中考数学应用题专题训练-数学中考应用题

中考专题训练——不定方程的应用题不定方程是指未知数满足一定条件的方程，其解可以是整数、有理数、实数或复数。

不定方程的应用题在数学问题中具有重要的实际意义。

下面我们来讨论一些中考中常见的不定方程应用题。

一、鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是一类经典的不定方程应用题。

假设鸡和兔子的总数量为n，总脚数为m。

已知鸡的脚数为2，兔子的脚数为4、问题是如何确定鸡和兔子的数量。

我们可以设鸡的数量为x，兔子的数量为n-x（因为鸡和兔子总数为n）。

根据题意可以列出方程：2x+4(n-x)=m化简方程得到：2x+4n-4x=m整理得到：2n-2x=m将n看作常数，此时方程为一元一次方程。

我们可以通过解方程来确定鸡和兔子的数量。

例题：一共有20只鸡和兔子，它们的总脚数为56、求鸡和兔子的数量分别是多少？解答：设鸡的数量为x，兔子的数量为20-x。

根据题意可得方程：2x+4(20-x)=56化简得方程：2x+80-4x=56整理得：-2x=-24解得：x=12所以鸡的数量为12，兔子的数量为20-12=8二、汉诺塔问题汉诺塔问题是另一个经典的不定方程应用题。

问题是如何将一堆盘子从起始柱子移动到目标柱子，过程中需要满足以下条件：(1)每次只能移动一个盘子；(2)大盘子不能放在小盘子上面。

假设有n个盘子，设解为f(n)，可以将其分解为三个步骤：(1)将n-1个盘子从起始柱子移动到过渡柱子；(2)将第n个盘子从起始柱子移动到目标柱子；(3)将n-1个盘子从过渡柱子移动到目标柱子。

根据上述分解可得递推公式：f(n)=2f(n-1)+1其中f(1)=1为初始条件。

例题：有3个盘子，问最少需要多少步才能将它们从起始柱子移动到目标柱子？解答：根据递推公式可得：f(3)=2f(2)+1=2(2f(1)+1)+1=7所以最少需要7步才能将3个盘子从起始柱子移动到目标柱子。

三、梯子问题梯子问题是另一个常见的不定方程应用题。

问题是如何确定梯子的总长度。

1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -3D. 2/32. 已知数列 {an} 的前n项和为 Sn，且 S1=2，S2=5，S3=12，则数列 {an} 的通项公式是（）A. an=3n-1B. an=3nC. an=3n+1D. an=3n-23. 已知 a，b，c 成等差数列，且 a+b+c=0，则 b 的值是（）A. 0B. -1C. 1D. 24. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形5. 已知二次函数 y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（-2，0）和（1，0），则该函数的解析式是（）A. y=x^2-2x-2B. y=x^2+2x-2C. y=x^2-2x+2D. y=x^2+2x+2二、填空题6. 若 a，b，c 成等差数列，且 a+b+c=0，则 b 的值是______。

7. 已知二次函数 y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（-2，0）和（1，0），则该函数的解析式是______。

8. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，则△ABC是______。

9. 已知数列 {an} 的前n项和为 Sn，且 S1=2，S2=5，S3=12，则数列 {an} 的通项公式是______。

三、解答题10. （15分）已知 a，b，c 成等差数列，且 a+b+c=0，求证：b=0。

证明：由题意得：a+b+c=0。

又因为 a，b，c 成等差数列，所以有 2b=a+c。

将 a+b+c=0 代入上式得：2b+2b=0，即 4b=0。

因此，b=0。

证毕。

11. （15分）已知二次函数 y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（-2，0）和（1，0），求该函数的解析式。

解：设该二次函数的解析式为 y=ax^2+bx+c。

A M 4530B 北第4题 中考应用题附参考答案1。

（2010年广西桂林适应训练）某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同,书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元,且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元?（2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售,超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券,购物券全场通用)，该同学只带了400元钱，他能否在这两家超市都可以买下看中的这两样商品？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？2。

（2010年黑龙江一模）某车间要生产220件产品,做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件,最后总共用4天完成了任务．求改进操作方法后，每天生产多少件产品?设改进操作方法后每天生产x 件产品,则改进前每天生产(10)x -件产品．3。

