贵阳市2016年高三适应性检测考试(一)理科数学

2016年普通高等学校招生全国统一考试（I ）卷理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}034|2<+-=x x x A ，{}032|>-=x x B ，则AB =（ ） （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,3 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,3 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛3,23 2．设()yi x i +=+11，其中y x ,是实数，则=+||yi x （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）23．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （ ）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 4．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） （A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 5．已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）()3,1- （B ）()3,1- （C ）()3,0 （D ）()3,0 6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。

若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（ ） （A ）π17 （B ）π18 （C ）π20 （D ）π287．函数||22x e x y -=在[]2,2-的图像大致为（ ）8．若1a b >>，01c <<，则（ ）（A ）cc b a < （B ）c cab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <9．执行右面的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出y x ,的值满足（ ）（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点。

2015～2016学年第一学期高三第三次模拟考试理科数学试题一.选择题：（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合{0,1,2,3,4}A =，集合{|2,}B x x n n A ==∈，则A B =I ( ) A ．{0} B ．{0,2,4} C ．{2,4} D ．{0,2}2. 若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( ) A ．2B ． 3C ．2D ．23．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( ) A ．117 B ．118 C ．118．5 D ．119．54. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)1(2+=n n a S ，则5a =（ ）A ．-16B ．-32C ．32D ．-645. 已知x ＝log 23－log 23，y ＝log 0.5π，z ＝0.9－1.1，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜y ＜xC ．y ＜z ＜xD ．y ＜x ＜z6. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =u u u r u u u u r，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．47. 下列结论错误的是（ ）A ．命题：“若0>>b a ，则22b a >”的逆命题是假命题；B ．若函数)(x f 可导，则0)(0='x f 是0x 为函数极值点的必要不充分条件；C ．向量b a ,的夹角为钝角的充要条件是0<⋅b a ；D ．命题:p “1,+≥∈∃x e R x x”的否定是“1,+<∈∀x e R x x” 8.执行右面的程序框图，输出的S 的值为（ ）A.1B.2C.3D.49. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( )A ．83π B ．163π C ．483π D ．643π 10.偶函数()x f 满足())1(1-+=x f x f ,且在]1,0[∈x 时, ()2x x f = ,()x x g ln = ，则函数()x f 与)(x g 图象交点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．411. 已知点P 是双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>左支上一点，12,F F 是双曲线的左右两个焦点，且120PF PF ⋅=u u u v u u u u v，线段2PF 的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为A 2B 3C 2D 512．如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为( )A ．23 B ．332 C ．2π D ． 3π 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=)10(,1)01(,1)(2x x x x x f , 则⎰-=11)(dx x f15. 设nxx )15(-的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若240M N -=，则展开式中x 的系数为16. 数列{a n }满足a 1=1，且对任意的正整数m ，n 都有a m+n =a m +a n +mn ，则=三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分） 己知函数21()3cos sin ()2f x x x x x R =++∈, (1) 当5[,]1212x ππ∈-时，求函数()f x 的最小值和最大值；第12题(2) 设∆ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a 、b 、c ，且3c =，f(C) =2，若向量(1,)m a =u r与向量(2,)n b =r共线，求a ，b 的值．18．（本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为35．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)； 并求出：有多大把握认为喜爱打篮球与性别有关，说明你的理由；（Ⅱ）若从女生中随机抽取2人调查，其中喜爱打篮球的人数为X ，求X 分布列与期望．下面的临界值表供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)19. （本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .（Ⅰ）求证：BM AD ⊥；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --的余弦值为55． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的短轴A端点与双曲线2212y x -=的焦点重合，过点(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点。

贵阳第一中学2016届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由N 中不等式变形得：，，解得：，即，∴，∵，∴，故选C ． 2．设，代入，得：i 12i a b ++=+，∴∴的虚部为2，故选C ．3．∵(12)(23)(1223)a b λλλλ-=-=--，，，，与共线，∴5(23)(6)(12)0λλ-----=，化为，解得，故选A ．4．∵为各项都是正数的等比数列且，∴由等比数列的性质可得，∴，再由等比数列的性质可得，故选B ．5．作出不等式组对应的平面区域如图1阴影部分所示， 则，则的几何意义为区域内的点到原点的斜率， 由图象知OB 的斜率最小，由解得 即，则，故选C ．6．∵奇函数在上是减函数，∴在上 也是减函数，又，即，作出 函数的图象如图2，则不等式等价于 时，，此时；当时，，此时，综上，不等式的解为或，故图1不等式的解集为，故选A ．7．，满足条件，则，；满足条件，则，；满足条件，则，；不满足条件，退出循环体，此时，故选C ． 8．三视图复原的几何体是直三棱柱与三棱锥的组合体，直三棱柱底面是等腰直角三角形，腰长为3，高为3，三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为3，高为1，所以该几何体任意两个顶点间距离的最大值是，故选D ．9．由运算的规则知：的作用是取两个实数中较大的值，所以就是取三个数中的最大值，令，则224(ln )ln ()()x x x x f x x ''-'=24441ln (2)2ln (12ln )x x x x x x x x x x x x ---===，当，即时，，函数单调递减，所以，即是中的最大值，所以的值是，故选A ．10．设扇形的半径即圆锥的母线为，圆锥的底面半径为r ，则由，得．∵扇形的圆心角为60°，∴扇形的弧长为．即圆锥的底面周长为，其半径，所以底面面积为，所以该圆锥的表面积是，故选B ． 11．依题意知直线过圆的圆心，故有，∴，当且仅当时，取等号，故的取值范围为，故选B ． 12．方程，的根分别为，则由图3可知，即，则，则，2124241log log 4x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，两式相减得1241211log ()044x xx x ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图3图2【解析】13．∵22222002d |204n x x x ===-=⎰，∴．其通项．由，得，∴展开式中常数项为．14．∵10{|11}1x A xx x x ⎧-⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，{|||}{|}B x x b a x b a x b a =-<=-<<+，∵“”是“”的充分条件，∴{|11}{|11}x x x b x b -<<-<<+≠∅，当时，，满足条件；当时，应有或，解得或．综上可得．15．设如图4所示，则有，又∵与的夹角为120°，∴∠ABC =60°，又由，由正弦 定理得，∴．16．对于①，∵△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，∴CO ⊥BD ，AO ⊥BD ，AO ∩CO =O ，∴BD ⊥平面AOC ，∴AC ⊥BD ，因此①正确；对于②，假设CO ⊥AD ，又CO ⊥BD ，可得CO ⊥平面ABD ，由①可得：∠AOC 是二面角A −BD −C 的平面角且为，故矛盾，因此不正确；对于③，由△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，∴OC =OA ，由①可得：∠AOC 是二面角A −BD −C 的平面角且为，∴△AOC 为正三角形，因此③正确； 对于④，AB =4，由①可得：AC =OA =，AD =CD =4，∴3cos 4ADC ∠=≠，因此不正确；对于⑤，由①可得：四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为，表面积，因此⑤正确．综上可得：只有①③⑤正确．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵(cos 3cos )(3)cos b A C c a B -=-．图4即(cos 3cos )sin (3sin sin )cos A C B C A B -=-， ………………………………（2分）化简可得sin()3sin()A B B C +=+． …………………………………………（4分）又， ∴，因此． ………………………………………（6分） （Ⅱ）由得． ……………………………………………（8分）由余弦定理及得222222212cos 9696b ac ac B a a a a =+-=+-⨯=，∴．…………（10分）又，从而，因此． ………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选择对为事件，“有一道题可判断一个选项是错误的”选择对为事件，“有一道题因不理解题意”选择对为事件， 则111()()()234P A P B P C ===，，．（Ⅰ）得50分的概率为． …………………………（2分）（Ⅱ）的可能取值是， 得30分的概率为； …………………………（4分）得35分的概率为1211231113112117C 22342234223448P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=； ……………（6分）得45分的概率为121113112111117C 22342234223448P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=； ……………（8分）得40分的概率为 11717171488484848P =----=， …………………………（10分）11771455()30(3540)4550.848484812E ξ=⨯++⨯+⨯+⨯=∴……………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：建立如图5所示的空间直角坐标系， 则1(000)(200)(020)(203)C A B A ，，，，，，，，，，，， 11(023)(003)(110)B C D ，，，，，，，，，，，，又111(200)(113)C A C D ==-，，，，，， 11100CE C A CE C D ==∴，，，且， 平面．………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由题知，，，，设为平面的一个法向量， 即30,30,1x y z x y z λλ-+-=⎧⎪⎨-++=⎪+⎩平面的一个法向量为，……………………………………（10分）122=， 解得．………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）抛物线，所以焦点坐标为，即，所以． 又因为，所以，所以，…………………………（3分）图5所以椭圆C 的方程为． ………………………………………………（4分）（Ⅱ）设，因为，所以1212(4)AM x x y y =+-+，，所以．由直线与椭圆C 联立，得2222(41)8440k x k x k +-+-=， 得1212222224141kx x y y k k -+-=-+=++，， 即． 设，则MN 中点坐标为322141412y k k k -⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，，…………………（8分）因为M ，N 关于直线l 对称， 所以MN 的中点在直线l 上， 所以3221141241y k k k k -⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，解得，即． …………（10分）由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以222(2)4112041kk k k k ---+=---+，解得． ………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数的定义域为． ……………………………………（1分）当时，11()ln ()1x f x x x f x x x-'=-=-=，． …………………（2分）令，得．