必修五 简单线性规划典型例题

线性规划经典例题一、问题描述我们考虑一个典型的线性规划问题，假设有一个工厂需要生产两种产品：产品A和产品B。

工厂有两个生产车间：车间1和车间2。

生产产品A需要在车间1和车间2进行加工，而生产产品B只需要在车间2进行加工。

每一个车间的加工时间和加工费用都是不同的。

我们的目标是找到最佳的生产计划，使得总的加工时间和加工费用最小。

二、问题分析1. 定义变量：- x1：在车间1生产产品A的数量- x2：在车间2生产产品A的数量- y：在车间2生产产品B的数量2. 定义目标函数：目标函数是最小化总的加工时间和加工费用。

假设车间1生产产品A的加工时间为t1，车间2生产产品A的加工时间为t2，车间2生产产品B的加工时间为t3，车间1生产产品A的加工费用为c1，车间2生产产品A的加工费用为c2，车间2生产产品B的加工费用为c3，则目标函数可以表示为：Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y3. 约束条件：- 车间1生产产品A的数量不能超过车间1的生产能力：x1 <= capacity1- 车间2生产产品A的数量不能超过车间2的生产能力：x2 <= capacity2- 车间2生产产品B的数量不能超过车间2的生产能力：y <= capacity2 - 产品A的总需求量必须满足：x1 + x2 >= demandA- 产品B的总需求量必须满足：y >= demandB4. 线性规划模型：综上所述，我们可以建立如下的线性规划模型：最小化 Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y满足约束条件：- x1 <= capacity1- x2 <= capacity2- y <= capacity2- x1 + x2 >= demandA- y >= demandB- x1, x2, y >= 0三、数据和解决方案为了展示如何求解该线性规划问题，我们假设以下数据：- 车间1的生产能力为100个产品A- 车间2的生产能力为150个产品A和100个产品B- 产品A的总需求量为200个- 产品B的总需求量为80个- 车间1生产产品A的加工时间为2小时，加工费用为10元/个- 车间2生产产品A的加工时间为1小时，加工费用为8元/个- 车间2生产产品B的加工时间为3小时，加工费用为15元/个根据以上数据，我们可以得到线性规划模型如下：最小化 Z = 2 * x1 + 1 * x2 + 3 * y + 10 * x1 + 8 * x2 + 15 * y满足约束条件：- x1 <= 100- x2 <= 150- y <= 100- x1 + x2 >= 200- y >= 80- x1, x2, y >= 0接下来，我们可以使用线性规划求解器来求解该问题。

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每种产品分别需要使用两种原材料X和Y。

已知每种产品的利润和原材料的用量，求解最大利润的生产方案。

二、数据分析1. 产品A的利润为每单位100元，产品B的利润为每单位150元。

2. 产品A每单位需要用2单位的原材料X和1单位的原材料Y；产品B每单位需要用1单位的原材料X和3单位的原材料Y。

3. 公司每天可用的原材料X和Y的数量分别为10单位和15单位。

三、数学建模设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

目标函数：最大化利润，即最大化目标函数Z = 100x + 150y。

约束条件：1. 原材料X的用量约束：2x + y ≤ 10。

2. 原材料Y的用量约束：x + 3y ≤ 15。

3. 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。

四、求解过程1. 构建线性规划模型：最大化目标函数 Z = 100x + 150y约束条件：2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法（如单纯形法）求解最优解。

