与直角三角形有关的折叠问题

1、如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90º，沿着B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合。

当∠A 满足什么条件时，点D 恰好是AB 的中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 中点。

2、将长方形ABCD 的纸片，沿EF 折成如图所示，延长C`E 交AD 于H ，连结GH 。

求证：GEHF 是菱形4、如图，AD 是❒ABC 的中线，∠ADC=45º，把❒ADC 沿AD 对折，点C 落在点C'的位置，求BC'与BC 之间的数量关系。

5、在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '． （1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明．ABCE DABCDC'BA D F ED'C'G H6、如图，将一张对边平行的纸条先沿 折叠，点A 、B 分别落在 、 处，线段 与 交于点 ，再将纸条的另一部分 沿 折叠，点C 、D 分别落在 、 处，且使 经过点 ． （1）求证：四边形 是平行四边形；（2）当翻折角 度时，四边形是菱形．（将答案直接填写在横线上）∠EMF=90oC'B’D‘B M CEA F D7、现有一张矩形纸片ABCD （如图），其中AB=4㎝，BC=6㎝，点E 是BC 的中点。

实施操作将直线AE 对折，使点B 落在梯形AECD 内，记为点B / （1）请用尺规，在图中作出 (保留作图痕迹)； （2）试求B / 、C 两点之间的距离。

在画出图形的基础上，根据轴对称变化的性质，可得3,4''====E B BE AB AB 。

根据等面积法，通过求四边形A ABB '的面积，可求得='BB 512。

三角形折叠问题专题练习一、选择题1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC 边上的点E处，如果∠A＝26°，那么∠CDE度数为（）A．71°B．64°C．80°D．45°【答案】A2．将一张正方形纸片，按如图所示步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）【答案】B3．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）【答案】A4．学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．如果想得到一个正五角星(如图④)，那垂直A．B．C．D．A．126°B．108°C．100°D．90°【答案】A5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DB等于（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】C6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果＝6，那么线段BE的长度为（）．6 B．6 2 C．2 3 D．32【答案】D【解析】根据折叠的性质知，CD＝ED，∠CDA＝∠ADE＝45°，∴∠CDE＝∠BDE＝90°，∵BD＝CD，BC＝6，∴BD＝ED＝3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE＝2BD＝2×3＝32，故选D．7．如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（）A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝DE D．AD＝EC【答案】B【解析】由折叠知△BAD≌△BED，∴AB＝BE，AD＝DE．ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°．DEC＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝EC，∴AD＝EC．∵CD＞DE，∴CD＞AD，故选B．8．如图所示，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D9． 有一张直角三角形纸片，两直角边长AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE (如图)，则CD 等于（ ）A ．254cmB ．223cmC ．74cmD ．53cm【答案】C【解析】设CD ＝x cm ，则AD ＝BD ＝(8－x )cm ，又AC ＝6 cm ，在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得62＋x 2＝(8－x )2，∴x ＝74．二、填空题10．把一张纸按图中那样折叠后，若得到∠AOB ′＝70°，则∠BOG ＝__________．【答案】55°11．如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，B 点落到了B'点处．若∠1＋∠2＝80°，则∠B'＝__________．【答案】40°【解析】由外角定理可得∠1＋∠2＝2∠B'，∴∠B'＝40°．12．如图所示，已知等边三角形纸片ABC ，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝__________．【答案】45°【解析】由翻折的性质可知∠AFE ＝∠EFD ．∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∠C ＝60°，∠A ＝∠EDF ＝60°． ∵ED ⊥BC ，∴△EDC 为直角三角形．∴∠FDB ＝30°．∴∠AFE ＋∠EFD ＝60°＋30°＝90°． ∴∠EFD ＝45°．13．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，折痕MN 与AC 交于点D ，已知∠DBC ＝15°，则∠A 的度数是__________．【答案】50°14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将边BC 沿斜边上的中线CD 折叠到CB ′，如果∠B ＝50°，那么∠ACB ′＝__________．【答案】10°15．如图所示，把△ABC 沿EF 翻折，折叠后的图形如图所示．如果∠A ＝60°，∠1＝95°，那么∠2＝__________．【答案】25°【解析】∵把△ABC 沿EF 翻折， ∴∠BEF ＝∠B ′EF ，∠CFE ＝∠C ′FE ． ∴180°－∠AEF ＝∠1＋∠AEF ， 180°－∠AFE ＝∠2＋∠AFE ．∵∠1＝95°，∴∠AEF ＝12×(180°－95°)＝42.5°．∴∠AFE ＝180°－60°－42.5°＝77.5°． ∴180°－77.5°＝∠2＋77.5°．∴∠2＝25°．16．如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 翻折，点A 落在平面内的点A ′处，若∠B ＝50°，则∠BDA ′的度数是__________．【答案】80°【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°．∵∠ADE＝∠A′DE，∴∠A′DA＝2∠B．∴∠BDA′＝180°－2∠B＝80°．17．如图所示，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝__________．【答案】15°18．如图，△ABC中，D是边AB上的一点，过D作DE∥BC交边AC于点E，过点A作关于直线DE的对称点A'，连结A'D交AC于点O，A'D与AC互相平分．若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为__________．A'OEDCBA【答案】1819．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于__________．【答案】30°【解析】由题意得，BC＝BD＝AD，∴在Rt△ABC中，BC＝12AB，∴∠A＝30°．20．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________．【答案】80°【解析】由折叠得AD＝DF，又AD＝BD，∴BD＝DF，又∠B＝50°，∴∠BDF＝180°－50°×2＝80°．．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB＝a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为__________．【答案】6－24a22．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm．A'CABDE【答案】3【解析】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD＝A'D，AE＝A'E，则阴影部分图形的周长等于BC＋BD＋CE＋A'D＋A'E＝BC＋BD＋CE＋AD＋AE＝BC＋AB＋AC＝3cm．45︒60︒A′BMAODC。