当时，，单调递减；当时，，单调递增. ∴，无极大值．……………………………………（4分）（Ⅱ）21(1)1()(1)a x ax f x a x a x x-+-'=-+-=1(1)(1)[(1)1](1)1a x x a x x a x x ⎛⎫--- ⎪-+--⎝⎭==， …………………………………（5分）当，即时，，在上是减函数；当，即时，令，得或；令，得．当，即时，令，得或；令，得． ……………………………………（7分） 综上，当时，在定义域上是减函数；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递减，在上单调递增．……………………………………………………………………………（8分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在[1，2]上单调递减，∴当时，有最大值，当时，有最小值． ∴123|()()|(1)(2)ln 222a f x f x f f --=-+≤，∴， ………………………………………………………（10分） 而，经整理得，由得，所以． ……………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：如图6，连接，则为直角三角形，…………………………………………………（1分）所以．又，……………（2分）所以，所以， …………………（3分） 即， ………………………………………………（4分） 又，故． …………………………………………（5分） （Ⅱ）解：因为是的切线，所以， ………………………（6分） 又，从而解得95BF AB BF AF ==-=，，…………………………（7分） 图6因为，，所以，……………（8分） 所以，…………………………………………………………………………（9分） 即． ……………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C 在直角坐标系下的普通方程为，………………………（1分） 将其化为极坐标方程为，分别代入和，得，………………………………………………………………（3分） 因，故△AOB 的面积． ………………………………（5分） （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得22112142t t ++=，即，解得或， ………………（7分） 代入l 的参数方程，得或，所以曲线C 与直线l 的交点坐标为或．…………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）不等式的解集为，…………………（2分） 所以不等式的解集为，所以−1，5是方程的两根，所以解得． ……………………………………（5分）（Ⅱ）函数()f x =的定义域为，…………………（6分）由柯西不等式得：222[()](1625)(344)41f x x x =+-+-=≤，………………………………………………………（8分）又因为，所以，当且仅当时等号成立，即时，，所以函数的最大值为．…………………………………………………（10分）。

贵州省贵阳市2016年高三适应性监测考试（一）理科一、选择题（共12小题；共60分）1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为A. B.C. D.2. 若复数，则A. B. C. D.3. 已知向量，，若与共线（其中且），则等于A. B. C. D.4. 等比数列的前项和为，若公比，，则A. B. C. D.5. 函数的部分图象如图所示，则A. B. C. D.6. 下列说法正确的是A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 若命题：，，则命题：，C. 命题“若，则”的逆否命题为真命题D. “”是“”的必要不充分条件7. 函数在上的零点个数为A. B. C. D.8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的变量，则输出的A. B. C. D.9. 已知棱长为的正四面体（各面均为正三角形）的俯视图如图所示，则该四面体的正视图的面积为A. B. C. D.10. 某日，甲、乙二人随机选择早上的某一时刻到达黔灵山公园晨练，则甲比乙提前到达超过分钟的概率为A. B. C. D.11. 设，分别是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为A. B. C. D.12. 已知函数，若，则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 若展开式的常数项为，则常数的值为．14. 设，满足约束条件则的最小值为．15. 等差数列中，，若仅当时，数列的前项和取得最大值，则该等差数列的公差的取值范围为．16. 若球的直径，，是球面上的两点，，，则棱锥的体积为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 在中，，，的对边分别为，，，已知．（1）若，，求；（2）若，求角．18. 如图是某市月日至日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表．某人随机选择月日至月日中的某一天到该市出差，第二天返回（往返共两天）．空气质量指数污染程度小于优良大于且小于轻度大于且小于中度大于且小于重度大于且小于严重大于爆表（1）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?（只写出结论不要求证明）（2）求此人到达当日空气质量优良的概率；（3）设是此人出差期间（两天）空气质量中度或重度污染的天数，求的分布列与数学期望．19. 如图，在三棱锥中，．（1）求证：平面平面；（2）若，，，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角为?若存在，求出的长；若不存在，说明理由．20. 已知抛物线：，为坐标原点，为抛物线的焦点，已知点为抛物线上一点，且．（1）求抛物线的方程；（2）若直线过点交抛物线于不同的两点，，交轴于点，且，，对任意的直线，是否为定值?若是，求出的值；否则，说明理由．21. 已知为实常数，函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数与的图象有两个不同的交点，，其中，①求实数的取值范围；②求证：且．（注：为自然对数的底数）22. 如图是圆的直径，是圆的切线，交圆于点．（1）若为的中点，求证：是圆的切线；（2）若，求的大小．23. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的圆心的极坐标为，半径．（1）求圆的极坐标方程；（2）若，直线的参数方程为为参数，点的直角坐标为，直线交圆于，两点，求的最小值．24. 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围．答案第一部分1. B 【解析】由 Venn 图可知，阴影部分表示的是集合．2. B 【解析】因为，所以3. A 【解析】，．由与共线，得，解得．4. D 【解析】因为，所以，所以，即．5. A【解析】因为，所以，所以．因为，所以，所以，因为，所以，所以．6. C 【解析】A中的否命题应为“若，则”；B中命题：，；D中“”是“”的充分不必要条件．7. C 【解析】画上函数与的图象，易知两图象有个交点，即函数在上有个零点．8. B 【解析】由程序框图及可知，此程序执行的是输出二次函数，的值域，因此．9. C 【解析】由俯视图可知，正四面体的正视图是一个等腰三角形，其中底边长为，高为正四面体的高，所以正视图的面积．10. D【解析】设甲、乙二人到达的时刻分别是点分和点分，则如图所示，则所求概．率四边形11. A 【解析】设直线交轴于点，则，因为是底角为的等腰三角形，所以，且，所以，解得，所以．12. B 【解析】因为，所以其表示的是和连线的斜率，因为（当且仅当时取等号），，所以是射线上的动点，是圆上的动点．显然，斜率的最值是过射线端点的圆的两条切线的斜率．设过点的切线的方程为，，即，解得，所以．第二部分13.【解析】，令，得，所以，解得．14.【解析】画出可行域，如图中阴影部分所示，在可行域内平移直线，当其经过与的交点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最小值，故．15.【解析】由题意知所以所以即所以．16.【解析】过点作于，连接，如图，因为是球的直径，所以，因为，所以，所以，所以，所以平面，且所以是等边三角形，且所以第三部分17. （1）由及余弦定理，得，即，所以，解得．（2）因为，所以由正弦定理得，又，所以，所以，所以，即，所以或（舍去），因为，所以．18. （1）从月日开始连续三天的空气质量指数方差最大．（2）设表示事件“此人于月日到达该市”（）．根据题意，，且．设为事件“此人到达当日空气质呈优良”，则．所以．（3）由题意可知，的所有可能取值为，，，且，，．所以的分布列为：故的期望．19. （1）因为，所以，，因为，所以平面，因为平面，所以．因为，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）由（1）可知，平面，．因为，，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设是平面的法向量，则取，得，设线段上的点满足，则，连接，则因为，解得或（舍去），所以在线段上存在点，且，使得直线与平面所成角为．20. （1）因为，由抛物线的定义知：，所以，所以抛物线的方程为．（2）显然直线的斜率存在且一定不等于零，设其方程为，则直线与轴交点，设，，由得，所以，，．由，得，所以，同理可得，所以．故为定值．21. （1），定义域为，，当时，，函数在上是增函数；当时，在区间上，；在区间上，．所以在上是增函数，在上是减函数．（2）①函数与的图象有两个不同的交点，，其中，等价于函数有两个零点，，且．由（）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点．当时，在上是增函数，在上是减函数，所以此时为函数的最大值，因为当时，最多有一个零点，所以，解得，又，且，，令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以当时，在和上各有一个零点，所以的取值范围是．②由（）中的①可知，当时，函数在上是增函数，在上是减函数，所以，．故，即，所以，构造函数则，所以函数在区间上为减函数，因为，所以，又，所以所以由（）知，即，所以．22. （1）连接，，如图所示，由已知得，，，在中，由已知得，所以．因为，，所以，所以，所以是圆的切线．（2）设，，则，由射影定理可得，，所以，解得，所以．23. （1）在直角坐标系下，圆的圆心的坐标为，所以圆的直角坐标方程为．即，将，代入上式，得．（2）依题意，点在直线上，将代入，得，得，由参数方程的几何意义知，因为，即，所以（当且仅当时等号成立），所以的最小值为．24. （1）当时，，即，即或或解得或，所以解集为．（2）原命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即．。

2016届贵州省贵阳一中高三上学期第三次月考数学（理）试题及解析一、选择题（题型注释）1．已知集合{}1,2aA =，{},a bB =，若12⎧⎫A B =⎨⎬⎩⎭，则A B 为（ ）A ．1,1,2b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】试题分析：因为12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以122a =，即1a =-，所以12b =，所以111122A B ⎧⎫⎧⎫==-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，所以1112A B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭ ，，，故选D ．考点：集合的运算．【思路点晴】本题主要考查的是集合交集，补集的运算，属容易题．由12⎧⎫A B =⎨⎬⎩⎭可得12A ∈．可得1a =-从而可知12b =．2．已知i 是虚数单位，m ，R n ∈，则“1m n ==”是“()22m ni i -=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：当1m n ==时，()212i i -=-成立， 当()()222222222m ni m mni n i m n mni i -=-+=--=-时220122m n m n mn ⎧-=⇒==⎨-=-⎩或1m n ==-．所以“1m n ==”是“()22m ni i -=-”的充分不必要条件．故选A ．考点：1充分必要条件；2复数的运算．3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）A ．{}1,2,3,4,5B ．{}1,2,3,4,5,6C ．{}2,3,4,5D ．{}2,3,4,5,6【答案】C 【解析】试题分析：依次执行循环体的值为23a a =+，1i =；2(23)3a a =++，2i =．此时跳出循环体，所以2313a +≤且2(23)313a ++>，得15a <≤，所以a 的可能取值为2，3，4，5，故选C ． 考点：程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“2i =”时跳出循环，易想到2(23)313a ++>，而忽略2313a +≤．同时要注意a 为正整数，否则极易出现错误． 4．某几何体的三视图如图2所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．3C ．32 D ．92【答案】B【解析】试题分析：由三视图可得此几何体的立体图如图，由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，PA ⊥底面ABCD ，PA x =，底面是一个上下边长分别为1和2，高为2的直角梯形，体积1(12)2332V x +⨯=⨯⨯=，所以3x =，故选B ．考点：1三视图；2棱锥的体积．【思路点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．由三视图可知此几何体为四棱锥且底面为直角梯形，所求x 即为棱锥的高，根据棱锥的体积公式即可求得x 的值．5．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）A ．24种 B ．18种 C ．48种 D ．36种【答案】A 【解析】试题分析：由题意，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个学生要来自不同的年级，从三个年级中选两个为23C ，然后从选择的两个年级中再分别选择一个学生，为1122C C ，剩下的4人乘坐乙车． 故有21132232212C C C =⨯⨯=种；第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的三个年级中选择同一个年级的两名同学在甲车上，为13C ，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人，为1122C C ，这时共有11132232212C C C =⨯⨯=种．因此共有121224+=种不同的乘车方式，故选A ． 考点：排列组合．【易错点晴】本题主要考查的是排列组合，属于容易题．解题时一定要弄清楚是用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理，否则很容易出现错误． 6．若函数()()sin 2f x x ϕ=+满足()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．2,263k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．52,236k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 【答案】D【解析】试题分析：由题意3x π=时，()f x 取最小值，即2sin 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()272,2,326k k Z k k Z πππϕπϕπ∴+=-+∈∴=-+∈ 不妨令0k =，取76πϕ=-，即()7sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()222,262k x k k Z π7πππ-≤-≤π+∈，得(),36k x k k Z π5ππ+≤≤π+∈，故选D ． 