第三章内积空间2012解析

一、概述内积空间是数学分析中的重要概念，它对于函数空间中的内积、范数等性质起到了至关重要的作用。

在内积空间中，Schwarz不等式是一条极为重要的不等式，它具有广泛的应用，不仅在数学分析中有着重要意义，还在物理学、工程学等领域有着重要的应用。

二、内积空间1. 内积空间的定义内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运算。

对于向量空间V中任意两个元素x和y，内积运算满足线性、对称、正定性三条性质。

2. 内积空间的例子实数空间R^n和复数空间C^n都是内积空间的例子。

在R^n和C^n 中，内积运算定义为向量的点积或内积。

3. 内积空间的性质内积空间的范数由内积定义，满足范数的性质，如三角不等式、柯西-施瓦茨不等式等。

三、Schwarz不等式1. 基本形式对于内积空间V中的任意两个元素x和y，Schwarz不等式表示为|〈x，y〉|<= ‖x‖‖y‖。

2. 证明Schwarz不等式的证明可以通过多种方法，最基础的是使用Cauchy-Schwarz不等式，也可以通过线性代数的方法和实分析的方法进行证明。

3. 应用Schwarz不等式在实际问题中有着广泛的应用，如在概率论中的卡尔曼滤波器、信号处理中的最小二乘法、泛函分析中的逼近理论等领域均有应用。

四、Schwarz不等式的推广1. Bessel不等式Bessel不等式是Schwarz不等式的推广，它涉及到内积空间的正交基的概念。

对于内积空间V中的正交基{e_1,e_2,…,e_n}以及向量x∈V，Bessel不等式表示为∑_(i=1)^n |〈x, e_i〉| ^2 <= ‖x‖^2。

2. Hölder不等式Hölder不等式是Schwarz不等式的另一种推广，它是一种关于积分的不等式，涉及到Lp空间和Lq空间中函数的积分。

3. Minkowski不等式Minkowski不等式是Schwarz不等式的另一种推广，它是一种关于向量空间中范数的不等式，涉及到向量的加法和范数的性质。

复矩阵(向量)的4个一元运算()∀A=(a ij )∈C m ×n ,复矩阵(向量)的一元运算的性质11221122k A k A k A k A +=+ ;TT T A k A k A k A k 22112211)(+=+方阵A=(a ij )∈C n ×n 的迹定义为其所有对角元之和:行列式的性质方阵乘积的行列式公式重要特殊矩阵A=(a ij )∈C n ×n 称为对角矩阵,如果∀i ≠j,a ij =0;A称为上(下)三角矩阵,如果∀i>(<)j,a =0.特征值,特征向量λ∈C称为A=(aij)∈C n×n的一个特征值,如果存在0≠x∈C n,使得Ax=λx.此时,x称为A的特征向量.特征值、特征向量续三角矩阵A的所有对角元组成A的谱:σ(A)={a,…,a}.线性相关与线性无关定义1.1.3 (p.5): F上线性空间V中的向量组{α,…,α}是线性相关的充要条件是:在数域F线性映射与线性变换关于线性映射与线性变换的定义,请看教本第24页§3.1: 欧式空间,酉空间§3.2: 标准正交基,Schmidt方法第三章内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵§3.1: 欧式空间,酉空间从解析几何知二平面向量内积的概念定义3.1.1：设V是实数域R 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着欧式空间的概念例3.1.1：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈R n ,定义标准内积:(α,β)=a b +…+a b ,欧氏空间例1例3.1.2：∀α=(a 1,a 2)T ,β=(b 1,b 2)T ∈R 2,定义内积(R 2×R 2到R的映射):欧氏空间例2在R 2中至少可定义两个不同的内积.今后讨论R n 时都用例3.1.1中定义的内积.关于例1和例2的注例3.1.3:R m ×n ={(a ij )|a ij ∈R,i=1,…m,j=1,…,n}中任取A,B,定义内积:(A,B)=tr(A T B)=ΣΣa b .欧氏空间例3定义3.1.1：设V是复数域C 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着酉空间的概念欧氏空间是酉空间的特例.关于欧式空间和酉空间的注酉空间例1例3.1.6：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈C n ,酉空间例2例3.1.7：C m ×n ={(a ij )|a ij ∈C,i=1,…,m,j=1,…,n}§3.2: 标准正交基,Schmidt 方法欧氏空间中的C-S不等式推出:-1 ≤(α,β)/‖α‖‖β‖≤1正交的概念(,)1αβαβ≤§3.3: 酉变换,正交变换§3.6: 正规矩阵,Schur引理§3.8: Hermite矩阵,Hermite二次齐式§3.9: 正定二次齐式,正定Hermite矩阵证:设A∈H n×n,A(i1,…,ik)为A的第i1,…,ik行,列组成的k阶主子矩阵,易见:A(i,…,i)∈H n×n.(半)正定矩阵的任何主子矩阵仍为(半)正定证:因为(半)正定矩阵A的任何主子式都是(0或)正的定理:A ∈H n ×n 为正定⇔A的n个顺序主子式全为正:用主子式刻画(半)正定矩阵命题:A ∈H n ×n 为负定⇔-A为正定定理3.9.1:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:定理3.9.3:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:(1) A半正定:∀x ∈C n ,x *Ax ≥0半正定矩阵的基本定理命题:A ∈H n ×n 为半正定⇔∀ε>0,A+εE 为正定半正定矩阵是正定矩阵序列的极限命题:对任意A ∈H n ×n ,下列两条相互等价:半正定矩阵是正定矩阵序列的极限(续)(1) A ∈C n ×n 为(半)正定(半)正定矩阵的补充结果定理(3.9.4):每个(半)正定Hermite矩阵A都有唯下证唯一性.如果还有正定矩阵M=Wdiag(µ,…,µ)W *,使∀i,j,(√λi v ij )=(√λj v ij ) 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续再证与A可交换的矩阵X(XA=AX)必与B可交换.若XUdiag(λ,…,λ)U *=Udiag(λ,…,λ)U *X 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续试证:A,B ∈H n ×n 且A为正定⇒AB的特征值全为实数.应用举例例3.9.1:若A,B为同阶正定Hermite矩阵,应用举例命题:A,B ∈H n ×n 且B正定,则det(λB-A)=0的根全为实数.证明: B正定⇒有可逆矩阵P使P *BP=E;定理3.10.1:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有T ∈C n n ×n 使二矩阵经复相合变换同时对角化易见: µ1,…,µn 是det(λE-T 1*AT 1)=0的根.二矩阵经复相合变换同时对角化定理3.10.4:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有行列式等二矩阵经复相合变换同时对角化续定义3.11.1:由Hermite矩阵A定义的从C n –{0}到R 的下列函数:R(x)=x *Ax/x *x 称为矩阵A的Rayleigh商.§3.11: Rayleigh商(1)R(x)为x的齐次函数:∀0≠k ∈R ,R(kx)=R(x)(3)min x ≠0R(x)=λ1=min{λ1, …,λn };max R(x)=λ=max{λ, …,λ}.注:由(1)和(3)推出min x ≠0R(x)=min ‖x‖=1x *Ax,Rayleigh 商性质的注设M ∈H n ×n ,用λmin ,λmax 分别记M的最小,大特征值,则λ=min x *Ax,λ=max x *Ax.一个推论。