三角形折叠问题初二一、将一个等腰三角形沿其高折叠，折叠后的图形与原图形相比，下列说法正确的是：A. 面积变小B. 周长变小（答案）C. 角度改变D. 形状改变二、将一个直角三角形沿其一条直角边折叠，若折叠后的图形与原图形完全重合，则该三角形一定是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形（答案）D. 等腰直角三角形三、将一个等边三角形沿其一条中线折叠，折叠后的图形与原图形相比，下列说法错误的是：A. 面积不变B. 周长不变C. 角度不变D. 形状改变（答案）四、将一个任意三角形沿其一条高折叠，折叠后的图形中，与原三角形不重合的部分是一个：A. 三角形B. 四边形（答案）C. 五边形D. 六边形五、将一个等腰直角三角形沿其斜边上的高折叠，折叠后的图形与原图形相比，下列说法正确的是：A. 面积变为原来的一半B. 周长不变C. 有一个角变为原来的一半（答案）D. 形状改变六、将一个等边三角形沿过其一个顶点且将该顶点对边平分的直线折叠，折叠后的图形与原图形相比，下列说法正确的是：A. 面积不变，但形状改变B. 周长不变，但面积改变C. 面积和周长都不变，但形状改变（答案）D. 面积、周长和形状都不变七、将一个直角三角形沿其斜边上的中线折叠，折叠后的图形是：A. 两个直角三角形B. 两个等腰三角形（答案）C. 两个等边三角形D. 两个任意三角形八、将一个任意三角形沿其一条中位线折叠，折叠后的图形中，与原三角形重合的部分是一个：A. 三角形B. 四边形C. 与原三角形形状相同的三角形（答案）D. 与原三角形面积相等的三角形九、将一个等腰三角形沿其底边上的高折叠，若折叠后的图形与原图形完全重合，则该三角形的顶角一定是：A. 30°B. 60°（答案）C. 90°D. 120°十、将一个任意三角形沿过其一个顶点且平行于对边的直线折叠，折叠后的图形中，与原三角形不重合的部分是一个：A. 三角形B. 平行四边形（答案）C. 梯形D. 菱形。

初二数学下册勾股定理处理折叠的三种模型专题复习一、模型一：折叠构造直角三角形折叠构造直角三角形是比较常见的一种模型，将直角三角形沿着某条线段进行折叠，可以得到另外一个直角三角形，然后设未知数，表示出这个三角形的三边长，利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。

例题1：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．分析：先通过勾股定理求出线段AB的长度，将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，得到AE=AC=6。

求线段CD的长度，可设CD=x，那么DE=CD=x，再表示出线段DB的长度，求出线段BE，利用勾股定理得到关于x的方程。

解：∵两直角边AC=6cm，BC=8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB=10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=DE，AE=AC=6，∴BE=10-6=4，设DE=CD=x，BD=8-x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD^2=DE^2+BE^2，即（8-x）^2=x^2+4^2，解得x=3．即CD的长为3cm．二、模型二：折叠构造全等三角形例题2：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，DB交OA于点E．（1）求证：OE=BE；（2）求△OEB的面积.分析：（1）通过折叠可知：OC=OD，∠D=∠OCB=90°，由于四边形OABC 为矩形可得：OC=AB，∠BAO=90°，那么∠D=∠BAO=90°，再加上对顶角∠BEA、∠OED相等，通过“AAS”判定两个三角形全等；（2）可设OE=BE=x，然后表示出线段AE的长度为4-x，在直角三角形ABE中，通过勾股定理得到关于x的方程，求出x的值，然后利用三角形的面积公式求出三角形OEB的面积。

