2022高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+重点)第九章解析几何

高考中解析几何问题的热点题型 ■特级老师 王恒雨圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探究性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为简单的运算，对考生解决问题的力量要求较高，通常作为压轴题的形式消灭．热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．[考查角度一] 圆锥曲线中的定点问题[典题1] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上肯定点．(1)[解] 由于抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)， 所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)[证明] ①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t .由于直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t24·－t t 24＝－12， 化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )， 此时直线AB 的方程为x ＝8. ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.依据根与系数的关系得y A y B ＝4b k，由于直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0，即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.所以y A y B ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，y ＝k (x －8)． 综上所述，直线AB 过定点(8,0)．定点问题的常见解法：(1)假设定点坐标，依据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．[2021·河南洛阳模拟]设M 是焦距为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，A ，B 是椭圆E 的左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－12.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在点N (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.若P 是直线x ＝2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C ，D ，求证直线CD 恒过定点，并求出该定点坐标．解：(1)由题意，2c ＝2，c ＝1，A (－a,0)，B (a,0)， 设M (x ，y )，∵k 1k 2＝－12，∴y x ＋a ·yx －a ＝－12，即y 2x 2－a 2＝－12.∵M (x ，y )在椭圆E 上，∴x 2a 2＋y 2b2＝1，∴b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2a 2x 2－a 2＝－12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2. 又a 2－b 2＝c 2＝1， ∴a 2＝2，b 2＝1.∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设切点坐标为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (2，t )． 则切线方程分别为x 1x2＋y 1y ＝1，x 2x2＋y 2y ＝1.∵两切线均过点P ，∴2x 12＋ty 1＝1，2x 22＋ty 2＝1， 即x 1＋ty 1＝1，x 2＋ty 2＝1， ∴直线CD 的方程为x ＋ty ＝1.对于任意实数t ，点(1,0)都适合这个方程，即直线CD 恒过定点(1,0)． [考查角度二] 圆锥曲线中的定值问题[典题2] 如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作始终线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．(1)[证明] 依题意，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2， 代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)， 即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8， 直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，直线BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 1x 2x 1， 留意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1， 则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2. 因此点D 在定直线y ＝－2上(x ≠0)．(2)[解] 依题意知，切线l 的斜率存在且不等于0， 设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a＋a ，－2，则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝⎛⎭⎪⎫2a＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.1．解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：争辩特殊情形，从问题的特殊情形动身，得到目标关系所要探求的定点、定值． 其次步：探究一般状况．探究一般情形下的目标结论． 第三步：下结论，综合上面两种状况定结论． 2．求定值问题常见的两种方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．[2021·江西南昌二中月考]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝42，k OA ·k OB ＝－12，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)证明：△OAB 的面积为定值． (1)解：由椭圆的离心率为22，可得c a ＝22，即a ＝2c . 又2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝42，∴a ＝22，c ＝2，b 2＝4， ∴椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y24＝1， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4mkx ＋2m 2－8＝0，Δ＝8(8k 2－m 2＋4)>0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k 2，又k OA ·k OB ＝－12，∴y 1·y 2＝－12x 1·x 2＝－m 2－41＋2k2，又y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－8k 21＋2k 2，∴m 2－8k 21＋2k 2＝－m 2－41＋2k2，即4k 2＋2＝m 2. 设原点到直线AB 的距离为d ， 则S △OAB ＝12|AB |d＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k2 ＝|m |264k2m 2－16m 2－4m 2＝24k 2－m 2＋4＝2 2.当直线斜率不存在时，有A (2，2)，B (2，－2)，d ＝2， S △OAB ＝12×2×22＝2 2.故△OAB 的面积为定值2 2. 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．[考查角度一] 求线段长度、三角形面积的最值[典题3] [2021·山东卷]平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．[解] (1)由题意知，2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．由于x 204＋y 20＝1，又－λx 0216＋－λy 024＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2.(*) 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 由于直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积为S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝216k 2＋4－m2m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2 . 设m21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0＜t ≤1， 因此S ＝24－t t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 的面积的最大值为6 3.圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法、基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，依据圆锥曲线几何意义求最值．[2021·江西南昌模拟]已知圆E ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线，直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且MN →＝λOA →(λ≠0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当三角形AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程． 解：(1)如图，圆E 经过椭圆C 的左、右焦点F 1，F 2，∵F 1，E ，A 三点共线， ∴F 1A 为圆E 的直径， ∴AF 1＝32×2＝3，AF 2⊥F 1F 2.令y ＝0，则x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＝94，解得x ＝±2，∴c ＝ 2.|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1， 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4， ∵a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝2，b ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由(1)得点A 的坐标为(2，1)， ∵MN →＝λOA →(λ≠0)， ∴直线l 的斜率为22， 故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得x 2＋2mx ＋m 2－2＝0， ∴－2<m <2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，Δ＝2m 2－4m 2＋8>0， |MN |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋12x 1＋x 22－4x 1x 2＝12－3m 2. 点A 到直线l 的距离d ＝6|m |3. S △AMN ＝12|MN |·d ＝1212－3m 2×63|m | ＝224－m2m 2≤22×4－m 2＋m 22＝ 2..当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时，直线l 的方程为y ＝22x ± 2. [考查角度二] 求几何量、某个参数的取值范围[典题4] [2021·山东青岛模拟]已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆C ：x 2＋y 2＝9上．(1)求抛物线C 1的方程；(2)已知椭圆C 2：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合，且离心率为12.直线l ：y ＝kx －4交椭圆C 2于A ，B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围．[解] (1)设点G 的坐标为(x 0，y 0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝3，x 20＋y 20＝9，y 20＝2px 0，得x 0＝1，y 0＝±22，p ＝4， ∴抛物线C 1的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得抛物线C 1的焦点F (2,0)， ∵椭圆C 2的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合， ∴椭圆C 2的半焦距c ＝2，m 2－n 2＝c 2＝4， ∵椭圆C 2的离心率为12，∴2m ＝12⇒m ＝4，n ＝23， ∴椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1，得(4k 2＋3)x 2－32kx ＋16＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝32k 4k 2＋3，x 1x 2＝164k 2＋3.由Δ＞0⇒(－32k )2－4×16(4k 2＋3)＞0⇒k ＞12或k ＜－12①.∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA →·OB →＞0， ∴OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝y 1y 2＋x 1x 2＝(kx 1－4)·(kx 2－4)＋x 1x 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16 ＝(k 2＋1)×164k 2＋3－4k ×32k 4k 2＋3＋16＝164－3k 24k 2＋3＞0⇒－233＜k ＜233.②由①②得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，333.求参数范围的常用方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：依据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． (3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，中心在原点．若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.∴所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y P )，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0，∵直线与椭圆相交，∴Δ＝(6km )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0 ⇒m 2<3k 2＋1.①由根与系数的关系，得x M ＋x N ＝－6km 3k 2＋1，x M ·x N ＝3m 2－13k 2＋1. ∴x P ＝x M ＋x N2＝－3km3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13km，又∵|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13km ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1.②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2； 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.热点三 圆锥曲线中的探究性问题圆锥曲线的探究性问题主要体现在以下几个方面：(1)探究点是否存在；(2)探究曲线是否存在；(3)探究命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是争辩直线与圆锥曲线的位置关系问题．[考查角度一] 探究是否存在常数的问题[典题5] [2021·四川卷]如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD→＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝－2λ－4k 2＋－2λ－12k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，假如推出冲突就不存在，否则就存在．[考查角度二] 探究是否存在点的问题[典题6] [2021·河北石家庄一模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，点A 为椭圆上一点，∠F 1AF 2＝60°，且S △F 1AF 2＝ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .问：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)由e ＝12可得a 2＝4c 2，①S △F 1AF 2＝12|AF 1||AF 2|sin 60°＝3，可得|AF 1||AF 2|＝4，在△F 1AF 2中，由余弦定理可得|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos 60°＝4c 2， 又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， 可得a 2－c 2＝3，② 联立①②得a 2＝4，c 2＝1， ∴b 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0， ∴x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝3m，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k m，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x ＝4，得Q (4,4k ＋m )，假设存在点M 的坐标为(x 1,0)，则MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )． ∵以PQ 为直径的圆恒过点M ， ∴MP →·MQ →＝0，即－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0，∴(4x 1－4)km＋x 21－4x 1＋3＝0对任意k ，m 都成立．则⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1，故存在定点M (1,0)符合题意．解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明． [考查角度三] 探究存在性的问题[典题7] [2021·新课标全国卷Ⅱ]已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由．(1)[证明] 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得 (k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)[解] 四边形OAPB 能为平行四边形．理由如下：由于直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m 的坐标代入直线l 的方程，得 b ＝m 3－k 3，因此x M ＝k k －3m3k 2＋9. 四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 相互平分时成立，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k k －3m 3k 2＋9， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.由于k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．解决是否存在直线的问题时，可依据条件查找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解．提示 完成课时跟踪检测(五十六)。