五、最优解分析经过计算，得到最优解为：x = 5，y = 3，Z = 100*5 + 150*3 = 950。

六、结论为了实现最大利润，公司应生产5个单位的产品A和3个单位的产品B，此时可以获得最大利润950元。

七、敏感性分析通过敏感性分析可以了解目标函数和约束条件的变化对最优解的影响程度。

1. 原材料X的用量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：增加100元。

- 产品A的生产数量：不变。

- 产品B的生产数量：不变。

2. 原材料Y的用量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：增加150元。

- 产品A的生产数量：不变。

- 产品B的生产数量：不变。

3. 公司每天可用的原材料X的数量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：不变。

- 产品A的生产数量：不变。

- 产品B的生产数量：不变。

4. 公司每天可用的原材料Y的数量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：不变。

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品：产品A和产品B。

每个产品的生产需要消耗不同的资源，且每个产品的利润也不同。

公司希望通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。

产品A需要消耗3个单位的资源1和4个单位的资源2，每个单位的产品A的利润为5。

产品B需要消耗6个单位的资源1和2个单位的资源2，每个单位的产品B的利润为8。

公司拥有的资源1和资源2的总量分别为30和20。

二、数学模型设x为生产产品A的数量，y为生产产品B的数量。

目标是最大化利润，即最大化5x + 8y。

约束条件为：3x + 6y ≤ 30，4x + 2y ≤ 20，x ≥ 0，y ≥ 0。

三、线性规划求解使用线性规划求解器求解上述问题。

输入目标函数和约束条件后，求解器将自动计算出最优解。

给定目标函数为：5x + 8y约束条件为：3x + 6y ≤ 30，4x + 2y ≤ 20，x ≥ 0，y ≥ 0求解结果如下：最大利润为：120生产产品A的数量为：5生产产品B的数量为：3四、解释结果根据求解结果，最大利润为120，生产5个产品A和3个产品B可以实现最大利润。

同时，根据约束条件，生产数量不能为负数，因此生产数量均为非负数。

五、敏感性分析敏感性分析用于确定目标函数系数的变化对最优解的影响程度。

在本例中，我们将分别增加产品A和产品B的利润，观察最优解的变化情况。

1. 增加产品A的利润：假设每个单位的产品A的利润增加1，即每个单位的产品A的利润为6。

重新求解线性规划问题，得到最大利润为130，生产产品A的数量为6，生产产品B的数量为2。

可以看出，增加产品A的利润对最优解有正向影响，最大利润和产品A的数量均增加。

2. 增加产品B的利润：假设每个单位的产品B的利润增加1，即每个单位的产品B的利润为9。

重新求解线性规划问题，得到最大利润为135，生产产品A的数量为4，生产产品B的数量为4。

可以看出，增加产品B的利润对最优解有正向影响，最大利润和产品B的数量均增加。

线性规划经典例题【问题描述】某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要2小时的生产时间，产品B每件需要3小时的生产时间。

产品A的利润为200元/件，产品B的利润为300元/件。

每天的生产量不能超过100件。

工厂希翼最大化每天的利润。

【数学建模】设工厂每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。

根据题目条件，可以得到以下数学模型：目标函数：最大化利润Maximize Z = 200x + 300y约束条件：1. 生产时间限制：2x + 3y ≤ 82. 产量限制：x + y ≤ 1003. 非负性约束：x ≥ 0，y ≥ 0【求解过程】将目标函数和约束条件转化为标准形式，得到如下线性规划模型：Maximize Z = 200x + 300ysubject to2x + 3y ≤ 8x + y ≤ 100x ≥ 0，y ≥ 0使用线性规划求解器进行求解，得到最优解。

【求解结果】经过计算，得到最优解为：x = 50（产品A的件数）y = 16.67（产品B的件数，近似值）此时，工厂每天的最大利润为：Z = 200 * 50 + 300 * 16.67 = 33333.33 元（近似值）【结果分析】根据最优解，工厂每天应该生产50件产品A和16.67件产品B，以达到每天最大利润33333.33元。

由于生产时间和产量限制，工厂无法达到每天生产更多的产品。

【结论】根据线性规划模型的最优解，工厂每天生产50件产品A和16.67件产品B，可以获得每天最大利润33333.33元。

这个结果可以作为工厂生产计划的参考，以实现最大化利润的目标。

【备注】以上的数学模型和求解结果仅为示例，实际问题中的数值和约束条件可能有所不同。

为了得到准确的结果，需要根据具体情况进行调整和求解。

简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。

二元一次不等式与简单的线性规划问题典型例题一例1 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，，表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+-∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．典型例题二例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ．分析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x ．解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图：对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示．容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来．典型例题三例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥111x y x y 所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论． 解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ；不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系内作出四条射线)1(-≥=x x y AB ：， )1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ：则不等式组所表示的平面区域如图由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直，所以平面区域是一个矩形．根据两条平行线之间的距离公式两平行直线距离公式d=|C1-C2|/根号(A^2+B^2)可得矩形的两条边的长度分别为22和223．所以其面积为23．典型例题四例4 若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，，求y x z 2+=的最大值和最小值．分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线z y x l =+2:，即z x y 2121+-=，它表示斜率为21-，纵截距为2z的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值． ∴ 18822max =⨯+=z ∴ 2222min =⨯+-=z说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．典型例题五例5 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源。

