证明两角相等的方法

几何证明如何进行几何证明的步骤与方法几何证明是数学中重要的一部分，通过利用几何性质和逻辑推理，向读者展示一个结论为何成立的过程。

本文将介绍几何证明的基本步骤和常用方法，帮助读者更好地掌握几何证明的技巧。

一、几何证明的基本步骤几何证明的基本步骤可以分为以下几个部分：1.明确已知条件和待证结论：在开始证明之前，需要仔细阅读题目，明确已知条件和待证结论。

已知条件是限定证明的前提条件，而待证结论则是需要证明的目标。

2.辅助线的引入：为了更好地展示证明的思路，有时候需要引入辅助线。

辅助线的引入可以将复杂的问题转化为简单的几何形状，有助于寻找证明的路径。

3.利用几何性质和定理：几何证明的核心在于利用几何性质和定理，推导出待证结论。

可以运用直线的性质、角的性质、三角形的性质等来进行推理。

4.逻辑推理与演绎：在证明过程中，需要运用逻辑推理和演绎的方法。

建立严密的逻辑推理链条，确保推导的过程合乎逻辑，避免存在漏洞。

5.正确归纳和总结：完成证明后，需要以简练、准确的语言对证明过程进行归纳和总结。

可以用“因为……所以”、“根据……可以得出”等词语来表达推导和结论。

二、常用的几何证明方法在进行几何证明时，可以结合几何形状的特点来选择适合的证明方法。

以下是常用的几何证明方法：1.等距法：通过运用等距法，可以证明两线段或两角相等。

常见的等距法包括线段等距法、角等距法等。

2.全等三角形法：基于全等三角形的性质，可以证明各种长度关系、夹角关系等。

通过构造全等三角形，可以将需要证明的部分与已知条件进行对应。

3.相似三角形法：相似三角形法是利用相似三角形的性质来进行证明的方法。

通过判定两个三角形是否相似，可以得出各种长度比例、夹角关系等。

4.平行线法：平行线法是利用平行线的性质进行证明的方法。

可以根据平行线的夹角性质、截线性质等进行推导。

5.垂直线法：垂直线法是利用垂直线的性质进行证明的方法。

可以根据垂直线与其他线段或角的关系进行推导。

（原创实用版3篇）编制人员:_______________审核人员:_______________审批人员:_______________编制单位:_______________编制时间:____年___月___日序言下面是本店铺为大家精心编写的3篇《两角分别相等的判定方法教案》，供大家借鉴与参考。

下载后，可根据实际需要进行调整和使用，希望能够帮助到大家，谢射!（3篇）《两角分别相等的判定方法教案》篇1以下是两角分别相等的判定方法教案：教学目标：1. 知识与技能：掌握两角分别相等的判定方法，并能够应用其解决一些简单的几何和代数问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳、证明等过程，提高学生的逻辑推理能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：通过探究两角相等的判定方法，培养学生的探究精神和创新意识。

教学重难点：1. 教学重点：掌握两角分别相等的判定方法，并能够应用其解决一些简单的几何和代数问题。

2. 教学难点：理解并灵活运用两角分别相等的判定方法，解决一些复杂的问题。

教学方法：1. 观察法：通过观察两个角的关系，引导学生发现两角相等的判定方法。

2. 归纳法：通过归纳总结，得出两角分别相等的判定方法。

3. 证明法：通过证明，验证两角分别相等的判定方法的正确性。

4. 应用法：通过应用，加深学生对两角分别相等的判定方法的理解和应用。

教学过程：1. 导入新课：通过复习旧知识，引导学生发现两个角的关系，为新课的讲解做铺垫。

2. 观察法：通过观察两个角的关系，引导学生发现两角相等的判定方法。

3. 归纳法：通过归纳总结，得出两角分别相等的判定方法。

4. 证明法：通过证明，验证两角分别相等的判定方法的正确性。

5. 应用法：通过应用，加深学生对两角分别相等的判定方法的理解和应用。

教学反思：1. 通过本节课的教学，学生是否掌握了两个角分别相等的判定方法，并能够应用其解决一些简单的几何和代数问题。

2. 学生是否理解并灵活运用了两角分别相等的判定方法，解决一些复杂的问题。

如何证明：两角的两边分别垂直则这两个角相等或互补
如图
第一种情况：
因为AC⊥BC，所以∠A+∠AOC=90°
同理，∠B+∠BOD=90°
而，∠AOC=∠BOD（对顶角）
所以，∠A=∠B
第二种情况：
根据四边形的内角和为360°知：∠A+∠B=360°-(90°+90°)=180°
即，∠A与∠B互补
八边形的对角线有几条
从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线。

n边形一共有n(n-3)/2条对角线。

（n-3）是因为n边形共有n条边，从一个顶点出发，除了自己这个顶点和与自己相邻的两个顶点不能连成对角线，一共三条线，所以减去3，为（n-3）。

n(n-3)/2是因为从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，而n边形共有n条边，所以为n （n-3），但其中又有正好一半儿是重复的，所以就再除以2，为n(n-3)/2。

