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数值计算⽅法⽅程求根数值计算⽅法实验报告实验内容：⽅程求根实验室：专业班级：学号：姓名：2.⽤MATBAB软件，⽤⼆分法求⽅程f（x）=x^3+4*x^2-10=0在区间[1,2]内根的近似值，为使误差不超过10^-5时所需要的⼆分次数。
function bisection_time(tolerance)a=1;b=2;k=0;while(abs(b-a)>tolerance)c=(a+b)/2;fa=a^3+4*a^2-10;fb=b^3+4*b^2-10;fc=c^3+4*c^2-10;if((fa==0)|(fc==0))disp(k);elseif(fa*fc<0)b=c;k=k+1;elseif(fc*fb<0)a=c;k=k+1;elseif(fb==0)disp(k);endendsoluntion=(a+b)/2;disp(soluntion);disp(k);运⾏结果1.36523176.取x0=1.5，⽤⽜顿迭代法求f（x）=x^3+4*x^2-10=0的跟的近似值function new(tolerance)x0=1.5;k=0;a=x0^3+4*x0^2-10;b=3*x0^2+8*x0;x1=x0-a/b;while(abs(x0-x1)>tolerance)x0=x1;k=k+1;a=x0^3+4*x0^2-10;b=3*x0^2+8*x0;x1=x0-a/b;enddisp(x1);disp(k);运⾏结果1.3652338.弦割法求⽅程f（x）=x^3-3*x^2-x+9=0在区间[-2，-1]内的⼀个实根近似值Xk，使|f(x) |<=10^-5. function xuange(k)x0=-2;x1=-1;t=0;a=x1^3-3*x1^2-x1+9;b=x0^3-3*x0^2-x0+9;x2=x1-a*(x1-x0)/(a-b);while(abs(x1-x0)>k)x0=x1;x1=x2;a=x1^3-3*x1^2-x1+9;b=x0^3-3*x0^2-x0+9;x2=x1-a*(x1-x0)/(a-b);t=t+1;enddisp(x1);disp(t)运⾏结果-1.52510269.⽤艾特肯算法求⽅程f （x ）=x^3+4*x^2+10=0在区间[1,2]内的根的近似值（取X0=1.5，g （x ）=410x ，精确到|Xk+1-Xk|<=10^-5，并与第2,3,6题的相应结果进⾏⽐较。
实验一 方程求根一、实验目的用不同方法求任意实函数方程f （x ）=0在自变量区间[a ，b]内或某一点附近的实根，并比较方法的优劣性。
二、实验方法 （1）二分法对方程f （x ）=0在[a ，b]内求根。
将所给区间二等分，在二分点x=(b-a)/2处判断是否f （x ）=0。
若是，则有根x=(b-a)/2；否则继续判断是否f(a)·f(b)<0,若是，则令b=x ，否则令a=x 。
重复此过程，直至求出方程f(x)=0在[a ，b]内的近似根为止。
（2）迭代法将方程f （x ）=0等价变换为x=φ（x ）的形式并建立相应的近似根为止。
（3）牛顿法设已知方程f （x ）=0的一个近似根x 0,则函数f （x ）在点x 0附近可用一阶泰勒多项式p 1（x ）=f （x 0）+f ’（x 0）（x-x 0）来近似，因此方程f （x ）=0可近似表示为f （x 0）+f ’（x 0）（x-x 0）=0。
设f ’（x 0）≠0，则 x=x 0-f （x 0）/’f （x 0）取x 作为原方程新的近似根x 1，然后再将x 1作为x 0代入上式。
迭代公式为 x k+1=x k -f （x k ）/f ’（x k ）三、实验内容1）在区间[0,1]内用二分法求方程e x +10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5×10-3。
2）取初值x0=0，用迭代公式x k+1=（2-e x k ）/10,(k=0,1,2,…)求方程e x + 10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5×10-3。
3）取初值x 0=0用牛顿迭代法求方程e x + 10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5×10-3。
