三角形折叠问题

七年级折叠问题解题技巧一、折叠问题中的基本性质与关系1. 折叠性质在折叠过程中，折叠前后的图形全等。

这意味着对应边相等，对应角相等。

例如，将一个三角形沿着某条直线折叠，折叠后的三角形与原三角形的对应边长度不变，对应角的大小也不变。

折痕是对应点连线的垂直平分线。

比如将矩形ABCD沿着EF折叠，使得点A与点C重合，那么EF就是AC的垂直平分线。

2. 常见的几何图形中的折叠三角形折叠例1：在△ABC中，∠C = 90°，将△ABC沿着直线DE折叠，使点A与点B 重合，若AC = 6，BC = 8，求折痕DE的长。

解析：因为点A与点B重合，所以DE是AB的垂直平分线。

先根据勾股定理求出AB=公式。

设AB中点为F，则AF=公式。

由于△ADE和△BDE全等，所以AD = BD。

设BD = x，则AD = x，CD = 8 x。

在Rt△ACD中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。

再根据相似三角形，△ADE∽△ABC，公式，即公式，解得DE=公式。

矩形折叠例2：矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，将矩形沿对角线AC折叠，求重叠部分（△AEC）的面积。

解析：因为矩形沿对角线AC折叠，所以△ADC≌△AEC。

设AE = x，则BE = 4 x。

在Rt△ABE中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。

所以公式。

二、解题步骤与技巧1. 步骤第一步：根据折叠性质确定相等的边和角。

这是解决折叠问题的基础，只有明确了这些关系，才能进一步进行计算。

第二步：设未知数。

通常根据所求的量或者与所求量相关的线段设未知数，然后利用勾股定理、相似三角形等知识建立方程。

第三步：求解方程。

通过解方程得到未知数的值，从而求出最终答案。

2. 技巧利用勾股定理在直角三角形中，折叠后常常会形成新的直角三角形，此时可以利用勾股定理建立方程求解。

如上述矩形折叠的例子中，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度。

利用相似三角形当折叠后的图形与原图形存在相似关系时，利用相似三角形的对应边成比例来求解。

三角形折叠问题三角形折叠是一种有趣且具有挑战性的几何问题。

其基本概念是通过将一个平面的三角形折叠成不同的形状，探索不同的性质和特征。

在本文中，我们将探讨三角形折叠的背景、方法和相关应用。

1. 背景三角形折叠问题源自对折纸艺术的研究。

通过将纸张折叠成各种形状和结构，艺术家们展示了折纸的无限可能性。

而在数学领域中，三角形折叠则是一种几何问题，涉及到三角形的边长、角度以及折叠方式等等。

2. 基本方法在三角形折叠中，最重要的是要确定初始的三角形形状。

可以选择以等边三角形或者直角三角形为起点，也可以尝试其他类型的三角形。

接下来，我们需要考虑折叠的方式。

折叠方法可以是单纯的沿着边线折叠，也可以是复杂的多次折叠，使得三角形变为立体结构。

通过不同的折叠方式，我们可以观察到不同的现象和性质。

3. 角度和边长的变化在进行三角形折叠时，角度和边长是最基本的属性之一。

通过改变角度或者边长，我们可以得到不同的折叠结果。

例如，当我们改变三角形的角度时，可能会导致折叠后形状的不对称性或者其他有趣的现象。

同样地，通过改变边长，我们可以观察到折叠后的形状和结构的变化。

4. 折叠的性质三角形折叠的一个重要性质是相似性。

即使在折叠的过程中，三角形的形状可能发生改变，但是它们的性质仍然保持。

通过观察相似性，我们可以探索到折叠后形状的特征和规律。

另外，三角形折叠还涉及到拓扑学的概念，例如穿越、连接等。

通过研究这些性质，我们可以深入理解三角形折叠的本质。

5. 应用三角形折叠问题在许多领域都有着广泛的应用。

在纸艺术中，艺术家们经常利用三角形折叠的技巧来创造各种立体造型和装置。

在建筑学中，三角形折叠可以帮助设计师探索新的建筑形式和结构。

在计算机图形学中，三角形折叠则是一种重要的模型生成和变换技术。

总结：三角形折叠问题是一个有趣且具有挑战性的几何问题。

通过折叠三角形，我们可以探索不同的性质和特征，例如角度和边长的变化，折叠的性质以及相关应用。

不仅在艺术和建筑领域，三角形折叠问题还在计算机图形学等领域有着广泛的应用。

三角形折叠问题专题练习一、选择题1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC 边上的点E处，如果∠A＝26°，那么∠CDE度数为（）A．71°B．64°C．80°D．45°【答案】A2．将一张正方形纸片，按如图所示步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）【答案】B3．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）【答案】A4．学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．如果想得到一个正五角星(如图④)，那垂直A．B．C．D．A．126°B．108°C．100°D．90°【答案】A5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DB等于（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】C6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果＝6，那么线段BE的长度为（）．6 B．6 2 C．2 3 D．32【答案】D【解析】根据折叠的性质知，CD＝ED，∠CDA＝∠ADE＝45°，∴∠CDE＝∠BDE＝90°，∵BD＝CD，BC＝6，∴BD＝ED＝3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE＝2BD＝2×3＝32，故选D．7．如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（）A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝DE D．AD＝EC【答案】B【解析】由折叠知△BAD≌△BED，∴AB＝BE，AD＝DE．ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°．DEC＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝EC，∴AD＝EC．∵CD＞DE，∴CD＞AD，故选B．8．如图所示，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D9． 有一张直角三角形纸片，两直角边长AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE (如图)，则CD 等于（ ）A ．254cmB ．223cmC ．74cmD ．53cm【答案】C【解析】设CD ＝x cm ，则AD ＝BD ＝(8－x )cm ，又AC ＝6 cm ，在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得62＋x 2＝(8－x )2，∴x ＝74．