证明两角相等的方法20170727

OA ECD B 中考二轮复习之证明两角相等的方法【相关定理或常见结论】 1、相交线、平行线： 〔1〕对顶角相等；〔2〕等角的余角〔或补角〕相等；〔3〕两直线平行，同位角相等、错角相等； 〔4〕凡直角都相等；〔5〕角的平分线分得的两个角相等. 2、三角形〔1〕等腰三角形的两个底角相等；〔2〕等腰三角形底边上的高〔或中线〕平分顶角〔三线合一〕； 〔3〕三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的角之和 〔4〕全等三角形的对应角相等； 〔5〕相似三角形的对应角相等. 3、四边形〔1〕平行四边形的对角相等；〔2〕菱形的每一条对角线平分一组对角； 〔3〕等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4、圆〔1〕在同圆或等圆中，假设有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等； 〔2〕在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.〔3〕圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 〔4〕圆接四边形的性质：圆接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的对角. 〔5〕三角形的心的性质：三角形的心与角顶点的连线平分这个角. 〔6〕正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.〔7〕从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等. 6、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】〔一〕 利用全等相关知识证明角相等例1 ：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =． 求证：AO 平分BAC ∠．例2 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是四边形一点，ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 求证：∠EBC ＝∠EDC例3如图，四边形ABCD 中AC=BD ，CD ∥BA ，四边形AEBC 是平行四边形．求证：∠ABD ＝∠ABE ．〔二〕利用平行、三角形的角和、外角关系证明角之间的关系 例4．：△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 是垂足， 求证：⑴G 是CE 的中点；⑵∠B=2∠BCE.例5 如图，直线AC BD ∥，连结AB ，直线AC BD ，与线段AB 把平面分成①、②、③、④四个局部，规定：线上各点不属于任何局部．当动点P 落在某个局部时，连结PA PB ，，构成PAC ∠，APB ∠，PBD ∠三个角．〔提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．〕〔1〕当动点P 落在第①局部时，求证：APB PAC PBD ∠=∠+∠；〔2〕当动点P 落在第②局部时，APB PAC PBD ∠=∠+∠是否成立〔直接回答成立或不成立〕？〔3〕当动点P 在第③局部时，全面探究PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．〔三〕利用四边形的相关知识证明角的有关问题例6：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 的中点，以点E 为圆心，EB 为半径画弧，交BC 于点D ，连结ED ，并延长ED 到点F ，使，连结FC ．求证：∠F ＝∠A ．A B C D①②③A B C D P ① ② ③ ④ A B C D ① ② ③ ④ ④〔四〕利用圆的相关知识例7如图，BC 是直径，AB AG =，AD ⊥BC.求证：〔1〕∠EAF=∠AFE 〔2〕BE=AE=EF例8 ：如图，AD 为锐角△ABC 外接圆的直径，AE ⊥BC 于E ，交⊙O 于F 。

初中数学中考必考：证明两角相等的十种方法（解几何题的神
器）
•很少有几何题的证明过程会用不到等量代换，而要用等量代换首先得找到等量关系。

而两个角相等便是最基础、最常用、最重要的等量关系
•今天我们来研究，如何证明两个角相等。

•下面是精心挑选的题目（用对号勾住的），请认真思考该题目是如何构造两个角相等的。

2题不难，但非常的经典。

它能够让我们感受等量代换以及两角相等是多么重要。

直接给的全等（方式四）
看到平角和多个直角了吗？赤裸裸的提示啊！（方式十）
最后，再次强调一遍，做题反思真的很重要。

对于考试，我们只能尽力去掌握那些规律性的东西。

尤其是常考的规律要务必熟练掌握。

关注我，下期我们将继续寻找规律，去研究如何证明角之间的倍数关系。

三角形全等证角相等的方法我折腾了好久三角形全等证角相等的方法，总算找到点门道。

说实话，一开始我真的是瞎摸索。

我就知道三角形全等有好几种判定方法，像SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）还有HL（直角、斜边、直角边，这是直角三角形特有的）。