勾股定理折叠问题勾股定理折叠问题是目前数学界解决的一个难题，也是21世纪优秀数学解决方案的典范。

来自英国伯明翰大学的研究者把该问题解释为：当两个正整数的平方和为另一个正整数时，那么存在一组正整数x，y，z，使得x2+y2=z2。

目前，越来越多的人开始从数学角度探索如何使用勾股定理折叠来解决该类问题。

首先，研究者们必须先完成一个前期的准备，也就是要理解勾股定理。

要想解决这个问题，必须熟悉勾股定理的基本概念：直角三角形的两条直角边的长度称为x和y，直角边上的角称为θ，而x2+y2=z2，则称为勾股定理。

其次，研究者要利用这一理论来解决实际中的问题。

折叠问题是指：现有一个直角三角形，要求折叠后能使其变成一个正方形。

在折叠前，根据勾股定理可知，其中有两条边长相等，若将其中一条边长折叠，使其长度变为两条边之和，则两条边的长度均等，就可以折叠出一个正方形。

另外，在解决勾股定理折叠问题的过程中，求解是确定正方形的关键。

这是一个复杂的过程，一般使用多项式求解法解决，即利用多项式构造一组解，以及其他数学技术和方法来求。

最后，研究者们对勾股定理折叠问题的解决方案做了有效的运用。

如果用多项式求解法，将可以得出精确的解，而且可以用较少的时间完成；如果用其他数学技术，如李宁积分、拉格朗日投影法等也可以实现精确的解决方案。

总而言之，勾股定理折叠问题是数学界一个难解的问题。

英国伯明翰大学的研究者首先将该问题解释为当两个正整数的平方和为另一个正整数时，存在一组正整数x，y，z，使得x2+y2=z2，并提出了一系列求解方案来解决该类问题，而这一求解方案的有效性和精确性也受到了广泛的认可。

因此，勾股定理折叠问题为我们拓展了数学思维，给了我们一种更全面和精确的解决方案，能够更有效地应用于实际问题，为21世纪优秀数学解决方案提供了一个重要的参考示范。

中考数学折叠问题专项突破4--折叠中直角三角形存在性问题模块四 图形折叠中的直角三角形存在性问题【典例1】如图例3-1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为图例3-1图例3-2图例3-3【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察及分析可知∠BED =∠DEF =60°，所以∠AEF =180－120°=60°. 即点E 不可能为直角顶点. 分两种情况考虑：①当∠EAF =90°时，如图例3-2所示.∵∠B =30°，BC =3，∴30AC tan BC =︒⨯=⨯2AB AC =，∵∠EAF =90°∴∠AFC =60°，∠CAF =30°在Rt △ACF 中，有：cos AF AC CAF =÷∠÷，24BF AF == 由折叠性质可得：∠B =∠DFE =30°，122BD DF BF === ②当∠AFE =90°时，如图例3-3所示.由折叠性质得：∠B =∠DFE =30°，122BD DF BF ===∴∠AFC =60°，∠F AC =30°∴tan 1CF FAC AC =∠⨯==，所以，BF =2，112BD DF BF ===，综上所述，BD 的长为2或1. 【小结】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：①遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于直角顶点的位置；②解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题.【典例2】如图例4-1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．图例4-1 图例4-2 图例4-3【解析】此题以“当△CEB′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即点B′及点E分别为直角顶点.分两种情况考虑：①当∠CEB′=90°时，如图例4-2所示.由折叠性质得：AB=AB′，四边形ABE B′是矩形.所以四边形ABE B′是正方形.此时，BE=AB=3.②当∠CB′E=90°时，如图例4-3所示.由折叠性质知，∠AB′C=90°，所以∠AB′C+∠CB′E=180°.∴点A、B′、C共线在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=5由折叠得：AB= AB′=3所以B′C=2设BE=x，则B′E=x，EC=4－x在Rt△ABC中，由勾股定理得：EC2=B′E2+B′C2即：（4-x）2=x2+22 解得：x=1.5.综上所述，BE的值为3或1.5.【小结】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由，折叠的性质及勾股定理的应用.【典例3】如图例5-1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．图例5-1图例5-2图例5-3【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论. ①当∠CM B ′=90°时，如图例5-2所示.由折叠知：∠BMN =∠B ′MB =45°，又因为∠B =45°，所以∠BNM =90°，∠MNB ′=90° 即∠BNM +∠MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合.所以，12BM BC == ①当∠CB ′M =90°时，如图例5-3所示.由折叠知∠B =∠B ′=45°，因为∠C =45°，可得∠B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC =因为BC ，所以x x +1 解得：x =1，即BM =1.综上所述，BM 或1. 【小结】根据题意判断C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形三边关系求解.【典例4】如图例6-1，在∠MAN =90°，点C 在边AM 上，AC =4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A’BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称. D 、E 分别为AC 、BC 的中点，连接DE 并延长交A’B 所在直线于点F ，连接A’E . 当△A’EF 为直角三角形时，AB 的长为.图例6-1图例6-2图例6-3【解析】分两种情况讨论.①当∠A’FE=90°时，如图例6-2所示.∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE是三角形ABC的中位线，即DE∥BA∴∠A’BA=90°，∴四边形AB A’C为矩形由折叠得AC=A’C，∴四边形AB A’C为正方形，即AB=AC=4.②当∠A’EF=90°时，如图例6-3所示.∵∠A’EF=∠CDE=90°，∴A’E∥CD，∴∠DCE=∠CEA’由折叠知：∠DCE=∠A’CE，∴∠CEA’=∠A’CE，∴A’C=A’E=4又∵E是BC中点，即A’E是Rt△A’BC的中线，∴BC=2A’E=8在Rt△A’BC中，由勾股定理得，A’B=由折叠性质得：AB= A’B=.综上所述，AB的长为4或.【小结】利用中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾股定理求解.1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在R t△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2．此时ABEB′为正方形．