内积空间基本概念内积空间是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

本文将介绍内积空间的基本概念，包括内积的定义、内积空间的性质以及常见的内积空间。

一、内积的定义内积是定义在向量空间上的一种运算，用于度量向量之间的夹角和长度。

在内积空间中，向量的内积满足以下四个性质：1. 正定性：对于任意非零向量x，有(x, x) > 0，且只有当x=0时，有(x, x) = 0。

2. 对称性：对于任意向量x和y，有(x, y) = (y, x)。

3. 线性性：对于任意向量x、y和标量a，有(a*x, y) = a*(x, y)和(x+y, z) = (x, z) + (y, z)。

4. 共轭对称性：当内积空间为复数域时，对于任意向量x和y，有(x, y) = conj(y, x)，其中conj表示复共轭。

二、内积空间的性质在内积空间中，除了满足内积的定义性质外，还具有以下重要性质：1. 内积空间是一个实数或复数域上的向量空间。

它包含了一组向量以及定义在这组向量之间的内积运算。

2. 内积空间具有加法和数乘运算，满足向量空间的定义。

3. 内积空间中的向量可以进行正交和投影运算。

正交是指两个向量的内积为零，而投影则是将一个向量分解为另一个向量的线性组合，使得两向量正交。

4. 内积空间中的向量可以通过内积的概念定义长度和夹角。

长度定义为向量自身与自身的内积开方，夹角定义为向量之间的夹角的余弦值。

三、常见的内积空间1. 实数内积空间：在实数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。

常见的实数内积空间包括欧几里得空间和函数空间。

2. 复数内积空间：在复数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。

复数内积空间常用于量子力学和信号处理等领域。

3. 内积空间的子空间：内积空间中的子集也可以构成一个内积空间，称为内积空间的子空间。

子空间具有与内积空间相同的内积定义及性质。

四、总结内积空间是线性代数中的重要概念，它不仅能够度量向量的长度和夹角，还能够进行正交和投影运算，并在许多领域中发挥着重要作用。

内积空间及其性质与应用内积空间是线性代数中非常重要的一个概念。

它是指一个向量空间，其中每个向量都有一个与其它向量的内积，该内积遵循某些规则和性质，并能够为向量空间提供额外的结构和属性。

在这篇文章中，我们将探讨内积空间的一些性质、应用和重要性。

一、内积空间的定义和性质内积空间是向量空间的扩展，其中每个向量x和y之间有一个内积。

内积是将两个向量映射到一个标量或实数的函数，通常使用符号< x, y >表示。

内积是一个满足以下四个性质的函数：1.对称性： < x, y > = < y, x >2.线性性： < ax + by, z > = a< x, z > + b< y, z >3.正定性（或非负性）： < x, x > >= 0，且 < x, x > = 0 当且仅当 x = 04.非退化性：如果 < x, y > = 0 对于所有y，那么 x = 0这四个性质使得内积空间在很多方面都有用处。