二、填空题10．把一张纸按图中那样折叠后，若得到∠AOB ′＝70°，则∠BOG ＝__________．【答案】55°11．如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，B 点落到了B'点处．若∠1＋∠2＝80°，则∠B'＝__________．【答案】40°【解析】由外角定理可得∠1＋∠2＝2∠B'，∴∠B'＝40°．12．如图所示，已知等边三角形纸片ABC ，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝__________．【答案】45°【解析】由翻折的性质可知∠AFE ＝∠EFD ．∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∠C ＝60°，∠A ＝∠EDF ＝60°． ∵ED ⊥BC ，∴△EDC 为直角三角形．∴∠FDB ＝30°．∴∠AFE ＋∠EFD ＝60°＋30°＝90°． ∴∠EFD ＝45°．13．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，折痕MN 与AC 交于点D ，已知∠DBC ＝15°，则∠A 的度数是__________．【答案】50°14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将边BC 沿斜边上的中线CD 折叠到CB ′，如果∠B ＝50°，那么∠ACB ′＝__________．【答案】10°15．如图所示，把△ABC 沿EF 翻折，折叠后的图形如图所示．如果∠A ＝60°，∠1＝95°，那么∠2＝__________．【答案】25°【解析】∵把△ABC 沿EF 翻折， ∴∠BEF ＝∠B ′EF ，∠CFE ＝∠C ′FE ． ∴180°－∠AEF ＝∠1＋∠AEF ， 180°－∠AFE ＝∠2＋∠AFE ．∵∠1＝95°，∴∠AEF ＝12×(180°－95°)＝42.5°．∴∠AFE ＝180°－60°－42.5°＝77.5°． ∴180°－77.5°＝∠2＋77.5°．∴∠2＝25°．16．如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 翻折，点A 落在平面内的点A ′处，若∠B ＝50°，则∠BDA ′的度数是__________．【答案】80°【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°．∵∠ADE＝∠A′DE，∴∠A′DA＝2∠B．∴∠BDA′＝180°－2∠B＝80°．17．如图所示，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝__________．【答案】15°18．如图，△ABC中，D是边AB上的一点，过D作DE∥BC交边AC于点E，过点A作关于直线DE的对称点A'，连结A'D交AC于点O，A'D与AC互相平分．若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为__________．A'OEDCBA【答案】1819．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于__________．【答案】30°【解析】由题意得，BC＝BD＝AD，∴在Rt△ABC中，BC＝12AB，∴∠A＝30°．20．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________．【答案】80°【解析】由折叠得AD＝DF，又AD＝BD，∴BD＝DF，又∠B＝50°，∴∠BDF＝180°－50°×2＝80°．．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB＝a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为__________．【答案】6－24a22．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm．A'CABDE【答案】3【解析】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD＝A'D，AE＝A'E，则阴影部分图形的周长等于BC＋BD＋CE＋A'D＋A'E＝BC＋BD＋CE＋AD＋AE＝BC＋AB＋AC＝3cm．45︒60︒A′BMAODC。

三角形折叠问题初二一、将一个等腰三角形沿其高折叠，折叠后的图形与原图形相比，下列说法正确的是：A. 面积变小B. 周长变小（答案）C. 角度改变D. 形状改变二、将一个直角三角形沿其一条直角边折叠，若折叠后的图形与原图形完全重合，则该三角形一定是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形（答案）D. 等腰直角三角形三、将一个等边三角形沿其一条中线折叠，折叠后的图形与原图形相比，下列说法错误的是：A. 面积不变B. 周长不变C. 角度不变D. 形状改变（答案）四、将一个任意三角形沿其一条高折叠，折叠后的图形中，与原三角形不重合的部分是一个：A. 三角形B. 四边形（答案）C. 五边形D. 六边形五、将一个等腰直角三角形沿其斜边上的高折叠，折叠后的图形与原图形相比，下列说法正确的是：A. 面积变为原来的一半B. 周长不变C. 有一个角变为原来的一半（答案）D. 形状改变六、将一个等边三角形沿过其一个顶点且将该顶点对边平分的直线折叠，折叠后的图形与原图形相比，下列说法正确的是：A. 面积不变，但形状改变B. 周长不变，但面积改变C. 面积和周长都不变，但形状改变（答案）D. 面积、周长和形状都不变七、将一个直角三角形沿其斜边上的中线折叠，折叠后的图形是：A. 两个直角三角形B. 两个等腰三角形（答案）C. 两个等边三角形D. 两个任意三角形八、将一个任意三角形沿其一条中位线折叠，折叠后的图形中，与原三角形重合的部分是一个：A. 三角形B. 四边形C. 与原三角形形状相同的三角形（答案）D. 与原三角形面积相等的三角形九、将一个等腰三角形沿其底边上的高折叠，若折叠后的图形与原图形完全重合，则该三角形的顶角一定是：A. 30°B. 60°（答案）C. 90°D. 120°十、将一个任意三角形沿过其一个顶点且平行于对边的直线折叠，折叠后的图形中，与原三角形不重合的部分是一个：A. 三角形B. 平行四边形（答案）C. 梯形D. 菱形。

勾股定理中的折叠问题
1、如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求
线段BN的长．
2、在一张直角三角形纸片中,两条直角边BC等于6,AC等于8,将三角形ABC按如图所示的方式折叠,使点A 和点B重合,折痕为DE,求CD的长
3、如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）
的面积．
变式：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在
斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。

