50道几何求角度、证明线段相等、证明角相等的习题

利用平行四边形的性质解题作者：万淑明来源：《初中生之友·中旬刊》2014年第05期平行四边形是特殊的四边形，它具有许多重要的性质，比如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，对角线的交点是对称中心。

灵活应用这些性质可以解决许多问题，下面举例说明。

一、求角度例1（2013年江西省中考题）如图1，?荀ABCD與?荀DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______。

分析已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形，顶角∠ADE=∠BCF，则可求∠DAE。

解因为?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等，且有公共边CD，所以AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°。

所以∠DAE=■（180°-∠ADE）=■×50°=25°。

点评本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质。

先要明确∠DAE的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，关键是要求得∠ADE=∠BCF=130°。

二、求线段长例2（2013年黑龙江省哈尔滨市中考题）如图2，在■ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（）A．4 B．3C．■ D．2分析根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，可推出∠DEC=∠BCE，从而有∠DEC=∠DCE，可推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可。

解因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AD∥BC，所以∠DEC=∠BCE。

因为CE平分∠DCB，所以∠DCE=∠BCE。

所以∠DEC=∠DCE，所以DE=DC=AB。

因为AD=2AB=2CD，CD=DE，所以AD=2DE。

所以AE=DE=3，所以DC=AB=DE=3。

故答案选B。

全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB AND【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NC D EB M A F E DCBA O ED CBA【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°， 求证：AD 平分∠CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =， 求BDC ∠.DCB A NM D CB AC EDBADCBA NMC【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBDADBCM CA B即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2 又∵CD=DE∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC3. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB ，AD=AD∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C4. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ，CDB ABA CDF2 1 E所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE5. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

《线段相等，角相等，线段垂直》方法总结一.证明线段相等的方法：1.中点2.等式的性质性质1：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。

若a=b那么有a+c=b+c性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （a,b≠0 或a=b ，c≠0）3.全等三角形4借助中介线段（要证a=b，只需要证明a=c，c=b即可）二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等《线段相等，角相等，线段垂直》经典例题1.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。

例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。

4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。

5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。

基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。

利用平行四边形的性质解（证）题平行四边形具有：对边平行、对角相等、对边相等、对角线互相平分等性质，因此这些性质为我们提供了证线段平行、相等，角相等，两线段互相平分的新方法，在证明这些问题时，可证他们所在的四边形是平行四边形．下面举例说明平行四边形的性质在解（证）题中的应用。