四、实验程序 （1）二分法（2）迭代法（3）牛顿法五、实验结果（仅供参考）（1）x11=0.09033 （2）x5=0.09052 （3）x2=0.09052六、结果分析由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果，我们可以得出这样的结论：二分法要循环k=10次，迭代法要迭代k=4次，牛顿法要迭代k=2次才能达到精度为0.5×10-3的要求，而且方程e x+10x-2=0的精确解经计算，为0.0905250,由此可知，牛顿法和迭代法的精确度要优越于二分法。
实验四 方程求根实验一. 实验目的（1）深入理解方程求根的迭代法的设计思想，学会利用校正技术和松弛技术解决某些实际的非线性方程问题，比较这些方法解题的不同之处。
（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 解决具体的方程求根问题。
二. 实验要求用Matlab 软件实现根的二分搜索、迭代法、Newton 法、快速弦截法和弦截法，并用实例在计算机上计算。
三. 实验内容1. 实验题目（1）早在1225年，古代人曾求解方程020102)(23=-++=x x x x f 并给出了高精度的实根368808107.1*=x ，试用Newton 法和弦截法进行验证，要求精度610-=ε，并绘制方程的图形。
答：A.Newton 法：a ．编写文件Newton.m 、func4.m 内容如下所示：b.运行，如下所示A为矩阵，由上面可知，对于初值为5，运行7次即可得到所需的精度，验证结果为古人给出的解释正确的；c.作图，编写下面的文件photo1.m.然后运行即可：注意下面中的x矩阵即为刚才计算出来的x系列，k为迭代的次数：a．编写文件Chord.m内容如下所示：b．运行结果如下所示：由上表可知，在精度为10^-6时有7位有效数字，古人的结果还是正确的c．作图，在上面运行后，即运行newton法时写的photo1.m文件即可出现图像：可以看到图中两条曲线基本重合； （2）取5.00=x ，用迭代法求方程x e x -=的根，然后用Aitken 方法加速，要求精度为结果有4为有效数字。
答：a. 编写文件func7.m 和Aiken.m ，内容如下所示：b ．运行：具有四位有效数字 （3）用快速弦截法求解方程01)(=-=x xe x f ，要求精度为610-=ε，取6.05.010==x x ，作为开始值，并绘制1)(-=x xe x f 的图形。
答：对照可知，书本后面的程序已经正确，运行即可：下面为快速弦截法的主程序文件：函数文件如下：运行如下：作图，编写下面的文件：运行该文件就可以y=x*exp(x)-1函数和插值函数的图：可以看到两条直线基本重合在一起了，扩大图片可以看到两条直线是不重合的：2. 设计思想要求针对上述题目，详细分析每种算法的设计思想。
习题2
2.1 试构造迭代收敛的公式求解下列方程：
（1）4
sin cos x x x +=
; (2)x x 24-=。
2.2 方程0123=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式： （1）211x x +=,对应迭代公式2111k
k x x +=+; （2）231x x +=，对应迭代公式3211k k x x +=+;
（3）112-=x x ,对应迭代公式1
11-=+k k x x 。
判断以上三种迭代公式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛公式求出5.10=x 附近的根到4位有效数字。
2.3 已知)(x x ϕ=在[a,b]内有一根*x ，)(x ϕ在[a,b]上一阶可微，且13)(],,[<-'∈∀x b a x ϕ，试构造一个局部收敛于*
x 的迭代公式。
2.4 设)(x ϕ在方程)(x x ϕ=根*x 的邻近有连续的一阶导数，且1)(*<'x ϕ，证明迭代公式)(1k k x x ϕ=+具有局部收敛性。
2.4 )5()(2-+=x x x αϕ，要使迭代法)(1k k x x ϕ=+局部收敛到5*=x ，
则α的取值范围是______________。
2.5 用牛顿法求方程0742)(2
3=---=x x x x f 在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。
