专题复习：证明角相等的方法

怎样证明两线段相等与两角相等【重点解读】证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型，主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力，其综合证明难度有所降低，但增加了探索的思维过程. 解决此类问题的关键是：正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定，正确添加辅助线，进行几何证明的叙述.⒈怎样证明两线段相等证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：⑴三角形①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；⑵证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；⑶圆①同圆或等圆的半径相等；②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；⑷等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b，则a－c=b－c；若，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等.⒉怎样证明两角相等证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：⑴同角（或等角）的余角、补角相等；⑵证明两直线平行，同位角、内错角相等；⑶到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；⑷全等三角形、相似三角形的对应角相等；⑸同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；⑹平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等；⑺同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等；⑻弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；⑼从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；⑽圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角；⑾通过计算证明两角相等；⑿等量代换，等式性质.【典题精析】例1已知：如图，分别延长菱形ABCD的边AB、AD到点E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．求证：EC＝FC．总结：通过证三角形全等来证明两线段（或两角）相等是常用的方法，关键是根据已知条件及图形找到对应的三角形和满足全等的条件，图形有的翻折全等，有的旋转全等，有的平移全等，有的是三者的综合形式，该问题是翻折型全等.例2已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G.求证：⑴∠ACD=∠F；⑵AC2=AG·AF.总结：证明线段相等或角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与它们都相关或都有联系的线段或角作为桥梁，实现线段之间的转化或角之间的转化，从而证明它们的等量关系.直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.例3已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且∠ADE=∠BDC. ⑴求证：△ABC为等腰三角形；⑵若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长.例4已知：如图，正△ABC的边长为a, D为AC边上的一个动点，延长AB至E使BE=CD，连结DE，交BC于点P. ⑴求证：DP=PE；⑵若D为AC的中点，求BP的长.总结：添加辅助线是几何证明和计算中常用的方法，通常有作平行线、作垂线、连结两点、延长线段相交等，正确添加辅助线是解决问题的关键.思考：若将条件正△ABC改为等腰△ABC，AB=AC，结论DP=PE是否仍成立？若将条件正△ABC改为等腰△ABC，CA=CB，结论DP=PE是否仍成立？例5已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，求证：⑴G是CE的中点；⑵∠B=2∠BCE.总结：直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.例6如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E，给出下列4个结论：①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切线；④=；其中一定成立的是（）A. ①②③B. ②③④C. ①③④ D . ①②④总结；一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题.巩固练习：⒈⑴如图，△ABC中，∠B的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，则∠D与∠A的比是________⑵如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP＇重合. 如果AP=3，那么PP＇的长为_______.⒉⑴如图，∠B、∠C的平分线交于点P，过点P作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，则( )A. EF=EB+FCB. EF>EB+FCC. EF<EB+FCD. EF与EB+FC的大小不能确定⑵在Rt△ABC中，AF是斜边BC上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为（）A. B. C . D.⑶在△ABC中，∠B=2∠C，则（）A. 2AB=ACB. 2AB>ACC. 2AB<ACD. 不能确定⑷在⊙O中，如果，那么弦AB与CD的大小关系是( )A. AB=2CDB. AB>2CDC. AB<2CDD. 不能确定⒊如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CA延长线上的点，F是AC延长线上的点，且AE=CF求证：⑴∠E=∠F；⑵BE=DF⒋如图，△ABC中，高BD、CE交于点F，且CG=AB，BF=AC，连接AF，求证：AG⊥AF⒌ Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上任意一点，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为F、E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并说明之.⒍如图，AB是⊙O的直径，DC切⊙O于C，AD⊥DC，垂足为D，CE⊥AB，垂足E求证：CD=CE.⒎已知：如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D. 延长DA交△ABC的外接圆于点F.⑴求证：FB=FC；⑵若，求FB的长.⒏梯形ABCD中AB//CD，对角线AC、BD垂直相交于H，M是AD上的点，MH所在直线交BC于N. 在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确的命题，并证明这个命题. ①AD=BC ②MN⊥BC ③AM=DM怎样证明关于线段的几何等式【重点解读】线段的几何等式，主要涉及线段的倍分关系式、和差关系式、比例式、等积式等.证明线段倍分关系的定理和方法有：三角形和梯形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、特殊四边形的性质等；探索、证明线段的倍分关系式，一般转化为证明线段的相等关系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法. 证明线段的和差关系式，一般思路将线段加长或截短，转化为证明线段相等，利用等量代换或等式性质.证明线段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四条线段放入两个三角形，如果这两个三角形相似，且所给线段是对应线段，则问题得证；如果找不到两个三角形，或者找到的三角形不相似，可考虑将四条线段中的某些线段进行等量代换，再按上述方法探求证明；如果明显没有等量线段可替换，可找中间比.证明线段等积式的一般思路：先看等积式是否满足有关定理（射影定理、圆幂定理），如果满足，则结论成立；如果不满足，可把等积式化成比例式、或替换部分后化成比例式，再按比例式的证明方法证明.证明过程中常用的定理和性质有：比例性质、相似三角形的判定和性质、射影定理、圆幂定理、平行线分线段成比例定理.例1已知：E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF，求证：AB=2OF.总结：线段之间的倍分关系式，常联想用中位线定理.例2已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：⑴若B、C两点分别在AE的异侧，BD=DE+CE；⑵若B、C两点分别在AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何，证明你的猜想.例3如图，△ABC內接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E，求证：例4已知：如图，等腰△ABC的顶角为锐角，以腰AB为直径的圆交BC于D，交AC于E，DF⊥AC，垂足为F求证：总结；解题时，要充分利用已知条件，已知条件中的特殊条件更要发掘其内涵，注意条件之间的内在联系的运用.例5已知：BC为圆O的直径，AD⊥BC垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且A为弧BF的中点.求证：⑴AE=BE。