考点：1正弦函数的最值；2正弦函数的单调性．7．设向量()1,a x =，(),4b x = ，则“12e x dt t=⎰”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：∵()()1,,,4a x b x == ，若e 112d 2ln 2ln 2ln12ex t t e t===-=⎰，此时()()1,2,2,4a b == ．则2a b = ，a b ∴∥．若a b ∥，则14xx =，2x =±，∴“e 12d 2x t t==⎰”是“a b ∥”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1充分必要条件；2向量共线．【易错点晴】本题主要考查的是充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．8．函数()112cos 2x f x x π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（24x -≤≤）的所有零点之和为（ ）A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C 【解析】试题分析：函数()112cos 2x f x x π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的零点等价于函数()112x g x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭和()2cos h x x π=的图象在区间[]2,4-内的交点的横坐标．由于两函数图象均关于直线1x =对称，且函数()2cos h x x π=的周期为2，结合图象可知两函数图象在一个周期内有2个交点且关于直线1x =对称，所以两交点横坐标之和为2，故其在三个周期即[]2,4-内的所有零点之和为326⨯=，故选C ． 考点：1函数零点；2转化思想．9．在C ∆AB 中，C 60∠BA = ，2AB =，C 1A =，E ，F 为边C B 的三等分点，则F AE⋅A =（ ）A ．53 B ．54 C ．109 D ．158【答案】A 【解析】试题分析：∵在ABC ∆中，6021BAC AB AC ∠=︒==，，，22212cos 4122132BC AB AC AB AC BAC ∴=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=∴BC =222BC AB AC ∴=+， 90BCA ∴∠=．以C 为坐标原点，CA ，CB 方向为x 轴、y 轴正方向建立坐标系，∵1AC BC ==，()()(0,0,1,0,C A B ．又∵,E F 分别是Rt △ABC 中边BC上的两个三等分点，则0,E ⎛ ⎝⎭，0,F ⎛ ⎝⎭，则1,AE ⎛=- ⎝⎭，1,AF ⎛=- ⎝⎭，∴25133AE AF ∴⋅=+= ，故选A ． 考点：1余弦定理；2向量数量积．10．已知数列{}n a 满足10a =，11n n a a +=+，则13a =（ ）A ．143B ．156C ．168D ．195 【答案】C 【解析】试题分析：由11n n a a +=+，得211()n a ++=，1，1，又10a =，∴是以1为首项，1为公差的等差数列，1(1)1n =+-⨯，∴21n a n =-，则131691168a =-=，故选C ．考点：构造法求数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查的是构造法求数列的通项公式，难度稍大．数列通项公式的求法常用的有:公式法，累加法，累乘法，构造法等．本题由已知条件分析可知属构造11．过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60 的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A 并且点A 也在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ） A．B． C． D【答案】A 【解析】试题分析：过抛物线：22(0)y px p =>的焦点02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，且倾斜角为60︒的直线l 的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，联立直线方程与抛物线方程可得直线l 与抛物线在第一象限的交点为A 32p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点A 也在双曲线：22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线上，应在b y x a =上，则32b pa =⨯，则有2243b b a a =⇒=，222222247133b c a e e e a a -==-=⇒=⇒=故选A ．考点：1直线与抛物线的位置关系问题；2双曲线的简单几何性质．12．定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，函数()2142t f x t ≥-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．23t ≤≤B ．13t ≤≤C ．14t ≤≤D ．24t ≤≤ 【答案】B 【解析】试题分析：因为当[)4,2x ∈--时，函数()2142t f x t ≥-+恒成立，所以()2m i n 142t f x t ≥-+．又当[)4,3x ∈--时，21111()(2)(4)[(4)(4)]024416f x f x f x x x ⎡⎤=+=+=+-+∈-⎢⎥⎣⎦，；当[)3,2x ∈--时，34211111()(2)(4)24424x f x f x f x +-⎡⎤⎡⎛⎫⎢⎥=+=+=-∈-⎢ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，． 所以()min14f x =-，即211442t t -≥-+，解得13t ≤≤，故选B ．考点：1分段函数的值域；2恒成立问题．二、填空题（题型注释）13．已知向量a ，b 的夹角为45，且1a = ，2a b += b = ．【解析】试题分析：因为22|2|4||4||cos4510a b b b +=++︒= ，解得||b考点：1向量的模；2向量的数量积．14．()bb a >=⎰ ．【答案】()28b a π-【解析】试题分析：设y =整理可得()22224a b a b x y -+⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，()0y >， 这是一个半圆，根据定积分的几何意义，所求积分为此半圆的面积，所以所求积分为()28b a π-．考点：定积分的几何意义．【方法点晴】本题主要考查的是定积分知识，属容易题．当定积分中被积函数不容易求得其原函数时，应考虑用定积分的几何意义求解，即将定积分问题转化为面积问题． 15．观察下列等式：11= 311=123+= 33129+= 1236++= 33312336++=123410+++= 33331234100+++= 1234515++++= 3333312345225++++=⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅可以推测：3333123n +++⋅⋅⋅+= ．（n *∈N ，结果用含有n 的代数式表示）【答案】22(1)4n n +【解析】试题分析：根据所给等式3211=，3322123(12)+==+，333221236(123)++==++，333322123410(1234)+++==+++，…，可以看出，等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底数，推测：2233332(1)123(12)4n n n n +++++=+++= ．考点：归纳推理．16．已知()f x 为定义在()0,+∞上的可导函数，且()()f x xf x '>，则不等式()210x f f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的解集为 ．【答案】{}01x x << 【解析】试题分析：设()()f x g x x=，则()()()2''f x xf x g x x -=，()()'f x xf x > ，()()'0xf x f x ∴-<，()'0g x ∴<，()g x ∴在()0,+∞上为减函数，21()0x f f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭∵，0x >，1()1f f x x x x⎛⎫⎪⎝⎭<∴，即1()g g x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，10x x >>∴，01x <<∴． 考点：1用导数求函数的单调性；2用单调性解不等式．【思路点晴】将()()'f x xf x >变形可得()()'0xf x f x -<，进而会想到构造函数()()f x g x x =，求()'g x ，根据()'g x 的正负可得函数()()f xg x x=的增减性．根据单调性可解得不等式．三、解答题（题型注释）17．C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，且cos C cos 2cos cos b c a a B+=A A．（1）求角A ；（2）若2a =，求C ∆AB 的周长的最大值．【答案】（1）60A =︒；（2）6． 【解析】 试题分析：（1）根据正弦定理将已知条件转化为角的正弦值，余弦值间的关系式，再由二倍角公式，两角和差公式将其化简变形，从而可得角间关系．（2）用正弦定理将边,b c 用角,B C 表示，再根据120B C += 得120B C =- ，即用角C 表示出三角形的周长，再将其化简变形，用三角函数求最值． 试题解析：解：（1）cos cos 22cos cos cos cos cos b C c Ba Ab Cc B a A a A+=⇒=+sin 2sin()2A B C B C A ⇒=+⇒+=，解得60A =︒．（2）,sin sin sin a b c b B c C A B C ==⇒==，周长12sin )2)sin ]24cos 2l B C C C C C ⎛⎫=++=︒-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭24sin 6C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当3C π=时，△ABC 的周长的最大值为6． 考点：1正弦定理；2三角函数求最值．【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、两角和差公式，属于中档题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式． 18．在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x ，y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为()2,x x y --，记2ξ=OP ．（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （2）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）随机变量ξ的最大值为5； 2(5)9P ξ==；（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1）根据,x y 的取值，可得2,x x y --的范围，从而可得()()2222x x y ξ=OP =-+- 的范围．根据古典概型概率公式可求得所求概率．（2）根据,x y 的取值可分别求得ξ的所有取值为0，1，2，5时的概率，从而可得其分布列，根据期望公式可求得其期望值．试题解析：解：（1）x ∵，y 可能的取值为1，2，3， |2|1x -∴≤， ||2x y -∴≤，22(2)()5x x y ξ=-+-∴≤，且当1x =，3y =或3x =，1y =时，5ξ=．因此，随机变量ξ的最大值为5．∵有放回地摸两球的所有情况共有339⨯=种，2(5)9P ξ==∴．（2）ξ的所有取值为0，1，2，5．0ξ=∵时，只有2x =，2y =这一种情况；1ξ=时，有1x =，1y =，或2x =，1y =，或2x =，3y =，或3x =，3y =四种情况； 2ξ=时，有1x =，2y =，或3x =，2y =两种情况．1(0)9P ξ==∴， 4(1)9P ξ==， 2(2)9P ξ==∴． 则随机变量ξ的分布列为：1422()012529999E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．考点：1古典概型概率；2分布列，期望．【易错点晴】本题主要考查的是古典概型概率，属中档题．本题的易错点在于容易忽略有放回地先后摸出两球即,x y 的取值可以相同而出错．结题时应加以注意．19．如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 为直角梯形，D//C A B ，DC 90∠A =，平面D PA ⊥底面CD AB ，Q 为D A 的中点，M 是棱C P 上的点，D 2PA =P =，1C D 12B =A =，CD ．（1）求证：平面Q P B ⊥平面D PA ；（2）若M 为棱C P 的中点，求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值； （3）若二面角Q C M -B -大小为30，求Q M 的长．【答案】（1）详见解析； （2（3）QM =【解析】试题分析：（1）易证得BCDQ 为平行四边形，可得CD ∥ BQ ，从而可得QB AD ⊥，由面面垂直的性质定理即可证得BQ ⊥平面PAD ，从而可得证平面PQB ⊥平面PAD ．（2）由面面垂直的性质定理即可证得PQ ⊥平面ABCD ．又由（1）知Q B A D⊥，从而可以Q 为原点，以,,QA QB QP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．即可得各点的坐标，从而可得,AP BM 的坐标．由向量数量积公式可求得,AP BM夹角的余弦值．异面直线AP 与BM 所成角的余弦值等于,AP BM夹角的余弦值的绝对值．（3）根据向量垂直数量积为0可求得面BQC 和面MBQ 的法向量，两法向量夹角的余弦值的绝对值等于cos30=．从而可得点M 的坐标，即可求得QM 的长． 试题解析：（1）证明：∵AD ∥ BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD ∥ BQ ． ∵90ADC ∠=，∴90AQB ∠= ，即QB AD ⊥．又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =， ∴BQ ⊥平面PAD ． ∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面PAD ．（2）解：∵PA PD =，Q 为AD 的中点， ∴PQ AD ⊥．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =， ∴PQ ⊥平面ABCD ． 如图2，以Q 为原点建立空间直角坐标系，则(000)Q ，，，(100)A ，，，(00P ，，(00)B，(10)C -．∵M 是PC 的中点，∴12M ⎛- ⎝⎭，∴1(102AP BM ⎛=-=- ⎝⎭ ，，，． 设异面直线AP 与BM 所成角为θ，则cos θ=|cos |||||AP BMAP BM AP BM 〈〉=，= ∴异面直线AP 与BM所成角的余弦值为7（3）解：由（2）知平面BQC 的法向量为(001)n =，，， 由(1)QM QP QC λλ=+-，且01λ≤≤，得(1))QM λλ=--，又(00)QB =，∴平面MBQ法向量为10m λλ-⎫=⎪⎭，．