2020中考数学复习微专题：《函数综合探究题型》突破与提升专题练习(无答案)

专题复习(七)函数与几何综合探究题前言：“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节从小学到初中，学生们经历了无数次考试。

通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。

但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。

结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。

这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。

做好试卷分析和总结是十分有必要的。

那么，怎样做好试卷分析呢？我认为，应从下面两点做起：一．失分的原因主要有如下四方面：（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；（4）解题基本功：答题规范性差。

只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。

二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？（1）怎样做出来的？——想解题方法；（2）为什么这样做？——思考解题原理；（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。

转变，让我们从一轮复习开始。

按照上面两点认真完成后面练习题。

希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。

如图，对称轴为直线x ＝12的抛物线经过B(2，0)，C(0，4)两点，抛物线与x 轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；【思路点拨】 已知对称轴，可设顶点式y ＝a(x －12)2＋k ，然后将点B ，C 的坐标代入，解方程组即可得到抛物线的解析式．(一题多解)【答题示范】 解法一：∵抛物线的对称轴为直线x ＝12，∴设抛物线的解析式为y ＝a(x －12)2＋k(a ≠0)．∵抛物线经过点B(2，0)，C(0，4)， ∴⎩⎨⎧94a ＋k ＝0，14a ＋k ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，k ＝92.∴抛物线的解析式为y ＝－2(x －12)2＋92，即y ＝－2x 2＋2x ＋4.解法二：∵抛物线的对称轴为直线x ＝12，A ，B 两点关于直线x ＝12对称且B(2，0)，∴A(－1，0)．∴设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －2)(a ≠0)． ∵抛物线经过点C(0，4)， ∴－2a ＝4，解得a ＝－2.∴抛物线的解析式为y ＝－2(x ＋1)(x －2)， 即y ＝－2x 2＋2x ＋4.解法三：设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)． ∵抛物线的对称轴为直线x ＝12且经过点B(2，0)，C(0，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝12，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，c ＝4.∴抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋2x ＋4. 方法指导二次函数的解析式的确定：1．确定二次函数的解析式一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a ，b ，c(a ，h ，k 或a ，x 1，x 2)，因而确定二次函数的解析式需要已知三个独立的条件：(1)已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式，即y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)已知抛物线的顶点坐标和另外一点的坐标时，选用顶点式，即y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)已知抛物线与x轴的两个交点(或横坐标x1，x2)时，选用交点式，即y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．用待定系数法求二次函数解析式的步骤：(1)设二次函数的解析式；(2)根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)；(3)解方程(组)，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式．Ｋ,(2)若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；图1【思路点拨】先设点P的坐标，再利用割补法将四边形COBP的面积表示成几个容易计算的图形面积的和差，然后根据二次函数的性质求最值．(一题多解)【答题示范】解法一：如图1，连接OP，设P(n，－2n2＋2n＋4)，则S＝S△OCP＋S△OBP＝12OC·x P＋12OB·y P＝12×4×n＋12×2×(－2n2＋2n＋4)＝－2n2＋4n＋4＝－2(n－1)2＋6.∴当n＝1时，S最大＝6.图2解法二：如图2，过点P作PH⊥OB于点H.设P(m，－2m2＋2m＋4)，则H(m，0)．∴PH＝－2m2＋2m＋4，BH＝2－m.∴S＝S四边形OCPH＋S△PHB＝12(4－2m2＋2m＋4)·m＋12(2－m)·(－2m2＋2m＋4)＝－2m2＋4m＋4＝－2(m－1)2＋6.∴当m＝1时，S最大＝6.(3)若M是线段BC上一动点，在x轴上是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】在探究同时存在两个结论时，通常先假设一个结论成立，然后探究另一个结论是否也成立，方法一般也不唯一，详见解答中的一题多解．【答题示范】解：存在点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形．理由如下：图3分以下两种情况：①如图3所示：当∠BQM＝90°时，∵∠CMQ>90°，∴只能CM＝MQ.解法一：易得直线BC的解析式为y＝－2x＋4.设点M(m，－2m＋4)(0<m<2)，则MQ＝－2m＋4，OQ＝m，BQ＝2－m.在Rt△OBC中，BC＝OB2＋OC2＝22＋42＝2 5.∵MQ∥OC，∴△BMQ∽△BCO.∴BMBC＝BQBO，即BM25＝2－m2.∴BM＝5(2－m)＝25－5m.∴CM＝BC－BM＝25－(25－5m)＝5m.∵CM＝MQ，∴－2m＋4＝5m，m＝45＋2＝45－8.∴Q(45－8，0)．解法二：易得直线BC的解析式为y＝－2x＋4. 设点M(m，－2m＋4)(0<m<2)，则MQ＝－2m＋4，OQ＝m，BQ＝2－m.在Rt△OBC中，BC＝OB2＋OC2＝2 5.在Rt△MBQ中，方法指导1．探究面积最值的存在性：第(2)问是与抛物线有关的三角形或四边形，抛物线三角形就是三角形的三个顶点都在抛物线上，同样，抛物线四边形就是四边形的四个顶点都在抛物线上，要求三角形或四边形的面积的最大值或最小值．Ｋ解决这类问题的基本步骤：(1)首先要确定所求三角形或四边形面积最值，可设动点运动的时间t或动点的坐标(t，at2＋bt＋c)；(2)①求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高，此时就应先证明涉及底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似，从而求得用含t的代数式表示的底和高；②求四边形的面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段；(3)用含有未知数的代数式表示出图形的面积；(4)用二次函数的知识来求最大值或最小值．(如P149T5(2))2．探究面积等量关系的存在性问题：对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤：(1)弄清其取值范围，画出符合条件的图形；(2)确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；(3)过动点作有关三角形的高或平行于x轴、y轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性．(如P149T6(2))3．探究线段最值问题：无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还有两条线段差的最大值等，解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，最常见的基本图形就是“将军饮马问题”，即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点，使得这两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决．(如P147T1(3)，P147T2(2)，P148T3(2)),BM＝MQ2＋BQ2＝（－2m＋4）2＋（2－m）2＝5|m －2| ＝5(2－m) ＝25－5m.∴CM ＝BC －BM ＝25－(25－5m)＝5m.∵CM ＝MQ ，∴－2m ＋4＝5m ，m ＝45＋2＝45－8.∴Q(45－8，0)．图4解法三：如图4所示：过点Q 作QH ⊥CB 交CB 于点H ∵∠COB ＝90°，∠BQM ＝90°，∴MQ ∥CQ.∴∠MQC ＝∠OCQ. ∵MC ＝MQ ，∴∠MQC ＝∠MCQ.∴∠MCQ ＝∠OCQ.∴CQ 为∠OCB 的平分线． ∴OQ ＝QH.易得直线BC 的解析式为y ＝－2x ＋4. 设点M(m ，－2m ＋4)(0<m<2)， ∴Q(m ，0)，BQ ＝2－m ，OQ ＝m.∴QH ＝m.∵∠QBH ＝∠CBO ，∠BHQ ＝∠BOC ， ∴△QBH ∽△CBO.∴BQ CB ＝QHCO ，即2－m 25＝m4.∴m ＝45－8.∴Q(45－8，0)．图5②解法一：如图5所示：当∠QMB ＝90°时， ∵∠CMQ ＝90°，∴只能CM ＝MQ. 过点M 作MN ⊥x 轴于点N ， 设点M(m ，－2m ＋4)(0<m<2)，则ON ＝m ，MN ＝－2m ＋4，NB ＝2－m. 由①得：BM ＝25－5m ，CM ＝5m.∵∠QBM ＝∠OBC ，∠QMB ＝∠COB ＝90°， ∴Rt △BOC ∽Rt △BMQ. ∴BO BM ＝OC MQ ，即225－5m ＝4MQ. ∴MQ ＝2(25－5m)＝45－25m. ∵CM ＝MQ ，CM ＝5m ， ∴5m ＝45－25m. ∴m ＝43.∴M(43，43)．∵MN ⊥x 轴于点N ，MQ ⊥BC ， ∴∠QMN ＋∠NMB ＝90°，∠NMB ＋∠NBM ＝90°. ∴∠QMN ＝∠MBN.又∵∠BNM ＝∠MNQ ＝90°， ∴Rt △BNM ∽Rt △MNQ. 方法指导1．在解答直角三角形的存在性问题时，具体方法如下： (1)先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；(2)找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与满足条件的坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；(3)计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各边(表示线段时，还要注意代数式的符号)，再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点的坐标．(如P151T9(2))2．除了探究直角三角形外，还常常探究等腰三角形的存在性，这个和直角三角形的方法类似： (1)假设结论成立；(2)找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为腰时，找已知直线或抛物线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为符合条件的点；②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在．以上方法即可找出所有符合条件的点；(3)计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造直角三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解．(如P151T8(3)②)∴BN MN ＝NMNQ ，即2－4343＝43NQ.∴NQ ＝83.∴OQ ＝NQ －ON ＝83－43＝43.∴Q(－43，0)．图6解法二：如图6所示：当∠QMB ＝90°时， ∵∠CMQ ＝90°，∴只能CM ＝MQ. 设点M(m ，－2m ＋4)(0<m<2)． 在Rt △COB 和Rt △QMB 中， ∵tan ∠CBO ＝tan ∠MBQ ＝OC OB ＝42＝2，又∵tan ∠MBQ ＝MQBM，由①知BM ＝25－5m ，MQ ＝CM ＝5m.∴tan ∠MBQ ＝MQ BM ＝5m25－5m ＝2.∴5m ＝45－25m. ∴m ＝43.∴M(43，43)．此时，BM ＝25－5m ＝235，MQ ＝43 5. ∴BQ ＝BM 2＋MQ 2＝1009＝103. ∴OQ ＝BQ －OB ＝103－2＝43.∴Q(－43，0)．综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(45－8，0)或(－43，0)．如图，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，过点B 的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线BC 交于点D(3，－4)．(1)求直线BD 和抛物线的解析式；【思路点拨】 由直线y ＝2x ＋2可求出B 点的坐标，把B ，D 两点代入y ＝－x 2＋bx ＋c 中即可求出抛物线解析式，由B ，D 两点可求出直线BD 的解析式．【答题示范】 解：∵y ＝2x ＋2， ∴当x ＝0时，y ＝2. ∴B(0，2)．∵当y ＝0时，x ＝－1， ∴A(－1，0)．∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点B(0，2)，D(3，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝c ，－4＝－9＋3b ＋c. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋x ＋2.设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋m ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝m ，－4＝3k ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，m ＝2. ∴直线BD 的解析式为y ＝－2x ＋2.(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在点M ，作MN 垂直于x 轴，垂足为N ，使得以M ，O ，N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；【思路点拨】 与△BOC 相似的△MON ，只有两个直角顶点可以确定对应，所以要分两种情况讨论，再利用△MON 的两条直角边长恰好对应点M 的坐标，与△BOC 的两直角边对应成比例，便可列出方程，求解即可，注意是否符合条件．【答题示范】 解：存在．理由：由(1)知C(1，0)，设M(a ，－a 2＋a ＋2)(0<a<2)． ∵MN ⊥x 轴，∴N(a ，0)，∠BOC ＝∠MNO ＝90°，即点O 与点N 对应，可分两种情况讨论： ①如图1，当△BOC ∽△MNO 时，BO MN ＝OCNO. ∴2－a 2＋a ＋2＝1a，解得a 1＝1，a 2＝－2(舍去)．∴M(1，2)；②如图2，当△BOC ∽△ONM 时，BO ON ＝OC NM. ∴2a ＝1－a 2＋a ＋2，解得a 1＝1＋334，a 2＝1－334(舍去)． ∴M(1＋334，1＋338)．