4、如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10CM,求DE的长
5、在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,点D恰好在对角线AC上的点F处、求EF的长。

6、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落
在CD边上的点G处，求BE的长.
7、如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
（1）试说明：AF=FC；
（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长．。

三角形折叠问题总结
三角形折叠问题是指将一个平面三角形折叠成一个四面体的问题，这个问题可以通过解析几何、向量运算、线性代数等多种数学方法进行求解。

下面是对该问题的总结：
1. 折叠前后的三角形具有相似性质。

2. 折叠后的四面体底面积等于原三角形的面积。

3. 折叠后的四面体体积可以通过向量叉积计算。

4. 折叠后的四面体的高可以通过点到平面距离公式计算。

5. 折叠后的四面体的底面中心、重心、外心、垂心的坐标可以通过向量运算计算。

6. 折叠后的四面体底面与侧面、侧面之间的夹角可以通过余弦定理和向量运算计算。

7. 通过三维软件制作三维模型，可以更加直观地看到折叠前后的变化。

8. 该问题的应用包括三角形的展开、折纸问题、人工智能中的空间感知等。

总之，三角形折叠问题是一个基础但重要的数学问题，通过掌
握相关的数学知识和方法，可以深入了解三维空间中的几何性质，对于相关领域的研究和应用有很大的帮助。

专题12平行线的证明压轴题的三种考法类型一、三角形折叠问题(1)如图1，当点C 落在边BC 上时，若58ADC '∠=︒，则C ∠＝，可以发现ADC ∠的数量关系是；(2)如图2，当点C 落在ABC 内部时，且42BEC '∠=︒，20ADC '∠=︒，求C ∠的度数；(3)如图3，当点C 落在ABC 外部时，若设BEC '∠的度数为x ，ADC '∠的度数为y ，请求出C ∠与x ，y 之间的数量关系．(1)如图1，点P 与点E 重合时，用含α的式子表示DEF ∠；(2)当点P 与点E 不重合时，①如图2，若22.5,AP α=︒平分,BAE PD ∠交AB 于点G ，猜想,,AC AF DG 关系，并说明你的理由；②若BAD β∠=，请直接写出APD ∠的大小（用含,αβ的式子表示）．【变式训练1】（1）如图1，把三角形纸片ABC 折叠，使3个顶点重合于点P ．这时，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________︒；（2）如果三角形纸片ABC 折叠后，3个顶点并不重合于同一点，如图2，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）折叠后如图3所示，直接写出1∠、2∠、3∠、4∠、5∠、6∠之间的数量关系_______；（4）折叠后如图4，直接写出1∠、2∠、3∠、4∠、5∠、6∠之间的数量关系：_______；【变式训练2】（1）如图，把ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点1A 处，试探究1∠、2∠与A ∠的关系；（2）如图2，若1140∠=︒，280∠=︒，作ABC ∠的平分线BN ，与ACB ∠的外角平分线CN 交于点N ，求BNC ∠的度数；（3）如图3，若点1A 落在ABC 内部，作ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点1A ，此时1∠，2∠，1BA C ∠满足怎样的数量关系？并给出证明过程．(1)如图1，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠(2)当∠A′EB′=13∠B′EB时，设∠A′EB′=x．①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠由．类型二、三角形内角和定理与外角和定理(1)求证：CD AB ⊥；(2)若2ACB ABE ∠=∠，求证：AC BC =；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BE 至点G ，连接AG ，CG 求线段AB 的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定）(1)如图1，BD ，CD 分别是ABC ∆的两个内角ABC ∠，ACB ∠的平分线，说明D ∠=的理由．【深入探究】(2)①如图2，BD ，CD 分别是ABC ∆的两个外角EBC ∠，FCB ∠的平分线，D ∠间的等量关系是；②如图3，BD ，CD 分别是ABC 的一个内角ABC ∠和一个外角ACE ∠的平分线，类型三、平行线性质与判定例．如图①，已知AB CD ，一条直线分别交AB 、CD 于点E 、F ，EFB B ∠=∠，FH FB ⊥，点Q 在BF 上，连接QH ．(1)已知70EFD ∠=︒，求B ∠的度数；(2)求证：FH 平分GFD ∠．(3)在（1）的条件下，若30FQH ∠=︒，将FHQ 绕着点F 顺时针旋转，如图②，若当边FH 转至线段EF 上时停止转动，记旋转角为α，请求出当α为多少度时，QH 与EBF △某一边平行？(4)在（3）的条件下，直接写出DFQ ∠与GFH ∠之间的关系．【变式训练1】如图，AB CD ，点P 在直线AB 上，作50BPM ∠=︒，交CD 于点M ，点F 是直线CD 上的一个动点，连接PF ，PE CD ⊥于点E ，PN 平分MPF ∠．(1)若点F 在点E 左侧且32PFM ∠=︒，求NPE ∠的度数；(2)当点F 在线段EM （不与点M ，E 重合）上时，设PFM α∠=︒，直接写出NPE ∠的度数（用含α的代数式表示）；(3)将射线PF 从（1）中的位置开始以每秒10︒的速度绕点P 逆时针旋转至PM 的位置，转动的时间为t 秒，求当t 为何值时，FPM 为直角三角形．【变式训练2】【基础巩固】（1）如图1，已知AD BC ∥EF ∥，求证：AEB DAE CBE ∠=∠+∠；【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是线段CD 上一点．70AEB ∠=︒，30DAE ∠=︒，求CBE ∠的度数；【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是线段CD 上一点，若AE 平分DAC ∠，CAB ABC ∠=∠．①试求出BAE ∠的度数；②已知AEB ABE ∠=∠，30EBC ∠=︒，点G 是直线AD 上的一个动点，连接CG 并延长．2.1若CA 恰好平分BCD ∠，当CG 与四边形ABCD 中一边所在直线垂直时，ACG ∠=________；2.2如图4，若CG 是ACD ∠的平分线，与BA 的延长线交于点F ，与AE 交于点P ，且BFC α∠=︒，则ADC ∠=________︒（用含α的代数式表示）．课后训练4．（1）如图1，将ABC 纸片沿A A DC A EB ''∠∠∠、、之间的数量关系为：（2）如图2，若将（1）中“点A 落在四边形外点A '的位置”，则此时,A ∠∠（3）如图3，将四边形纸片ABCD （90C ∠=︒，AB 与CD 不平行）沿EF 折叠成图3的形状，若115D EC '∠=︒，45A FB '∠=︒，求ABC ∠的度数；（4）在图3中作出D EC A FB ''∠∠、的平分线EG 、FH ，试判断射线EG 、FH 的位置关系，当点E 在DC 边上向点C 移动时（不与点C 重合），D EC A FB ''∠∠、的大小随之改变（其它条件不变），上述EG ，FH 的位置关系改变吗？为什么？5．如图1至图2，在ABC 中，BAC α∠=，点D 在边AC 所在直线上，作DE 垂直于直线BC ，垂足为点E ；BM 为ABC 的角平分线，ADE ∠的平分线交直线BC 于点G ．(1)如图1，延长AB 交DG 于点F ，若BM DG ∥，30F ∠=︒．①ABC ∠=________；②求证：AC AB ⊥；(2)如图2，当90α<︒，DG 与BM 反向延长线交于点H ，用含α的代数式表示BHD ∠；(3)当点D 在直线AC 上移动时，若射线DG 与射线BM 相交，设交点为N ，直接写出BND ∠与α的关系式．。

