第三章 内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵

第三章 内积空间基本概念在几何分析时，向量的长度、夹角是基本的度量。

§3.1 内积空间基本概念定义 1.1 设V 为数域()C 或R F 上线性空间，若有一法则使V 任两向量βα,确定F 中唯一的数，记为〉〈βα,，且〉〈βα,满足：（1）〉〈=〉〈βααβ,,，V ∈∀βα,；（共轭对称） （2）〉〈+〉〈=〉+〈γβγαγβα,,,，V ∈∀γβα,,； （3）,,,〉〈=〉〈βαβαk k F k ∈∀，V ∈∀βα,； （4）0,≥〉〈αα，且等号成立当且仅当θα=。

则称><βα,为βα,的内积，V 为内积空间。

特别C F =时称()C V 为酉空间，R F =时称()R V 为欧氏空间。

注 （1）〉〈+〉〈=〉+〈γαβαγβα,,,；〉+〈=〉+〈αγβγβα,, 〉〈+〉〈=αγαβ,, 〉〈+〉〈=αγαβ,,〉〈+〉〈=γαβα,,；（2）〉〈=〉〈βαβα,,k k ； （3）0,,=〉〈=〉〈αθθα。

例1 在n R 中定义,,X Y Y X T =〉〈n R 为欧氏空间。

例2 在n R 中定义,,AX Y Y X T =〉〈其中A 为n 阶正定矩。

例3在n R 中定义,,X Y Y X T =〉〈，n C 为酉空间。

例4 n n C ⨯中TH H B B trAB B A =>=<,,。

例5 ()b a R V ,)(=上一切连续函数的集合),(b a C ，()(),,dx x g x f g f ba ⎰>=<()()V x g x f ∈∀,，()R V 是欧氏空间。

定义1.2 设n ααα,,,21 为内积空间V 的一组基，记,,ij j i g x x =〉〈()n j i ,,2,1, =，则称n 阶矩阵ij g G =，故G G H =。

定理1.1 设内积空间V 的一组基{}ni 1α的度量矩阵为G ，V 中向量βα与在该基下坐标向量分别为Y X ,，则X G Y Y G X T H T =>=<βα,。

hemite矩阵Hemite矩阵是一种特殊的矩阵，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

本文将对Hemite矩阵的定义、性质以及应用进行介绍。

我们来定义Hemite矩阵。

Hemite矩阵是一个对称矩阵，它的元素满足以下递推关系：H(n+1, m) = 2nH(n, m) - 2mH(n-1, m)，其中n和m是非负整数，H(n, m)表示Hemite矩阵的第n行第m列的元素。