1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于｜F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝｛M｜｜｜MF1|－｜MF2｜|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a，c 为常数且a〉0，c〉0。

(1）当2a<｜F1F2｜时，P点的轨迹是双曲线;(2）当2a＝|F1F2｜时，P点的轨迹是两条射线；(3）当2a〉|F1F2｜时,P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)y2a2－错误!＝1(a〉0，b〉0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心:原点顶点A1（－a,0)，A2(a，0）A1（0，－a)，A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞）,其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b〉0）系【知识拓展】巧设双曲线方程（1)与双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)有共同渐近线的方程可表示为错误!－错误!＝t（t≠0)．（2)过已知两个点的双曲线方程可设为错误!＋错误!＝1(mn〈0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1）平面内到点F1（0，4)，F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×）(2）方程错误!－错误!＝1（mn〉0）表示焦点在x轴上的双曲线．（×）(3)双曲线方程错误!－错误!＝λ(m〉0，n>0,λ≠0)的渐近线方程是错误!－错误!＝0,即错误!±错误!＝0.( √）(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.（√）（5)若双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）与错误!－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率分别是e1，e2,则错误!＋错误!＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线）．（√）1．(教材改编)若双曲线错误!－错误!＝1 (a〉0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.11 圆锥曲线中定点与定值问题题型一 定点问题例1 已知定圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆M 过点B (3，0)，且和圆A 相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，点N (4,0)．若P ，Q ，N 三点不共线，且∠ONP ＝∠ONQ .证明：动直线PQ 经过定点．(1)解 圆A 的圆心为A (－3，0)，半径r 1＝4.设动圆M 的半径为r 2，依题意有r 2＝|MB |.由|AB |＝23，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA |＝r 1－r 2，即|MA |＋|MB |＝4>2 3.所以动点M 的轨迹E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋4y 2＝4， 消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－b 2＋1)>0，设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )，则x 1＋x 2＝－8kb 1＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－41＋4k 2， 于是k PN ＋k QN ＝kx 1＋b x 1－4＋kx 2＋b x 2－4＝2kx 1x 2－4k －bx 1＋x 2－8b x 1－4x 2－4， 由∠ONP ＝∠ONQ 知k PN ＋k QN ＝0.即2kx 1x 2－(4k －b )(x 1＋x 2)－8b ＝2k ·4b 2－41＋4k 2－(4k －b )－8kb 1＋4k 2－8b ＝8kb 2－8k 1＋4k 2＋32k 2b －8kb 21＋4k 2－8b ＝0， 得b ＝－k ，Δ＝16(3k 2＋1)>0.故动直线l 的方程为y ＝kx －k ，过定点(1,0)．教师备选在平面直角坐标系中，已知动点M (x ，y )(y ≥0)到定点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点N (4,4)作斜率为k 1，k 2的直线分别交曲线C 于不同于N 的A ，B 两点，且1k 1＋1k 2＝1.证明：直线AB 恒过定点．(1)解 由题意可知x 2＋y －12＝y ＋1，化简可得曲线C ：x 2＝4y .(2)证明 由题意可知，N (4,4)是曲线C ：x 2＝4y 上的点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则l NA ：y ＝k 1(x －4)＋4，l NB ：y ＝k 2(x －4)＋4，联立直线NA 的方程与抛物线C 的方程，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －4＋4，x 2＝4y⇒x 2－4k 1x ＋16(k 1－1)＝0，解得x 1＝4(k 1－1)，①同理可得x 2＝4(k 2－1)，②而l AB ：y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)，③又1k 1＋1k 2＝1，④ 由①②③④整理可得l AB ：y ＝(k 1＋k 2－2)x －4，故直线AB 恒过定点(0，－4)．思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．跟踪训练1 (2022·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，且过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线x ＝12上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点N .(1)解 椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12，即3a 2＋14b2＝1， 又2c ＝23，得a 2＝b 2＋3，所以a 2＝4，b 2＝1，即椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，设AB 的中点M 为(x 0，y 0)，得x 0＝－4km 1＋4k 2＝12， 即1＋4k 2＝－8km ，所以y 0＝kx 0＋m ＝12k －1＋4k 28k ＝－18k. 所以AB 的中垂线方程为y ＋18k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －38， 故AB 的中垂线恒过点N ⎝⎛⎭⎫38，0.题型二 定值问题例2 (2022·江西赣抚吉名校联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上的动点M 到直线x ＝－1的距离比到抛物线E 的焦点F 的距离大12. (1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点Q 是直线x ＝－1(y ≠0)上的任意一点，过点P (1,0)的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，记直线AQ ，BQ ，PQ 的斜率分别为k AQ ，k BQ ，k PQ ，证明：k AQ ＋k BQ k PQ为定值． (1)解 由题意可知抛物线E 的准线方程为x ＝－12， 所以－p 2＝－12，即p ＝1， 故抛物线E 的标准方程为y 2＝2x .(2)证明 设Q (－1，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的斜率显然不为0，故可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2＝0.Δ＝4t 2＋8>0，所以y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2，k PQ ＝－y 02. 又k AQ ＋k BQ ＝y 1－y 0x 1＋1＋y 2－y 0x 2＋1 ＝y 1－y 0x 2＋1＋y 2－y 0x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝y 1－y 0ty 2＋2＋y 2－y 0ty 1＋2ty 1＋2ty 2＋2＝2ty 1y 2＋2－ty 0y 1＋y 2－4y 0t 2y 1y 2＋2t y 1＋y 2＋4 ＝2t ·－2＋2－ty 0·2t －4y 0t 2·－2＋2t ·2t ＋4＝－y 0t 2＋2t 2＋2＝－y 0. 所以k AQ ＋k BQ k PQ ＝－y 0－y 02＝2(定值)． 教师备选(2022·邯郸模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若|F 1F 2|＝2，△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)MA →＝λF 1A —→，MB →＝μF 1B —→，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．