2017年春季学期新版青岛版八年级数学下学期6.3、特殊的平行四边形、灵活运用菱形的对称性素材

“特殊的平行四边形”新题赏析我们知道，“特殊的平行四边形”是一类重要的几何图形，是历年各地中考的热点之一，而不断创新，为了方便同学们的学习，下面就和同学们一起来赏析几道中考试题.一、实际应用例1（义乌市）如图，一块砖的外侧面积为x ，那么图中残留部分墙面的面积为（ ）A.4xB.12xC.8xD.16x分析 观察得到图中残留部分墙面的面积是整个的面积减去空余的面积，而整个墙面是由14块大的矩形砖和4块小的矩形砖砌成的，空余的部分是由4块大的矩形砖构成的，此可以求解.解 依题意，得图中残留部分墙面的面积为14x +4×12x －4x ＝12x .故应选B . 说明 本题求解有着特殊四边形的面积问题，弄清楚图形的特征是求解的关键，注意每一块大的矩形砖和每一块小的矩形砖的关系.二、探索图形个数例2（重庆市）观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）A.2n +2B.4n +4C.4n －4D.4n分析 由于第1个正方形中有4个三角形，第2个正方形中在第1个正方形的基础上又增加了4个，即有8个三角形，第3个正方形中在第2个正方形的基础上又增加了4个，即有12个三角形，…由此，可得到增加的规律，从而得到一般结论.解 因为第1个正方形中有4个三角形，即4×1个；第2个正方形中有8个三角形，即4×2个；第3个正方形中有12个三角形，即4×3个；…，由此可以猜想，第n 个正方形中有4×n 个三角形.故应选D.第1个 第2个 第3个 …说明这种利用特殊四边形的性质探索问题的题型在中考中经常出现，求解时一定要注意灵活运用其性质.三、微型机器人行走例3（安顺市）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在点.分析微型机器人由A点开始，每向前行走1米就转换一个菱形的顶点，由于2009米可以分成2009个1米，即可以转换2009个菱形的顶点，由此可以求解.解因为有两个全等菱形，则周长和等于8，所以微型机器人由A点开始行走，每运动8米，则又回到A点，而2009÷8＝251…1，所以微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米时则在点B处停下.说明求解本题时一要注意菱形的边长相等，二是每运动8米一个循环.四、坐标几何型例4（日照市）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置.点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx+b(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则B n的坐标是 .分析由B1(1，1)，B2(3，2)，利用正方形的性质容易求得A1、A2的坐标，这样利用待定系数法可求得直线的解析式，进而求解.解因为点B1(1，1)，B2(3，2)，且是各自正方形的顶点，所以A1(0，1)，A2(1，2)，而A1(0，1)，A2(1，2)经过直线y＝kx+b，所以1,2.bk b=⎧⎨=+⎩解得1,1.kb=⎧⎨=⎩即直线的解析式为y＝x+1，又因为C2(3，0)，所以当x＝3时，y＝4，即A3(3，4)，2所以B 3(7，4)，即B 3(23－1，23－1)，同理，B 4(15，8)，即B 4(24－1，24－1)，… 由此B n 的坐标是(2n －1，2n －1).说明 坐标几何题型是中考的一个热点，将特殊四边形置于坐标中更是此类试题的亮点，求解时应充分发挥几何图形的优势.本题中要能及时理顺A n 与B n 的关系.五、动点问题例5（莆田市）如图菱形ABCD 的边长为2，对角线BD ＝2，E 、F 分别是AD 、CD 上的两个动点，且满足AE +CF ＝2.（1）求证：△BDF ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由.同时指出△BCF 是由△BDE 经过如何变换得到?分析（1）由菱形ABCD 的边长为2，对角线BD ＝2，可得到等边三角形，加上点满足AE +CF ＝2，于是有DE ＝CF ，从而可证明两个相应的三角形全等.（2）由（1）可得BE ＝BF ，∠CBF ＝∠DBE ，进而得到∠EBF ＝∠EBD +∠DBF ＝∠CBF +∠DBF ＝60°，即△BEF 是等边三角形.由此也可以知道△BCF 是由△BDE 绕点B 顺时针旋转60°得到的.证明（1）因为菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，所以BD ＝BC ，且∠BDE ＝∠BCF ＝60°. 因为AE +CF ＝2，而AE +DE ＝AD ＝2，所以DE ＝CF ，所以△BDE ≌△BCF .（2）△BEF 是等边三角形.理由如下：由（1）得△BDE ≌△BCF ，所以BE ＝BF ，∠CBF ＝∠DBE ，即∠EBF ＝∠EBD +∠DBF ＝∠CBF +∠DBF ＝60°，所以△BEF 是等边三角形.△BCF 是由△BDE 绕点B 顺时针旋转60°得到.说明 本题有两大特色，一是并没有直接说明某些线段相等，而是给出相应线段的长度，变相给出相等的线段，求解时应注意数量关系的转换；二是动态问题，与一般的动态问题不同，它受到线段和是一个定值的制约，这就要求我们不但要能灵活运用条件，而且还要能从图形中善于挖掘条件，才能使问题顺利获解.六、观察实践例6（江苏省）（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点EDCB A F4 A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到△AEF （如图②）.小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D ′处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小．分析 利用折叠的知识，结合相应图形的性质求解.解（1）同意.如图②，设AD 与EF 交于点G .由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD .又由折叠知，∠AGE ＝∠DGE ＝90°，所以∠AGE ＝∠AGF ＝90°，所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形.（2）由折叠知，四边形ABFE 是正方形，∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°，又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ，所以∠DEG ＝67.5°，所以∠α＝90°－67.5°＝22.5°. 说明 要求本题中的问题，一方面可通过观察分析得到相应的结论，另一方面，要能灵活运用折叠的知识来解决问题.另外，有关特殊四边形的折叠问题是中考的一个热点，请同学们多关注.AC D 图① A CD 图② FE GE D C FB A 图③ E DC AB F G ' D ' A DE C BF α 图④ 图⑤。

