必修五——线性规划无数个最优解问题、乘1问题-答案
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必修五——线性规划无数个最优解问题、乘1问题
答案和解析
【答案】
1.D
2.A
3.C
4.C
5.A
6.B
7.D
8.B
9.C 10.B 11.B
【解析】
1. 解:作出不等式组{x +y ≥1
x −y ≥−12x −y ≤2
表示的平面区域,
得到如图的△ABC 及其内部,其中A (1,0),B (0,1),C
(3,4)
设z =F (x ,y )=ax +by (a >0,b >0),将直线l :z =ax +by
进行平移,
当l 经过点C 时,目标函数z 达到最大值
∴z 最大值=F (3,4)=3a +4b =7,可得17(3a +4b )=1因此,3a +4b =17
(3a +4b )(3a +4b )=17(25+12b a +12a
b )
∵12b
a +12a
b ≥2√12b
a ⋅12a
b =24∴17(25+24)≥17×49=7,
即当且仅当a =b =1时,3a +4b 的最小值为7故选:D
作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC 及其内部,再将目标函数z =ax +by 对应的直线进行平移,可得当x =3,y =4时,z 最大值为3a +4b =7.然后利用常数代换结合基本不等式,可得当且仅当a =b =1时,3a +4
b 的最小值为7.
本题给出二元一次不等式组,在已知目标函数z =ax +by 最大值为7的情况下求3a +4b 的最小值.着重考查了运用基本不等式求最值和简单的线性规划等知识,属于中档题.
2. 解:满足约束条件{x +y −4<0y ≥x x ≥0的可行域如下图所示
∵y−5x−1表示可行域内一点(x ,y )与P (1,5)连线的斜率
又∵k PA =5−41−0=1,k PB =5−22−1=-3,
∴y−5x−1的范围是(-∞,-3)∪(1,+∞)
故选A
画出满足约束条件的可行域,分析目标函数的几何意义,数形结合即可分析出目标函数的取值范围.
本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中分析出目标函数的几何意义是表示可行域内一点(x ,y )与P (1,5)连线的斜率是解答的关键.
3. 解:由约束条件{y ≥0
y −x +1≤0y −2x +4≥0作出可行域如图,
由z =y -ax (a ≠0),得y =ax +z ,
∵a ≠0,
∴要使z =y -ax (a ≠0)取得的最优解(x ,y )有无数个,
a 不能为负值,当a >0时,直线y =ax +z 与线段AC 所在直线重合时,使z =y -ax 取得最大值的最优解有无数个;
直线y =ax +z 与线段BC 所在直线重合时,使z =y -ax 取得最小值的最优解有无数个.
综上,要使z =y -ax (a ≠0)取得的最优解(x ,y )有无数个,则a =1或2.
故选:C .
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,结合可行域即可看出使z =y -ax (a ≠0)取得的最优解(x ,y )有无数个的a 值.
本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
4. 解:依题意,满足已知条件的三角形如下图示:
令z =0,可得直线x +my =0的斜率为-1m , 结合可行域可知当直线x +my =0与直线AC 平行时,
线段AC 上的任意一点都可使目标函数z =x +my 取得最小值,
而直线AC 的斜率为1−33−1=-1,
所以-1m =-1,解得m =1,
故选C .
增加网友的解法,相当巧妙值得体会!请看:
依题意,1+3m =5+2m <3+m ,或1+3m =3+m <5+2m ,或3+m =5+2m <1+3m 解得m ∈空集,或m =1,或m ∈空集,
所以m =1,选C .
评析:此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴,区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解,故此两点处函数值相等,小于第三个顶点处的目标函数值,本题略去了判断最优解取到位置的判断,用三个不等式概括了三种情况,从而解出参数的范围,此方法可以在此类求参数的题中推广,具有一般性!
将目标函数z =x +my 化成斜截式方程后得:y =-1m x +1m z ,若m >0时,目标函数值Z 与直线族:y =-1m x +1m z 截距同号,当直线族y =-1m x +1m z 的斜率与直线AC 的斜率相等时,目标函数z =x +my 取得最小值的最优解有无数多个;若m <0时,目标函数值Z 与直线族:y =-1m x +1m z 截距异号,当直线族y =-1m x +1m z 的斜率与直线BC 的斜率相等时,目标函数z =x +my 取得最小值的最优解有无数多个,但此时是取目标函数取最大值的最优解为无数个,不满足条件. 目标函数的最优解有无数多个,处理方法一般是:①将目标函数的解析式进行变形,化成斜截式;②分析Z 与截距的关系,是符号相同,还是相反;③根据分析结果,结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数.
5. 解:由题意,使目标函数Z=ax -y (a >0)取得最大值,而y =ax -z
即在Y 轴上的截距最小;
所以最优解应在线段AC 上取到,故ax -y =0应与直线AC 平行.
∵k AC =3−14−1=23,
∴a =23,
故选:A .
由题设条件,目标函数Z=ax -y (a >0),取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在