（2010广东省中考拟)A,B 两地相距18km ，甲工程队要在A ，B 两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A,B 两地间铺设一条输油管道,已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1km ，甲工程队提前3周开工,结果两队同时完成任务,求甲、乙工程队每周各铺设多少管道？4.（2010年广东省中考拟）如图,是一个实际问题抽象的几何模型，已知A 、B 之间的距离为300m ，求点M 到直线AB 的距离（精确到整数）．并能设计一种测量方案？(参考数据：7.13≈，4.12≈）5。

（2010年湖南模拟）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，•结果提前4天完成任务，问原计划每天栽多少棵桂花树。

6。

(2010年厦门湖里模拟)某果品基地用汽车装运A 、B 、C三种不同品牌的水果到外地销售,按规定每辆汽车只能装同种水果，且必须装满,其中A 、B 、C 三种水果的重量及利润按下表提供信息： 水果品牌 A B C每辆汽车载重量(吨） 2．2 2．1 2每吨水果可获利润（百元） 6 8 5（1）若用7辆汽车装运A 、C 两种水果共15吨到甲地销售，如何安排汽车装运A 、C 两种水果？（2)计划用20辆汽车装运A 、B 、C 三种不同水果共42吨到乙地销售(每种水果不少于2车），请你设计一种装运方案，可使果品基地获得最大利润，并求出最大利润.7.（2010年杭州月考）某公司有A 型产品40件，B 型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售,其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：A 型利润B 型利润 甲店 200 170乙店 160 150（1）设分配给甲店A 型产品x 件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W （元），求W 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2)若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；（3）为了促销,公司决定仅对甲店A 型产品让利销售,每件让利a 元，但让利后A 型产品的每件利润仍高于甲店B 型产品的每件利润．甲店的B 型产品以及乙店的A B ，型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大?8.（2010年河南中考模拟题1）某市一些村庄发生旱灾，市政府决定从甲、乙两水库向A 、B 两村调水，其中A 村需水15万吨，B 村需水13万吨，甲、乙两水库各可调出水14万吨。

2023年中考第一轮复习应用题专项训练一、解答题1．为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵20元，4套队服与5个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买10套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是；若购买队服超过90套，则购买足球打八折．(1)求每套队服和每个足球的价格分别是多少？(2)若计划一共购买100套队服和m（m大于10）个足球，请用含m的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；(3)在（2）的条件下，若需要购买40个足球，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？请说明理由．2．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？3．为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．(1)绳子和实心球的单价各是多少元？(2)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？根据译文，解决下列问题：(1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为；(2)求兽、鸟各有多少．5．某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？6．端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B 品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？7．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？8．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？9．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？10．某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．(1)篮球和排球的单价各是多少元？(2)现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？11．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？12．阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？13．为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．(1)原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？(2)在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？14．今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？。

中考冲刺应用专题1.六•一前夕，某幼儿园园长到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？（2）该服装A品牌每套售价为130元，B品牌每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利超过1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？2.某公司用6000元购进A，B两种电话机25台，购买A种电话机与购买B种电话机的费用相等．已知A种电话机的单价是B种电话机单价的1.5倍．（1）求A，B两种电话机的单价各是多少？（2）若计划用不超过8000元的资金再次购进A，B两种话机共30台，已知A，B两种电话机的进价不变，求最多能购进多少台A种电话机？3.2020年2月22日深圳地铁10号线华南城站试运行，预计今年6月正式开通。

在地铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，12天可以完成，共需工程费用27720元；已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费用比乙队多250元。

