必修五——线性规划无数个最优解问题、乘1问题-答案

线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。

在实际应用中，线性规划可以用于解决各种决策问题，如生产计划、资源分配、投资组合等。

以下是一个线性规划问题的示例：问题描述：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要2小时的加工时间，产品B每件需要3小时的加工时间。

每天的加工时间总共有16个小时。

产品A的利润为100元/件，产品B的利润为150元/件。

工厂的目标是最大化每天的总利润。

解决步骤：1. 定义变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

2. 建立目标函数：目标函数是每天的总利润，即：Z = 100x + 150y。

3. 建立约束条件：a) 加工时间约束：2x + 3y ≤ 16，表示每天的加工时间不能超过16小时。

b) 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0，表示产品的生产数量不能为负数。

4. 求解最优解：将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用线性规划算法求解最优解。

最优解及分析：经过计算，得到最优解为x = 4，y = 4，此时总利润最大为100 * 4 + 150 * 4 = 1000元。

通过最优解的分析可知，工厂每天应生产4件产品A和4件产品B，才能达到每天最大利润1000元。

同时，由于加工时间约束，每天的加工时间不能超过16小时，这也是生产数量的限制条件。

此外，也可以通过灵敏度分析来了解生产数量的变化对最优解的影响。

例如，如果产品A的利润提高到120元/件，而产品B的利润保持不变，那么最优解会发生变化。

在这种情况下，最优解为x = 6，y = 2，总利润为120 * 6 + 150 * 2 = 960元。

这表明，产品A的利润提高会促使工厂增加产品A的生产数量，减少产品B 的生产数量，以获得更高的总利润。

总结：线性规划是一种重要的数学优化方法，可以用于解决各种实际问题。

通过建立目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过线性规划算法求解最优解。

3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题(一)题型一 求线性目标函数的最值例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，求2x ＋3y 的最大值．跟踪训练1 若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是．题型二 已知线性目标函数的最值求参数例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 ．跟踪训练2 在本例条件下，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，求a 的值．题型三 求非线性目标函数的最值例3 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．引申探究1.把目标函数改为z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围．2.把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围．跟踪训练3 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，则y ＋2x ＋2的最大值为( ) A ．1 B.45 C.12 D.23类比：思想方法的迁移方式之一典例 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则z ＝2|x |＋y 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,11]C ．[1,3]D ．[－1,11] 【课堂练习】1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.522．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．233．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4.，那么b ＋1a ＋1的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫15，3B.⎝⎛⎭⎫13，2C.⎝⎛⎭⎫15，2D.⎝⎛⎭⎫13，3 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，求目标函数z ＝3x －y 的取值范围．5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，求z ＝y －1x －1的最大值．1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤 (1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解． 3．对于非线性约束条件，仍然用“方程定界，特殊点定域”． 【巩固提升】 一、选择题1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域内，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．453．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,35．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10 B ．2 2 C ．8 D ．10 6．实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝x ＋y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,2)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1) 7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y －8≤0，2x －y －4≥0，如果目标函数z ＝y ＋2x －a的取值范围为[0,2)，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤2C ．a <2D ．a <18．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12 C ．1 D ．2 二、填空题9．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，z ＝2x －y 的最小值是 ．10．已知x 2＋y 2<1，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是 ． 11．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y ≥0，x ＋y －a ≤0.若z ＝y －1x ＋1的最大值为1，则正数a 的值为 ．12．已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，b ≥a ＋c ，则ba 的最大值为________．三、解答题13．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．14．等差数列{a n }中，a 3<1，a 4＞1.求a 7的取值范围．15．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，求z ＝y x ＋xy的取值范围．3．3.2 第1课时 简单的线性规划问题(一)答案例1解 设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ， 则y ＝－23x ＋z3，这是斜率为－23，在y 轴上的截距为z3的直线，如图．由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.跟踪训练1 若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是． 答案 3解析 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为． 答案 (1，＋∞)解析 作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分含边界所示)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即C (3,1)，目标函数为z ＝ax ＋y (a >0)，由题意可知，当直线y ＝－ax ＋z 经过点C 时，z 取得最大值， ∴－a <k CD ，即－a <－1，则a 的取值范围为(1，＋∞)．跟踪训练2 在本例条件下，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，求a 的值．解 如上例中图形，若使z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z ＝ax ＋y 与直线x ＋y ＝4重合，所以－a ＝k CD ，即－a ＝－1，此时a ＝1. 例3 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示， 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)， 故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值， 由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，又∵B (0,2)，C (1,0)，∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.引申探究1．把目标函数改为z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝32·y ＋13x ＋12，其中k ＝y ＋13x ＋12的几何意义为点(x ，y )与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－13连线的斜率．由图易知，k NC ≤k ≤k NB ，即29≤k ≤143，∴13≤32k ≤7，∴z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，7.2．把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝2(x ＋1)＋y －1x ＋1＝y －1x ＋1＋2.设k ＝y －1x ＋1，仿例1解得－12≤k ≤1.∴z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3. 反思感悟 对于形如cx ＋dy ＋fax ＋b的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．跟踪训练3 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，则y ＋2x ＋2的最大值为( ) A ．1B.45C.12D.23答案 B解析 画出可行域如图(阴影部分含边界)所示：联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝23，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23.y ＋2x ＋2表示可行域内的点(x ，y )与C (－2，－2)连线的斜率，从图象可以看出，经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23时，y ＋2x ＋2有最大值45.类比：思想方法的迁移方式之一典例 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则z ＝2|x |＋y 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,11]C ．