一、求角度例1．平行四边形ABCD 中， ∠A-∠B=025，则∠A=_____;∠B=______; ∠C=_____;∠D=_____.分析：设∠B 为x ，则∠A 为025+x.∵ABCD 是平行四边形，∴∠A+∠B=0180即x+025+x=0180.∴x=05.77∴∠A=05.102，∠B=05.77.由于平行四边形对角相等，所以∠C=05.102， ∠D=05.77.评注：（1）在解决求平行四边形的内角的度数问题时，应注意抓住两个等量关系:①平行四边形对角相等②平行四边形邻角互补（2）当题目未明确等价角的度数，而是给了两个角的关系时，应注意运用方程来求解.二、求线段长例2．如图1，在□ABCD 中，如果AB ＝5，AD ＝9，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF ＝_______.分析：观察图形，容易看出DF ＝CF －CD.又，CD ＝AB ＝5，那么要求DF 的长，应先确定CF 的长.解：在□ABCD 中，F因为AB ∥CF ，所以∠ABE ＝∠F.因为BE 平分∠B ＝∠ABC ，所以∠CBF ＝∠ABE ＝∠F.所以CF ＝BC ＝AD ＝9.所以DF ＝CF －CD ＝4.评注：本题的解答过程中，运用了平行四边形的对边平行和对边相等的性质.三、求周长例3．已知：如图2，在□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ， ∠EDF=030， BE=8，BF=14，求□ABCD 的周长.分析：平行四边形的周长是相邻两边长度之和的2倍，因而只要利用平行四边形的性质求出相邻两边的长，问题即可解决.解:∵ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB.∵∠CDF=030， ∴∠A=∠CDF=030.∵BF ⊥AD ，BF=14，∴AB=2BF=28.∵∠A=∠C(平行四边形的对角相等)∴∠C =030.∵BE ⊥CD ，BE=8，∴BC=2BE=16.∴平行四边形ABCD 的周长为:2(AB+BC)=2(28+16)=88.评注：在平行四边形的解题过程中，要善于联系以往学习的有关知识，如此题用到了在直角三角形中，030角所对的直角边是斜边的一半的知识.四、求线段的取值范围例4．如图3，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC ＝12， BD ＝10， AB ＝m ，那么m 的取值范围是（ ）（A ）10＜m ＜12 （B ）2＜m ＜22 （C ）1＜m ＜11 （D ）5＜m ＜6.图2分析：要求m 的取值范围，应考虑与AB 有关的三角形的三边之间的不等关系.结合题中条件，应考虑△OAB 三边之间的不等关系.解：在平行四边形ABCD 中，因为对角线AC 和BD 相交于点O ，所以OA ＝12AC ＝6，OB ＝12BD ＝5. 因为OA －OB ＜AB ＜OA ＋OB ，所以1＜m ＜11.评注：本题的解答过程中，运用了平行四边形的对角线互相平分的性质.五、证明线段相等例5．如图4，已知AD 为△ABC 的中线，E 为AC 上一点，连结BE 交AD 于F ，且AE ＝FE ．则BF ＝AC ．说明理由分析：延长AD 到N ，使DN ＝AD ，构造出平行四边形ABNC ．证明：延长AD 到N ，使DN ＝AD ，连结BN 、CN ，则四边形ABNC 为平行四边形．∴BN ＝AC ，BN ∥AC ，∴∠1＝∠4．∵AE ＝FE ，∴∠1＝∠2．∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠3＝∠4．∴BN ＝BF ，∴BF ＝AC ．评注：当题目中有三角形中线时，常利用加倍中线构造平行四边形，然后再应用平行四边形的知识证题，用这种方法比利用加倍中线构造全等三角形要方便、简捷．图4O A CB图3六、证明线段的不等关系例6．如图5，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 上的一点，E 是AC 延长线上的一点，且DB=CE ，试说明DE>BC ．解析：因为DE 、BC 不在同一三角形中，其大小不好比较，把DE 沿着AB 平移到BF ，连结CF 、EF ，则可得四边形BDEF 为平行四边形，从而得出∠BFE=∠BDE ，EF=BD=CE ，∠CFE=∠FCE ，又因为∠BCF=∠BCE-∠FCE ，∠BFC=∠BFE-∠CFE ，而由∠ABC=∠ACB ，因∠ABC+∠CBF+∠BDE=∠BCE+∠ACB ，由此可得∠BCE>∠BDE ，所以∠BCF>∠BFC ，依据三角形的边角之间的不等关系可得：BF>BC ，即DE>BC ．评注：本题借助构造平行四边形并利用平行四边形的性质将欲比较的线段放在同一三角形中，再通过三角形三边之间的不等关系简洁的使问题得证．七、求面积例7．如图6，□ABCD 中，点E 在AC 上，AE=2EC ，点F 在AB 上，BF=2AF.如果△BEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积.分析：根据等高的两个三角形面积的比等于它们的底的比，求出△AEF 的面积和△BEF 的面积，再根据平行四边形的对角线把平行四边形分成两个面积相等的两个三角形，从而求出平行四边形的面积.解:∵四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线∴ABC S S ∆=2平行四边形∵点F 在AB 上，BF=2AF ，∴△BEA 和△BEF 是过E 点的高相等的两个三角形，BEF BEA S S ∆∆=23 图6 D FE C B A图5同理BEF BEA ABC S S S ∆∆∆==4923因此）（平行四边形2924922cm S S ABC =⨯⨯==∆. 评注：本题考查面积问题中的面积变换，面积变换具有下列的特征:等底或同底且高相等的两个三角形的面积相等；等底或等高的两个三角形的面积比等于它们的高或底的比；此题将平行四边形的面积与三角形的面积进行了整合.。