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由。

4.某县积极响应国家优先发展教育事业的重大部署，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．（1）求原计划每天铺设路面多少米？（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资为2000元，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？5. 某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？6. 某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？7.某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？8.某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？9.甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？（2）我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？10.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？11.资中某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元．（1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为24，并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍．问怎样购买最省钱？12.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？13.某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A 种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．（1）该物流公司5月份运输两种货物各多少吨？（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B 货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？14.某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据中学的实际情况，需从体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？15.为建设“生态园林城市”吉安市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？参考答案1、解：（1）设A 品牌服装每套进价为x 元，则B 品牌服装每套进价为（x ﹣25）元，由题意得：＝×2，解得：x ＝100，经检验：x ＝100是原分式方程的解，x ﹣25＝100﹣25＝75，答：A 、B 两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；（2）设购进A 品牌的服装a 套，则购进B 品牌服装（2a+4）套，由题意得：（130﹣100）a+（95﹣75）（2a+4）＞1200，解得：a ＞16，答：至少购进A 品牌服装的数量是17套．2、解：（1）设B 种电话机的单价是x 元，则A 种电话机的单价是1.5x 元，依题意，得：+＝25， 解得：x ＝200，经检验，x ＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.5x ＝300．答：A 种电话机的单价是300元，B 种电话机的单价是200元．（2）设购进m 台A 种电话机，则购进（30﹣m ）台B 种电话机，依题意，得：300m+200（30﹣m ）≤8000，解得：m ≤20．答：最多能购进20台A 种电话机．3、解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x 天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x 天，依题意，得：12x +121.5x=1， 解得：x ＝20，经检验，x ＝20是原分式方程的解，且符合题意，∴1.5x ＝30．答：甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程需30天；（2）设甲工程队每天的费用是y元，则乙工程队每天的费用是（y﹣250）元，依题意，得：12y+12（y﹣250）＝27720，解得：y＝1280，∴y﹣250＝1030．甲工程队单独完成共需要费用：1280×20＝25600（元），乙工程队单独完成共需要费用：1030×30＝30900（元）．∵25600＜30900，∴甲工程队单独完成需要的费用低，应选甲工程队单独完成．4、解：（1）设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面（1+25%）x米，依题意，得：+＝13，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．答：原计划每天铺设路面80米．（2）1500×+2000×（13﹣）＝23500（元）．答：完成整个工程后承包商共支付工人工资23500元．5、解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据题意得：=，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解，∴x﹣9=26．答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，根据题意得：26a+35（200﹣a）=6280，解得：a=80．答：购买了80条A型芯片．6、解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，=x=15，。

人教版九年级数学中考应用题专项练习例1. 某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率)-==利润售价进价进价进价． （2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？【解答】解：（1）设这款空调每台的进价为x 元，根据题意得：16350.89%x x⨯-=， 解得：1200x =，经检验：1200x =是原方程的解．答：这款空调每台的进价为1200元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：10012009%10800⨯⨯=元．例2. 某电器商场销售A 、B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元．（1）求商场销售A 、B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格-进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A 、B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？【解答】解：（1）设A 种型号计算器的销售价格是x 元，B 种型号计算器的销售价格是y 元，由题意得：5(30)(40)766(30)3(40)120x y x y -+-=⎧⎨-+-=⎩， 解得：4256x y =⎧⎨=⎩； 答：A 种型号计算器的销售价格是42元，B 种型号计算器的销售价格是56元；（2）设购进A 型计算器a 台，则购进B 型计算器：(70)a -台，则3040(70)2500a a +-，解得：30a ，答：最少需要购进A 型号的计算器30台．例3.某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？【解答】解：（1）设原计划每天修建道路x米，可得：1200120041.5x x=+，解得：100x=，经检验100x=是原方程的解，答：原计划每天修建道路100米；（2）设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加%y，可得：120012002 100100100%y=++，解得：20y=，经检验20y=是原方程的解，答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．例4.学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？【解答】解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题意得：3020680 50401240x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：1216xy=⎧⎨=⎩．答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．20．（7分）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？【解答】解：（1）设原计划每天修建道路x米，可得：1200120041.5x x=+，解得：100x=，经检验100x=是原方程的解，答：原计划每天修建道路100米；（2）设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加%y，可得：120012002 100100100%y=++，解得：20y=，经检验20y=是原方程的解，答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．例5. 某公司购买了一批A 、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A 、B 型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A 型芯片？【解答】解：（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为(9)x -元/条， 根据题意得：312042009x x=-， 解得：35x =，经检验，35x =是原方程的解，926x ∴-=．答：A 型芯片的单价为26元/条，B 型芯片的单价为35元/条．（2）设购买a 条A 型芯片，则购买(200)a -条B 型芯片，根据题意得：2635(200)6280a a +-=，解得：80a =．答：购买了80条A 型芯片．例6. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意得：1(1)81x x x +++=， 整理得2(1)81x +=，则19x +=或19x +=-，解得18x =，210x =-（舍去）， 2233(1)(1)(1)(18)729700x x x x ∴+++=+=+=>．答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．例7. 某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．（1）请你帮助学校设计所有可行的租车方案；（2）如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省？【解答】解：（1）设租用甲车x 辆，则乙车(10)x -辆．根据题意，得4030(10)3401620(10)170x x x x +-⎧⎨+-⎩， 解，得47.5x ．又x 是整数，4x ∴=或5或6或7．共有四种方案：①甲4辆，乙6辆；②甲5辆，乙5辆；③甲6辆，乙4辆；④甲7辆，乙3辆．（2）①甲4辆，乙6辆；总费用为420006180018800⨯+⨯=元；②甲5辆，乙5辆；总费用520005180019000⨯+⨯=元；③甲6辆，乙4辆；总费用为620004180019200⨯+⨯=元；④甲7辆，乙3辆．总费用为720003180019400⨯+⨯=元；因为乙车的租金少，所以乙车越多，总费用越少．故选方案①．例8. 某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，问该品牌饮料一箱有多少瓶？【解答】解：设该品牌饮料一箱有x 瓶，依题意，得26260.63x x -=+，化简，得231300x x +-=，解得113x =-（不合题意，舍去），210x =，经检验：10x =符合题意，答：该品牌饮料一箱有10瓶．例9. 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？【解答】解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x ．根据题意得：25000(1)7200x +=，解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为7200(1)7200(120%)8640x +=⨯+=（万人次）． 答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．例10.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？【解答】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，210000(1)12100x⨯+=，解得10.1x=，22.1x=-（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为10%．（2）12100(110%)13310⨯+=元．答：第四天该单位能收到13310元捐款．。