∴符合条件的点M 的坐标为(1，2)或(1＋334，1＋338)．(3)在直线BD 上方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PH 垂直于x 轴，交直线BD 于点H ，是否存在点P ，使四边形BOHP 是平行四边形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 点P 在抛物线上，可设出点P 的坐标，从而可表示出点H 的坐标，因为作PH ⊥x 轴，所以可得PH ∥OB.要证四边形BOHP 是平行四边形，只需证PH ＝OB ，再利用PH 的长可列方程求出P 点的坐标．【答题示范】 解：存在．理由如下：设P(t ，－t 2＋t ＋2)，则H(t ，－2t ＋2)．如图3， ∵PH ⊥x 轴，要使四边形BOHP 是平行四边形， ∴BO ＝PH ＝2.∵PH ＝－t 2＋t ＋2＋2t －2＝－t 2＋3t ， ∴2＝－t 2＋3t ，解得t 1＝1，t 2＝2. 当t ＝1时，P(1，2)； 当t ＝2时，P(2，0)．∴存在点P(1，2)或(2，0)，使四边形BOHP 为平行四边形．, 方法指导探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论的思想以及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：(1)假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应顶点(尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；(2)确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；(3)建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．(如P153T12(2)②)Ｋ方法指导在解答平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：(1)假设结论成立；(2)探究平行四边形通常有两类，一类是已知两定点去求未知点的坐标，一类是已知给定的三点去求未知点的坐标．第一类，以两定点连线所成的线段作为要探究平行四边形的边或对角线，画出符合题意的平行四边形；第二类，分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的线段为探究平行四边形的边或对角线，画出符合题意的平行四边形；(3)建立关系式，并计算．根据以上分类方法画出所有符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标求解．(如P152T10(2)①)类型1 探究线段最值问题1．(2019·贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为(－1，0)，且OA ＝OC ＝4OB ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象经过A ，B ，C 三点． (1)求A ，C 两点的坐标； (2)求抛物线的解析式；(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．解：(1)∵OA ＝OC ＝4OB ＝4，B(－1，0)， ∴点A ，C 的坐标分别为(4，0)，(0，－4)．(2)由(1)知抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －4)＝a(x 2－3x －4)， ∴－4a ＝－4，解得a ＝1.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x －4. (3)设直线AC 的解析式为y ＝kx －4.将点A(4，0)代入，得4k －4＝0.解得k ＝1， ∴直线AC 的解析式为y ＝x －4.过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H. ∵OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°. ∵PH ∥y 轴，∴∠PHD ＝∠OCA ＝45°. 设点P(x ，x 2－3x －4)，则点H(x ，x －4)， ∴PD ＝HP·sin ∠PHD ＝22(x －4－x 2＋3x ＋4) ＝－22(x －2)2＋2 2. ∵－22＜0， ∴PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为22， 此时点P(2，－6)．2．(2019·柳州)如图，直线y ＝x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(1，0)，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过A ，B ，C 三点，抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴的交点为点E ，点E 关于原点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，12CE 的长为半径作圆，点P 为直线y ＝x －3上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)求△BDP 周长的最小值；(3)若动点P 与点C 不重合，点Q 为⊙F 上的任意一点，当PQ 的最大值等于32CE 时，过P ，Q 两点的直线与抛物线交于M ，N 两点(点M 在点N 的左侧)，求四边形ABMN 的面积．解：(1)对于y ＝x －3，令x ＝0，则y ＝－3；令y ＝0，则x ＝3， ∴点A ，C 的坐标分别为(3，0)，(0，－3)．∴抛物线的解析式为y ＝a(x －3)(x －1)＝a(x 2－4x ＋3)． ∴3a ＝－3，解得a ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x －3.(2)作点D 关于直线y ＝x －3的对称点D′，连接BD′交直线y ＝x －3于点P ，连接PD ，BD ，则PD ＝PD′，此时△BDP 的周长最小为BD ＋PD ＋PB ＝BD ＋BD′.∵y ＝－x 2＋4x ＋3＝－(x －2)2＋1，DE ⊥x 轴， ∴D(2，1)，E(2，0)．∴DE ＝AE ＝1.∴△ADE 是等腰直角三角形． 又∵OA ＝OC ＝3，∴△AOC 是等腰直角三角形． ∴∠DAC ＝45°＋45°＝90°，即DA ⊥AC. 又∵点A 在直线y ＝x ＋3上， ∴点A 为DD′的中点．∴D′(4，－1)，BD ＝2，BD′＝10. ∴△BDP 周长的最小值为2＋10.(3)如图，连接PF 并延长交⊙F 于点Q ，此时PQ 为最大值，点A ，B ，C ，E ，F 的坐标分别为(3，0)，(1，0)，(0，－3)，(2，0)，(－2，0)，则CE ＝13. ∵FQ ＝12CE ，∴PF ＝32CE －12CE ＝13.设点P(m ，m －3)，则PF 2＝13＝(m ＋2)2＋(m －3)2，解得m ＝0(舍去)或m ＝1，故点P(1，－2)． 易得直线PF 的解析式为y ＝－23x －43.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋4x －3，y ＝－23x －43，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝7－343，y 1＝－26＋2349，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝7＋343，y 2＝－26－2349.故点M ，N 的坐标分别为(7－343，－26＋2349)，(7＋343，－26－2349)．过点M ，N 分别作x 轴的垂线交x 轴于点S ，R ， 则S 四边形ABMN ＝S 梯形NRSM －S △ARN －S △SBM ＝26＋8349.类型2 探究角度问题3．(2019·赤峰)如图，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点B ，C ，与x 轴另一交点为A ，顶点为D. (1)求抛物线的解析式；(2)在x 轴上找一点E ，使EC ＋ED 的值最小，求EC ＋ED 的最小值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得∠APB ＝∠OCB ？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，∴点B ，C 的坐标分别为(3，0)，(0，3)． 将点B ，C 的坐标代入二次函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧－9＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)作点C 关于x 轴的对称点C′，连接CD′交x 轴于点E ，则此时EC ＋ED 为最小， 抛物线顶点D 为(1，4)，点C′(0，－3)，∴EC ＋ED 的最小值为C′D ＝（1－0）2＋（4＋3）2＝5 2.(3)①当点P 在x 轴上方时，如图． ∵OB ＝OC ＝3， ∴∠OCB ＝45°＝∠APB. 过点B 作BH ⊥AP 于点H. 设PH ＝BH ＝m ，则PB ＝PA ＝2m ，AH ＝2m －m. 在Rt △ABH 中，AB 2＝AH 2＋BH 2， ∴16＝(2m －m)2＋m 2，解得m 2＝8＋4 2. ∴PB 2＝2m 2＝16＋8 2.∴y P ＝PB 2－22＝2＋22；②当点P 在x 轴下方时，则y P ＝－2 2.综上所述，点P 的坐标为(1，2＋22)或(1，－2－22)．4．(2019·玉林)已知二次函数：y ＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋2(a ＜0)．(1)求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；(2)当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式，并画出二次函数的图象(不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B(A 在B 的左侧)，与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置)；(3)在(2)的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P ，使∠PCA ＝75°？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1解：(1)证明：∵y ＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋2＝(x ＋2)(ax ＋1)，且a ＜0， ∴抛物线与x 轴的交点为(－2，0)，(－1a，0)，即二次函数的图象与x 轴有两个交点．(2)∵两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数， ∴a ＝－1.∴抛物线与x 轴的交点A 的坐标为(－2，0)，B 的坐标为(1，0)， 抛物线的解析式为y ＝－x 2－x ＋2＝－(x ＋12)2＋94.∴D(－12，94)．当x ＝0时，y ＝2，∴C(0，2)， 函数图象如图所示． (3)∵OA ＝OC ＝2，∴∠ACO ＝∠CAO ＝45°.图1如图1，当点P 在直线AC 上方时，设直线PC 与x 轴的交点为E ， ∵∠PCA ＝75°，∠CAO ＝45°， ∴∠OEC ＝30°. ∴OE ＝OC tan ∠OEC ＝233＝2 3.∴E(23，0)．易得直线CE 的解析式为y ＝－33x ＋2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋2，y ＝－x 2－x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－33，y ＝3＋53.∴P(3－33，3＋53)；图2如图2，当点P 在直线AC 下方时，设直线PC 与x 轴的交点为F ， ∵∠ACP ＝75°，∠ACO ＝45°， ∴∠OCF ＝30°. ∴OF ＝OC·tan ∠OCF ＝2×33＝233. ∴F(233，0)， 易得直线PC 的解析式为y ＝－3x ＋2.联立⎩⎨⎧y ＝－3x ＋2，y ＝－x 2－x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝3－1，y ＝3－1.∴P(3－1，3－1)． 综上，点P 的坐标为(3－33，3＋53)或(3－1，3－1)． 类型3 探究面积问题5．(2019·吉林)如图，抛物线y ＝(x －1)2＋k 与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C(0，－3)．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且m ＞0.(1)求此抛物线的解析式；(2)当点P 位于x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；(3)设此抛物线在点C 与点P 之间部分(含点C 和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h. ①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围； ②当h ＝9时，直接写出△BCP 的面积．解：(1)将点C(0，－3)代入y ＝(x －1)2＋k ，得k ＝－4， ∴y ＝(x －1)2－4＝x 2－2x －3. (2)令y ＝0，则x ＝－1或x ＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)． ∴AB ＝4.抛物线的顶点为(1，－4)，当点P 位于抛物线顶点时，△ABP 的面积有最大值， 最大值为12×4×4＝8.(3)①由题意知P(m ，m 2－2m －3)，当0＜m ≤1时，h ＝－3－(m 2－2m －3)＝－m 2＋2m ； 当1＜m ≤2时，h ＝－3－(－4)＝1；当m ＞2时，h ＝m 2－2m －3－(－4)＝m 2－2m ＋1. ②当h ＝9时，若－m 2＋2m ＝9，此时Δ＜0，方程无解；若m 2－2m ＋1＝9，则m ＝4或－2(负值舍去)， ∴P(4，5)．∵B(3，0)，C(0，－3)，∴△BCP 的面积为12×8×4－12×5×1－12×(4＋1)×3＝6.6．(2019·毕节)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．(1)抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，抛物线的顶点坐标为(－1，4)；(2)如图1，连接OP 交BC 于点D ，当S △CPD ∶S △BPD ＝1∶2时，请求出点D 的坐标； (3)如图2，点E 的坐标为(0，－1)，点G 为x 轴负半轴上的一点，∠OGE ＝15°，连接PE.若∠PEG ＝2∠OGE ，请求出点P 的坐标；(4)如图3，是否存在点P ，使四边形BOCP 的面积为8？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(2)∵OB ＝OC ＝3，∴∠CBO ＝∠BCO ＝45°，BC ＝3 2. ∵S △CPD ∶S △BPD ＝1∶2，∴BD ＝23BC ＝23×32＝22，CD ＝ 2.∴y D ＝BD·sin ∠CBO ＝2，x D ＝－CD·sin ∠BCO ＝－1. ∴点D(－1，2)．(3)设直线PE 交x 轴于点H. ∵∠OGE ＝15°，∠PEG ＝2∠OGE ＝30°， ∴∠OHE ＝45°. ∴OH ＝OE ＝1.∴易得直线HE 的解析式为y ＝－x －1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3，y ＝－x －1，解得x ＝－1±172(正值舍去)．∴点P 的坐标为(－1－172，17－12)．(4)不存在，理由：连接BC ，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点M. 