【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在R t△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在R t△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上BE长为32或3【小结】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．2、如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则ADDF的值为A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719【分析】根据折叠的性质可得出DC =DE 、CP =EP ，由∠EOF =∠BOP 、∠B =∠E 、OP =OF 可得出△OEF ≌△OBP （AA S ），根据全等三角形的性质可得出OE =OB 、EF =BP ，设EF =x ，则BP =x 、DF =4﹣x 、BF =PC =3﹣x ，进而可得出AF =1+x ．在R t △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得出答案． 【解析】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，∵90EOF BOP B E OP OF ∠∠∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩，∴△OEF ≌△OBP （AA S ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE ﹣EF =4﹣x ．又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC ﹣BP =3﹣x ，∴AF =AB ﹣BF =1+x ．在R t △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即（1+x ）2+32=（4﹣x ）2，解得：x =0.6，∴DF =4﹣x =3.4，∴1517AD DF =．故选C ． 【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF =1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．3、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，BE Q是CD上一动点，将△CEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接P A．点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当P A的长度最小时，CQ的长为（）A．3B．3C．32D．3【解析】如图所示：在R t△ABE中，AE=．∵BC=3，BE=，∴EC=3-．由翻折的性质可知：PE=CE=3-．∵AP+PE≥AE，∴AP≥AE-PE．∴当点A、P、E一条直线上时，AP有最小值．∴AP=AE-PE=2-（3-）=3-3．故选A．4、如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把矩形沿AE 折叠，使点B 落在点B '处．当CEB '∆为直角三角形时，BE 的长为____________．【分析】当△CEB ′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B ′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC ，先利用勾股定理计算出AC =10，根据折叠的性质得∠AB ′E =∠B =90°，而当△CEB ′为直角三角形时，只能得到∠EB ′C =90°，所以点A 、B ′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处，则EB =EB ′，AB =AB ′=6，可计算出CB ′=4，设BE =x ，则EB ′=x ，CE =8-x ，然后在R t △CEB ′中运用勾股定理可计算出x ．②当点B ′落在AD 边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB ′为正方形． 【解析】由题意知，需分两种情况讨论：①当90CB E ︒'∠=时，如图1，由折叠得，90AB E B ︒'∠=∠=，AB AB '=， ∴180AB C ︒'∠=，∴,,A B C '三点共线．在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =， ∴5AC =．∵AB AB 3'==，∴2B C AC AB ''=-=． 设BE x =，则4CE BC BE x =-=-，B E x '=，在Rt B CE '∆中，222B E B C CE ''+=，即2222(4)x x +=-，解得32x =． ②当90B EC ︒'∠=时，如图2，由折叠可知ABE AB E '∆∆≌， ∴BE B E '=，90B AB E ︒'∠=∠=，∴四边形ABEB '是正方形，∴3BE AB ==．综上，当CEB '∆为直角三角形时，BE 的长为32或3． 【小结】考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．5、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为_____．【分析】利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题．（注意有两种情形）【解析】如图，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在R t△BCE中，EC==∴CF＝CE＝，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD﹣CF＝6﹣当点F在DC的延长线上时，易知EF⊥EF′，CF＝CF′＝，∴DF＝CD+CF′＝【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE的等腰三角形，属于中考常考题型．6、如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =45°，AB =4，点P 为线段AB 上一动点，过点P 作PE ⊥AB 交直线AD 于点E ，将∠A 沿PE 折叠，点A 落在F 处，连接DF ，CF ，当△CDF 为直角三角形时，线段AP 的长为__________．【分析】分两种情形讨论：①如图1，当DF ⊥AB 时，△CDF 是直角三角形；②如图2，当CF ⊥AB 时，△DCF 是直角三角形，分别求出即可．【解析】分两种情况讨论：①如图1，当DF ⊥AB 时，△CDF 是直角三角形．∵在菱形ABCD 中，AB =4，∴CD =AD =AB =4．在R t △ADF 中，∵AD =4，∠DAB =45，DF =AF，∴AP 12=AF = ②如图2，当CF ⊥AB 时，△DCF 是直角三角形．在R t △CBF 中，∵∠CFB =90°，∠CBF =∠A =45°，BC =4，∴BF =CF，∴AFAP 12=AF=2AP2【小结】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，正确画出图象，注意分类讨论的思想，属于中考常考题型．。