证明三角形全等的五种方法
方法一：边边边（SSS）——三条边都对应相等的两个三角形全等。

三角形具有稳定性，三条边都确定了，整个三角形都可以固定下来了。

这样就具有了唯一性，而这样的两个三边都对应相等的三角形，自然就是全等的。

但是需要注意的是三个角都相等的两个三角形不能判定全等。

方法二：边角边（SAS）——两边和它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式是课本上直接给出的，同一个角度的有很多，但是确定了夹这个角的两条边的长短，这个就被确定下来了，这是举不出反例的。

方法三：角边角（ASA）——两角和它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式也是课本上直接给出的，一个角的边可以无限延长，两个角的夹边被确定以后，就无法延长了，另外两条边则肯定会有交点，这样肯定也能将三角形确定下来。

方法四：角角边（AAS）——两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式是由方法三角边角衍生出来的，只要记住了方法三，这个方法就很好记了。

三角形的内角和是180，如果两个角都确定了的话，另外一个角度也可以确定下来，这样三个角都是固定的了，那条对边无论如何都是夹在其中两个角中间的，所以也就形成了“角边角”。

方法五：斜边直角边（HL）——斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式是利用了勾股定理，如果两条边都知道了，那么利用勾股定理很容易就可以确定第三条边了，这样利用方法一边边边，或者是方法二边角边，都是可以得出两个三角形全等的。

但是前提必须是两个直角三角形。

初二几何证明方法总结一、证两线段相等方法1、证明三角形全等：全等三角形的对应边相等；2、两线段在同一三角形中，通常利用等角对等边；3、角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；4、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；5、等腰三角形的性质：三线合一，即等腰三角形的顶角平分线或底边上的高平分底边；6、等边三角形三边相等；7、线段的和、差、倍、分，即根据等式性质：等量的和、差、倍、分仍是相等，如：若a=b，则a－c=b－c；若a=b，则a+c=b+c；8、三角形中线或中点的定义；9、等量代换，即等于同一条线段的两线段相等，如a=b,b=c,则a=c；二、证明两角相等1、证明三角形全等：全等三角形的对应角相等；2、两个角在同一三角形中，通常证明等边对等角；3、等量代换即等于同一个角的两角相等；4、角平分线的定义；5、角平分线性质：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，再由角平分线的定义可证得两角相等6、同角或等角的余角（或补角）相等；7、证明两直线平行，同位角、内错角相等；8、等腰三角形的性质：三线合一，即等腰三角形的底边上的中线或高平分顶角，再由角平分线的定义可证得两角相等；9、等边三角形各角都相等，并且每个角都等于60°；10、角的和、差、倍、分，即根据等式性质：等量的和、差、倍、分仍是相等；其中有常用方法是：两个三角形如果分别有两个角相等，那么第三个角也相等；11、对顶角相等；三、证垂直或证一个角是直角的方法：1、线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即若有到线段两个端点的距离相等的两个点，则过这两点的直线是线段的垂直平分线；2、若∠1+∠2=180°，∠1=∠2，则∠1=∠2=90°，即证互补的两个角相等；3、等腰三角形的性质：三线合一，即若有等腰三角形的顶角平分线，则平分底边并垂直于底边；4、利用角的和、差、倍、分计算出90°，根据垂直定义，证明垂直；5、轴对称的性质：对称轴垂直平分任意一对对应点的连线。

