苏教版数学必修五：3.3.3简单的线性规划问题【学生版】

3．简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题●三维目标1知识与技能1从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；2了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；3了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大小值；4培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2过程与方法1本节课是以二元一次不等式组表示的平面区域的知识为根底，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；2考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过鼓励学生探究入手，讲练结合，真正表达数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观1结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学〞的意识，鼓励学生创新；2渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合〞的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的根底上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过鼓励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!【问题情境】我们先考察生产中遇到的一个问题：某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t、B种原料12t，产生的利润为2万元；生产1t乙种产品需要A种原料1t、B种原料9t，产生的利润为1万元．现有库存A种原料10t，B种原料60t，问如何安排才能使利润最大？设方案生产甲、乙两种产品的吨数分别为，，利润为a变式1设变量，满足约束条件错误!那么目标函数＝42的最大值为多少？【自主解答】画出约束条件表示的点，的可行域，如下图的阴影局部包括边界直线．把＝4＋2变形为＝－2＋，得到斜率为－2，在轴上的截距为，随变化的一族平行直线．作直线：＝－2，把直线向右上方平行移至经过可行域上的点B，此时1：＝－2＋的纵截距最大，同时＝4＋2取最大值．解错误!得错误!∴B5,3．故当＝5，＝3时，ma＝26变式2设变量，满足约束条件错误!那么目标函数＝3－4的最大值和最小值分别为多少．【解】作可行域如下图，平移直线3－4＝可知，直线过A点时，取最小值，过B点时，取最大值．∴min＝3×3－4×5＝－11，ma＝3×5－4×3＝3【规律方法】1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数＝a＋b〔b≠0〕，当b>0时，直线截距最大时，有最大值，截距最小时，有最小值；当b<0时，那么相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用的几何意义求解．平移直线a＋b＝0时，看它经过哪个点哪些点时最先接触可行域和最后离开可行域，那么这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．3 在平移目标函数时，一定要注意比拟目标函数直线的斜率与可行域边界直线的斜率大小，防止直线的倾斜程度判断不准致误类型二：利用线性规划求字母参数的值或范围例2，满足错误!设＝a＋a＞0，假设当取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】作出可行域如下图．当直线＝－a＋a＞0平行于直线AC，且直线经过线段AC上任意一点时，均取得最大值，此时有无数多点使取得最大值，而AC＝－错误!，∴－a＝－错误!，即a＝错误!【规律方法】1．此题中，取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形平面区域及目标函数的几何意义解题．【课后思考】：假设，满足约束条件错误!目标函数＝a＋2仅在点1,0处取得最小值，那么a的取值范围是________．【课堂小结】1．根底知识：1可行域；2线性规划．2．根本技能：1解线性规划问题；2利用线性规划求字母参数的值或范围．3．思想方法：1数形结合思想；2函数思想；3转化思想．。