三角形的折叠问题总结三角形是一种常见的几何图形，它有三条边和三个顶点。

今天我们就来学习三角形的知识，解决一些相关问题。

三角形的折叠问题1：三个角的度数分别是90°、 135°、 145°的直角三角形是全等的吗？三个角的度数分别是135°、 145°、 180°的直角三角形是全等的。

三个角的度数分别是90°、 135°、 180°的直角三角形是全等的。

三角形的折叠问题2：证明：（ 1）假设三角形ABC中， BC=BC=AB， AD=AD，则AD=BC=AC；（ 2）若AB、 AD、BC三线合一且交于一点O，求三角形OE的面积；（ 3）若AB=AC=AD，求三角形BE的面积。

三角形的折叠问题3：如图，在△ABC中，点D 的位置如图所示，那么这个△ABC是等腰梯形还是直角梯形呢？答：这个△ABC是等腰梯形。

证明：①将△ACD旋转到正视图，在A、 B 两点取得一条中线作垂线，此时图形变为长方形。

在AB边上任取一点C，使△ADC的高CD=1，在CD上任取一点E，使△ABC的底AC=AD，在AC上任取一点F，使△ABC的底AB=CD。

由此可得： AE=AF，∠DAB=∠ADB。

②将线段AF折叠到AE上，作法同前。

2：证明：（ 1）假设三角形ABC中， AD=BC， AE=BC，则AD=BC。

（ 2）将三角形ABC沿着AD向右平移3格，再将△BCD沿着BC向右平移5格，即得到△ABC，则四边形ABCD是菱形，但是，该四边形不是正方形。

因为在四边形ABCD中， AB、 AC、 BC、 BD均互相平行，且BD=2AB，可得△BCD是直角梯形。

三角形的折叠问题4：在△ABC 中，已知∠A=∠B=∠C=45°，∠A+∠B=30°，∠C+∠A=135°，∠A+∠C=180°。

①将三角形ABC旋转到正视图，设A、 B两点的坐标为（ x， y），过A作AE ⊥BC交BC于P，连接BC；再过B作BE ⊥AB交AC于E，交BD于N，则四边形AEBE是平行四边形，且AE=AB，BE=BC， A、 B两点的坐标为（ a， b），（ c， d）， AB=AC=AD，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形，∵∠A+∠B=30°，∠C+∠A=135°，∠A+∠C=180°，∴∠A+∠C=90°；（ 2）将三角形ABC沿着AD向右平移3格，再将△BCD沿着BC 向右平移5格，即得到△ABC，则四边形ABCD是菱形，但是，该四边形不是正方形。

与直角三角形有关的折叠问题（北师版）满分100分答题时间30分钟单选题(本大题共10小题，共100分1.(本小题10分)如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,已知AB=6cm,BC=18cm,则Rt△CDF的面积是( )• A.• B.• C.{"A":"3","B":"• D.2.(本小题10分)如图,在长方形纸片ABCD中,AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )• A. 3• B. 4• C. 5• D. 6• 3.(本小题10分)如图,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=4cm,BC=5cm,则EF=( )•• A. 2cm• B. cm• C. cm• D. 3cm4.(本小题10分)如图所示,将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠.点B落在点E处,AE交DC于点F,已知AB=8cm,BC=4cm.则折叠后重合部分的面积为( )• A. 5• B. 6• C. 10• D. 205.(本小题10分)如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为16,宽AB为8,则折叠后重合部分的面积是( )• A. 30• B. 40• C. 60• D. 806.(本小题10分)如图,已知边长为6的等边三角形ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿着EF折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且ED⊥BC,则CE的长是( )• A.• B.• C.{"A":"<img src• D.7.(本小题10分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,AC=6,将BC向BA方向翻折过去,使点C落在BA上的点C′处,折痕为BE,则EC的长为( )• A.• B.• C.• D.•{"A":"<img src8.(本小题10分)将长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,AE,EF为折痕,∠BAE=30°,AB=,折叠后,点C落在AD边上的处,并且点B落在边上的处.则BC的长为( )•• A.• B. 4• C. 6• D.{"A":"2","B":"9.(本小题10分)如图,AD是Rt△ABC斜边上的中线,把△ADC沿AD对折,点C落在点C′处,连接CC′,则图中共有( )个等腰三角形.• A. 2• B. 3• C. 4• D. 510.(本小题10分)如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.若CF=2,FD=4,则BC的长为( )• A.• B.• C.• D.。

三角形折叠问题总结引言三角形折叠问题是一个有趣且具有挑战性的数学问题。

它涉及到折叠一张纸使得两个已知点重合，这两个已知点可能位于纸的不同边上。

本文将全面、详细、完整且深入地探讨三角形折叠问题，并提供解决这个问题的方法和技巧。

二级标题1：问题描述三角形折叠问题可以简洁地描述为：给定一张纸和两个已知的点P和Q，如何将纸折叠，使得点P和点Q重合？二级标题2：解决方法解决三角形折叠问题的方法有很多，下面将介绍几种常用的方法。

