折叠在三角形问题中的应用活动课

数学活动折纸做60°、30°、15°的角
武穴市实验中学余勇
教学任务分析
教学流程安排
教学活动设计
教学设计说明
本节课是一节数学活动课，其主要内容是折纸做60°、30°、15°的角。

为了体现数学新课程标准和新教材的要求，真正体现数学活动课的特点，通过设计五个课堂活动序列，让学生经历折叠、观察、猜想、测量、推理、交流、反思等理性思维过程，进一步培养学生的动手能力、观察能力和创新能力，发展学生对几何图形的认知能力。

在教学形式上，采用了学生动手操作和几何论证相结合的启发式的教学方法，既关注学生折叠的结果，更关注他们折叠的过程。

在学生的学习方式上，采用动手实践、自主探究与合作交流相结合的方式，使学生学习过程更直观、生动和形象。

本节课活动2既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突出重点、突破难点，通过学生折叠、观察的“做数学”过程，采用教师启发引导、学生交流的方式分析问题并解决问题，一方面使课堂“活”起来，另一方面也使课堂真正“动”起来。

《三角形的内角和》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生通过测量、剪拼、折叠等活动，探索并发现三角形内角和是180°，并能应用这一知识解决一些简单的实际问题。

2、过程与方法目标经历观察、操作、思考、讨论、归纳等数学活动，培养学生的动手实践能力、推理能力和创新精神，发展学生的空间观念。

3、情感态度与价值观目标在探究三角形内角和的过程中，体验数学活动的探索乐趣，激发学生学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心。

二、教学重难点1、教学重点探索并证明三角形内角和是 180°。

2、教学难点理解三角形内角和是 180°的推理过程。

三、教学方法讲授法、实验法、讨论法四、教学准备多媒体课件、三角形纸片、量角器、剪刀五、教学过程（一）创设情境，导入新课1、出示三角形的图片，提问：同学们，你们认识这些图形吗？它们是什么图形？2、引导学生回忆三角形的特点，如三角形有三条边、三个顶点和三个角。

3、提出问题：那你们知道三角形的三个内角的和是多少度吗？（二）自主探究，合作交流1、量一量（1）让学生拿出准备好的三角形纸片，用量角器分别测量三角形三个内角的度数，并记录下来。

（2）小组内交流测量结果，计算三个内角的和。

（3）教师巡视指导，收集学生的测量数据。

2、剪一剪、拼一拼（1）让学生把三角形的三个内角剪下来，拼在一起，看看能拼成一个什么角。

（2）小组内合作完成，展示拼的结果。

（3）教师引导学生观察拼成的角，提问：拼成的角是什么角？它的度数是多少？3、折一折（1）教师示范折三角形内角的方法，让学生跟着折。

（2）学生动手折，把三个内角折到一起，观察折成的角。

（3）小组内交流折的过程和结果。

（三）归纳总结，得出结论1、引导学生观察量、剪拼、折叠的结果，提问：通过这些活动，你们发现三角形的内角和是多少度？2、学生讨论交流，得出结论：三角形的内角和是 180°。

