平面向量的数乘运算

平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算是向量的一个基本运算。

在实际生活和工作中，平面向量数乘运算经常用来求出向量的长度和方向，计算两个向量之间的关系，解决各种几何问题等等。

下面我们就来详细了解平面向量的数乘运算。

1.定义对于一个数k和一个平面上的向量A，我们定义向量kA为长度为|k|倍的向量，且与A的方向相同（若k>0）或相反（若k<0）。

即kA=k*|A|*u，其中|A|为向量A的长度，u为A的单位向量，k为实数。

2.性质平面向量的数乘运算有以下基本性质：（1）交换律：kA = Ak；（2）结合律：k(lA) = (kl)A；（3）分配律：(k+l)A = kA + lA；（4）数乘0得零向量：0A = 0；（5）数乘-1得反向量：(-1)A = -A。

其中，（1）和（2）很容易证明，（3）可以利用向量的加法证明，（4）和（5）也很显然。

3.向量的长度我们知道，向量的长度表示为|A|，表示从向量的起点到终点的距离。

对于向量A来说，它的数乘kA的长度为|kA|=|k||A|，即kA的长度等于k乘以A的长度。

因此，我们可以利用向量的数乘运算来求出一个向量的长度，或者利用向量的长度来计算它的数乘。

4.向量的方向向量的方向是向量自身的属性，一般用单位向量来表示。

对于一个向量A来说，它的单位向量为u=A/|A|，即除以向量的长度之后所得到的向量。

对于向量kA来说，它与A的方向相同（若k>0）或相反（若k<0），因此kA的单位向量为u=A/|A|。

因此，我们可以利用向量的数乘运算来求出一个向量的方向，或者利用向量的方向来计算它的数乘。

5.应用平面向量的数乘运算在实际生活和工作中有很多应用，比如：（1）计算两个向量之间的关系。

如果向量A和向量B之间的夹角为θ，则有A·B=|A||B|cosθ，其中·表示向量的点积。

如果将向量A数乘k，向量B数乘l，则有(kA)·(lB)=kl(A·B)，即两个向量的数乘之后再点乘等于原向量点乘之后再数乘。

平面向量数乘的定义及运算法则一、平面向量数乘的定义a平面向量数乘是指将一个实数与一个向量相乘的运算。

给定一个向量，记实数为k，则该数乘运算表示为k。

二、数乘运算的几何意义a1.若k>0，则k的几何意义是将向量的长度放大k倍，并且与的方向相同。

a2.若k<0，则k的几何意义是将向量的长度放大|k|倍，并且与的方向相反。

a3.若k=0，则k的几何意义是零向量，即长度为零的向量。

三、数乘运算的性质a1.结合律：对于任意实数k1、k2和向量，有k1(k2)=(k1k2)。

a2.分配律：对于任意实数k和向量、**b**，有k(+**b**)=k+k**b**。

a3.分配律：对于任意实数k1、k2和向量，有(k1+k2)=k1+k2。

a4.数乘1的性质：对于任意向量，有1=。

a5.数乘0的性质：对于任意向量，有0=**0**。

四、实例分析现在我们通过一个实例来理解平面向量数乘的定义及运算法则。

例1：已知向量**a**=(2,3)，计算3**a**和-2**a**。

解：根据定义，我们有：a-3=3(2,3)=(6,9)a--2=-2(2,3)=(-4,-6)a所以，3=(6,9)，-2=(-4,-6)。

a根据几何意义，3的长度是向量长度的3倍，并且与方向相同；-2的长度是向量长度的2倍，并且与方向相反。

五、总结平面向量数乘的定义及运算法则为：-数乘运算是将一个实数与一个向量相乘的运算。

-数乘运算的几何意义是改变向量的长度和方向。

-数乘运算满足结合律、分配律，数乘1的性质和数乘0的性质。

-通过实例分析可以更好地理解平面向量数乘的概念和运算法则。

在向量的数乘运算中，需要注意实数与向量的顺序以及符号的正确性，以确保结果的准确性。

掌握平面向量数乘的定义及运算法则，能够在解决相关问题时得到正确的结果，并应用到更复杂的向量运算中。

平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。

在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。

1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。

加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。

3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。

数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。

点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。

-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。

-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。

-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。

5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。

平面向量的数乘和运算律一、平面向量的数乘和运算律1、向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量$\boldsymbol a$，有$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，即任意向量与零向量的和为其本身。

