高中数学(人教版)必修五：简单线性规划ppt课件.pdf

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线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性目标函数在满足一组线性约束条件下的最优解。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，即目标函数和约束条件中的变量和常数都是线 性的。
线性规划的目标是找到一组决策变量，使得目标函数达到最大值或最小值，同时满足所有的 约束条件。
线性规划在资源分 配中的应用
资源分配问题的定 义和分类
线性规划在资源分 配问题中的求解方 法
线性规划在资源分 配问题中的实际应 用案例
投资目标：最大化投资收 益
投资约束：资金有限、风 险控制等
投资策略：分散投资、风 险对冲等
投资效果评估：投资回报 率、风险调整后收益等
运输问题：在满足一定约束条件下，寻找最优的运输方案，以最小化运输成本或最大化运输 收益
确定约束条件的类 型，如等式约束、 不等式约束等
确定约束条件的 范围，如 x1+x2≤5等
确定约束条件的 数量，如 x1+x2+x3=5等
目标函数是线性规 划的核心，需要明 确表示出要优化的 目标
目标函数通常表示 为最大化或最小化 某个线性函数
目标函数中的变量 需要与约束条件中 的变量一致
目标函数中的系数 需要是常数，不能 含有变量
线性规划是研究线性约束条件下的优化问题的数学方法
线性规划的目标是找到一组决策变量，使得目标函数达到最大值或最小值
线性规划的几何意义在于，它可以将线性规划问题转化为几何问题，通过几何图形来 直观地表示和解决问题
线性规划的几何意义可以帮助我们更好地理解和解决线性规划问题，提高解决问题的 效率和准确性

在线性约束条件下，求目标函数最小值.
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x

7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15

问题：z=2x+y 有无最大（小）值？
y
5C
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
x-4y+3=0
B
O1
x=1
A
5
x
3x+5y-25=0
可行域
在上述问题中
x 4 y 3 3x 5y 25 x 1
(线性)约 束条件
满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解.
所有可行解组成的集合称为可行域. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 称为最优解. 求线性目标函数在线性约束条件下的最大 值或最小值问题称为线性规划问题.
举例
例1 解下列线性规划问题：
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：
y x x y 1 y 1
1.线性目标函数的最大（小）值一般在可
行域的顶点处取得，也可能在边界处取得. 2.求线性目标函数的最优解，要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数.
练习
1.课本91页练习第1题
7x 7 y 5
2.
已知
174xx174
y y

6 6
求 Z 28x 21 y最小值。
问题：z=2x+y 有无最大（小）值？
目标函数 （线性目标函数）
定义
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及 的变量 x，y的解析式称为目标函数..
线性目标函数:关于x，y 的一次目标函数称为 线性目标函数.
约束条件:由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式 组称为x，y 的约束条件.
线性约束条件:关于x，y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x，y 的线性约束条件.

y
5
x-y+5=0
3
x
表示的平面区域。
x=3
线性规划
y
5
O
问题引入 有关概念
3
x

例题讲解
线性规划
问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：
x 4 y 3 3 x 5 y 25 x 1
求z的最大值与最小值。
探索结论
线性规划
目标函数 （线性目标函数）
探索结论

线性规划的实际应用

应用举例之一
——纺纱厂的效益问题

应用举例之二 ——煤矿调运方案问题

应用举例之三
——其它问题
线性规划的实际应用
例1：某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已 知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级 子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、 二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元， 每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产 这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过 300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉 纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润 总额最大?
线性规划的实际应用
例1：某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱 1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子 棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨 乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求 消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两 种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?
资源 一级子棉（吨） 二级子棉（吨） 利润（元）
产品 甲种棉纱 乙种棉纱 资源限额 （吨） （吨） （吨） 2 1 600 1 2 900 300 250

3.3.2 简单线性规划问题
（1课时）
y
o
x
一、问题引入
问题1:
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产 一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产 品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所 有可能的日生产安排是什么?
3.线性规划
在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.
4.可行解 5.可行域 6.最优解
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解. 所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最值的可行解叫做这个问 题的最优解.
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
B组 3
把z=2x+3y变形为y=-
2 3
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为
z 3
的直线,
当点P在可允 许的取值范 围内
求
z 的最值 3
求
z的最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题：求利润z=2x+3y的最大值.
y
x 2 y 8，
4
44
x y

16， 12，
3

x

0，
0
y 0.
Zmax 4 2 2 3 14.
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
体 验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.

【提示】 z的最大值对应于截距的最小值，z的最小值对应 于截距的最大值．
x－4y≤－3 设 z＝2x＋y，其中 x，y 满足约束条件3x＋5y≤25， 求
x≥1
z 的最大值和最小值．
【思路点拨】 作出可行域 D，平移直线 y＝－2x＋z， 找到目标函数取得最大值和最小值的点．
【解析】
x－4y≤－3 不等式组3x＋5y≤25
线性规 在线性约束条件下，求线性目标函数的 划问题 问最题大，或称最为小线值性规划问题
可行解 满足线性约束条件的叫做(x可，行y) 解 可行域 由所有组成可的行集解合叫做可行域
1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 【提示】 不一定，最优解可能有一个，也可能有多个， 甚至可以有无数多个．
2．在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小值 与截距的对应关系是怎样的？
因为 x、y 为整数，而离点 A 最近的整点是 C(1,2)，这时 S＝13，所以所求的最大值为 13.
【错因】 显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S＝14， 故上述解法不正确．
对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整 点．
而要先对边界点作目标函数t＝Ax＋By的图象， 则最优解是在可行域内离直线t＝Ax＋By最近的整点．
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶 点便是最优解．
(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断，若围成可行域的 直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1＜k2＜…kn，而且目标函数的 直线的斜率为k，则当ki＜k＜ki＋1时，直线li与li＋1的交点一般是 最优解．
2．应用线性规划处理实际问题时应注意的问题 (1)求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值 的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细 推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证 解决问题的准确和完美． (2)处理实际问题时，x≥0，y≥0常被忽略，在解题中应多加 注意． (3)在求最优解时，一般采用图解法求解．