解 (1)因为△ABF 2的周长为8，所以4a ＝8，解得a ＝2，由|F 1F 2|＝2，得2a 2－b 2＝24－b 2＝2，所以b 2＝3，因此椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，x 24＋y 23＝1， 整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.设M (0，k )，又F 1(－1,0)，所以MA →＝(x 1，y 1－k )，F 1A —→＝(x 1＋1，y 1)，则λ＝x 1x 1＋1. 同理可得MB →＝(x 2，y 2－k )，F 1B —→＝(x 2＋1，y 2)，则μ＝x 2x 2＋1. 所以λ＋μ＝x 1x 1＋1＋x 2x 2＋1＝x 1x 2＋1＋x 2x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2×4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝8k 2－24－8k 24k 2－12－8k 2＋3＋4k 2＝－24－9＝83， 所以λ＋μ为定值83. 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦，直线y ＝kx (k >0)经过弦AB 的中点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB的斜率为k 1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值．(1)解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 为椭圆C 上的点， 所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1， 两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＝－y 1＋y 2y 1－y 23， 所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 1＋x 24y 1＋y 2＝－3x 04y 0. 又k ＝y 0x 0， 故k 1k ＝－34，为定值． 课时精练1．(2022·运城模拟)已知P (1,2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．(1)解 将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px ，得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0⇒16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k P A ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， 同理k PB ＝4y 2＋2，由题意知4y 1＋2＋4y 2＋2＝2， 即4(y 1＋y 2＋4)＝2(y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4)，解得y 1y 2＝4，故－4t ＝4，即t ＝－1，故直线AB ：x ＝my －1恒过定点(－1,0)．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，且其左顶点到右焦点的距离为5. (1)求椭圆的方程；(2)设点M ，N 在椭圆上，以线段MN 为直径的圆过原点O ，试问是否存在定点P ，使得P 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a ＋c ＝5，解得a ＝3，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①若直线MN 与x 轴垂直，由对称性可知|x 1|＝|y 1|，将点M (x 1，y 1)代入椭圆方程，解得|x 1|＝37014， 原点到该直线的距离d ＝37014； ②若直线MN 不与x 轴垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 25＝1，消去y 得(9k 2＋5)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝9m 2－459k 2＋5，x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋5，由题意知，OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 得(k 2＋1)9m 2－459k 2＋5＋km ⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋5＋m 2＝0， 整理得45k 2＋45＝14m 2，则原点到该直线的距离d ＝|m |k 2＋1＝4514＝37014， 故存在定点P (0,0)，使得P 到直线MN 的距离为定值．3．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，右焦点F (c ,0)到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 作斜率为k 的直线l 交双曲线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于D ，求证：|AB ||FD |为定值．(1)解 设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ(λ>0)，由题意知c ＝2，所以λ3＋λ＝4⇒λ＝3， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)代入x 2－y 23＝1， 整理得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，Δ＝36(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－4k 23－k 2，x 1x 2＝－4k 2－33－k 2， 由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝6k 2＋1|3－k 2|， 设AB 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k 23－k 2， 代入l 得y 0＝－6k 3－k 2， AB 的垂直平分线方程为y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2k 23－k 2－6k 3－k 2，令y ＝0得x D ＝－8k 23－k 2， 即|FD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 23－k 2－2＝61＋k 2|3－k 2|， 所以|AB ||FD |＝1为定值． 当k ＝0时，|AB |＝2，|FD |＝2，|AB ||FD |＝1， 综上所述，|AB ||FD |为定值．4．(2022·河南九师联盟模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)因为焦距为2，长轴长为4，即2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)，设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m ，0)，因为直线l 不与x 轴重合，所以设直线l 的方程为x ＝ny －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny －1，x 24＋y 23＝1， 得(3n 2＋4)y 2－6ny －9＝0，所以Δ＝(－6n )2＋36(3n 2＋4)>0，所以y 1＋y 2＝6n 3n 2＋4，y 1y 2＝－93n 2＋4， 又x 1x 2＝(ny 1－1)(ny 2－1)＝n 2y 1y 2－n (y 1＋y 2)＋1＝－9n 23n 2＋4－6n 23n 2＋4＋1 ＝－12n 2－43n 2＋4， x 1＋x 2＝n (y 1＋y 2)－2＝6n 23n 2＋4－2 ＝－83n 2＋4. 直线ME ，MD 的斜率分别为k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m ， 所以k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m＝y 1y 2x 1－m x 2－m＝y 1y 2x 1x 2－m x 1＋x 2＋m 2＝－93n 2＋4－12n 2－43n 2＋4－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83n 2＋4＋m 2 ＝－9－12n 2＋4＋8m ＋3m 2n 2＋4m 2＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12， 要使直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值，3m 2－12＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，存在点M (2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－936＝－14， 当m ＝－2时，存在点M (－2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－94， 综上，在x 轴上存在点M ，使得ME ，MD 的斜率之积恒为定值，当点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14， 当点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.。