（四）巩固练习，应用拓展1、基础练习（1）出示一些三角形，让学生求出它们的内角和。

几何折叠游戏教案中班引言：几何折叠游戏是一种通过折叠纸张来构建各种几何形状的有趣活动。

这个游戏不仅能够培养孩子们的空间想象力和创造力，还可以提升他们的手眼协调能力和逻辑思维能力。

在中班的教育中，我们可以利用几何折叠游戏来激发孩子们对几何学的兴趣，并引导他们积极参与其中。

一、目标：1. 培养孩子对几何形状的认识和理解能力。

2. 提高孩子的手眼协调能力和操作技巧。

3. 培养孩子的逻辑思维和问题解决能力。

二、教学准备：1. 手头准备一些彩色纸张和剪刀。

2. 准备一些简单的几何折叠样本，如正方形、长方形、三角形等。

三、教学步骤：1. 引导孩子观察和感知几何形状：通过展示一些几何形状的图片或实物，引导孩子观察并描述这些形状的特点，如边数、角数等。

2. 学习基本的折叠方法：向孩子展示一些简单的几何折叠样本，如折叠正方形、长方形等。

教导他们如何按照折叠线将纸张折叠成所需的形状。

3. 进行几何折叠游戏：让孩子们自己动手尝试折叠纸张，根据教师给出的折叠样本，尝试将纸张折叠成相应的几何形状。

鼓励孩子们互相交流和分享自己的经验和成果。

4. 创造性的几何折叠：鼓励孩子们利用所学的折叠方法，自由发挥创造力，尝试折叠出其他有趣的几何形状。

教师可以提供一些简单的提示，如“折叠一个心形”或“折叠一只小鸟”等，引导孩子们进行创造性折叠。

四、教学评估：1. 观察孩子们的折叠过程和成果，评估他们对几何形状的理解和折叠技巧的掌握情况。

2. 鼓励孩子们展示自己的折叠成果，并互相欣赏和评价。

五、延伸活动：1. 制作几何形状的拼图：利用折叠好的几何形状，将它们粘贴在纸板上，制作成几何形状的拼图，让孩子们进行拼图游戏。

2. 几何形状的彩绘：让孩子们在折叠好的几何形状上进行彩绘，发挥创造力，让形状更加生动有趣。

3. 几何形状的探索：引导孩子们观察周围的环境，寻找和识别不同的几何形状，激发他们对几何学。

成都市七中育才学校学道分校教学设计课题勾股定理应用——折叠专题授课人张舟教学环节教师活动学生活动活动目标多媒体、教具应用及分析新课导入播放”折纸艺术欣赏“视频折纸与一数学定理密切相关。

该定理不仅引导了无理数的发现，引起了第一次数学危机，它更是被誉为“几何学的基石”，建立了数与形之间的桥梁，在求线段的长度时发挥着重要的作用。

聪明的你们知道它是什么定理吗？学生观看视频并猜想激发学生学习兴趣，拓展学生对勾股定理的认识并提高学生审美能力。

利用计算机播放视频，体验视觉冲击，导入新课。

应用勾股定理探究折叠问题请同学们，将手中的矩形折叠，若已知边长为6、8，你知道重叠部分的面积吗？折叠纸片，并在学案上计算重叠部分的面积。

分享求解方法。

通过折叠纸片，学生切身体会折叠的基本性质，为求解线段长度奠定基础。

调动学生一起动手展开探究，并分享求解方法，培养学生的表达能力。

利用纸片折叠，形象地让学生体会折叠过程，并用几何画板展示，进一步体会折叠过程。

展开矩形纸片，再折叠，使AB落在对角线AC上G点处，得折痕AF，你知道折痕的长度吗？折叠纸片，并在学案上计算折痕长度。

分享求解方法。

请同学们总结：折叠问题中求线段长度的方法总结：利用折叠性质转化相等线段、设元表示相关线段、应用勾股定理建立等式、求解线段长度。

加强同学对求线段长度方法的掌握，在总结方法过程中培养学生数学思想，如转化思想、方程思想。

板书的同时，利用多媒体展示，引起学生的注意，强化学生对方法总结的认识将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使D落在BC 边上的中点E 处，点A落在A'处，折痕为MN。

1〉求线段CN的长。

2〉求MN 的长。

3〉求MA 的长。

先独立完成练习、再小组讨论并展示学生利用手中的纸片，通过实验完成探究。

矩形ABCD中，AB=3，BC=4点E 是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使B落在B'处，当三角形CEB'为直角三角形时，求BE的长。

图形变换中的重要模型之翻折(折叠)模型几何变换中的翻折(折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。

涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。

无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。

本专题以各类几个图形(三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等)为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【知识储备】翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。

以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。

对于翻折和折叠问题主要分两大类题型：直接计算型和分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。

翻折折叠题型(1)：直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。

一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路。

翻折折叠题型(2)：分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。

般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析。

解决翻折题型的策略：1)利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；2)结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3)运用勾股定理或者三角形相似建立方程。