教学目标：1．让学生了解线性规划的意义，以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念．2．让学生掌握线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值与最小值． 教学重点：用图解法求线性规划问题的最优解． 教学难点：对用图解法求解简单线性规划问题的最优解这一方法的理解和掌握．教学方法：1．在学生的独立探究和师生的双边活动中完成简单的线性规划的数学理论的构建，在实践中掌握求解简单的线性规划问题的方法——图解法．2．渗透数形结合的思想，培养分析问题、解决问题的能力．教学过程：一、问题情境1．情境：我们先考察生产中遇到的一个问题：（投影） 某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t 甲种产品需要A 种原料4t 、B 种原料12t ，产生的利润为2万元；生产1t 乙种产品需要A 种原料1t 、B 种原料9t ，产生的利润为1万元．现有库存A 种原料10t ，B 种原料60t ，问如何安排才能使利润最大？为理解题意，可以将已知数据整理成下表：（投影）A 种原料（t ）B 种原料（t ） 利润（万元）甲种产品（1t ）412 2 乙种产品（1t ）19 1 现有库存（t ） 10 60 过10t 和60t ，即41012960x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，，，即4104320x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，．．这是一个二元一次不等式组，此外，产量不可能是负数,所以0,0≥≥y x ③① ②于是上述问题转化为如下的一个数学问题：在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，．④下，求出x ，y ，使利润（万元）y x P +=2达到最大．2．问题：上述问题如何解决？二、学生活动①让学生探究解决这个问题分几个步骤；②让学生分组讨论：如何在不等式组确定的区域中找到y x P +=2取得最大值的数对（x ，y ）；③由学生整理解决这个问题的思路．（投影）首先，作出约束条件所表示的区域．其次，考虑y x P +=2的几何意义，将y x P +=2变形为P x y +-=2，它表示斜率为－2，在y 轴上截距为P 的一条直线．平移直线P x y +-=2，当它经过两直线104=+y x 与2034=+y x 的交点A （1.25，5）时，直线在y 轴上的截距P 最大．因此，当5,25.1==y x 时，y x P +=2取得最大值5.7525.12=+⨯，即甲、乙两种产品分别生产1.25t 和5t 时，可获得最大利润7.5万元．三、数学建构（投影） 1．目标函数，线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域，最优解．诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x ，y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x ，y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．y x P +=2是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式，我们把它称为目标函数．由于y x P +=2又是关于x ，y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数y x P +=2在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题．那么，满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在问题中，可行域就是阴影部分表示的区域．其中可行解),(),,(1100y x B y x A （一般是区域的顶点）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．2．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）列出线性约束条件及写出目标函数；（2）画出线性约束条件所表示的平面区域；（3）通过平面区域求出满足线性条件下的可行解；（4）用图形的直观性求最值；（5）检验由（4）求出的解是否为最优解或符合问题的实际意义．3．应用线性规划的图解方法，一般必须具备下列条件：（1）能够将目标函数表示为最大化或最小化的要求；（2）要有不同选择的可能性存在，即所有可行解不止一个；（3）所求的目标函数是受条件约束的；（4）约束条件应明确地表示为线性不等式或等式；（5）约束条件中所涉及的变量不超过3个．四、数学运用例1 若已知y x ,满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，．求y x z +=2的最大值和最小值．解约束条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，．，是关于y x ,的一个二元一次不等式组；目标函数：y x z +=2是关于y x ,的一个二元一次函数；可行域：是指由直线2553,34=+-=-y x y x 和1=x 所围成的一个三角形区域（包括边界）Y （如图）；可行解所有满足U y x ∈),(［即三角形区域内（包括边界）的点的坐标的实数y x ,都是可行解；最优解U y x ∈),(，即可行域内一点),(y x ，使得一组平行线z z x y (2+-=为参数）中的z 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标),(y x 就是线性规划的最优解．当直线y x z l +=2:，即z x y +-=2过三角形区域，且纵截距取最值时，z 有最值，即目标函数z 有最值．由图知，当l 过B （1,1）点和A （5,2）时，z 有最小值和最大值．12252max =+⨯=z ，3112min =+⨯=z ．例2 已知y x ,满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，，．求使y x +取最大值的整数y x ,的值．解 不等式组的解集为三直线：01553:,0632:,032:321=--=-+=--y x l y x l y x l 所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为A ，B ，C ，则A ，B ，C 坐标分别为)1912,1975(),3,0(),43,815(--C B A ． 作一组平行线t y x l =+:平行于0:0=+y x l ，当l 往l 0右上方移动时，t 随之增大，∴当l 过C 点时y x +最大为1963，但不是整数解． 又由19750<<x 知x 可取1，2，3， 当x ＝1时，代入原不等式组得y ＝－2，∴x ＋y ＝－1；当x ＝2时，得y ＝0或－1，∴ x ＋y ＝2或1；当x ＝3时，y ＝－1，∴ x ＋y ＝2．故x ＋y 的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩，，或31x y =⎧⎨=-⎩，．． 练习：设y x z 106+=，式中x ，y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，．求z 的最大值或最小值．五、回顾反思本节课的主要内容为：1．目标函数，线性目标函数线性规划问题、可行解、可行域、最优解；2．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤；3．应用线性规划的图解方法，必须具备的条件．。