那怎么用这些来证角相等呢？我先从SSS说起吧。

我做过一道题，给了三个边的长度，证明两个三角形全等之后得出角相等的结论。

我当时就想啊，这就好比搭积木。

如果两个三角形的三条边都一样长，那就像用同样的积木搭出来一模一样的形状，那对应的角自然就相等了。

我一开始犯错就在计算边的长度老是算错，导致后面全等证明不了。

所以做这种题首先边的计算一定要准确。

SAS也很有意思。

记得有个三角形的题，知道两条边相等和它们的夹角相等。

这就好像两个人拿着一样长的两根棍子，以同样的角度掰开。

那两个三角形的形状肯定是一样的，叫中档角也就相等了。

我有次就失败在没有找准那个夹角，把另外一个角当成夹角就全错了。

再就是ASA和AAS。

我感觉这两个其实有联系。

比如说知道两角和夹边相等用ASA，知道两角和其中一个角的对边相等用AAS。

我觉得这个就像拼图，只要两角以及和角相关的边能对应上，那肯定是全等的，全等了角也就相等了。

不过有时候找角的时候会弄错顺序，这是要小心的地方。

还有HL这个直角三角形的特殊方法。

就像两个特殊的直角三角形架子，斜边和一条直角边一样长，那这两个三角形肯定一模一样，里面对应的角就相等。

做这一类题一定要先确认是直角三角形，我有次没看出来就想用HL，结果肯定错了。

总之呢，用三角形全等证角相等，关键就是先准确判断用哪种全等的判定方法，计算边或者找角的时候千万要认真，可不能马虎大意出错，不然就前功尽弃了。

而且多做一些练习题也能帮助提高对这些方法的运用能力。

我经过这么多尝试摸索，现在做这些题的时候心里就比较有底了。

徐老师模型数学20170727第 1 页 共 1 页 如何证明两线段相等百汇学校 徐国纲一、常见轨迹中 1、两平行线间的距离处处相等；2、线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等；3、角平分线性质定理：角平分线上任一点到角两边的距离相等；4、平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等；二、三角形中5、等角对等边：两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；6、三线合一：等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；7、等边三角形的三边相等；8、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；9、任意三角形的外心到三顶点的距离相等；10、任意三角形的内心到三边的距离相等；11、过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边（三角形中位线定理的逆定理）；12、全等：全等三角形的对应边相等，对应的中线、角平分线和高都对应相等；三、特殊四边形中13、平行四边形的对边相等、对角线互相平分；14、矩形的对角线相等；15、菱形的四条边都相等；16、正方形的条边都相等，对角线相等；17、等腰梯形两腰相等，两条对角线相等； 四、圆中18、同圆或等圆的半径相等；19、圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；20、圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、圆周角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；21、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；22、两圆的内（外）公切线的长相等；五、等式性质23、等量代换：若b a =，c b =，则c a =；24、等式性质：若b a =，则c b c a +=+或c b c a -=-；25、比例性质：若dc b a =，且)(d b c a ==，则)(c a d b ==；。