[1,3]D ．[－1,11] 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，当x ≥0时，z ＝2x ＋y ，即y ＝－2x ＋z ，由图象可知其经过A (0，－1)时，z min ＝－1，经过B (6，－1)时，z max ＝11；当x ≤0时，y ＝2x ＋z ，由图象可知其经过C (－2，－1)时，z max ＝3，经过A (0，－1)时，z min ＝－1，综上所述，－1≤z ≤11.[课堂练习]1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0C.53D.52答案 C解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23 答案 B解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 3．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4.，那么b ＋1a ＋1的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3 答案 A解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2<a ＋2b <4，a >0，b >0表示的平面区域，如图阴影部分所示(不含边界).b ＋1a ＋1的几何意义是可行域内的点M (a ，b )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图得，当点M 与点B (0,2)重合时，b ＋1a ＋1最大；当点M 与点A (4,0)重合时，b ＋1a ＋1最小．由图知k PB ＝2＋10＋1＝3，k PA＝0＋14＋1＝15，因为a ，b 是正数，且点A ，B 不在可行域内，所以15<b ＋1a ＋1<3，故选A. 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，求目标函数z ＝3x －y 的取值范围．解 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －y ，可得y ＝3x －z ，则－z 为直线y ＝3x －z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可知，当直线y ＝3x －z 平移到B 时，z 最小，平移到C 时，z 最大，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，z min ＝－32，C (2,0)，z max ＝6，∴－32≤z ≤6. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，求z ＝y －1x －1的最大值． 解 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率． 由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3. [巩固提升] 一、选择题1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域内，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6B ．－2C ．0D ．2 答案 A解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ， 当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6.2．(2018·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．45 答案 C解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝－35x ，平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即C (2,3)，所以z max＝3×2＋5×3＝21，故选C.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知， 当直线l 0过D 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得D (5,3)．∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3答案 A解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时，z 有最小值，经过点B 时，z 有最大值．易求得A (3,5)，B (5,3)． ∴z max ＝3×5－4×3＝3，z min ＝3×3－4×5＝－11.5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10B ．22C ．8D ．10 答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．因为(x ＋3)2＋y 2的几何意义是点A (－3,0)与可行域上点(x ，y )间距离的平方，显然|AC |最小，所以(x ＋3)2＋y 2的最小值为|AC |2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，故选D.6．实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝x ＋y －1x的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,2) C ．[－1，＋∞) D．[－1,1) 答案 B解析 作出可行域，如图(阴影部分)所示，x ＋y －1x ＝1＋y －1x ，k ＝y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行， ∴k l <1.综上，k ∈[－1,1)，k ＋1∈[0,2)．7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y －8≤0，2x －y －4≥0，如果目标函数z ＝y ＋2x －a的取值范围为[0,2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．a ≤2 C ．a <2 D ．a <1答案 D解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y －8≤0，2x －y －4≥0表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，因为目标函数z ＝y ＋2x －a的取值范围为[0,2)， 所以可行域内的点与点(a ，－2)连线的斜率的取值范围是[0,2)．又直线2x －y －4＝0的斜率为2，所以由图可知点(a ，－2)在直线BA 上，且在A (1，－2)的左侧，所以a <1.故选D.8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C ．1D ．2 答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示．易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.二、填空题9．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，z ＝2x －y 的最小值是．答案 －7解析 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界．三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一族与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7. 10．已知x 2＋y 2<1，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是． 答案 (－∞，0)解析 可行域为单位圆(阴影部分)内部，不包含边界．w ＝y －1x ＋1的几何意义为点(x ，y )与点(－1,1)连线的斜率． 由图知w ∈(－∞，0)．11．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y ≥0，x ＋y －a ≤0.若z ＝y －1x ＋1的最大值为1，则正数a 的值为． 答案 4解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，z ＝y －1x ＋1表示可行域内的点(x ，y )与定点B (－1,1)连线的斜率， 由图可知，点A 与点B 连线的斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y －a ＝0，得A (1，a －1)．∴z 的最大值为a －22＝1，解得a ＝4.12已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，b ≥a ＋c ，则b a的最大值为________． 答案 7解析 题设条件可转化为⎩⎪⎨⎪⎧3a c ＋bc ≥5，a c ＋bc ≤4，b c －a c ≥1，记x ＝a c ，y ＝bc，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y －x ≥1表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部．且目标函数为z ＝yx，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝5，x ＋y ＝4，得交点坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72， 此时z max ＝7，即b a的最大值为7.三、解答题13已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．解 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方， 过M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上， 故|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322. ∴|MN |2＝⎝⎛⎭⎪⎫3222＝92，∴z 的最小值为92. (2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －(－1)表示可行域内的点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍，∵k QA ＝74，k QB ＝38，∴z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72. 14等差数列{a n }中，a 3<1，a 4＞1.求a 7的取值范围． 解 设a n ＝kn ＋b .则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝3k ＋b <1，a 4＝4k ＋b ＞1，可行域如图阴影部分．a 7＝7k ＋b .当k ＝0，b ＝1时最小，但(0,1)取不到．∴a 7∈(1，＋∞)．15．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，求z ＝y x ＋x y 的取值范围． 解 令k ＝y x ，则y ＝kx (因为x ≠0，所以k 存在)，直线y ＝kx 恒过原点，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，当直线y ＝kx 过点A (1,2)时，斜率有最大值2；当直线y ＝kx 过点B (3,1)时，斜率有最小值13，所以斜率k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，又z ＝y x ＋x y ＝k ＋1k ，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1时，z ＝k ＋1k 为减函数；当k ∈[1,2]时，z ＝k ＋1k 为增函数，可得z 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.。