9.7 抛物线必备知识预案自诊知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）的 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 .F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线。

2。

抛物线的几何性质F p 2，0 F —p 2，0 F 0，p 2F 0,-p 21。

设AB 是过抛物线y 2=2px （p 〉0）焦点F 的弦,若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2)，如图所示，则 (1）x 1x 2=p 24，y 1y 2=—p 2；(2）弦长|AB|=x 1+x 2+p=2p sin 2α（α为弦AB 所在直线的倾斜角）;（3)以弦AB 为直径的圆与准线相切;(4)S △AOB =p 22sinα(α为弦AB 所在直线的倾斜角）;(5)∠CFD=90°.2.抛物线y2=2px(p〉0)的通径长为2p.考点自诊1。

判断下列结论是否正确，正确的画“√"，错误的画“×”。

（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.（)(3)若一抛物线过点P(—2,3),则其标准方程可写为y2=2px （p>0）.()（4）抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.（）（5）方程y=ax2（a≠0）表示的曲线是焦点在x轴上的抛物,0。

()线,且其焦点坐标是a42.（2020天津河北区线上测试，5）已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0)的焦点间的距离为2，则p的值为()A.2√3B.4 C。

6 D。

123。

(2020北京，7）设抛物线的顶点为O，焦点为F,准线为l。

P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A。

经过点O B。

经过点PC.平行于直线OP D。

垂直于直线OP4。

（2020全国1，理4）已知A为抛物线C：y2=2px（p>0）上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9，则p=(）A。

1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0）y2＝－2px(p〉0)x2＝2py（p〉0)x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0）对称轴y＝0x＝0焦点F错误!F错误!F错误!F错误!【知识拓展】1．抛物线y2＝2px(p〉0)上一点P(x0，y0）到焦点F错误!的距离|PF|＝x0＋错误!，也称为抛物线的焦半径．2．y2＝ax的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝－错误!。

3．设AB是过抛物线y2＝2px（p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B（x2,y2)，则(1）x1x2＝错误!，y1y2＝－p2.(2）弦长|AB｜＝x1＋x2＋p＝错误!(α为弦AB的倾斜角）．（3）以弦AB为直径的圆与准线相切．(4）通径:过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×"）(1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（×）(2）方程y＝ax2（a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(错误!，0)，准线方程是x＝－错误!.（×）（3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（×）（4)AB为抛物线y2＝2px（p>0）的过焦点F(错误!，0)的弦，若A(x1，y1)，B（x2,y2），则x1x2＝错误!,y1y2＝－p2,弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p。

( √)1．（2016·四川）抛物线y2＝4x的焦点坐标是( ）A．（0，2）B．（0,1)C．(2，0）D．（1,0）答案D解析∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为错误!，∴对于y2＝4x,焦点坐标为(1，0)．2．(2016·甘肃张掖一诊）过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1,y1)，Q（x2,y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )A．9 B．8 C．7 D．6答案B解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0）,准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋｜QF｜＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )A.错误!B．［－2，2］C．［－1，1］D．[－4，4]答案C解析Q(－2，0）,设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0,由Δ＝（4k2－8）2－4k2·4k2＝64(1－k2）≥0，解得－1≤k≤1.4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2,－4)，则该抛物线的标准方程为________________．答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝2px（p≠0)或x2＝2py（p≠0)．将P（－2,－4）代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.1 直线的方程考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识梳理 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1 和直线y ＝y 1截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k>0不存在k<0牢记口诀：1．“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(4)截距可以为负值．(√)教材改编题1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时， 设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5. 所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α. 由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]． 由于θ∈[0，π)， 所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)过函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎣⎡⎦⎤π2，3π4答案 B解析 设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴切线的斜率k ＝tan α≥－1， 则α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 教师备选1．(2022·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交， ∴－2≤k ≤12.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上得k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论． 跟踪训练1 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______. 答案 13－3解析 如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13， k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3. 题型二 求直线的方程例2 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍； (2)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解 (1)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ， 则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为 x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.教师备选1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1,1)，所以其所在的直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0 答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3， 又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 思维升华 求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2 (1)已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0答案 C解析 由题知M (2,4)，N (3,2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为______________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． 解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， S △AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋－4k ＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二 设直线l ：x a ＋yb ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2,1)， 所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab，故ab ≥8， 故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.延伸探究 1.在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解 由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解 方法一 由本例方法一知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)．所以|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝2×1＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤－k ＋1－k ≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由本例方法二知A (a ,0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →| ＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 教师备选如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，但△EF A 内部为文物保护区，不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1.易知当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，且一个顶点在线段EF 上时，可使草坪面积最大，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )， 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m ，∴S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，∴当m ＝5时，S 有最大值，此时|EP ||PF |＝5，∴当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，一个顶点P 在线段EF 上，且|EP |＝5|PF |时，草坪面积最大．思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决． 跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． (1)证明 直线l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)． (2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－2，1＋2k >1， 解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0， 解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.课时精练1．已知直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．y ＝－12xC ．x ＋2＝0D ．y －1＝0答案 C解析 由于直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0.2．(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2的直线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝3x ＋2 D ．y ＝3x －2答案 B解析 斜率为tan 120°＝－3，利用斜截式直接写出方程，即y ＝－3x －2. 3．直线l 经过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －y －1＝0或x －2y ＝0 B ．x ＋y ＋1＝0或x ＋2y ＝0 C ．x －y ＋1＝0或2x －y ＝0 D ．x ＋y ＋1＝0或2x ＋y ＝0 答案 D解析 若直线l 过原点， 设直线l 的方程为y ＝kx ， 则k ＝－2，此时直线l 的方程为y ＝－2x ， 即2x ＋y ＝0； 若直线l 不过原点， 设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，则1a －2a ＝1，解得a ＝－1， 此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y＋1＝0或2x＋y＝0.4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有()A．a>0，c>0 B．a>0，c<0C．a<0，c>0 D．a<0，c<0答案 A解析因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0. 5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A．0°B．1°C．2°D．3°答案 C解析∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°.6．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >1或k <15D ．k >12或k <－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得k >12或k <－1.7．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞) 答案 C解析 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ， 所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1， 所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)， 当x ＝0时，y ＝a ，当y ＝0时，x ＝b ，所以该直线在x 轴与y 轴上的截距分别为b ，a ， 又直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.9．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0解析 ①当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ，即5x ＋3y ＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.综上，直线方程为5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0.10．直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b )在l 上，则b 的值为________． 答案 2 023解析 直线l 的方程为y －－15－－1＝x －－12－－1，即y ＋16＝x ＋13，即y ＝2x ＋1. 令x ＝1 011，得y ＝2 023， ∴b ＝2 023.11．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝______. 答案 5 1解析 因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.12．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l ′的方程为________________________． 答案 x ＝－3或y ＝33(x ＋3) 解析 在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为90°，此时直线l ′的斜率不存在，故其方程为x ＝－3；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为30°，此时直线l ′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．13．直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π4，π2 B.⎣⎡⎭⎫0，3π4 C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，πD.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 C解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1， ∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1. 倾斜角和斜率的关系如图所示，∴该直线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 14．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，直线恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析 直线方程可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－3，∴直线恒过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3.15．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线始终过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 答案 D解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 不正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确． 16．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab . 又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.。