三角形折叠问题解题技巧
三角形折叠问题是一种常见的几何问题，它的解题技巧也有很多种。

本文将介绍一些解决三角形折叠问题的技巧和方法，帮助读者更好地理解和解决这类问题。

1. 观察三角形的形状和特征
在解决三角形折叠问题时，首先需要观察三角形的形状和特征。

三角形的形状和大小不同，折叠方式也会有所不同。

如果三角形是等边三角形，那么可以通过将三角形对折来确定对称轴，从而确定折叠的方向和方式。

2. 利用对称性质
三角形具有对称性，这也是解决三角形折叠问题的重要技巧之一。

利用对称性质，可以确定三角形的对称轴，并通过对折或旋转来确定折叠方式。

3. 利用三角形的三边关系
在解决三角形折叠问题时，还可以利用三角形的三边关系。

例如，如果已知三角形的三边长度，可以通过计算三角形的面积来确定折叠后
的形状和大小。

4. 利用平行四边形的性质
在一些情况下，三角形折叠问题可以转化为平行四边形折叠问题。

例如，如果已知三角形的一条边平行于另一条边，那么可以将三角形折叠为一个平行四边形，并利用平行四边形的性质来解决问题。

5. 利用剪裁和组合
在解决三角形折叠问题时，还可以利用剪裁和组合的方法。

例如，可以将三角形剪裁成一个矩形和两个三角形，然后将其组合成一个更简单的形状，再对其进行折叠。

这种方法可以大大简化问题的难度和复杂度。

综上所述，解决三角形折叠问题需要观察三角形的形状和特征，利用对称性质和三角形的三边关系，以及利用剪裁和组合的方法。

通过掌握这些技巧和方法，读者可以更好地解决三角形折叠问题，并提高其几何解题能力。

三角形折叠问题解题技巧
三角形折叠问题是一道数学难题，也是一种拓扑学中的经典问题。

它的核心思想是将一个平面三角形沿着其边缘折叠成一个多面体。

这个问题看似简单，但实际上涉及到了很多数学原理和技巧，需要仔细分析和推理。

以下是一些解题技巧：
1. 理清问题的本质
三角形折叠问题看似是一个平面几何问题，实际上它涉及到了拓扑学中的基本概念。

因此，我们需要理清问题的本质，从拓扑学的角度出发进行推理。

2. 将三角形分解为更小的部分
为了更好地理解问题，我们可以将三角形分解为更小的部分，例如将其分成多个三角形、四边形或梯形等。

这样做可以帮助我们在推理过程中更加清晰地想象多面体的形状。

3. 利用对称性
在解决三角形折叠问题时，利用对称性可以大大简化问题。

例如，如果多面体具有对称轴，我们可以根据对称性来判断多面体的某些面是否相等、某些角是否相等等。

4. 尝试不同的折叠方式
在推理过程中，我们可以尝试不同的折叠方式，看看是否能够满足题目要求。

如果一种折叠方式行不通，我们可以尝试其他的方式，直到找到可行的方案。

三角形折叠问题是一道非常有趣的数学难题，通过学习和掌握相应的解题技巧，我们可以更好地理解和应用拓扑学中的基本概念，提高我们的数学思维能力和推理能力。

三角形的折叠问题总结三角形是一种常见的几何图形，它有三条边和三个顶点。

今天我们就来学习三角形的知识，解决一些相关问题。

三角形的折叠问题1：三个角的度数分别是90°、 135°、 145°的直角三角形是全等的吗？三个角的度数分别是135°、 145°、 180°的直角三角形是全等的。

三个角的度数分别是90°、 135°、 180°的直角三角形是全等的。

三角形的折叠问题2：证明：（ 1）假设三角形ABC中， BC=BC=AB， AD=AD，则AD=BC=AC；（ 2）若AB、 AD、BC三线合一且交于一点O，求三角形OE的面积；（ 3）若AB=AC=AD，求三角形BE的面积。