模型1.矩形中的折叠模型1)常规计算型例1.(2022·浙江·宁波一模)如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB =9，AD =6，BE =3，则DF 的长是( )A.72B.4C.924D.3变式1.(2021·四川成都·中考真题)如图，在矩形ABCD 中，AB =4,AD =8，点E ，F 分别在边AD,BC 上，且AE =3，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点A '恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为B '，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在EF ,A B '上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．2)线段比值型例1.(2022·江苏苏州·中考真题)如图，在矩形ABCD 中AB BC=23．动点M 从点A 出发，沿边AD 向点D 匀速运动，动点N 从点B 出发，沿边BC 向点C 匀速运动，连接MN ．动点M ，N 同时出发，点M 运动的速度为v 1，点N 运动的速度为v 2，且v 1<v 2．当点N 到达点C 时，M ，N 两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN 沿MN 翻折，得到四边形MA B N ．若在某一时刻，点B 的对应点B 恰好在CD 的中点重合，则v 1v 2的值为______．变式1.(2022·湖北襄阳·二模)如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开，E为BC边上一点，再将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则CEBE=____3)分类讨论型例1.(2022·辽宁锦州·中考真题)如图，四边形ABCD为矩形，AB=2,AD=3，点E为边BC上一点，将△DCE沿DE翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD于点G，交直线BC于点H．若点G是边AD的三等分点，则FG的长是____________．变式1.(2022·河南省实验中学一模)如图，在矩形ABCD中，已知AB=10，AD=6，动点P从点D 出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP 沿着AP翻折得到△AEP．作射线PE与边AB交于点Q，当QE=QB时，t=_______．4)路径(轨迹)型例1.(2022·重庆十八中两江实验中学一模)如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是AB 边上一点，且AE =2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则三角形AGC 的面积的最小值为( )A.32B.43C.54D.3变式1.(2022·四川成都·模拟预测)如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，在点E 从A 到D 的运动过程中，点G 的运动路径=________，△CEF 面积的最小值是________．5)综合证明型例1.(2022·广东·一模)如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，E 是CD 上一点，沿AE 折叠矩形，BC 的对应边B C 经过点D ，连接BB ，与AE 、AD 分别交于点G 、H ，连接BD 交AE 于点F .下列结论：①△B DH 是等腰三角形；②GH ：B 'H =1：3；③BB 平分∠ABD ；④S △AFD =5013.其中结论正确有( )A.②④B.②④C.①②③D.①②④变式1.(2022·吉林·长春市二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的边OA 、OB 分别在y轴和x 轴上，已知对角线OC =5．tan ∠BOC =34．F 是BC 边上一点，过点F 的反比例函数y =k xk >0 的图象与AC 边交于点E ，若将△CEF 沿EF 翻折后，点C 恰好落在OB 上的点M 处，则k 的值为( )A.2B.175C.3D.218模型2.特殊三角形中的折叠模型1)常规计算型例1.(2021·重庆·中考真题)如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC ，连接CC ，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE=BE，BC =2，则AD的长为__________．变式1.(2022.广西九年级模拟)如图，在△ABC中，AB<AC，∠C=45°，AB=5，BC=42，点D在AC上运动，连接BD，把△BCD沿BD折叠得到△BC D，BC′交AC于点E，C′D∥AB，则图中阴影部分的面积是( )A.78B.127C.52D.2072)分类讨论型例1.(2022.重庆九年级期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=43，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC 于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．变式1.(2022.河南九年级模拟)如图，∠POQ=90°，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动(点A，B不与点O重合)，C为AB的中点，作△OAC关于直线OC对称的△OA C，A O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时，∠OBD的度数为______．3)综合证明型例1.(2020·江苏淮安·中考真题)【初步尝试】(1)如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为；【思考说理】(2)如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6，AB=10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM的值．