∵二面角M BQ C --为30，∴cos30||||n m n m ︒==，∴14λ=，∴||QM=． 考点：1线面垂直，面面垂直；2用空间向量法解决立体几何问题．20．如图，已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫P ⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为4x =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）AB 是经过椭圆右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在常数2λ=符合题意． 【解析】试题分析：（1）根据点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，可将其代入椭圆方程，又12c e a ==且222a b c =+解方程组可得,,a b c 的值．（2）设直线AB 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立消去y 可得关于x 的一元二次方程，从而可得两根之和，两根之积．根据斜率公式可用k 表示出123,,k k k ．从而可得λ的值．试题解析：解：（Ⅰ）由点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上得，221914a b +=，①又12e =，所以12c a =，② 由①②得222143c a b ===，，，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=， 由题意可设AB k 的斜率为， 则直线AB 的方程为(1)y k x =-，③代入椭圆方程22143x y +=，并整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=，设1122()()A x y B x y ，，，，则有2212122284(3)4343k k x x x x k k -+==++，，④ 在方程③中，令4x =得，(43)M k ，，从而121212332211y y k k x x --==--，，33312412k k k -==--． 又因为A F B ，，共线，则有AF BF k k k ==，即有121211y yk x x ==--， 所以12k k +=1212332211y y x x --+=--12121231111211y y x x x x ⎛⎫+-+ ⎪----⎝⎭=322k - 1212122()1x x x x x x +--++，⑤将④代入⑤得12k k +=322k - 2222228243214(3)814343k k k k k k k -+=---+++，又312k k =-， 所以12k k +=32k ，故存在常数2λ=符合题意．考点：1椭圆的简单几何性质；2直线与椭圆的位置关系问题． 21．（本小题满分12分） 已知函数()1ln xf x x ax-=+，其中0a >． （1）若函数()f x 在区间[)1,+∞内单调递增，求a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值；（3）求证：对于任意的n *∈N ，且1n >时，都有111ln 23n n>++⋅⋅⋅+成立． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）min11ln 2022111()ln 1120 1.a a f x a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪⎪⎩，≤，，，，≥；（3）详见解析． 【解析】试题分析：（1）函数()f x 在区间[)1,+∞内单调递增等价于()'0f x ≥在[)1,+∞上恒成立．求导，可转化为1a x ≥在[)1,+∞上恒成立．根据1x的单调性可求得其最值，即可得a 的范围．（2）讨论a 的取值得()'f x 在区间[]1,2上的正负．从而可得函数()f x 在区间[]1,2上的单调性，根据其单调性求其最值．（3）由（Ⅰ）知，函数1()1ln f x x x=-+在[1)+∞，上为增函数．当1n >时，11nn >-，根据函数()f x 的单调性结合对数的运算法则可证得所求． 试题解析：解：21()(0)ax f x x ax -'=>． （1）由已知，得()'0f x ≥在[)1,+∞上恒成立， 即1a x≥在[)1,+∞上恒成立．又∵当x ∈[1)+∞，时，11x≤，1a ∴≥， 即a 的取值范围为[)1,+∞． （2）当1a ≥时，∵()0f x '>在()1,2上恒成立，这时()f x 在[]1,2上为增函数，min ()(1)0f x f ==∴；当102a <≤时， ∵()0f x '<在()1,2上恒成立，这时()f x 在[12]，上为减函数，min 1()(2)ln 22f x f a==-∴； 当112a <<时， 令()0f x '=，得1(1,2)x a=∈． 又∵对于11x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，有()0f x '<，对于12x a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，有()0f x '>，min 111()ln 1f x f a a a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭∴．综上，()f x 在[12]，上的最小值为min11ln 2022111()ln 1120 1.a a f x a aa a ⎧-<⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪⎪⎩，≤，，，，≥（3）证明：由（Ⅰ）知，函数1()1ln f x x x=-+在[1)+∞，上为增函数， ∵当1n >时，11nn >-， (1)1n f f n ⎛⎫> ⎪-⎝⎭∴，即1ln ln(1)n n n-->，对于n *∈N ，且1n >恒成立， ln [ln ln(1)][ln(1)ln(2)][ln3ln 2][ln 2ln1]n n n n n =--+---+⋅⋅⋅+-+- 1111132n n >++⋅⋅⋅++-， ∴对于n *∈N ，且1n >时，111ln 23n n>++⋅⋅⋅+恒成立． 考点：用导数研究函数的性质．22．【选修4-1：几何证明选讲】如图，已知圆上的弧 C D A=B ，过点C 的圆的切线C E 与BA 的延长线交于E 点．求证：（1）C CD ∠A E =∠B ； （2）2C CD B =BE⋅．【答案】（1）详见解析； （2）详见解析． 【解析】 试题分析：（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等及弦切角定理可证得C CD ∠AE =∠B ．（2）根据已知条件易证得BCD ∆≌ACE ∆，从而可得对应边相等，再结合切割线定理可证得2BC BE CD =⋅．试题解析：证明：（1）∵ AC BD=， BCD ABC ∠=∠∴，又由已知ACE ABC ∠=∠，ACE BCD ∠=∠∴．（2）在BCD ∆，ACE ∆中，,,BD AC BCD ACE BDC CAE =∠=∠∠=∠， ∴BCD ∆≌ACE ∆， ∴,BC CE CD AE ==，又由已知2CE EA EB =⋅， ∴2BC BE CD =⋅．考点：1弦切角定理；2切割线定理． 23．【选修4-4：坐标系与参数方程】 已知圆的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（[]0,2θπ∈，θ为参数），将圆上所有点的横坐标伸1C ；以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 与曲线2C 上点的距离的最小值，并求此时P 点的坐标．【答案】（1）1C 的普通方程为2213x y +=；2C 的直角坐标方程为8x y +=；（2）min d =3122P ⎛⎫⎪⎝⎭，．【解析】试题分析：（1）根据伸缩变换公式可得1C 的参数方程，消参可得普通方程．将sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭先按两角和差公式展开，根据公式222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=可将其化简为直角坐标方程．（2）根据1C 的参数方程可设sin )P θθ，，由点到线的距离公式可求得点P 到2C 的距离d ．用化一公式将其化简可求得d 的最值，同时可得点P 的坐标．试题解析：解：（Ⅰ）由已知曲线1C 的参数方程为(sin x y θθθ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，，为参数）， 则1C 的普通方程为2213x y +=；由2C ：πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 8ρθρθ⇒+=，由互化公式得2C 的直角坐标方程为8x y +=．（Ⅱ）设点sin )P θθ，到直线2C ：80x y +-=的距离为d ，d ==当πsin 13θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π6θ=时，min d =3122P ⎛⎫⎪⎝⎭，．考点：1参数方程和普通方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程间的互化；2点到线的距离公式；3三角函数求最值． 24．【选修4-5：不等式选讲】设函数()1f x x x a a=++-（0a >）． （1）证明：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围．【答案】（1）详见解析； （2a <<． 【解析】试题分析：（1）根据不等式a b a b ±≤+即可证得()2f x ≥．（2）1(3)3|3|f a a =++-，根据0a >可知1133a a +=+，可将1(3)3|3|5f a a=++-<转化为13|3|5a a++-<，再根据绝对的意义即讨论3a -的符号去绝对值再解不等式．试题解析：（Ⅰ）证明：11()||2f x x x a x x a a a=++-+-+≥≥．（Ⅱ）解：1(3)3|3|5f aa=++-<11|3|2|3|2a aa a⇒-+<⇒-<-132132120,aaaaa⎧-<-⎪⎪⎪⇒->-⎨⎪⎪->⎪⎩，，a<<．考点：绝对值不等式．。

2016年温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题参考答案 2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分.9．14；1． 10．43π；5． 11．12；36． 12．21；6463． 13．),4[+∞． 14．43-． 15．),2(+∞．三、解答题 16．（本题15分）解：（Ⅰ）由已知得ααcos 3sin 22=，则02cos 3cos 22=-+αα…………3分所以21cos =α或2cos -=α（舍）……………………………………5分 又因为πα<<0 所以3πα= ……………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得)3cos(cos 4)(π-=x x x f)sin 23cos 21(cos 4x x x +=……………………………9分x x x cos sin 32cos 22+= x x 2sin 32cos 1++=)62sin(21π++=x ……………………………………11分由40π≤≤x 得32626πππ≤+≤x …………………………………………12分所以 当0=x 时，)(x f 取得最小值2)0(=f当6π=x 时，)(x f 取得最大值3)6(=πf ……………………………14分所以函数)(x f 在]4,0[π上的值域为]3,2[…………………………………15分17．（本题15分）（Ⅰ）如图，由题意知⊥DE 平面ABC 所以 DE AB ⊥，又DF AB ⊥所以 ⊥AB 平面DEF ，………………3分又⊂AB 平面ABD 所以平面⊥ABD 平面DEF…………………6分 （Ⅱ）解法一：由DC DB DA ==知EC EB EA == 所以 E 是ABC ∆的外心又BC AB ⊥ 所以E 为AC 的中点 …………………………………9分 过E 作DF EH ⊥于H ，则由（Ⅰ）知⊥EH 平面DAB所以EBH ∠即为BE 与平面DAB 所成的角…………………………………12分由4=AC ，60=∠BAC 得2=DE ，3=EF所以 7=DF ，732=EH 所以721sin ==∠BE EH EBH …………………………………15分 解法二：如图建系，则)0,2,0(-A ，)2,0,0(D ，)0,1,3(-B所以)2,2,0(--=，)2,1,3(--= ……………………………………9分 设平面DAB 的法向量为),,(z y x =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00得⎩⎨⎧=--=--023022z y x z y ，取)1,1,33(-= ………………12分 设与的夹角为θ 所以7213722||||cos ==⋅=n EB θ 所以BE 与平面DAB 所成的角的正弦值为721………………………………15分18．（本题15分）解：（Ⅰ）解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=0,0,)(22x tx x x tx x x f ， ……………………………………1分当0>t 时，)(x f 的单调增区间为)0,(),,2[-∞+∞t，单调减区间为]2,0[t ……3分 当0=t 时，)(x f 的单调增区间为),(+∞-∞ ……………………………………4分当0<t 时，)(x f 的单调增区间为),0[+∞，]2,(t -∞，单调减区间为)0,2[t ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知0>t 时)(x f 在)0,(-∞上递增，在)2,0(t 上递减，在),2(+∞t上递增从而 当22≥t即4≥t 时，0)0()(==f t M ，………………………7分}24,1min{)}2(),1(min{)(t t f f t m ---=-=………………………8分所以，当54≤≤t 时，t t m --=1)(，故51)()(≥+=-t t m t M ………9分 当5>t 时，t t m 24)(-=，故642)()(>-=-t t m t M ………………10分 当t t≤<22即42<≤t 时，0)0()(==f t M t t t t f f t m --=---=-=1}4,1min{)}2(),1(min{)(2……………11分所以，31)()(≥+=-t t m t M ………………………………………12分当20<<t 时，t f t M 24)2()(-==………………………………………13分t t t t f f t m --=---=-=1}4,1min{)}2(),1(min{)(2所以，35)()(>-=-t t m t M ………………………………………………14分综上所述，当2=t 时，)()(t m t M -取得最小值为3．………………………………15分19．（本题15分）解：（Ⅰ）由题意得： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+====+222222221)26(1c b a a c e b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==2422b a 故椭圆C 的方程为：12422=+y x ……………………………………5分（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线OM ,ON 的方程为OM y k x =，ON y k x =联立方程组22142OM y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得M ,同理可得(N ,……………………………………7分作'MM x ⊥轴, 'NN x ⊥轴,','M N 是垂足,OMN S ∆=''''OMM ONN MM N N S S S ∆∆--梯形1[()()]2M N M N M M N N y y x x x y x y =+--+ 1()2M N N M x y x y =-12=+=……………………………………9分已知OMN S ∆2=，化简可得21-=ON OM k k .