y ≥0
分 析 问 题:
原 每吨产品消耗的原材料 原 材料限 额 材 甲产品(t) xt 乙产品(t) yt 料 1.本问题给定了哪些原材料(资源)? 300 A种矿石 10 4
B种矿石 煤 利润 5 4 600 4
2.该工厂生产哪些产品? 200
3.各种产品对原材料(资源)有怎样的要求? 9 360 4.该工厂对原材料(资源)有何限定条件? 1000 5.每种产品的利润是多少?利润总额如何计算?
解:设生产甲、乙两种产品.分别为x 10x+4y≤300 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0 z=600x+1000y.
t、yt,利润总额为z元,那么 y
75
50 40
画出以上不等式组所表示的可行域 作出直线L 600x+1000y=0. 把直线L向右上方平移
经过可行域上的点M时,目标函数 在y轴上截距最大. 此时z=600x+1000y取得最大值. 由 0
例3.gsp图形
2。调查你的亲朋所在公司的某项目，并运 用你所学的线性规划知识帮助公司获得更多 的利润。
想一想(问题):
已知实数x,y满足下列条件: 5x+4y ≤ 20 2x+3y ≤12 x ≥0
线性约束 条件
y
Z的最大值为44
6． 最优解 ． 5 12 20 4． M ( , ) 7 可行域 7 3． 2． 9x+10y=0 1 ． ．． ．． ． ．． 1 2 3 4 5 6 2x+3y=12 5x+4y=20 x
消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润
是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两

L : y ax 2 与线段AB有公共点，
求 a 的取值范围;
3 、已知 x + y
2 2
≤16 求 x
+ y 的最值
1、 最优解；
算 通过解方程组算出最优解； 4、 答 作出答案。
3、
巩固
已知
x,
x y 0 y 满足 x y 1 y 1
（1）若 z =2x-y
则z的最小值是：
（2）若 z =x-2y 则z的最小值是：
探究
已知
x,
（3）若 z x my ( m 0 )取得最小值
现因条件限制，煤只有360吨，供电局只供电300千瓦， 试问该工厂生产A、B产品各多少吨才能获得最大利润？
解：设生产A产品x吨，生产B产品y吨，则
4 x 5 y 360 3 x 10 y 300 x 0, y 0
利润z=3x+5y
答：生产A产品84吨，
B产品4.8吨可获最大利润。
建模
x y 0 例1 已知 x , y 满足 x y 1 求 z 2 x y y 1 的最值。
二元一次不等式 直线 Ax
Ax By C 0 表示：
By C 0 某一侧所有点组成的平面区域
Ax By C 0 ( A 0 ) 表示直线的右侧区域
x y 0 y 满足 x y 1 y 1
的点有无穷多个，则m=
-1
。
（4）若 z x my
取得最大值的点有无穷多
个，则m=
1或-1 。
例2、某工厂生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需 的煤、电耗及利润如表：

意义．
(1)截距型：形如z＝Ax＋By(B≠0)，即y＝－AB
x＋Bz
，
z 为该 B
直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在y轴上截距的B
倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号．
12/13/2021
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，z表示平面区域内的 动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方．
12/13/2021
(1)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件
x＋y－3≤0 x－2y－3≤0 x≥m，
A．－1
则实数m的最大值为( B )
B．1
3 C.2
D．2
12/13/2021
x≥1 (2)已知a>0，x，y满足约束条件 x＋y≤3 y≥ax－3，
y的最小值为1，则a＝( B )
12/13/2021
规律方法 上述三个问题都是非线性目标函数模型，第一个 是两点间的距离模型，第二个是斜率模型，第三个是点到直线 的距离模型，但其本质还是二元函数的最值问题．熟悉这些模 型有助于更好地解决问题．
12/13/2021
x＋y－3≥0 已知实数x，y满足 x－y＋1≥0
9
x≤2，
__2_.
12/13/2021
【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，直线ax＋2y＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1<－a2<2，即－4<a<2.
12/13/2021
规律方法 对于线性规划的逆向思维问题，解答时必须明确 线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数 形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函 数斜率的关系．
则z＝x2＋y2的最小值为

作直线l： 3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0. 平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数 取得最大值．
x＋y＝300 联立 5x＋2y＝900，
解得x＝100，y＝200.
∴点M的坐标为(100,200)．
∴zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)． 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
典例导悟
类型一 [例1] 求最大值的实际应用题 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超
过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视 台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定 甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司
带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在 甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大， 最大收益是多少万元？ [分析] 根据题意列出约束条件，写出目标函数．转
[点评]
解答线性规划应用题应注意以下几点：
(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较 多，因此认真审题非常重要； (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断； (3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如 x，y为正整数、非负数等；
(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件 一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式； (5)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上 都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作 尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点 不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出 来，然后逐一检查，以确定最优解．
类型二 [例2]
求最小值的实际应用题 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画