【拓展延伸】(3)如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B 处，折痕为CM．①求线段AC的长；②若点O是边AC的中点，点P为线段OB 上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A PM，点A的对应点为点A ，A M与CP交于点F，求PFMF的取值范围．变式1.(2022·福建三明·九年级期中)如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=34x与直线l2:y=kx+b(k≠0)相交于点A(a,3)，直线l2与y轴交于点B(0,-5)．(1)求直线l2的函数解析式；(2)将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，使点O与点C重合，AC与x轴交于点D．求证：AC∥OB；(3)在直线BC下方是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．模型3.平行四边形中的折叠模型1)常规计算型例1.(2021·江苏苏州·中考真题)如图，在平行四边形ABCD 中，将△ABC 沿着AC 所在的直线翻折得到△AB C ，B C 交AD 于点E ，连接B D ，若∠B =60°，∠ACB =45°，AC =6，则B D 的长是( )A.1B.2C.3D.62变式1.(2021·江西·中考真题)如图，将▱ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，CE 交AD于点F ，若∠B =80°，∠ACE =2∠ECD ，FC =a ，FD =b ，则▱ABCD 的周长为______．2)分类讨论型例1.(2022·湖北随州·中考模拟)在▱ABCD 中，AB <BC ，已知∠B =30°，AB =23，将△ABC沿AC 翻折至△AB ′C ，使点B ′落在▱ABCD 所在的平面内，连接B ′D ．若△AB ′D 是直角三角形，则BC 的长为_____．变式1.在平行四边形ABCD 中，∠A =60°，AB =4，点E 、F 分别为AD 、BC 的中点，沿EF 折叠平行四边形，使线段CD 落在直线AB 上，点C 的对应点为C 1，点D 的对应点为D 1，若BD 1=2，则AD 的长为___________.3)综合证明型例1.(2022·贵州贵阳·中考真题)小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD 中，AN 为BC 边上的高，AD AN=m ，点M 在AD 边上，且BA =BM ，点E 是线段AM 上任意一点，连接BE ，将△ABE 沿BE 翻折得△FBE ．(1)问题解决：如图①，当∠BAD=60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则AMAN= ______；(2)问题探究：如图②，当∠BAD=45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；(3)拓展延伸：当∠BAD=30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE=MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．变式1.(2021·山西·中考真题)综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；独立思考：(1)请解答老师提出的问题；实践探究：(2)希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；问题解决：(3)智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB=5，BC=25，求图中阴影部分(四边形BHNM)的面积．请你思考此问题，直接写出结果．模型4.菱形中的折叠1)基本计算型例1.(2021·辽宁大连·中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边BC上，将△ABE 沿直线AE翻折180°，得到△AB'E，点B的对应点是点B 若AB ⊥BD，BE=2，则BB 的长是__________．变式1.(2022·宁夏·银川市二模)如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处(不与B，D重合)，折痕为EF，若DG=13BG，则BE的长为( )A.145B.135C.137D.752)分类讨论型例1.(2022·河南·潢川县第二中学一模)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交AD于点E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长为______．变式1.(2022山西中考模拟)如图在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=3，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠点A落在G 处，当△C GB为等腰三角形时，则AP的长为_________.3)综合证明型例1.(2022·河北·邢台市二模)如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°．如图2，翻折∠ABC，∠ADC，使两个角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕，设BE=x (0<x<2)，下列判断：①当x=1时，DP的长为3；②EF+GH的值随x的变化而变化；③六边形AEFCHG面积的最大值是33；④六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确的是( )A.①②B.①④C.②③④D.①③④变式1.(2022·湖北武汉·校联考一模)问题背景:如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求证：AEDE=BE DC．尝试应用:：如图2，在平行四边形ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求FCFD的值．拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE=∠D，AE⊥FE，FC=2．