①常用结论$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\leqslant |\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。

当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向时，$|\boldsymbol a+\boldsymbolb|=|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。

当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向或$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$中至少有一个为$\boldsymbol 0$时，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=$$|\boldsymbol a|-|\boldsymbol b|$（或$|\boldsymbol b|-|\boldsymbol a|$）。

②向量加法的运算律交换律：$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a$。

结合律：$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbola+(\boldsymbol b+\boldsymbol c)$。

2、向量的减法求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。

平面向量的运算法则在数学中，平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。

平面向量有许多运算法则，包括相加、相减、数量乘法等。

1. 平面向量的表示方法平面向量通常用坐标表示，形式为 (x, y) 或 i*x + j*y，x、y分别表示向量在x轴和y轴上的分量，i和j是单位向量。

2. 平面向量的相加设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。

则 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。

3. 平面向量的相减设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。

则 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。

4. 平面向量的数量乘法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为实数。

则 kA 的坐标表示为 (k*x, k*y)。

5. 平面向量的数量除法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为非零实数。

则A/k 的坐标表示为 (x/k, y/k)。

6. 平面向量的数量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。

两个向量的数量积为 A·B = x1*x2 + y1*y2，是一个数量。

7. 平面向量的向量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。

两个向量的向量积为 A×B = x1*y2 - x2*y1，是一个向量。

8. 平面向量的模长一个平面向量 A 的模长表示为 |A|，计算公式为|A| = √(x^2 + y^2)，其中 x 和 y 分别为向量 A 在 x 轴和 y 轴上的分量。