简单的线性规划问题(一)课时目标 1. 认识线性规划的意义.2. 会求一些简单的线性规划问题．线性规划中的基本观点名称意义拘束条件由变量 x， y 构成的不等式或方程线性拘束条件由 x， y 的一次不等式(或方程)构成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所波及的变量x， y 的函数分析式线性目标函数对于 x， y 的一次分析式可行解知足线性拘束条件的解 ( x，y)可行域拘束条件表示的平面地区最优解使目标函数获得最大值或最小值的可行解求线性目标函数在 __________条件下的最大值或最小值线性规划问题问题一、填空题x＋3y－3≥0，．若实数x ，y知足不等式组2x－y－3≤0，则x＋y的最大值为________．1x－ y＋1≥0，x＋ y≤4，．已知点，的坐标知足条件 y≥，则2＋2的最大值为．P( x y)x y________ 2x≥1，x＋ y≥3，3．设变量x， y 知足拘束条件x－ y≥－1，则目标函数z＝2x＋3y 的最小值为2x－y≤3.________．4．已知－ 1<x＋y<4 且 2<x－y<3，则z＝ 2x－ 3y的取值范围是 ________． ( 答案用区间表示 )x＋2y－5≤0，5．已知实数x，y知足x≥1，yy≥0，则x的最大值为 ____________．x＋2 －3≥0，yx－ y＋2≥0，．设变量x ，知足拘束条件x－5y＋10≤0，则目标函数z＝－4y的最大值和6y3xx＋ y－8≤0，最小值分别为 ________和________．y≥07．在座标平面上有两个地区和，此中地区＝x ，y|y≤ x，地区M N My≤2－ xN＝{( x， y)|t ≤x≤ t ＋1,0≤ t ≤1}，地区 M和 N公共部分的面积用函数 f ( t )表示，则f ( t )的表达式为________．x≥1，8．设不等式组x－2y＋3≥0，所表示的平面地区是Ω 1，平面地区Ω2与Ω1对于y≥ x直线 3x－ 4y－ 9＝ 0 对称．对于Ω1中的随意点 A与Ω2中的随意点 B，则 AB的最小值为________．二、解答题x ＋3 ≥12y．线性拘束条件x＋ y≤10下，求z ＝2x－y的最大值和最小值．93 ＋≥12x y2x＋y－5≥02210．已知3x－y－5≤0，求x＋y的最小值和最大值．能力提高x－ y＋6x＋ y－6≥011．已知实数x， y 知足，求x2＋y2－2的取值范围．1≤x≤42x＋y－2≥0y＋112．已知实数x、 y 知足x－2y＋4≥0，试求z＝x＋1的最大值和最小值．3x－y－3≤01．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各极点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中界限直线的斜率进行比较，确立最优解．2．在解决与线性规划有关的问题时，第一考虑目标函数的几何意义，利用数形联合方法可快速解决有关问题．3． 3.3简单的线性规划问题( 一 )答案知识梳理线性拘束作业设计1． 9分析画出可行域如图：当直线 y＝－ x＋ z 过点 A时， z 最大．2 －－ 3＝0，x y得 A(4,5)，∴ z＝ 4＋5＝ 9.由maxx－y＋1＝02. 10分析画出不等式组对应的可行域以下列图所示：易得 A (1,1) ， | OA | ＝ 2， B (2,2) ，| OB | ＝2 2，C (1,3) ， | OC | ＝ 10.2 2)22∴ ( x ＋ y＝|OC| ＝(10) ＝ 10.max3． 7分析 作出可行域以下图．由图可知， z ＝ 2x ＋ 3y 经过点 A (2,1) 时， z 有最小值， z 的最小值为 7. 4． (3,8)－ 1<x ＋ y <4，分析 由得平面地区如图暗影部分所示．2<x － y <3由x ＋ y ＝－ 1，x － y ＝ 3得x ＝ 1，y ＝－ 2.由x ＋ y ＝ 4，x－ y ＝ 2得x ＝ 3，y ＝ 1.∴ 2×3－3×1< z ＝ 2x － 3y <2×1－3×( － 2) ， 即 3<z <8，故 z ＝ 2x － 3y 的取值范围是 (3,8) ． 