EC=6．请直接写出EFAF的值．模型5.正方形中的折叠模型1)常规计算型例1.(2022·广西·中考真题)如图，在正方形ABCD中，AB=42，对角线AC,BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD,BD于点F、G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是_______．变式1.(2022·四川成都·二模)如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，沿直线DF翻折△ADF，使点A的对应点A′恰好落在线段AE上，分别在AD，A D上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点A 与点D重合，则线段MN的长为________．2)分类讨论型例1.(2022·浙江·二模)正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C'处，联结DC'并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN= DM时，CM的长为___．变式1.(2022·河南·民权一模)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是AB边上一动点，将△BEF沿EF折叠得到△B EF，连接B C，作△B EC关于B C对称的△B E C，连接DB ，DE ．当△DB E 是等腰三角形时，BF的长为______．3)综合证明型例1.(2022·四川渠县一模)如图，将正方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在AD 边的点P 处(不与点A ，点D 重合)，点C 落在G 点处，PG 交DC 于点H ，连接BP ，BH ．BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①PB 平分∠APG ；②PH =AP +CH ；③BM =22BP ，④若BE =53，AP =1，则S 四边形BEPM =113，其中正确结论的序号是( )A.①②③④ B.①②③C.①③④D.①②④变式1.(2022·福建·厦门二模)如图，正方形纸片ABCD ，P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ，点D 重合)．将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接BP ，BH ，BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①BE =PE ；②BP =EF ；③PB 平分∠APG ；④PH =AP +HC ；⑤MH =MF ，其中正确结论的个数是( )A.5 B.4C.3D.2模型6.圆中的折叠模型1)角度、长度型例1.(2021·湖北武汉·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将BC沿BC翻折交AB 于点D ．再将BD沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE=DE，设∠ABC =α，则α所在的范围是()A.21.9°<α<22.3°B.22.3°<α<22.7°C.22.7°<α<23.1°D.23.1°<α<23.5°变式1.(2022·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在扇形AOB 中，点C ，D 在AB 上，将CD沿弦CD折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．已知∠AOB =120°，OA =6，则EF的度数为_______；折痕CD 的长为_______．2)面积型例1.(2022·山西太原·统考二模)如图是一张圆心为O ，半径为4cm 的圆形纸片，沿弦AC 所在直线折叠，使得AC经过点O ，将纸片⊙O 展平后，作半径OB ⊥OA ，则图中阴影部分的面积等于( )A.4π-43 cm 2B.43πcm 2C.163π-83 cm2D.203π-83 cm 2变式1.(2022·山西大同·校联考三模)如图，边长为6的正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，沿AE 折叠，点F 与点O 重合，过点E 作⊙O 的切线与AD 的延长线交于点G ，则图中阴影部分的面积是( )A.363-6πB.183+6πC.273+9πD.273-3π课后专题训练1.(2022·山东烟台·一模)如图，在矩形ABCD 中，BC =6，E 是BC 的中点，连接AE ，tan ∠BAE =34，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D 处，当△APD是直角三角形时，PD 的值为( )A.23或67 B.83或247C.83或307 D.103或1872.(2022·山东模拟预测)矩形纸片ABCD 中，AB =5，AD =4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的B 处，折痕为AE ．延长B E 交AB 的延长线于M ，折痕AE 上有点P ，下列五个结论中正确的有( )①∠M =∠B AM ；②PB =PB ；③AE =552；④MB =AB ；⑤若B P ⊥CD ，则四边形BPB E 是菱形．A.2 B.3C.4D.53.(2022.山东中考模拟)如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将△BDE 沿DE 翻折，得到△B DE ，若点C 恰好在线段B D 上，若∠BCD =90°，DC ：CB =3：2，AB =162，则CE 的长度为( )A.42 B.722C.32D.5224.(2020·江苏镇江·中考真题)如图①，AB=5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP=x，QD=y．若y关于x的函数图象(如图②)经过点E(9，2)，则cos B的值等于( )A.25B.12C.35D.7105.(2022·河南商丘·统考三模)如图菱形OABC，在平面直角坐标系中，点A(8，0)，∠C=60°，点P为OA上的一点，且点P(3，0)，Q是BC边上的一个动点，将四边形OPQC沿直线PQ折叠，O的对应点O ，当BO 的长度最小时，则点Q的坐标为( )A.