Hemite矩阵具有一些特殊的性质。

首先，Hemite矩阵是对称矩阵，即H(n, m) = H(m, n)。

其次，Hemite矩阵的对角元素均为非零整数，且随着n的增大，对角元素的绝对值也增大。

此外，Hemite矩阵的非对角元素满足一定的关系，即H(n, m) = 2H(n-1, m+1) - H(n-2, m)。

Hemite矩阵在数学和物理学中有着广泛的应用。

首先，Hemite矩阵可以用来解决一些特殊的微分方程。

例如，一维谐振子的时间演化可以通过Hemite矩阵的对角化来求解。

此外，Hemite矩阵还可以用来描述某些量子力学系统的能级结构。

在量子力学中，Hemite矩阵的本征值代表了系统的能级，而本征向量则对应着能级的波函数。

除了在数学和物理学中的应用，Hemite矩阵在工程和计算机科学领域也有着重要的作用。

例如，在信号处理中，Hemite矩阵可以用来对信号进行分析和处理。

Hemite矩阵在图像处理和模式识别中也有着广泛的应用。

通过对Hemite矩阵进行变换和处理，可以提取图像中的特征，并用于图像的分类和识别。

总结起来，Hemite矩阵是一种特殊的对称矩阵，它具有一些特殊的性质。

在数学和物理学中，Hemite矩阵被广泛应用于微分方程的求解和量子力学系统的能级结构描述。

此外，Hemite矩阵在工程和计算机科学领域也有着重要的应用，如信号处理、图像处理和模式识别等。

通过对Hemite矩阵的研究和应用，我们可以更好地理解和处理各种复杂的问题，推动科学技术的发展。

a的hermite矩阵a的Hermite矩阵是指针对一个向量a，通过一定的计算方法得到的特殊矩阵。

Hermite矩阵是数学中的一种重要概念，它在各个领域都有广泛的应用，尤其在量子力学和信号处理中起着重要的作用。

我们来了解一下什么是Hermite矩阵。

Hermite矩阵是一个n×n的矩阵，其中的元素由向量a的各个分量以及它们的导数组成。

具体来说，Hermite矩阵的第i行第j列的元素是aij=a_i^(j-1)，其中a_i^(j-1)表示向量a的第i个分量的(j-1)阶导数。

Hermite矩阵在量子力学中有着重要的应用。

在量子力学中，波函数描述了粒子的状态，而波函数的演化则可以通过薛定谔方程来描述。

薛定谔方程是一个偏微分方程，其中的波函数满足Hermite特征值问题，即Hermite矩阵作用于波函数得到的结果等于波函数乘以一个常数。

Hermite矩阵在信号处理中也有广泛的应用。

在信号处理中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而Hermite矩阵可以作为一种工具，帮助我们理解信号的特性和进行信号的变换。