9. 平面向量的数量积与夹角设有两个非零平面向量 A 和 B，它们之间的夹角θ 满足以下公式：cosθ = (A·B) / (|A|*|B|)。

平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。

2. 掌握平面向量的数乘运算规则。

3. 能够运用数乘运算解决实际问题。

教学内容：一、平面向量的数乘运算概念1. 引入实数与向量的乘积，即数乘运算。

2. 讲解数乘运算的定义及性质。

二、平面向量的数乘运算规则1. 讲解数乘运算的分配律。

2. 讲解数乘运算的结合律。

3. 讲解数乘运算的单位向量。

三、数乘运算在坐标系中的应用1. 讲解二维坐标系中向量的数乘运算。

2. 讲解三维坐标系中向量的数乘运算。

四、数乘运算与向量长度的关系1. 讲解数乘运算与向量长度的关系。

2. 讲解数乘运算在求向量长度中的应用。

五、数乘运算在向量运算中的应用1. 讲解数乘运算在向量加法中的应用。

2. 讲解数乘运算在向量减法中的应用。

教学方法：1. 采用讲授法，讲解数乘运算的概念、规则及应用。

2. 利用多媒体演示，直观展示数乘运算在坐标系中的应用。

3. 引导学生通过练习，巩固数乘运算的知识。

教学评估：1. 课堂练习：布置有关数乘运算的题目，检查学生掌握情况。

2. 课后作业：布置有关数乘运算的综合题目，要求学生在规定时间内完成。

3. 单元测试：进行有关数乘运算的测试，了解学生对知识的掌握程度。

教学资源：1. 教学PPT：展示数乘运算的概念、规则及应用。

2. 练习题库：提供丰富的数乘运算题目，供学生练习。

3. 坐标系软件：辅助展示数乘运算在坐标系中的应用。

教学建议：1. 在讲解数乘运算概念时，注意与实数的乘法进行对比，帮助学生理解。

2. 在讲解数乘运算规则时，举例说明，让学生更好地掌握。

3. 在数乘运算的应用部分，注重引导学生思考，提高解决问题的能力。

4. 针对不同程度的学生，合理安排课堂练习和课后作业，提高教学效果。

5. 及时进行教学评估，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。

平面向量的数乘运算教学内容：六、数乘运算与向量坐标的关系2. 举例说明数乘运算在坐标系中的应用。

平面向量数乘的定义
平面向量数乘是一种二维向量的运算，是将两个二维向量的模长分别乘以对应的夹角的余弦值得到的结果。

由于它是一种特殊的矩阵乘法，所以也称为“矩阵乘号”或“向量乘号”。

平面向量数乘可用来计算两个向量的内积。

它可以说明这两个向量的贡献程度，可以用来衡量它们之间的相关性，从而决定是否有必要进行矩阵乘法运算。

通常用来计算空间向量的范数、求空间向量的夹角以及求解一元二次方程。

此外，平面向量也可以用于解决一些特殊的几何问题：如求解圆的面积、求解三角形的面积、求解平面上的三角形的外接圆等。

数学的定义是：平面向量数乘是把向量a与向量b的模长分别乘以对应的夹角cosθ，即a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|表示向量a 和向量b的模长，而θ表示向量a和向量b夹角的余弦值。

平面向量数乘运算的坐标表示我很乐意帮你撰写这篇关于平面向量数乘运算的坐标表示的文章。

在文章中，我将从简单的概念和基本原理开始，逐步深入探讨这个主题，帮助你更好地理解这一数学运算的重要性和应用。

1. 什么是平面向量？在开始探讨平面向量数乘运算的坐标表示之前，让我们先来回顾一下什么是平面向量。

平面向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示在平面上。

平面向量通常表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

2. 数乘运算的定义数乘运算是指一个向量与一个标量相乘的操作。

在数乘运算中，向量的大小会根据标量的大小进行缩放，方向保持不变。

数乘运算的结果是一个新的向量。

3. 坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示非常重要。

通过坐标表示，我们可以清晰地看到向量与标量相乘后的变化。

假设有向量a = (a1, a2)，标量k，那么a与k的数乘结果可以表示为ka = (ka1, ka2)。

4. 数乘运算的性质数乘运算具有一些重要的性质，比如分配律、结合律等。

这些性质对于理解和运用数乘运算非常重要。

5. 应用举例平面向量数乘运算的坐标表示在几何学、物理学等领域有着广泛的应用。

比如在物理学中，力的合成就常常会用到平面向量的数乘运算，通过坐标表示可以清晰地看到力的变化和合成结果。

总结和回顾通过本文的介绍，我希望你能够更好地理解平面向量数乘运算的坐标表示。

数乘运算是向量运算中的重要部分，通过坐标表示可以更直观地看到向量的变化，这对于理解和运用向量运算有着重要的意义。

个人观点和理解在我的个人看来，平面向量数乘运算的坐标表示是向量运算中的基础而重要的一部分。

通过数乘运算，我们可以更清晰地看到向量的变化和作用，这有助于我们在实际问题中更好地运用向量概念。

希望你也能对这一主题有深刻的理解和灵活的运用。

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教案：平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。