证明角的相等
1.对顶角相等。

2.角（或同角）的补角相等或余角相等。

3.两直线平行，同位角相等、内错角相等。

4.凡直角都相等。

5.角平分线分得的两个角相等。

6.同一个三角形中，等边对等角。

7.等腰三角形中，底边上的高（或中线）平分顶角。

8.平行四边形的对角相等。

9.菱形的每一条对角线平分一组对角。

10.等腰梯形同一底上的两个角相等。

11.关系定理：同圆或等圆中，若有两条弧（或弦、或弦心距）相等，则它们所对的圆心角相等。

12.圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。

13.同弧或等弧所对的圆周角相等。

14.弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

15.同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

16.全等三角形的对应角相等。

17.相似三角形的对应角相等。

18.利用等量代换。

19.利用代数或三角计算出角的度数相等
20.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

证明两角相等的方法四川 侯国兴证明两角相等与证明两线段相等都是证明题中的常见题型，本文将举例介绍证明两角相等的常用方法，供学习参考．一. 利用平行线的性质证明例1.已知：如图1，12,C D ∠=∠∠=∠．求证：A F ∠=∠图1 图2简析：可考虑由AC ∥DF 而得到结论．． 证明：因为 12,32∠=∠∠=∠（对顶角相等）所以 13∠=∠所以 BD ∥CE （同位角相等，两直线平行）所以 D B A C ∠=∠（两直线平行，同位角相等）又因为 C D ∠=∠，所以 DBA D ∠=∠所以 AC ∥DF （内错角相等，两直线平行）所以 A F ∠=∠ （两直线平行，内错角相等）二. 利用全等三角形的性质证明例2.已知，如图2，在ABC 中，90ACB ∠= ，AC=BC ，AD 为BC 边的中线，CE AD ⊥于E ，交AB 于F ，求证：ADC BDF ∠=∠．简析：考虑ABC 为等腰直角三角形，其典型辅助线是作底边上的高（作CH AB ⊥于H ，交AD 于G ），也是底边上的中线，这样，可设法证CGD BFD ≅ 而得到结论． 证明：作CH AB ⊥于H ，交AD 于G ，则45ACG B ∠=∠=因为 CE AD ⊥，所以 CAG BCF ∠=∠又因为 AC=BC 所以 AGC CFB ≅ （ASA ）所以 CG=BF （全等三角形的对应边相等）又因为 45DCG B ∠=∠= ，CD=BD 所以 C G D B F D ≅ （SAS ）所以 A D C B D F ∠=∠ （全等三角形对应角相等）．三. 利用等腰三角形的性质证明例3. 已知 ：如图3，AB=AC ，,,CE AB AD BC ⊥⊥且DEB B ∠=∠，求证：12∠=∠．图3 图4简析：因为1∠、2∠是DCE 的两内角，可证ED=CD 而得结论．证明：因为 DEB B ∠=∠ ，所以BD=ED （等角对等边）因为 ,AB AC AD BC =⊥，所以 BD=CD （等腰三角形的“三线合一性”）所以 ED=CD ， 所以 12∠=∠ （等边对等角）四. 利用等量代换证明例4．如图4，ABC 的三条内角平分线相交于点O ，且OG BC ⊥，垂足为G ．求证： BOD COG ∠=∠．简析：当用上面三种方法都难以奏效时，可考虑所要证明的两个角都等于第三个角，利用等量代换而得结论．证明：由已知条件得：12BOD ∠=∠+∠1122BAC ABC =∠+∠ 11(180)9022ACB ACB =-∠=-∠ 又因为 OG BC ⊥， 所以 1902COG ACB ∠=-∠ 所以 B O D C O G ∠=∠． 待同学们学习了平行四边形知识以及在九年级学习的部分知识后,还有别的方法证明两角相等.在此不再赘述.【热身练习】：1. 已知：如图5，点C 是AB 的中点，AC=CE ，12∠=∠，求证：34∠=∠．（提示： 利用全等三角形的性质证明）2. 已知：如图6，AD 是A ∠的平分线，E 是AB 上的一点，且AE=AC ，EF ∥BC 交AC 于点F ．求证：EC 平分DEF ∠．（提示：利用等量代换证明）图5 图6。