……………………………………11分设(,)P P P x y ,则2242P P x y -=，又已知AP OM k k =,所以要证BP ON k k =,只要证明12AP BP k k =-……………………13分而2212242P P P AP BP P P P y y y k k x x x ===-+--所以可得ON BP //…………………………………………………………………………15分 （,M N 在y 轴同侧同理可得）解法二：设直线AP 的方程为)2(+=x k y OM ，代入4222=+y x得0488)12(2222=-+++OM OM OM k x k x k ，它的两个根为2-和P x可得124222+-=OM OMp k k x 1242+=OM OM P k k y ……………………………………7分 从而OM OM OMOM OMBPk k k k k k 2121242124222-=-+-+=所以只需证ON OM k k =-21 即21-=ON OM k k …………………………………9分 设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线MN 的斜率不存在，易得221±==x x 从而可得21-=ONOM k k …………………………………10分若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为m kx y +=， 代入12422=+y x 得0424)12(222=-+++m kmx x k则124221+-=+k km x x ，12422221+-=k m x x ，0)24(822>-+=∆m k ………11分 212)24(8||21||||2122221=+-+⋅=-⋅=∆k m k m x x m S OMN化得0)12()24(22224=+++-k m k m ，得1222+=k m ………………………13分214)12(2412424)(222222************-=-+-+=--=+++==⋅k k k m k m x x m x x km x x k x x y y k k ONOM ………………………………………………15分20．（本题14分） 解：（Ⅰ）由已知，)12,(+n n n n a a a P ，从而有)12,(1++n nn n a a a Q 因为n Q 在xy 31=上，所以有13112+=+n n n a a a 解得 nn n a a a 611+=+ ………………………………2分 由01>a 及n n n a a a 611+=+，知0>n a ， 下证：n n a a 21221<<- 解法一：因为n n n a a a 6)21(2211--=-+，所以211-+n a 与21-n a 异号注意到0211<-a ，知02112<--n a ，0212>-n a 即n n a a 21221<<- …………………………………7分 解法二：由n n n a a a 611+=+ 可得 nn n a a a 6)21(2211--=-+ ， n n n a a a 6)31(3311+=++ 所以有312132312111+-⋅-=+-++n n n n a a a a ，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-3121n n a a 是以32-为公比的等比数列； 设312111+-=a a t ， 则1)32(3121--⋅=+-n n n t a a 解得11)32(1)32(321---⋅--⋅+=n n n t t a ， …………………………………5分 从而有tt t t a n n n n --=-⋅--⋅+=----111)23(65)32(1)32(32121由2101<<a 可得023<<-t所以0)49(6521112<-=---tt a n n ， 221516032()2n n ta t --=>--所以n n a a 21221<<- …………………………………7分（Ⅱ）因为)1(617616161611212121212122212++=+++=+=------+n n n n n n nn n a a a a a a a a a所以 )1(6)13)(21(2)1(6171212121212121212++--=-++=--------+n n n n n n n n a a a a a a a a 因为21102n a -<<，所以1212-+>n n a a 所以有13212221a a a a n n n >>>>>-- 从而可知1a a n ≥ …………………………………9分 故 1||6||6161||1111112+-=-=+-+=-+++++++n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a 1||11+-≤+a a a n n||431n n a a -=+ …………………………………11分 所以112121211)43(31||)43(||)43(||43||-----+⋅=-≤≤-≤-≤-n n n n n n n n a a a a a a a a…………………………………12分 所以 ||||||||1342312n n a a a a a a a a -++-+-+-+])43()43(431[3112-++++≤n 431)43(131--⨯=n ])43(1[34n-=34< …………………………………14分命题教师：胡浩鑫 戴海林 叶思迁 叶建华 林世明 叶事一。

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（A ）43-（B ）34-（C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18（C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x =k π2–π6 (k ∈Z ) （B ）x =k π2+π6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12(k ∈Z ) （D ）x =k π2+π12(k ∈Z ) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34（9）若cos(π4–α)= 35，则sin 2α=（A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn（11）已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（A（B ）32（C（D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()mi ii x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = .(14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

2016年某某省某某实验中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（）A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅2．设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i3．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（）A． B． C．25D．54．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种5．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假6．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．47．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值X围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）8．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A． B． C． D．9．如图，在由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内任取一点，则该点落在x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．1﹣B．﹣1C． D．3﹣210．若A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，O是圆心，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（）A．λ2+μ2=1B． C．λ•μ=1D．λ+μ=111．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A． B． C． D．12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A． B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是．14．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值．15．双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为．16．在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n 的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．（1）求角C的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为6，求边c的值．18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．21．已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3﹣；（2）若对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，某某数a的取值X围；（3）当a=时，证明： f（i）＞2（n+1﹣）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y ﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．2016年某某省某某实验中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（）A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据对数函数的单调性便可解出A={x|x＞1}，利用被开方数大于等于0，求出B，从而找出正确选项．【解答】解：A={y|y=log3x，x＞3}={y|y＞1}，B={x|y=}={x|x≥1}，∴A⊆B，故选：A．2．设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==﹣4﹣3i，故选：A．3．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（）A． B． C．25D．5【考点】解三角形．【分析】由S==2，得a=1，再直接利用余弦定理求得b．【解答】解：由S===2，得a=1又由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=1+32﹣2×=25，所以b=5故选D4．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种【考点】计数原理的应用．【分析】先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可．【解答】解：从4人中选出两个人作为一个元素有C42种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有 36﹣6=30，故选：B5．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】根据平面平行的判断方法，我们对已知中的两个命题p，q进行判断，根据判断结合和复合命题真值表，我们对四个答案逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：∵当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行与可能垂直故命题p为假命题又∵若α上不共线的三点到β的距离相等时α与β可能平行也可能相交，故命题q也为假命题故命题“p且q”为假，命题“p或¬q”为真，命题“p或q”为假，命题“¬p且¬q”为真故选C6．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】简单线性规划．【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k．【解答】解：作出其平面区域如右图：A（1，2），B（1，﹣1），C（3，0），∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A上取得，则k﹣2=0，则k=2，此时，z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；②若在B上取得，则k+1=0，则k=﹣1，此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，故不成立，故选B．7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值X围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX＞1.75，可得p2﹣3p+3＞1.75，解可得p的X围，结合p的实际意义，对求得的X围可得答案．【解答】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X=1）=p，发球次数为2即二次发球成功的概率P（X=2）=p（1﹣p），发球次数为3的概率P（X=3）=（1﹣p）2，则Ex=p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2=p2﹣3p+3，依题意有EX＞1.75，则p2﹣3p+3＞1.75，解可得，p＞或p＜，结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈（0，）故选C．8．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】画出几何体的图形，根据三视图的特征，推出左视图的形状，然后求解即可．【解答】解：在三棱锥C﹣ABD中，C在平面ABD上的射影为BD的中点，左视图的面积等于，故选：D．9．如图，在由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内任取一点，则该点落在x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．1﹣B．﹣1C． D．3﹣2【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型．【分析】根据积分的几何意义求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内围成的区域面积S==sinx|，由x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域面积S==（sinx+cosx）|=，∴根据根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=，故选：B．