易得直线BC 的解析式为y ＝x ＋3，设点P(x ，－x 2－2x ＋3)，则点M(x ，x ＋3)， ∴S 四边形BOCP ＝S △OBC ＋S △PBC＝12×3×3＋12(－x 2－2x ＋3－x －3)×3 ＝8.整理，得3x 2＋9x ＋7＝0， 此时Δ＜0，故方程无解， ∴不存在满足条件的点P.类型4 探究特殊三角形存在性问题7．(2019·西藏)已知：如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与坐标轴分别交于点A ，B(－3，0)，C(1，0)，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P ，使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3过点B(－3，0)，C(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋3＝0，a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F. ∵当x ＝0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝3， ∴A(0，3)．∴易得直线AB 的解析式为y ＝x ＋3. ∵点P 在线段AB 上方的抛物线上，∴设P(t ，－t 2－2t ＋3)(－3＜t ＜0)，则F(t ，t ＋3)． ∴PF ＝－t 2－2t ＋3－(t ＋3)＝－t 2－3t.∴S △PAB ＝S △PAF ＋S △PBF ＝12PF·OH ＋12PF·BH ＝12PF·OB ＝32(－t 2－3t)＝－32(t ＋32)2＋278.∴点P 运动到坐标为(－32，154)时，△PAB 的面积最大．(3)存在点P ，使△PDE 为等腰直角三角形．设P(t ，－t 2－2t ＋3)(－3＜t ＜0)，则D(t ，t ＋3)， ∴PD ＝－t 2－2t ＋3－(t ＋3)＝－t 2－3t.∵抛物线y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴对称轴为直线x ＝－1.∵PE ∥x 轴交抛物线于点E ，∴y E ＝y P ，即点E ，P 关于对称轴对称． ∴x E ＋x P2＝－1. ∴x E ＝－2－x P ＝－2－t. ∴PE ＝|x E －x P |＝|－2－2t|.∵△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90°， ∴PD ＝PE.①当－3＜t ≤－1时，PE ＝－2－2t ， ∴－t 2－3t ＝－2－2t.解得t 1＝1(舍去)，t 2＝－2. ∴P(－2，3)．②当－1＜t ＜0时，PE ＝2＋2t ， ∴－t 2－3t ＝2＋2t.解得t 1＝－5＋172，t 2＝－5－172(舍去)．∴P(－5＋172，－5＋3172)．综上所述，点P 的坐标为(－2，3)或(－5＋172，－5＋3172)时，△PDE 为等腰直角三角形．8．(2019·鄂州)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝4，交y 轴于点C ，对称轴是直线x ＝1.(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标；(2)连接BC ，E 是线段OC 上一点，E 关于直线x ＝1的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标；(3)动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q.设运动时间为t(t ＞0)秒．①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t 的值；②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．解：(1)∵点A ，B 关于直线x ＝1对称，AB ＝4， ∴A(－1，0)，B(3，0)．将点A ，B 的坐标代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－9＋3b ＋c ＝0，－1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3. ∴点C 的坐标为(0，3)．(2)设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3，3m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3.∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3. ∵点E ，F 关于直线x ＝1对称，又∵点E 到对称轴的距离为1，∴EF ＝2.∴点F 的横坐标为2，将x ＝2代入y ＝－x ＋3，得 y ＝－2＋3＝1， ∴F(2，1)．(3)①∵OM ＝2t(0<t<32)，MN ＝－4t 2＋4t ＋3，MB ＝3－2t ，△AOC 与△BMN 相似，则MB MN ＝OA OC 或OCOA ，即3－2t －4t 2＋4t ＋3＝13或3， 解得t ＝32(舍去)或－13(舍去)或32(舍去)或1.∴t ＝1.②∵M(2t ，0)，MN ⊥x 轴，∴Q(2t ，3－2t)． 分三种情况讨论： (ⅰ)当OQ ＝BQ 时．∵QM ⊥OB ，∴OM ＝MB.∴2t ＝3－2t.∴t ＝34；(ⅱ)当BO ＝BQ 时．∵OC ＝OB ＝3，∠COB ＝90°， ∴△COB 为等腰直角三角形． 在Rt △BMQ 中，∵∠MBQ ＝45°，∴BQ ＝2BM.∴BO ＝2BM ，即3＝2(3－2t)． ∴t ＝6－324；(ⅲ)当OQ ＝OB 时，则点Q ，C 重合，此时t ＝0. 而t ＞0，故不符合题意．综上所述，当t ＝34或6－324秒时，△BOQ 为等腰三角形．9．(2019·淄博)如图1，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y 轴交于点C.(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)问在y 轴上是否存在一点P ，使得△PAM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； (3)如图2，若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA ＝OA ，过D 作DG ⊥x 轴于点G ，设△ADG 的内心为I ，试求CI 的最小值．图1 图2解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3过点A(3，0)，B(－1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋3＝0，a －b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.∴这条抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)在y 轴上存在点P ，使得△PAM 为直角三角形． 理由：∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴M(1，4)．∴AM 2＝(3－1)2＋42＝20. 设点P 坐标为(0，p)， ∴AP 2＝32＋p 2＝9＋p 2，MP 2＝12＋(4－p)2＝17－8p ＋p 2.①若∠PAM ＝90°，则AM 2＋AP 2＝MP 2， ∴20＋9＋p 2＝17－8p ＋p 2. 解得p ＝－32.∴P(0，－32)；②若∠APM ＝90°，则AP 2＋MP 2＝AM 2， ∴9＋p 2＋17－8p ＋p 2＝20. 解得p 1＝1，p 2＝3. ∴P(0，1)或(0，3)； ③若∠AMP ＝90°，则AM 2＋MP 2＝AP 2， ∴20＋17－8p ＋p 2＝9＋p 2，解得p ＝72.∴P(0，72)．综上所述，点P 坐标为(0，－32)或(0，1)或(0，3)或(0，72)时，△PAM 为直角三角形．(3)过点I 作IE ⊥x 轴于点E ，IF ⊥AD 于点F ，IH ⊥DG 于点H.∵DG ⊥x 轴，∴∠HGE ＝∠IEG ＝∠IHG ＝90°. ∴四边形IEGH 是矩形． ∵点I 为△ADG 的内心，∴IE ＝IF ＝IH ，AE ＝AF ，DF ＝DH ，EG ＝HG. ∴矩形IEGH 是正方形． 设点I 坐标为(m ，n)，∴OE ＝m ，HG ＝GE ＝IE ＝n. ∴AF ＝AE ＝OA －OE ＝3－m. ∴AG ＝GE ＋AE ＝n ＋3－m. ∵DA ＝OA ＝3，∴DH ＝DF ＝DA －AF ＝3－(3－m)＝m. ∴DG ＝DH ＋HG ＝m ＋n. ∵DG 2＋AG 2＝DA 2，∴(m ＋n)2＋(n ＋3－m)2＝32. 化简，得m 2－3m ＋n 2＋3n ＝0. 配方，得(m －32)2＋(n ＋32)2＝92.∴点I(m ，n)与定点Q(32，－32)的距离为322.∴点I 在以点Q(32，－32)为圆心，半径为322的圆在第一象限的弧上运动．∴当点I 在线段CQ 上时，CI 最小．∵CQ ＝（32）2＋（3＋32）2＝3102， ∴CI ＝CQ －IQ ＝310－322.∴CI 最小值为310－322.类型5 探究特殊四边形存在性问题10．(2019·孝感)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －8a 与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C(0，－4)．(1)点A 的坐标为(－2，0)，点B 的坐标为(4，0)，线段AC y ＝12x 2－x －4；(2)点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点．①如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标；②如图2，过点P 作PE ∥CA 交线段BC 于点E ，过点P 作直线x ＝t 交BC 于点F ，交x 轴于点G ，记PE ＝f ，求f 关于t 的函数解析式；当t 取m 和4－12m(0<m<2)时，试比较f 的对应函数值f 1和f 2的大小．解：①过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点P. ∵C(0，－4)，∴－4＝12x 2－x －4，解得x 1＝2，x 2＝0. ∴P(2，－4)．∴PC ＝2，若四边形BCPQ 为平行四边形，则BQ ＝CP ＝2， ∴OQ ＝OB ＋BQ ＝6. ∴Q(6，0)；若四边形BPCQ 为平行四边形，则BQ ＝CP ＝2，∴OQ ＝OB －BQ ＝2. ∴Q(2，0)．故以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，点Q 的坐标为(6，0)或(2，0)． ②∵直线BC 经过点B(4，0)，C(0，－4)，则易得其解析式为y ＝x －4. 作PH ∥AB 交BC 于点H ，∵PE ∥CA ， ∴△EPH ∽△CAB. ∴EP AC ＝PH AB ，即EP 25＝PH 6. ∴EP ＝53PH. 设点P 的坐标为(t ，y P )，则点H(x H ，y P )， ∴12t 2－t －4＝x H －4.∴x H ＝12t 2－t. ∴EP ＝53(x P －x H )＝53[t －(12t 2－t)]． ∴f ＝－56(t 2－4t)(0<t<4)．当t ＝m 时，f 1＝－56(m 2－4m)， 当t ＝4－12m 时，f 2＝－56[(4－12m)2－4(4－12m)]＝－56(14m 2－2m)，∴f 1－f 2＝－56(m 2－4m)－[－56(14m 2－2m)]＝－56(34m 2－2m)＝－58m(m －83)． ∵0<m<2，∴m －83<0.∴f 1－f 2>0.∴f 1>f 2.11．(2019·齐齐哈尔)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，OA ＝2，OC ＝6，连接AC 和BC.(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，点D 的坐标为(12，－5)；(3)点E 是第四象限内抛物线上的动点，连接CE 和BE ，求△BCE 面积的最大值及此时点E 的坐标；(4)若点M 是y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵OA ＝2，OC ＝6. ∴A(－2，0)，C(0，－6)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4－2b ＋c ＝0，c ＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－6. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－x －6.(3)过点E 作直线EG ⊥x 轴于点G ，交直线BC 于点F.易得直线BC 的解析式为y ＝2x －6. 设点E(x ，x 2－x －6)，则点F(x ，2x －6)， ∴EF ＝(2x －6)－(x 2－x －6)＝－x 2＋3x.∴S △BCE ＝S △CEF ＋S △BEF ＝12EF·OG ＋12EF·BG ＝12EF·OB ＝12(－x 2＋3x)×3＝－32x 2＋92x ＝－32(x －32)2＋278.∵0<x<3，∴当x ＝32时，△BCE 的面积最大为278.把x ＝32代入y ＝x 2－x －6，得y ＝－214，∴此时点E 的坐标为(32，－214)．(4)存在，N 1(2，0)，N 2(－2，210)，N 3(－2，－210)，N 4(－2，－103)．类型6 探究全等、相似三角形的存在性问题12．(2019·郴州)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C. (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)点F 是线段AD 上一个动点．①如图1，设k ＝AF AD ，当k 为何值时，CF ＝12AD?②如图2，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与△ABC 相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3过点A(－3，0)，B(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋3＝0，a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. ∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， ∴顶点D 的坐标为(－1，4)．(2)①∵在Rt △AOC 中，OA ＝3，OC ＝3， ∴AC 2＝OA 2＋OC 2＝18.∵D(－1，4)，C(0，3)，A(－3，0)， ∴CD 2＝12＋12＝2，AD 2＝22＋42＝20. ∴AC 2＋CD 2＝AD 2.∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD ＝90°. ∵CF ＝12AD ，∴F 为AD 的中点．∴AF AD ＝12，即k ＝12. ②连接BC ，在Rt △ACD 中，tan ∠DAC ＝DC AC ＝232＝13，在Rt △OBC 中，tan ∠OCB ＝OB OC ＝13，∴∠DAC ＝∠OCB. ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°. ∴∠FAO ＝∠ACB.若以A ，F ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则可分两种情况考虑： 当∠AOF ＝∠ABC 时，△AOF ∽△CBA ， ∴OF ∥BC ，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋t ＝0，t ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，t ＝3. ∴直线BC 的解析式为y ＝－3x ＋3. ∴直线OF 的解析式为y ＝－3x. 设直线AD 的解析式为y ＝mx ＋n ，。