三角形的折叠问题3：如图，在△ABC中，点D 的位置如图所示，那么这个△ABC是等腰梯形还是直角梯形呢？答：这个△ABC是等腰梯形。

证明：①将△ACD旋转到正视图，在A、 B 两点取得一条中线作垂线，此时图形变为长方形。

在AB边上任取一点C，使△ADC的高CD=1，在CD上任取一点E，使△ABC的底AC=AD，在AC上任取一点F，使△ABC的底AB=CD。

由此可得： AE=AF，∠DAB=∠ADB。

②将线段AF折叠到AE上，作法同前。

2：证明：（ 1）假设三角形ABC中， AD=BC， AE=BC，则AD=BC。

（ 2）将三角形ABC沿着AD向右平移3格，再将△BCD沿着BC向右平移5格，即得到△ABC，则四边形ABCD是菱形，但是，该四边形不是正方形。

因为在四边形ABCD中， AB、 AC、 BC、 BD均互相平行，且BD=2AB，可得△BCD是直角梯形。

三角形的折叠问题4：在△ABC 中，已知∠A=∠B=∠C=45°，∠A+∠B=30°，∠C+∠A=135°，∠A+∠C=180°。

①将三角形ABC旋转到正视图，设A、 B两点的坐标为（ x， y），过A作AE ⊥BC交BC于P，连接BC；再过B作BE ⊥AB交AC于E，交BD于N，则四边形AEBE是平行四边形，且AE=AB，BE=BC， A、 B两点的坐标为（ a， b），（ c， d）， AB=AC=AD，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形，∵∠A+∠B=30°，∠C+∠A=135°，∠A+∠C=180°，∴∠A+∠C=90°；（ 2）将三角形ABC沿着AD向右平移3格，再将△BCD沿着BC 向右平移5格，即得到△ABC，则四边形ABCD是菱形，但是，该四边形不是正方形。

三角形折叠问题总结引言三角形折叠问题是一个有趣且具有挑战性的数学问题。

它涉及到折叠一张纸使得两个已知点重合，这两个已知点可能位于纸的不同边上。

本文将全面、详细、完整且深入地探讨三角形折叠问题，并提供解决这个问题的方法和技巧。

二级标题1：问题描述三角形折叠问题可以简洁地描述为：给定一张纸和两个已知的点P和Q，如何将纸折叠，使得点P和点Q重合？二级标题2：解决方法解决三角形折叠问题的方法有很多，下面将介绍几种常用的方法。

三级标题1：正向折叠法正向折叠法是解决三角形折叠问题最直观且易于理解的方法之一。

它的基本思想是在纸上绘制一条连接点P和点Q的直线段，然后将纸沿着这条直线段折叠，使得点P和点Q重合。

这种方法简单明了，特别适用于简单的三角形折叠问题。

三级标题2：逆向折叠法逆向折叠法是一种更加高效的解决三角形折叠问题的方法。

它的基本思想是将纸上的点P和点Q重合，然后逆向还原折叠的过程，找到折叠纸的方法。

这种方法需要一定的推理和观察能力，适用于较为复杂的三角形折叠问题。

三级标题3：裁剪法裁剪法是解决三角形折叠问题的一种替代方法。

它的基本思想是将纸上的三角形裁剪下来，然后通过将裁剪得到的三角形进行旋转、平移等操作，最终将点P和点Q 重合。

这种方法可以通过适当选择裁剪的形状和位置，将复杂的三角形折叠问题简化为简单的几何操作。

二级标题3：解决技巧解决三角形折叠问题的过程中，有几个技巧是值得注意的。

三级标题1：观察几何关系观察几何关系是解决三角形折叠问题的关键。

通过观察纸上已知点和边之间的几何关系，可以帮助我们找到折叠纸的方法。

例如，当点P和点Q位于纸的两个不同边上时，我们可以找到一条边上的一点，使得与点P和点Q连线构成一个直角三角形，从而简化问题。

三级标题2：利用对称性利用纸的对称性是解决三角形折叠问题的另一个重要技巧。

通过利用纸的对称性，可以减少问题的复杂度，找到折叠纸的更简单方法。

例如，当纸是对称的，我们可以将问题简化为在一半大小的纸上折叠，然后通过对称操作得到整个纸的折叠方法。

直角三角形的折叠问题知识关键：1. 要解决折叠问题，就要清楚通过折叠造成哪些边相等2. 要学会合理的设未知数，从而通过勾股定理构造方程三角形的折叠：折叠方法1：将三角形的直角向斜边折叠，形成这个图形。

（此时出现角平分线）在右图中相等的线段有例题1：如图，在Rt△ABC中，AC=6,BC=8，现将直角边沿着直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD长折叠方法2：将三角形的一个直角顶点向另一个直角顶点折叠。

（此时出现边的垂直平分线）在右图中相等的线段有例题2：如图，将Rt△ABC折叠，使得点A与点B重合，折痕为DE，若BC=6，AC=8求CD的长长方形的折叠：折叠方法1：将长方形的一个角向对边折叠在没有折叠之前的长方形ABCD中相等的边有相等的角有，在折叠后的图形中，相等的边有，相等的角有，全等的三角形有例题3：如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=10，将长方形折叠，使得点D落在BC上的D'处。

求EC的长。

折叠方法2：将长方形沿着对角线折叠在折叠后形成的图形中，全等三角形为等腰三角形为相等的边为，直角三角形为例题4：如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=8，沿着对角线折叠，使得点B落在B'处。

求PD的长。

CAC折叠方法3：将长方形两个对角向不相邻的对角线折叠在折叠后形成的图形中，全等三角形为等腰三角形为相等的边为，直角三角形为例题5：如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，BD 是对角线.将A 、C 向BD 折叠，分别落在A'， C'处。