10．若A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，O是圆心，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（）A．λ2+μ2=1B． C．λ•μ=1D．λ+μ=1【考点】直线和圆的方程的应用；向量的共线定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，可得，又，所以对两边平方即可得到结论．【解答】解：∵，两边平方得：∵∴λ2+μ2=1故选A11．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A． B． C． D．【考点】数列递推式．【分析】设b n=nS n+（n+2）a n，由已知得b1=4，b2=8，从而b n=nS n+（n+2）a n=4n，进而得到是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出．【解答】解：设b n=nS n+（n+2）a n，∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，∴b1=4，b2=8，∴b n=b1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，即b n=nS n+（n+2）a n=4n当n≥2时，∴，即，∴是以为公比，1为首项的等比数列，∴，∴．故选：A．12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A． B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】得出，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根得出mn=，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，a＞1或a＜﹣3，利用函数求解n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，【解答】解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数f（x）=﹣在[m，n]上单调递增，则，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根∵mn=∴m，n同号，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，∴a＞1或a＜﹣3，n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，故选：D二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是12 ．【考点】程序框图．【分析】从程序框图中得到实验数的定义，找出区间中被3整除的数；找出被12整除的数；找出不能被6整除的数得到答案．【解答】解：由程序框图知实验数是满足：能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，在[30，80]内的所有整数中，所有的能被3整除数有：30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78共有17个数，在这17个数中能被12 整除的有36，48，60，72，共4个数，在这17个数中不能被6 整除的有33，39，45，51，57，63，69，75，共计8个数，所以在[30，80]内的所有整数中“试验数”的个数是12个．故答案为：12．14．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值\frac{9}{2} ．【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由∥，可得：n+2m=4．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵∥，∴4﹣n﹣2m=0，即n+2m=4．∵m＞0，n＞0，∴+=（n+2m）=≥=，当且仅当n=4m=时取等号．∴+的最小值是．故答案为：．15．双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为\sqrt{7} ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e==故答案为：16．在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n 的值为12 ．【考点】等比数列的前n项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n 项和．【分析】设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的X围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．（1）求角C的大小；（2）若b=4，△A BC的面积为6，求边c的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用降幂公式，两角和与差的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，可求cosC的值，结合C的X围可求C的值．（2）利用三角形面积公式可求a的值，结合余弦定理即可求得c的值．【解答】解：（1）sin2+sinAsinB=．⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，（2）∵，，∴，∵c2=a2+b2﹣2abcosC=10，∴．18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”依题意知p（A i）=，设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，由此能求出此人到达当日空气质量重度污染的概率．（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”（i=1，2，…，12）．依题意知，p（A i）=，且A i∩A j=Φ（i≠j）．设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P（B）=（A1∪A2∪A3∪A7∪A12）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A7）+P（A12）=．即此人到达当日空气质量重度污染的概率为．（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=P（A4∪A8∪A9）=P（A4）+P（A8）+P（A9）=，P（ξ=2）=P（A2∪A11）=P（A2）+P（A11）=，P（ξ=3）=P（A1∪A12）=P（A1）+P（A12）=，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=1﹣=，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P故ξ的期望Eξ=．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（1）由余弦定理得BD=，由勾股定理，得BD⊥AD，由线线面垂直得BD⊥PD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明PA⊥BD．（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APB的法向量和平面PBC的法向量，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2，AD=1，由余弦定理得BD==，∴BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，∵PD⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PD，又AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，∴PA⊥BD．（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得A（1，0，0），P（0，0，1），B（0，，0），C（﹣1，，0），=（1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（﹣1，，﹣1），设平面APB的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，，3），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取b=，得=（0，，3），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，由图象知θ为钝角，∴cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣||=﹣．∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；（2）联立直线AB的方程和圆方程，求得P的坐标；联立直线AB的方程和椭圆方程，求得B 的坐标，再求直线PQ，和直线BC的斜率，即可得到结论；（3）讨论直线PQ的斜率不存在和存在，联立直线PQ的方程和椭圆方程，求得Q的坐标，可得AQ的斜率，即可得证．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），，所以；（2）联立得，解得，联立得，解得，所以，，所以，故存在常数，使得．（3）证明：当直线PQ与x轴垂直时，，则，所以直线AC必过点Q．当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：，联立，解得，所以，故直线AC必过点Q．21．已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3﹣；（2）若对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，某某数a的取值X围；（3）当a=时，证明： f（i）＞2（n+1﹣）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）当a=1且x＞1时，构造函数m（x）=lnx+﹣2，利用函数单调性和导数之间的关系即可证明：f（x）＞3﹣；（2）根据函数最值和函数导数之间的关系将不等式恒成立问题进行转化，某某数a的取值X 围；（3）根据函数的单调性的性质，利用放缩法即可证明不等式．【解答】（1）证明：要证f（x）＞3﹣，即证lnx+﹣2＞0，令m（x）=lnx+﹣2，则m'（x）=，∴m（x）在（1，+∞）单调递增，m（x）＞m（1）=0，∴lnx+﹣2＞0，即f（x）＞3﹣成立．（2）解法一：由f（x）＞x且x∈（1，e），可得a，令h（x）=，则h'（x）=，由（1）知lnx﹣1+＞1+=，∴h'（x）＞0函数，h（x）在（1，e）单调递增，当x∈（1，e）时，h（x）＜h（e）=e﹣1，即a≥e﹣1．解法二：令h（x）=alnx+1﹣x，则h'（x）=，当a＞e时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，e）上是增函数，有h（x）＞h（1）=0，当1＜a≤e时，∵函数h（x）在（1，a）上递增，在（a，e）上递减，对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a≤1时，函数h（x）在（1，e）上递减，对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，而h（e）=a+1﹣e＜0，不合题意，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上得对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣】【解法三：由f（x）＞x且x∈（1，e）可得由于表示两点A（x，lnx），B（1，0）的连线斜率，由图象可知y=在（1，e）单调递减，故当x∈（1，e）时，，∴0，即a≥e﹣1．（3）当a=时，f（x）=，则f（i）=ln（n+1）!+n，要证f（i）＞2（n+1﹣），即证lni＞2n+4﹣4，由（1）可知ln（n+1）＞2﹣，又n+2=（n+1）+1＞2＞，∴，∴ln（n+1）＞2﹣，∴ln2+ln3+…+ln（n+1）=2n+4﹣4，故f（i）＞2（n+1﹣）．得证．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．（Ⅱ）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB因为OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN∴PM2=PN2=PA•PC（Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4∵BM•MN=CM•MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y ﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【考点】直线的参数方程；点到直线的距离公式；柱坐标刻画点的位置．【分析】（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，求出t1+t2和t1•t2，根据|AB|=•|t1﹣t2|=5，运算求得结果．（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，设A，B对应的参数分别为 t1和t2，则 t1+t2=，t1•t2 =﹣．所以|AB|=•|t1﹣t2|=5 =．（Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||=．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…。