2. 掌握平面向量的数乘运算规则。

3. 能够运用数乘运算解决实际问题。

教学内容：一、平面向量的数乘运算概念1. 引入向量的概念，回顾向量的定义和表示方法。

2. 引入数乘运算的概念，解释数乘运算的含义。

二、平面向量的数乘运算规则1. 展示平面向量的数乘运算例子，引导学生总结数乘运算的规律。

2. 讲解平面向量的数乘运算规则，包括标量与向量的乘法以及向量的数乘。

三、数乘运算的性质1. 引导学生思考数乘运算的性质，如交换律、结合律等。

2. 讲解数乘运算的性质，并通过示例进行说明。

四、数乘运算在实际问题中的应用1. 给出实际问题，引导学生运用数乘运算进行解决。

2. 讲解数乘运算在实际问题中的应用方法，如速度和加速度的合成等。

五、巩固练习1. 提供练习题，让学生独立完成，巩固对数乘运算的理解和应用。

2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。

教学资源：1. 教学PPT或黑板，用于展示向量和数乘运算的示例和性质。

2. 练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。

教学评估：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。

2. 学生对数乘运算的理解程度和应用能力。

3. 学生练习题的完成情况。

教学时间安排：1. 第一节课：介绍平面向量的数乘运算概念。

2. 第二节课：讲解平面向量的数乘运算规则。

3. 第三节课：讲解数乘运算的性质。

4. 第四节课：讲解数乘运算在实际问题中的应用。

5. 第五节课：巩固练习和解答学生问题。

教案：平面向量的数乘运算（续）六、数乘运算与向量长度的关系1. 回顾向量长度的定义和计算方法。

2. 讲解数乘运算与向量长度的关系，引导学生理解数乘运算对向量长度的影响。

七、数乘运算与向量方向的关系1. 讲解数乘运算与向量方向的关系，包括数乘运算对向量方向的影响。

2. 引导学生通过示例理解数乘运算对向量方向的影响。

八、数乘运算的逆元素1. 引入逆元素的概念，解释数乘运算的逆元素。

6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示学习指导核心素养1.会用坐标表示平面向量的数乘运算．2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1.数学运算：平面向量坐标的数乘运算．2.逻辑推理：平面向量共线的判定．[学生用书P24]1．平面向量数乘运算的坐标表示 符号表示 若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )文字表示实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标2.平面向量共线的坐标表示 条件 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0 结论向量a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝03.中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．把x 1y 2－x 2y 1＝0写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0可以吗？怎样记忆此公式的表达形式？提示：写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，这一公式可简记为：纵横交错积相减．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．( )(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) 答案：(1)√ (2)√2．已知向量a ＝(4，2)，b ＝(x ，3)且a ∥b ，则x ＝( ) A ．9 B ．6 C ．5 D ．3答案：B3．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝________． 答案：(5，7)4．已知P (2，6)，Q (－4，0)，则PQ 的中点坐标为________． 答案：(－1，3)[学生用书P25]探究点1 向量数乘的坐标运算(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23，12) C ．(7，0)D ．(－7，0)(2)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM → ＝3 CA → ，CN → ＝2 CB →，求点M ，N 的坐标．【解】 (1)选A.因为a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，且c 满足3a －2b ＋c ＝0，所以c ＝2b －3a ＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12).(2)方法一：因为A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA →＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3). 因为CM → ＝3 CA → ，CN → ＝2 CB → ，所以CM → ＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2(6，3)＝(12，6). 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)， CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6).所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3＝12，y 2＋4＝6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝20，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝2. 所以M (0，20)，N (9，2).方法二：设O 为坐标原点，则由CM → ＝3 CA → ，CN → ＝2 CB →， 可得OM → －OC → ＝3(OA → －OC → )，ON → －OC → ＝2(OB → －OC →)， 所以OM → ＝3 OA → －2 OC → ，ON → ＝2 OB → －OC → . 所以OM →＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2). 所以M (0，20)，N (9，2).向量数乘坐标运算的三个关注点(1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用；(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题； (3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题．