八年级上第十九章几何证明专题证明角相等练习卷一姓名：1、已知：如图，∠1=∠2，求证：∠3=∠42、如图，已知⊿ABC的外角平分线AD∥BC，求证：∠B=∠C3.如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F4、如图，已知：点C，D在AB上，且AC=BD，DF∥EC，DF=CE，求证：∠E=∠F5、如图，已知点D在线段AB上，CB，DE均垂直于AB，且AD=BC，DE=AB，求证：∠ACE=∠AEC6、已知：如图直线AB、CD被直线EF、GH所截，∠1+∠2=180°，求证：∠3=∠47、已知：如图AB=AD，BC=DC，求证：AE平分∠BAD8、已知：如图：BE=CF，∠ACB=∠DFE，AC=DF，求证：AB∥DE9、已知：如图AB=AC，∠BAO=∠CAO，求证：∠OBC=∠OCB10、已知：如图，AD=AC，BD=BC，求证：∠1=∠211、已知：⊿ABC的三个内角平分线相交于点O，过O作OG⊥BC垂足为G，求证∠BOD=∠COG12、已知：等腰⊿ABC的底边BC上两点P、Q，按B，P，Q，C的顺序，取BP=QC，在AB、AC上分别取D，E点，使AD=AE，DQ与EP交于点O求证：AO平分∠BAC13、已知：∠BAD=∠CAD，DE∥AC交AB于E，EF⊥AD交射线BC于F，求证：∠B=∠FAC21EDCBA1342F E D 45321HG F E D BC A八年级上 第十九章 几何证明 专题证明角相等 练习卷一参考答案1、已知：如图，∠1=∠2 求证：∠3=∠4 证明：∵∠1 = ∠2（已知）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） ∴∠3=∠5（两直线平行，同位角相等） ∵∠4=∠5（对顶角相等） ∴∠3=∠4（等量代换）2、如图，已知⊿ABC 的外角平分线AD ∥BC 求证：∠B=∠C证明：∵AD 平分EAC （已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵AD ∥BC （已知）∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等 ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等） ∴∠B=∠C （等量代换）3、 如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D 求证：∠A=∠F证明一：∵∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等） ∴∠1=∠2（已知） ∴∠3=∠4（等量代换）∵∠D+∠F+∠3=180°，∠C+∠A+∠4=180°（三角形内角和180°） 又∵∠C=∠D （已知） ∴∠A=∠F （等式性质）证明二：∵∠1=∠3（对顶角相等）又∵∠1=∠2（已知）∴∠2=∠3 （等量代换）∴EC ∥DB （同位角相等，两直线平行） ∴∠C=∠5（两直线平行，同位角相等）BD 21CFA E DCBEAE3ACBDGHF124DAB∴∠5=∠D （等量代换）∴DF ∥BC （内错角相等，两直线平行） ∴∠A=∠F （两直线平行，内错角相等）4、如图，已知：点C ，D 在AB 上，且AC=BD ，DF ∥EC ，DF=CE 求证：∠E=∠F证明：∵AC=BD （已知）∴AC+CD=BD+CD （等式性质） 即AD=BC∵DF ∥CE （已知）∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） 在⊿AFD 和⊿BEC 中， (21DF CE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知）（已证）（已证）∴⊿AFD ≌⊿BEC （S.A.S ）∴∠E=∠F （全等三角形对应角相等）5、如图，已知点D 在线段AB 上，CB ，DE 均垂直于AB ，且AD=BC ，DE=AB 求证：∠ACE=∠AEC证明：∵CB ⊥AB ，DE ⊥AB （已知）∴∠CBA=∠ADE=90°（垂直定义） 在⊿ABC 和⊿EDA 中，(CB AD CBA ADE AB ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知）（已证）（已知）∴⊿ABC ≌⊿EDA （S.A.S ）∴AC=AE （全等三角形对应边相等） ∴∠ACE=∠AEC （等边对等角）6、已知：如图直线AB 、CD 被直线EF 、GH 所截，∠1+∠2=180° 求证：∠3=∠4证明：∵∠1+∠2=180°（已知）∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行） ∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等） 7、已知：如图AB=AD ，BC=DC 求证：AE 平分∠BAD证明：在⊿ABC 与⊿ADC 中，(AB AD BC DCAC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩已知）（已知）（公共边） ∴⊿ABC ≌⊿ADE （S.S.S ）ADFC E B OCB A即AE 平分∠BAD8、已知：如图：BE=CF ，∠ACB=∠DFE ，AC=DF 求证：AB ∥DE证明：∵BE=CF （已知）∴BE+EC=CF+EC （等式性质） 即BC=EF在⊿ACB 与⊿DFE 中，(AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知）（已知）（已证）∴⊿ACB ≌⊿DFE （S.A.S ）∴∠A BC=∠DEF （全等三角形对应角相等） ∴AB ∥DE （同位角相等，两直线平行）9、已知：如图AB=AC ，∠BAO=∠CAO 求证：∠OBC=∠OCB证明：在⊿BAO 和⊿CAO 中，(AB AC BAO CAO AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知）（已知）（公共边）∴⊿BAO ≌⊿CAO （S.A.S ）∴OB=OC （全等三角形对应边相等）∴∠OBC=∠OCB （等边对等角）10、提示：△ABD ≌△ABC ，再利用等角的补角相等11、提示：证∠BOD=∠OBA+∠OAB=90º-∠OCG ，∠COG=90º-∠OCG12、提示：先证△BDQ ≌△CEP ，再证△ADO ≌△AEO ，13、提示：先证△ADE 是等腰三角形，再证△AEF ≌△DEF ， ∴∠DAF=∠ADF∵∠ADF =∠B+∠DAB ，∠DAF=∠FAC+∠DAC ∠DAB =∠DAC ∴∠B=∠FAC。