2.6 试证用牛顿法求方程0)3()2(2=+-x x 在[1,3]内的根2*=x 是线性收敛的。
2.7 应用牛顿法于方程03
=-a x , 导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。
力学公式总结力学是物理学的一个重要分支，研究物体在外界作用下的运动和力的关系。
在力学研究中，有许多核心的公式被广泛使用。
本文档将总结一些常见的力学公式，并提供其含义和应用场景。
1. 牛顿第一定律牛顿第一定律又被称为惯性定律，它规定如果没有外力作用于物体，物体将保持匀速直线运动或静止状态。
公式：F = 0应用：在没有外力的情况下，物体的加速度为零，速度保持不变。
2. 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了物体在外力作用下的加速度与所受力的关系。
公式：F = ma其中，F为作用于物体的力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
应用：通过测量物体的质量和所受力，可以计算出物体的加速度。
3. 牛顿第三定律牛顿第三定律也被称为作用反作用定律，它规定对于任意两个物体，彼此之间的作用力大小相等、方向相反。
公式：F₁ = -F₂其中，F₁和F₂分别表示两个物体之间的作用力。
应用：当物体受到外界力的作用时，会对其他物体产生相等大小、方向相反的力。
4. 动能公式动能是物体运动时拥有的能量，它与物体的质量和速度有关。
公式：K = (1/2)mv²其中，K为动能，m为物体的质量，v为物体的速度。
应用：可以通过测量物体的质量和速度，计算出物体的动能。
5. 动量定理动量定理描述了物体受到外力作用时动量的变化。
公式：FΔt = Δp = mΔv其中，F为作用力，Δt为作用时间，Δp为动量的变化量，m为物体的质量，Δv为速度的变化量。
应用：可以通过测量作用力、作用时间和物体质量，计算出物体的动量变化量。
6. 弹力公式弹力是一种恢复性力，当物体受到压缩、拉伸或弯曲时产生。
公式：F = kΔx其中，F为弹力，k为弹簧常数，Δx为物体弹性变形的位移量。
应用：通过测量弹簧常数和物体弹性变形的位移量，可以计算出物体所受的弹力。
7. 万有引力定律万有引力定律描述了两个物体之间的引力大小与它们的质量和距离的关系。
公式：F = G(m₁m₂/r²)其中，F为引力，G为万有引力常数，m₁和m₂为两个物体的质量，r为两个物体之间的距离。
方程求根§2.0 引言§2.1 二分法§2.2 简单迭代法§2.3 牛顿（Newton）法§2.4 其它求根方法（迭代过程的加速方法）§2.5 作业讲评2.0 引 言非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，非线性方程的求根也成为其中一个重要内容。
一般而言，非线性方程的求根非常复杂。
在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如（1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,需要求x-tanx=0的根（2）在行星轨道（ planetary orbits ）的计算中,对任意的a 和b ，需要求x-asinx=b 的根（3）在数学中，需要求n 次多项式-1-110 ... 0n n n n a x a x a x a ++++=的根。
非线性方程的一般形式 ()0f x = 这里()f x 是单变量x 的函数，它可以是代数多项式-1-110() ... nn n n f x a x a x a x a =++++ (0n a ≠)也可以是超越函数，即不能表示为上述形式的函数。
满足方程 ()0f x = 的x 值通常叫做方程的根或解，也叫函数()0f x =的零点。
2.1 二分法(Bisection Method)1 概念:二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。
在用近似方法时，需要知道方程的根所在区间。
若区间[a,b]含有方程f(x)=0的根，则称[a,b]为f(x)=0的有根区间；若区间[a,b]仅含方程f(x)= 0的一个根，则称[a,b]为f(x)= 0的一个单根区间。
2．基本思想根的存在定理(零点定理)：f(x)为[a,b]上的连续函数，若f(a)·f(b)<0，则[a,b]中至少有一个实根。