中考二轮复习之证明两角相等的方法【相关定理或常见结论】1相交线、平行线：（1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等；（4 ）凡直角都相等；（5 ）角的平分线分得的两个角相等•2、三角形（1 ）等腰三角形的两个底角相等；（2 ）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和（4）全等三角形的对应角相等；（5）相似三角形的对应角相等•3、四边形（1）平行四边形的对角相等；（2 ）菱形的每一条对角线平分一组对角；（3）等腰梯形在同一底上的两个角相等• 4、圆（1 ）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等•，圆心角相等•（3 ）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；并且每一个外角都等于它的内对角（5 ）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角（6 ）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角;5、利用等量代换、等式性质证明两角相等.6、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】（一）利用全等相关知识证明角相等例1已知：如图，CD丄AB于点D , BE丄AC于点E , BE与CD交于点0，且BD二CE •求证：A0平分.BAC •例2如图，在四边形ABCD中，AD // BC , E是四边形内一点，ED丄AD , BE=DC，/ ECB=45求证：/ EBC = Z EDCF例3如图，已知四边形 ABCD 中AC=BD , CD // BA ，四边形 AEBC 是平行四边形.求证：/ ABD = Z ABE .(二) 利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系 例4.已知：△ ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG 丄CE , G 是垂足,构成.PAC , APB , . PBD 三个角.(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角(1)当动点P 落在第①部分时，求证： .APB =/PAC •• PBD ;(2) 当动点P 落在第②部分时，.APB =• PAC • • PBD 是否成立(直接回答成立或不 成立)？ (3)当动点P 在第③部分时，全面探究 ■ PAC ， APB ， ■ PBD 之间的关并写出动点P 的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.③③③ACA CACP ①②•①②.①BDBDBD④④④求证：⑴G 是CE 的中点；⑵/ B=2 / BCE.例5如图，直线AC // BD ，连结AB ，直线AC , ④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分•当动点BDP 落在某个部分时，连结 PA, PB ,(三)禾U用四边形的相关知识证明角的有关问题例6已知：如图，在△ ABC中，AB = AC , E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使，连结FC.求证：/ F =Z A .(四)禾U用圆的相关知识例7如图，已知BC是直径，AB=AG , AD丄BC.求证：(1)Z EAF= / AFEBE=AE=EF(2)AE丄BC于E,交O OF。

添辅助线的规律（一）添辅助线的目的：解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几何关系。

这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几何图形之中。

如一个三角形（特别是直角三角形、等腰三角形），一个平行四边形（特别是矩形、菱形、正方形），一个圆，或两个全等三角形，两个相似三角形之中。

这种思路可称为条件集中法。

为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件，通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似三角形。