已知A ，B ，C 的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则AB → ＋2BC →＝____________，BC →－12AC → ＝____________．解析：因为A (2，－4)，B (0，6)，C (－8，10)，所以AB → ＝(－2，10)，BC → ＝(－8，4)，AC →＝(－10，14)， 所以AB → ＋2BC → ＝(－18，18)，BC →－12 AC → ＝(－3，－3).答案：(－18，18) (－3，－3) 探究点2 向量平行(共线)的判定(1)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4).若(3a －b )∥(a ＋kb )，则k ＝________． (2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断AB → 与AC →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】 (1)3a －b ＝(0，－10)，a ＋kb ＝(1＋3k ，－2＋4k )， 因为(3a －b )∥(a ＋kb )，所以0－(－10－30k )＝0. 所以k ＝－13 .故填－13.(2)因为AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， AC →＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为2×6－3×4＝0，所以AB → ∥AC → ，所以AB → 与AC →共线． 又AB → ＝23AC → ，所以AB → 与AC →的方向相同．(变设问)若本例(1)条件不变，判断向量3a －b 与a ＋kb 是反向还是同向？ 解：由向量3a －b 与a ＋kb 共线，得k ＝－13 ，所以3a －b ＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a ＋kb ＝a －13 b ＝(1，－2)－13 (3，4)＝⎝⎛⎭⎫0，－103 ＝13(0，－10).所以向量3a －b 与a ＋kb 同向．(1)向量共线的判定方法三点共线问题的实质是向量共线问题．(2)利用向量的坐标运算求参数用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)进行求解．1．下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B ．a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)解析：选D.A 选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0， 所以a 与b 不平行；B 选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，所以a 与b 不平行；C 选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，所以a 与b 不平行；D 选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，所以a ∥b ，故选D.2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________．解析：因为a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，所以λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3). 因为向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，解得λ＝2. 答案：2探究点3 向量共线的应用 [问题探究]证明三点共线可利用向量法，其实质是什么？探究感悟：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(1)已知OA → ＝(3，4)，OB → ＝(7，12)，OC →＝(9，16)，求证：点A ，B ，C 三点共线；(2)已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP → |＝2|PB →|，求点P 的坐标．(1)【证明】 由题意知AB → ＝OB → －OA →＝(4，8)， AC → ＝OC → －OA → ＝(6，12)，所以AC →＝32 AB → ，即AB → 与AC →共线．又因为AB → 与AC →有公共点A ，所以点A ，B ，C 三点共线． (2)【解】 设点P 的坐标为(x ，y )，因为|AP → |＝2|PB → |，所以P 在线段AB 上时，AP → ＝2PB → ， 所以(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，0 ；当P 在线段AB 的延长线上时，AP → ＝－2PB → ， 所以(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8， 所以点P 的坐标为(－5，8)，综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，0 或(－5，8).1．(变条件)若将本例(2)条件“|AP → |＝2|PB → |”改为“AP → ＝3PB → ”，其他条件不变，求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x ，y ).因为AP → ＝3PB →，所以(x －3，y ＋4)＝3(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3－3x ，y ＋4＝6－3y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12 . 2．(变条件)若将本例(3)条件改为“经过点P (－2，3)的直线分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，且|AB → |＝3|AP →|”，求点A ，B 的坐标．解：由题设知，A ，B ，P 三点共线， 且|AB → |＝3|AP →|.设A (x ，0)，B (0，y ). ①点P 在A ，B 之间，则有AB → ＝3AP →， 所以(－x ，y )＝3(－2－x ，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－6－3x ，y ＝9， 解得x ＝－3，y ＝9，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9). ②点P 不在A ，B 之间，则有AB → ＝－3AP → ， 易得点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0 ，(0，－9). 综上，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或⎝⎛⎭⎫－32，0 ，(0，－9).判断向量(或三点)共线的3个步骤设点A (x ，1)，B (2x ，2)，C (1，2x )，D (5，3x )，当x 为何值时，AB →与CD →共线且方向相同？