它们确保了内积的对称性、线性组合的性质以及长度的概念。

除此之外，内积空间还有其他有用的性质，例如加权Cauchy-Schwarz不等式和向量正交的概念等。

二、内积空间的应用内积空间的应用非常广泛，许多重要的数学和物理学概念都可以表示为内积空间。

以下是一些内积空间的应用：1.傅里叶分析：傅里叶分析是一种分解周期信号的方法，它使用内积来定义信号中的频率和幅度。

傅里叶变换可以看作是内积空间中的一种变换。

2.量子力学：量子力学的基础是量子态空间，它是一个内积空间。

这个空间中的向量表示量子态，而它们之间的内积表示量子态之间的相似性。

3.最小二乘法：最小二乘法是一种用来拟合数据的方法。

在内积空间中，最小二乘法可以看成是找出一个向量在一个子空间上的最佳逼近。

4.图像处理：图像处理中的许多算法可以看成使用内积来度量像素之间的相似性。

第3讲 实内积空间内容：1. 实内积空间2. 正交基及正交补与正交投影3. 内积空间的同构4. 正交变换与对称变换在线性空间中，元素（向量）之间的运算仅限于元素（向量）的线性运算．但是，如果以向量作为线性空间的一个模型，则会发现向量的度量(即长度)与向量间的位置关系在线性空间的理论中没有得到反映，而这些性质在许多实际问题中却是很关键的．因此，将在抽象的线性空间中引进内积运算，导出内积空间，并讨论正交变换与正交矩阵及对称变换与对称矩阵．§1 内积空间在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的数量积来表示，而向量的数量积具有以下的代数性质：对称性),(),(αββα=；可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+；齐次性R k k k ∈∀=),,(),(βαβα；非负性0),(≥αα，当且仅当0=α时,0),(=αα．以数量积为基础,向量的长度与夹角可表示为： ),(ααα=，βαβαβα⋅>=<),(,cos ．可见数量积的概念蕴涵着长度与夹角的概念，将该概念推广至抽象的线性空间．定义1.1 设V 是实线性空间，若对于V 中任意两个元素（向量）α和β，总能对应唯一的实数，记作),(βα，且满足以下的性质：(1) 对称性 ),(),(αββα=(2) 可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+(3) 齐次性 R k k k ∈∀=),,(),(βαβα(4) 非负性 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα． 则称该实数是V 中向量α和β的内积．称内积为实数的实线性空间V 为欧几里得(Euclid)空间，简称为欧氏空间．称定义了内积的线性空间为内积空间．例 1.1 在n 维向量空间n R 中,任意两个向量：T n x x x ),,,(21 =α，T n y y y ),,,(21 =β，若规定：βαβαT nk k k n n y x y x y x y x ==+++=∑=12211),( ，则容易验证,这符合内积的定义，是n R 中向量α和β的内积．另外，若规定:∑==nk k k y kx 1),(βα，0>k ，同样可验证，这也是n R 中向量α和β的内积．由此可见，在同一个实线性空间的元素之间，可以定义不同的内积，即内积不是唯一的．从而，同一个实线性空间在不同内积下构成不同的欧氏空间．例 1.2 在[]b a ,上连续的实函数的实线性空间[]b a C ,中，对任意函数[]b a C x g x f ,)(),(∈，定义：⎰=ba dx x g x f g f )()(),(，则可以证明这是[]b a C ,上)(x f 与)(x g 的一种内积．欧氏空间V 中的内积具有如下的性质：(1) V o o ∈∀==ααα,0),(),((2) R k V k k ∈∀∈∀=,,),,(),(βαβαβα(3) V ∈∀+=+γβαγαβαγβα,,),,(),(),((4) ),(),(1111∑∑∑∑=====n j ni j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k事实上，由定义1.1有：0),(0),0(),(===αβαβαo ；),(),(),(),(βααβαββαk k k k ===；),(),(),(),(),(),(γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+；因此,性质(1)至(3)成立，再结合数学归纳法容易验证性质(4)也成立．定义1.2 设α是欧氏空间V 中的任一元素（向量），则非负实数),(αα称为元素（向量）α的长度或模，记作α．称长度为1的元素（向量）称为单位元素（向量），零元素（向量）的长度为0．由定义1.2易知，元素（向量）的长度具有下列性质： (1) V R k k k ∈∀∈∀⋅=ααα,,(2) 当o ≠α时,,11=αα即αα1是一个单位元素（向量）．通常称此为把非零元素（向量）α单位化．定理1.1 (Cauchy-Schwarz 不等式)． 设βα,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则不等式βαβα⋅≤),(，对V ∈∀βα,均成立，并且当且仅当α与β线性相关时，等号成立．证明：当α与β至少有一个是零元素（向量）时，结论显然成立．现在设βα,均为非零元素（向量），则)),(),(,),(),((ββββααββββαα--[]0),(),(),(2≥-=βββααα， 因此有[]),(),(),(2ββααβα≤， 即βαβα⋅≤),(．而且当且仅当ββββαα),(),(=，即α与β线性相关时，等号成立．定义1.3 设x 与y 是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则称yx y x ),(arccos =θ为x 与y 的夹角，记作,,><y x 即 ),0(,),(arccos ,πθ≤><≤=>=<y x yx y x y x ． 例 1.3 试证明欧氏空间V 中成立三角不等式V y x y x y x ∈∀+≤+,,．证明 因),(2y x y x y x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++=，由Schwarz Cauchy -不等式，有 222222)(2),(2y x y y x x y y x x y x +=++≤++=+， 即有 y x y x +≤+ ．§2 正交基及正交补与正交投影1 正交基定义 2.1 设y x ,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），如果0),(=y x ，则称元素（向量）x 与y 正交，记作.y x ⊥．由定义2.1易知，零元素（向量）与任何元素（向量）均正交．若,o x ≠由于,0),(>x x 所以非零元素（向量）不会与自身正交，即只有零元素（向量）才与自己正交．例 2.1 在2R 中,对于任意两个向量x 与y 的内积，定义：(1)y x y x T =1),(；(2) Ay x y x T =),(，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111A ．由此所得的两个欧氏空间分别记为21R 与22R ，试判断向量T x )1,1(0=与T y )1,1(0-=在21R 与22R 中是否正交？解 由于 011)1,1(),(100=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=y x ；01112111)1,1(),(200≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x ． 故向量x 与y 在21R 中正交,在22R 中不正交．说明：两元素（向量）正交与否由所在空间的内积确定． 此外，在欧氏空间V 中也有勾股定理，即当y x ⊥时,有 222y x y x +=+.可将其推广至多个元素（向量），即当m ααα,,,21 两两正交时，有22221221m m αααααα+++=+++ ．定义2.2 欧氏空间V 中一组非零元素（向量），若两两正交，则称其为一个正交元素（向量）组．定理 2.1 若m ααα,,,21 是欧氏空间V 中一个正交元素（向量）组，则m ααα,,,21 线性无关．