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不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
初中数学教案：不等式与不等关系一、引言：数学是一个既有理论性又有实践性的学科，它在我们的日常生活和职业发展中都起着重要的作用。
其中，不等式是数学中一种重要的概念，不仅广泛应用于数学领域，还与我们的生活息息相关。
本文将介绍初中数学教案中关于不等式与不等关系的内容。
二、不等式的概念与表示方法：1. 不等式的定义：不等式是用不等于号（<, >, ≤, ≥）表示的数值之间的关系。
在不等式中，左侧被比较的数值称为被减数，右侧被比较的数值称为减数。
2. 不等式的表示方法：（1）数线图表示法：将不等式中的被减数和减数用点标在数线上，并用箭头指向较大的数值。
例如，x > 2 在数线上表示为：●—————————>0 1 2 3.....（2）集合表示法：将不等式中满足条件的数值放在一对大括号内，形成一个集合。
例如，x > 2的集合表示为 { x | x > 2 }。
三、不等式的性质与解法：1. 不等式的性质：（1）同侧性质：对于不等式a > b和c > d，如果a > b + c，那么也有a > b + d。
（2）反射性质：对于任意数a，有a = a。
（3）传递性质：对于不等式a > b和b > c，必然有a > c。
2. 不等式的解法：（1）加减法解法：通过加减同一个数使得不等式中的被减数或减数消失，得到新的等价不等式。
例如，对于不等式2x - 3 > 7，可以通过加3两边得到2x > 10，再除以2得到x > 5。
即得到解集{x | x > 5}。
（2）乘除法解法：通过乘除同一个正数或负数使得不等式中的被减数或减数消失，得到新的等价不等式。
需要注意的是，对于乘除法解法，当乘除以一个负数时，不等号的方向需要反向。
例如，对于不等式3x < 15，可以通过除以3两边得到x < 5。
即得到解集{x | x < 5}。
《不等关系与不等式》知识清单一、不等关系在日常生活和数学中，我们经常会遇到各种不等关系。
比如，身高的比较、成绩的高低、物品价格的差异等等。
不等关系是客观存在的，它反映了事物之间的数量差异和大小顺序。
不等关系可以用文字语言来描述，例如“大于”“小于”“不超过”“不少于”等；也可以用符号语言来表示，常见的不等号有“＞”（大于）、“＜”（小于）、“≥”（大于或等于）、“≤”（小于或等于）。
二、不等式不等式是用不等号连接两个代数式所形成的式子。
例如，2x ＋ 3 ＞5 就是一个不等式。
1、不等式的性质性质 1：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 b ＜ a ，那么 a ＞ b 。
（对称性）性质 2：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c 。
（传递性）性质 3：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
（加法法则）性质 4：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且 c ＜0 ，那么 ac ＜ bc 。
（乘法法则）这些性质是解决不等式问题的重要依据，需要熟练掌握和运用。
2、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（根据不等式的性质 2 和 3 ）（2）去括号（乘法分配律）（3）移项（根据不等式的性质 1 ）（4）合并同类项（5）系数化为 1 （根据不等式的性质 4 ）在系数化为1 时，需要注意当系数为负数时，不等号的方向要改变。
3、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式通常需要先求出对应的一元二次方程的根，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x² 2x 3 ＞ 0 ，先解方程 x² 2x 3 ＝ 0 ，得到 x＝－1 或 x ＝ 3 。
第二章数列第三章不等式不等式与不等关系第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：40v ≤引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩ 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。
按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。
根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩3.随堂练习1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
2、课本P82的练习1、24.课时小结用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
5.评价设计课本P83习题3.1[A 组]第4、5题【板书设计】【授后记】第2课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；【教学难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】1.课题导入在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a b a c b c>⇒±>±（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若,0>>⇒>a b c ac bc（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若,0><⇒<a b c ac bc2.讲授新课1、不等式的基本性质：师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？证明：1）∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0，∴a＋c＞b＋c2）()()0+-+=->，a cbc a b∴a c b c+>+．实际上，我们还有,>>⇒>，（证明：∵a＞b，b＞c，a b b c a c∴a－b＞0，b－c＞0．根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，∴a＞c．于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）,a b b c a c >>⇒>（2）a b a c b c >⇒+>+（3）,0a b c ac bc >>⇒>（4）,0a b c ac bc ><⇒<2、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1）,a b c d a c b d >>⇒+>+；（2）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；（3）0,,1n n a b n N n a b >>∈>⇒>>证明：1）∵a ＞b ，∴a ＋c ＞b ＋c ．① ∵c ＞d ，∴b ＋c ＞b ＋d ．② 由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ．2）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,3）反证法）假设n n b a ≤，则：若a b a b <⇒<=⇒=这都与b a >矛盾， ∴n n b a >．[范例讲解]：例1、已知0,0,a b c >><求证c c a b>。
证明：以为0a b >>，所以ab>0,10ab>。
于是 11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a> 由c<0 ，得c c a b > 3.随堂练习11、课本P82的练习32、在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（3＋2）2 ６＋26；（2）（3－2）2 （6－1）2；（3； (4)当a ＞b ＞0时，log 21a log 21b答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜[补充例题]例2、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。
根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。
比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）随堂练习21、比较大小：（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2（2）22与++++56259x x x x4.课时小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论5.评价设计课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题【板书设计】2课时教学目的：1．系统掌握数列的有关概念和公式。
2．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系。
3．能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a 。
授课类型：复习课课时安排：2课时教学过程：一、本章知识结构二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．三、方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．四、知识精要：1、数列[数列的通项公式] ⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n n n [数列的前n 项和]n n a a a a S ++++= 3212、等差数列[等差数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
[等差数列的判定方法]1． 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
[等差数列的通项公式]如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
[说明]该公式整理后是关于n 的一次函数。
[等差数列的前n 项和] 1．2)(1n n a a n S += 2. d n n na S n 2)1(1-+=[说明]对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。
[等差中项]如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
即：2ba A +=或b a A +=2[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
[等差数列的性质]1．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=2． 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。
也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a ，如图所示：n n a a n a a n n a a a a a a ++---112,,,,,,12321 3．若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。