此时A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB →＝(2x ，2)－(x ，1)＝(x ，1)， BC →＝(1，2x )－(2x ，2)＝(1－2x ，2x －2)， CD →＝(5，3x )－(1，2x )＝(4，x ).由AB → 与CD →共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2. 又AB → 与CD →方向相同，所以x ＝2.所以当x ＝2时，AB → 与CD →共线且方向相同． 此时，AB → ＝(2，1)，BC →＝(－3，2)， 而2×2≠－3×1，所以AB → 与BC →不共线， 所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上． 所以A ，B ，C ，D 四点不在同一条直线上．[学生用书P26]1．下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－1，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1 B ．a ＝⎝⎛⎭⎫3，34 ，b ＝⎝⎛⎭⎫2，32 C ．a ＝(2，3)，b ＝(2，－3) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)解析：选D.选项A 中，2×12 －(－1)×1≠0，则a 与b 不共线；同理，B ，C 中的两向量不共线；选项D 中，2×6－(－3)×(－4)＝0，则有a ∥b .2．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析：选C.由a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).3．已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5，2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13解析：选C.设C (6，y )，因为AB → ∥AC →， 又AB → ＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)， 所以－8×(y ＋6)－3×8＝0，所以y ＝－9.4．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4).设AB → ＝a ，BC → ＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n 的值．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8).(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2)因为a ＝mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.[学生用书P175(单独成册)][A 基础达标]1．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( ) A ．(1，－2) B ．(9，3) C ．(－1，2)D ．(－4，－8)解析：选D.由题意得AB → ＝(1，2)，结合选项可知a ＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4AB →，所以D 正确．2．设向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R)，则λ＋x 的值为( ) A ．－112B ．112C ．－292D ．292解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14.所以λ＋x ＝－292，故选C.3．在△ABC 中，A (2，3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG → ＝2GD →，则点C 的坐标是( )A ．(－4，2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4，2)解析：选B.设点C 的坐标为(x ，y )，则点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫8＋x 2，－4＋y 2 .由AG → ＝2GD →可得4＋x ＝0，－2＋y ＝－4，解得x ＝－4，y ＝－2，故点C 的坐标为(－4，－2).4．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋kb ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值是( )A ．－72B ．－12C ．－43D ．－83解析：选B.v ＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u ＝(1，2)＋k (0，1)＝(1，2＋k ).因为u ∥v ，所以2(2＋k )－1×3＝0，解得k ＝－12.5．(多选)若三点A (4，3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，则下列式子正确的是( ) A ．2m －n ＝3 B ．n －m ＝1 C ．m ＝3，n ＝3D ．m －2n ＝3解析：选AC.因为三点A (4，3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，所以AB → ＝λAC →，所以(1，m －3)＝λ(2，n －3)，所以λ＝12 ，所以m －3＝12 (n －3)，即2m －n ＝3.当m ＝3时，n ＝3.6．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________． 解析：2a ＋b ＝2(1，2)＋(2，－2)＝(4，2)，c ＝(1，λ)，由c ∥(2a ＋b )，得4λ－2＝0，得λ＝12.答案：127．已知A (－1，2)，B (2，8).若AC → ＝13 AB → ，DA → ＝－23 AB → ，则CD →的坐标为________．解析：AC →＝13 AB → ＝13 (3，6)＝(1，2)，DA →＝－23 AB → ＝－23 (3，6)＝(－2，－4)，DC → ＝DA → ＋AC →＝(－1，－2)， 所以CD →＝(1，2). 答案：(1，2)8．已知OA → ＝(－2，m )，OB → ＝(n ，1)，OC →＝(5，－1)，若点A ，B ，C 在同一条直线上，且m ＝2n ，则m ＋n ＝________．解析：AB → ＝OB → －OA →＝(n ，1)－(－2，m )＝(n ＋2，1－m )， BC → ＝OC → －OB →＝(5，－1)－(n ，1)＝(5－n ，－2). 因为A ，B ，C 共线，所以AB → 与BC →共线， 所以－2(n ＋2)＝(1－m )(5－n ).① 又m ＝2n ，②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝32． 所以m ＋n ＝9或m ＋n ＝92 .答案：9或929．已知点A (2，3)，B (5，4)，C (7，10).