全等三角形全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．A'B'C'D'E'E D C BA全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AAS→⎧⎨→⎩ 找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型全等证明50题1．如图，线段AE与BC相交于点D，BD＝CD，AD＝ED，CA⊥AE，∠1＝30°，且AB＝4cm，求线段BE的长．2．如图，已知△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且EF∥BC，D为EF上一点，且ED＝DF，BD＝CD，请说明：BE＝CF．3．已知：如图，AB∥DE，点C，点F在AD上，AF＝DC，AB＝DE．求证：△ABC≌△DEF．4．如图，AB∥CD，且AB＝CD，连接BC，在线段BC上取点E、F，使得CE＝BF，连接AE、DF．求证：AE∥DF．5．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，BD＝CE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB＝BE，求∠DAE的度数．6．如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，AE＝DF，BE＝CF，AC＝DB．求证：BE∥CF．7．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE．8．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．求证：BD＝CE．9．已知：如图，△ABC≌△A′B′C，∠A：∠BCA：∠ABC＝3：10：5，求∠A′，∠B′BC的度数．10．如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE，AB＝AD．求证：BC ＝DE．11．已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，过点C作CE⊥BD交BD于点E，且CE＝AB．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若AB＝AD，求∠ADC的度数．13．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．14．如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．15．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．16．如围，已知AC，BD相交于点O，AD＝BC，AC＝BD，求证；OA＝OB．17．如图，线段AC、BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE．求证：∠B＝∠C．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB＝OC．19．如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．20．如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．（1）求证：△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．21．如图，四边形ABCD中，∠D＝90°，AB＝AC，BE⊥AC于点E，AE＝AD．求证：AC平分∠DAB．22．如图：△ABC与△DEF中，边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，且BF＝CE，求证：AC＝DF．23．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B．求证：DE ＝CB．24．如图，点C是线段BD的中点，AB∥EC，∠A＝∠E．求证：AB＝EC．25．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠B+∠AEC＝180°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．求证：AC＝DC．26．如图，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AD、BC相交于点O．求证：CO＝DO．27．已知在△ABC与△ABD中，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，AD与BC交于点E，（1）求证：AE＝BE；（2）若AC＝3，AB＝5，求△ACE的周长．28．如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求证：CG＝FG．29．如图，EF∥BC，EF＝BC，DA＝EB，求证：∠F＝∠C．30．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E．（1）求证：BD＝CE；（2）当AB＝5，CE＝2时，求BC的长31．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求证：∠EAC＝∠DEB．32．如图，AC，DB相交于点O，OB＝OC，OA＝OD．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）若BD平分∠ABC，∠A＝60°，求∠BCD的度数．33．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．（1）求证：△BDF≌△ADC；（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．34．已知，△ABC和△DBC的顶点A和D在BC的同旁，AB＝DC，AC＝DB，AC和DB相交于点O．求证：（1）∠ABC＝∠DCB；（2）OA＝OD．35．如图，点B、E、C、F在同一直线上，若AB⊥BF，DE⊥BF，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABC≌△DEF．36．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：△OBC是等腰三角形．37．如图，点A、E、F、C在一直线上，DE∥BF，DE＝BF，AE＝CF．求证：AB∥CD．38．如图，点C、F在BE上，BF＝CE，∠A＝∠D，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．