线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

在线性规划中，我们需要确定一组决策变量的取值，以使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一组线性约束条件。

下面我将为您提供一个线性规划题目及其答案，以便更好地理解线性规划的应用。

题目：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为5元，每单位产品B的利润为8元。

公司有两个车间可供生产，车间1每天生产产品A需要2小时，产品B需要1小时；车间2每天生产产品A需要1小时，产品B需要3小时。

车间1每天可工作8小时，车间2每天可工作10小时。

公司希望确定每个车间生产的产品数量，以使得利润最大化。

解答：首先，我们需要定义决策变量。

设x1为车间1生产的产品A的数量，x2为车间1生产的产品B的数量，x3为车间2生产的产品A的数量，x4为车间2生产的产品B的数量。

其次，我们需要建立目标函数。

公司的利润可以表示为：Profit = 5x1 + 8x2 +5x3 + 8x4。

然后，我们需要建立约束条件。

根据车间1和车间2的工作时间限制，我们可以得到以下两个约束条件：2x1 + x2 ≤ 8 （车间1的工作时间限制）x3 + 3x4 ≤ 10 （车间2的工作时间限制）另外，由于产品数量不能为负数，我们还需要添加非负约束条件：x1, x2, x3, x4 ≥ 0综上所述，我们得到了以下线性规划模型：Maximize Profit = 5x1 + 8x2 + 5x3 + 8x4Subject to:2x1 + x2 ≤ 8x3 + 3x4 ≤ 10x1, x2, x3, x4 ≥ 0接下来，我们可以使用线性规划求解方法来求解该问题。

通过求解器或手动计算，我们可以得到最优解：x1 = 2，x2 = 4，x3 = 1，x4 = 2利润最大化为：Profit = 5(2) + 8(4) + 5(1) + 8(2) = 58元。

通过以上求解过程，我们可以得出结论：为了使公司的利润最大化，车间1应该生产2个单位的产品A和4个单位的产品B，车间2应该生产1个单位的产品A和2个单位的产品B，此时公司的利润为58元。