求CF 的长小结：这种折叠方法其实就是直角三角形折叠的方法1我们把长方形的上半部遮住，可以看到其实就是将Rt 的直角C 向斜边BD 折叠。

折叠方法4： 将长方形折叠使得对角的顶点重合 在折叠后形成的图形中，全等三角形为等腰三角形为相等的边为 ，直角三角形为 例题6：如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿着对角线折叠，使得点B 与点D 重合。

盘点三角形折叠中的一次折叠问题50.牛P.7擞,7(2ol1年第5期?初中版)?复习参考?盘点三角形折叠中的一次折叠问题312300浙江华维外语学校徐骏近年来三角形折叠类问题频频出现,成为中考命题的高频热点.这类问题涉及知识面广,往往与相似,函数,方程等知识融为一体,主要考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力.解决这类问题的关键是要抓住折叠前后图形的对称关系,灵活运用轴对称的性质.本文以近几年中考题为例,归纳其类型与解法,供参考.1求角度例1(2010年东阳)如图1,D是AB边上的中点,将AABC沿过D的直线折叠,使点A落在BC上,处,若LB:50.,则LBDF:度.F图1C解析由折叠可知FD=AD,又AD:BD,所以FD=BD,则LBFD=LB=50.,故BDF:180.一曰一日FD=80..例2(2010年泉州)如图2所示,在折纸活动中,小明制作了一张AABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,将AABC沿着DE折叠压平,A与A重合,若厶4=7O.,则l+2:A.140oB.130~C110oD.70~图2图3解析连接AA(如图3),由折叠可知AE=AE,则LF_AA:F_AA,又1=LEAA+EAA.所以1=2/_EAA.同理/_2=2LDAA,则1+2=2(¨+DAA)=2BAC=140..故选2求三角函数值例3(2008年泰安)直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将AABC如图4那样折叠,使点与点曰重合,折痕为DE,则tanCBE的值是囝4A.等B.迎3c.247D.÷解析由折叠可知肥:旭设c.:,贝ⅡBE=8一.在RtABCE中,BE2=曰c+CE,即(8一)2=6+2,三解得=7,则tanc船==4=7.故选C.例4(2009年泰安)如图5,在RtAABC中,/_ACB:;,\90.,厶&lt;B,AABC的中,,,,M线CM将ACMA折叠,使点A落在点D处,若CD恰好与MB垂直,则tanA的值为——.解析由折叠可知LACM=DCM.C图5D因为CM是RtAABC中斜边AB上的中线,所以AM=CM=BM,则A:LACM=/_DCM=÷x90.:30..J所以tanA:tan30.:拿.j3求点到直线的距离例5(2oo9年上海)在Rt△加C中,/_BAC=90.,AB=3,M为边BC上的点,连接AM(如图6).如果将复习参考?中.毒幺??(2Oil年第5期?初中版)△4BM沿直线AM翻折后,点8恰好落在边AC的中点处,那么点M到AC的距离是.解析由折叠可知A431=BAM=45.,/_AA,:,A,A:Ac=BA=3.故AC=6.过点M作MD_LAC(如图7图7),则AADM为等腰直角三角形.设MD=,贝ⅡAD:,CD:6一.由MD∥AB,可得ACDM,~△CAB,则:,即=詈,解得:2,即点M到AC的距离是2.4求周长例6(2008年徐州)如图8,RtAABC中,/_B:90.,AB=3cm,AC=5cm,将AABC折叠,使点C与A重合,得折痕DE,则△A船的周长等于cnLBEC解析在RtAABC中,BC:图8~/c2一:4.由折叠可知c=AE.所以AABE的周长=AB+BE+AE=AB+(BE4-CE):AB+BC=7cm.例7(2oo9年衢州)在AABC中,AB:12,AC:10,BC:9,AD是BC边上的高.将AABC按如图9所示的方式折叠,使点A与点D重合,折痕为,则ADEF的周长为/|.BDCBDtA)C图9A.9.5B.10.5C.11D.15.5解析由折叠可知DE=AE,DF=AF.由DE:AE,得￡EAD="M.嘻/EAD七EBo:=90o上E【}A/_EDB=90o,所以EBD=EDB,则BE=DE:,:6.同理CF=DF=AF:5,从而可得EF足L\ABC的中位线,则肼:BC=4.5.所以ADEF的周长=DE+肼+D'=6+._:.5+5=15.5.10分沿处部=5=.-——11落为4,故选D.,,例8(2009年河北)如图./\A△BAcCAADEE别是,上的点,将一L△r直线DE折叠,点A落在点A,,且点A在AABC外部.则阴影图10分图形的周长为cm.'解析由折叠可知AD=AD,AE=AE.则阴影部分图形的周长=BD+AD+C十AE+CE (BD+AD)+c+(A+cE)=AB+曰C+AC=3cm.求线段的长角形与AABC相似,那么BF的长度是解析由AB=AC,得=C由折叠可知F=BF.