人教A版高中数学必修五3.3.2 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题情境互动课型

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人教版高中数学必修5第三章不等式 3.3.2 简单的线性规划问题

钢板张数最少？
分
A规格 B规格 C规格张数
析：第一种钢板
2
1
1
x
列第二种钢板
1
2
3
y
表成品块数 2x y x 2y x 3y
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截
这两种钢板共z张，则
2x y 15,

x x

2y 3y

18, 27,
x 0,
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合时. 作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y ax z 与边界
线重合时，有无数个点，
使函数值取得最大值，
此时有 kl kAC .
3
3
k AC

5
, kl

a

ห้องสมุดไป่ตู้. 5
问题的最优解.
（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
x 4 y 3, 例2 已知x, y满足 3x 5 y 25,设z ax y(a 0),

人教课标版高中数学必修五《简单的线性规划(第1课时)》教案(1)-新版

3.3.2 简单的线性规划问题(第1课时)【核心素养】通过学习简单的线性规划问题，提升学生的数学抽象、数学建模与数据处理的能力．【学习目标】理解什么是线性规划，并能够解决一些简单的线性规划问题．【学习重点】简单的二元线性规划问题．【学习难点】准确而快速的画出线性规划可行域，并进行最优解的求解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务 1 阅读教材P1－P4，思考：线性规划是如何形成的？它的主要功能是什么?利用线性规划解决一些简单问题.2．预习自测1．不等式组36020.x yx y≥⎧⎨<⎩－＋，－＋表示的平面区域是()【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：B2．不等式组210.y xy xy≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－＋，－，所表示的平面区域的面积为( )A.1B.12C.13D.14【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：D3．若满足条件20x yx yy a-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．3-B．2-C．1-D．0【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：C（二）课堂设计1．知识回顾在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类：（1）直线上的点（x，y）的坐标满足：0=++CByAx；（2）直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0>++CByAx；（3）直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0Ax By C++<.即二元一次不等式0Ax By C++>或0Ax By C++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2．问题探究问题探究一线性规划的含义观察与思考：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？想一想：怎样将题目条件转化为我们熟悉的不等式组？⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x想一想：在前一节二元一次不等式（组）与平面区域的学习中，如何将上述不等式组表示成平面区域？探究：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？想一想：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z ，则如何表示它们的关系？错误！未找到引用源。

人教A版数学必修五3.3.2《简单的线性规划问题》实用课件PPT

探究二：
变1：求z=x-2y,z的最大值和最优解？
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线性规划问题（二）》实用课件(共34 张PPT)
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线性规划问题（二）》实用课件(共34 张PPT)
探究二：
变1：求z=x-2y,z的最大值和最优解？设问： 1、该点相应的x2y等于多少？ 2、怎么求z 的值？
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线性规划问题（二）》实用课件(共34 张PPT)
探究三：
变1：p(x,y)在如图区域内，若z=x-ay且 z在 C处取最小值求 a的取值范围.
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线性规划问题（二）》实用课件(共34 张PPT)
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人教A版数学必修五3.3.2《简单的线性规划问题（二）》实用课件(共34 张PPT)
线性规划的有关概念：
③可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）
叫可行解．由所有可行解组成的集合叫
p(x, y)满足条件不等式 x 0 y 0 2x y 5 0 x y 3 0 若z 2 y 3x,求z的最大值及其最优解？
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线性规划问题（二）》实用课件(共34 张PPT)
人教A版数学必修五3.3.2《简单的线性规划问题（二）》实用课件(共34 张PPT)
简单线性规划（二）
问题情景：
同学们闭上眼睛憧憬一下未来，假如十年后你是公司的生产设计工程师，坐在宽敞的办公室里，思考着如何安排公司的生产，你会考虑什么问题呢？