证明 设有一组数m k k k ,,,21 ,使o k k k m m =+++ααα 2211，在上式两边分别用),2,1(m i i =α作内积，可得),,2,1(,0),(),(),(21m i k k k i m m i i ==+++αααααα， 由于j i ≠时,0),(=j i αα故可得),,2,1(0),(m i k i i i ==αα，又 0≠i α时, 0),(>i i αα, 从而有),2,1(0m i k i ==，所以m ααα,,,21 线性无关．推论：在n 维欧氏空间中，正交元素（向量）组所含元素（向量）的个数不会超过n 个．定义2.3 在n 维欧氏空间V 中，由n 个元素（向量）构成的正交元素（向量）组称为V 的正交基；由单位元素（向量）组成的正交基叫作标准正交基．定理 2.2 (Schmidt 正交化方法) 设n ααα,,,21 是n 维欧氏空间V 的任意一个基，则总可将其进行适当运算后化为V 的一个正交基，进而将其化为一个标准正交基．证明 因为m ααα,,,21 线性无关，所以),,2,1(0n i i =≠α． 首先, 取11αβ=；其次, 令1111222),(),(ββββααβ-=，则可得两个正交元素（向量）21,ββ；再次, 令222231111333),(),(),(),(ββββαββββααβ--=，则得到三个正交元素（向量）.,,321βββ依此进行下去，一般有),,3,2(),(),(),(),(),(),(111122221111n i i i i i i i i i i =----=----ββββαββββαββββααβ 这样得到V 的一个正交基．再将其单位化，令 ),,2,1(1n i i i i ==ββγ，则可得V 的一组标准正交基n γγγ,,,21 ．例2.1 在4R 中,将基T )0,0,1,1(1=α,T )0,1,0,1(2=α,T )1,0,0,1(3-=α, T )1,1,1,1(4--=α,用Schmidt 正交化方法化为标准正交基．解 先正交化令 ;)0,0,1,1(11T ==αβ ;)0,1,21,21(),(),(1111222T -=-=ββββααβ ;)1,31,31,31(),(),(),(),(222231111333T -=--=ββββαββββααβ T )1,1,1,1(),(),(),(),(),(),(33334222241111444--=---=ββββαββββαββββααβ 再单位化令 T )0,0,21,21(1111==ββγ T)0,62,61,61(1222-==ββγ T )123,121,121,121(1333-==ββγ T )21,21,21,21(1444--==ββγ则 4321,,,γγγγ 就是所要求的标准正交基．例2.2 设n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个标准正交基， n n x x x x εεε+++= 2211，n n y y y y εεε++= 2211，则有),(),(11∑∑===n j j j n i i i y x y x εε∑==n i ii y x 1．在标准正交基下，V 中任意两个元素（向量）的内积等于它们对应坐标的乘积之和．定义2.4 设n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个基，x ，y 在其基下的坐标表示分别为T n x x x x ),,,(21 =，T n y y y y ),,,(21 =，（∑==n i i i x x 1ε，∑==n i i i y y 1ε），则有Gy x y g x y x y x y x T j nj i ij i j j n j i i i n j j j n i i i ====∑∑∑∑======111111),(),(),(εεεε．其中，)(ij g G G =为n 阶方阵，n j i g j i ij ,,2,1,),,( ==εε．称G 为度量矩阵，它为对称可逆矩阵．2 正交补与正交投影定义 2.5 设1W 和2W 是欧氏空间V 的两个子空间，若对任意的21,W y W x ∈∈总有0),(=y x 成立，则称1W 与2W 正交，记作21W W ⊥.若对某个确定的x 及任意的W y ∈，总有0),(=y x 成立，则称x 与W 正交，记作x W ⊥．例 2.3 设{}R y x y x W ∈=,)0,,(1,{}R z z W ∈=),0,0(2 ,则容易得1W 和2W 均为3R 的子空间,且 12W W ⊥．定理2.3 设s W W W ,,,21 是欧氏空间V 的子空间，且两两正交，则s W W W +++ 21是直和．证明 设),,2,1(s i W i i =∈α且 o s =+++ααα 21,分别用iα在上式两边作内积，得0),(=i i αα,即),,2,1(s i oi ==α,即s W W W +++ 21是直和．定义 2.6 设1W 和2W 是欧氏空间V 的两个子空间，若21W W ⊥，且V W W =+21，则称1W 与2W 互为正交补，记作⊥=21W W 或12W W V ⊕=． 定理 2.4 欧氏空间V 的任一个子空间W ，都存在唯一的正交补W ⊥．证明 先证存在性．设m εεε,,,21 是子空间W 的一个标准正交基，则可以扩充为V 的一个标准正交基：n m m εεεεε,,,,,1,21 +，显然：),,(1n m L W εε +⊥=．再证唯一性．设1W 与2W 都是W 的正交补，则1W W V ⊕=，2W W V ⊕=，令任意的o x W x ≠∈,2,则 W x ∉,且W y y x ∈∀=,0),(,所以1W x ∈ ,即12W W ⊂．同理有 21W W ⊂.因此得 12W W =．定理2.4既证明了欧氏空间中任意子空间的正交补是存在且唯一的，又给出了正交补的计算方法．另外，V 中的任一向量x 都可唯一地分解为⊥∈∈+=W z W y z y x ,,．由此可引进正投影的概念．定义2.7 设x 是欧氏空间V 中任意的一个元素（向量），W 是V 的一个子空间，且x 被分解为.,,⊥∈∈+=W z W y z y x ,则称y 元素（向量）为x 元素（向量）在子空间W 上的正投影(又称内投影)．显然W W =⊥⊥)(，故z 为元素（向量）x 在⊥W 上的正投影．例2.4 设 {}R x x W ∈=)0,0,(,则W 是3R 的一个子空间，且它的正交补为{}R z y z y W ∈=⊥,),,0(.若3),,(R c b a ∈=α,α在W 上的正投影为)0,0,(a ,在⊥W 上的正投影为),,0(c b .§3 实内积空间的同构定义3.1 设V 与U 是两个欧氏空间,若存在V 到U 的一个一一对应σ,使(1) U V ∈∈∀+=+)(),(;,),()()(βσασβαβσασβασ(2) U k R k V k k ∈∈∀∈∀=)(;,),()(ασαασασ(3) U V ∈∈∀=)(),(;,),,())(),((βσασβαβαβσασ则称σ为V 到U 的一个同构映射，并称欧氏空间V 与U 同构．同构作为欧氏空间的关系与线性空间的同构相同，因此有：同构的有限维欧氏空间必有相同的维数；任意一个n 维欧氏空间均与n R 同构．此外，欧氏空间的同构还具有以下性质：反身性:任意一个欧氏空间V 均与自己同构；对称性:若V 与V '同构,则V '与V 同构；传递性:若V 与V '同构, V '与V ''同构,则V 与V ''同构．事实上，(1) V 到V 的恒等映射是一个同构映射；(2)设σ是V 到V '的同构映射，记1-σ为σ的逆映射，则对V ∈∀βα,有βαβασσβσασσ+=+=+--))(())()((11))(())((11βσσασσ--+=， ))(())(())((111ασσαασσασσ---===k k k k ，))(),((),()))(()),(((11βσασβαβσσασσ==--，即1-σ是V '到V 的一个同构映射．(3) 传递性的证明留作习题．§4 正交变换与对称变换1 正交变换与正交矩阵定义 4.1 设V 是一个欧氏空间,σ是V 上的线性变换，如果对任意的元素（向量）V ∈βα,,均有),())(),((βαβσασ=成立,则称σ是V 上的一个正交变换．例如，恒等变换是一个正交变换，坐标平面上的旋转变换也是一个正交变换．正交变换可以从以下几个方面来刻画．定理4.1 设σ是欧氏空间V 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：(1) σ是一个正交变换；(2) 保持元素（向量）的长度不变,即对任意的V ∈α,有αασ=)(；(3) V 中的任意一个标准正交基在下的象仍是一个标准正交基；(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵，即E A A AA T T ==．证明 采用循环证法。