三角形的求证方法三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有独特的性质和特点。

在数学中，我们经常需要对三角形进行求证，以验证某些性质或定理是否成立。

本文将介绍一些常见的三角形求证方法。

一、等边三角形的求证方法等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

我们可以使用以下方法对等边三角形进行求证。

1. 边长相等的证明：等边三角形的定义是三条边的长度相等，因此我们只需要证明三条边的长度相等即可。

可以通过测量三条边的长度来证明它们相等。

2. 角度相等的证明：等边三角形的三个角度都是60度，因此我们只需要证明三个角度都是60度即可。

可以使用角度求和定理来证明。

等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

我们可以使用以下方法对等腰三角形进行求证。

1. 边长相等的证明：等腰三角形的定义是两条边的长度相等，因此我们只需要证明两条边的长度相等即可。

可以通过测量两条边的长度来证明它们相等。

2. 底角相等的证明：等腰三角形的两个底角相等，因此我们只需要证明两个底角相等即可。

可以使用角度求和定理来证明。

三、直角三角形的求证方法直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

我们可以使用以下方法对直角三角形进行求证。

1. 边长关系的证明：直角三角形的两个直角边的长度满足勾股定理，即a² + b² = c²，其中a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。

可以通过测量三条边的长度来验证勾股定理是否成立。

2. 角度关系的证明：直角三角形的一个角为90度，另外两个角度的和为90度。

可以使用角度求和定理来证明。

四、等边角三角形的求证方法等边角三角形是指三个角度相等的三角形。

我们可以使用以下方法对等边角三角形进行求证。

1. 角度相等的证明：等边角三角形的三个角度都相等，因此我们只需要证明三个角度都相等即可。

可以使用角度求和定理来证明。

2. 边长关系的证明：等边角三角形的三条边的长度满足边长关系，即a = b = c，其中a、b、c为三条边的长度。

求证三角形全等的方法
三角形全等，是指三角形的三条边和三个内角都相等。

它有三种类型，正三角形、等腰三角形与直角三角形。

正三角形由它的三条内角都是60度而诞生，而直角三角形就是最重要的一种，它的一个内角为90度，有特殊的名字叫做直角三角形。

等腰三角形只有两条边相等，它的两个内锐角都是45度。

要求证明三角形相等的方法是：
1.显然证法：最容易证明三角形相等的方法就是直接用直线来比较它们的边长，如果边长相等，就证明它们是相等的三角形。

2.The ASA原理：另外一种证明三角形相等的方法就是使用ASA原理，它比
较三角形的两边和夹角。

如果两边长度和夹角都相等，那么这就证明两个三角形相等。

3.The SSA原则：如果ASA原理不适用，可以使用SSA原则。

它比较三角形
的三边和两大小角。

如果三边和两大小角的值都相等，就证明这是相同的三角形。

以上三种方法可用于证明三角形相等，它们是几何学中最常用的方法，用来证明三角形有许多相同的特征，比如边长、内角等。

对于熟悉几何证明的人来说，这些方法都是非常简单的。

证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。

而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。

在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。

一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。

证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。

在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。

∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。

2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。

例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

求证：AE=CE。

证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。

在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。

二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。

求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。

例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。

证明三角形全等的方法三角形全等是几何学中非常重要的概念，它指的是两个三角形的所有对应边和对应角都相等。

在实际问题中，我们经常需要证明两个三角形全等，以便推导出它们的性质和关系。

下面将介绍几种证明三角形全等的方法。

一、SSS全等定理。

当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。

这条定理叫做SSS全等定理，其中SSS分别代表Side（边）、Side （边）、Side（边）。

证明方法：设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF，我们需要证明三角形ABC全等于三角形DEF。

首先，我们可以通过边AB和边DE之间的对应关系得出角A等于角D，然后通过边BC和边EF之间的对应关系得出角B等于角E，最后通过边AC和边DF之间的对应关系得出角C等于角F。

这样，我们就证明了三角形ABC全等于三角形DEF。

二、SAS全等定理。

当两个三角形的两条边和夹角分别相等时，这两个三角形就是全等的。

这条定理叫做SAS全等定理，其中SAS分别代表Side （边）、Angle（角）、Side（边）。

证明方法：设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，角A等于角D，BC=EF，我们需要证明三角形ABC全等于三角形DEF。