如果f(x)在[a,b]上还是单调递增或递减的，则f(x)=0仅有一个实根。
高中物理力学公式引言物理力学是研究物体运动和作用力的科学，是高中物理课程的重要内容之一。
在学习物理力学过程中，掌握和运用各种力学公式是必不可少的，本文将介绍一些高中物理力学常用的公式。
1. 牛顿运动定律牛顿运动定律是物理力学的基础，共有三条定律：第一定律（惯性定律）一个物体如果处于静止状态，将会继续保持静止；一个物体如果处于匀速直线运动状态，将会继续以相同的速度和方向运动。
第二定律（牛顿定律）当施加在一个物体上的合力不为零时，物体将产生加速度，加速度与合力成正比，与物体质量成反比。
公式为：F = ma其中，F为合力（单位：牛顿），m为物体的质量（单位：千克），a为物体的加速度（单位：米/秒²）。
第三定律（作用与反作用定律）两个物体之间作用力的大小相等、方向相反，且作用在同一条线上。
2. 速度和加速度速度是物体在单位时间内移动的距离，加速度是物体在单位时间内速度改变的大小。
速度公式v = Δs / Δt其中，v为速度（单位：米/秒），Δs为位移（单位：米），Δt为时间（单位：秒）。
加速度公式a = Δv / Δt其中，a为加速度（单位：米/秒²），Δv为速度变化量，Δt为时间（单位：秒）。
3. 动能和势能动能公式动能是物体由于运动而具有的能量。
对于质点，动能公式为：K = 1/2 * mv²其中，K为动能（单位：焦耳），m为质点的质量（单位：千克），v为质点的速度（单位：米/秒）。
势能公式势能是物体由于位置而具有的能量。
常见的势能有重力势能和弹性势能。
重力势能公式为：Ep = mgh其中，Ep为重力势能（单位：焦耳），m为物体的质量（单位：千克），g 为重力加速度（单位：米/秒²），h为物体的高度（单位：米）。
弹性势能公式为：Es = 1/2 * kx²其中，Es为弹性势能（单位：焦耳），k为弹性系数（单位：牛/米），x为弹簧的伸长量（单位：米）。
牛顿法重根问题-概述说明以及解释1.引言1.1 概述牛顿法是一种经典的数值计算方法，广泛应用于解决方程和优化问题。
它基于牛顿-拉夫逊方程而得名，由数学家伊萨克·牛顿在17世纪提出。
牛顿法的基本思想是通过不断迭代逼近函数的零点或最值点。
它通过计算函数在某点的导数和函数值的比值，确定函数在该点的局部线性近似，然后以该近似替代原函数，再求出近似函数的零点或最值点，不断迭代直至满足收敛条件。
重根问题是在求解方程时遇到的一类特殊情况。
当一个多项式函数有重复根时，常规的数值方法往往会失效，因为函数的导数在重根处为零，导致求解过程中出现除零操作或梯度无法更新的情况。
因此，如何有效地解决重根问题一直是数值计算中的挑战之一。
本文将从牛顿法的基本原理出发，介绍牛顿法在解决重根问题中的应用。
首先，我们将详细讨论牛顿法的原理和算法流程，以及收敛性和速度等方面的特点。
接着，我们将引入重根问题的定义和背景，并讨论重根问题对牛顿法的影响。
最后，我们将重点探讨牛顿法在解决重根问题中的应用方法及改进策略，并通过实例验证其有效性。
通过本文的研究，我们将对牛顿法在解决重根问题中的优势和局限性有更深入的了解，为其在实际问题中的应用提供指导和参考。
此外，我们还将展望牛顿法在其他数值计算问题中的潜在应用，并总结研究结果，为今后的相关研究提供思路和方向。
综上所述，本文旨在探讨牛顿法在解决重根问题中的应用，并通过分析和研究为其在实践中的应用提供理论基础和实践指导。
希望通过本文的阐述，读者能够更好地理解牛顿法及其在解决重根问题中的价值。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面展开：1.2 文章结构：本文将分为三个主要部分来介绍牛顿法在解决重根问题中的应用。
首先，在引言部分，我们将对牛顿法和重根问题进行概述，介绍文章的主要结构和目的。
接着，在正文部分，我们将详细阐述牛顿法的基本原理，并给出重根问题的定义和背景。
然后，我们将重点讨论牛顿法在解决重根问题中的应用，探讨其优势和适用性。
求根公式分解因式根公式是一种用于求解二次方程的方法，即形如ax^2+bx+c=0的方程。
根公式可以用来分解因式和求方程的根。
根公式是根据二次方程的一般形式ax^2+bx+c=0来得出的，其中a、b、c是已知数且a ≠ 0。
根公式的表达式为：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中±表示两个解，即正根和负根。