第三章 内积空间基本概念在几何分析时，向量的长度、夹角是基本的度量。

§3.1 内积空间基本概念定义 1.1 设V 为数域()C 或R F 上线性空间，若有一法则使V 任两向量βα,确定F 中唯一的数，记为〉〈βα,，且〉〈βα,满足：（1）〉〈=〉〈βααβ,,，V ∈∀βα,；（共轭对称） （2）〉〈+〉〈=〉+〈γβγαγβα,,,，V ∈∀γβα,,； （3）,,,〉〈=〉〈βαβαk k F k ∈∀，V ∈∀βα,； （4）0,≥〉〈αα，且等号成立当且仅当θα=。

则称><βα,为βα,的内积，V 为内积空间。

特别C F =时称()C V 为酉空间，R F =时称()R V 为欧氏空间。

注 （1）〉〈+〉〈=〉+〈γαβαγβα,,,；〉+〈=〉+〈αγβγβα,, 〉〈+〉〈=αγαβ,, 〉〈+〉〈=αγαβ,,〉〈+〉〈=γαβα,,；（2）〉〈=〉〈βαβα,,k k ； （3）0,,=〉〈=〉〈αθθα。

例1 在n R 中定义,,X Y Y X T =〉〈n R 为欧氏空间。

例2 在n R 中定义,,AX Y Y X T =〉〈其中A 为n 阶正定矩。

例3在n R 中定义,,X Y Y X T =〉〈，n C 为酉空间。

例4 n n C ⨯中TH H B B trAB B A =>=<,,。

例5 ()b a R V ,)(=上一切连续函数的集合),(b a C ，()(),,dx x g x f g f ba ⎰>=<()()V x g x f ∈∀,，()R V 是欧氏空间。

定义1.2 设n ααα,,,21 为内积空间V 的一组基，记,,ij j i g x x =〉〈()n j i ,,2,1, =，则称n 阶矩阵ij g G =，故G G H =。

定理1.1 设内积空间V 的一组基{}ni 1α的度量矩阵为G ，V 中向量βα与在该基下坐标向量分别为Y X ,，则X G Y Y G X T H T =>=<βα,。

内积空间正规矩阵与第三章内积空间、正规矩阵与H -矩阵定义：设是实数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一V R n V ,αβ个实数，这个实数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：αβ(,)αβ1()(,)(,)αββα=2()(,)(,)(()(k k αβαβ=34000),,)(,)()(,),(,).αβγαγβγααααα+=+≥==当且仅当时这里是中任意向量，为任意实数，我们称带有这样内积的维线性空间为欧氏空间。

,,αβγV k n V 例1在中，对于nR 1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==""规定11122(,)n nx y x y x y αβ=+++"容易验证是上的一个内积，从而成1(,)n R n R 为一个欧氏空间。

如果规定211222(,)n nx y x y nx y αβ=+++"容易验证也是上的一个内积，这样又成为另外一个欧氏空间2(,)n R n R又成为另外个欧氏空间。

例2在维线性空间中，规定n mR×nm T容易验证这是上的一个内积，这样对于(,):Tr()A B AB =n mR ×n mR ×这个内积成为一个欧氏空间。

例3在维线性空间中，规定2n n nC×(,):()HA B Tr AB =其中H表示中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证是上的一个内积，从而连同这个内积一起成为酉空间。

B B (,)n n×n nC ×连同这个内积起成为酉空间。

C欧氏空间的性质)()β欧氏空间的性质：(1)(,,k k αβα==(2)(,)(,)(,))()ttαβγαβαγ++11(3)(,,i i i i i i k k αβαβ===∑∑(4)(,)(,)tti i i i k k αβαβ===∑∑11i i4242ii i ++⎡⎤(1)21i i ⎢⎥−+⎢⎥4212i i ⎢⎥−+−−⎣⎦6123i i +⎡⎤(2)1291i i ⎢⎥−−⎢⎥317i i ⎢⎥−+−⎣⎦⎡018(3)4i i −⎤⎢⎥100i i −−−⎢⎥−−⎦84i i ⎢⎥⎣3132i i +⎡(4)13415i i ⎤⎢⎥−+2155i i ⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦标准正交基底与Schmidt 正交化方法定义为一组不含有零向量的向量组如果：设为组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交向量组{}i α{}i α量组。

内积空间(2012-06-17 20:13:58)▼内积空间内积的几何解释在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。

这个额外的结构叫做内积或标量积。

这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。

内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。

关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。

内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space)，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。

在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数／不可数）的欧几里德空间。

定义下文中的数量域F是实数域或复数域。

域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是[[实数域]]时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：满足以下公理：∙共轭对称；这个设定蕴含着对于所有, 因为.(共轭也写成加星号：，如同共轭转置。

)∙对第一个元素是线性算子；由前两条可以得到：因此实际上是一个半双线性形式。

∙非负性：(这样就定义了对于所有。

说明内积是从点积抽象而来。

)∙非退化：从V到对偶空间V*的映射：是同构映射。

在有限维的矢量空间中，只需要验证它是单射。

当且仅当。

因此，内积空间是一个Hermitian形式。

V满足可加性：对所有的，，如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。

共轭双线性变成了一般的双线性。

备注。

多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。

很多物理学家接受相反的约定。

这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。

某些作者接受约定< , > 在第一个分量是线性的而< | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。

内积空间(2012-06-17 20:13:58)▼内积空间内积的几何解释在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。

这个额外的结构叫做内积或标量积。

这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。

内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。

关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。

内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space)，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。

在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数／不可数）的欧几里德空间。

定义下文中的数量域F是实数域或复数域。

域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是[[实数域]]时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：满足以下公理：•共轭对称；这个设定蕴含着对于所有, 因为.(共轭也写成加星号：，如同共轭转置。

)•对第一个元素是线性算子；由前两条可以得到：因此实际上是一个半双线性形式。

•非负性：(这样就定义了对于所有。

说明内积是从点积抽象而来。

)•非退化：从V到对偶空间V*的映射：是同构映射。

在有限维的矢量空间中，只需要验证它是单射。

当且仅当。

因此，内积空间是一个Hermitian形式。

V满足可加性：对所有的，，如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。

共轭双线性变成了一般的双线性。

备注。

多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。

很多物理学家接受相反的约定。

这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。

某些作者接受约定< , > 在第一个分量是线性的而< | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。