首先，我们可以通过边AB和边DE之间的对应关系得出角A等于角D，然后通过边BC和边EF之间的对应关系得出BC等于EF，最后通过角B得出角C等于角F。

这样，我们就证明了三角形ABC全等于三角形DEF。

三、ASA全等定理。

当两个三角形的一条边和两个夹角分别相等时，这两个三角形就是全等的。

这条定理叫做ASA全等定理，其中ASA分别代表Angle（角）、Side（边）、Angle（角）。

证明方法：设有两个三角形ABC和DEF，已知角A等于角D，BC=EF，角B 等于角E，我们需要证明三角形ABC全等于三角形DEF。

首先，我们可以通过角A等于角D得出边AB等于边DE，然后通过BC等于EF，最后通过角B等于角E。

《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习一.证明线段相等的方法：1.中点：2.等式的性质3.全等三角形4借助中介线段二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等经典题型：.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。

例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。

4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。

5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。

基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。

例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。

6.利用角平分线的对称性。

例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。

7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．角平分线专题复习（解答部分）一、平分线的应用。

专题复习证明线段相等角相等的基本方法(一)一、教学目标：知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法.过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力.情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展.二、教学重点：掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法.教学难点：分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法.三、教学用具：三角板、学案等四、教学过程：（一）引入：相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中.（二）例题：例1已知：如图1，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，BF=CD.求证：∠DEF=∠DFE .分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对等角）来证；因要证的两条相等的边在两个三角形中，故利用三角形全等来证线段相等．证明：∵AB=AC∴∠B=∠C．图1在△BDF 和△CED 中，点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中）常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方法．例2 已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB=，CD AB ⊥于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证AB=FC.分析：观察AB 与FC 在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证.证明：∵FE AC ⊥于点90E ACB ∠=，°，∴90FEC ACB ∠=∠=°， 易证A F ∠=∠． ∴ABC △FCE △. ∴AB FC =．点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来证．在证明两角相等时，利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂．例3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1所示放置，图1-2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．求证：∠ABE=∠ACD ．分析：图1-2是由两个大小不同的等腰直角三角板构成的旋转图形，分别从一个等腰三角形取一条腰，夹角为等角加同角，就,,,...BD CE B C BF CD BDF CED DF ED DEF DFE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=∴∠=∠C图1图C 图1-1（如图1)（如图2）ACB（如图3）CB可构成边角边对应相等的ABE △与ACD △全等，从而可证全等三角形的对应角相等．证明：ABC Q △与AED △均为等腰直角三角形,AB AC ∴=，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=o．易证BAE CAD ∠=∠.ABE ACD∴△≌△．∴∠ABE=∠ACD．点拨：由有公共顶点的两个等腰直角三角形构成的几何图形，当分别从一个等腰三角形中取一腰时，可构成边角边全等三角形；证夹角相等时常用等角加同角的和相等．此题可以拓展，将等腰直角三角形换成等边三角形、顶角相等的等腰三角形、正方形等．例4点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．（1）如图1，若ABE ∆和FBC ∆是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE ，则MBN ∆ 是 三角形．（2）如图1-2，在ABE ∆和BCF ∆中，若BA=BE,BC=BF,且α=∠=∠FBC ABE ，则MBN ∆是 三角形，且=∠MBN .（3）如图1-3，若将（2）中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.分析：（1）判断三角形形状时，三角形一般是特殊三角形，由已知易知BN EC AF BM ===2121，又可证得∠MBN=90°，所以△MBN 为等腰直角三角形．