(-1，43)B.(-2，43)C.(-3，43)D.(0，43)6.(2021·陕西·陕西师大附中校考模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AD=23，点P为对角线AC上的一个动点，过P作EF⊥AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点恰好落在对角线AC上的点G处，若△CBG是等腰三角形时，则AP的长为( )A.3-3或32B.3-3或2C.6-23或4D.6-23或327.(2022·安徽·模拟预测)正方形ABCD 的边长为8，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，将正方形沿EF 折叠，使点A 落在A 处，点B 落在B 处，A B 交BC 于G ．下列结论错误的是( )A.当A 为CD 中点时，则tan ∠DA E =34B.当A D :DE :A E =3:4:5时，则A C =163C.连接AA ，则AA =EFD.当A (点A 不与C 、D 重合)在CD 上移动时，△A CG 周长随着A 位置变化而变化8.(2022春·福建福州·九年级阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将BC沿BC 翻折交AB 于点D ，再将BD沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE=DE，则∠BCD 的度数是( )A.22.5°B.30°C.45°D.60°9.(2022秋·九年级课时练习)如图，将⊙O 上的BC 沿弦BC 翻折交半径OA 于点D ，再将BD沿BD 翻折交BC 于点E ，连接DE ．若AD =2OD ，则DEAB的值为( )A.36 B.63C.33D.6610.(2022·四川成都·二模)如图，在矩形ABCD 中，BC =23AB ．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的E 处，得到四边形FEPG ，连接AE ,PC ，若tan ∠CGP =34,GF =410，则S △PEC =________．11.(2022.河北中考模拟)如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=-2x+2的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．将△ABO沿直线AB翻折得到△ABC．若点C在反比例函数y= kx(k≠0)的图象上，则k=____．12.(2022·成都市树德实验中学校考模拟预测)如图，AB=AC=4，∠BAC=90°，点M是线段AC上一个动点，连接BM，将线段BA沿直线BM进行翻折，点A落在点N处，连接CN，以CN 为斜边在直线CN的左侧(或者下方)构造等腰直角三角形CND，则点M从A运动到C的过程中，线段CD的最小值是______，当M从点A运动到点C时，点D的运动总路径长是_ _____．13.(2022·河南许昌·统考二模)如图，在菱形ABCD中，AB=12，∠A=60°，点E为边AD的中点，F为射线AB上一动点，连接EF，把△AEF沿EF折叠，得到△A EF，当A F与菱形的边垂直时，线段AF的长为______．14.(2022·湖北襄阳·一模)如图，正方形ABCD的边长为24，点E是对角线BD上一点，且BE=3DE，F是BC的中点．连接AE,EF,AF,AF与BD交点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH，连接AH，交EF于点M，则MH=_________．15.(2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习)在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ．(1)如图1，若点D 与圆心O 重合，则∠BAC 的度数为__；(2)如图2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC =16°，则∠DCA 的度数为__．16.(2021·浙江金华·统考中考真题)在扇形AOB 中，半径OA =6，点P 在OA 上，连结PB ，将△OBP 沿PB 折叠得到△O ′BP ．(1)如图1，若∠O =75°，且BO ′与AB所在的圆相切于点B ．①求∠APO ′的度数．②求AP 的长．(2)如图2，BO ′与AB相交于点D ，若点D 为AB的中点，且PD ⎳OB ，求AB的长．17.(2022·辽宁·沈阳市九年级期中)综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)迁移探究：①如图1，当点M在EF上时，∠E MB=___________°，∠MB Q=___________°．②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图2，判断∠MB Q与∠CBQ的数量关系，并说明理由．③已知正方形纸片ABCD的边长为8，当FQ=1时，直接写出AP的长．(2)拓展应用：正方形ABCD的边长为8，点P在边AD上，将△ABP沿直线BP翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接DM并延长交正方形ABCD一边于点G．当BG=DP时，则DP的长为___________．18.(2022·江苏无锡·统考一模)菱形ABCD中，tan D=3，点E在AD边上，F在BC边上，(1)如图1若点F与点B重合且AB=6，以直线EB为轴，将菱形ABCD折叠，使点C、D分别落在点C 、D ，且∠C AD =90°，请求出C A的长．(2)如图2以直线EF为轴，将菱形ABCD折叠，使点C、D分别落在点C 、D ，且C D 过点A，当C F⊥AB时，请求出BFFC的值．19.(2021·吉林·统考中考真题)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．(1)若AB=a．直接写出CD的长(用含a的代数式表示)；(2)若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如图②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；(3)若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．。