第九章 解析几何第七节 抛物线A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届沈阳质检)抛物线x 2＝4y 的焦点到准线的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选B 由x 2＝2px 的焦点到准线的距离为p ，得x 2＝4y 中的焦点到准线的距离为2，故选B ． 2．(2019届广东七校第二次联考)已知抛物线y 2＝24ax(a>0)上的点M(3，y 0)到其焦点的距离是5，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝12x C ．y 2＝16xD ．y 2＝20x解析：选A 抛物线y 2＝24ax(a>0)的准线方程为x ＝－6a ，点M(3，y 0)到其焦点的距离是5，根据抛物线的定义可知，点M(3，y 0)到准线的距离也为5，即3＋6a ＝5，∴a＝13，∴y 2＝8x ，故选A ．3．(2019届石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF|∶|FM|等于( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶ 2D ．1∶ 3解析：选A 解法一：由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF|＝32，|MF|＝3，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A ．解法二：由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x－1)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），得y 2－2y －4＝0，解得y ＝22或y ＝－2，∴点N 的纵坐标为－ 2.过点M 作MM′⊥x 轴，垂足为M′，过点N 作NN′⊥x 轴，垂足为N′，则△MM′F∽△NN′F，∴|NF|∶|MF|＝|NN′|∶|MM′|＝|－2|∶22＝1∶2，故选A ．解法三：∵M(2，22)是抛物线上的点，且抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|MF|＝3.又1|MF|＋1|NF|＝2p ＝1，∴|NF|＝32，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A ．解法四：设直线l 的倾斜角为α，则|MF|＝p 1－cos α，|NF|＝p1＋cos α，∴|NF|∶|MF|＝(1－cosα)∶(1＋cos α)，又M(2，22)，F(1，0)，∴tan α＝22，∴cos α＝13，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A ．4．(2019届江西五校联考)过抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与抛物线C 的准线相交于点M ，若|MN|＝|AB|，则直线l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，所以|NN′|＝12(|AA′|＋|BB′|)＝12|AB|.因为|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝12|MN|，即在△MNN′中，cos ∠MNN ′＝12，所以∠MNN′＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°.又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°，故选B ．5．(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点O 作两条互相垂直的直线分别交抛物线C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为( )A ．2B ．3C ．32D ．4解析：选C 设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，把直线AB 的方程代入抛物线的方程得y 2－2my －2t ＝0，Δ＝4m 2＋8t>0，所以y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2t.由题意得OA⊥OB，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 212×y 222＋y 1y 2＝0，得y 1y 2＝－4，所以－2t ＝－4，即t ＝2，故直线AB 恒过定点(2，0)，则抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0到直线AB 的距离的最大值为2－12＝32，故选C ． 6．(2019届湖南岳阳二模)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C 过P 1作P 1M ⊥准线l ，垂足为M ，过P 2作P 2N ⊥准线l ，垂足为N ，由抛物线定义知|P 1F|＝|P 1M|＝y 1＋1，|P 2F|＝|P 2N|＝y 2＋1，∴|P 1P 2|＝|P 1F|＋|P 2F|＝y 1＋y 2＋2＝8，故选C ．7．(2019届江西五校协作体2月联考)已知点A(0，2)，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM||MN|＝55，则p 的值等于( )A ．18B ．14C ．2D ．4解析：选C 过点M 向准线作垂线，垂足为P ，由抛物线的定义可知，|MF|＝|MP|，因为|FM||MN|＝55，所以|MP||MN|＝55，所以sin ∠MNP ＝55，则tan ∠MNP ＝12.又∠OFA＋∠MNP＝90°(O 为坐标原点)，所以tan∠OFA ＝2＝ 2 12p ，则p ＝2，故选C ．8．(2019届沈阳市第一次质量监测)抛物线y 2＝6x 上一点M(x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为________．解析：由y 2＝6x ，知p ＝3，由抛物线定义得，x 1＋p 2＝92，即x 1＝3，代入y 2＝6x 中，得y 21＝18，则|MO|＝x 21＋y 21＝33(O 为坐标原点)．答案：3 39．(2020届成都摸底)已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，|AF||BF|－|AF|＝1，则抛物线C 的标准方程为________．解析：如图，设直线l 与x 轴交于点D ，过点B 作BE⊥l 于点E ，则|DF|＝p.由抛物线的定义知|BE|＝|BF|.设|BE|＝|BF|＝m ，因为△AEB∽△ADF，所以|AF||AB|＝|DF||BE|，即|AF||AF|－|BF|＝|DF||BF|，所以|AF||AF|－m ＝p m ，所以|AF|＝pm p －m .由|AF||BF|－|AF|＝1，得pmp －m m －pmp －m＝1，解得p ＝1，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝2x. 答案：y 2＝2x10．(2019届河北省“五个一名校”高三考试)如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F|＋|P 2F|＋|P 3F|＋…＋|P 10F|＝________．解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px(p>0)上的点P(x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF|＝x 0＋p 2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F|＋|P 2F|＋…＋|P 10F|＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.答案：1011．