5． 2x ＋ 2y －5≤0，x ≥1，y y － 0分析画出不等式组y ≥0，对应的平面地区 Ω， x ＝ x － 0表示平面区x ＋2 －3≥0y域 Ω 上的点 P ( x ， y ) 与原点的连线的斜率．yA (1,2) ，B (3,0) ，∴ 0≤ x ≤2.6．3－11分析作出可行域如图暗影部分所示，由图可知z＝3x－4y 经过点过点 B时 z 有最大值．易求 A(3,5)，B(5,3)．∴ z 最大＝3×5－4×3＝＝－ 11.A 时 z 有最小值，经3，z最小＝3×3－4×52 17．f ( t ) ＝－t＋t＋2分析y≥0作出不等式组y≤ x所表示的平面地区．y≤2－ x由 t ≤x≤ t ＋1,0≤ t ≤1，得△ OEF△AOD△ BFC1 2 1221f ( t )＝S － S － S＝ 1－2t－2(1 －t ) ＝－t＋t＋2.8． 4分析以下图．由拘束条件作出可行域，得D(1,1)， E(1,2)， C(3,3)．要求 ( AB) min，可经过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的 2 倍来求．经剖析， D(1,1)到直线|3 ×1－4×1－ 9|3x－ 4y－ 9＝ 0 的距离d＝5＝2 最小，∴ ( AB) min＝ 4.9．解如图作出线性拘束条件x＋3y≥12x＋ y≤10下的可行域，包括界限：此中三条直线中x＋3y＝12与3x＋ y＝12交3x＋y≥12于点 A(3,3)，x＋＝10与x＋3 ＝12交于点 (9,1)，y y Bx＋ y＝10与 3x＋y＝ 12交于点 C(1,9)，作一组与直线2x－y＝ 0 平行的直线l： 2x－y＝z，即 y＝2x－ z，而后平行挪动直线 l ，直线 l 在 y 轴上的截距为－ z，当 l 经过点 B时，－ z 取最小值，此时 z 最大，即 z max＝2×9－1＝17；当 l 经过点 C时，－ z 取最大值，此时 z 最小，即 z min＝2×1－9＝－7.∴z max＝17，z min＝－7.10．解作出不等式组2x＋y－5≥03x－y－5≤0的可行域以下图，x－2y＋5≥0x－2y＋5＝0由，得 A(1,3)，2x＋y－ 5＝0x－2y＋5＝0由，得 B(3,4)，3x－y－ 5＝03x － y － 5＝0，得 C (2,1) ，由2x ＋ y － 5＝0设 z ＝x 2＋ y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，联合图形知，原点到点 B的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点 C 的距离最小．故 z max ＝ | OB | 2＝ 25，z min＝ | | 2＝5.OC11．解 作出可行域如图，由 x 2＋ y 2＝( x － 0) 2＋( y － 0) 2，能够看作地区内的点与原点的距离的平方， 最小值为原点到直线x ＋y － 6＝ 0 的距离的平方，22即 OP ，最大值为 OA ，此中 A (4,10) ，OP ＝ |0 ＋0－ 6| ＝62， 2 2 ＝ 3 1 ＋ 1 2OA ＝ 42＋ 102＝ 116，∴ ( x 2＋ y 2－2) min ＝ (3 2) 2－ 2＝ 18－2＝ 16， ( x 2＋ y 2－ 2) max ＝( 116) 2 －2＝ 116－2＝ 114， ∴ 16≤ x 2＋ y 2－2≤114.即 x 2＋ y 2－2 的取值范围为 16≤ x 2＋ y 2－2≤114.y ＋ 1 y －－ 112．解因为 z ＝ x ＋ 1＝ x － － 1 ，所以 z 的几何意义是点 ( x ， y ) 与点 M ( － 1，－ 1) 连线的斜率，所以y ＋1的最值就是点 ( x ， y ) 与点 M ( － 1，－ 1) 连线的斜率的最值，x ＋ 1联合图可知，直线 MB 的斜率最大，直线 MC 的斜率最小，即z max ＝ k MB ＝ 3，此时 x ＝ 0，y ＝ 2；1z min ＝ k MC ＝ 2，此时 x ＝ 1，y ＝ 0.1∴ z 的最大值为3，最小值为 2.。