现在公司希望通过线性规划来确定每种产品的生产数量，以最大化利润。

已知产品A每个单位的利润为10元，产品B每个单位的利润为15元。

同时，产品A每个单位需要消耗2个资源X和3个资源Y，产品B每个单位需要消耗4个资源X和1个资源Y。

公司总共有40个资源X和30个资源Y可供使用。

二、数学建模1. 假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

2. 目标函数：最大化利润。

利润可以表示为10x + 15y。

3. 约束条件：a) 资源X的约束条件：2x + 4y ≤ 40b) 资源Y的约束条件：3x + y ≤ 30c) 非负约束条件：x ≥ 0，y ≥ 0三、求解过程1. 根据数学建模中的目标函数和约束条件，可以得到如下线性规划模型：最大化：10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 403x + y ≤ 30x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法，可以得到最优解。

通过计算，得到最优解为x = 6，y = 6，利润最大化为180元。

四、结果分析根据最优解，可以得知最大利润为180元，其中产品A的生产数量为6个，产品B的生产数量为6个。

同时，资源X还剩余28个，资源Y还剩余24个。

五、灵敏度分析对于线性规划问题，灵敏度分析可以帮助我们了解目标函数系数和约束条件右端项的变化对最优解的影响。

1. 目标函数系数的变化：a) 如果产品A的利润提高到12元，产品B的利润保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

新的最优解为x = 8，y = 4，利润最大化为168元。

b) 如果产品A的利润保持不变，产品B的利润提高到20元，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

新的最优解为x = 4，y = 7，利润最大化为190元。

2. 约束条件右端项的变化：a) 如果资源X的数量增加到50个，资源Y的数量保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

简单的线性规划问题【常考题型】题型二、求非线性目标函数的最值【例2】 设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值；(2)求v ＝y x －5的最大值与最小值． [解] 画出满足条件的可行域如图所示，(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u 最大值＝73，u 最小值＝0.(2)v ＝y x －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v 最大值＝－33－5＝32，v 最小值＝83－5＝－4. 【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：① x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．【对点训练】2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0.则y x的最大值是________，最小值是________． [解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z ＝y x表示坐标(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C 与O 连线斜率最大；B 与O 连线斜率最小，又B 点坐标为(52，92)，C 点坐标为(1,6)，所以k OB ＝95，k OC ＝6. 故y x 的最大值为6，最小值为95. [答案] 6 95题型三、已知目标函数的最值求参数【例3】 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是________．[解析] 如右图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋2y －a ＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝a －22，代入x －2y ＝2中，解得a ＝2. [答案] 2【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．【对点训练】3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0.且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝( )A ．2B ．9C ．310D ．0 [解析] 选D【练习反馈】1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．⎝⎛⎭⎫12，12 选C.2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－63.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y 的最小值是________． 答案：－94．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________． 答案：210。

线性规划经典例题一、问题描述：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要1小时的加工时间，产品B每件需要2小时的加工时间。

公司每天的总加工时间不能超过8小时。

产品A的利润为100元/件，产品B的利润为200元/件。

公司希望最大化每天的利润。

二、数学建模：设公司每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。

则目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：1. 生产时间约束：x + 2y ≤ 82. 非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0三、线性规划模型：Maximize Z = 100x + 200ySubject to:x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 0四、求解方法：可以使用线性规划求解器进行求解，例如使用单纯形法或内点法等。

以下是使用单纯形法求解的步骤：1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 02. 引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束：x + 2y + s1 = 8x ≥ 0y ≥ 0s1 ≥ 03. 构建初始单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | 0 | 0-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 84. 进行单纯形法迭代计算：a. 选择进入变量：选择目标函数系数最大的非基变量，即选择y进入基变量。

b. 选择离开变量：计算各个约束条件的最小比值，选择比值最小的非基变量对应的约束条件的基变量离开基变量。

在本例中，计算得到最小比值为4，对应的约束条件为x ≥ 0，所以x对应的基变量离开基变量。

c. 更新单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | -2 | -400-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 8d. 继续迭代计算，直到目标函数系数均为负数或零，达到最优解。