数学中考应用题及答案1. 某工厂生产一种产品，原计划每天生产100件，实际每天生产120件。

若原计划生产时间为30天，实际生产时间为25天，求实际生产效率比原计划提高了百分之几？答案：解：首先计算原计划和实际的生产总量。

原计划生产总量 = 100件/天× 30天 = 3000件实际生产总量 = 120件/天× 25天 = 3000件接下来计算提高的百分比。

提高的百分比 = [(实际生产量 - 原计划生产量) / 原计划生产量] × 100%提高的百分比 = [(3000 - 3000) / 3000] × 100% = 0%答：实际生产效率与原计划相比没有提高。

2. 某商店购进一批商品，进价为每件20元，若按每件30元出售，可售出500件。

若每件商品提价1元，销售量将减少20件。

求该商店为获得最大利润，每件商品应定价多少元？答案：解：设每件商品提价x元，则每件商品的售价为(30+x)元，销售量为(500-20x)件。

利润函数为：y = (30+x-20)(500-20x) = -20x^2 + 300x + 5000这是一个开口向下的二次函数，对称轴为x = 7.5。

当x = 7.5时，y取得最大值，此时售价为30 + 7.5 = 37.5元。

答：每件商品应定价为37.5元，此时利润最大。

3. 某校组织学生去春游，若租用45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，其余车刚好坐满。

求该校共有多少名学生？答案：解：设租用45座客车x辆，则学生总数为45x + 15。

根据题意，租用60座客车时，有(x-1)辆坐满，一辆空着，所以学生总数为60(x-1)。

将两个表达式相等，得到方程：45x + 15 = 60(x-1)解方程得：45x + 15 = 60x - 6015 + 60 = 60x - 45x75 = 15xx = 5所以，学生总数为：45 × 5 + 15 = 240人。

