下载文档原格式
一、概述内积空间是数学分析中的重要概念，它对于函数空间中的内积、范数等性质起到了至关重要的作用。
在内积空间中，Schwarz不等式是一条极为重要的不等式，它具有广泛的应用，不仅在数学分析中有着重要意义，还在物理学、工程学等领域有着重要的应用。
二、内积空间1. 内积空间的定义内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运算。
对于向量空间V中任意两个元素x和y，内积运算满足线性、对称、正定性三条性质。
2. 内积空间的例子实数空间R^n和复数空间C^n都是内积空间的例子。
在R^n和C^n 中，内积运算定义为向量的点积或内积。
3. 内积空间的性质内积空间的范数由内积定义，满足范数的性质，如三角不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
三、Schwarz不等式1. 基本形式对于内积空间V中的任意两个元素x和y，Schwarz不等式表示为|〈x，y〉|<= ‖x‖‖y‖。
2. 证明Schwarz不等式的证明可以通过多种方法，最基础的是使用Cauchy-Schwarz不等式，也可以通过线性代数的方法和实分析的方法进行证明。
3. 应用Schwarz不等式在实际问题中有着广泛的应用，如在概率论中的卡尔曼滤波器、信号处理中的最小二乘法、泛函分析中的逼近理论等领域均有应用。
四、Schwarz不等式的推广1. Bessel不等式Bessel不等式是Schwarz不等式的推广，它涉及到内积空间的正交基的概念。
对于内积空间V中的正交基{e_1,e_2,…,e_n}以及向量x∈V，Bessel不等式表示为∑_(i=1)^n |〈x, e_i〉| ^2 <= ‖x‖^2。
2. Hölder不等式Hölder不等式是Schwarz不等式的另一种推广，它是一种关于积分的不等式，涉及到Lp空间和Lq空间中函数的积分。
3. Minkowski不等式Minkowski不等式是Schwarz不等式的另一种推广，它是一种关于向量空间中范数的不等式，涉及到向量的加法和范数的性质。
内积空间基本概念内积空间是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍内积空间的基本概念，包括内积的定义、内积空间的性质以及常见的内积空间。
一、内积的定义内积是定义在向量空间上的一种运算，用于度量向量之间的夹角和长度。
在内积空间中，向量的内积满足以下四个性质：1. 正定性：对于任意非零向量x，有(x, x) > 0，且只有当x=0时，有(x, x) = 0。
2. 对称性：对于任意向量x和y，有(x, y) = (y, x)。
3. 线性性：对于任意向量x、y和标量a，有(a*x, y) = a*(x, y)和(x+y, z) = (x, z) + (y, z)。
4. 共轭对称性：当内积空间为复数域时，对于任意向量x和y，有(x, y) = conj(y, x)，其中conj表示复共轭。
二、内积空间的性质在内积空间中，除了满足内积的定义性质外，还具有以下重要性质：1. 内积空间是一个实数或复数域上的向量空间。
它包含了一组向量以及定义在这组向量之间的内积运算。
2. 内积空间具有加法和数乘运算，满足向量空间的定义。
3. 内积空间中的向量可以进行正交和投影运算。
正交是指两个向量的内积为零，而投影则是将一个向量分解为另一个向量的线性组合，使得两向量正交。
4. 内积空间中的向量可以通过内积的概念定义长度和夹角。
长度定义为向量自身与自身的内积开方，夹角定义为向量之间的夹角的余弦值。
三、常见的内积空间1. 实数内积空间：在实数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。
常见的实数内积空间包括欧几里得空间和函数空间。
2. 复数内积空间：在复数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。
复数内积空间常用于量子力学和信号处理等领域。
3. 内积空间的子空间：内积空间中的子集也可以构成一个内积空间，称为内积空间的子空间。
子空间具有与内积空间相同的内积定义及性质。
四、总结内积空间是线性代数中的重要概念，它不仅能够度量向量的长度和夹角，还能够进行正交和投影运算，并在许多领域中发挥着重要作用。
第四章Hilbert 空间一 内积空间的根本概念设H 是域K 上的线性空间，对任意H y ,x ∈，有一个中K 数),(y x 与之对应，使得对任意H z ,y ,x ∈；K ∈α满足1） 0)y ,x (≥；)y ,x (＝0，当且仅当 0x =； 2） )y ,x (＝___________)x ,y (；3） )y ,x ()y ,x (αα=；4）)z ,y x (+＝)z ,x (＋)z ,y (；称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。