2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练专题9函数与几何综合问题【真题再现】1．（2019年苏州中考第25题）如图，A为反比例函数y（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2（1）求k的值；．（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数yAB于点D，求的值．（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交2．（2019年徐州中考第28题）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．（1）求∠P的度数及点P的坐标；（△2）求OCD的面积；（△3）AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．3．（2019年无锡中考副卷第26题）如图，一次函数y＝x+3的图象与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A（1，m），与x轴相交于点B．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）C为反比例函数的图象上异于点A的一点，直线AC交x轴于点D，设直线AC所对应的函数表达式为y＝nx+b．①若△ABD的面积为12，求n、b的值；②作CE⊥x轴，垂足为E，记t＝OE•DE，求n•t的值．4．（2018年无锡中考第28题）已知：如图，一次函数y＝kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC＝2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC＝CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（，0），求这条抛物线的函数表达式．5．（2018年泰州中考第26题）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3△a，AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．6．（2018年镇江中考第25题）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；（△2）若ACE的面积为11，求点E的坐标；（3）当∠CBE＝∠ABO时，点E的坐标为．【专项突破】【题组一】1．（2019•常州二模）小韦同学十分崇拜科学家，立志成为有所发现、有所创造的人，他组建了三人探究小组，探究小组对以下问题有了发现：如图b，已知一次函数y＝x+1的图象分别与x轴和y轴相交于点E、F．过一次函数y＝（（ x +1 的图象上的动点 P 作 PB ⊥x 轴，垂足是 B ，直线 BP 交反比例函数 y的图象于点 Q ．过点 Q 作 QC ⊥y 轴，垂足是 C ，直线 QC 交一次函数 y ＝x +1 的图象于点 A ．当点 P 与点 E 重合时（如图 a ），∠POA 的度数是一个确定的值．请你加入该小组，继续探究：（1）当点 P 与点 E 重合时，∠POA ＝ °；（2）当点 P 不与点 E 重合时， 1）中的结论还成立吗？如果成立说明理由；如果不成立， 说明理由并求出∠POA 的度数．2．（2020•海门市校级模拟）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数 y（x ＞0）的图象交于点 P （n ，2），与 x 轴交于点 A （﹣4，0），与 y 轴交于点 C ，PB ⊥x 轴于点 B ， 且 AC ＝BC ．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出 kx +b的 x 的取值范围；（3）反比例函数图象上是否存在点 D ，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，求出点 D 的坐标；如果不存在，说明理由．3． 2019•滨海县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝kx +b 经过点 A （4，0）、B （0，2），点 P 是 x 轴正半轴上的动点，过点 P 作 PC ⊥x 轴，交直线 AB 于点 C ，以 OA 、AC 为边构造平行四边形 OACD ．设点 P 的横坐标为 m ．（1）若四边形 OACD 恰是菱形，请求出 m 的值；（2）在（1）的条件下，y 轴上是否存在点 Q ，连结 CQ ，使得∠OQC +∠ODC ＝180°？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2019•苏州一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y x+8的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C是x轴正半轴上的一点，以OA，OC为边作矩形AOCD，直线AB交OD于点E，交直线DC于点F．（1）如图2，若四边形AOCD是正方形．①求证：△AOE≌△COE；②过点C作CG⊥CE，交直线AB于点G．求证：CG＝FG．（2）是否存在点C，使得△CEF是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，请说明理由．【题组二】5．（2019•金湖县二模）已知，A（0，8），B（4，0），直线y＝﹣x沿x轴作平移运动，平移时交OA于D，交OB于C．（1）当直线y＝﹣x从点O出发以1单位长度/s的速度匀速沿x轴正方向平移，平移到达点B时结束运动，过点D作DE⊥y轴交AB于点E，连接CE，设运动时间为t（s）．①是否存在t值，使得△CDE是以CD为腰的等腰三角形？如果能，请直接写出相应的t值；如果不能，请说明理由．②将△CDE沿DE翻折后得到△FDE，设△EDF与△ADE重叠部分的面积为y（单位长度的平方）．求y关于t的函数关系式及相应的t的取值范围；（2）若点M是AB的中点，将MC绕点M顺时针旋转90°得到MN，连接AN，请直接写出AN+MN的最小值．6．（2019•江阴市模拟）如图，直线y x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是平行四边形．（1）当四边形OEDC是菱形，求△OAE的面积；（2）设点D的横坐标为△x，OAE的面积为S，求S关于x的函数关系式；（△3）若OAE为直角三角形，求点D的坐标．7．（2019•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，﹣2），C（﹣1，0），P（0，m）为y轴正半轴上的动点，连接CP，过P作CP的垂线，交直线AB于点M，交x轴于E，过点M作MN⊥y轴，垂足为N．（1）求直线AB对应的函数表达式；（2）随着m取不同值，线段PN的长度是否发生改变？若不变，求出PN的长，若改变，求出PN的取值范围．（3）作B关于x轴的对称点D，设△S CME＝S1，△S CDP＝S2，求的取值范围．8．（2019•宿豫区模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、AD上的动点，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，GE的延长线交DA的延长线于点H，连接AE、CF．（△1）求证：AEF的周长为定值；（2）求AG•AH的值；（△3）当CGH是等腰三角形时，求AF的值．【题组三】9．（2020•衡阳模拟）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为，点D的坐标为（用t表示）；（2）求证：PE＝AP+CE；（3）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？10．（2020•建湖县模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB＝90°且OA＝AB，OB，OC的长分别是二元一次方程组的解（OB＞OC）．（1）求点A和点B的坐标；（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t＝4时，直线l恰好过点C．①当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式；（ （ S ②当 m时，求点 P 的横坐标 t 的值．11． 2020 春•泰兴市校级月考）在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A （﹣4，0），点 B （0， △3）， ABO 绕点 B 顺时针旋转，得 △A ′BO ′，点 A 、O 旋转后的对应点为 A ′、O ′， 记旋转角为 α．（1）如图 1，若 α＝90°，求 AA ′的长；（2）在（1）的条件下，边 OA 上的一点 M 旋转后的对应点为 N ，当 O ′M +BN 取得最 小值时，在图中画出求点 M 的位置，并求出点 N 的坐标．（3）如图 △2，在 ABO 绕点 B 顺时针旋转过程中，以 AB 、A ′B 为邻边画菱形 ABA ′E ， F 是 AB 的中点，连 A ′F 交 BE 于 P ，BP 的垂直平分线交 AB 于 K ，当 α 从 60°到 90° 的变化过程中，点 K 的位置是否变化？若不变，求 BK 的长并直接写出此变化过程中点 P 的运动路径长．12． 2019 秋•海陵区校级月考）如图 1，在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点 A （﹣2，0），点 B （0，2）．（1）直接写求∠BAO 的度数；（2）如图 △1，将 AOB 绕点 O 顺时针得 △A ′OB ′，当 A ′恰好落在 AB 边上时，设△ AB ′O 的面积为 S 1， △BA ′O 的面积为 S 2，S 1 与 S 2 有何关系？为什么？（△3）若将 AOB 绕点 O 顺时针旋转到如图 2 所示的位置，1与 S 2 的关系发生变化了吗？ 证明你的判断．【题组四】13．（2019秋•南京月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，4），点C 是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B 重合）．初步探究（1）写出点B的坐标；（2）点C在x轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP．深入探究（3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论：并求出这个图形所对应的函数表达式．拓展应用（4）点C在x轴上移动过程中，当△POB为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标．14．（2019秋•高邮市期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（0，2），动点A从原点O出发，沿着x轴正方向移动，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形△ABP，设动点A的坐标为（t，0）（t≥0）．（1）当t＝2时，点P的坐标是；当t＝1时，点P的坐标是；（2）求出点P的坐标（用含t的代数式表示）；（3）已知点C的坐标为（1，1），连接PC、BC，过点P作PQ⊥y轴于点Q，求当t为何值时，当△PQB与△PCB全等．15．（2019秋•清江浦区期末）【问题背景】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，1），点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等腰直角三角形，且∠CAP＝90°（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等腰直角三角形AOB（此时点P与点B重合）．【初步探究】（1）写出点B的坐标；（2）点C在x轴上移动过程中，当等腰直角三角形ACP的顶点P在第四象限时，连接△BP．求证：AOC≌△ABP；【深入探究】（3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．经过探究发现，点P的横坐标总保持不变，请直接写出点P的横坐标：；【拓展延伸】（4）点C在x轴上移动过程中，当△POB为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标．16．（2019秋•东海县期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等腰直角三角形（∠ACP＝90°，点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等腰直角三角形AOB（此时点P与点B重合）．【初步探究】（1）写出点B的坐标；（2）点C在x轴上移动过程中，作PD⊥x轴，垂足为点D，都有△AOC≌△CDP，请在图2中画出当等腰直角△AOP的顶点P在第四象限时的图形，并求证：△AOC≌△CDP．【深入探究】（3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论，并求出这个图形所对应的函数表达式；（4）直接写出AP2的最小值为．（（【题组五】17．2019•溧水区一模）1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC 为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．18．（2019•射阳县一模）（1）发现：如图①，点A为一动点，点B和点C为两个定点，且BC＝a，AB＝b（a＞b）．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最小值，且最小值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图②应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝2，如图2分别以AB、AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD、BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最小值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，0），点P为线段外一动点，且OP＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请求出OM的最小值并直接写出点P的坐标．19．（2019秋•南通期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0）、B（0，b）、且|a+2|+（b+2a）2＝0，点P为x轴上一动点，连接BP；（1）求点A、B的坐标；（2）如图，在第一象限内作BC⊥AB且BC＝AB，连接CP，当CP⊥BC时，作CD⊥BP 于点D，求线段CD的长度；（3）在第一象限内作BQ⊥BP且BQ＝BP，连接PQ，设P（p，0），直接写出△S PCQ＝（用含p的式子表示）．20．（2020•连云港模拟）如图1，A（1，0）、B（0，2），双曲线y（x＞0）（1）若将线段AB绕A点顺时针旋转90°后B的对应点恰好落在双曲线y上①则k的值为；（x＞0）②将直线AB平移与双曲线y（x＞0）交于E、F，EF的中点为M（a，b），求的值；（2）将直线AB平移与双曲线y（x＞0）交于E、F，连接AE．若AB⊥AE，且EF＝2AB，如图2，直接写出k的值．【题组六】21．（2020•新都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A （﹣6，0），D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．（1）点B的坐标；（2）将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2019•海陵区二模）如图所示，反比例函数在第一象限内分支上有一动点A，连接AO并延长与另一分支交于点B，以AB为边作一个等边△ABC，使得点C落在第四象限内．（1）当BC平行x轴时，试求出点C的坐标；（2）在点A运动过程中，直接写出△ABC面积的最小值；（3）在点C的运动路径上是否存在点D，使得以A、B、C、D四个点构成的四边形为菱形？如果存在，请求出一个点D的坐标；如果不存在，请说明理由．（23．2019•商河县二模）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y与y（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线B D∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m＝4，n＝20时．①若点P的纵坐标为2，求点A和点B的坐标．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．24．（2019•镇江一模）经过点A（4，1）的直线与反比例函数y的图象交于点A、C，AB⊥y轴，垂足为B，连接BC．（1）求反比例函数的表达式；（△2）若ABC的面积为6，求直线AC的函数表达式；（3）在（2）的条件下，点P在双曲线位于第一象限的图象上，若∠P AC＝90°，则点P 的坐标是．答案与解析【真题再现】1．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．【分析】（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出的值．【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y＝图象上的一点，∴k＝2×6＝12．