手工折叠几何图形教案一、教学目标。

1. 知识目标。

（1）掌握几何图形的折叠方法。

（2）了解不同几何图形的折叠特点。

2. 能力目标。

（1）培养学生的动手能力和观察能力。

（2）培养学生的逻辑思维能力。

3. 情感目标。

（1）激发学生对几何图形的兴趣。

（2）培养学生的耐心和细心。

二、教学重难点。

1. 教学重点。

（1）几何图形的折叠方法。

（2）不同几何图形的折叠特点。

2. 教学难点。

（1）学生对几何图形的折叠特点的理解和掌握。

（2）学生在动手操作中的细节处理。

三、教学准备。

1. 教师准备。

（1）准备好各种几何图形的样张。

（2）准备好折叠的步骤和方法。

2. 学生准备。

（1）学生准备好折叠纸和工具。

（2）学生准备好心态，积极参与课堂活动。

四、教学过程。

1. 导入新课。

教师向学生展示几种几何图形的折叠样张，并引导学生观察和讨论不同几何图形的折叠特点。

2. 操作示范。

教师向学生展示几何图形的折叠方法，并在黑板上进行示范。

学生观看示范操作。

3. 学生操作。

学生根据教师的示范，自行操作折叠几何图形，老师巡视指导。

4. 练习巩固。

学生根据教师的指导，继续进行几何图形的折叠练习，加深对几何图形折叠方法的理解和掌握。

5. 总结反思。

教师和学生一起总结几何图形的折叠特点，讨论折叠过程中的问题和经验。

六、教学反思。

通过本节课的教学，学生对几何图形的折叠方法有了更深入的理解和掌握，动手能力和观察能力得到了锻炼，逻辑思维能力得到了提升。

同时，学生在动手操作中也培养了耐心和细心。

在以后的教学中，可以加强学生对几何图形折叠方法的练习，提高学生的操作技能和逻辑思维能力。

数学活动折纸与证明数学活动折纸与证明数学活动折纸与证明数学活动折纸与证明【学习重、难点】重点：经历操作方式、证明的过程，探究化解折纸问题的方法并可以化解折纸问题难点：探究化解折纸问题的思路学习过程：活动一：(1)用一张长方形纸片八折正方形，并探究操作方式的合理性。

(2)用一张长方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。

活动二：（1）用一张正方形纸片八折矩形。

（2）用一张正方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。

（3）用一张正方形纸片折等边三角形，并探究操作的合理性。

(1)用一张等边三角形纸片八折菱形，并探究操作方式的合理性。

(2)用一张等腰三角形纸片八折菱形，并探究操作方式的合理性。

)观察与发现：小明将三角形纸片abc(ab>ac)沿过点a的直线折叠，使得ac落在ab 边上，折痕为ad，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点a和点d重合，折痕为ef，展平纸片后得到△aef（如图②）．再分别沿de、df折叠展平纸片后得四边形aedf（如图③）。

试判断四边形aedf是什么四边形？，并证明你的结论。

用两张长方形纸条纸片比拼菱形，并探究操作方式的合理性。

活动四：用一张长方形纸片折正五边形，并探究操作的合理性。

卷曲问题方法概括：1、如图，将△abc中，ab＞ac，d、e分别是ab、ac上的点，△ade沿线段de翻折，使点a落在边上，记作a′.则下列说法正确的是()(a)de垂直平分线段aa′(b)ad=ae(c)aa′垂直平分线段de(d)aa′平分∠bac2、将一矩形纸片按如图方式折叠，bc、bd为折痕，折叠后a'b与e'b与在同一条直线上，则∠cbd的度数（）a.大于90°b.等于90°c.小于90°d.不能确定5、例如图，将△abc沿de卷曲，使点a与bc边的中点f重合，以下结论中：①ef∥ab且ef=1ab；②∠baf=∠caf；四边形adfe=2afde；④∠bdf+∠fec=2∠bac，恰当的个数就是（）（a）春蕾杯教学反思———5.4折纸与证明今年的春蕾杯的课题是九年级的一节活动课《折纸与证明》，这节课极具挑战性，对于活动课该怎么上，作为年轻老师的我是一头雾水，没有一点头绪。

四年级数学下册三角形《三角形的内角和》听课记录一、导入新课1.1 教师活动•教师以三角形纸片为道具，通过折叠或撕角的方式展示三角形三个内角能够拼成一个平角的现象，并提问：“同学们，你们发现了什么？为什么三角形的三个内角会拼成一个平角呢？”•通过设置疑问，激发学生的好奇心和探究欲望。

1.2 学生活动•学生认真观察教师的演示，并尝试回答教师提出的问题。

•部分学生表现出对三角形内角和的好奇，并期待学习更多相关知识。

1.3 过程点评•导入新课的方式直观生动，能够迅速吸引学生的注意力，并激发他们的学习兴趣。

•教师通过演示和提问的方式，有效地引导学生进入学习状态。

二、导学释题2.1 教师活动•教师明确学习目标：“今天我们要学习三角形的内角和，并理解它的性质。

”•通过讲解和演示，介绍三角形内角和的概念及性质：“三角形的三个内角之和等于180度。

”•引导学生通过量角器测量、撕角拼接等方式验证三角形的内角和性质。

2.2 学生活动•学生认真听讲，跟随教师的讲解理解三角形内角和的概念及性质。

•学生积极参与验证活动，通过实际操作加深对三角形内角和性质的理解。

•对于不懂的地方，学生及时提问，与教师进行互动交流。

2.3 过程点评•教师导学释题清晰明了，能够帮助学生理解并掌握三角形的内角和性质。

•学生通过实际操作验证性质，加深了对知识的理解和记忆。

三、板书设计文字部分•“三角形的内角和= 180°”•“验证方法：量角器测量、撕角拼接”简图部分•绘制一个三角形，并标注其三个内角。

•在三角形旁边，用箭头指向一个撕角拼接后的平角图形，标注“180°”。

四、拓展延伸•教师引导学生思考：“除了三角形，其他多边形的内角和有什么规律呢？”•学生讨论后，教师简要介绍四边形、五边形等多边形的内角和计算方法，并鼓励学生课后进一步探究。