线性规划
【重点知识】
1 平面区域确实定方法是“直线定界，特殊点定域〞
2 掌握线性规划问题解题步骤
3 最优解确实定方法
4掌握求解线性规划中含参问题的根本方法
课前自主完成：
1．点和在直线的两侧，那么的取值范围是______________
2．假设是满足不等式组表示的平面区域内的任意一点，点到直线的距离为d，那么的取值范围是________．
3．设实数满足约束条件，那么〔1〕的最小值是________；〔2〕的取值范围是_______________；〔3〕的最小值是_____________；〔4〕的取值范围是___________;〔5〕的最大值是____________
典型例题
例1：设二元一次不等式组所表示的平面区域为，那么
（1）使得目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，那么的值是_________（2）使得目标函数仅在处取得最大值，那么的取值范围是_________
（3）使得函数的图象过区域的的取值范围是_________
例2：设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，那么的取值范围为________．
例3：当实数满足时，恒成立，那么实数的取值范围是_________ 例4：的三边长为，且，那么的取值范围为_____________
课后拓展：正数满足，那么的取值范围为_____________。

3.3.3 简单的线性规划问题（2）学习目标：1．能将实际问题转化为数学问题，从实际情景中抽象解决一些简单的线性规划应用问题的基本思路和主要方法；2 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；3 通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，培养学生理论联系实际的观点． 教学重点：线性规划问题的图解法，即根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，并利用图解法求得最优解的主要步骤和基本思路； 教学难点：把实际问题转化为数学问题，即如何根据实际问题的条件，转化为线性约束条件；如何把实际问题中要的结果转化为线性目标函数；如何根据实际问题的要求确定最优解． 教学方法：应用多媒体辅助教学，增强动感和直观性，增大教学容量，提高教学效果和教学质量．教学过程：活动一：自主学习1 提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题，根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，有0085的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果．在实际生活中，我们也经常遇到需要合理安排资源，以得到最大效益的问题，如：（多媒体显示）．某校办工厂有方木料390m ，五合板6002m ，正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料301m ⋅，五合板22m ，生产每个书橱需要方木料302m ⋅，五合板12m ，出售一张书桌可获利润80元，出售一张书橱可获利润12021（1）假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案．（2）如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？活动二：合作探究让学生思考上面的问题，探究解决这一问题的方案．活动三、建构数学1 线性规划问题的求解步骤：（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；（2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（5）求：通过解方程组求出最优解；（6）答：回答实际问题．2 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．活动四：交流展示例1某工厂用A，B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品可获利润2万元，生产一件乙产品可获利润3万元，则如何安排日生产，可使工厂所获利润最大？例2投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金2021元，需场地200 m2，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100m2，可获利润2021元．现某单位可使用资金1400万元，场地900 m2，问应作怎样的组合投资，可获利最大？分析：练习．（1）某工厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台数分别为400小时/台和500小时/台．如何安排生产可使收入最大？（2）某人准备投资12021元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1600元，高中每人每年可收取学费2700元．因生源和环境等条件限制，办学规模以20210个班为宜（含202130个），那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？活动五：要点归纳与方法小结：。

3．3．3简单线性规划问题学习目标1.知识和技能能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力.2.过程与方法通过学习本节知识，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，体会数形结合的数学思想.3.情感、态度与价值观培养学生的个性品质，认识数学的科学价值。

教学过程一. 问题情境探究：在约束条件 下，如何探求目标函数 2P x y =+ 的最大值？分析:首先作出约束条件所表示的平面区域;其次考虑目标函数 2P x y =+的的几何意义.将目标函数 2P x y =+的的变为2y x P =-+,它表示斜率为2-,在y 轴上的截距为P 的一条直线.平移直线,2y x P =-+,当它经过两直线410x y +=与4320x y +=的交点(1.25,5)A 时,直线在y 轴上的截距P 最大.二. 建构数学1. 可行域------约束条件所表示的平面区域;2.这类求线性目标函数在线性约素条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题.上述只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决. 线性规划是一种重要的优化模型,生产中有诸多问题可以归结为线性规划问题.三.数学运用1.例题.例1.求35z x y =+的最大值与最小值，使,x y 满足约束条件解： 作出直线35z x y =+的图像；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+002034104y x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤35x 11535y x y y x －＋＋可知直线经过A 点时，Z 取最大值；直线经过B 点时，Z 取最小值.求得(1.5,2.5)A ，(2,1)B --，则max min 17,11.Z Z ==- 例2.投资生产A 产品时，每生产100t 需要资金200万元，需场地2002m ，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100m 需要资金300万元，需场地1002m ，可获利润200万元。