通过对信号进行Hermite变换，我们可以把信号从时域转换到频域，从而更好地理解信号的频率成分和谐波关系。

除了在量子力学和信号处理中的应用，Hermite矩阵还被广泛应用于其他领域。

比如，在数值计算中，Hermite插值多项式可以用来逼近函数的值和导数值，从而进行数值计算和近似求解。

在优化问题中，Hermite插值可以用来构造一维和多维的插值模型，从而进行优化算法的设计和求解。

此外，Hermite矩阵还在图像处理、机器学习等领域中有着重要的应用。

总结起来，a的Hermite矩阵是通过对向量a的各个分量及其导数进行计算得到的特殊矩阵。

它在量子力学和信号处理中有着重要的应用，可以帮助我们理解和处理波函数的演化以及信号的特性和变换。

此外，Hermite矩阵还在数值计算、优化问题、图像处理和机器学习等领域中发挥着重要的作用。

第3章 内积空间 正规矩阵 Hermite 矩阵3-1．已知A=（ij a ）是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量α=[1x ,2x ,…, n x ], β=[1y ,2y ,…, n y ]，定义内积(α, β)= αA H β (1) 证明在上述定义下，nC 是酉空间； (2) 写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式. 3-2．已知A= 2 1 -1 1 -31 1 -1 0 1⎛⎫⎪⎝⎭，求N(A)的标准正交基.3-3．已知(1) A=3083-16-20-5⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (2) A=-1-26-103-1-14⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭试求酉矩阵U ，使得HUAU 是上三角矩阵.3-4．试证：在nC 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵. 3-5．验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使HUAU 为对角矩阵，已知(1) A=131612⎛ ⎪ ⎪⎝⎭(2) A=0-110000i i ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) A=194+34-6-2-44-3-2-66+2-2-60i i i ii i i i ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭(1) A=1-111⎛⎫⎪⎝⎭3-6．求正交矩阵Q ，使TQ AQ 为对角矩阵，已知(1) A=2-20-21-20-20⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(2) A=110-111-100-111-1011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3-7．试求矩阵P ，使HP AP=E(或TP AP=E)，已知(1) A=1i 1+i -i 011-i 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2) A=22-225-4-2-45⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3-8．设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于-1，试证：矩阵E+U 满秩，W=i(E-U)()1E U -+是Hermite 矩阵.反之，若W 是Hermite 矩阵，则E-iW 满秩，且U=(E+iW)()1E-iW -是酉矩阵. 3-9．若S,T 分别是实对称和反实对称矩阵，且det(E-T-iS )≠0，试证：(E+T+iS)()-1E T iS ++是酉矩阵.3-10．设A 、B 均是实对称矩阵，试证：A 与B 正交相似的充要条件是A 与B 的特征值相同.3-11．设A 、B 均是Hermite 矩阵，试证：A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同.3-12．设A 、B 均是正规矩阵，试证：A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同. 3-13．设A 是Hermite 矩阵，且2A =E ，则存在酉矩阵U ，使得： HUAU=r 000E ⎛⎫⎪⎝⎭3-14．设A 是Hermite 矩阵，且2A =E ，则存在酉矩阵U ，使得：H U AU=rn-00-r E E ⎛⎫⎪⎝⎭3-15．已知Hermite 二次型123121321233133(z )=(x ,x ,x )=-i x x -x x +i x x -i x x-x x +i x x f f求酉变换Z=Uy 并将(z)f 化成标准型. 3-16．已知Hermite 二次型12312132231331333(x ,x ,x )=x x +i x x +2x x -i x x +i x x2222f求酉变换Z=Uy 并将123(x ,x ,x )f 化成标准型.3-17．设A 为正定Hermite 矩阵，B 为反Hermite 矩阵，试证：AB 与BA 的特征值实部都为0.3-18．设A 、B 均是Hermite 矩阵，且A 正定，试证：AB 与BA 的特征值都是实数. 3-19．设A 是半正定Hermite 矩阵，且A ≠0，试证：1A E +>.3-20．设A 是半正定Hermite 矩阵，A ≠0,B 是正定Hermite 矩阵，试证：A B A +> 3-21．设A 为正定Hermite 矩阵，且m nA U⨯∈，则A=E.3-22．试证：(1)两个半正定Hermite 矩阵之和是半正定的；(2)半正定Hermite 矩阵与正定Hermite 矩阵之和是正定的.3-23．设A 是正定Hermite 矩阵，B 是反正定Hermite 矩阵，试证：A+B 是可逆矩阵. 3-24．设A 、B 是n 阶正规矩阵，试证：A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似. 3-25．设HA =A ，试证：总存在t>0，使得A+tE 是正定Hermite 矩阵，tE A -是负定Hermite 矩阵.3-26．设A,B 均为正规矩阵.且AB=BA ，则AB 与BA 均为正规矩阵.3-27．设=-H A A ，试证：1()()U A E A E -=+-是酉矩阵.3-28．设A 为n 阶正规矩阵.12n λλλ ，，，为A 的特征值，试证：HA A 的特征值为22212,,,n λλλ .3-29．设m nA C⨯∈,试证：(1)H A A 和H AA 都是半正定的Hermite 矩阵；(2) H A A 和HAA 的非零特征值相同.3-30．设A 是正规矩阵. 试证：(1)若r A =0（r 是自然数），则A=0；（2）若2=A A ，则H =A A ; (3)若32=A A ，则2=A A . 3-31．设H =A A ，H=-B B ,证明以下三个条件等价：(1)A+B 为正规矩阵；(2)AB=BA ；(3)()=-HAB AB . 