线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

本文将介绍几个经典的线性规划例题，以匡助读者更好地理解和应用线性规划的原理和方法。

一、问题一：生产计划问题1.1 生产目标：某公司希翼最大化其利润。

1.2 生产约束：公司有两种产品A和B，每周生产时间有限，每一个产品的生产时间和利润有限制。

1.3 数学建模：设产品A和B的生产时间分别为x和y，利润分别为p和q，则目标函数为Maximize p*x + q*y，约束条件为x + y ≤ 40，3x + 2y ≤ 120，x ≥ 0，y ≥ 0。

二、问题二：资源分配问题2.1 目标：某公司希翼最大化其销售额。

2.2 约束：公司有三个部门，每一个部门需要的资源不同，且资源有限。

2.3 建模：设三个部门分别为A、B和C，资源分别为x、y和z，销售额为p、q和r，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，2x + y + 3z ≤ 240，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。

三、问题三：投资组合问题3.1 目标：某投资者希翼最大化其投资组合的收益。

3.2 约束：投资者有多个可选的投资项目，每一个项目的收益和风险不同，且投资金额有限。

3.3 建模：设投资项目分别为A、B和C，收益分别为p、q和r，风险分别为a、b和c，投资金额为x、y和z，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，a*x + b*y + c*z ≤ 50，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。

四、问题四：运输问题4.1 目标：某物流公司希翼最小化运输成本。

4.2 约束：公司有多个供应地和多个销售地，每一个供应地和销售地之间的运输成本和需求量不同，且供应量和销售量有限。

4.3 建模：设供应地和销售地分别为A、B和C，运输成本为p、q和r，需求量为x、y和z，供应量为a、b和c，则目标函数为Minimize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ a + b + c，x ≤ a，y ≤ b，z ≤ c，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。

线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，每天可用的原料有限，而每种产品的制造需要不同数量的原料。

产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。

产品A每天的制造时间为6小时，产品B每天的制造时间为4小时。

已知制造一个单位的产品A需要2小时，而制造一个单位的产品B需要1小时。

工厂的目标是最大化每天的利润。

二、数学建模1. 定义变量：- x1: 每天制造的产品A的单位数量- x2: 每天制造的产品B的单位数量2. 建立目标函数：目标函数为最大化每天的利润，即：Maximize Z = 10x1 + 8x23. 建立约束条件：- 原料的限制：每天可用的原料有限，产品A每单位需要2单位原料，产品B每单位需要3单位原料。

因此，原料的约束条件为：2x1 + 3x2 ≤ 原料数量- 时间的限制：每天的制造时间有限，产品A每单位需要2小时制造，产品B每单位需要1小时制造。

因此，时间的约束条件为：2x1 + x2 ≤ 制造时间- 非负约束：每天制造的产品数量不能为负数，因此，非负约束条件为：x1 ≥ 0x2 ≥ 0三、求解线性规划问题利用线性规划的求解方法，可以求解出最优解。

1. 图形法：通过绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。

2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。

通过迭代计算，找到目标函数的最大值所在的点。

四、数值计算为了方便计算，我们假设原料数量为20单位，制造时间为10小时。

1. 图形法：绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。

在本例中，约束条件的直线为：2x1 + 3x2 ≤ 202x1 + x2 ≤ 10绘制直线后，找到目标函数的最大值所在的区域。

2. 单纯形法：利用单纯形法，可以求解出最优解。

根据约束条件和目标函数，可以构建如下的单纯形表格：| 基变量 | x1 | x2 | 原料数量 | 制造时间 | 目标函数 ||--------|----|----|----------|----------|---------|| x3 | 0 | 0 | 20 | 10 | 0 || x1 | 1 | 0 | 2 | 2 | 10 || x2 | 0 | 1 | 3 | 1 | 8 |通过迭代计算，可以得到最优解为：x1 = 5x2 = 0最大利润为：50元五、结果分析根据数值计算的结果，最优解为每天制造5个单位的产品A，不制造产品B，可以获得最大利润为50元。

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个单位产品A的利润为100元，每个单位产品B的利润为150元。