三级标题1：正向折叠法正向折叠法是解决三角形折叠问题最直观且易于理解的方法之一。

它的基本思想是在纸上绘制一条连接点P和点Q的直线段，然后将纸沿着这条直线段折叠，使得点P和点Q重合。

这种方法简单明了，特别适用于简单的三角形折叠问题。

三级标题2：逆向折叠法逆向折叠法是一种更加高效的解决三角形折叠问题的方法。

它的基本思想是将纸上的点P和点Q重合，然后逆向还原折叠的过程，找到折叠纸的方法。

这种方法需要一定的推理和观察能力，适用于较为复杂的三角形折叠问题。

三级标题3：裁剪法裁剪法是解决三角形折叠问题的一种替代方法。

它的基本思想是将纸上的三角形裁剪下来，然后通过将裁剪得到的三角形进行旋转、平移等操作，最终将点P和点Q 重合。

这种方法可以通过适当选择裁剪的形状和位置，将复杂的三角形折叠问题简化为简单的几何操作。

二级标题3：解决技巧解决三角形折叠问题的过程中，有几个技巧是值得注意的。

三级标题1：观察几何关系观察几何关系是解决三角形折叠问题的关键。

通过观察纸上已知点和边之间的几何关系，可以帮助我们找到折叠纸的方法。

例如，当点P和点Q位于纸的两个不同边上时，我们可以找到一条边上的一点，使得与点P和点Q连线构成一个直角三角形，从而简化问题。

三级标题2：利用对称性利用纸的对称性是解决三角形折叠问题的另一个重要技巧。

通过利用纸的对称性，可以减少问题的复杂度，找到折叠纸的更简单方法。

例如，当纸是对称的，我们可以将问题简化为在一半大小的纸上折叠，然后通过对称操作得到整个纸的折叠方法。

勾股定理折叠问题六种模型首先，我们来先了解勾股定理折叠问题。

勾股定理告诉我们：任意一个直角三角形，其斜边的平方等于它的两个直角边的平方之和。

例如a²+b²=c²，其中a和b分别代表两条直角边，而c是斜边。

勾股定理折叠问题是由米彻斯把勾股定理转化为一个寻找三角形元素来组成一个功能性三角形的解决方案。

它需要一个有序的折叠和解释来完成。

一、利用三角形抽象模型利用三角形抽象模型是以好的方式实现勾股定理折叠问题的一种方法，这种方法基于三角形的内在几何结构，从而找出完美的三角形。

实用性非常强，可以帮助设计各种不同的形状的三角形，而且阻止结构受到外部环境的影响，使三角形保持其准确性，用于各种应用场景。

二、基本折叠模型基本折叠模型是一种利用简单形状折叠和拼接两个等边三角形成直角三角形的方法。

可以使用画线和折线绘制出三角形，也可以通过纸张折叠，压入特定几何形状实现最简单的直角三角形。

三、网线折叠模型网线折叠是一种快速折叠和拼接两个等边三角形的方法，它可以使用网格布线，或用具有相同数目的线段绘制几何图形，而不需要画太多细节，使折叠过程变得更简单快捷。

四、极限折叠模型极限折叠是利用特殊的几何形状（如螺旋状线条）来构建等边三角形的方法。

如果可以使用螺旋状线条，就可以节省大量长度，同时保持精确度，成功实现三角形拼接。

五、纯几何折叠模型纯几何折叠模型是一种利用几何图形功能来折叠和连接两个等边三角形的技术，这种方法使用精确的几何图形，考虑物理原理和几何角度，从而精确折叠出正确形状，使得三角形完美体现。

六、超级折叠模型超级折叠模型是一种将分层折叠和几何折叠结合到一起的方法，该方法在折叠时考虑多个因素，利用几何图形折叠和正确的分层折叠，最终得到准确的直角三角形。

它非常可靠，除了得到准确的直角三角形外，还可以用于构建其他复杂的几何模型，以满足设计需求。

直角三角形的折叠问题知识关键：1. 要解决折叠问题，就要清楚通过折叠造成哪些边相等2. 要学会合理的设未知数，从而通过勾股定理构造方程三角形的折叠：折叠方法1：将三角形的直角向斜边折叠，形成这个图形。

（此时出现角平分线）在右图中相等的线段有例题1：如图，在Rt△ABC中，AC=6,BC=8，现将直角边沿着直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD长折叠方法2：将三角形的一个直角顶点向另一个直角顶点折叠。

（此时出现边的垂直平分线）在右图中相等的线段有例题2：如图，将Rt△ABC折叠，使得点A与点B重合，折痕为DE，若BC=6，AC=8求CD的长长方形的折叠：折叠方法1：将长方形的一个角向对边折叠在没有折叠之前的长方形ABCD中相等的边有相等的角有，在折叠后的图形中，相等的边有，相等的角有，全等的三角形有例题3：如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=10，将长方形折叠，使得点D落在BC上的D'处。

求EC的长。

折叠方法2：将长方形沿着对角线折叠在折叠后形成的图形中，全等三角形为等腰三角形为相等的边为，直角三角形为例题4：如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=8，沿着对角线折叠，使得点B落在B'处。

求PD的长。

CAC折叠方法3：将长方形两个对角向不相邻的对角线折叠在折叠后形成的图形中，全等三角形为等腰三角形为相等的边为，直角三角形为例题5：如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，BD 是对角线.将A 、C 向BD 折叠，分别落在A'， C'处。

求CF 的长小结：这种折叠方法其实就是直角三角形折叠的方法1我们把长方形的上半部遮住，可以看到其实就是将Rt 的直角C 向斜边BD 折叠。

折叠方法4： 将长方形折叠使得对角的顶点重合 在折叠后形成的图形中，全等三角形为等腰三角形为相等的边为 ，直角三角形为 例题6：如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿着对角线折叠，使得点B 与点D 重合。

