有波粒二象性,所 以与它们相联系的物质波也是概率波。
2.概率波 (1)光波是一种概率波:光的波动性不是光子之间的相互作用的 结果,光子本身的波动性是它固有的性质。光子在空间出现的概率可 以通过波动的规律来确定,所以,从光子的概念上看,光波是一种概率 波。
(2)物质波也是概率波:对于电子和其他微观粒子,单个粒子的位 置是不确定的,但是在某点附近出现的概率的大小可以由波动的规 律确定。对于大量粒子,这种概率分布导致宏观的确定结果,所以物 质波也是概率波。
答案:(1)2.9×10-3 m (2)2.65×10-31 m
(2)子弹的动量为 6p=mv=10×10-3 kg×200 m·s-1=2 kg·m·s-1 动量的不确定范围为 Δp=0.1%p=1.0×10-4×2 kg·m·s-1=2×10-4 kg·m·s-1, 由不确定性关系式 ΔxΔp≥4ℎπ,得子弹位置的不确定范围为 Δx≥4πℎΔ������,所以 Δx≥5.23××1100--435 m=2.65×10-31 m。