线性空间与内积空间分析线性空间和内积空间是数学中重要的概念，它们在向量和函数空间的研究中发挥着重要的作用。

本文将对线性空间和内积空间进行详细的分析和探讨。

一、线性空间线性空间是一种用于描述向量和函数等概念的数学结构。

其定义包括了加法运算和标量乘法运算，同时满足多个性质，如封闭性、结合性、分配律等。

线性空间中的元素可以是实数或复数。

线性空间的一个重要特性是它可以进行线性组合和线性相关的操作。

线性组合是指将线性空间中的元素按照一定的比例进行加权求和。

而线性相关则是指线性组合中至少存在一个非零系数的线性组合为零。

二、内积空间内积空间是指在线性空间的基础上引入了内积运算的概念。

内积是一种能够将两个向量映射为一个数的运算，通常用于描述向量之间的夹角和长度关系。

内积空间在几何学和物理学中有广泛的应用。

通过内积可以定义向量的长度、夹角以及正交性等概念。

例如，在欧几里得空间中，我们可以利用内积来计算向量的模长和夹角余弦。

三、线性空间和内积空间的关系线性空间是内积空间的一种特殊形式。

在内积空间中，内积运算可以定义向量的长度，从而使得线性空间中的向量可以具有长度概念。

此外，内积还可以用于定义两个向量的夹角，从而使得线性空间中的向量可以具有夹角概念。

另外，内积空间还有一些特殊的性质和结构。

例如，内积空间中的向量满足Cauchy-Schwarz不等式，这是一种描述向量之间夹角的重要不等式。

此外，在内积空间中还可以定义正交性和单位向量的概念，这些概念在求解线性方程组和正交变换等问题中有重要的应用。

四、应用举例线性空间和内积空间的理论在很多领域都有广泛的应用。

例如，在物理学中，我们可以利用线性空间和内积空间的概念来描述力学系统中的运动状态，并通过线性组合和线性相关性来解决动力学问题。

在工程学中，线性空间和内积空间的理论可用于描述信号处理和控制系统。

可以利用线性空间和内积空间的概念来分析信号的频谱特性，从而实现信号的滤波和增强等处理。

第三章 内积空间 正规则阵 Hermite 矩阵3－1(1)证实：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ,(βα,k )＝),(βαβαk A k H =H A αααα=),(,因为A 为正定H 矩阵,所以0),(≥αα,当且仅当0),(0==ααα时，由上可知c n 是酉空间.証毕. （2）解： ∑∑==njni j ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnijijix ax ),(||||ααα,∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：3－2解：依据核空间的界说知道N(A)是方程组 3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特点值,当λ＝－1时,可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0,1,0）T 是A 的特点向量.选择与ε1正交,并且互相也正交两个向量构成酉阵：U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010 则U 1*A U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---520830631 取A 1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283,|λE- A1| =(λ+1)2 λ= －1是A 1的特点值. 当λ＝－1时,可得|λE- A 1|＝021,于是,α1 ＝（ --52,51）T是A 的特点向量,选择与α1正交的向量构成酉阵U 2 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52515152-,U 2*A 1U 2 = 51⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10101 3－3（2）解：起首求出其特点多项式 3－4．证实：由教材定理可知正交投影矩阵为11H P U U =,个中1n .U r ⨯为一个次酉矩阵3－5（1）解：易证,H A A A =是Hermite 矩阵. 3－5（2）解：3－5（3）解：3－5（4）解：解：3－6（2）解:解：3－7（2）解法仿3－7（1）解题办法.证实：因为n 阶酉矩阵U 的特点值不等于1,所以-10E U -≠ 由此可知0,E U E U +≠+即为满秩矩阵. 3－9 证实：令1)(),(---=++=iS T E C iS T E B ,BCiS T E iS T E A =--++=))((,==A BC A A **)(1**1**))(()())((----++++--=iS T E iS T E iS T E iS T E A B C ,又S,T 分离是实对称矩阵和反实对称矩阵,即有T T S S -==**,,则有,)()())((**1**iS T E iS T E iS T E A B C ++++--=-111))()(()()(-----++--++=--iS T E iS T E iS T E iS T E iS T E ,因为))((iS T E iS T E ++-- ))((iS T E iS T E --++=显然有E A A =*,同理可得E AA =*,即E AA A A ==**,即证.3－10证实：须要性 因为类似矩阵具有雷同的特点值,所以A 与B 的特点值雷同. 充分性 A,B 均为实对称矩阵,所以分离消失正交矩阵12Q Q ，使得 3－11 证实:须要性 因为类似矩阵具有雷同的特点值,所以A 与B 的特点值雷同. 充分性 A,B 均为实对称矩阵,所以分离消失酉矩阵12U U ，使得 3-12证实：（1）须要性：因为A,B 是正规则阵,所以消失n n U U ⨯∈1使得=1*1AU U),,,(21n diag λλλ ,消失n n U U ⨯∈2使得),,,(''2'12*2n diag BU U λλλ =又因为A酉类似于B,所以消失n n U U ⨯∈,使得AU U B *=所以)()(2*22**22*2UU A UU AUU U U BU U ==又因为n n U U ⨯∈n n U U ⨯∈2,所以),,(212*22n n n diag BU U U UU λλλ =⇒∈⨯可记为：n n λλλλλλ==='2'21'1,,, 即A 与B 特点值雷同.（2）充分性：消失n n U U ⨯∈1使得=1*1AU U ),,,(21n diag λλλ ,消失n n U U ⨯∈2使得)()(121*121--U U A U U 因为n n n n U U U U ⨯-⨯∈∈121,所以n n U U U ⨯-∈121即A 酉类似3-13证实： A 是Hermite 矩阵,则消失m m U U ⨯∈,使得U 1-AU=diag （1`λ,2λ,……n λ）则A=()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U ,由2A =A 可得A 2=()H U1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U =()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U =()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U ⇒ 121λλ=, ……,n n λλ=2,从而可知0,1是A 的特点值,取(){}00,0,11,1,1 =A σ,得出U 1-AU=⎢⎣⎡⎥⎦⎤000rE,标题得证. 3-14证实：A是Hermite矩阵,则消失mm U U ⨯∈,使得=⇒=-2211),,,(A diag AU U n λλλE U U n r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛*2221λλλ 则122221====n λλλ , 则-1和1为A 的特点值,可记121===r λλλ ,11-==+n r λλ ,即有U H AU=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--r n r E E 标题得证.3-15 解：（仅供参考）于是 123(,,)=X AX H f x x x个中 123X=(,,)T x x x .