2016年贵州省贵阳市高三适应性监测考试（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若函数)1lg()(x x f -=的定义域为M ，函数xx g 1)(=的定义域为N，则=N M （ ） A ．{}01≠<x x x 且 B ．{}01≠≤x x x 且 C ．{}1>x x D ．{}1≤x x 2.若复数2)2(i z -=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.设随机变量ξ服从正态分布),1(2σN ，若8.0)2(=<ξP ，则)10(<<ξP 的值为（ ） A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 4.如图，给出的是计算101199151311++⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A ．?101<i B ．?101>i C ．?101≤i D ．?101≥i5.在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且满足a ：b ：c=6：4:3，则=+CB Asin sin 2sin （ ）A ．1411-B ．712C ．2411-D ．127- 6.若函数y=kx 的图象上存在点(x,y)满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+,1,032,03x y x y x 则实数k 的最大值为（ ）A ．21 B ．2 C ．23D．1 7.若函数x a x x f cos sin )(+=的图象的一条对称轴方程为4π=x ，则实数a 的一个可能取值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-28.过点M(2,0)作圆122=+y x 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），则=⋅MB MA （ ）A ．235 B ．25 C ．233 D ．239.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）10.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离是（ ） A ．52 B ．2 C ．32 D ．311.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则ABMN 的最大值为（ ）A ．3B ．1C ．23 D ．2212.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<=,102),4sin(,20,log )(2x x x x x f π若存在实数4321,,,x x x x 满足4321x x x x <<<，且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则)2()2(4321-⋅-⋅⋅x x x x 的取值范围是（ ）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数⎩⎨⎧≤>=,0,,0,log )(22x x x x x f 则))4((-f f 的值是______.14.已知1010221010)1(,0x a x a x a a mx m +⋅⋅⋅+++=+>，若10231021=+⋅⋅⋅++a a a ，则实数m=_____.15.若关于x 的函数)0(cos 2)4sin(22)(22≠++++=t xx xx t tx x f π的最大值为a ，最小值为b ，且a+b=2016，则实数t 的值为_____.16.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB=2，AC=1， 60=∠BAC ，则此球的表面积等于_____.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且n a 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项. （1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设t b n n a n n1113)1(3+-+⨯-+=，对*∈N n 有n n b b >+1恒成立，求实数t 的取值范围.18.（本小题满分12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表（图（1）），每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过两小时的人被定义为“非微信达人”.已知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3:2. （1）确定x,y,p,q 的值，并补全频率分布直方图（图（2））；（2）为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“非微信达人”和“微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）已知如图，△ABC 和△ADC 所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD=1，∠ABC=∠DBC=120°. （1）求证：AD ⊥BC ；（2）求二面角A-BD-C 的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为22，21,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，椭圆C 的焦点1F到双曲线1222=-y x 渐近线的距离为33. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线)0(:<+=l m kx y AB 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点.以线段AB 为直径的圆经过点2F ，且原点O 到直线AB 的距离为552，求直线AB 的方程. 21.（本小题满分12分）已知函数mx x F x e x f x ==)(,sin )(. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）当]2,0[π∈x 时，)()(x F x f ≥，求实数m 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知圆1O 与圆2O 相交于A ，B 两点，过点A 作圆1O 的切线交圆2O 于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交圆1O 与圆2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P . （1）求证：AD ∥EC ；（2）若AD 是圆2O 的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ty t x sin 23,cos 25(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2)4cos(-=+πθρ，A ，B 两点的极坐标分别为),2(),2,2(ππB A .（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数a a x x f +-=2)(.（1）若不等式6)(≤x f 的解集为{}31≤≤-x x ，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围.贵阳市2016年高三适应性监测考试（二）理科数学参考答案一、选择题1.A2.D3.C4.C5.A6.B7.A8.D9.D 10.A 11.D 12.B 二、填空题13.4 14.1 15.1008 16.π8 三、解答题17.解：（1）由已知得n n S a =+21，1242++=n nn a a S ， 当n=1时，求得1a =1，又1a =1，所以12-=n a n .（2）由（1）得，113)1(9+-⋅-⋅+=n n n n t b ，2113)1(9+++⋅-⋅+=n n n n t b ， 因为对*∈N n 有n n b b >+1恒成立，所以112113)1(93)1(9+-+++⋅-⋅--⋅-⋅+=-n n n n n n n n t t b b03)1(49811>⋅-⋅-⨯=+-n n n t 对*∈N n 恒成立，①当n 是奇数时，得132-⨯<n t 恒成立，132-⨯n 的最小值为2，t<2， ②当n 是偶数时，得132-⨯->n t 恒成立，132-⨯-n 的最大值为-6，t>-6， 综上得：-6<t<2.18.解：（1）“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3:2，所以23181593=++++y x ，又3+x+9+15+18+y=60，解这个方程组得：⎩⎨⎧==,6,9y x 从而可得：⎩⎨⎧==,10.0,15.0q p补全频率分布直方图如图所示：（2）选出的人中，“微信达人”有4人，“非微信达人”有6人，X 的可能取值为0,1,2,3，,21)1(,61)0(31026143103604=⋅===⋅==C C C X P C C C X P ,301)3(,103)2(31006343101624=⋅===⋅==C C C X P C C C X P 所以X 的分布列是所以X 的期望值是5610153210)(=+++=X E . 19.（1）证明：作AO ⊥BC 交CB 延长线于O ，连接DO ，又∵AB=DB ，OB=OB ，∠ABO=∠DBO ，∴DBO ABO ∆≅∆，则∠AOB=∠DOB=90°，即OD ⊥BC ， 又∵AO ∩OD=O ，∴BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，∴AD ⊥BC. （2）∵△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，∴AO ⊥OD ，又由（1）知OD ⊥OC ，∴以点Owie 原点，OD ，OC ，OA 的方向分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系，得下列坐标：)23,0,0(),0,23,0(),0,21,0(),0,0,23(),0,0,0(A C B D O ， 设平面ABD 的法向量为)1,,(1y x n =， 则0)23,21,0()1,,(1=-⋅=⋅y x AB n ，即02321=-y ，①0)23,0,23()1,,(1=-⋅=⋅y x AD n ，即02323=-x ，② 由①②解得3,1==y x ，所以)1,3,1(1=n ， 显然)1,0,0(2=n 为平面BCD 的法向量，55,cos 212121=⋅>=<n n n n n n ，因此二面角A-BD-C 的余弦55,cos cos 21->=<-=n n α.20.解：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，∴22=a c ，双曲线1222=-y x 渐近线其中一条方程为02=-y x ，椭圆的左焦点)0,(1c F -，∴13321=⇒=+-c c，所以1,2==b a ，得椭圆C 的方程为1222=+y x .（2）设点A ，B 的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ， 由原点O 到直线AB 的距离为552，得55212=+k m ，即)1(5422k m +=，① 将m kx y +=代入1222=+y x ，得0224)21(222=-+++m kmx x k ，∴0)12(8)22)(21(416222222>+-=-+-=∆m k m k m k ，∴22212212122,214k m x x k km x x +-=+-=+.由已知得022=⋅BF AF ，即0)1)(1(2121=+--y y x x ， ∴0))(()1)(1(2121=+++--m kx m kx x x ， 即01))(1()1(221212=+++-++m x x km x x k ，∴01214)1(2122)1(22222=+++-⋅-++-⋅+m kkm km k m k ，化简得01432=-+km m ，② 由①②，得1,011011224=∴=--m m m ，∵k>0，∴⎪⎩⎪⎨⎧-==,21,1k m 满足0)12(822>+-=∆m k ， ∴AB 的方程为121+-=x y .21.解：（1）)cos (sin cos sin )(x x e x e x e x f x x x +=+='， 令)4sin(2cos sin π+=+=x x x y ，当)(,0)(),(),432,42(x f x f Z k k k x >'∈+-∈ππππ单调递增，当)(,0)(),(),472,432(x f x f Z k k k x <'∈++∈ππππ单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为)(),432,42(Z k k k ∈+-ππππ，单调递减区间为)(),472,432(Z k k k ∈++ππππ.（2）令mx x e x F x f x g x-=-=sin )()()(，即]2,0[,0)(π∈≥x x g 恒成立，而m x x e x g x-+=')cos (sin )(，令x e x x e x x e x h x x e x h xxxxcos 2)sin (cos )cos (sin )()cos (sin )(=-++='⇒+=，当)(0)(],2,0[x h x h x ⇒≥'∈π在]2,0[π上单调递增，2)(1πe x h ≤≤， 当)(0)(,1x g x g m ⇒≥'≤在]2,0[π上单调递增，0)0()(=≥g x g 符合题意，当)(0)(,2x g x g e m x ⇒≤'≥在]2,0[π上单调递减，0)0()(=≤g x g 与题意不合，当0)2(,01)0(,122>-='<-='<<m e g m g e m x ππ，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得0)(0='x g ，当),0[0x x ∈时，0)(≤'x g ， 从而g(x)在),0[0x x ∈上单调递减，从而0)0()(=≤g x g ，与题意不合， 综上所述，m 的取值范围为]1,(-∞.22.（1）证明：连接AB ，∵AC 是圆1O 的切线，∴∠BAC=∠D ，又∵∠BAC=∠E ，∴∠D=∠E ，∴AD ∥EC .（2）∵PA 是圆1O 的切线，PD 是圆1O 的割线，∴PD PB PA ⋅=2，∴)9(62+=PB PB ，∴PB=3，在圆2O 中由相交弦定理，得PE PB PC PA ⋅=⋅， ∴PE=4，∵AD 是圆2O 的切线，DE 是圆2O 的割线， ∴12,1692=∴⨯=⋅=AD DE DB AD . 23.解：（1）由⎩⎨⎧+=+-=ty t x sin 23,cos 25圆C 的普通方程为：2)3()5(22=-++y x ，直线l 的极坐标方程为2)4cos(-=+πθρ，∴2)4sin sin 4cos(cos -=-πθπθρ， 直线l 的直角坐标方程为x-y+2=0.（2）A ，B 直角坐标为(0,2),(0,-2)，直线AB 的方程：x-y+2=0， 设)sin 23,cos 25(θθ++-P ，P 点到直线AB 的距离：2)4sin(622sin 23cos 25πθθθ-+=+--+-=d ，42)4sin(6222121≥-+⨯⨯==∆πθd AB S PAB， △PAB 面积的最小值为4.24.解：（1）a a x x f -≤-⇔≤626)(，∴a a x a -≤-≤-626，即33≤≤-x a ，∴a-3=-1，解得a=2. （2）由（1）知：222)(+-=x x f ， ∴)()()()(x f x f m x f m x f -+≥⇔--≤，令)()()(x f x f x h -+=，则841124)11(2)(=+---≥+++-=x x x x x h ，,8[ . ∴h(x)的最小值是8，故实数m的取值范围是)页11第。