(2019届昆明市高三诊断测试)过点E(－1，0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，F 是抛物线C 的焦点．(1)若线段AB 中点的横坐标为3，求|AF|＋|BF|的值； (2)求|AF|·|BF|的取值范围．解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6. 由抛物线的定义知|AF|＝x 1＋1，|BF|＝x 2＋1， 则|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋2＝8. (2)设直线l 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝4x 得y 2－4my ＋4＝0. 由Δ＝16m 2－16>0，得m 2>1，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4. 由抛物线的定义知|AF|＝x 1＋1，|BF|＝x 2＋1， 则|AF|·|BF|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＝m 2y 1y 2＝4m 2. 因为m 2>1，所以|AF|·|BF|>4. 故|AF|·|BF|的取值范围是(4，＋∞)．12．(2019届郑州市第一次质量预测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ，N.R 为准线上一点．(1)若AR∥FN，求|MR||MN|的值；(2)若点R 为线段MN 的中点，设以线段AB 为直径的圆为圆E ，判断点R 与圆E 的位置关系．解：由已知，得F(1，0)，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线y 2＝4x 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由题知M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，设R(－1，y R )．(1)∵AR∥FN，即AR →∥FN →，AR →＝(－1－x 1，y R －y 1)，FN →＝(－2，y 2)，∴0＝(－1－x 1)y 2＋2(y R －y 1)＝(－2－my 1)y 2＋2(y R －y 1)＝－2(y 1＋y 2)－my 1y 2＋2y R ＝－4m ＋2y R ，∴y R ＝2m ＝y 1＋y 22，∴R 是MN 的中点，∴|MR||MN|＝12.(2)若R 是MN 的中点，则R(－1，2m)，RA →·RB →＝(x 1＋1，y 1－2m)·(x 2＋1，y 2－2m)＝(my 1＋2，y 1－2m)·(my 2＋2，y 2－2m)＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋(y 1－2m)(y 2－2m)＝(m 2＋1)y 1y 2＋4m 2＋4＝－4(m 2＋1)＋4m 2＋4＝0.∴RA →⊥RB →，即RA⊥RB， ∴点R 在以AB 为直径的圆E 上.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届湖南五市十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR|＝( )A ．2B ． 3C ．2 3D ．3解析：选A 如图，连接MF ，QF ，设准线l 与x 轴交于H ，∵y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，∴|FH|＝2，|PF|＝|PQ|.∵M，N 分别为PQ ，PF 的中点，∴MN∥QF.∵PQ 垂直l 于点Q ，∴PQ ∥OR.∵|PQ|＝|PF|，∠NFR＝60°，∴△PQF 为等边三角形，∴MF⊥PQ.又M 为PQ 的中点，∴F 为HR 的中点，∴|FR|＝|FH|＝2.故选A ．14．(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T(5，0)，O 为坐标原点，则S △AOB ＝( )A ．2 2B ． 3C ． 6D ．3 6解析：选A 由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)，设直线l ：y ＝k(x －1)(k≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线y ＝k(x －1)代入y 2＝4x ，化简整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)－2k ＝2k ＋4k －2k ＝4k ，所以AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k ，AB 的垂直平分线方程为y －2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2k 2.由于AB 的垂直平分线与x 轴交于点T(5，0)，所以0－2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－1－2k 2，化简得k ＝±1，即直线AB 的方程为y ＝±(x－1)．点O 到直线AB 的距离d ＝|1|1＋1＝22，又|AB|＝1＋1|x 1－x 2|＝1＋1（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×36－4＝8，所以S △AOB ＝12×22×8＝22，故选A ．15．(2019届洛阳市第二次联考)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点S(0，3)，SA ，SB 与圆C ：x 2＋y 2－my ＝0(m>0)和抛物线x 2＝－2py(p>0)都相切，切点分别为M ，N 和A ，B ，SA∥ON，则点A 到抛物线准线的距离为( )A ．4B ．2 3C ．3D ．3 3解析：选A 连接OM ，∵SM，SN 是圆C 的切线，∴|SM|＝|SN|，|OM|＝|ON|.又SA∥ON，∴SM∥ON，∴四边形SMON 是菱形，∴∠MSN＝∠MON.连接MN ，由切线的性质得∠SMN＝∠MON，则△SMN 为正三角形，又MN 平行于x 轴，所以直线SA 的斜率k ＝tan 60°＝ 3.设A(x 0，y 0)，则y 0－3x 0＝ 3 ①.又点A 在抛物线上，∴x 2＝－2py 0 ②.由x 2＝－2py ，得y ＝－x 22p ，y′＝－1p x ，则－1px 0＝ 3 ③，由①②③得y 0＝－3，p ＝2，所以点A 到抛物线准线的距离为－y 0＋p2＝4，故选A ．16．(2020届湖北部分重点中学联考)已知点A(0，1)，抛物线C ：y 2＝ax(a ＞0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM|∶|MN|＝1∶2，则实数a 的值为________．解析：依题意得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过M 作抛物线的准线的垂线，垂足为K ，由抛物线定义知|MF|＝|MK|.因为|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|KN|∶|KM|＝3∶1.又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN||KM|＝－3，所以－4a ＝－3，解得a ＝433.答案：43317．(2019届昆明市教学质量检测)已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到准线的距离为d 1，到直线l ：4x －3y ＋11＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．解析：如图，设抛物线的准线为m ，焦点为F ，分别过点P ，F 作PA⊥m，PM⊥l，FN⊥l，垂足分别为A ，M ，N.连接PF ，因为点P 在抛物线上，所以|PA|＝|PF|，所以(d 1＋d 2)min ＝(|PF|＋|PM|)min ＝|FN|.点F(1，0)到直线l 的距离|FN|＝|4＋11|42＋（－3）2＝3，所以(d 1＋d 2)min ＝3.答案：3。