因为A 为一个Hermite 矩阵,所以A 可以酉对角化.A 的特点值12==2λλ的正交单位特点向： A 的特点值3=-1λ的单位特点向：3Tα,于是3-18证实：令2/1A P =,显然P 为Hermite 矩阵并且正定独一,A 正定⇒A 的特点值全大于0.所以A 可逆,P 可逆2/12/12/12/12/12/1~--==BAA A BA A ABA A AB ;所以AB 与BA 类似BA AB ~,则AB 与BA 的特点值雷同）（）（BA AB λλ=,2/12/1*2/12/1BA A BA A =）（,2/12/1BA A 也为H 矩阵⇒2/12/1BA A 的特点值为实数,BA BA A AB ~~2/12/1,所以AB,BA 的特点值都是实数 3-19证实：因为A 是一个半正定的Hermite 矩阵,所以A 的n 个特点值12n λλλ均为非负实数,又因为0A ≠,于是12n λλλ不克不及全为零,1212n +1+1+111=(+1)(+1)(+1)>1n A E A E λλλλλλ++那么的特征值，，，都是大于等于的数，且至少有一个大于，故：3-20 证实： 3-21证实：由E A A U A n n =⇒∈⨯*,A A H A n n =⇒∈⨯*,所以E A =2,由题3－14可知,A 的特点值为1=i λ又A 是正定的,所以A 的特点值全体为1,则消失E AU U U U n n =⇒∈⨯*所以可得 E UEU A ==* 即证. 3－22证实：（1）令A,B 为半正定Hermite 矩阵,则消失n C x ∈,使得,0,0**≥≥Bx x Ax x 又由Hermite 矩阵的简略性质,)(B A +为Hermite 矩阵,且消失n C x ∈,使得0)(***≥+=+Bx x Ax x x B A x ;则B A +为半正定Hermite 矩阵.（2）令A 为半正定Hermite 矩阵,B 为正定Hermite 矩阵,则有n C x ∈,使得,0,0**>≥Bx x Ax x 又由Hermite 矩阵的简略性质,)(B A +为Hermite 矩阵,且消失n C x ∈,使得0)(***>+=+Bx x Ax x x B A x ;则B A +为正定Hermite 矩阵. 3－23 证实：因为矩阵A 是一个正定的Hermite 矩阵,所以A 可逆,于是 3-24证实：充分前提：因为A,B 是n 阶正规则阵,则消失,n n U U ⨯∈n n U V ⨯∈,使得),,,(,),,,(21*21*n n diag BV V diag AU U μμμλλλ ==,个中n λλλ,,,21 ;n μμμ,,,21 分离是A 与B 的特点值.又因为A 与B 类似,所以其对应的特点值雷同.则有B AUV U V BV V AU U =⇒=--1*1***)(.令1-=UV W ,则B AW W =*,因为U.V 是酉矩阵,则W 也是酉矩阵.所以A 与B 酉类似.须要前提：因为A 与B 酉类似,则∃,nn U U ⨯∈使得B AU U =*,又因为,n n U U ⨯∈ 则E U U =* ⇒1-*=U U B AU U AU U ==⇒-1*,因而A 与B 类似. 3-25 证实：3-26 证实：3-27 证实：由已知前提可得 3-28 证实： 3－29 证实：（1）nm C A ⨯∈,则A A A A A A AA A A AA ************)()(,)()(====,nC x ∈∀,0)()())(()(,0)()()(************≥==≥==x A x A x A A x x AA x Ax Ax Ax A x x A A x ;所以A A *和*AA 都是半正定的Hermite 矩阵.（2）令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m E A E S 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A A A AA AA E A E A AA S A AA n m ********0000,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m E A E A A A S **00 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A A A AA AA A A A ******00*,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A A S S AAA ****0000又因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m E A E S 为可逆矩阵,则1****1**1**00000000---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S A A A S A AA S A A A S SS A AA 则0)det(*=-AA E λ与0)det(*=-A A E λ有雷同的非零解3－30证实：因为A 是正规则阵,所以**=AA A A ,则消失U ∈n n U ⨯使),,(21n diag AU U λλλ⋅⋅⋅=*,个中n λλλ⋅⋅⋅,,21为A 的特点值;*⋅⋅⋅=⇒U Udiag A n ),,(21λλλ （1）***⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=U U Udiag U Udiag A n n r ),,(),,(2121λλλλλλ0),,(21=⋅⋅⋅=*U Udiag r n r r λλλ(2)**⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=U Udiag A U Udiag A n n ),,(),,(21222212λλλλλλn n λλλλλλ=⋅⋅⋅==⇒2222121,, ),2,1(10n i i ⋅⋅⋅==⇒或λ即A 的特点值都为实数又A 为正规则阵A A =⇒*（3）同理2322322131n n λλλλλλ=⋅⋅⋅==，， 10或=⇒i λ i i λλ=⇒2即A A U Udiag U Udiag n n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅**22122221),,(),,(即λλλλλλ 3－31 证实：3－32设n n C A ⨯∈,那么A 可以独一的写成iT S A +=,个中T S ,为Hermite 矩阵,且A 可以独一的写成C B A +=,个中B 是Hermite 矩阵,C 是反Hermite 矩阵.证：令i AA T A A S 2,2-=+=**,且 A=S+iT,T T S S ==**,. 下证独一性：用反证法.假设消失2211,;,T S T S 使2211iT S iT S A +=+=,且2211,;,T S T S 均为Hermite 矩阵.则由：A=S 1+iT 1⇒1111iT S iT S A -=-=***⇒i AA T A A S 2,211-=+=** 同理有：i AA T A A S 2,222-=+=**⇒S 1=S 2,T 1=T 2 可知：A 可独一的写成A=S+iT.令B=S,C=iT,则显然B 为Hermite 矩阵,C 为反Hermite 矩阵 则A 可独一写成A=B+C,个中i AA C A AB 2,2-=+=**証毕. 3-33. 设n R 是n 维实(列)向量空间,若：12=a ,,,T n α（a a ）,12=,b ,,Tn β（b b ）令 ()1122,==a b ++T T n n a b a b αβαββα=轻易验证,所划定的(α,β)知足界说n R 成为欧氏空间. 3-34.解： 这只需验证(),αβ知足内积的四个前提即可. 等式成立的充要前提是12a ==0,=0.a α即 3-35.解： 设=(a ),B=(b )ij n n ij n n A ⨯⨯,不难验证 等号成立当且仅当()=0,=0ij a i j ∀，即A . 所所以n n R ⨯欧式空间.3-36. 用[]a,C b 暗示闭区间[]a,b 上的所有实值持续函数构成的实线性空间,对随意率性(x)f .