3-32．设n nA C⨯∈，那么A 可以唯一的写成A=S+iT ，其中S,T 为Hermite 矩阵，且A 可以唯一的写成A=B+C ，其中B 是Hermite 矩阵，C 是反Hermite 矩阵.3-33. 设nR 是n 维实(列)向量空间，若： 12=a ,,,T n α （a a ），12=,b ,,T n β （b b ） 令()1122,==a b ++T T n n a b a b αβαββα=验证，所规定的(α,β)满足定义3.1.1中的四个条件.因此在这样定义内积后nR 成为欧氏空间.3-34. 设在2R 中队向量()12=,Ta a α和()12=,Tb b β规定内积()11122122,2a b +++a b a b a b αβ=试证：2R 是欧氏空间.3-35. 设在2n 维空间n nR⨯中对向量(n 阶矩阵)A,B 规定内积为()(),,Tn n A B tr A BA B R ⨯=∈试证：n nR⨯是欧氏空间.3-36. 用[]a,C b 表示闭区间[]a,b 上的所有实值连续函数构成的实线性空间，对任意(x)f 、[]g(x)a,C b ∈，规定(),=(x)g(x)d ax bf g f ⎰验证，这样规定的(),f g 是[]a,C b 上的一个内积，从而[]a,C b 成为一个欧式空间. 3-37. 设A 为n 阶正定矩阵，对于nR 中任意两个列向量X,Y .规定 (),T X Y X AY =验证(),X Y 是nR 上的一个内积，于是nR 成为一个欧氏空间.3-38. 设nC 是n 维复(列)向量空间，若1212=(a ,a ,,a )=(b ,b ,,b )T T n n αβ命 ()()1122,==+++=TH n n a b a b a b αββαβα验证，所规定的(),αβ满足定义3.1.2中的四个条件，因此nC 成为一个酉空间. 3-39. 在n nC⨯中，对任意,n nA B C⨯∈定义()(),TA B tr AB =验证(),A B 是n nC⨯的一个内积，从而n nC⨯成为一个酉空间. ()tr A 表示A 的迹，即()tr A 是A 的主对角元素之和. 3-40. 在空间4R 中，设()1=1-11-1T α，，， ()2=51,1,1T α， ()3=33,1,3Tα---，求{}123span ααα，，的一个标准正交基. 3-41. 已知()1=1-1i i Tα，，， ()2=-11i i Tα，，， ()3=11i i Tα，，，求{}123span ααα，，的一个标准正交基.3-42. 设n C α∈，且=1Hαα，若 =2H n n n H E C αα⨯-∈ 则H 是酉矩阵. 3-43. 试证11cos sin 1=1-sin cos 11n nA θθθθ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是正交矩阵.3-44. 验证2阶矩阵 cos -sin sin cos A θθθθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是正交矩阵，它表示平面上的绕坐标原点的旋转变换3阶矩阵100=0cos -sin 0sin cos A θθθθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是正交矩阵，它表示三位空间绕x 轴的旋转变换.3-45. 设1234,,,αααα是V 的标准正交基，则12{,}S span αα=与34{,}T span αα=是正交的.3-46. 已知()1212=(1,0,1,1),=0,1,1,2,T=span{,}TTαααα，求T 的正交补.3-47. 设W 是欧式空间V 的一个子空间，那么V 在W 上的正交投影变换P 就是一个对称变换.3-48. 在3R 中，设u 为过直角坐标系原点的平面π的单位法矢量.变换A 是 ()3()=-2,,A u u a R ααα∈验证：对于任意的3,R αβ∈，任意实数k,l 都有()()()()()()()()()=+(),A =,(),=,A A k l kA lA A A αβαβαβαβαβαβ+因此A 既是正交变换，又是对称变换，称其为镜面反射. 3-49. 已知033=-1862-14-10A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求酉矩阵W ，使得=HW AW 上三角矩阵 3-50. 已知1-1=11A ⎛⎫⎪⎝⎭A 是正规矩阵，且求酉矩阵U ，使HU AU 为对角矩阵. 3-51. 已知0i -1=-i 0i -1-i 0A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦验证A 是正规举证，且求酉矩阵U ，使HU AU 为对角矩阵. 3-52. 已知 ,0(k )A=0HkA A A ==为自然数，则. 3-53. 已知U 是n 阶酉矩阵，且U-E 可逆，试证 1=(U-E)(U+E)A -是反Hermite 矩阵.3-54. 设A 为欧氏空间V 上的一个对称变换，那么有=.HA A 因为根据对称变换的定义有 ()()()()=A A V αβαβαβ∀∈，，，设A 为欧氏空间V 上的一个反对称变换，那么有=-.HA A 根据反对称变换的定义有 ()()()()()()=-=-A A A αβαβαβ，，，3-55. 设A 为酉空间V 上的一个Hermite 变换，那么有=.HA A Hermite 变换也经常被称做自伴随变换. 设A 为酉空间V 上的一个反Hermite 变换，那么有=-.HA A3-56． 设A 为欧氏空间V 上的一个正交变换，那么有-1=.H A A 由定义有()()()()()()11=(),A A A V αβαβαβαβ--=∀∈，，A(A )，3-57． 设A 为酉空间V 上的一个酉变换，那么有-1=.H A A 3-58． 对于任意给定的n 阶矩阵A ，根据定义证明：(1) A+A ,AA ,A A Hermite (2) A-A ermite H H H HH 是矩阵是反矩阵3-59． 已知正规矩阵102i 030-2i 01A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求酉矩阵U ，使得HU AU 为对角矩阵. 3-60． 已知Hermite 二次型 12311132231331331(,,)=++2-+2222f x x x x x ix x x x ix x x x 求酉变换Z=Uy 将123(,,)f x x x 变为Hermite 标准二次型. 3-61． 已知A 、B 是n 阶正定Hermite 矩阵，则=0B A λ-的根全身正的实数.3-62． 已知A 、B 是n 阶正交矩阵，并且=-A B ，试证：A+B 不可逆. 3-63． 设11+i 2i ==1-i 2-i 2A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，验证A 是Hermite 矩阵B 是正定的Hermite 矩阵，并求满秩矩阵T ，使得=H H T AT T BT E 为对角矩阵，.3-64． 设A,B 是Hermite 矩阵，且B 是半正定的，则 ()()k k A A B λλ≤+。