人教A版高中数学必修五课件第一课时简单的线性规划问题

③最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可
行域;
④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可
行解.
其中正确命题的序号是
.
解析:因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的
可行解,即满足线性约束条件的解(x,y),它是一个有序
实数对,所以①②③均错,④正确.故填④.
答案:④
3.(2012 年高考浙江卷)设 z=x+2y,其中实数 x,y 满足
新课导入知识探究题型探究
达标检测
新课导入——实例引领思维激活
实例:高二·一班准备举行联欢晚会.班长交给小明的任务是购买彩球布置装点晚会的会场.班长要求小明最多花100元钱, 且要购买大、小两种彩球,小明经考察计算出大球数不少于10 个,小球数不少于20个,且两种彩球越多越好,已知大球和小球的单价分别是2元和1元.小明应该怎样设计购买的方案才能达到最好的效果?
x y 1 0,
x

x

y 0,
2

0,
则
z
的取值范围是
.
y 0,
解析:根据不等式组画出可行域为如图所示的阴影部分,
则 z=x+2y 过点(0,0),( 1 , 3 )时取得最小值和最大值, 22
所以 0≤z≤ 7 . 2
答案:[0, 7 ] 2
课堂小结
1.用图解法求线性目标函数的最值时,要搞清楚z的含义,z一般与直线在y轴上的截距有关. 2.作不等式组表示的可行域时,注意标出相应的直线方程,平移直线时,要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较,确定最优解.
想一想 (1)何为所谓的购买方案? (即设计出在符合要求的前提下,大球和小球分别应买的个数) (2)设购买大球x个,小球y个,那么变量x,y应受到哪些约束?

人教A版高中数学必修五3.3.2 简单的线性规划课件

Zmax 2 5 2 12, Zmin 2 1 1 3
线性规划
Z=2x+y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目标函
数
目标函数
问题：（线性目标函数）
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
线性约束条件
5x+3y=15 y
y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
O1
-1
5
A(-2,-1)
Zmax 17; Zmin 11
X-5y=3 x
练习3：
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t、 B种原料12t，产生的利润为2万元；生产1t乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t，产生的利润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t，如何安排生产才能使利润最大？
够产生最大利润，最大利润为3万元。
小试牛刀
(1)已知 x - y 0 x y -1 0 y 1 0
求z=2x+y的最大值和最小值。
y
y-x=0
5
1
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
zmax 3
zmin 3
x+y-1=0
练习2、已知
y x 1 x - 5y 3 5x 3y 15 求z=3x+5y的最大值和最小值。
4
8x
y 1 x4
2
y2x z
14 3 3
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

高中数学人教A版必修五 3.3.2 简单的线性规划问题课件、教学设计

在_线__性__约__束__条__件___下求线性目标函数的最线性规划问题
大值或最小值问题
x－y≥6，练习1：已知 x，y 满足约束条件 2x＋y＜9，
x≥1，
分别确定
x，y 的值，使 z＝x＋3y 取到最大值或最小值，其中__________ 为可行域，_z_＝__x_＋__3_y__为线性目标函数．
再求z 的最值．
自主解答：作出不等式组所表示的可行域，如图 D14.
图 D14 设直线 l0：2x＋y＝0，直线 l：2x＋y＝z，则 z 的几何意义是直线 y＝－2x＋z 在 y 轴上的截距．显然，当直线越往上移动时，对应在 y 轴上的截距越大，即 z 越大；当直线越往下移动时，对应在 y 轴上的截距越小，即 z 越小．
图 D16
易错点评：直线在y 轴上的截距与目标函数z＝－3x－2y 取值的关系上出错．直线ax＋by＝z 往右(或往左)平移时，z 随之增大(或减小)，只有当a>0 时，才能成立．当a<0 时，可利用换元将a 变为大于0.
解简单线性规划问题的基本步骤： (1)画图：画出线性约束条件所表示的平面区域； (2)定线：令 z＝0，得到一过原点的直线； (3)平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且截距最大或最小的直线； (4)求最优解； (5)求最值．
3.3.3 简单的线性规划问题(二)
1．进一步了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．
2．掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求目标函数的最大值、最小值．
3．训练数形结合、化归等常用思想，培养和发展数学应用意识．
非线性目标函数．