五、课堂总结•教师对本节课的学习内容进行总结：“今天我们学习了三角形的内角和性质，并掌握了验证方法。

初中数学折叠图形教案教学目标：1. 让学生理解并掌握折叠图形的概念和性质；2. 培养学生观察、思考和解决问题的能力；3. 培养学生空间想象能力和动手操作能力。

教学内容：1. 折叠图形的概念和性质；2. 折叠图形的分类和特点；3. 折叠图形的应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过展示一些日常生活中的折叠现象，如折纸、折衣服等，引导学生关注折叠图形；2. 提问：你们对这些折叠现象有什么观察和发现？二、新课讲解（15分钟）1. 教师介绍折叠图形的概念和性质，如折痕、对折线等；2. 讲解折叠图形的分类和特点，如正方形、长方形、三角形等；3. 通过实物演示或多媒体展示，让学生直观地理解折叠图形的特点。

三、课堂练习（15分钟）1. 教师给出一些折叠图形的问题，让学生独立解决；2. 学生互相交流解题过程和思路，教师进行点评和指导；3. 教师选取一些学生的作品进行展示和分析。

四、拓展与应用（15分钟）1. 教师提出一些实际问题，让学生运用折叠图形的知识进行解决；2. 学生分组讨论和操作，寻找解决问题的方法；3. 各组汇报解题过程和结果，教师进行点评和总结。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学的内容，总结折叠图形的概念、性质和应用；2. 学生分享自己在课堂上的收获和感悟。

教学评价：1. 学生对折叠图形的概念和性质的掌握程度；2. 学生对折叠图形的分类和特点的理解程度；3. 学生在解决问题时运用折叠图形的能力。

教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了折叠图形的概念、性质和应用。

在课堂练习环节，学生能够独立解决一些简单的折叠图形问题，但在解决较复杂问题时，仍需加强思考和交流。

在拓展与应用环节，学生能够将折叠图形的知识运用到实际问题中，提高了空间想象能力和动手操作能力。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标，但仍有待进一步提高学生的思考和解决问题的能力。

初中数学综合实践课教学设计及建议—《三角形首饰盒》为例摘要：综合实践活动课程作为国家基础教育新课程改革的重点和亮点登上中学课堂的舞台。

本文根据综合实践活动课程标准及折纸过程涉及的数学活动经验，以《三角形首饰盒》为例，设计了一堂初中学生的数学综合实践活动课。

1.引言《20xx版数学课程标准》明确把＂综合与实践＂列入课程内容，＂综合与实践＂是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动[1]。

＂综合与实践＂课程设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力[2]。

折纸是一种充满数学味道的艺术。

在惊叹折纸艺术美的同时，你是否驻足停留去深究其中的数学原理呢当把精美的盒子展开时，你曾否关注过那一条条折痕折射出的数学线条呢将折纸作为一种有趣的数学活动能让学生经历＂做＂的过程和＂思考＂的过程，折纸会帮助学生积累数学活动经验，这也是本研究将三角形首饰盒的折叠作为综合实践课的教学素材的原因之一。

2.教学设计2.1选材分析开展综合实践课教学，必须合理利用教学资源，以学生为主体，抓住学生兴趣开展教学[3]。

由于初中学生好奇心强，三角形首饰盒可激发学生学习兴趣。

初三学生已经习得相似三角形和锐角三角函数，为提高学生对已学知识的应用，特别选择《三角形首饰盒》作为本堂综合实践课的内容。

2.2材料准备由于三角形首饰盒由盒盖和盒底组成，而盒盖和盒底分别由3个相同的部分拼接而成，因此每个学生需准备6张同样大小的正方形纸，我们选取边长为15cm 的正方形纸作为本节课的材料。

2.3学情分析本次实践课依据选材内容涉及到的数学知识点，将授课对象定为初三学生。

本堂课主要是研究三角形首饰盒的展开图分析盒子边长与正方形边长的大小关系，在本堂课之前学生已经掌握了盒底和盒盖的折叠方法。

本堂课重在应用数学原理解决实际问题，能培养初中学生的抽象逻辑思维。