线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下求解线性目标函数的最优解的问题。

本文将介绍一个线性规划题及其答案，以帮助您更好地理解和应用线性规划。

题目描述：某工厂生产两种产品A和B。

每单位产品A需要3个工时和2个材料单位，每单位产品B需要4个工时和1个材料单位。

工厂每天有总共24个工时和10个材料单位可用。

产品A的利润为100元/单位，产品B的利润为80元/单位。

问工厂每天应该生产多少单位的产品A和产品B，以最大化利润？解答步骤：1. 确定决策变量：设工厂每天生产的产品A的单位数为x，产品B的单位数为y。

2. 建立目标函数：目标是最大化利润，因此目标函数为：Z = 100x + 80y。

3. 建立约束条件：根据题目描述，工厂每天可用的工时为24个，每单位产品A需要3个工时，每单位产品B需要4个工时，因此工时的约束条件为：3x + 4y ≤ 24。

工厂每天可用的材料单位为10个，每单位产品A需要2个材料单位，每单位产品B需要1个材料单位，因此材料单位的约束条件为：2x + y ≤ 10。

另外，生产的产品数量不能为负数，即：x ≥ 0，y ≥ 0。

4. 构建线性规划模型：综合考虑目标函数和约束条件，可以得到线性规划模型如下：Maximize Z = 100x + 80ySubject to:3x + 4y ≤ 242x + y ≤ 10x ≥ 0y ≥ 05. 解答最优解：通过线性规划求解器或图形法等方法，可以求解出最优解。

假设最优解为x*和y*，则工厂每天应该生产x*单位的产品A和y*单位的产品B，以最大化利润。

答案解析：通过线性规划求解器求解上述线性规划模型，得到最优解为x* = 4，y* = 4。

即工厂每天应该生产4个单位的产品A和4个单位的产品B，以最大化利润。

利润最大化时的最优解下，工厂每天使用的工时为3x* + 4y* = 3*4 + 4*4 = 24个，使用的材料单位为2x* + y* = 2*4 + 4 = 12个。

线性规划习题及答案线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要用于解决资源分配问题，以达到最大化或最小化目标函数。

下面是一个线性规划的习题及答案：习题：某工厂生产两种产品A和B，每种产品都需要使用机器时间和劳动力。

产品A每件需要3小时的机器时间和2小时的劳动力，产品B每件需要2小时的机器时间和3小时的劳动力。

工厂每天有24小时的机器时间和18小时的劳动力。

设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。

1. 建立目标函数和约束条件。

2. 求解线性规划问题，找出最优生产计划。

答案：1. 目标函数：设目标是最大化利润，产品A的利润为40元/件，产品B的利润为30元/件。

因此，目标函数为：\[ \text{Maximize } P = 40x + 30y \]2. 约束条件：- 机器时间约束：\[ 3x + 2y \leq 24 \]- 劳动力时间约束：\[ 2x + 3y \leq 18 \]- 非负约束：\[ x \geq 0, y \geq 0 \]3. 图解法求解：- 首先在坐标系中画出约束条件所形成的可行域。

- 可行域的顶点坐标为：(0,0), (0,6), (4,2), (8,0)。

- 将这些点代入目标函数计算利润：- P(0,0) = 40*0 + 30*0 = 0- P(0,6) = 40*0 + 30*6 = 180- P(4,2) = 40*4 + 30*2 = 200- P(8,0) = 40*8 + 30*0 = 3204. 最优解：- 通过比较各点的利润，发现当生产8件产品A和0件产品B时，利润最大，为320元。

5. 结论：- 工厂应该生产8件产品A和0件产品B，以实现最大利润320元。

注意：本题答案仅为示例，实际解题时需要根据具体题目条件进行分析和计算。

简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。

线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。

在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。

本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。

一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。

每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。

问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。

通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。

二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。

公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。

通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。

三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。

仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。

通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。

四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。

线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。

在线性规划中，我们需要确定一组决策变量的值，以使目标函数达到最大或者最小值，同时满足一系列线性约束条件。

为了更好地理解线性规划问题，我们将通过一个具体的线性规划题目来进行说明。

假设我们有一个工厂，需要生产两种产品A和B。

每一个单位的产品A需要2个单位的原材料X和3个单位的原材料Y，而每一个单位的产品B需要1个单位的原材料X和2个单位的原材料Y。

工厂每天有100个单位的原材料X和150个单位的原材料Y可用。

产品A的销售利润为5美元，产品B的销售利润为4美元。

我们的目标是确定每天生产的产品A和产品B的数量，以使销售利润最大化。

为了解决这个线性规划问题，我们首先需要定义决策变量。

假设我们用变量x表示每天生产的产品A的数量，用变量y表示每天生产的产品B的数量。

因此，我们的目标是最大化目标函数Z=5x+4y。

接下来，我们需要确定线性约束条件。

根据题目描述，每一个单位的产品A需要2个单位的原材料X和3个单位的原材料Y，而每一个单位的产品B需要1个单位的原材料X和2个单位的原材料Y。

因此，我们可以得到以下约束条件：2x+y≤100（原材料X的限制）3x+2y≤150（原材料Y的限制）x≥0，y≥0（生产数量不能为负数）综合以上信息，我们可以得到如下的线性规划模型：目标函数：maximize Z=5x+4y约束条件：2x+y≤1003x+2y≤150x≥0，y≥0接下来，我们可以使用线性规划求解方法来求解这个问题。