高中数学人教A版必修5第三章3.3.2简单的线性规划问题(一)课件(共13张PPT)

x my 1 0
且目标函数z x y的最大值为9，则m的值为（ c ）
A. 2 B. -1 C.1
D.2
x 2y -3 0 4.已知变量x, y满足条件x 3y - 3 0,
y -1 0 若目标函数z ax y(其中a 0)仅在(3,0)
处取到最大值，求a的取值范围。
5.已知3 x 6, 1 x y 2x,求x y的最大值和最小值。 3
直线x=4与直线x+2y-8=0的
交点M（4，2）时，截距的
y
值最大 14 ，最大值 4
为 z ，3
3
3
M
这时2x+3y=14.所以，每天
生产甲产品4件，乙产品2
件时，工厂可获得最大利
o
4
8
润14万元。
三.练习题：
1.求z＝3x＋5y的最大值，使x,y满足约束条件：
5 x＋3 y 15
3.3.2 简单的线性规划问题
{ 复习引入
x-y≥0
1.已知二元一次不等式组 x+y-1≤0
y≥-1
（1）画出不等式组所表示的平面区域；
y
（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足的二元一次不等式组叫做x,y的线性约束条件； x+y=1
z=2x+y 叫做线性目标函数；
1
x-y=0
满足线性约束条件的解(x,y)都叫做可行解；
x 1
(1)设z y ,求z的最小值； x
(2)设z x2 y, y满足约束条件 x - y - 2 0 ,
x 0
则目标函数z 2x 3y 1的最大值（B ）
A.11
B.10
C.9

人教A版高中数学必修五：3.3.2+简单的线性规划问题教案

《简单的线性规划问题》（第一课时）一、内容及其解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。

简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.二、教学目标（1）知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。

（3）情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。

三、教学重、难点1、教学重点 :求线性规划问题的最优解2、教学难点 :学生对为什么要将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在y 轴上的截距的最值问题以及如何想到这样转化存在疑惑，在教学中应紧扣实际，突出知识的形成发展过程。

四、学生学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。

高中数学 3.3.2.1简单的线性规划问题新人教A版必修5

编辑课件
【解】由约束条件画出可行域，如图所示．
点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在y 轴上的截距最大，∴y＝－ax的斜率要小于直线CD：x＋y－4＝ 0的斜率．
即－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
编辑课件
规律技巧这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率关系.
第三章不等式
编辑课件
§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
编辑课件
3．3.2 简单的线性规划问题
编辑课件
第一课时简单的线性规划问题
课前预习目标
课堂互动探究
编辑课件
课前预习目标
梳理知识夯实基础
编辑课件
自学导引 1.了解线性规划的意义． 2．会求一些简单的线性规划问题.
编辑课件
编辑课件
x＋y≥2， 3．若实数x，y满足不等式组 2x－y≤4，
x－y≥0，
小值是________．
则2x＋3y的最
编辑课件
取点(5,4)知在可行域内，因此，当x＝5，y＝4时，z取得最大值90.
【答案】 90
编辑课件
随堂训练
1.设变量x，y满足约束条件： xx＋－yy≤≥10，， x＋2y≥1，
则z＝5x＋y的
最大值为( A．2
) B．3
C．4
D．5
编辑课件
解析作出可行域，如图所示．
由z＝5x＋y，得y＝－5x＋z，目标函数在点(1,0)处取最大值，即z＝5×1＋0＝5.
课前热身
线性规划中的基本概念.

人教版A版高中数学必修5：3.3.2 简单的线性规划问题

y=x
y 1
A
Zmin=-3
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
O B
2x+y=0
x C
Zmax=3
课堂小结：
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线
x2y 8
y2x z 33
x2y 8
44xBiblioteka y 16 12
x

0
y 0
像这样关于x,y的一次不等式组的约束条件称为线性约束条件
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,所以又称为线性目标函数）。
在线性约束下求线性目标函数的最值问题,统称为线性规划问题。
第三章不等式
3.3.2 简单的线性规划问题
问题: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种
产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件, 按每天工作8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
资源
A种配件 B种配件所需时间
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
三导练习册达标训练二十八1,2
为 z 的直线。 3
当点P在可允许的取值范围变化时,
求截距
z 的最值,即可得z的最值. 3
问题：求利润z=2x+3y的最大值.
y
x 2y 8
44
x y