中考数学应用题（各类应用题汇总练习）中考应用题列方程(组)解应用题是中考的必考内容，必是中考的热点考题之一，列方程(组)解应用题的关键与难点是如何找到能够表示题目全部含义的相等关系，所谓“能表示全部含义”就是指在相等关系中，题目所给出的全部条件(包括所求的量)都要给予充分利用，不能漏掉，但也不能把同一条件重复使用，应用题中的相等关系通常有两种，一种是通过题目的一些关键词语表现出来的明显的相等关系，如“多”、“少”、“增加”、“减少”、“快”、“慢”等，另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含相等关系，这也是中考的重点和难点，此时需全面深入的理解题意，结合日常生活常识和自然科学知识才能做到．解应用题的一般步骤：解应用题的一般步骤可以归结为：“审、设、列、解、验、答”．1、“审”是指读懂题目，弄清题意，明确题目中的已知量，未知量，以及它们之间的关系，审题时也可以利用图示法，列表法来帮助理解题意．2、“设”是指设元，也就是未知数．包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目)．3、“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程．4、“解”就是解方程，求出未知数的值．5、“验”就是验解，即检验方程的解能否保证实际问题有意义．6、“答”就是写出答案(包括单位名称)．应用题类型：近年全国各地的中考题中涉及的应用题类型主要有：行程问题，工程问题，增产率问题，百分比浓度问题，和差倍分问题，与函数综合类问题，市场经济问题等．几种常见类型和等量关系如下：1、行程问题：基本量之间的关系：路程=速度3时间，即：vt．常见等量关系：(1)相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=原来甲、乙相距的路程．(2)追及问题(设甲速度快)：①同时不同地：甲用的时间＝乙用的时间；甲走的路程－乙走的路程＝原来甲、乙相距的路程．②同地不同时：甲用的时间＝乙用的时间－时间差；甲走的路程＝乙走的路程．2、工程问题：基本量之间的关系：工作量=工作效率3工作时间．常见等量关系：甲的工作量＋乙的工作量＝甲、乙合作的工作总量．3、增长率问题：基本量之间的关系：现产量=原产量3(1+增长率)．4、百分比浓度问题：基本量之间的关系：溶质=溶液3浓度．5、水中航行问题：基本量之间的关系：顺流速度＝船在静水中速度＋水流速度；逆流速度＝船在静水中速度－水流速度．6、市场经济问题：基本量之间的关系：商品利润=售价－进价；商品利润率=利润÷进价；利息=本金3利率3期数；本息和=本金+本金3利率3期数．一元一次方程方程应用题归类分析（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。