39．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D，求证：AB＝AD．40．已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD．41．如图，E是AC上一点，AB＝CE，AB∥CD，AC＝CD．求证：BC＝ED．42．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：AC平分∠BAD．43．已知：如图，D是BC上一点，AB＝BD，DE∥AB，∠A＝∠DBE．求证：AC＝BE．44．如图，AB＝AC，点D，E分别是线段AB，AC的中点，连接BE，CD．求证：∠B ＝∠C．45．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，EF∥BC，AB∥DE，AB＝DE，求证：AF ＝CD．46．已知：如图，AB∥CD，BF＝DE，点B、E、F、D在同一直线上，∠A＝∠C．求证：AE＝CF．47．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，AD∥BC，∠B＝∠D，求证：AD＝BC．48．如图，点C、E、B、F在同一直线上，CE＝BF，AC∥DF，AC＝DF，求证：△ABC ≌△DEF．49．如图，点B，D，C，F在一条直线上，AB＝EF，∠ABC＝∠EFD，BD＝CF．证明：AC＝DE．50．已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，求证：BC∥EF．参考答案一．解答题（共50小题）1．如图，线段AE与BC相交于点D，BD＝CD，AD＝ED，CA⊥AE，∠1＝30°，且AB＝4cm，求线段BE的长．【答案】解：在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴∠BED＝∠CAD＝90°，在Rt△AEB中，∵∠1＝30°，∴BE＝AB＝2cm．2．如图，已知△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且EF∥BC，D为EF上一点，且ED＝DF，BD＝CD，请说明：BE＝CF．【答案】解：∵BD＝CD∴∠DBC＝∠DCB∵EF∥BC∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB∴∠EDB＝∠FDC，在△EBD和△FCD中，∴△EBD≌△FCD（SAS）∴BE＝CF3．已知：如图，AB∥DE，点C，点F在AD上，AF＝DC，AB＝DE．求证：△ABC≌△DEF．【答案】证明：∵AB∥DE∴∠A＝∠D，∵AF＝CD∴AC＝DF，且∠A＝∠D，AB＝DE∴△ABC≌△DEF（SAS）4．如图，AB∥CD，且AB＝CD，连接BC，在线段BC上取点E、F，使得CE＝BF，连接AE、DF．求证：AE∥DF．【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠C＝∠B，∵CE＝BF，∴CE+EF＝FB+EF，即CF＝BE，在△AEB和△DFC中，∴△AEB≌△DFC（SAS），∴∠AEB＝∠DFC，∴AE∥DF．5．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，BD＝CE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB＝BE，求∠DAE的度数．【答案】解：（1）∵∠B＝∠C＝40°，∴AB＝AC，∵BD＝CE，∴BD+DE＝CE＝DE，即BE＝CD，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）∵AB＝BE，∠B＝40°，∴∠BAE＝∠AEB＝70°，∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∴AC＝CD，∴∠ADC＝∠CAD＝70°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝40°．6．如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，AE＝DF，BE＝CF，AC＝DB．求证：BE∥CF．【答案】证明：∵AC＝DB∴AB＝CD，且AE＝DF，BE＝CF，∴△ABE≌△DCF（SSS）∴∠ABE＝∠DCF∴∠EBC＝∠BCF∴BE∥CF7．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE．【答案】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS）∴AF＝DE．8．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．求证：BD＝CE．【答案】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD．又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD＝CE．9．已知：如图，△ABC≌△A′B′C，∠A：∠BCA：∠ABC＝3：10：5，求∠A′，∠B′BC的度数．【答案】解：∵∠A：∠BCA：∠ABC＝3：10：5，∴设∠A＝3x，∠ABC＝5x，∠BCA＝10x．∵∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，∴3x+5x+10x＝180°，x＝10°．∴∠A＝30°∠ABC＝50°∠BCA＝100°．∵△ABC≌△A'B'C，∴∠A'＝∠A＝30°，∠B'＝∠ABC＝50°．∵∠B'C B＝180°﹣∠BCA＝80°．∴∠B'B C＝180°﹣∠B'﹣∠B'C B＝180°﹣50°﹣80°＝50°．10．如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE，AB＝AD．求证：BC ＝DE．【答案】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS），∴BC＝DE．11．已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．【答案】证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°又∵∠D＝110°∴∠ACB＝∠D∵AB∥DE∴∠CAB＝∠E∴在△ABC和△EAD中∴△ABC≌△EAD（AAS）．12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，过点C作CE⊥BD交BD于点E，且CE＝AB．