[]g(x)a,C b ∈,划定轻易验证,如许划定的(),f g 是[]a,C b 上的一个内积,从而[]a,C b 成为一个欧氏空间.3-37. 设A 为n 阶正定矩阵,对于n R 中随意率性两个列向量X,Y .划定轻易验证(),X Y 是n R 上的一个内积,于是n R 成为一个欧氏空间. 3-38. 设n C 是n 维复(列)向量空间,若 命 ()()1122,==+++=TH n n a b a b a b αββαβα轻易验证,所划定的(),αβ知足界说中的四个前提,是以n C 成为一个酉空间.3-39. 在n n C ⨯中,对随意率性,n n A B C ⨯∈界说轻易验证(),A B 是n n C ⨯的一个内积,从而n n C ⨯成为一个酉空间. ()tr A 暗示A 的迹,等于()tr A A 的主对角元素之和. 3-40. 在空间4R 中,设求{}123span ααα，，的一个尺度正交基. 解： 运用Schmidt 正交化办法得到因为3β=0,故1α,2α,3α线性相干,轻易1α,2α线性无关,是以12312{,,}={,}span span ααααα,把12,ββ单位化后,12{,}span αα的一个尺度正交基3-41. 已知求{}123span ααα，，的一个尺度正交基. 解： 命把123,,βββ单位化得 则123υυυ，，为所求之基3-42. 设n C α∈,且=1H αα,若 =2H n n n H E C αα⨯-∈ 则H 是酉矩阵. 解：故H 是酉矩阵. 3-43. 试证 是正交矩阵.解：易知T n A A E =,故A 是正交矩阵.该矩阵所代表的正交变换为吉文斯变换.3-44. 2阶矩阵是正交矩阵,它暗示平面上的绕坐标原点的扭改变换 3阶矩阵是正交矩阵,它暗示三位空间绕x 轴的扭改变换.3-45. 设1234,,,αααα是V 的尺度正交基,则12{,}S span αα=与34{,}T span αα=是正交的.3-46. 已知()1212=(1,0,1,1),=0,1,1,2,T=span{,}T T αααα,求T 的正交补. 解：取不难知线性方程组0H A X =的基本解系为12=(-1,-1,1,0),=(-1,-2,0,1)T T ξξ, 则12{,}S span ξξ=,等于T 的正交补.3-47. 设W 是欧式空间V 的一个子空间,那么V 在W 上的正交投影变换P 就是一个对称变换.3-48. 在3R 中,设u 为过直角坐标系原点的平面π轻易验证：对于随意率性的3,R αβ∈,随意率性实数k,l 都有 是以A 既是正交变换,又是对称变换,称其为镜面反射.3-49. 已知 试求酉矩阵W,使得 解：3-50. 已知验证A 是正规则阵,且求酉矩阵U,使H U AU 为对角矩阵. 解：因为1-1=11HA ⎛⎫⎪⎝⎭,经盘算得：20==02H HAA A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以A是正规则阵A 的特点多项式 当1=1+i λ时,特点矩阵 故 12=x ix所以属于1=1+i λ的单位特点向量1=Tα 当2=1-i λ时,特点矩阵 故 12=-x ix所以属于2=1-i λ的单位特点向量1=Tα 命 ()12==U αα⎥⎥⎦， U 是酉矩阵,且知足 3-51.. 已知验证A 是正规举证,且求酉矩阵U,使H U AU 为对角矩阵.解： 0i -1-i 0i =-1-i 0H A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 是Hermite 矩阵对1=-1λ的特点矩阵作初等行变换得 解得属于特点值-1的特点向量为用Schmidt 办法把1α ,2α单位化并正交化得 对3=2λ的特点矩阵作初等行变换得故A 的属于3=2λ的单位特点向量为 命：3-52. 已知 ,0(k )A=0H k A A A ==为自然数，则. 解： 消失n n U U ⨯∈,知足3-53. 已知U 是n 阶酉矩阵,且U-E 可逆,试证 是反Hermite 矩阵. 解：因为：3-54. 设A 为欧式空间V 上的一个对称变换,那么有=.H A A 因为依据对称变换的界说有设A 为欧式空间V 上的一个否决称变换,那么有=-.H A A 依据否决称变换的界说有3-55. 设A 为欧氏空间V 上的一个Hermite 变换,那么有=.H A A Hermite变换也经常被称做自陪同变换.3-56. 设A 为欧氏空间V 上的一个正交变换,那么有-1=.H A A 由界说有3-57. 设A 为酉空间V 上的一个酉变换,那么有-1=.H A A 3-58. 对于随意率性给定的n 阶矩阵A,依据界说不难证实： 3-59. 已知正规则阵试求酉矩阵U,使得H U AU 为对角矩阵. 解：3-60. 已知Hermite 二次型求酉变换Z=Uy 将123(,,)f x x x 变成Hermite 尺度二次型. 解： 所给Hermite 二次型123(,,)f x x x 对应的Hermite 矩阵 于是 123(,,)=X AX H f x x x个中 123X=(,,)T x x x .因为A 为一个Hermite 矩阵,所以A 可以酉对角化.A 的特点值12==2λλ的正交单位特点向量： A 的特点值3=-1λ的单位特点向量：3Tα,于是 3-61. 已知A.B 是n 阶正定Hermite 矩阵,则=0B A λ-的根全身正的实数.证实： 因为B 是正定的,消失n n n P C ⨯∈,知足 且H P AP 0E PAP λ-=故=0B A λ-的根是正的实数3-62. 已知A.B 是n 阶正交矩阵,并且=-A B ,试证：A+B 不成逆. 证实：3-63. 设验证A是Hermite矩阵B是正定的Hermite矩阵,并求满秩矩阵T,使得=H HT AT T BT E为对角矩阵，.解：易证B是正定Hermite矩阵.3-64.设A,B是Hermite矩阵,且B是半正定的,则解：因为因为矩阵B为半正定,所以1(B)0λ≥.从而得到所需结论.。

内积空间(2012-06-17 20:13:58)▼内积空间内积的几何解释在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。

这个额外的结构叫做内积或标量积。

这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。

内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。

关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。

内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space)，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。

在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数／不可数）的欧几里德空间。

定义下文中的数量域F是实数域或复数域。

域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是[[实数域]]时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：满足以下公理：•共轭对称；这个设定蕴含着对于所有, 因为.(共轭也写成加星号：，如同共轭转置。

)•对第一个元素是线性算子；由前两条可以得到：因此实际上是一个半双线性形式。

•非负性：(这样就定义了对于所有。

说明内积是从点积抽象而来。

)•非退化：从V到对偶空间V*的映射：是同构映射。

在有限维的矢量空间中，只需要验证它是单射。

当且仅当。

因此，内积空间是一个Hermitian形式。

V满足可加性：对所有的，，如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。

共轭双线性变成了一般的双线性。

备注。

多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。

很多物理学家接受相反的约定。

这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。

某些作者接受约定< , > 在第一个分量是线性的而< | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。