以便于运用这些图形的几何关系（性质定理）解题，这就需要添加辅助线。

添加什么样的辅助线，总由以下三方面决定：⑴由所求决定：问什么，先要作什么。

⑵由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提供的性质定理添加辅助线。

⑶由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。

（二）添辅助线的规律：（1）三角形中：①等腰Δ：常连底边上的中线或高或顶角的平分线（构造两个全等的直角Δ，或便于运用等腰Δ三线合一的性质。

如图1）②直角Δ斜边上有中点：连中线（构造两个等腰Δ，或便于运用直角Δ斜边上的中线的特殊性质。

如图2）③斜Δ有中点或中线：连中线(构造两个等底同高的等积Δ。

如图3）；或自左右两顶点分别作中线的垂线（构造两个全等直角三角形。

如图4）；或连中位线、或过一中点作另一边的平行线（构造两个相似比为1：2的相似Δ，或便于运用Δ中位线定理。

如图5、6）；或延长中位线或中线的一倍（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。

如图7、8）。

或延长中线的1/3（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。

如图9）。

④有角平分线：过其上某一交点作角两边的垂线（构造两全等的直角Δ。

如图10）或一边或两边的平行线（构造一个或两个等腰Δ或一菱形。

初中数学解题技巧证明角的相等初中数学解题技巧:证明角的相等
1、对顶角相等。

2、角（或同角）的补角相等或余角相等。

3、两直线平行，同位角相等、内错角相等。

4、凡直角都相等。

5、角平分线分得的两个角相等。

6、同一个三角形中，等边对等角。

7、等腰三角形中，底边上的高（或中线）平分顶角。

8、平行四边形的对角相等。

9、菱形的每一条对角线平分一组对角。

10、等腰梯形同一底上的两个角相等。

11、关系定理：同圆或等圆中，若有两条弧（或弦、或弦心距）相等，则它们所对的圆心角相等。

12、圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。

13、同弧或等弧所对的圆周角相等。

14、弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

15、同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

16、全等三角形的对应角相等。

17、相似三角形的对应角相等。

18、利用等量代换。

19、利用代数或三角计算出角的度数相等
20、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

证明两角相等的方法四川 侯国兴证明两角相等与证明两线段相等都是证明题中的常见题型，本文将举例介绍证明两角相等的常用方法，供学习参考．一. 利用平行线的性质证明例1.已知：如图1，12,C D ∠=∠∠=∠．求证：A F ∠=∠图1 图2简析：可考虑由AC ∥DF 而得到结论．． 证明：因为 12,32∠=∠∠=∠（对顶角相等）所以 13∠=∠所以 BD ∥CE （同位角相等，两直线平行）所以 D B A C ∠=∠（两直线平行，同位角相等）又因为 C D ∠=∠，所以 DBA D ∠=∠所以 AC ∥DF （内错角相等，两直线平行）所以 A F ∠=∠ （两直线平行，内错角相等）二. 利用全等三角形的性质证明例2.已知，如图2，在ABC 中，90ACB ∠= ，AC=BC ，AD 为BC 边的中线，CE AD ⊥于E ，交AB 于F ，求证：ADC BDF ∠=∠．简析：考虑ABC 为等腰直角三角形，其典型辅助线是作底边上的高（作CH AB ⊥于H ，交AD 于G ），也是底边上的中线，这样，可设法证CGD BFD ≅ 而得到结论． 证明：作CH AB ⊥于H ，交AD 于G ，则45ACG B ∠=∠=因为 CE AD ⊥，所以 CAG BCF ∠=∠又因为 AC=BC 所以 AGC CFB ≅ （ASA ）所以 CG=BF （全等三角形的对应边相等）又因为 45DCG B ∠=∠= ，CD=BD 所以 C G D B F D ≅ （SAS ）所以 A D C B D F ∠=∠ （全等三角形对应角相等）．三. 利用等腰三角形的性质证明例3. 已知 ：如图3，AB=AC ，,,CE AB AD BC ⊥⊥且DEB B ∠=∠，求证：12∠=∠．图3 图4简析：因为1∠、2∠是DCE 的两内角，可证ED=CD 而得结论．证明：因为 DEB B ∠=∠ ，所以BD=ED （等角对等边）因为 ,AB AC AD BC =⊥，所以 BD=CD （等腰三角形的“三线合一性”）所以 ED=CD ， 所以 12∠=∠ （等边对等角）四. 利用等量代换证明例4．如图4，ABC 的三条内角平分线相交于点O ，且OG BC ⊥，垂足为G ．求证： BOD COG ∠=∠．简析：当用上面三种方法都难以奏效时，可考虑所要证明的两个角都等于第三个角，利用等量代换而得结论．证明：由已知条件得：12BOD ∠=∠+∠1122BAC ABC =∠+∠ 11(180)9022ACB ACB =-∠=-∠ 又因为 OG BC ⊥， 所以 1902COG ACB ∠=-∠ 所以 B O D C O G ∠=∠． 待同学们学习了平行四边形知识以及在九年级学习的部分知识后,还有别的方法证明两角相等.在此不再赘述.【热身练习】：1. 已知：如图5，点C 是AB 的中点，AC=CE ，12∠=∠，求证：34∠=∠．（提示： 利用全等三角形的性质证明）2. 已知：如图6，AD 是A ∠的平分线，E 是AB 上的一点，且AE=AC ，EF ∥BC 交AC 于点F ．求证：EC 平分DEF ∠．（提示：利用等量代换证明）图5 图6。