b^2-4ac称为判别式，根据判别式的正负可以判断方程的根的情况：1.当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根。
2.当判别式等于0时，方程有且仅有一个实数根，且该根为重根。
3.当判别式小于0时，方程没有实数根，有两个共轭复数根。
除了在分解因式和求解二次方程时使用根公式外，根公式还可以拓展到更高次方程的求解中。
对于三次方程和四次方程，也可以使用类似的根公式来求解其根。
例子1：分解因式将二次方程x^2+5x+6=0进行因式分解。
首先，计算判别式：b^2-4ac = 5^2 - 4*1*6 = 25 - 24 = 1由于判别式大于0，所以方程有两个不相等的实数根。
根据根公式，可以得到解为：x = (-5±√1)/(2*1) = (-5±1)/2所以方程的解为：x = -3或x = -2因此，可以将方程因式分解为(x+3)(x+2)=0。
例子2：求解二次方程的根求解二次方程2x^2-5x-3=0。
首先，计算判别式：b^2-4ac = (-5)^2 - 4*2*(-3) = 25 + 24 = 49由于判别式大于0，所以方程有两个不相等的实数根。
根据根公式，可以得到解为：x = (5±√49)/(2*2) = (5±7)/4所以方程的解为：x = 3/2或x = -1因此，该方程的根为3/2和-1。
拓展：除了二次方程外，也可以使用类似的方法来求解高次方程。
对于三次方程，可以使用卡尔达诺公式来求解；对于四次方程，可以使用费拉里公式来求解。
力学运动学公式
以下是部分力学运动学公式：
1. 平均速度公式：V=S/t，其中V表示平均速度，S表示位移，t表示时间。
2. 匀变速直线运动的平均速度公式：V=(v1+v2)/2，其中v1和v2分别是
初速度和末速度，V是平均速度。
3. 加速度定义式：a=(v2-v1)/t，其中a是加速度，v2是末速度，v1是初
速度，t是时间。
4. 牛顿第二定律：F合＝ma或a＝F合/ma，其中F合表示合外力，m表
示质量，a表示加速度。
5. 共点力的平衡：F合＝0，推广有正交分解法、三力汇交原理。
6. 超重和失重的公式：超重时，FN>G；失重时，FN<G。
其中FN表示支
持力，G表示重力。
以上公式仅供参考，如需更多公式，建议查阅相关资料或咨询专业人士。
结果为0的数学公式在数学中，我们经常遇到各种各样的公式和方程。
其中，有一类特殊的数学公式，它们的结果为0。
这些公式在数学研究和实际应用中起着重要的作用。
本文将介绍几个以结果为0的数学公式，并解释它们的意义和应用。
1.一元二次方程的根一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)当方程的解为0时，即x = 0时，可以得到以下公式：(-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) = 0通过整理可以得到：b^2 - 4ac = 0这就是一元二次方程的判别式，当判别式等于0时，方程有且仅有一个实根，且该根为0。
这个公式在求解二次方程的根的过程中起着关键的作用。
2.欧拉公式欧拉公式是数学中最重要的公式之一，它将数学中的五个基本常数e、i、π、0和1联系在了一起。
欧拉公式的表达式如下：e^(iπ) + 1 = 0这个公式将自然对数的底e、虚数单位i、圆周率π和0、1这五个数通过指数、幂运算和加法联系在了一起。
欧拉公式在数学分析、物理学和工程学中有广泛的应用，被认为是数学中最美丽的公式之一。
3.费马大定理费马大定理是数学中最著名的问题之一，它由法国数学家费马在17世纪提出，直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费马大定理的表述如下：当n大于2时，对于任意的正整数a、b、c，方程a^n + b^n = c^n 没有整数解。
当n取2时，即费马最后定理的特例，我们可以得到以下公式：a^2 + b^2 = c^2这就是著名的勾股定理，描述了直角三角形的边长之间的关系。
当a、b、c满足勾股定理时，我们可以得到一个结果为0的数学公式。
4.拉格朗日方程拉格朗日方程是经典力学中的重要公式，用于描述力学系统中的运动。
对于一个具有n个自由度的系统，拉格朗日方程可以表示为：d/dt(∂L/∂(dq_i)) - ∂L/∂q_i = 0其中L为系统的拉格朗日函数，q_i为广义坐标，t为时间。