16 12
4 3

人教A版高中数学必修五3.3.2 简单的线性规划问题 .1 探究导学课型

线性目标函数z=Ax+By+C(A，B不全为0)中，当B≠0时，
y
A
x
z
C，这样线性目标函数可看成斜率为
A
在y轴上
，
的截距B 为 B 且随z变化的一族平行线，则把求zB的最大值或
最小值的问z B题C转，化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上
的截距的最大值或最小值的问题.因此只需先作出直线y=
再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点A就x， B
由即D3x(x3，2yy-－－1得18)， 00，此，时OxyM －的3，1，斜率为
－1 －1. 33
2.作出可行域，如图所示，
设d=(x+1)2+(y+1)2，则它表示可行域内的点与定点E(-1，-1)
的距离的平方.由图可知，点C到定点E的距离最小，点B到定点
E的距离最大.
由
解得B(3，4)，
x－2y 5 0，由 3x－y－5解得0，C(2，1).所以
目标函数为z=2x+y.
答案：
z=2x+y
4 x y 6， 2 x－y 4
探究2：目标函数z=2x+y中z的几何意义是什么？提示：由z=2x+y，得到y=-2x+z，该直线的斜率是-2，在y轴上的截距是z，即z为直线在y轴上的截距.
探究3：如何求函数z=2x+y的取值范围？
提示：作可行域如图阴影部分所示，求
3.3.2 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题
1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 2.了解线性规划的意义. 3.会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.