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若AB＝AD，求∠ADC的度数．【答案】解：（1）∵AD∥BC∴∠ADB＝∠DBC，且∠A＝∠BEC＝90°，AB＝CE∴△ABD≌△ECB（AAS）（2）∵AB＝AD，∠BAD＝90°∴∠ADB＝∠ABD＝45°∵△ABD≌△ECB∴∠DBC＝∠ADB＝45°，BC＝BD∴∠BDC＝67.5°∴∠ADC＝112.5°13．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．【答案】证明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE与△CFE中：∵，∴△ADE≌△CFE（AAS）．14．如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．【答案】证明：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF．15．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．【答案】证明：∵∠BAE＝∠DAC∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠C＝∠E16．如围，已知AC，BD相交于点O，AD＝BC，AC＝BD，求证；OA＝OB．【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【答案】证明：在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SSS），∴∠ABD＝∠BAC，∴OA＝OB．17．如图，线段AC、BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE．求证：∠B＝∠C．【答案】证明：在△AEB和△DEC中，∵∴△AEB≌△DEC，∴∠B＝∠C．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB＝OC．（2）根据全等三角形的性质得到∠DCB＝∠EBC根据等腰三角形的判定定理即可得到OB＝OC【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ECB＝∠DBC，在△DBC与△ECB中，∴△DBC≌△ECB（SAS）；（2）证明：由（1）知△DBC≌△ECB，∴∠DCB＝∠EBC，∴OB＝OC．19．如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．【答案】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BD＝CE，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴AD＝EC，∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，∴△ADF≌△CEF（ASA）．20．如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．（1）求证：△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．【答案】（1）证明：∵点O是线段AB的中点，∴AO＝BO，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC，在△AOD与△OBC中，，∴△AOD≌△OBC（SAS）；（2）解：∵△AOD≌△OBC，∴∠ADO＝∠OCB＝35°，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°．21．如图，四边形ABCD中，∠D＝90°，AB＝AC，BE⊥AC于点E，AE＝AD．求证：AC平分∠DAB．【答案】证明：∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠D＝90°，在Rt△ADC与Rt△AEB中，，∴Rt△ADC≌Rt△AEB（HL），∴∠DAC＝∠BAC，∴AC平分∠DAB．22．如图：△ABC与△DEF中，边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，且BF＝CE，求证：AC＝DF．【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF∴∠ACB＝∠EFD，∵BF＝CE∴BC＝EF，且∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，∴△ABC≌△DEF（ASA）∴AC＝DF23．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B．求证：DE ＝CB．【答案】证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠CEB，∵E是AB的中点，∴AE＝EB，在△ADE和△ECB中，∴△ADE≌△ECB（ASA），∴DE＝CB．24．如图，点C是线段BD的中点，AB∥EC，∠A＝∠E．求证：AB＝EC．【答案】解：∵C是线段BD的中点，∴BC＝CD，∵AB∥EC，∴∠B＝∠ECD，在△ABC与△ECD中，∴△ABC≌△ECD（AAS），∴AB＝EC．25．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠B+∠AEC＝180°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．求证：AC＝DC．【答案】证明：∵∠B+∠AEC＝180°∠CED+∠AEC＝180°∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEC中，∠B＝∠DEC，∠BAC＝∠D，BC＝CE，∴△ABC≌△DEC（AAS）∴AC＝DC；26．如图，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AD、BC相交于点O．求证：CO＝DO．【答案】证明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，∠C＝∠D＝90°∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）∴∠CBA＝∠DAB∴OA＝OB又AD＝BC，∴CO＝DO27．已知在△ABC与△ABD中，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，AD与BC交于点E，（1）求证：AE＝BE；（2）若AC＝3，AB＝5，求△ACE的周长．