6.3特殊的平行四边形(4)【学习目标】1.理解正方形的概念以及它与平行四边形、矩形和菱形之间的关系.2.探索并证明正方形的性质定理和判定定理.3.会用正方形的性质定理和判定定理解决问题.【知识准备】性质判定边角对角线边角对角线平行四边形矩形菱形自学书本26页内容，回答：1.__________________________________________________叫做正方形.2.正方形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？并在右图中画出来.3.正方形即是特殊的平行四边形也是特殊的矩形和菱形，总结一下正方形的性质和判定方法.性质判定正方形边角对角线在学习中还存在哪些疑问？【共同释疑】例2：AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE， EF⊥AC交BC于F. D CB A求证：EC=EF=FB【当堂测试】1、如图，四边形ABCD 是正方形，两条对角线相交于点O ．（1）一条对角线把它分成_______个全等的________ 三角形；（2）两条对角线把它分成_______个全等的________三角形；图中一共有________个等腰直角三角形；（3）∠AOB ＝_____度，∠OAB ＝_____度．2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A 、四个角相等 B 、对角线互相垂直平分. C 、对角互补 D 、对角线相等.3、正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）A 、四条边相等.B 、对角线互相垂直平分.C 、对角线平分一组对角.D 、对角线相等.4、正方形对角线长6，则它的面积为_________ ,周长为________．5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案,其中四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．求证：△ABF ≌△DAE ．F E D CB A。

中考菱形探索题探索性试题是中考中的热点之一．在中考试题中，出现了一些和相似三角形有关的中考探索试题．为帮助你复习好相似三角形有关内容，现请欣赏几道探索题．一、条件探索题条件探索性试题就是给出了结论，要求探索使结论成立所具备的条件．例1 如图1,点E ，F 分别是菱形ABCD 中BC ，CD 边上的点（E,F 不与B ，C,D 重合）在不连辅助线的情况下请添加一个条件，说明AE=AF ，并证明.分析:本题主要是考查三角形全等的方法和菱形性质,由菱形性质可知AB AD =、B D ∠=∠，若用SAS 需要添加BE DF =条件；若用ASA 需要添加条件BAE DAF ∠=∠或BAF DAE ∠=∠；若用ASA 需要添加条件∠AEB=∠AFD.解：添加条件：BE DF =或BAE DAF ∠=∠或BAF DAE ∠=∠等.若添加条件BE DF =.证明如下：四边形ABCD 是菱形AB AD ∴=B D ∠=∠在ABE △和ADF △中AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE ADF ∴△≌△AE AF ∴=。

评注：只需添加一条边或一个角满足三角形的判定方法即可，但是需注意添加边时,不能构成SSA 的形式.二、结论探索型探索结论试题是给出了条件，要求根据所给条件探索可能得到的结论．例2如图2,在□ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，．（1）求证:ADE CBF △≌△．（2）若AD BD ⊥,则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．图2 A BCD E F 图1分析：(1）问主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定；（2）问主要考查直角三角形的性质和菱形的判定.解:(1）在平行四边形ABCD 中,∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ．∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点∴AE =CF 在AED △和CFB △中，AD CB A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)AED CFB ∴△≌△．(2)若AD ⊥BD ,则四边形BFDE 是菱形．证明:AD BD ⊥，ABD ∴△是Rt △，且AB 是斜边(或90ADB ∠=） E 是AB 的中点,12DE AB BE ∴==． 由题意可知EB DF ∥且EB DF =，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴四边形BFDE 是菱形.评注:判定一个四边形是菱形一般是在平行四边形的基础上来判定。