若AP → ＝AB → ＋λAC →(λ∈R)，试求λ为何值时． (1)点P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第三象限内．解：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)，AB → ＋λAC →＝[(5，4)－(2，3)]＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ). 因为AP → ＝AB → ＋λAC →(λ∈R)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若点P 在第一、三象限的角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，所以λ＝12，所以当λ＝12时，点P 在第一、三象限的角平分线上．(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ＜0，4＋7λ＜0，所以λ＜－1，所以当λ＜－1时，点P 在第三象限内．10．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且AE → ＝13 AC → ，BF →＝13BC → . (1)求点E ，F 的坐标； (2)判断EF → 与AB →是否共线．解：(1)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2).依题意，得AC → ＝(2，2)，BC →＝(－2，3). 由AE →＝13 AC → 可知，(x 1＋1，y 1)＝13(2，2)，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝23，y 1＝23，解得⎩⎨⎧x 1＝－13，y 1＝23，所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23 . 由BF →＝13 BC → 可知，(x 2－3，y 2＋1)＝13 (－2，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3＝－23，y 2＋1＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0，所以点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0 . (2)由(1)可知，EF → ＝⎝⎛⎭⎫73，0 －⎝⎛⎭⎫－13，23 ＝⎝⎛⎭⎫83，－23 ， 又AB → ＝(4，－1)，所以EF → ＝23 (4，－1)＝23AB → ，所以EF → 与AB → 共线． [B 能力提升]11．(多选)已知向量e 1＝(－1，2)，e 2＝(2，1)，若向量a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则可使λ1λ2＜0成立的a 可能是( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：选AC.因为e 1＝(－1，2)，e 2＝(2，1)，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝(－λ1，2λ1)＋(2λ2，λ2)＝(2λ2－λ1，2λ1＋λ2)，若使λ1λ2＜0成立，a ＝(1，0)，则2λ1＋λ2＝0，满足题意；a ＝(0，1)，则2λ2－λ1＝0，不满足题意；a ＝(－1，0)，则2λ1＋λ2＝0，满足题意；a ＝(0，－1)，则2λ2－λ1＝0，不满足题意．故选AC.12．已知向量a ＝(－2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ).设B (x ，y )，则AB → ＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝⎛⎭⎫0，72 或⎝⎛⎭⎫73，0 . 答案：⎝⎛⎭⎫0，72 或⎝⎛⎭⎫73，0 13．如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2，6)，B (6，4)，C (5，0)，D (1，0)，则直线AC 与BD 的交点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，则DP → ＝(x －1，y )，DB → ＝(5，4)，CA → ＝(－3，6)，DC → ＝(4，0).由B ，P ，D 三点共线可得DP → ＝λDB → ＝(5λ，4λ).又因为CP → ＝DP → －DC → ＝(5λ－4，4λ)，由CP → 与CA → 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47. 所以DP → ＝47DB → ＝⎝⎛⎭⎫207，167 ， 所以P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167 .答案：⎝⎛⎭⎫277，16714．设OA → ＝(2，－1)，OB → ＝(3，0)，OC → ＝(m ，3).(1)当m ＝8时，将OC → 用OA → 和OB → 表示；(2)若以A ，B ，C 三点为顶点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．解：(1)当m ＝8时，OC → ＝(8，3)，设OC → ＝xOA → ＋yOB → ，则x (2，－1)＋y (3，0)＝(2x ＋3y ，－x )＝(8，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝8，－x ＝3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝143，所以OC → ＝－3OA → ＋143 OB → . (2)因为以A ，B ，C 三点为顶点能构成三角形，所以AB → ，AC → 不共线．又AB → ＝(1，1)，AC → ＝(m －2，4)，所以1×4－1×(m －2)≠0，所以m ≠6.[C 拓展探究]15．已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM → ＝t 1OA → ＋t 2AB → .(1)若点M 在第二或第三象限，求t 1与t 2满足的条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．(1)解：点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM → ＝t 1OA → ＋t 2AB → ，所以AB → ＝OB → －OA → ＝(4，4)，OM → ＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2).当点M 在第二或第三象限时，⎩⎪⎨⎪⎧t 2＜0，t 1＋2t 2≠0. (2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM → ＝(4t 2，4t 2＋2)，AB → ＝(4，4).因为AM → ＝OM → －OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB → ，所以AM → 与AB → 共线，又有公共点A ，所以A ，B ，M 三点共线．。