徐老师模型数学20170727第 1 页 共 1 页 如何证明两线段相等百汇学校 徐国纲一、常见轨迹中 1、两平行线间的距离处处相等；2、线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等；3、角平分线性质定理：角平分线上任一点到角两边的距离相等；4、平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等；二、三角形中5、等角对等边：两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；6、三线合一：等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；7、等边三角形的三边相等；8、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；9、任意三角形的外心到三顶点的距离相等；10、任意三角形的内心到三边的距离相等；11、过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边（三角形中位线定理的逆定理）；12、全等：全等三角形的对应边相等，对应的中线、角平分线和高都对应相等；三、特殊四边形中13、平行四边形的对边相等、对角线互相平分；14、矩形的对角线相等；15、菱形的四条边都相等；16、正方形的条边都相等，对角线相等；17、等腰梯形两腰相等，两条对角线相等； 四、圆中18、同圆或等圆的半径相等；19、圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；20、圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、圆周角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；21、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；22、两圆的内（外）公切线的长相等；五、等式性质23、等量代换：若b a =，c b =，则c a =；24、等式性质：若b a =，则c b c a +=+或c b c a -=-；25、比例性质：若dc b a =，且)(d b c a ==，则)(c a d b ==；。

两个角相等（教案）教学内容两个角相等的证明教学目标1、帮助学生梳理有关角相等的理论依据及一些基本方法；2、训练学生有关角的转化技能；进一步加强训练学生几何证明题的分析综合能力，在平面几何演绎推理中适当提示学生类比，归纳等推理意识与学习方法；3、通过几何知识，培养学生严紧推理的数学素养与大胆联想的心理素质.教学过程一、知识要点证明两角相等，跟证明两线段相等是紧密联系在一起，相互渗透的，证明两角相等，主要用到下面的一些知识：1）三角形的内角和，外角与内角的关系，2）平行线的性质；3）全等三角形的性质；4）等腰三角形的性质；5）平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形的性质；6）中位线的性质；7）利用中间媒介，等量代换；8）证明两角是等角（同角）的补角、余角，或证这两角等于同一角，或分别等于两个相等的角，或则证明两角是等角的和差倍半；9）圆心角、圆周角、弦切角以及圆内接四边形等的性质；10）相似三角形的性质；11）圆幂定理等.二、几何证明常用思想方法1、方程思想，通过建立方程求解出相应的量；2、转化思想，或整体转化，或化整为零；3、等量代换；4、由特殊到一般，寻求奠基引理；5、分析法、综合法、反证法与同一法等；三、例题示范例1 已知I为△ABC的内心，延长AI交BC于D，作IE⊥BC,求证∠BID=∠CIE分析：三角形的内心是三角形的三条内角平分线的交点，当然有∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI,又有IE⊥BC,于E,所以有∠CIE+∠BCI=90°，这里其实是四个方程，所以容易使我们想到利用这四个方程表示出要证明的两个角，从而间接得到两角相等的证明.证明：设∠CAI =x, ∠CBI =y, ∠BCI=y,由于I为△ABC的内心，所以有：∠BAI=∠CAI=x, ∠ABI=∠CBI=y, ∠ACI=∠BCI=z,所以∠BID=x+y,而又IE⊥BC于E，所以∠CIE=90°－∠BCI=90°－z;又因为∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，即有x+y+z=90°，所以90°－z=x+y,所以∠BID=∠CIE；点评：求证角相等问题，我们也可以巧设未知数，把要证明相等的两个角的角度用含有所设的未知数的代数式表示出来，然后再去寻找图中的等量关系，证明这两个代数式相等。

添辅助线的规律（一）添辅助线的目的：解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几何关系。

这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几何图形之中。

如一个三角形（特别是直角三角形、等腰三角形），一个平行四边形（特别是矩形、菱形、正方形），一个圆，或两个全等三角形，两个相似三角形之中。

这种思路可称为条件集中法。

为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件，通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似三角形。