hermite标准型矩阵Hermite标准型矩阵。

在线性代数中，Hermite标准型矩阵是一种特殊的矩阵形式，它具有一些独特的性质和特点。

本文将对Hermite标准型矩阵进行详细介绍，包括其定义、性质、应用等方面的内容。

首先，我们来看一下Hermite标准型矩阵的定义。

Hermite标准型矩阵是指对于任意一个m×n的矩阵A，存在一个m×n的矩阵H，使得H是行梯阵，且满足以下两个条件，1）对于任意的i=1,2,...,m，存在一个j(i)使得H(i,j(i))是H的第i行的第一个非零元素，且j(1)<j(2)<...<j(m)；2）对于任意的i=1,2,...,m，对于任意的k=1,2,...,n，如果H(i,k)≠0，则对于所有的j(i)≤l≤k，有H(i,l)=0。

接下来，我们来讨论Hermite标准型矩阵的性质。

首先，Hermite标准型矩阵具有唯一性，即对于任意一个矩阵A，其Hermite标准型矩阵H是唯一的。

其次，Hermite标准型矩阵的行数等于矩阵A的秩，且Hermite标准型矩阵的非零行的首个非零元素在每一行都是1，且这些非零元素所在的列是线性无关的。

此外，Hermite标准型矩阵还具有一些其他的性质，比如对于任意的m×n的矩阵A，存在一个m×n的可逆矩阵P，使得PA的Hermite标准型矩阵是唯一的。

最后，我们来探讨一下Hermite标准型矩阵的应用。

Hermite标准型矩阵在线性代数和矩阵理论中具有重要的应用价值，比如在矩阵的相似对角化、线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算等方面都有着广泛的应用。

此外，在信号处理、控制理论、图像处理等领域也有着重要的应用，比如在通信系统中，Hermite标准型矩阵可以用来描述信号的频率特性和相位特性，从而对信号进行分析和处理。

总之，Hermite标准型矩阵是一种重要的矩阵形式，具有独特的性质和应用价值。

第三章积空间 正规矩阵 Hermite 矩阵3－1(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=HA βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H=),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。

証毕。

（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jn ij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－2解：根据核空间的定义知道N(A)是方程组[][][]()1234512312321-113=011-101=0,1,1,0,0=-1,1,01,0=4-5,0,0,1=span{,,}T T Tx x x x x N A αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解空间，解得它的基础解系为，，，，从而[]()()()()()()1121221211131323312312112212311122schmidt ==0,1,1,0,0,111=-=-=-1,,-,1,0,222,,-513=--=-+,,257663=,-,,,15555==00,022=TTTTβααββαβαβββαβαββαββαββββββββββγββγβ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦首先应用正交化方法得到：然后将，，单位化后得到：，，2333123=--0510105==().TTN A βγβγγγ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，所以，，即为的标准正交基3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0，1，0）T是A 的特征向量。

hermite矩阵谱分解Hermite矩阵是一个实对称矩阵，它在数学和物理领域中有着重要的应用。

首先，我们来谈谈Hermite矩阵的定义和特性。

Hermite矩阵是指一个n×n的实对称矩阵，满足矩阵的转置等于其自身，即A^T = A。

这意味着Hermite矩阵的元素a_ij等于a_ji，其中i和j分别代表矩阵的行和列。

在量子力学和信号处理中，Hermite矩阵经常出现在描述物理系统的哈密顿量或者信号的自相关矩阵中。

接下来，我们来谈谈Hermite矩阵的谱分解。

谱分解是将一个矩阵分解为特征向量和特征值的过程。

对于Hermite矩阵，由于其是实对称矩阵，所以可以保证它有一组正交归一的特征向量，且对应的特征值都是实数。

因此，Hermite矩阵可以进行谱分解为以下形式，A = QΛQ^T，其中Q是由A的特征向量组成的矩阵，Λ是由A的特征值构成的对角矩阵。

这种谱分解的形式使得Hermite矩阵的性质得到了很好的描述，也为其在信号处理、统计学和量子力学中的应用提供了重要的数学基础。

从应用的角度来看，Hermite矩阵的谱分解在信号处理中有着重要的作用。

例如，在信号处理中，我们可以利用Hermite矩阵的谱分解来分析信号的频谱特性，从而实现信号的分解和重构。

此外，在量子力学中，Hermite矩阵的谱分解也为描述量子态的演化和性质提供了重要的数学工具。

总之，Hermite矩阵作为实对称矩阵，在数学和物理领域中有着重要的地位和应用。

其谱分解为特征向量和特征值的形式，为我们理解和应用Hermite矩阵提供了重要的数学工具。

希望以上内容能够全面回答你关于Hermite矩阵和其谱分解的问题。