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设生产甲产品x件,乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
22
2
在y轴上的截距为 z 的直线. 2
y
3 l0 : y 2 x
4
3
y=3
M(4, 2)
由图可知
x
当直线y 3 x z O 22
4
x4
8
x2y 8
3.线性规划一般的，在线性约束条件下求线性目标函数
的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
4.可行解、可行域、最优解满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解.
【即时练习】（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利 3万元，每生产一件乙产品获利2万元，则如何安排生产才能获得最大利润？（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
所以z最小值=1.5-2×2.5
=-3.5,
1
z最大值=3-0=3.
o
A(-2,-1)
y x1
B(1.5,2.5)
x2y 0
x5y 3
C(3,0)
3
x
5x 3y 15
【提升总结】
解线性规划问题的步骤：（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时简单的线性规划问题
某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1 h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8 h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
厂可获得最大利润14万元.
1.线性约束条件
x 2 y 8，
上述问题中，不等式组
44 xy
16， 12，
是一组对变量
x
0，
y 0
x,y的约束条件，这组约束条件都是关于x,y
的一次不等式，所以又称为线性约束条件.
2.线性目标函数我们把要求最大值的函数z=2x+3y称为目标
函数.又因为z=2x+3y是关于变量x,y的一次解析式，所以又称为线性目标函数.
其坐标为 3, 4 ；
4
l:2x 3y 0
A
2
o
y 4 B
4x 3y 12
D
x
C
4x 3y 36
x 3
当把直线 l 向上平移时，所对应的 z 2x 3y 的函数值随之增大，
所以，当直线 l 经过可行域的顶点 D 时， z 2x 3y 取得最大值.
顶点 D 为直线 4x 3y 12 与直线 4x 3y 36 的交点，
上述问题就转化为：当x,y满足不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？
把z 2x 3 y变形为y 2 x z ,这是斜率为 2 ,
33
3
在y轴上的截距为 z 的直线, 3
提示:
当z变化时，可以得到一组互相平行的直线.
故可先作出过原点的直线l
0:
y
2 3
x，再作l 0的平行线.
当点P在可允许的取值范围内变化时，求截距 z 的最值,即可得z的最值.
则m-n=3-（-3）=6，
故选B.
1. （ 2015 · 天津高考）设变量 x,y 满足约束条件
x20
x
x
2
2 y
y
8
0
0
,则目标函数
z=3x+y
的最大值为（
）
A. 7
B.8
C.9
D.14
【解析】选
C.
z
3x
y
5 2
x
2
1 2
x
2
y
8
9
9
,
当 x 2, y 3 时取得最大值 9,故选 C.此题也可画出
【变式练习】
y x 1,
已知
x,
y
满足
x
5y
3,
求 z x2y 的
5x 3 y 15.
最大值和最小值.
解：作出如图所示的可行域，由z x 2y得y 1 x z . 22
作l0 : x 2 y 0,并平行移动,
y
当直线l经过点B时，对应 5
的z最小，当直线l经过点
C时，对应的z最大.
3
y
2 l0 : y 3 x
4
3
由图可知
当直线y 2 x z
O
33
经过直线x 4与直线x 2 y 8
y=3
M(4, 2)
4
x4
x 8
x2y 8
的交点 M(4, 2) 时，截距
z 3
的值最大，最大值为134 .
即 z的最大值为 z 24 3 2 14.
所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工
设甲、乙两种产品分别生产x,y件，由已知条件
可得二元一次不等式组：
x 2 y 8，
44
x y
16， 12，
x
0，
y 0.
将上述不等式组表示成平面上的区域,区域内所有
坐标为整数的点 P( x, y) 时 ,安排生产任务 x, y 都
是有意义的.
y
4
y=3
3
x
O
4
8
x2y 8
x4
上节课我们研究了二元一次不等式（组）与平面区域，
本节课我们将继续研究简单的线性规划问题.
1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解等基本概念； 2.了解线性规划问题的图解法，并能解决一些简单的问题.(重点、难点）
探究点1 简单线性规划问题及有关概念
进一步，若生产一件甲种产品获利2万元,生产一件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 提示：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.
（2）将目标函数
z ax by(b 0) 变形为
ya
x
z ,
bb
将求z的最值问题转化为求直线 y a x z 在 y
轴上的截距 z 的最值问题；
bb
b
（3）画出直线 ax by=0并平行移动，平移过程中最先
或最后经过的点为最优解；
（4）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的最值.
（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
x 4 y 3, 例2 已知x, y满足 3x 5 y 25,设z ax y(a 0),
x 1. 若z取得最大值时，对应点有无数个，求a的值.
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合.
作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
3.线性规划的有关概念
名称约束条件线性约束条件目标函数线性目标函数
可行解可行域最优解
线性规划问题
定义由变量x，y组成的不等式组由变量x，y组成的一次不等式组
关于x，y的函数解析式关于x，y的一次函数解析式满足线性约束条件的解（x,y）
所有可行解组成的集合
使目标函数取得最大值或最小值的可行解在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题统称线性规划问题
y≤x，
x＋y≤1，且 z＝2x＋y 的最大值和最小值分别为 m 和 n， y≥－1，
则 m－n＝( )
A．5 B．6
C．7
D．8
【解析】选B.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分：
由z=2x+y,得y=-2x+z,
平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点 A，
直线y=-2x+z的截距最小，此时z最小，
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y a与x 边z 界线重合时，有无数个
点使函数值取得最大值，此时有 kl kAC .
因为k AC
3 5
,
所以kl
a
3. 5
y
即a
3 .
5
3x 5 y 25
C
x 4 y 3
B O
x1
Ａ x
【变式练习】
（ 2014·广东高考）若变量 x， y 满足约束条件
解方程组
4x 3y 12, 4x 3y 36.
可以求得顶点 D 的坐标为 3,8 ．
y D4 x 3 y 12
4
l:2x3y 0
A
2
o
y 4 B
x
C
4x 3y 36
x 3
此时，顶点Ｂ 3, 4 和顶点 D 3,8 为最优解．
所以
zmin 2 (3) 3 (4) 18, zmax 2 3 3 8 30.
经过直线x 4与x 2 y 8
的交点M(4, 2)时，截距的值最大，最大值为 8.
即 z的最大值为 z 34 2 2 16.
所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂获得最大利润16万元.
【提升总结】
在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤为：
（1）在平面直角坐标系内画出可行域；
可行域,借助图像求解.
2.（2013·陕西高考）若点(x,y)位于曲线y=|x|
与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值
为( A )
A.－6
B.－2
C.0
D.2

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