（2）∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝∴BC＝＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，上，P∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝＝．2．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB 的两条外角平分线交于点P，在反比例函数y＝的图象上．P A的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．（1）求∠P的度数及点P的坐标；（△2）求OCD的面积；（△3）AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，利用勾股定理求出a，b 之间的关系，求出OC，OD即可解决问题．（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，可得AB＝6﹣a﹣b，推出OA+OB+AB＝6，可得a+b+＝6，利用基本不等式即可解决问题．【解答】解：（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．∴∠PMA＝∠PHA＝90°，∵∠PAM＝∠P AH，PA＝PA，∴△PAM≌△P AH（AAS），∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，同理可证：△BPN≌△BPH，∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，∴四边形PMON是矩形，∴∠MPN＝90°，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝（∠MPH+∠NPH）＝45°，∵PM＝PN，∴可以假设P（m，m），∵P（m，m）在y＝上，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3，∴P（3，3）．（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，∴AB＝6﹣a﹣b，∵AB2＝OA2+OB2，∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，可得ab＝6a+6b﹣18，∴3a+3b﹣9＝ab，∵PM∥OC，∴∴＝＝，，∴OC＝，同法可得OD＝，∴△S COD＝•OC•DO＝•＝•＝•＝9．解法二：证明△COP∽△POD，得OC•OD＝OP2＝△18，可求COD的面积等于9．（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，∴AB＝6﹣a﹣b，∴OA+OB+AB＝6，∴a+b+＝6，∴2+≤6，∴（2+）≤6，∴≤3（2﹣），∴ab≤54﹣36，∴△S AOB＝ab≤27﹣18，∴△AOB的面积的最大值为27﹣18．3．如图，一次函数y＝x+3的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（1，m），与x轴相交于点B．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）C为反比例函数的图象上异于点A的一点，直线AC交x轴于点D，设直线AC所对应的函数表达式为y＝nx+b．①若△ABD的面积为12，求n、b的值；②作CE⊥x轴，垂足为E，记t＝OE•DE，求n•t的值．【分析】（1）直接利用A点横坐标代入y＝x+3求出m的值，进而得出k的值；（2）△①直接利用ABD的面积为12，得出BD的长进而得出D点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可得出答案；②根据一次函数与反比例函数的交点求法表示出E点坐标，得出EO，ED的长进而得出答案．【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+3，得y＝4，∴m＝4，∴A点坐标为：（1，4），∴k＝4，则反比例函数表达式为：y＝；（2）△①∵ABD的面积为12，A（1，4），∴BD＝6，把y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3，∴B点坐标为：（﹣3，0），∴D点的坐标为：（3，0），把x＝1，y＝4；x＝3，y＝0，分别代入y＝nx+b，解得：，（②把x＝1，y＝4代入得：n+b＝4，得b＝4﹣n，令y＝0，得x＝，∴点D的坐标为：（，0），当＝nx+4﹣n时，解得：x1＝1，x2＝﹣，∴点E的坐标为：（﹣，0），∴OE＝﹣，∴DE＝﹣（﹣）＝1，∵t＝OE•DE＝﹣，∴n•t＝﹣4．4．已知：如图，一次函数y＝kx﹣1的图象经过点A（3，m）m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC＝2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC＝CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣，0），求这条抛物线的函数表达式．【分析】（1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求AC和m（2）由∠APQ＝△90°，构造PQD∽△APE构造方程求点P坐标可求二次函数解析式．【解答】解：（1）过点A作AF⊥x轴，过点B作BF⊥CD于H，交AF于点F，过点C 作CE⊥AF于点E设AC＝n，则CD＝n∵点B坐标为（0，﹣1）∴CH＝n+1，AF＝m+1∵CH∥AF，BC＝2AC∴即：整理得：n＝△Rt AEC中，CE2+AE2＝AC2∴5+（m﹣n）2＝n2把n＝5+（m﹣代入）2＝（）2解得m1＝5，m2＝﹣3（舍去）∴n＝3∴把A（3，5）代入y＝kx﹣1得k＝∴y＝x﹣1（2）如图，过点A作AE⊥CD于点E 设点P坐标为（2，n），由已知n＞0由已知，PD⊥x轴∴△PQD∽△APE∴∴解得n1＝7，n2＝﹣2（舍去）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k∴y＝a（x﹣2）2+7把A（3，5）代入y＝a（x﹣2）2+7解得a＝﹣∴抛物线解析式为：y＝﹣5．平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3△a，AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．【分析】（1）由已知代入点坐标即可；（△2）面积问题可以转化为AOB面积，用a、k表示面积问题可解；（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上∴k＝8∴y1＝∵a＝2∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n解得∴y2＝x﹣2②当y1＞y2＞0时，y1＝图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方∴由图象得：2＜x＜4（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO∵O为AA′中点△S AOB＝△S ABA′＝8∵点A、B在双曲线上∴△S AOC＝△S BOD∴△S AOB＝S四边形ACDB＝8由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）∴解得k＝6（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）把A′代入到y＝﹣∴n＝∴A′D解析式为y＝当x＝a时，点D纵坐标为（ ∴AD ＝∵AD ＝AF ，∴点 F 和点 P 横坐标为∴点 P 纵坐标为∴点 P 在 y 1═ （x ＞0）的图象上6．如图，一次函数 y ＝kx +b （k ≠0）的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A （﹣9，0），B （0，6）两点，过点 C （2，0）作直线 l 与 BC 垂直，点 E 在直线 l 位于 x 轴上方的部分． （1）求一次函数 y ＝kx +b （k ≠0）的表达式； （△2）若 ACE 的面积为 11，求点 E 的坐标；（3）当∠CBE ＝∠ABO 时，点 E 的坐标为 （11，3） ．【分析】（1）利用待定系数法求出直线表达式；（2）先确定出直线 l 的解析式，最后用三角形的面积公式建立方程求解即可得出结论；（△3）先判断出 ABO ∽△EBC ，得出，再判断出△BOC ∽△CFE ，即可求出CF ，EF 即可得出结论． 【解答】解： 1）∵一次函数 y ＝kx +b （k ≠0）的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A （﹣9，0）， B （0，6）两点，∴，∴，∴一次函数 y ＝kx +b 的表达式为 y ＝ x +6；（2）如图，记直线 l 与 y 轴的交点为 D ， ∵BC ⊥l ，∴∠BCD ＝90°＝∠BOC ，∴∠OBC +∠OCB ＝∠OCD +∠OCB ， ∴∠OBC ＝∠OCD ， ∵∠BOC ＝∠COD ， ∴△OBC ∽△OCD ，∴，∵B（0，6），C（2，0），∴OB＝6，OC＝2，∴，∴OD＝，∴D（0，﹣），∵C（2，0），∴直线l的解析式为y＝x﹣，设E（t，t﹣），∵A（﹣9，0），C（2，0），∴△S ACE＝AC×y E＝×11×（t﹣）＝11，∴t＝8，∴E（8，2）；（3）如图，过点E作EF⊥x轴于F，连接BE，∵∠ABO＝∠CBE，∠AOB＝∠BCE＝90°∴△ABO∽△EBC，∴，∵∠BCE＝90°＝∠BOC，∴∠BCO+∠CBO＝∠BCO+∠ECF，∴∠CBO＝∠ECF，∵∠BOC＝∠EFC＝90°，∴△BOC∽△CFE，∴，∴，∴CF＝9，EF＝3，∴OF＝11，∴E（11，3）．故答案为（11，3）．（ （【专项突破】【题组一】1．小韦同学十分崇拜科学家，立志成为有所发现、有所创造的人，他组建了三人探究小组，探究小组对以下问题有了发现：如图 b ，已知一次函数 y ＝x +1 的图象分别与 x 轴和 y 轴相交于点 E 、F ．过一次函数 y ＝x +1 的图象上的动点 P 作 PB ⊥x 轴，垂足是 B ，直线 BP 交反比例函数 y ＝﹣的图象于点 Q ．过点 Q 作 QC ⊥y 轴，垂足是 C ，直线 QC 交一次函数 y ＝x +1 的图象于点 A ．当 点 P 与点 E 重合时（如图 a ），∠POA 的度数是一个确定的值． 请你加入该小组，继续探究：（1）当点 P 与点 E 重合时，∠POA ＝ 45 °； （2）当点 P 不与点 E 重合时， 1）中的结论还成立吗？如果成立说明理由；如果不成立， 说明理由并求出∠POA 的度数．【分析】 1）求出点 Q （﹣1， ），点 A 在一次函数上 y ＝x +1 上，当 y ＝ 时，x ＝﹣ ，即点 A （﹣ ， ），即可求解；（2）分点 P 在射线 FE 上（不包括端点 F ）、点 P 在射线端点 F 处、点 P 在射线 FE 反向 延长线上（不包括端点 F ），三种情况分别求解． 【解答】解：（1）y ＝x +1，令 x ＝0，则 y ＝1，令 y ＝0，则 x ＝﹣1， 即点 P （﹣1，0）、点 F （0，1），当 x ＝﹣1 时，y ＝﹣＝ ，即点 Q （﹣1， ），点 A 在一次函数上 y ＝x +1 上，当 y ＝ 时，x ＝﹣ ，即点 A （﹣ ， ），则 AC ＝OC ＝ ，故∠ACO ＝45°，故答案为 45；（2）① 当点 P 在射线 FE 上（不包括端点 F ）时， 由直线 y ＝x +1 得∠PEO ＝45°，设P（a，a+1），则Q（a，﹣），PQ＝﹣﹣a﹣1，AF＝（1+）∴PA＝（﹣﹣a﹣1），PF＝PA+AF＝﹣a，∴PA•PF＝2a2+2a+1，∵OP2＝a2+（a+1）2＝2a2+2a+1．∴PA•PF＝OP2，又∠APO＝∠OPF，∴△P AO∽△POF，∴∠POA＝∠PEO＝45°；②当点P在射线端点F处时，直线PB与双曲线无交点，不构成∠POA；③当点P在射线FE反向延长线上（不包括端点F）时，同理可得△AEO∽△OFP，∴∠AOE+∠POF＝45°，∴∠POA＝135°．2．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y＝kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y＝即可得出m的值，进而得出结论；（2）利用图象法，写出反比例函数图象想一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可；（3）根据菱形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，∴P（4，2），B（4，0），将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴一次函数解析式为y＝x+1，将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝．（2）观察图象可知，kx+b＜时，x的取值范围0＜x＜4．（3）如图所示，∵点C（0，1），B（4，0）∴BC＝＝，PC＝，∴以BC、PC为边构造菱形，∵四边形BCPD为菱形，∴PB垂直且平分CD，∵PB⊥x轴，P（4，2），∴点D（8，1）．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b经过点A（4，0）、B（0，2），点P是x轴正半轴上的动点，过点P作PC⊥x轴，交直线AB于点C，以OA、AC为边构造平行四边形OACD．设点P的横坐标为m．（1）若四边形OACD恰是菱形，请求出m的值；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在点Q，连结CQ，使得∠OQC+∠ODC＝180°？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（△1）先根据OAB∽△P AC，由比例线段用m表示PC与AP，再由勾股定理，用m表示AC，最后根据菱形的性质得OA＝AC，由此列出m的方程便可求得m；（2）设Q（0，△n），分两种情况分别由OAB∽△CQB和△BQC∽△BAO的比例线段列出n的方程，分别求出n的值便可．【解答】解：（1）∵A（4，0）、B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2，∵点P的横坐标为m．∴C（m，m+2），AP＝|4﹣m|，∵PC∥OB，∴△OAB∽△P AC，∴∴PC＝，即，，∴AC＝∵四边形OACD恰是菱形，，∴OA＝AC，即解得，m＝|4﹣m|＝4，；（2）存在，设点Q的坐标为（0，n），当m＝时，如图1所示∵四边形OACD恰是菱形，∴∠ODC＝∠CAO，∵∠CDO+∠OQC＝180°，∠OQC+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝∠BAO，∵∠QBC＝∠ABO，∴△BQC∽△BAO，∴，∵AC＝AO＝4，AB＝，∴BC＝AB﹣AC＝2﹣4，∴BQ＝＝10﹣4，∴2﹣n＝10﹣4，∴n＝4﹣8，∴Q（0，4﹣8）．当m＝时，如图2所示，∵直线AB的解析式为：y＝﹣x+2，∴C（，﹣），∵四边形OACD恰是菱形，∴∠ODC＝∠CAO，∵∠CDO+∠OQC＝180°，∠OAC+∠OAB＝180°，∴∠OQC＝∠BAO，∵∠AOB＝∠POQ＝90°，∴△BQC∽△BAO，∴，即，解得，n＝﹣8﹣4，此时，Q（0，﹣8﹣4），综上，Q点的坐标为（0，4﹣8）或（0，﹣8﹣4）（4．如图 1，在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝﹣ x +8 的图象与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于点 B ，点 C 是 x 轴正半轴上的一点，以 OA ，OC 为边作矩形 AOCD ，直线 AB 交 OD 于点 E ，交直线 DC 于点 F ．（1）如图 2，若四边形 AOCD 是正方形． ①求证：△AOE ≌△COE ；②过点 C 作 CG ⊥CE ，交直线 AB 于点 G ．求证：CG ＝FG ．（2）是否存在点 C ，使得△CEF 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在， 请说明理由．【分析】 1）①由四边形 AOCD 是正方形知 AO ＝CO ，∠AOD ＝∠EOC ，据此依据“SAS ”可证得△AOE ≌△COE ；②∠ECB +∠CBG ＝90°，∠CBG ＝∠BCG ，在 △Rt BCF 中，∠BCG +∠FCG ＝90°，∠ CBG +∠CFB ＝90°，利用角的代换得到∠GCF ＝∠CFG ，即可解题；（2）设 C （m ，0），则可表示出 F （m ，﹣ m +8），D （m ，8），E （， ），利用勾股定理分别求出 EC 2＝ ，CF 2＝ ，EF 2＝；然后分三种情况进行讨论：①当 EC ＝EF 时， ＝ ；②当 CF ＝EF 时， ＝ ；③当 EC ＝EF 时，＝ ；【解答】解：（1）①∵四边形 AOCD 是正方形． ∴AO ＝CO ，∠AOD ＝∠EOC ， ∴△AOE ≌△COE （SAS ）； ②∴△AOE ≌△COE ，∴∠OAB ＝∠ECB ，∵∠OAB +∠OBA ＝∠OAB +∠CBG ＝90°， ∴∠ECB +∠CBG ＝90°， ∵CG ⊥CE ，∴∠CBG ＝∠BCG ， ∴BG ＝CG ，在△Rt BCF中，∠BCG+∠FCG＝90°，∠CBG+∠CFB＝90°，∴∠GCF＝∠CFG，∴CG＝GF；（2）设C（m，0），F（m，﹣m+8），D（m，8），直线OD的解析式为y＝x，两直线y＝x与y＝﹣x+8的交点为E，x＝﹣x+8，∴x＝∴E（∴EC2＝，，），，CF2＝，EF2＝，当EC＝CF时，＝，∴m＝；∴EC＝﹣8+；当CF＝EF时，＝，∴m＝4；∴CF＝；当EC＝EF时，＝，∴m＝6；此时C与F重合，不合题意；综上所述：m＝4或m＝时△CEF是等腰三角形，腰长分别为或﹣8+；【题组二】5．已知，A（0，8），B（4，0），直线y＝﹣x沿x轴作平移运动，平移时交OA于D，交OB于C．（1）当直线y＝﹣x从点O出发以1单位长度/s的速度匀速沿x轴正方向平移，平移到达点B时结束运动，过点D作DE⊥y轴交AB于点E，连接CE，设运动时间为t（s）．。