利用勾股定理解决折叠问题一、引言折叠问题是指将一张纸片沿着某条线折叠后，能否在某种条件下使得所有的线段重合。

这个问题看似简单，但实际上涉及到了许多数学知识和技巧。

本文将介绍如何利用勾股定理解决折叠问题。

二、勾股定理的基本概念勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于直角边两边平方和的定理。

即：设直角三角形ABC，其中∠C为直角，则有AB²+AC²=BC²。

三、折叠问题的基本原理折叠问题可以看作是一个几何变换问题，在几何变换中，保持长度不变是非常重要的条件。

在折叠纸片时，我们需要保证每个线段长度不变。

四、利用勾股定理解决折叠问题的方法1. 假设我们要将一张正方形纸片对折成一个等腰直角三角形。

2. 将正方形沿着对角线对折成两个等腰直角三角形。

3. 将其中一个等腰直角三角形沿着斜边对折，使得斜边与底边重合。

4. 将纸片展开，我们可以发现，原来的正方形纸片已经被折叠成了一个等腰直角三角形。

5. 根据勾股定理，我们可以计算出这个等腰直角三角形的底边和高的长度。

具体而言，设等腰直角三角形的斜边长为c，底边长为a，则有a²＝c²÷2。

6. 利用上述结论，我们可以将任何正方形纸片折叠成一个等腰直角三角形。

五、拓展应用1. 利用类似的方法，我们可以将任何矩形折叠成一个等腰直角三角形。

2. 利用勾股定理和相似三角形的性质，我们还可以将任何平行四边形折叠成一个正方形或矩形。

六、总结利用勾股定理解决折叠问题是一种简单而有效的方法。

通过对几何变换和勾股定理的深入理解和应用，我们可以解决更加复杂和有趣的折叠问题。

直角三角形折叠问题解题技巧
在数学中，直角三角形是一种常见且重要的图形，它由一个直角和两条直角边组成。

而折叠问题是一种常见的数学问题，它要求我们将一个图形沿着某条线折叠，使得折叠前后的图形重合。

直角三角形折叠问题就是一种将直角三角形沿着一条直角边折叠的问题。

对于直角三角形折叠问题，折痕的位置有三种可能，分别是直角边、斜边和不相邻的两条直角边。

对于每种情况，我们可以通过不同的折叠方法来解决问题。

首先，我们来看直角边为折痕的情况。

这种情况下，我们可以将直角三角形沿着直角边折叠，使得折叠后的两个三角形完全重合。

这种情况下，我们只需要将直角边上的两个点对齐，就可以得到答案。

其次，我们来看斜边为折痕的情况。

这种情况下，我们可以将直角三角形沿着斜边折叠，使得折叠后的两个三角形完全重合。

这种情
况下，我们需要将整个直角三角形沿着斜边折叠，然后将折叠后的两个三角形按照它们的对应边进行对齐，就可以得到答案。

最后，我们来看不相邻的两条直角边为折痕的情况。

这种情况下，我们可以将直角三角形沿着不相邻的两条直角边折叠，使得折叠后的两个三角形完全重合。

这种情况下，我们需要将整个直角三角形沿着这两条边进行对齐，然后将折叠后的两个三角形按照它们的对应边进行对齐，就可以得到答案。

在解决直角三角形折叠问题时，我们需要注意折叠的方法和细节，以确保得到正确的答案。

同时，在实际应用中，我们还需要根据具体情况选择合适的折叠方法，以达到最优解。

中考数学折叠典型问题中考数学折叠典型问题一．解答题（共4小题）1．（2009•天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，求此时点C的坐标．2．已知一个直角三角形AOB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（1）如图1，若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为_________；（2）如图2，若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（3）如图3，若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式．3．（2009•恩施州）如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DE=x，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．（1）用x表示△ADE的面积；（2）求出0＜x≤5时y与x的函数关系式；（3）求出5＜x＜10时y与x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？4．（2009•长沙）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（﹣3，0）、C（0，），且当x=﹣4和x=2时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．中考数学折叠典型问题参考答案与试题解析一．解答题（共4小题）1．（2009•天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，求此时点C的坐标．分析：（Ⅰ）因为折叠后点B与点A重合，那么BC=AC，可先设出C点的坐标，然后表示出BC，AC，在直角三角形OCA中，根据勾股定理即可求出C点的纵坐标，也就求出了C点的坐标；（Ⅱ）方法同（Ⅰ）用OC表示出BC，B′C然后在直角三角形OB′C中根据勾股定理得出x，y的关系式．由于B′在OA上，因此有0≤x≤2，由此可求出y的取值范围；（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的思路，应该先得出OB″，OC的关系，知道OA，OB的值，那么可以通过证Rt△COB″∽Rt△BOA来实现．∠B″CO和∠CB″D是平行线B″D，OB的内错角，又因为∠OBA=∠CB″D，因此∠B″CO=∠OBA，即CB″∥BA，由此可得出两三角形相似，得出OC，OB″的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在直角三角形OB″C中求出OC的值，也就求出C点的坐标了．解答：解：（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD．设点C的坐标为（0，m）（m＞0），则BC=OB﹣OC=4﹣m．∴AC=BC=4﹣m．在Rt△AOC中，由勾股定理，AC2=OC2+OA2，即（4﹣m）2=m2+22，解得m=．∴点C的坐标为（0，）；（Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B′，∴△B′CD≌△BCD．∵OB′=x，OC=y，∴B'C=BC=OB﹣OC=4﹣y，在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2=OC2+OB′2．∴（4﹣y）2=y2+x2，即y=﹣x2+2．由点B′在边OA上，有0≤x≤2，∴解析式y=﹣x2+2（0≤x≤2）为所求．∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴y的取值范围为≤y≤2；（Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B″，且B″D∥OC．∴∠OCB″=∠CB″D．又∵∠CBD=∠CB″D，∴∠OCB″=∠CBD，∵CB″∥BA．∴Rt△COB″∽Rt△BOA．∴，∴OC=2OB″．在Rt△B″OC中，设OB″=x0（x0＞0），则OC=2x0．由（Ⅱ）的结论，得2x0=﹣x02+2，解得x0=﹣8±4．∵x0＞0，∴x0=﹣8+4．∴点C的坐标为（0，8﹣16）．2．已知一个直角三角形AOB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（1）如图1，若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为（1，2）；（2）如图2，若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（3）如图3，若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式．分析：（1）由CD为△OAB的中位线，可求D点坐标；（2）设OC=m，由折叠的性质可知，△ACD≌△BCD，则BC=AC=4﹣m，OA=2，在Rt△AOC中，利用勾股定理求m的值；（3）由折叠的性质可知，△B′CD≌△BCD，依题意设OB′=x，OC=y，则B′C=BC=OB﹣OC=4﹣y，在Rt△B′OC中，由勾股定理，建立y与x之间的函数关系式．解答：解：（1）由折叠的性质可知，BC=OC，CD⊥OB，则CD为△OAB的中位线，所以D（1，2），故答案为：（1，2）；（2）如图2，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD，设C点坐标为（0，m）（m＞0），则BC=OB﹣OC=4﹣m，于是AC=BC=4﹣m，在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，即（4﹣m）2=m2+22，解得m=，所以C（0，）；（3）如图3，折叠后点BB落在边OA上的点为B′，则△B′CD≌△BCD，依题意设OB′=x，OC=y，则B′C=BC=OB﹣OC=4﹣y，在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2=OC2+OB′2，即（4﹣y）2=y2+x2，即y=﹣x2+2，由点B′在边OA上，有0≤x≤2，所以，函数解析式为y=﹣x2+2（0≤x≤2）．3．（2009•恩施州）如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DE=x，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．（1）用x表示△ADE的面积；（2）求出0＜x≤5时y与x的函数关系式；（3）求出5＜x＜10时y与x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？分析：（1）由于DE∥BC，可得出三角形ADE和ABC相似，那么可根据面积比等于相似比的平方用三角形ABC的面积表示出三角形ADE的面积．（2）由于DE在三角形ABC的中位线上方时，重合部分的面积就是三角形ADE的面积，而DE在三角形ABC中位线下方时，重合部分就变成了梯形，因此要先看0＜x≤5时，DE的位置，根据BC的长可得出三角形的中位线是5，因此自变量这个范围的取值说明了A′的落点应该在三角形ABC之内，因此y就是（1）中求出的三角形ADE的面积．（3）根据（2）可知5＜x＜10时，A′的落点在三角形ABC外面，可连接AA1，交DE于H，交BC于F，那么AH就是三角形ADE的高，A′F就是三角形A′DE的高，A′F就是三角形A′MN的高，那么可先求出三角形A′MN的面积，然后用三角形ADE的面积减去三角形A′MN的面积就可得出重合部分的面积．求三角形A′MN的面积时，可参照（1）的方法进行求解．（4）根据（2）（3）两个不同自变量取值范围的函数关系式，分别得出各自的函数最大值以及对应的自变量的值，然后找出最大的y的值即可．解答：解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，即S△ADE=x2；（2）∵BC=10，∴BC边所对的三角形的中位线长为5，∴当0＜x≤5时，y=S△ADE=x2；（3）5＜x＜10时，点A′落在三角形的外部，其重叠部分为梯形，∵S△A′DE=S△ADE=x2，∴DE边上的高AH=A'H=x，由已知求得AF=5，∴A′F=AA′﹣AF=x﹣5，由△A′MN∽△A′DE知=（）2，S△A′MN=（x﹣5）2．∴y=x2﹣（x﹣5）2=﹣x2+10x﹣25．（4）在函数y=x2中，∵0＜x≤5，∴当x=5时y最大为：，在函数y=﹣x2+10x﹣25中，当x=﹣=时y最大为：，∵＜，∴当x=时，y最大为：．4．（2009•长沙）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（﹣3，0）、C（0，），且当x=﹣4和x=2时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．专题：压轴题．分析：（1）由题意和图形可求出函数的表达式；（2）结合抛物线内部几何关系和性质求出t值及P点坐标；（3）假设成立（1）若有△ACB∽△QNB则有∠ABC=∠QBN，寻找相似条件，判断是否满足．解答：解：（1）∵C（0，）在抛物线上∴代入得c=，∵x=﹣4和x=2时二次函数的函数值y相等，∴顶点横坐标x==﹣1，∴，又∵A（﹣3，0）在抛物线上，∴=0由以上二式得a=，b=，c=；（2）由（1）y==∴B（1，0），连接BP交MN于点O1，根据折叠的性质可得：01也为PB中点．设t秒后有M（1﹣t，0），N（1﹣，），O1）设P（x，y），B（1，0）∵O1为P、B的中点可得，，即P（）∵A，C点坐标知lAC：y=，P点也在直线AC上代入得t=，即P（）；（3）假设成立；①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN，∴Q点在x轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：则△ACB不与△QNB相似．②若有△ACB∽△QBN，则有 (1)设Q（﹣1，y），C（0，），A（﹣3，0），B（1，0），N（）则CB=2，AB=4，AC=2代入（1）得y=2或．当y=2时有Q（﹣1，2）则QB=4⇒不满足相似舍去；当y=时有Q（﹣1，）则QB=⇒．∴存在点Q（﹣1，）使△ACB∽△QBN．综上可得：（﹣1，）．。