一、代数应用题：1、农科所向农民推荐渝江Ⅰ号和渝江Ⅱ号两种新型良种稻谷.在田间治理和土质相同的条件下,Ⅱ号稻谷单位面积的产量比Ⅰ号到谷低20%,但Ⅱ号稻谷的米质好,价格比Ⅰ号高.Ⅰ号稻谷国家的收购价是1.6元/千克.（1） 当Ⅱ号稻谷的国家收购价是多少时,在田间治理、图纸和面积相同的两块田丽分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同？（2） 去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷,且进行了相同的田间治理.收获后,小王把稻谷全部卖给国家.卖给国家时,Ⅱ号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克,Ⅰ号稻谷国家的收购价未变,这样小王卖Ⅱ号稻谷比卖Ⅰ号稻谷多收入1040元,那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？[解析] (1)由题意,得1.62120%=-〔元〕； 〔2〕设卖给国家的Ⅰ号稻谷x 千克,根据题意,得(120%) 2.2 1.61040x x -⨯=+. 解得,6500x =〔千克〕(120%) 1.811700x x x +-==〔千克〕答：〔1〕当Ⅱ号稻谷的国家收购价是2元时,种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同； 〔2〕小王去年卖给国家的稻谷共为11700千克.2、机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦,某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克,用油的重复利用率为60%,按此计算,加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.（1） 甲车间通过技术革新后,加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克,用油的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后,加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2） 乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑用油量,同时也提升了用油的重复利用率,并且发现在技术革新的根底上,润滑用油量每减少1千克,用油量的重复利用率将增加1.6%. 这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克. 问乙车间技术革新后,加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少？[解析]〔1〕由题意,得70(160%)7040%28⨯-=⨯=〔千克〕 〔2〕设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x 千克, 由题意,得[1(90) 1.6%60%]12x x ⨯--⨯-= 整理,得2657500x x --=部门经理小张这个经理的介绍能反映该公司员工的月工资实际水平吗？欢送你来我们公司应聘！我公司员工的月平均工资是2500元,薪水是较高的．解得：1275,10x x ==-〔舍去〕(9075) 1.6%60%84%-⨯+=答：(1)技术革新后,甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.(2)技术革新后,乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克?用油的重复利用率是84%.3、某高科技产品开发公司现有员工50名,所有员工的月工资情况如下表：员工 治理人员 普通工作人员人员结构 总经理 部门经理 科研人员销售人员 高级技工 中级技工勤杂工员工数(名) 1 3 2 3 24 1 每人月工资(元)21000 840020252200 1800 1600950请你根据上述内容,解答以下问题：〔1〕该公司“高级技工〞有 名；〔2〕所有员工月工资的平均数x 为2500元,中位数为 元,众数为 元； 〔3〕小张到这家公司应聘普通工作人员．请你答复右图中小张的问题,并指出用〔2〕中的哪个 数据向小张介绍员工的月工资 实际水平更合理些； 〔4〕去掉四个治理人员的工资后,请你计算出其他员工的月平均工资y 〔结果保存整数〕,并判断y 能否反映该公司员工的月工资实际水平．[解析] 〔1〕由表中数据知有16名；〔2〕由表中数据知中位数为1700；众数为1600；〔3〕这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平．用1700元或1600元来介绍更合理些．〔说明：该问中只要写对其中一个数据或相应统计量〔中位数或众数〕也可以〕 〔4〕250050210008400346y ⨯--⨯=≈1713〔元〕．y 能反映．4、某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测,迎面山坡线ABC 由同一平面内的两段抛物线组成,其中AB 所在的抛物线以A 为顶点、开口向下,BC 所在的抛物线以C 为顶点、开口向上．以过山脚〔点C 〕的水平线为x 轴、过山顶〔点A 〕的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系如图〔单位：百米〕．AB 所在抛物线的解析式为8412+-=x y ,BC 所在抛物线的解析式为2)8(41-=x y ,且)4,(m B ． 〔1〕设),(y x P 是山坡线AB 上任意一点,用y 表示x ,并求点B 的坐标；〔2〕从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得小于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上〔见图〕． ①分别求出前三级台阶的长度〔精确到厘米〕； ②这种台阶不能一直铺到山脚,为什么？〔3〕在山坡上的700米高度〔点D 〕处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E 处,1600=OE 〔米〕．