2016年高考数学(理科)模拟试卷(一)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1) C ．(0,1] D ．[0,1) 2．复数(3＋2i)i ＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i 3．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．“∀x ∈R ，|x |＋x 2<0” B ．“∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0” C ．“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0” D ．“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0”4．同时满足两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是( ) A ．f (x )＝－x |x | B ．f (x )＝x ＋1xC ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝ln x x5．设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．76．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝( )A.12B.45C ．2D ．9 8．某几何体的三视图如图M1­1，则它的体积为( )图M1­1A ．72πB ．48π C．30π D ．24π9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象是( ) A ．关于直线x ＝π8对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称 10．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．211．在同一个平面直角坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝sin ax 的部分图象，其中a >0，且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )A BC D12．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，当x ≥3π4时，f (x )＝cos x .若关于x 的方程f (x )＝a 有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为( )A.54πB.32πC.94π D．3π 第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22～24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．14．二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答) 15．如图M1­2，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为点P ，AP ＝3，则AP →·AC →＝________.图M1­216．阅读如图M1­3所示的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为________．图M1­3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝2，cos C ＝34.(1)求sin A 的值； (2)求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)如图M1­4，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D ­AE ­C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ­ACD 的体积．图M1­420．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，问：m 在什么X 围取值时，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m2＋f ′x 在区间(t,3)上总存在极值？(3)求证：ln22×ln33×ln44×…×ln n n <1n(n ≥2，n ∈N *)．21．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2(k 为常数)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点B 和左焦点F ，直线l 被圆O ：x 2＋y 2＝4截得的弦AB 的中点为M .(1)若|AB |＝4 55，某某数k 的值；(2)如图M1­5，顶点为O ，对称轴为y 轴的抛物线E 过线段BF 的中点T ，且与椭圆C 在第一象限的交点为S ，抛物线E 在点S 处的切线m 被圆O 截得的弦PQ 的中点为N ，问：是否存在实数k ，使得O ，M ，N 三点共线？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．图M1­5 图M1­6请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答量请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(本小题满分10)选修4­1：几何证明选讲如图M1­6，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上—点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .23．(本小题满分10)选修4­4：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．24．(本小题满分10)选修4­5：不等式选讲 若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．2016年高考数学(理科)模拟试卷(一)1.D 解析：由M ＝{x |x ≥0，x ∈R }＝[0，＋∞)，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }＝(－1,1)，得M ∩N ＝[0,1)．2．B 解析：(3＋2i)i ＝3i ＋2i·i＝－2＋3i.故选B.3．C 解析：对于命题的否定，要将命题中的“∀”变为“∃”，且否定结论，则命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”．故选C.4．A5．A 解析：∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5.又∵a 1a 2a 3＝105，∴a 1a 3＝21.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 3＝21，a 1＋a 3＝10及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2.∴a n＝9－2n .由a n ≥0，得n ≤4.故选A.6．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为π4.7．C 解析：∵f (0)＝20＋1＝2，f [f (0)]＝f (2)＝4a ，∴22＋2a ＝4a .∴a ＝2. 8．C 解析：几何体是由半球与圆锥叠加而成，它的体积为V ＝12×43π×33＋13×π×32×52－32＝30π.9．A 解析：依题意，得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1≠0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22≠0，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎪⎫π4，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A.10．A 解析：如图D129，将点(5,3)代入z ＝y －2x ，得最小值为－7.图D12911．D 解析：正弦函数y ＝sin ax 的最小正周期为T ＝2πa.对于A ，T >2π，故a <1，而y ＝a x的图象是增函数，故A 错误； 对于B ，T <2π，故a >1，而函数y ＝a x是减函数，故B 错误； 对于C ，T ＝2π，故a ＝1，∴y ＝a x＝1，故C 错误； 对于D ，T >2π，故a <1，∴y ＝a x是减函数．故选D.12．A 解析：作函数y ＝f (x )的草图(如图D130)，对称轴为x ＝3π4，当直线y ＝a 与函数有两个交点(即方程有两个根)时，x 1＋x 2＝2×3π4＝3π2；当直线y ＝a 与函数有三个交点(即方程有三个根)时，x 1＋x 2＋x 3＝2×3π4＋3π4＝9π4；当直线y ＝a 与函数有四个交点(即方程有四个根)时，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4×3π4＝3π.故选A.图D13013.12 解析：从10件产品中任取4件，共有C 410种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有C 13C 37种，因此所求概率为C 13C 37C 410＝12.14．10 解析：展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x5－k y k，则T 4＝C 35x 2y 3＝10x 2y 3，故答案为10.15．18 解析：设AC ∩BD ＝O ，则AC →＝2(AB →＋BO →)，AP →·AC →＝AP →·2(AB →＋BO →)＝2AP →·AB →＋2AP →·BO →＝2AP →·AB →＝2AP →·(AP →＋PB →)＝2|AP →|2＝18.16．－4 解析：由题意，得第一次循环：S ＝0＋(－2)3＝－8，n ＝2； 第二次循环：S ＝－8＋(－2)2＝－4，n ＝1，结束循环，输出S 的值为－4. 17．解：(1)∵cos C ＝34，∴sin C ＝74.∵asin A ＝c sin C ，∴1sin A ＝274，∴sin A ＝148. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴2＝1＋b 2－32b ，∴2b 2－3b －2＝0.∴b ＝2.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×2×74＝74.18．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知，P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25.故所求的分布列为：数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.19．(1)证明：如图D131，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为底面ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)解：因为PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图D131，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系Axyz ，则D ()0，3，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.图D131设B (m,0,0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0.可取n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设易知，|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12.解得m ＝32(m ＝－32，舍去)． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ­ACD 的高为12.故三棱锥E ­ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.20．解：f ′(x )＝ax－a (x >0)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0时，解得0<x <1，∴f (x )在(0,1)上单调递增； 令f ′(x )<0时，解得x >1，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递减． (2)∵函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°， ∴f ′(2)＝a2－a ＝1.∴a ＝－2，f ′(x )＝－2x＋2.∴g (x )＝x 3＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2－2x ＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ，g ′(x )＝3x 2＋(4＋m )x －2.∵对任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m2＋f ′x 在区间(t,3)上总存在极值，且g ′(0)＝－2，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧g ′t <0，g ′3>0.由题知，对任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′1<0，g ′2<0，g ′3>0.解得－373<m <－9.(3)证明：令a ＝－1，f (x )＝－ln x ＋x －3，∴f (1)＝－2. 由(1)知，f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0. ∴ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立． ∵n ≥2，n ∈N *，则有0<ln n <n －1.∴0<ln n n <n －1n .∴ln22×ln33×ln44×…×ln n n <12×23×34×…×n －1n ＝1n (n ≥2，n ∈N *)．21．解：(1)圆O 的圆心为O (0,0)，半径为r ＝2. ∵OM ⊥AB ，|AB |＝4 55，∴|OM |＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝4 55. ∴2k 2＋1＝4 55.∴k 2＝14.图D132又k ＝k FB >0，∴k ＝12. (2)如图D132，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，B (0,2)，T 为BF 中点， ∴T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，1. 设抛物线E 的方程为y ＝tx 2(t >0)，∵抛物线E 过点T ，∴1＝t ·1k2，即t ＝k 2. ∴抛物线E 的方程为y ＝k 2x 2.∴y ′＝2k 2x .设S (x 0，y 0)，则k m ＝y ′0|x x ＝＝2k 2x 0.假设O ，M ，N 三点共线，∵OM ⊥l ，ON ⊥m ，∴l ∥m .又k l ＝k >0，∴k l ＝k m .∴k ＝2k 2x 0.∴x 0＝12k ，y 0＝k 2x 20＝k 2·14k 2＝14. ∵S 在椭圆C 上，∴x 20a 2＋y 20b2＝1. 结合b ＝2，c ＝2k ，a 2＝b 2＋c 2＝4＋4k2. 得14k 24＋4k2＋1164＝1.∴k 2＝－5963. ∴k 无实数解，矛盾．∴假设不成立．故不存在实数k ，使得O ，M ，N 三点共线．22．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又因为∠PGD ＝∠EGA ，所以∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PFA .又AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，所以∠BDA ＝90°，故AB 为圆的直径．图D133(2)如图D133，连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，所以ED 为圆的直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以ED ＝AB .23．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin30°＝2 55|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为22 55.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为2 55. 24．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥4 2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥2 6ab ≥4 3.由于4 3>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.。