一、简单专题集训函数图象与性质探究题(连续5年考查)类型一分析数据、探究函数问题(2019.24新考查)1.(2019房山区一模改编)如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E.连接AC，已知AB＝6cm.第1题图小东根据学习函数的经验，对线段AC、BE的长度之间的关系进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)对于点C在⊙O上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC、BE的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6BE/cm 1.27 2.82 2.82 2.63 1.840AC/cm 1.24 3.45 4.91 5.16 5.676在AC、BE的长度这两个变量中，确定的长度是自变量，的长度是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当BE＝2时，AC的长度约为cm.2.(2019通州区期末改编)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB＝30°，D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与⊙O的其中一个交点记为点E(点E位于直线CD上方或左侧)，连接E C.第2题图小东根据学习函数的经验，对线段AD，CD，EC的长度之间的关系进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)对于点D在直径AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AD，CD，EC的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7AD/cm0 1.1423456CD/cm 5.20 4.49 3.60 3.00 2.65 2.65 3.00EC/cm 5.20 4.24 4.22 4.24 4.77 5.60 6.00在AD，CD，EC的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为cm.3.(2019门头沟区二模改编)如图，E为半圆O直径AB上一动点，C为半圆上一定点，连接AC和BC，AD平分∠CAB交BC于点D，连接CE和DE.第3题图小腾根据学习函数的经验，对线段AE，CE，DE长度之间的关系进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)对于点E在直径AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AE，CE，DE的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7CE/cm 2.50 2.28 2.50 3.00 3.72 4.64 5.44DE/cm 2.98 2.29 1.69 1.69 2.18 3.05 3.84AE/cm0.000.87 2.11 3.02 4.00 5.12 6.00在AE，CE，DE的长度这三个量中，确定的长度是自变量，自变量的取值范围是；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定函数的图象；(3)结合函数的图象，解决问题：当△ACE为等腰三角形时，AE的长度约为cm(结果精确到0.01).4.(2019丰台区二模改编)如图，点M 是⊙O 中AB ︵上一定点，点P 是弦AB 上一动点.过点A 作射线MP 的垂线交⊙O 于点C ，连接PC ，已知AB ＝5cm.第4题图小腾根据学习函数的经验，对线段AP ，AC ，PC 的长度之间的关系进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)对于点P 在弦AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP ，AC ，PC 的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6AP /cm 0.000.99 2.47 3.01 3.98 5.00AC /cm 2.55 3.10 4.31 4.74 4.97 4.31PC /cm2.552.612.522.121.112.55在AP ，AC ，PC 的长度的三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，画出(1)中所确定函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：在点P 的运动过程中，当AC 与PC 的差为最大值时，AP 的长度约为cm.类型二测量与分析数据、探究函数问题(8年2考：2018.24、2017.26)1.(2019朝阳区一模)小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题，两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D以1cm/s的速度从点C向点B运动，点E以2cm/s的速度从点A向点B运动，当点E到达点B时，两点同时停止运动，若点D，E同时出发，多长时间后DE取得最小值？第1题图小超猜想当DE⊥AB时，DE最小.探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设C，D两点间的距离为x cm，D，E两点的距离为y cm，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小超的探究过程，请补充完整：(1)由题意可知线段AE和CD的数量关系是：；(2)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；x/cm012345y/cm 6.0 4.8 3.8 2.7 3.0(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)(3)在平面直角坐标系中，描出以补全后表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(4)结合画出的函数图象，解决问题：小超的猜想；(填“正确”或“不正确”)当两点同时出发了s时，DE取得最小值，为cm.2.(2019西城区一模)如图，AB ︵是直径AB 所对的半圆弧，C 是AB ︵上一定点，D 是AB ︵上一动点，连接DA 、DB 、D C.已知AB ＝5cm ，设D 、A 两点间的距离为x cm ，D 、B 两点间的距离为y 1cm ，D ，C 两点间的距离为y 2cm.第2题图小腾根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 1，y 2与x 的几组对应值；x /cm 012345y 1/cm 5 4.9430y 2/cm43.322.47 1.43(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，y 1)，(x ，y 2)，并画出函数y 1，y 2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：连接BC ，当△BCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，DA 的长度约为cm.3.(2019东城区一模)如图，点E 在弦AB 所对的优弧上，且BE ︵为半圆，C 是BE ︵上的动点，连接CA ，C B.已知AB ＝4cm ，设B ，C 两点间的距离为x cm ，点C 到弦AB 所在直线的距离为y 1cm ，A ，C 两点间的距离为y 2cm.第3题图小明根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 1，y 2与x 的几组对应值；x /cm 0123456y 1/cm 00.78 1.76 2.853.984.95 4.47y 2/cm44.695.265.965.944.47(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，y 1)，(x ，y 2)，并画出函数y 1，y 2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：①连接BE ，则BE 的长约为cm ；②当以A ，B ，C 为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC 的长度约为cm.4.(2019海淀区一模)如图，线段AB及一定点C，P是线段AB上一动点，作直线CP，过点A作AQ⊥CP 于点Q.已知AB＝7cm，设A，P两点间的距离为x cm，A，Q两点间的距离为y1cm，P，Q两点间的距离为y2cm.小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.第4题图下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm00.30.50.81 1.5y1/cm00.280.490.791 1.48y2/cm00.080.090.0600.29x/cm234567y1/cm 1.87 2.37 2.61 2.72 2.76 2.78y2/cm0.73 1.82 4.20 5.33 6.41(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当△APQ中有一个角为30°时，AP的长度约为cm.类型三新函数性质探究问题(8年2考：2016.26、2015.26)1.(2019西城区二模)某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减.若一次服药后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与服药后的时间t(单位：小时)之间近似满足某种函数关系，下表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示.t012346810…y024 2.83210.50.25…第1题图(1)在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点(t，y)，并补全该函数图象；(2)结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为微克.2.(2019海淀区二模)有这样一个问题：探究函数y ＝18x 2－1x的图象与性质.小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数y ＝18x 2－1x 的图象与性质进行了探究.下面是小宇的探究过程，请补充完整：(1)函数y ＝18x 2－1x的自变量x 的取值范围是；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，完成以下作图步骤：①画出函数y ＝14x 2和y ＝－2x的图象；②在x 轴上取一点P ，过点P 作x 轴的垂线l ，分别交函数y ＝14x 2和y ＝－2x 的图象于点M ，N ，记线段MN 的中点为G ；③在x 轴正半轴上多次改变点P 的位置，用②的方法得到相应的点G ，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数y ＝18x 2－1x 在y 轴右侧的图象.继续在x 轴负半轴上多次改变点P 的位置，重复上述操作得到该函数在y 轴左侧的图象.第2题图(3)结合函数y ＝18x 2－1x的图象，发现：①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为(保留小数点后一位)；②该函数还具有的性质为：(一条即可)。