定理1.1设H 是内积空间，那么对任意H y x ∈,有：|)y ,x (|2)y ,y )(x ,x (≤。
设H 是内积空间，对任意H x ∈，命),(||||x x x =那么||||⋅是H 上的一个范数。
例 设H 是区间],[b a 上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意H y x ∈,，定义dt t y t x y x ba⎰=________)()(),(那么与],[2b a L 类似，),(y x 是一个内积，由内积产生的范数为212)|)(|(||||⎰=badt t x x上一个内积介不是Hilbert 空间。
定理 1.2 设H 是内积空间，那么内积),(y x 是y x ,的连续函数，即时x x n→，y y n→，),(),(y x y x nn→。
定理1.3 设H 是内积空间，对任意H y x ∈,，有以下关系式成立，1） 平行四边形法那么：2||||y x +＋2||||y x -＝2)||||||(||22y x +；2） 极化恒等式：),(y x ＝41〔2||||y x +－2||||y x -＋2||||iy x i +－)||||2iy x i -定理1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法那么，那么可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。
二 正交性，正交系 1 正交性设H 是内积空间，H y x ∈,，如果0),(=y x ，称x 与y 正交，记为y x⊥。
第四章
Hilbert 空间
一 内积空间的基本概念
设H 是域K 上的线性空间，对任意H y ,x ∈，有一个中K 数
),(y x 与之对应，使得对任意H z ,y ,x ∈；K ∈α满足
1） 0)y ,x (≥；)y ,x (＝0，当且仅当 0x =； 2） )y ,x (＝_
__________)x ,y (；
3） )y ,x ()y ,x (αα=；
4）
)z ,y x (+＝)z ,x (＋)z ,y (；
称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。
定理1.1设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有：
|)y ,x (|2
)y ,y )(x ,x (≤。
设H 是内积空间，对任意H x ∈，命
),(||||x x x =
则||||⋅是H 上的一个范数。
例 设H 是区间],[b a 上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意H y x ∈,，定义
dt t y t x y x b
a
⎰=________
)()(),(
则与],[2b a L 类似，),
(y x 是一个内积，由内积产生的范数为
2
12
)
|)(|(||||⎰=b
a
dt t x x
上一个内积介不是Hilbert 空间。
定理 1.2 设H 是内积空间，则内积),(y x 是y x ,的连续函数，即时x x n
→，y y n
→，),(),(y x y x n
n
→。
定理1.3 设H 是内积空间，对任意H y x ∈,，有以下关系式成立，
1） 平行四边形法则：
2
||
||y x +＋2
||
||y x -＝2)||||||(||2
2
y x +；
2） 极化恒等式：
),(y x ＝4
1
（2
||
||y x +－
2
||
||y x -＋
2
||
||iy x i +－
)||||2
iy x i -
定理1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。
二 正交性，正交系 1 正交性
设H 是内积空间，H y x ∈,，如果0),(=y x ，称x 与y 正交，记为y x
⊥。
设M 是H 的任意子集，如果H x ∈与M 中每一元正交，称x 与M 正交，记为M x ⊥；如果N M ,是H 中两个子集，
对于任意
,M x ∈,N y ∈y x ⊥，称M 与
N
正交，记
N M ⊥。
设M 是H 的子集，所有H 中与M 正交的元的全体
称为M 的正交补，记为⊥
M 。
定理2.1 设H 是内积空间 1） 如果H z ,y ,x ∈，z y x
+=且z y ⊥，则2
||
||x ＝
2
||
||y ＋2
||
||z ；
2） 如果
L 是H 的一个稠密子集，即H L =__
，并且
L x ⊥，则0=x ；
3）
M 是H 的任意子集，则⊥
M 是H 的闭子空间。