（2）由勾股定理可求BC＝4，由全等三角形的性质可得AE＝BE，即可求△ACE的周长．【答案】证明：（1）∵∠C＝∠D，∠AEC＝∠BED，AC＝BD∴△ACE≌△BDE（AAS）∴AE＝BE；（2）∵AC＝3，AB＝5，由勾股定理得：BC＝4，由（1）可知AE＝BE∴△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE＝7．28．如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求证：CG＝FG．【答案】证明：∵BF＝CE∴BF+CF＝CE+CF∴BC＝EF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）∴∠ACB＝∠DFE∴CG＝FG29．如图，EF∥BC，EF＝BC，DA＝EB，求证：∠F＝∠C．【答案】证明：∵DA＝BE，∴DE＝AB，∵EF∥BC，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠C＝∠F．30．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E．（1）求证：BD＝CE；（2）当AB＝5，CE＝2时，求BC的长（2）由题意可得AE＝3，由勾股定理可求BE，CB的长．【答案】证明：（1）∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB，且BC＝BC，∠BDC＝∠BEC∴△BDC≌△CEB（AAS）∴BD＝CE，（2）∵AB＝AC＝5，CE＝2∴AE＝3∴BE＝＝4∴BC＝＝231．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求证：∠EAC＝∠DEB．（2）借助全等三角形的性质及角的和差求出∠DAB＝∠EAC，再利用三角形内角和定理求出∠DEB＝∠DAB，即可说明∠EAC＝∠DEB．【答案】解：（1）∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SSS）；（2）由△ABC≌△ADE，则∠D＝∠B，∠DAE＝∠BAC．∴∠DAE﹣∠ABE＝∠BAC﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC．设AB和DE交于点O，∵∠DOA＝BOE，∠D＝∠B，∴∠DEB＝∠DAB．∴∠EAC＝∠DEB．32．如图，AC，DB相交于点O，OB＝OC，OA＝OD．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）若BD平分∠ABC，∠A＝60°，求∠BCD的度数．（2）借助全等三角形及角平分线的定义得到∠DBC＝∠ACB＝∠DCA，在△DBC中利用三角形内角和180度进行求解．【答案】解：（1）在△ABO和△DCO中，∴△ABO≌△DCO（SAS）．∴∠A＝∠D．∵OB＝OC，∴∠DBC＝∠ACB．又BC＝BC．∴△ABC≌△DCB（AAS）；（2）∵△ABO≌△DCO，∴∠ABD＝∠DCA，∠D＝∠A＝60°．∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD．∴∠DBC＝∠ACB＝∠DCA．∵∠DBC+∠ACB+∠DCA+∠D＝180°，∴3∠DBC+60°＝180°，解得∠DBC＝40°，则∠BCD＝180°﹣40°﹣60°＝80°．33．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．（1）求证：△BDF≌△ADC；（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．（2）由全等三角形的性质可得AD＝BD＝4，CD＝DF＝3，BF＝AC，由三角形的面积公式可求BE的长度．【答案】证明：（1）∵AD⊥BC，∠ABC＝45°∴∠ABC＝∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵DA⊥BC，BE⊥AC∴∠C+∠DAC＝90°，∠C+∠CBE＝90°∴∠CBE＝∠DAC，且AD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°∴△BDF≌△ADC（ASA）（2）∵△BDF≌△ADC∴AD＝BD＝4，CD＝DF＝3，BF＝AC∴BF＝＝5∴AC＝5，∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BE∴7×4＝5×BE∴BE＝34．已知，△ABC和△DBC的顶点A和D在BC的同旁，AB＝DC，AC＝DB，AC和DB相交于点O．求证：（1）∠ABC＝∠DCB；（2）OA＝OD．（2）利用AAS，即可判定△AOC≌△DOB，继而证得OA＝OD．【答案】证：（1）在△ABC和△DCB中∵AC＝DB，AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SSS）∴∠ABC＝∠DCB（2）在△AOC和△DOB中∠A＝∠D，∠AOC＝∠DOB，AC＝DB，∴△AOC≌△DOB（AAS）∴OA＝OD．35．如图，点B、E、C、F在同一直线上，若AB⊥BF，DE⊥BF，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABC≌△DEF．【分析】根据HL判定定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF即可．【答案】证明：∵AB⊥BF，DE⊥BF，AB＝DE，AC＝DF∴在Rt△ABC与Rt△DEF中，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）36．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：△OBC是等腰三角形．【答案】证明：∵AC＝DB，BC＝BC∴Rt△ABC≌Rt△DBC（HL）∴∠ACB＝∠DBC∴OB＝OC∴△OBC是等腰三角形37．如图，点A、E、F、C在一直线上，DE∥BF，DE＝BF，AE＝CF．求证：AB∥CD．【答案】证明：∵DE∥BF∴∠DEF＝∠BFE∵AE＝CF∴AF＝CE，且DE＝BF，∠DEF＝∠BFE∴△AFB≌△CED（SAS）∴∠A＝∠C∴AB∥CD38．如图，点C、F在BE上，BF＝CE，∠A＝∠D，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．【答案】证明：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）．39．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D，求证：AB＝AD．