初三数学函数专题综合复习题函数综合复习训练题一 .反比例函数、一次函数部分7．如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为（保留根号）．8如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S >9如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．10如图，直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ?=2，则k 的值是（） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、411.将直线y x =向左平移1个单位长度后得到直线a ，如图3，直线a 与反比例函数()10y x x=>的图像相交于A ，与x 轴相交于B ，则22OA OB -=图512.从2、3、4、5这四个数中，任取两个数()p q p q ≠和，构成函数2y p x y x q=-=+和，并使这两个函数图象的交点在直线2x =的右侧，则这样的有序数对()p q ，共有（） A ．12对B ．6对C ．5对D ．3对15.已知, A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数16y x=（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）\16如图7所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ）在函数y=x9（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n －1A n ……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2 ,……A n-1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…+y n = 。

热点专题9 函数综合问题有关函数的综合题是每年中考数学的压轴大戏，几乎全国各大城市的压轴题都与函数有关．所以函数综合问题既是每年的热点，也是重点，更是难点．导致几乎所有学生见到函数综合题就害怕，函数综合题对学生的知识掌握程度及分析问题的综合能力的要求都非常高，再加上这种题目多与动点或最值相关，这就使得难度又升级了．所以要想处理好这种类型的问题，关键是对几种函数的性质和图象要熟悉，基础知识要牢固，另外平时多做练习，多总结处理这种问题的一些常见策略和方法，熟能生巧．中考要求熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质．学会用运动的观点分析和解决有关函数问题．会利用数形结合的思想解决有关的数学问题．考向1函数图象共存问题1. (2019 山东省德州市)若函数kyx=与2y ax bx c=++的图象如图所示，则函数y kx b=+的大致图象为()A．B．C．D．【答案】C【解析】根据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0，根据二次函数的图象确知a＞0，b＜0，∴函数y=kx+b的大致图象经过二、三、四象限，故选：C．2． (2019 山东省青岛市)已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x 和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵当x ＝0时，y ＝ax 2﹣2x ＝0，即抛物线y ＝ax 2﹣2x 经过原点，故A 错误； ∵反比例函数y ＝的图象在第一、三象限，∴ab ＞0，即a 、b 同号，当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2﹣2x 的对称轴x ＝＜0，对称轴在y 轴左边，故D 错误；当a ＞0时，b ＞0，直线y ＝bx +a 经过第一、二、三象限，故B 错误，C 正确． 故选：C ．考向2 函数与不等式问题1. (2019 山东省德州市)在下列函数图象上任取不同两点11(P x ，1)y 、22(P x ，2)y ，一定能使21210y y x x -<-成立的是( ) A ．31(0)y x x =-<B ．221(0)y x x x =-+->C ．30)y x => D ．241(0)y x x x =--<【答案】D【解析】A 、∵k=3＞0∴y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2∴当x＜0时，＞0，故A选项不符合；B、∵对称轴为直线x=1，∴当0＜x＜1时y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，∴当0＜x＜1时：当x1＞x2时，必有y1＞y2此时＞0，故B选项不符合；C、当x＞0时，y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2此时＞0，故C选项不符合；D、∵对称轴为直线x=2，∴当x＜0时y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2此时＜0，故D选项符合；故选：D．2. (2019 山东省潍坊市)抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．2≤t＜11 B．t≥2C．6＜t＜11 D．2≤t＜6【答案】D【解析】∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3，∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，当x＝﹣1时，y＝6；当x＝4时，y＝11；函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；∴2≤t＜6；故选：D．3. (2019 山东省济宁市)如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是．【答案】x＜﹣3或x＞1【解析】∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．故答案为：x＜﹣3或x＞1．考向3函数与方程问题1. (2019 山东省泰安市)若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为．【答案】x1＝2，x2＝4【解析】∵二次函数y＝x2＋bx﹣5的对称轴为直线x＝2，∴，得b＝﹣4，则x2＋bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得，x1＝2，x2＝4．故意答案为：x1＝2，x2＝4．考向4二次函数与动点最值问题1. (2019 山东省滨州市)如图①，抛物线y＝﹣x2＋x＋4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．【解析】（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），当y＝0时，0＝﹣x2＋x＋4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C 的坐标为（8，0），∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），∴PN＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（﹣t2+t）＝t＝﹣（t﹣6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得，t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，﹣），当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P1AD＝＝；当P2的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，∴sin∠P2AD＝＝；由上可得，sin∠PAD的值是或．2. (2019 山东省东营市)已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．3. (2019 山东省聊城市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A （﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．【解析】（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠PAE≠∠CAO，∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，此时，即：，∴AE＝4PE，设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，∴OE＝4k﹣2，将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：k＝0或（舍去0），则点P（，）；（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴，∴S△PDF＝•S△BOC，而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝．。