假设索道DE 可近似地看成一段以E 为顶点、开口向上的抛物线,解析式为2)16(281-=x y ．试求索道的最大悬空．．高度．[∴8412+-=x y ,0≥x ,〔…2分〕 ∴)8(42y x -=,y x -=82〔…3分〕∵)4,(m B ,∴482-=m ＝4,∴)4,4(B〔…4分〕〔2〕在山坡线AB 上,y x -=82,)8,0(A①令80=y ,得00=x ；令998.7002.081=-=y ,得08944.0002.021≈=x ∴第一级台阶的长度为08944.001=-x x 〔百米〕894≈〔厘米〕〔…6分〕同理,令002.0282⨯-=y 、002.0383⨯-=y ,可得12649.02≈x 、15492.03≈x ∴第二级台阶的长度为03705.012=-x x 〔百米〕371≈〔厘米〕 〔…7分〕 第三级台阶的长度为02843.023=-x x 〔百米〕284≈〔厘米〕〔…8分〕②取点)4,4(B ,又取002.04+=y ,那么99900.3998.32≈=x∵002.0001.099900.34<=-∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B ,从而就不能一直铺到山脚 〔…10分〕 〔注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度,共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性〕 ②另解：连接任意一段台阶的两端点P 、Q ,如图 ∵这种台阶的长度不小于它的高度 ∴︒≤∠45PQR当其中有一级台阶的长大于它的高时, ︒<∠45PQR〔…9分〕在题设图中,作OA BH ⊥于H那么︒=∠45ABH ,又第一级台阶的长大于它的高∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B ,从而就不能一直铺到山脚〔…10分〕〔3〕)7,2(D 、)0,16(E 、)4,4(B 、)0,8(C由图可知,只有当索道在BC 上方时,索道的悬空．．高度才有可能取最大值〔…11分〕 索道在BC 上方时,悬空．．高度2)16(281-=x y 2)8(41--x )96403(1412-+-=x x 38)320(1432+--=x〔…13分〕当320=x 时,38max =y ∴索道的最大悬空．．高度为3800米． 5、有两段长度相等的河渠挖掘任务,分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．图11是反映所挖河渠长度y 〔米〕与挖掘时间x 〔时〕之间关系的局部图象．请解答以下问题： 〔1〕乙队开挖到30米时,用了_____小时．开挖6小时时, 甲队比乙队多挖了______米； 〔2〕请你求出：①甲队在0≤x ≤6的时段内,y 与x 之间的函数关系式； ②乙队在2≤x ≤6的时段内,y 与x 之间的函数关系式； ③开挖几小时后,甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？PQR时)〔3〕如果甲队施工速度不变,乙队在开挖6小时后,施工速度增加到12米/时,结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？[解析] 〔1〕2；10；〔2〕①设甲队在0≤x ≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式为y =k 1x ,由图可知,函数图象过点〔6,60〕, ∴6 k 1=60,解得k 1=10, ∴y =10x .②设乙队在2≤x ≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式为y =k 2x +b ,由图可知,函数图象过点〔2,30〕、〔6,50〕,∴22230,650.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得25,20.k b =⎧⎨=⎩∴y =5x ＋20．③由题意,得10x ＞5x ＋20,解得x ＞4.所以,4小时后,甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队.〔说明：通过观察图象并用方程来解决问题,正确的也给分〕 〔3〕由图可知,甲队速度是：60÷6=10〔米/时〕．设甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为z 米,依题意,得6050.1012z z --=解得 z =110．答：甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为110米．6、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料〔这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理〕．当每吨售价为260元时,月销售量为45吨．该经销店为提升经营利润,准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x 〔元〕,该经销店的月利润为y 〔元〕． 〔1〕当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量；〔2〕求出y 与x 的二次函数关系式〔不要求写出x 的取值范围〕；〔3〕请把〔2〕中的二次函数配方成2()y a x h k =-+的形式,并据此说明,该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元；〔4〕小静说：“当月利润最大时,月销售额也最大．〞你认为对吗？请说明理由．[解析] 〔1〕5.71024026045⨯-+=60〔吨〕．〔2〕260(100)(457.5)10xy x -=-+⨯,化简得： 23315240004y x x =-+-．〔3〕24000315432-+-=x x y 23(210)90754x =--+．利达经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元．〔4〕我认为,小静说的不对．理由：方法一：当月利润最大时,x 为210元,而对于月销售额)5.71026045(⨯-+=xx W 23(160)192004x =--+来说, 当x 为160元时,月销售额W 最大．∴当x 为210元时,月销售额W 不是最大．