9。

6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。

这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。

3。

双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。

3。

若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与C 2：y 29－x 23＝1有相同的渐近线，点F (2,0)为C 1的右焦点，A ，B 为C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若直线l 过点F 交双曲线C 1的右支于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数λ使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵C 2的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b a ＝3， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 1的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知，A (－1,0)，B (1,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 过点F (2,0)与右支交于两点，则l 斜率不为零，设l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，x ＝my ＋2，消元得(3m 2－1)y 2＋12my ＋9＝0， ∵l 与双曲线右支交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－1≠0，y 1y 2＝93m 2－1<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， Δ＝(12m )2－4×9(3m 2－1)＝36(m 2＋1)>0，∴y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1，∵k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1≠0， ∴k 1k 2＝y 1x 2－1y 2x 1＋1＝y 1my 2＋1y 2my 1＋3＝my 1y 2＋y 1my 1y 2＋3y 2， ∵y 1＋y 2y 1y 2＝－12m 9＝－4m 3， ∴my 1y 2＝－34(y 1＋y 2)， ∴k 1k 2＝－34y 1＋y 2＋y 1－34y 1＋y 2＋3y 2＝14y 1－34y 2－34y 1＋94y 2 ＝－13， ∴存在λ＝－13使得k 1＝λk 2. 教师备选(2022·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点E ，F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且△EOF 的面积为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧c a ＝33，12bc ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)假设满足条件的直线l 存在，由E (0，－2)，F (2，0)，得k EF ＝2，因为点F 为△EAB 的垂心，所以AB ⊥EF ，所以k AB ＝－22， 设直线l 的方程为y ＝－22x ＋t ， 代入x 26＋y 24＝1， 得7x 2－62tx ＋6(t 2－4)＝0，Δ＝(－62t )2－4×7×6(t 2－4)＝－96t 2＋672>0，即－7<t <7，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝627t ，x 1x 2＝6t 2－47，由AF ⊥BE 得y 1x 1－2·y 2＋2x 2＝－1， 所以y 1y 2＋2y 1＋x 1x 2－2x 2＝0，将y 1＝－22x 1＋t ，y 2＝－22x 2＋t 代入上式，得3x 1x 2－2(t ＋2)(x 1＋x 2)＋(2t 2＋4t )＝0，所以3×6t 2－47－2(t ＋2)·62t 7＋(2t 2＋4t ) ＝0，所以5t 2＋t －18＝0，解得t ＝95(t ＝－2舍去)， 满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22x ＋95. 思维升华 存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过P (t ，0)(t >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若t ＝4，求AP 长度的最小值；(2)设以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，问是否存在t ，使得OM →·ON →＝－4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由P (4,0)，可得|AP |2＝⎝⎛⎭⎫y 204－42＋y 20 ＝y 4016－y 20＋16 ＝116(y 20－8)2＋12≥12， 当y 0＝±22时，|AP |取得最小值2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0， 即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3，0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.题型二 圆锥曲线的综合问题例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．解 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 2(c ，0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离 d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (m ，n )，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，因为O 为△BMN 的重心，则|BO |＝2|OD |＝|OA |，所以D ⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3. 当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，因为D 为线段MN 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2. 因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2＝12144＋16n 2＝39＋n 2. 因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13， 所以332≤3d <3， 即点B 到直线MN 的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤332，3. 教师备选(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP →＝(0，－2)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，求该数列的公差．解 (1)由题设知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点P (x 0，y 0)，由FP →＝(0，－2)，即⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，y 0＝(0，－2)， ∴x 0＝p 2，y 0＝－2，代入y 2＝2px ， 得4＝p 2，又p >0，∴p ＝2，则抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l ：y ＝2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x ， 消去y 得4x 2＋(4m －4)x ＋m 2＝0，满足Δ＝(4m －4)2－16m 2＝－32m ＋16>0，即m <12， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 24， 若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，则|F A →|＋|FB →|＝2|FP →|，即x 1＋x 2＋2＝4，即3－m ＝4，m ＝－1.即x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 又∵公差d 满足2d ＝|FB →|－|F A →|＝x 2－x 1，而|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝3，∴2d ＝±3，即d ＝±32. 思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r ，弦长的一半h ，弦心距d 满足r 2＝h 2＋d 2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有P A →·PB →＝0.跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 2的右顶点，椭圆C 2的长轴长为|AB |＝8，离心率e ＝12.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶13？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知，a ＝4，c a ＝12， 所以c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝23，p ＝4.所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x ，椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题设知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋4⇒y 2－8my －32＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－32.所以S 2S 1＝12|OC |·|OD |sin ∠COD 12|OE |·|OF |sin ∠EOF ＝|OC |·|OD ||OE |·|OF |＝|y 1|·|y 2||y E |·|y F |＝32|y E |·|y F |， 因为直线OC 的斜率为y 1x 1＝y 1y 218＝8y 1，所以直线OC 的方程为y ＝8y 1x . 由⎩⎨⎧ y ＝8y 1x ，x 216＋y 212＝1， 得y 2⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 则y 2E⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 同理可得y 2F⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2， 要使S 1∶S 2＝3∶13，只需322121＋48m 236×256＝⎝⎛⎭⎫1332， 解得m ＝±1，所以存在直线l ：x ±y －4＝0符合条件．课时精练1．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2＝1；(2)是否存在常数λ，使得1|AB |＋1|CD |＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， 因为点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点， 所以x 20－y 20＝4(x 0≠±2)，所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1， 即k 1k 2＝1.(2)解 由直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 代入椭圆C ：x 28＋y 24＝1， 可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1， 所以|AB |＝1＋k 21x 1＋x 22－4x 1x 2＝42·k 21＋12k 21＋1， 同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1， 因为k 1k 2＝1，可得|CD |＝42·k 21＋1k 21＋2， 则1|AB |＋1|CD |＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1k 21＋1＋k 21＋2k 21＋1 ＝328， 即存在常数λ＝328， 使得1|AB |＋1|CD |＝328恒成立． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实半轴长为1，且C 上的任意一点M 到C 的两条渐近线的距离的乘积为34. (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 相交于P ，Q 两点，问在x 轴上是否存在定点D ，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直？若存在，求出定点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得a ＝1，所以双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1， 所以渐近线方程为bx ±y ＝0，设M (x 0，y 0)， 则|bx 0－y 0|b 2＋1·|bx 0＋y 0|b 2＋1＝34， 即|b 2x 20－y 20|b 2＋1＝34， 因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20－y 20b2＝1， 即b 2x 20－y 20＝b 2，所以b 2b 2＋1＝34， 解得b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)假设存在D (t ，0)，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直，则可得k PD ＋k QD ＝0，F (2,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率存在时，直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，3x 2－y 2＝3， 可得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－3， x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， 所以k PD ＋k QD ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝0， 即k (x 1－2)(x 2－t )＋k (x 2－2)(x 1－t )＝0恒成立，整理可得k [2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ]＝0，所以k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×4k 2＋3k 2－3－t ＋2×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 即2×4k 2＋3k 2－3－(t ＋2)×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 所以8k 2＋6－4k 2(t ＋2)＋4t (k 2－3)＝0，所以6－12t ＝0，解得t ＝12， 当直线l 的斜率不存在时，t ＝12也满足题意． 所以存在点D ⎝⎛⎭⎫12，0，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直．3．(2022·承德模拟)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为－14，设动点P 的轨迹为曲线C 1.抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)与C 1在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线C 1于点B ，交抛物线C 2于点E (点B ，E 不同于点A )．(1)求曲线C 1的方程；(2)是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝y x ＋2，k PN ＝y x －2. ∵k PM ·k PN ＝－14， ∴y x ＋2·y x －2＝－14， 即y 2x 2－4＝－14， 即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，B (x 2，y 2)，E (x 0，y 0)，显然直线l 存在斜率，设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 0＝－4km 1＋4k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋m ， 得x 2＝2p (kx ＋m )，即x 2－2pkx －2pm ＝0，∴x 1x 0＝－2pm ，∴x 1·－4km 1＋4k 2＝－2pm ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k ， ∴k >0，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 2＝2py ， 即x 2＋x 4p 2＝4， ∴p 2⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋p 4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4p 2＝4， ∴p 2＝4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4，设⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＝⎝⎛⎭⎫12k ＋2k 2 ＝t ≥⎝⎛⎭⎫212k ·2k 2＝4， 当且仅当12k ＝2k ，即k ＝12时取等号， 则p 2＝4t ＋t 2＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 当t ≥4时，⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥20， 当k ＝12，即t ＝4时，p 2取得最大值，最大值为15， 即p ＝55. 此时A ⎝⎛⎭⎫255，255，满足Δ>0， 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p 的最大值为55.4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，P 为直线y ＝x －2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当P 在y 轴上时，OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值．解 (1)P 为直线y ＝x －2上的动点，当P 在y 轴上时，则P (0，－2)，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p (p >0)， 所以y ′＝x p(p >0)， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，x 1>0，x 2<0， 所以过点A 的切线方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)， 又因为点P 在过点A 的切线上，所以－2－x 212p ＝x 1p(0－x 1)， 解得x 21＝4p ，又因为OA ⊥OB ，所以直线OA 的斜率为1，所以x 1＝x 212p，解得x 1＝2p ， 解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y ′＝x ，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222， 所以切线P A 的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)， 切线PB 的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2)， 两切线方程联立解得P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22，又点P 在直线y ＝x －2上，所以x 1x 22＝x 1＋x 22－2， 由题意知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y ， 消元得x 2－2kx －2m ＝0，Δ＝4k 2＋8m >0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， 所以－2m 2＝2k 2－2，即k ＋m ＝2，满足Δ>0， 所以点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝2－k 21＋k 2＝1＋－4k ＋31＋k 2， 令t ＝－4k ＋31＋k 2， 则t ′＝2k －22k ＋11＋k 22， 令t ′＝0，得k ＝2或k ＝－12， 所以当k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)时， t ′>0，t 单调递增，当k ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，t ′<0，t 单调递减， 当k ＝－12时，t ＝4，当k →＋∞时，t →0且t <0， 所以t max ＝4，所以d max ＝1＋4＝5，所以点O 到直线AB 距离的最大值为 5.。