2020年中考数学函数专题(附答案)2020年中考数学函数专题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.在函数中，自变量的取值范围是（）。

A。

未给出B。

全体实数C。

正实数D。

负实数2.已知抛物线y=－x^2+2x－3，下列判断正确的是（）。

A。

开口方向向上，y有最小值是－2B。

抛物线与x轴有两个交点C。

顶点坐标是（－1，－2）D。

当x＜1时，y随x增大而增大3.长方形的周长为24 cm，其中一边长为x cm（其中＜x ＜12），面积为y cm^2，则该长方形中y与x的关系式可以写为（）。

A。

y＝x^2B。

y＝(12－x)^2C。

y＝(12－x)·xD。

y＝2(12－x)4.已知将二次函数y=x^2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x^2－4x－5，则b，c的值为（）。

A。

b=0，c=6B。

b=0，c=－5C。

b=0，c=－6D。

b=0，c=55.下列四个函数中，自变量的取值范围为≥1的是（）。

A。

y=2xB。

y=√xC。

y=－xD。

y=x^26.已知二次函数y=a(x－2)^2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1－2|＞|x2－2|，则下列表达式正确的是（）。

A。

y1+y2＞0B。

y1－y2＞0C。

a(y1－y2)＞0D。

a(y1＋y2)＞07.从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t－5t^2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（）。

A。

6sB。

4sC。

3sD。

2s8.已知一元二次方程：①x^2＋2x＋3＝0，②x^2－2x－3＝0.下列说法正确的是（）。

A。

①②有实数解B。

①无实数解，②有实数解C。

①有实数解，②无实数解D。

①②都无实数解9.如图，在边长4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△CDE沿直线DE折叠后，点C落在点F处，连接BF、EF，将其打开、展平，得折痕DE。

二次函数综合能力提升 ——各类题型逐一突破一、【二次函数的定义】二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 例1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－2x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ；⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =(4,x) ；⑧y=－∏x 。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。

4、若函数y=(m －2)x m2 －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。

5、k 为何值时，y=（k ＋2）x 622--k k 是关于x 的二次函数？训练题:1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2．当m 时，y=（m －2）x22-m 是二次函数．3．已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．4．在物理学内容中，如果某一物体质量为m ，它运动时的能量E 与它的运动速度v 之间的关系是E=21mv 2（m 为定值）．v 1 2 3 4 5 6 7 8E（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E 扩大为原来的多少倍？ 5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限6．下列不是二次函数的是（ ）A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52-xD ．y=（x ＋1）（x －2）7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．9．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．10．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．（1）AE 用含y 的代数式表示为：AE= ； （2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的 取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．二、【二次函数y=ax 2+bx+c 的图象特征与a 、b 、c 的关系】* a 决定开口方向，a ＞ 0，开口向上；a ＜ 0，开口向下。