以便于运用这些图形的几何关系（性质定理）解题，这就需要添加辅助线。

添加什么样的辅助线，总由以下三方面决定：⑴由所求决定：问什么，先要作什么。

⑵由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提供的性质定理添加辅助线。

⑶由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。

（二）添辅助线的规律：（1）三角形中：①等腰Δ：常连底边上的中线或高或顶角的平分线（构造两个全等的直角Δ，或便于运用等腰Δ三线合一的性质。

如图1）②直角Δ斜边上有中点：连中线（构造两个等腰Δ，或便于运用直角Δ斜边上的中线的特殊性质。

如图2）③斜Δ有中点或中线：连中线(构造两个等底同高的等积Δ。

如图3）；或自左右两顶点分别作中线的垂线（构造两个全等直角三角形。

如图4）；或连中位线、或过一中点作另一边的平行线（构造两个相似比为1：2的相似Δ，或便于运用Δ中位线定理。

如图5、6）；或延长中位线或中线的一倍（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。

如图7、8）。

或延长中线的1/3（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。

如图9）。

④有角平分线：过其上某一交点作角两边的垂线（构造两全等的直角Δ。

如图10）或一边或两边的平行线（构造一个或两个等腰Δ或一菱形。

证明三角形全等的常见思路全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。

而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。

在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见思路，进行分析。

一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。

证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即BF=CE。

在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。

∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。

2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。

例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

求证：AE=CE。

证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。

在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）. ∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）. ∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。

二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。

求证：△ABD≌△ACE.（原九义材《几何》二册32页8题）；证明∵∠1=∠2，∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。

证全等的5个方法
1. 利用SAS(Side-Angle-Side)法：首先证明两个三角形的一条边和它的两个夹角相等，然后应用SAS法证明它们全等。

2. 使用SSS (Side-Side-Side)法：证明两个三角形的三条边相等，从而证明它们全等。

3. 利用ASA (Angle-Side-Angle) 法：证明两个三角形的一个角和它的两个相邻边相等,然后再证明它们另一个角和它的两个相邻边相等，从而证明它们全等。

4. 利用AAS (Angle-Angle-Side)法：证明两个三角形的两个角和一个非包含的边相等，再证明两个三角形的一个角和两个不相邻的边相等，从而证明它们全等。

5. 使用HL (Hypotenuse-Leg)法：当证明两个直角三角形的斜边和一个直角边相等，再证明两个直角三角形的一个锐角边和斜边相等时，可以使用这种方法证明它们全等。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧...*..............算出两个角的度数相等利用代数、三角方法计利用等量代换的圆周角弦切角等于它所夹弧对角相等同弧或等弧所对的圆周角个外角都等于它的内对圆内接四边形的任何一相等那么它们所对的圆心角两条弦的弦心距相等，相等、或有条弧相等，或有两条弦同圆或等圆中，若有两圆个角相等等腰梯形同一底上的两分一组对角菱形的每一条对角线平平行四边形的对角相等四边形（或中线）平分顶角等腰三角形底边上的高角相等等；相似三角形的对应全等三角形的对应角相边对等角在同一个三角形中，等三角形角相等角的平分线分得的两个直角都相等等、内错角相等两直线平行，同位角相相等或余角相等等角（或同角）的补角对顶角相等相交线、平行线【专题】证明角的相等：证明角的相等，是平面几何中的基本题型之一，也是中考的常见题型.在证明角的相等的过程中，要综合运用许多重要知识和教学方法，从而培养分析问题和解决问题的能力。

一、专题知识网络：证明两角相等 的主要方法二、典型例题分析：例1：如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形，CD ∥BA ，四边形AEBC 是平行四边形.求证：∠ABD=∠ABE.分析：要证∠ABD=∠ABE ，，证得△ABD ≌△ABE 即可.根据条件可得BE=AC=BD ，AE=BC=AD ，而AB 为公共边，故问题得到解决。