定理 2.2 设M 是内积空间H 中的完备凸集，则对任意
H x ∈，存在M x ∈0
，使得
||||0
x x -＝),(M x d ||||inf y x M
y -=∈
定理2.3（正交分解）设M 是Hilbert 空间H 的闭子空间，则对任意H x ∈，存在唯一的M x ∈0及⊥
∈M y ，使得
y x x +=0
2 正交系
设}{αx ，I ∈α是内积空间H 中的子集，如果β
α
≠时
0),(=βαy x ，
称}{αx ,I ∈α是中的一个正交系。
设}{αx ,I ∈α是一个正交系，如果对每一上I ∈α，
1||||=αx ,称}{αx ,I ∈α是
一个标准正交系。
设}{αx ，I ∈α是H 的一个正交系，如果包含它的最小闭子空间是全空间H ，称}{αx ,I ∈α是的正交基。
定理2.4 设}{n e 是内积空间H 中的标准正交系，H x ∈，
n
α
α,...,1
是n 个数，则当且当仅),(k
k
e x =α),...,1(n k =时，
||||1
∑-=n
k k
k
e x α取最小值。
定理2.5（Bessel 不等式）设}{n e 是内积空间H 中的标准正交系，则对任意H x ∈，有
∑≤∞
=1
2
2
||
|||),(|k k
x e x
定理2.6 设}{n e 是内积空间中的一个标准正交系，则}{n e 是完备的，当且仅当}{n e 张成的子空间L 在H 中稠密。
定理 2.7 设H 是Hilbert 空间，}{n e 是H 中的标准正交系，则}{n e 是完备的，当且仅当}{n e 是完全的。
定理 2.8 设H 是Hilbert 空间，}{n e 是H 中的标准正交系，2
}{l n ∈ξ，则存在H x ∈，使得
),(k
k
e x =ξ,...)2,1(=k
并且
2
1
2
||
||||x k k
=∑∞
=ξ
定理2.9（正交化定理）设}{n x 是内积空间H 中的可数子集，则在H 中存在标准正交系}{n e ，使得}{n x 与}{n e 张成的子空间相同。
3 可分空间的同构
定理2.10 设H 是任一可分的无穷维的Hilbert 空间，则存在
H 上到2
l
同构映射ϕ，且ϕ保持内积。
这个定理表示任何一个无穷维中分空间可以表示为“坐标形式”
2
l
三 Riesz 表示定理，Hilbert 空间的共轭空间
1
Riesz 表示定理
定理3.1（Riesz 表示定理）设H 是Hilbert 空间，f 是H 上
任意有界线性泛函，则存在唯一的
H
y f
∈，使得对于每一个
H x ∈，有),()(f
y x x f =，并且有||||||||f
y f =。
2空间的共轭空间
设H 是Hilbert 空间，)(H A β∈，于是对任意H y ∈，易见),(y Ax )(H x ∈是H 上的一个有界线性泛函，因此由Riesz 表示定理，存在唯一的H z ∈，使得
),(y Ax ＝),(z x )(H x ∈
（1）
定义z By
=。
定义 设H 是Hilbert 空间，)(H A β∈，把（1）式确定的有界线性算子B 称为A 的共轭算子。
注意区别第三章第四节中定义H 上的有界线性算子A 的共轭算子*
A 。
以后说到Hilbert 空间H 上的有界算子的共轭算子A 均指（1）定义的算子B ，并且把它记为*
A ，即A 的共轭算子*
A 是由下式定
义的算子：
),(),(),(H y x Ay x y Ax ∈= 。
定义 设H 是Hilbert 空间，A 是H 上的有界线性算子，如果
*
A ＝A ，即对任意H y x ∈,
),(),(Ay x y Ax =
则称A 是自共轭算子。
设A 是Hilbert 空间H 的有界共轭算子，以下是算子A 的一些简单性质。
1） 对任意H x ∈，),(x Ax 是实的。
2）
|),(|sup ||||1
||||x Ax A x ==
3） 算子A 的特征值是实的。
4） 对应于算子A 的不同特征值21,λλ的特征向量21,x x 是正交
的。
四
Hilbert 空间中的自共轭紧算子
引理4.1 设H 是Hilbert 空间，A 是H 上的有界共轭算子，如果存在H x ∈0，1||||
=x ，使得泛函|),(||)(|x Ax x =ϕ在
x
点达到极大，则由0),(0=
y x 可推出=),(0
y Ax ),(0
Ay x ＝
0。
定理 4.2)(Schmidt Hilbert -
设A 是Hilbert 空间H 上
的自共轭紧算子，则存在对应于特征值}{n λ)0(≠n
λ的特征向量
构成的标准正交系}{n e ，使得每一元H x ∈可唯一地表示为
'0
x
e x k
k
k
+∑=α，
其中)('
0A x N ∈，即满足0'
=Ax ，同时
∑=k
k
k
k
e
Ax αλ
并且如果}{n e 是无穷的，则n n λ∞
→lim ＝0。