（2）图形中是两个等腰三角形以公共顶点为中心旋转而成，则一个等腰三角形取一腰，构成两个边角边全等三角形． 解：（1）等腰直角 （2）等腰 α （3）结论仍然成立证明：如图1-3，易证△ABF ≌△EBC. ∴AF=CE ，∠AFB=∠ECB. ∵M,N 分别是AF 、CE 的中点, ∴FM=CN. ∴△MFB ≌△NCB. ∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC.∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α.点拨：在图形形状发生变化时，抓住影响结论的主要条件是否变化，如果没有变，则结论不变；如主要条件变，则结论变．在证明此类问题时，图形变化后的证明思想或证明方法，常可由特殊（变化前）的证法类比得到．（三） 练习：1． 如图1，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）PA =PQ ．2．如图1，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGFAC BDPQ图1图1的边CE 上，连接BE 、DG ．(1)求证：BE ＝DG ；(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．3.如图1，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ；(2) OB ＝OE .4. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC 相交于Q .当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系试证明你的猜想5．如图1-1，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点为射线上一点，连结，以为一边且在的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB AC =，90BAC =o ∠，①当点在线段上时（与点不重合），如图1-2，线段CF BD 、所在直线的位置关系为 __________ ，线段CF BD 、的数量关系为 ；②当点在线段的延长线上时，如图1-3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB AC ≠，BAC ∠是锐角，点在线段上，当ACB ∠满足什么条件时，CF BC ⊥（点C F 、不重合），并说明理由．DE图1Q PDCBA图（四） 总结：通过本节课的学习，使学生在对例题、习题分析、证明、总结反思的过程中，体验根据线段和角的位置关系证明角等和线段相等的方法，即当两角或两边在一个三角形中时，利用等边对等角或等角对等边，当两角或两边在两个三角形中时证明他们所在的两个三角形全等；体验由有公共顶点的两个等腰直角三角形构成的几何图形，当分别从一个等腰三角形中取一腰时，可构成边角边全等三角形．通过练习拓展，将等腰直角三角形换成等边三角形、顶角相等的等腰三角形、正方形等，结论仍然成立．老师在用时可将例习题变为学案使用，也可根据自己的习惯和学生情况增减习题使用．教案设计程序简单，易于使用者直接使用或改变．欢迎提宝贵意见！谢谢！ （五） 反思：本节课例习题编排按照由易到难、有简单到复杂的顺序，符合学生的认知规律，学生通过课上的体验、总结、交流再通过练习进行巩固，希望达到教学目标．附练习参考答案：1． 证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠ABC =∠BCD =90°．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形， ∴ ∠PBC =∠PCB =∠QCD =60°， ∴ ∠PBA =∠ABC －∠PBC =30°，∠PCD = ∠BCD －∠PCB =30°．图CAC BDPQ图1F EDCB A图∴ ∠PCQ =∠QCD －∠PCD =30°． ∴ ∠PBA =∠PCQ =30°．（2） ∵ AB =DC =QC ，∠PBA =∠PCQ ，PB =PC ，∴ △PAB ≌△PQC ，∴ PA =PQ ．2．（1）证明：如图1，∵正方形ABCD 和正方形ECGF ,90BC CD CE CG BCE DCG ∴==∠=∠=，，°． 在BCE △和DCG △中，BC CDBCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)BCE DCG ∴△≌△． BE DG ∴=．（2）存在．BCE △绕点顺时针旋转得到DCG △（或将DCG △逆时针旋转得到BCE △）3．证明： (1) 如图1，∵∠BAD ＝∠EAC ， ∴∠BAC=∠EAD ．在△ABC 和△AED 中AB AEBAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△AED(SAS) ．(2)由(1)知∠ABC=∠AED ． ∵AB=AE ，∴∠ABE=∠AEB ．∴∠OBE=∠OEB ．∴OB=OE ．4．解： PQ =PB证明： 过P 点作MN ∥BC 分别交AB 、DC 于点M 、N 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，图1E图1N MQ PDC BA∴AM =PM ． 又∵AB =MN ， ∴MB=PN ． ∵∠BPQ =900 ，∴∠BPM ＋∠NPQ =900 ． 又∵∠MBP ＋∠BPM =900 ， ∴∠MBP = ∠N PQ ． ∴Rt △MBP ≌Rt △NPQ, ． ∴PB =PQ ． 5．（1）①垂直，相等；②如图1-2，当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 得 AD ＝AF ，∠DAF ＝90o ．∵∠BAC ＝90o ，∴∠DAF ＝∠BAC ， ∴∠DAB ＝∠FAC ， 又AB ＝AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF ＝BD ， ∠ACF ＝∠ABD ． ∵∠BAC ＝90o ， AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝45o ，∴∠ACF ＝45o ， ∴∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝90o ． 即 CF ⊥BD .（2）如图1-2，当∠ACB ＝45o 时，CF ⊥BD ．理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 或CB 的延长线于点G ，则∠GAC ＝90o ，∵∠ACB ＝45°,∠AGC ＝90°—∠ACB ＝45°， ∴∠ACB ＝∠AGC ，∴AC ＝AG ，∵点D 在线段BC 上，∴点D 在线段GC 上， 由（1）①可知CF ⊥BD .GBDEFA图。