证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AD=BC,AC=BD.∵四边形AEBC 是平行四边形, ∴BC=AE,AC=BE, ∴AD=AE,BD=BE.又∵AB 为公共边， ∴△ABD ≌△ABE ， ∴∠ABD=∠ABE.例2：已知如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦,PC 切⊙O 于C ，PD ⊥AB 于D ，交AC 于E.求证：∠PEC=∠PCE.分析：要证在一个三角形中的两个角相等，可用“等边对等角”或根据条件，由其余相等的角进行转化，此题显然适用后者.证明：连结BC.∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°.∵PD ⊥AB,∠EAD=∠BAC, ∴ ∠AED=∠ABC.∵PC 切⊙O 于C ， ∴ ∠PCE=∠ABC, ∴ ∠AED=∠PCE.又∵∠PEC=∠AED ， ∴ ∠PEC=∠PCE.[此题还可连结OC ，或过点A 作⊙O 的切线，尝试做做.]例3：如图，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，AE 切⊙O 1于点A ，交⊙O 2于点E ，AC 是⊙O 1的弦，CB 的延长线交⊙O 2于点D.求证：∠ABE=∠CAD.分析：根据这两个角的位置，若能证△ABE ∽△CAD 即可.证明：∵AE切⊙O1于点A，∴∠BAE=∠C.又∵∠D=∠E, ∴△ABE∽△CAD，∴∠ABE=∠CAD.三、应用练习：1、已知如图，在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：∠5=∠6.2、已知如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF=DE，连结FC.求证：∠F=∠A.3、已知如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，AE、AF分别是∠BAC的平分线、BC边上的中线.求证：∠DAE=∠EAF.4、已知如图，在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与△ABC的外接圆O交于点D，与BC 的延长线交于点F，DE是BD的延长线，连结CD.求证：DF平分∠EDC.5、已知如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点E，且AD⋅BE=EC⋅BD.求证：∠DBA=∠EBC. 5题图6、已知如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，直线BD切⊙O1于点B，交⊙O2于点C、D，直线DA交⊙O1于E.求证：∠BAC=∠ABC+∠D.3题图4题图6题图7、已知如图，⊙O1和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O1于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C.求证：PC平分∠APD.8、已知如图，AB为⊙O的直径，以B为圆心的圆交OB于C，交⊙O于E、F，交AB的延长线于D，连结EC并延长交⊙O于G.（1）求证：AE是⊙B的切线；（2）求证：EG平分∠AEF.。

证明两角相等的方法四川 侯国兴证明两角相等与证明两线段相等都是证明题中的常见题型，本文将举例介绍证明两角相等的常用方法，供学习参考．一. 利用平行线的性质证明例1.已知：如图1，12,C D ∠=∠∠=∠．求证：A F ∠=∠图1 图2简析：可考虑由AC ∥DF 而得到结论．． 证明：因为 12,32∠=∠∠=∠（对顶角相等）所以 13∠=∠所以 BD ∥CE （同位角相等，两直线平行）所以 D B A C ∠=∠（两直线平行，同位角相等）又因为 C D ∠=∠，所以 DBA D ∠=∠所以 AC ∥DF （内错角相等，两直线平行）所以 A F ∠=∠ （两直线平行，内错角相等）二. 利用全等三角形的性质证明例2.已知，如图2，在ABC 中，90ACB ∠= ，AC=BC ，AD 为BC 边的中线，CE AD ⊥于E ，交AB 于F ，求证：ADC BDF ∠=∠．简析：考虑ABC 为等腰直角三角形，其典型辅助线是作底边上的高（作CH AB ⊥于H ，交AD 于G ），也是底边上的中线，这样，可设法证CGD BFD ≅ 而得到结论． 证明：作CH AB ⊥于H ，交AD 于G ，则45ACG B ∠=∠=因为 CE AD ⊥，所以 CAG BCF ∠=∠又因为 AC=BC 所以 AGC CFB ≅ （ASA ）所以 CG=BF （全等三角形的对应边相等）又因为 45DCG B ∠=∠= ，CD=BD 所以 C G D B F D ≅ （SAS ）所以 A D C B D F ∠=∠ （全等三角形对应角相等）．三. 利用等腰三角形的性质证明例3. 已知 ：如图3，AB=AC ，,,CE AB AD BC ⊥⊥且DEB B ∠=∠，求证：12∠=∠．图3 图4简析：因为1∠、2∠是DCE 的两内角，可证ED=CD 而得结论．证明：因为 DEB B ∠=∠ ，所以BD=ED （等角对等边）因为 ,AB AC AD BC =⊥，所以 BD=CD （等腰三角形的“三线合一性”）所以 ED=CD ， 所以 12∠=∠ （等边对等角）四. 利用等量代换证明例4．如图4，ABC 的三条内角平分线相交于点O ，且OG BC ⊥，垂足为G ．求证： BOD COG ∠=∠．简析：当用上面三种方法都难以奏效时，可考虑所要证明的两个角都等于第三个角，利用等量代换而得结论．证明：由已知条件得：12BOD ∠=∠+∠1122BAC ABC =∠+∠ 11(180)9022ACB ACB =-∠=-∠ 又因为 OG BC ⊥， 所以 1902COG ACB ∠=-∠ 所以 B O D C O G ∠=∠． 待同学们学习了平行四边形知识以及在九年级学习的部分知识后,还有别的方法证明两角相等.在此不再赘述.【热身练习】：1. 已知：如图5，点C 是AB 的中点，AC=CE ，12∠=∠，求证：34∠=∠．（提示： 利用全等三角形的性质证明）2. 已知：如图6，AD 是A ∠的平分线，E 是AB 上的一点，且AE=AC ，EF ∥BC 交AC 于点F ．求证：EC 平分DEF ∠．（提示：利用等量代换证明）图5 图6。