设F:,贝ⅡF=,FC:4一.若以点B,F,C为顶点的三角形与AABC相似,则FBC=B或/FBC:A.当/__FBC=,即Z.FBC=C时,FB:FC,贝U:4一,解得=2.当/FB'C:时,BF//'AB,可得△FC'~AABC,则=,即{一:,解得:.所以,BF的-K度是2或等.例10(2010年扬州)如图l2,在RtAABC中,C=90.,AC=8,BC=6,按图中所示方法将ABCD沿BD折叠,使点C落在边AB上的点C处,则折痕BD的长为二二,,52十?7歆??(2011年第5期?初中版)?复习参考?解析由折叠可知BC=BC=6.CD=CD.在RtAABC中,AB=~/A—C2+—BC2:10.AC,:AB—BC,=4.DC图12设CD=,贝0CD:,AD:8一.在RtAACD中,AD=AC+CD.艮口(8一)=4+,解得=3,辰pCD=3.在RtaBCD中,BD==3.例11(2010年绵阳)如图l3,一副三角板拼在一起,0为AD的中点,AB:a.将AABO沿BO对折于AABO,M为BC上一动点,则A'M的最小值为——.D8J'\'E45"U//C图l3图14D解析过A作A上BC于(如图14),此时垂线段AJIlf的长度即为A吖的最小值.议OABD于点E,连授AC,易让0,A,C二点哭线. 在RtAABD中,AB=口,A=60.,~tJAD=2a,BD=,OE=曰;.由折叠可知OA=OA=÷AD=a.在RtABCD中,BD:,LBDC=45.,则CE=÷肋=cu-45.,tV~A'c=OE+CE—OA=.每…a.在RtAA,CM中,A,c:亟口,LA,CM:45.,所=,c一n,即,的最小值为.6求点的坐标例12(2009年天津)已知一个直角三角形纸片OAB,其中/_AOB=90.,0A=2,OB=4.如图l5,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D.(1)若折叠后使点曰与点A重合,求点C的坐标;-B\,DA图15(2)若折叠后点落在边OA上的点为,设OB=,OC=y,试写出关于的函数解析式,并确定y的取值范围;(3)若折叠后点日落在边OA上的点为,且使B"D//OB,求此时点C的坐标.解析(1)设OC=,如图16,由折叠可知AC:BC=4一.在RtAAOC中,AC=OC+OA,t~p(4一)=.+2.,解得=÷二所以,点C的坐标为(0,J,'\BCDAj图16(2)如图l7,由折叠可知BC=BC=4一y.在RtABOC中,BC2=OC+OB",即(4一,,):y+,所以y=一+2(O--&lt;≤2)?因为当0≤--&lt;2时,Y随的增大而减小,所以Y的取值范围为÷--&lt;y--&lt;2..y'BC'DA】图17',,,,CDB"A图l8复习参考?中'7歆??(2ol1年第5期?初中版)53 (3)如图18,由折叠西]知咄D=CBD.因为BD∥OB,所以OCB=/CB"D=CBD,~1]tan/_OCB"=tan/_CBD,即OB"=OA=1,故OC=20B".设"=,由(2)知OC=一1+2,从而可得一1+2=2,解得-=一8+4,:一8-4(不合题意,舍去),此时OC=8一16,所以点C的坐标为(0,8一16).7求面积例13(2010年广西)如示)图19含S的式子表解析由折叠可知Sa踟:|s△脚,DF=DB=3+一1=2+√3,F=/B:60.,又/FNM=/_AND,所以FMN=/ADN=90..在RtAADN中,AD=l,A=60.,则DN=.在RtANMF中,』vF=DF—DN=2,F=60., 则:1,:,S△:,所以重叠部分的面积为sDFE—S咐P=s啪一sMF=S一43.例l4(2009年恩施)如图2O,在ZXABC中,A:9O.,日C=10,/XABC的面积为25,D是AB上的动点(不与,B重合),过D点作DE∥BC交AC于点E,以DE为折线将AADE翻折(使AADE的平面内).令DE=.C图20落在四边形DBCE所在(1)用含的代数式表示△ADE的面积S;(2)在动点D的运动过程中,记△ADE与梯形DBCE重叠部分的面积记为Y,试写出y关于的函数解析式,并求为何值时,Y的值最大,最大值是多少?解析(1)由DE∥Bc,得△ADE"AABC,则=(黔即=(所以S:DE=5△^胞:IL(O&lt;&lt;10).(2)随点D的运动,当A点落在直线BC上时,连接AA,交DE于点(如图21),则DE垂直平分A4.ZaADg"ZXABC,得器==,即孟=÷,=5.故以下分两种情况讨论:①当0&lt;≤5时,,,=s雎=12.所以当=5时,y最大:÷×5=孕.,②当5&lt;&lt;10时,设AD,AA,AE分另Ⅱ交BC于M,F,N(如图22).易得肌=C图2l埘::挲:争,2则AA=2AH=,A:一5.~zxa'删AABC,得=/aV!即=(字)删.s删,故),=S~A,DEs:12一(x-5)=一}+10x-25=一3(一)+莩.所以当=时,满足5&lt;&lt;10,',矗大=2_.5 综上所述,当=时,y的值最大,最大值是莩.。