平面向量的基本运算法则在数学中，平面向量是指一个既有大小（长度）又有方向的量。

平面向量具有独特的运算法则，包括加法、减法、数量乘法和点乘法。

下面将详细介绍平面向量的基本运算法则。

一、平面向量的表示平面向量可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小（长度），箭头所指的方向表示向量的方向。

常用的表示方法为使用字母加箭头或使用粗体字母表示向量，如向量a可以表示为"a->"或"a"。

二、平面向量的加法1. 平面向量的加法满足交换律，即a + b = b + a。

2. 平面向量的加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。

3. 平面向量的加法可以利用三角形法则进行计算。

将两个向量首尾相接，连接起来形成一个三角形，以第一个向量的起点和第二个向量的终点作为相加后向量的起点，以第一个向量的终点和第二个向量的起点作为相加后向量的终点。

相加后向量的大小等于三角形的长，方向与三角形最短边的方向相同。

三、平面向量的减法平面向量的减法可以理解为加法的逆运算。

用b减去a，即b - a，可以转化为b + (-a)。

其中，-a称为向量a的负向量，它的大小与a相等，方向相反。

四、平面向量的数量乘法1. 数量乘法即将向量与一个实数相乘，结果为一个新的向量。

数量乘法满足结合律，即k(la) = (kl)a，其中k和l为实数。

2. 如果k为正数，数量乘法会改变向量的大小，但不改变其方向；如果k为负数，数量乘法会改变向量的大小，并将其方向取反；如果k 为0，则结果向量为零向量。

3. 数量乘法的计算方法是将实数与向量的模长相乘，再将结果的方向与原向量保持一致。

五、平面向量的点乘法1. 平面向量的点乘法又称为数量积或内积，表示为a · b。

2. 点乘法的结果是一个标量（实数），而不是一个向量。

3. 点乘法的结果等于两个向量模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，即a · b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。

平面向量乘法计算公式平面向量乘法是向量运算中的一种重要运算，它可以用来计算两个向量之间的乘积。

在平面向量乘法中，我们需要使用向量的长度和方向来进行计算，因此这种运算具有很高的准确性和精度。

平面向量乘法的计算公式如下：若向量A=(x1,y1)和向量B=(x2,y2)，则它们的乘积为：A×B=(x1y2-y1x2)这个公式看起来很简单，但是它却包含了很多的数学知识和技巧。

首先，我们需要知道向量的长度和方向，这样才能进行乘法运算。

其次，我们需要知道向量的坐标，这样才能将它们代入公式中进行计算。

在实际应用中，平面向量乘法有很多的用途。

例如，在物理学中，我们可以用它来计算力的大小和方向。

在工程学中，我们可以用它来计算机器人的运动轨迹和速度。

在计算机科学中，我们可以用它来进行图像处理和计算机视觉。

除了平面向量乘法，还有一种向量乘法叫做点积。

点积是向量运算中的另一种重要运算，它可以用来计算两个向量之间的夹角和长度。

点积的计算公式如下：若向量A=(x1,y1)和向量B=(x2,y2)，则它们的点积为：A·B=x1x2+y1y2点积和平面向量乘法的区别在于，点积是将两个向量的对应坐标相乘再相加，而平面向量乘法是将两个向量的坐标进行交叉相乘再相减。

因此，点积可以用来计算两个向量之间的夹角和长度，而平面向量乘法则可以用来计算两个向量之间的面积。

平面向量乘法是向量运算中的一种重要运算，它可以用来计算两个向量之间的乘积。

在实际应用中，平面向量乘法有很多的用途，例如在物理学、工程学和计算机科学中。

因此，学习平面向量乘法对于我们理解向量运算和应用向量运算具有重要的意义。