【答案】证明：∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠ACD在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（AAS）∴AB＝AD．40．已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD．【答案】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）．41．如图，E是AC上一点，AB＝CE，AB∥CD，AC＝CD．求证：BC＝ED．【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（SAS），∴BC＝ED．42．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：AC平分∠BAD．【答案】证明：∵∠B＝∠D＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAC＝∠DAC，即AC平分∠BAD．43．已知：如图，D是BC上一点，AB＝BD，DE∥AB，∠A＝∠DBE．求证：AC＝BE．【答案】证明：∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠CBA，而∠A＝∠DBE，AB＝BD，∴△ABC≌△BDE（ASA），∴AC＝BE．44．如图，AB＝AC，点D，E分别是线段AB，AC的中点，连接BE，CD．求证：∠B ＝∠C．【答案】证明：∵点D，E分别是线段AB，AC的中点，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE，在△ABE和△ACD中，AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C．45．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，EF∥BC，AB∥DE，AB＝DE，求证：AF ＝CD．【答案】证明：∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠EFC＝∠BCA，∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC＝DF，∴AC﹣FC＝DF﹣FC，即AF＝DC．46．已知：如图，AB∥CD，BF＝DE，点B、E、F、D在同一直线上，∠A＝∠C．求证：AE＝CF．【答案】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠D，∵BF＝DE，∴BE+EF＝EF+DF，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF．47．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，AD∥BC，∠B＝∠D，求证：AD＝BC．【答案】证明：∵AE＝CF，∴AF＝CE，∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE，∴AD＝BC．48．如图，点C、E、B、F在同一直线上，CE＝BF，AC∥DF，AC＝DF，求证：△ABC ≌△DEF．【答案】解：∵CE＝BF，∴CE+BE＝BF+BE，即BC＝EF，又∵AC∥DF，∴∠C＝∠F，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．49．如图，点B，D，C，F在一条直线上，AB＝EF，∠ABC＝∠EFD，BD＝CF．证明：AC＝DE．【答案】证明：∵BD＝CF，∴BD+CD＝CF+CD，即BC＝FD，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（SAS），∴AC＝DE．50．已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，求证：BC∥EF．【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝CD，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠BCA＝∠EFD，∴BC∥EF．。

全等三角形经典证明题50道1、已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE2、已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC3、如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．FAE DCB4．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA5．（5分）如图，已知AD∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．PCEDBA6．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE ⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC 于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．7．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：8．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．OEDCB AFE D CB A25、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

FEDCBA证明：∵DF=CE ， ∴DF-EF=CE-EF ， 即DE=CF ，在△AED 和△BFC 中，∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED ≌△BFC （SAS ）26、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。

我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。

证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。

（3）证明二直线的夹角等于90°。

2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手
法。

“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。