∴小静说的不对．方法二：当月利润最大时,x 为210元,此时,月销售额为17325元；而当x 为200元时,月销售额为18000元．∵17325＜18000, ∴当月利润最大时,月销售额W 不是最大． ∴小静说的不对．〔说明：如果举出其它反例,说理正确,也相应给分〕二、几何应用题：8、图10—1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图〔尺寸如下图〕,车棚顶部是圆柱侧面的一局部,其展开图是矩形．图10—2是车棚顶部截面的示意图,AB 所在圆的圆心为O ． 车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积〔不考虑接缝等因素,计算结果保存π〕．[解析]连结OB ,过点O 作OE ⊥AB ,垂足为E ,交AB 于F ,如图1．…………〔1分〕由垂径定理,可知： E 是AB 中点,F 是AB 中点,∴EF 是弓形高 ．∴AE ==AB 2123,EF =2． …………〔2分〕 设半径为R 米,那么OE =(R －2)米．O BA·图10—2图10—1 AB2米 43米·图1EF A在Rt △AOE 中,由勾股定理,得 R 2=22)32()2(+-R ．解得 R =4． ……………………………………………………………………〔5分〕 ∵sin ∠AOE =23=OA AE , ∴ ∠AOE =60°, ………………………………〔6分〕∴∠AOB =120°． ∴ AB 的长为1804120π⨯=38π． ………………………〔7分〕∴帆布的面积为38π×60=160π〔平方米〕． …………………………………〔8分〕 〔说明：此题也可以由相交弦定理求圆的半径的长．对于此种解法,请参照此评分标准相应给分〕9、图14－1至图14－7的正方形霓虹灯广告牌ABCD 都是20×20的等距网格〔每个小方格的边长均为1个单位长〕,其对称中央为点O ．如图14－1,有一个边长为6个单位长的正方形EFGH 的对称中央也是点O ,它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大〔即点O 不动,正方形EFGH 经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒,由8×8扩大为10×10；……〕,直到充满正方形ABCD ,再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小,然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ 从如图14－1所示的位置开始,以每秒1个单位长的速度,沿正方形ABCD 的内侧边缘按A →B →C →D →A 移动〔即正方形MNPQ 从点P 与点A 重合位置开始,先向左平移,当点Q 与点B 重合时,再向上平移,当点M 与点C 重合时,再向右平移,当点N 与点D 重合时,再向下平移,到达起始位置后仍继续按上述方式移动〕．正方形EFGH 和正方形MNPQ 从如图14－1的位置同时开始运动,设运动时间为x 秒,它们的重叠局部面积为y 个平方单位．〔1〕请你在图14－2和图14－3中分别画出x 为2秒、18秒时,正方形EFGH 和正方形MNPQ 的位置及重叠局部〔重叠局部用阴影表示〕,并分别写出重叠局部的面积；〔2〕①如图14－4,当1≤x ≤3.5时,求y 与x 的函数关系式；②如图14－5,当3.5≤x ≤7时,求y 与x 的函数关系式； ③如图14－6,当7≤x ≤10.5时,求y 与x 的函数关系式； ④如图14－7,当10.5≤x ≤13时,求y 与x 的函数关系式．〔3〕对于正方形MNPQ 在正方形ABCD 各边上移动一周的过程,请你根据重叠局部面积y 的变化情况,指出y 取得最大值和最小值时,相对应的x 的取值情况,并指出最大值和最小值分别是多少．〔说明：问题〔3〕是额外加分题,加分幅度为1～4分〕图14-6D 图14-2 图14-3 D D 图14-4D图14-1 (P ) D N 图14-5D图14-7E C BA DFG H M Q NOP[解析]〔1〕相应的图形如图2-1,2-2．当x =2时,y =3； 当x =18时,y =18．〔2〕①当1≤x ≤3.5时,如图2-3,延长MN 交AD 于K ,设MN 与HG 交于S ,MQ 与FG 交于T ,那么MK =6＋x ,SK =TQ =7－x ,从而MS =MK －SK =2x －1,MT =MQ －TQ =6－〔7－x 〕= x －1． ∴y=MT ·MS =〔x －1〕〔2x －1〕=2x 2－3x ＋1． ②当3.5≤x ≤7时,如图2-4,设FG 与MQ 交于T ,那么 TQ =7－x ,∴MT =MQ －TQ =6－〔7－x 〕=x －1． ∴y=MN ·MT =6〔x －1〕=6x －6．③当7≤x ≤10.5时,如图2-5,设FG 与MQ 交于T ,那么 TQ=x －7,∴MT =MQ －TQ =6－〔x －7〕=13－x ． ∴y = MN ·MT =6〔13－x 〕=78－6x ．④当10.5≤x ≤13时,如图2-6,设MN 与EF 交于S ,NP 交FG 于R ,延长NM 交BC 于K ,那么MK =14－x ,SK =RP =x －7,∴SM =SK －MK=2x －21,从而SN =MN －SM =27－2x ,NR =NP －RP =13－x ． ∴y=NR ·SN =〔13－x 〕〔27－2x 〕=2x 2－53x ＋351．〔说明：以上四种情形,所求得的y 与x 的函数关系式正确的,假设不化简不扣分〕 〔3〕对于正方形MNPQ ,①在AB 边上移动时,当0≤x ≤1及13≤x ≤14时,y 取得最小值0；当x =7时,y 取得最大值36．②在BC 边上移动时,当14≤x ≤15及27≤x ≤28时,y 取得最小值0；当x =21时,y 取得最大值36． ③在CD 边上移动时,当28≤x ≤29及41≤x ≤42时,y 取得最小值0；图2-4 E C B A D F G H Q N O P T 图2-5E C B A DF GH M N O PT 图2-6 E C B A DF G HK Q N OP R S 图2-3 E C B A D F G H M Q N OP S T 图2-2 E C B A D FG HMN O P 图2-1 E C B AD Q O P当x=35时,y取得最大值36．④在DA边上移动时,当42≤x≤43及55≤x≤56时,y取得最小值0；当x=49时,y取得最大值36．。