三角形的折叠问题嘿，同学们！今天咱们来聊聊三角形的折叠问题，这可有意思啦！记得有一次，我在教室里给学生们讲三角形的折叠问题，有个小家伙皱着眉头问我：“老师，这三角形折来折去的，到底有啥用啊？”我一听，乐了，这问题问得还挺实在。

咱们先来说说三角形折叠问题为啥重要。

你想想看，咱们生活里好多东西都跟三角形有关系呢！就比如说，咱们折纸飞机的时候，那纸飞机的翅膀是不是有点像三角形？有时候你折一折，就能让它飞得更远更稳。

这三角形一折叠，里面的角度、边长可都有变化，这里面的学问大着呢！比如说，一个等边三角形，咱们沿着一条高给它对折。

那折痕就把三角形分成了两个直角三角形。

原来等边三角形的每个角都是 60 度，这一折，其中一个角变成了 90 度，另外两个角就变成了 30 度。

这角度的变化可有意思啦！再说说边长。

假如一个等腰三角形，腰长是 5 厘米，底边长是 6 厘米。

咱们把它沿着对称轴折叠，那重合的部分对应的边长可就相等啦。

如果让你求折叠后某个线段的长度，你就得好好想想原来三角形的边长关系。

有时候做这种题啊，就像是在玩一个解谜游戏。

你得仔细观察图形，找出那些隐藏的条件。

比如说，有个题里，给了你一个三角形折叠后的图形，其中一个角标了度数，但是另一个关键的角没标。

这时候你就得想想，折叠前后角度的关系，说不定就能找到答案。

我还记得有一次，我们班组织了一个数学活动，就是让大家自己动手折三角形，然后根据折叠的情况来计算一些数据。

有个小组特别厉害，他们折了一个不规则的三角形，然后通过仔细测量和计算，把所有的边长和角度都算得特别准。

总之呢，三角形的折叠问题虽然看起来有点复杂，但只要咱们多动手、多思考，就一定能把它拿下！就像咱们解决生活中的其他难题一样，只要有耐心、有方法，啥都不是事儿！同学们，加油吧，让我们一起在三角形的折叠世界里畅游，发现更多的乐趣和奥秘！。

三角形折叠问题解题技巧什么是三角形折叠问题？三角形折叠问题是一个数学问题，也是一个几何问题。

它的基本思想是将一个平面三角形沿着一条边折叠，使另外两条边重合，然后看能够得到什么样的形状。

这个问题在几何图形的变换中具有一定的实际应用，也是许多数学游戏和拼图的基础。

解题思路三角形折叠问题的解题思路主要分为以下几步：1.确定初始三角形的形状和大小。

2.选择一条边作为折叠边。

3.将另外两条边沿着折叠边折叠，使它们重合。

4.观察折叠后的形状与初始三角形的关系。

5.根据需要，可以进行多次折叠，得到更复杂的图形。

解题示例下面以一个具体的例子来说明三角形折叠问题的解题过程。

基本信息：•初始三角形形状：等边三角形•初始三角形边长：3个单位•折叠边：底边解题步骤：1.绘制一个等边三角形，三边长度均为3个单位。

如图所示：2.选择底边（BC）作为折叠边。

3.将另外两条边（AB和AC）沿着折叠边折叠，使它们重合。

如图所示：4.观察折叠后的形状与初始三角形的关系。

可以发现，折叠后得到了一个等腰梯形。

如图所示：5.根据需要，可以进行多次折叠。

例如，我们再次选择底边作为折叠边，并将另外两条边沿着折叠边折叠，得到一个更复杂的图形。

如图所示：解题技巧在解决三角形折叠问题时，有一些技巧可以帮助我们更快地找到答案：1.观察初始三角形的特点：初始三角形的形状和大小对折叠后的图形有很大影响。

因此，在解题前应先观察初始三角形的特点，并考虑其可能的折叠结果。

2.找到适合的折叠边：选择合适的折叠边是解题的关键。

折叠边的选择应根据初始三角形的形状和题目要求进行，常用的折叠边有底边、高、中线等。

3.利用对称性：在折叠过程中，利用三角形的对称性可以简化计算。

例如，在等腰三角形中，可以通过将折叠边与底边重合来得到对称的图形。

4.多次折叠：通过进行多次折叠，可以得到更复杂的图形。

这可以帮助我们进一步分析折叠后的形状与初始三角形之间的关系。

总结三角形折叠问题是一个有趣且具有挑战性的数学问题。

三角形折叠问题总结三角形折叠问题是一类具有较强实践应用性的数学问题，涉及到几何、代数学、拓扑学等多个领域。

本文将就三角形折叠问题，从以下几个方面进行总结和归纳：1.折叠前后的关系在折叠三角形时，折叠前后的三角形具有一些共性，如底边长度、对称性等。

折叠后，三角形的角度和边长可能会发生变化，但某些性质保持不变，如折叠后两边的夹角等于折叠前两边的夹角。

2.折叠后图形性质折叠后的三角形图形性质包括面积、周长、对称性等。

面积和周长可能会发生变化，但对称性保持不变。

此外，根据折叠的方式和位置不同，三角形内部可能会形成一些直线、点、线段等图形。

3.折叠的应用三角形折叠在实践中有许多应用，如建筑学、几何学等领域。

例如，在建筑中，三角形折叠结构可以提供更好的稳定性和力学性能；在几何学中，三角形折叠可以用来构造全等图形，从而证明几何定理。

4.折叠的证明方法证明三角形折叠问题的方法有多种，如割补法、尺规作图法等。

其中，割补法是将三角形分成几部分，分别证明每个部分的折叠性质，再将它们合并起来；尺规作图法则是利用尺规作图的知识，通过一系列精确的作图步骤来证明折叠性质。

5.折叠的作图方法解决三角形折叠问题需要一定的作图能力。

常用的作图方法有画图法、坐标系法等。

画图法是通过手工绘制三角形和折叠线来解决问题；坐标系法则是将三角形和折叠线放入坐标系中，通过计算坐标来解决问题。

6.折叠的解题策略解决三角形折叠问题需要一定的解题策略，主要有化简求解、构造全等图形等。

化简求解是通过将问题简化，从而减少问题的复杂度；构造全等图形则是通过构造全等三角形，来证明折叠前后的三角形全等。

根据不同的问题特点，选择合适的解题策略至关重要。

在实际应用中，三角形折叠问题常常出现在各种竞赛和考试中，如数学竞赛、物理竞赛等。

因此，掌握三角形折叠问题的相关知识，有助于提高解题能力和竞赛成绩。

此外，解决三角形折叠问题也有助于培养数学思维能力和空间想象能力，提高对数学问题的分析和解决能力。