教学目标1知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;理解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;2过程与方法:在实验探究的过程中,培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力;在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力。

3情态、态度与价值观:让学生体会数学源于生活,服务于生活;体会数学活动充满着探索与创造,培养学生动手操作、勇于探索的精神。

2学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上,通过实例理解了平面区域的意义,并会画出平面区域,还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件,将实际问题转化成数学问题。

从数学知识上看,问题涉及多个已知数据,多个字母变量、多个不等关系,从数学方法上看,学生对图解法的认识还很少,数形结合的思想方法的掌握还需时日,这成了学生学习的困难。

3重点难点1、教学重点 :求线性规划问题的最优解2、教学难点 :学生对为什么要将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在轴上的截距的最值问题以及如何想到这样转化存在疑惑,在教学中应紧扣实际,突出知识的形成发展过程。

4教学过程41 第一学时411教学活动活动1【讲授】《简单的线性规划问题》七、教学设计过程【复习引入】1不等式表示的平面区域在直线 2-6=0的填方向2已知点3,1和-4,6在直线3-2a=0的两侧,则a的取值范围是【线性规划】【例】先讨论下面的问题设,式中变量、满足下列条件①求的最大值和最小值设计意图:让学生初步了解线性规划解题方式分析:把稍作变形为 ,作出一组平行直线,所以的变化体现在纵截距的变化。

作一条斜率为 -2的直线,当此直线平移时,发现当直线过A点时,纵截距最大,即值最大,过B点时截距最小,即值最小。

所以求出A,B坐标,代入目标函数:在上述问题中,不等式组①是一组对变量、的约束条件,这组约束条件都是关于、的一次不等式,所以又称线性约束条件线性约束条件除了用一次不等式表示外,有时也有一次方程表示是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式,叫做目标函数,由于又是、的解析式,所以又叫线性目标函数,上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题,一般来说线性目标函数在线性约束条件下的最值都在平面区域边界处取得。

§3.3.3 简单的线性规划问题（1）【三维目标】：一、知识与技能1了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数2了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值二、过程与方法1以学生画二元一次不等式表示的平面区域和平行线组的几何意义为铺垫，学生自主探究线性规划问题的解法。

2将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。

三、情感、态度与价值观1结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新2渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣【教学重点与难点】：重点：线性规划的图解法难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的最优解【教学过程】一、问题情境1. 作出下列不等式组的所表示的平面区域问题1： 有无最大（小）值？问题2： 有无最大（小）值？问题3：2 有无最大（小）值？2作出下列直线:72;42;32;12;02=+=+-=+=+=+y x y x y x y x y x思考：形如t y x =+2的直线中t 具有怎样的几何意义？⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x二、学生活动 探究：设y x +=2z ，若),(y x 满足 时,求的最大值和最小值问题1：不等式组表示的平面区域是什么？问题2：题目中 =2关于,的斜截式方程是什么？它表示一组怎样的直线？表示什么？问题3：画出=2中的一条直线， 取什么值，最容易画直线？问题4：平移直线与不等式组表示的平面区域相交，怎样找到的最值？三、建构数学 1设y x +=2z ，若),(y x 满足 时,求的最大值和最小值 其中：y x +=2z 称为线性目标函数； 为线性约束条件；满足约束条件的），（y x 的集合称为可行域；线性目标函数取最值时的），（y x 称为最优解。

．简单的线性规划问题(一)
学习目标.了解线性规划的意义.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
引例已知，满足条件①
该不等式组所表示的平面区域如图，求＋②
的最大值．
以此为例，试通过下列问题理解有关概念．
知识点一线性约束条件
在上述问题中，不等式组①是一组对变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的次不等式，故又称线性约束条件．
知识点二目标函数
在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量、的次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数．
知识点三线性规划问题
一般地，在线性约束条件下求的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．
知识点四可行解、可行域和最优解
满足线性约束条件的解(，)叫．作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个，其中能使②式取最大值的可行解称为．
类型一最优解问题
命题角度问题存在唯一最优解
例已知，满足约束条件
该不等式组所表示的平面区域如图，
求＋的最大值．。