公司有两个车间可用于生产这两种产品，每个车间每天的工作时间为8小时。

产品A在车间1生产需要1小时，产品B在车间1生产需要2小时；产品A在车间2生产需要2小时，产品B在车间2生产需要1小时。

每天车间1的生产能力为400个单位产品A或200个单位产品B，车间2的生产能力为300个单位产品A或150个单位产品B。

公司的目标是在满足车间生产能力的前提下，最大化利润。

二、数学建模设x1为在车间1生产的产品A的数量，x2为在车间1生产的产品B的数量，x3为在车间2生产的产品A的数量，x4为在车间2生产的产品B的数量。

目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：车间1的生产能力：x1 + x2 ≤ 4002x1 + x2 ≤ 800车间2的生产能力：x3 + x4 ≤ 300x3 + 2x4 ≤ 300非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0三、求解过程使用线性规划的求解方法，可以得到最优解。

1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 4002x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 8000x1 + 0x2 + x3 + x4 ≤ 3000x1 + 0x2 + x3 + 2x4 ≤ 300x1, x2, x3, x4 ≥ 02. 使用线性规划求解器求解得到最优解：最优解为：x1 = 200, x2 = 200, x3 = 0, x4 = 100最大利润为：Z = 100(200) + 150(200) + 100(0) + 150(100) = 50000元四、结果分析根据求解结果，最优解是在车间1生产200个单位产品A，200个单位产品B，在车间2生产100个单位产品B，不需要在车间2生产产品A。

1. “平面区域”型考题 1．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<31y y x xy ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则（ ）A ．D P D P ∉∉21且B ．D P D P ∈∉21且C ．D P D P ∉∈21且D ．D P D P ∈∈21且 2．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ）A ．02300>+y xB ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x3．已知点P （1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式012>+-by x 表示的平面区域内，则b 的取值范围是 ． 2. “平面区域的面积”型考题1.设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B I 所表示的平面图形的面积为 A 34π B 35π C 47π D 2π2.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）A ．2 B ．1 C ．12 D ．143、若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 .4、 若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k的值是 （A ）73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34高 5、若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于__________.3. “求约束条件中的参数”型考题1.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为 A. －5 B. 1 C. 2 D. 32、若直线xy 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数的最大值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 3、设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)xy a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1，3] B ．[2，10] C ．[2，9] D ．[10，9]4.设m 为实数，若{250(,)300x y x y x mx y -+≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩}22{(,)|25}x y x y ⊆+≤，则m 的取值范围是___________.4. “截距”型考题1. 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( ) 32.设变量满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20 B ．35 C ．45 D ．553.若满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为 。

线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产A、B两种产品，每天生产的产品数量不同，且每种产品的生产时间和利润也不同。

现在需要确定每种产品的生产数量，以使得总利润最大化。

已知每天可用的生产时间为8小时，A产品的生产时间为2小时/件，利润为200元/件；B产品的生产时间为3小时/件，利润为300元/件。

同时，还有以下限制条件：1. A、B产品的总生产数量不能超过100件；2. A产品的生产数量不能超过60件；3. B产品的生产数量不能超过80件。

二、问题分析这是一个典型的线性规划问题，需要确定A、B产品的生产数量，使得总利润最大化。

根据题目中的限制条件，可以得到以下数学模型：目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：1. A + B ≤ 1002. A ≤ 603. B ≤ 804. A, B ≥ 0三、数学模型目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：1. A + B ≤ 1002. A ≤ 603. B ≤ 804. A, B ≥ 0四、求解过程1. 根据数学模型，列出线性规划的标准形式：目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：A +B ≤ 100A ≤ 60B ≤ 80A, B ≥ 02. 根据标准形式，画出目标函数和约束条件的图形：在二维坐标系中，以A为横轴，B为纵轴，画出以下直线：A +B = 100A = 60B = 80并标明非负约束条件。

3. 确定可行解区域：根据约束条件，可得到可行解区域为一个三角形，顶点分别为(60, 40)、(60, 80)和(0, 80)。

4. 确定目标函数的最优解：由于目标函数是线性的，最优解一定在可行解区域的某个顶点上。

计算每一个顶点的目标函数值：(60, 40)：Z = 200 * 60 + 300 * 40 = 28,000(60, 80)：Z = 200 * 60 + 300 * 80 = 36,000(0, 80)：Z = 200 * 0 + 300 * 80 = 24,000可知，目标函数的最优解为Z = 36,000，对应的生产数量为A = 60，B = 80。