平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题

【编著】黄勇权

一、填空题

1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是

。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。

3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。

4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x ，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。

5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。

6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝ 。

7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是 。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD = 12 →DB， →CD = 23 →CA + m→CB，则m= 。

9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是 。

10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且 →AP= 2→PD，则点C的坐标是（ ）。

二、选择题

1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA= →OC，则→OD坐标=（ ）。

A、（11，6） B、（22，12） C、（28，14） D、（14，7）

2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（ ）

A、（4 , 2） B、（3，1） C、（2，1） D、（1，0）

3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（ ）。

A、90° B、60° C、30° D、0°

4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（ ） A、 15 B、 14 C、 13 D、 11

5、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.

A、12 B、8 C、4 D、2

6题、

7题、

8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．

A、2 B、4 C、8 D、16

9题、

10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝ .

A、-1 B、1 C、-2 D、2

三、解答题

1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。

2、已知a,b是单位向量,a·b=0，若向量c满足|c-a-b|=1,求|c|的最大值。

3、直线 3 x +y -2 3=0与圆O：x²+y²=4交于A、B两点，求→OA·→OB的值。

4、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，

（1）求→DE·→CB的值。

（2）求→DE·→DC的最大值。

5、已知向量a=（-1，0），b=（1，2），求与2a+b同向的单位向量的坐标

【答案】

一、填空题

1、（8，18） 2、 5 3

3、（2，5） 4、 13 5、90° 6、 1，

解：|a＋b|＝ 10，两边同时平方，得a²+2ab+b²=10--------①

|a－b|＝ 6，两边同时平方， 得a²-2ab+b²=6----------②

①- ②得，4ab=4，嘟a·b=1

7、60°

解：设向量a、b为任意长度，夹角为任意角度。如图

那么， a-2b ，b-2a如下图，

将上面两个图合并为一个图，标上字母，并连接DF

在△ADF中，C是AD的中点，而CF⊥AD，所以三角形△AD是等腰三角形

即：AF=DF---------------------①

同理：B是AF的中点，而BD⊥AF，所以三角形△AD是等腰三角形

即：AD=DF-----------------②

由①、②知，AD=AF=DF

所以△ADF是等边三角形，故∠A=60°

即：a与b的夹角为60°

8、m= 13

9、120°

9、解：根据已知a⊥（2a+b），那么其关系图如下。

并在顶点标上字母，

已知，|b|= 4|a|，即直角边BC等于斜边AB的一半，故∠BAC=30°

故a与b的夹角为120°

10、 (2，-2)

二、选择题

1、B

解：先做向量→OC垂直于向量→OB，再过O点，作→OA平行于→BC，如下图，

由图知：→OA+→AC = →OC -------------①

已知 →OD +→OA= →OC----------------②

由① ②知，→OD=→AC----------------③

设→OC坐标为（m，n），已知→OB=（-2，4），所以→BC=（m+2，n-4）----④

已知向量→OC垂直于向量→OB， 所以，-2m+4n=0，即：m= 2n---------------⑤

将 ⑤代入④，得，→BC=（2n+2，n-4）-----------------⑥

已知：→OA=（6，2），----------------------------------------⑦

且向量→BC平行于→OA，所以：由⑥ ⑦得：（n-4）*6=（2n+2）*2

解得：n= 14 将n= 14代入⑤，解得m= 28

故→OC坐标为（28，14）

已知：→OA=（6，2）， 所以：→AC=（22，12）

又③知，→OD=→AC

所以：→OD的坐标（22，12）

故选B

2、A

解设A'（x,y） 则向量AA'=(x-3,y-4）

由A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A'

即向量AA'=向量a

即（1,-2）=(x-3,y-4）

即x-3=1,y-4=-2

解得x=4,y=2

即A'（4,2）

故选A

3题：D

4、C

解：因为b=（-1，0）所以：|b|=1

令t=| 2a-3b| 两边同时平方

t² = 4a²+9b²-12ab ----------①

因为a²=（| a|）²=4 ---------②

b²=（| b|）²=1---------③

将② ③代入①， t² =25-12ab---------④

又cosθ= ab│a│*│b│ （其中θ=60°，| a|= 2， |b|=1）

解得：ab=1-----------------------⑤

将 ⑤代入④，解得： t² =13

因为t为正数，所以：t= 13

故选C

5、C

解： 已知：|2·→0C ＋→CD|＝4------------①

因为→AC=2·→OC-----------------②

由 ① ②得，| →AC＋→CD|=4 -------------③

在三角形ACD中， →AC＋→CD= →AD------④

由③ ④知：| →AD|=4 在就是说，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°故菱形的对角线BD长度为4。

即：|→BD|=4----------------------⑤ 在三角形BCD中， →BC+→CD= →BD-----

⑥

由⑤

⑥知，|→BC+→CD|＝4

故选C

6题：D 7题：D

8、解已知a＝(3，4)，b＝(2，1)

所以：ab=3*2+ 4*1= 10

| a|= 3²+4² = 5

由题意可得 b 在 a 方向上的投影为：

| b | cos＜a ，b ＞= ab│a│ （其中：ab=10， | a|=5）

=2

故 A

9题、B

延长AO交外接圆于D

在RT三角形ADC中， cosDAC= 丨AC丨丨AD丨 -------------①

又：cosDAC= ---------------------------②

由①

=②知，

→AC·→AD =(|AC|)² ---------------------③

在RT三角形ADB中，cosDAB=丨AB丨丨AD丨 --------------- ④

又：cosDAB= -----------------------------------------⑤

由④ =⑤知， →AD·→AD =(|AB|)² ---------------------⑥

→OA·→BC = 12 →AD ·(→AC -→AB)

= 12(→AD·→AC -→AD·→AB)【将③ ⑥代入】

= 12 [(|AC|)²-(|AB|)²]

=12 （3²-2²）

= 52

故选B

10、D

正方形ABCD的边长为2，以正方形对角线交点为原点，AB平行于x轴，AD平行于y轴，则每一个点的坐标如图。