一种常用的求解方法是单纯形法。

通过应用单纯形法，我们可以得到最优解。

根据单纯形法的求解过程，我们可以得到以下最优解：最优解：x=25，y=50Z=5x+4y=5*25+4*50=125+200=325（销售利润最大化）因此，根据我们的计算，每天生产25个单位的产品A和50个单位的产品B，可以使销售利润最大化，达到325美元。

以上就是根据给定的任务名称所编写的关于线性规划题目及答案的详细内容。

线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种常见的数学建模方法，用于解决优化问题。

它在工程、经济学、运筹学等领域中得到了广泛应用。

本文将介绍线性规划题的基本概念和解题方法，并给出相应的答案。

一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。

目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。

1.2 约束条件：线性规划的决策变量必须满足一系列约束条件，这些条件通常表示为一组线性不等式或者等式。

例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为决策变量向量，b为常数向量。

1.3 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。

可行解的集合称为可行域。

二、线性规划问题的解题方法2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。

首先绘制可行域的图形，然后通过挪移目标函数的等高线来确定最优解。

最优解通常浮现在可行域的顶点处。

2.2 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。

该方法通过迭代计算，逐步接近最优解。

单纯形法的基本思想是通过交换基本变量和非基本变量来改变目标函数值，直到找到最优解。

2.3 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划法求解。

整数规划问题通常比线性规划问题更难解决，因为整数解的集合通常是离散的。

三、线性规划题的实例分析3.1 生产计划问题：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要3小时的生产时间，每单位产品B需要2小时的生产时间。

工厂每天有8小时的生产时间，且产品A和B的利润分别为10元和8元。

求工厂每天应生产多少单位的产品A和B，才干最大化利润。

3.2 运输问题：某物流公司有3个仓库和4个配送点，每一个仓库的库存和每一个配送点的需求如下表所示。

每单位产品的运输成本如下表所示。

求如何安排运输，使得总运输成本最低。

仓库 | 库存----|----A | 50B | 80C | 70配送点 | 需求------|-----D | 30E | 40F | 50G | 60运输成本 | 仓库A | 仓库B | 仓库C--------|------|------|------配送点D | 10 | 12 | 15配送点E | 14 | 8 | 11配送点F | 7 | 16 | 9配送点G | 13 | 10 | 63.3 资源分配问题：某公司有3个项目需要分配资源，每一个项目的利润和资源需求如下表所示。

线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在一组线性约束条件下寻找使目标函数取得最大（最小）值的变量值。

在实际生活和工作中，线性规划常常被用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。

本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。

一、资源分配问题1.1 问题描述：某公司有两个生产部门A和B，每天生产产品X和Y。

部门A每天生产产品X需要消耗3个单位的资源，生产产品Y需要消耗2个单位的资源；部门B每天生产产品X需要消耗2个单位的资源，生产产品Y需要消耗4个单位的资源。

公司每天有20个单位的资源可供分配，如何分配资源才能使得产出最大化？1.2 解答：设部门A每天生产产品X的数量为x，生产产品Y的数量为y；部门B每天生产产品X的数量为u，生产产品Y的数量为v。

根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 3x + 2y + 2u + 4vSubject to:3x + 2y + 2u + 4v <= 20x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。

二、生产计划问题2.1 问题描述：某工厂有两个生产车间，每天生产产品P和Q。

车间1每天生产产品P需要花费5个单位的时间，生产产品Q需要花费3个单位的时间；车间2每天生产产品P需要花费4个单位的时间，生产产品Q需要花费6个单位的时间。

工厂每天有40个单位的时间可供分配，如何安排生产计划才能使得产量最大化？2.2 解答：设车间1每天生产产品P的数量为x，生产产品Q的数量为y；车间2每天生产产品P的数量为u，生产产品Q的数量为v。

根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 5x + 3y + 4u + 6vSubject to:5x + 3y + 4u + 6v <= 40x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。

三、运输问题3.1 问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每个仓库有一定数量的产品可供销售点购买。