第九章平面解析几何 9.3 圆的方程试题理北师大版圆的定义与方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：(－D2，－E2)半径r＝12D2＋E2－4F【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.3．(2015·)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即a＋12＋1＝a－12＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝2＋12＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.5．(2016·某某)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______．答案(－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·某某)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·某某八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－3－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋12＋y －22，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－ 6.(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－3)2＝7－4 3.题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2016·潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·某某模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规X 解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，3＋222＋D3＋22＋F ＝0，3－222＋D3－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －12＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·某某检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0 答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2016·某某一模)方程|x |－1＝1－y －12所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|x |－12＋y －12＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －12＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＋y －12＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·某某诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋(y －3)2＝3C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意，得题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6．(2016·某某模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形PACB 的面积最小，|PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|PA |＝|PB |＝ 3. 所以四边形PACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C. 7．(2016·某某模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解之得m ＝－32. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254. 8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________．答案 x ＋y －2＝0 解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ≥0， x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13， tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1， 得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)． 10．(2016·某某模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －12＋y ＋32. 问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为3－12＋0＋32＝7， ∴x －12＋y ＋32的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ，x －12＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝2＋22＋7－32＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.2 两条直线的位置关系考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．三种距离公式 (1)两点间的距离公式①条件：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ②结论：|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.③特例：点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2(2)点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行直线间的距离两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.常用结论 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.2．五种常用对称关系(1)点(x ，y )关于原点(0,0)的对称点为(－x ，－y )．(2)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(3)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． (4)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ,2b －y )． (5)点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x ,2b －y )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( × ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ ) 教材改编题1．点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5B.55C. 5D.255答案 C解析 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.2．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2(m ≠0)，故m＝2或－3.3．直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋7＝0的交点的坐标为________． 答案 (－1,3)解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以两条直线交点的坐标为(－1,3).题型一 两条直线的平行与垂直例1 (1)(2022·汉中模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0(a ∈R )，则“e a ＝1e ”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当l 1∥l 2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2＝0，2a －1≠0，解得a ＝－1或a ＝2. 而由e a ＝1e，解得a ＝－1，所以“e a ＝1e”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件．(2)(2022·长春模拟)已知直线l 经过点(1，－1)，且与直线2x －y －5＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．2x －y －3＝0答案 C解析 ∵直线l 与直线2x －y －5＝0垂直， ∴设直线l 的方程为x ＋2y ＋c ＝0， ∵直线l 经过点(1，－1)， ∴1－2＋c ＝0，即c ＝1. 直线l 的方程为x ＋2y ＋1＝0.教师备选1．“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2，∴“m ＝3”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．2．已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23答案 D解析 由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行时，m ＝23或m ＝－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.思维升华 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1 (1)(2022·洛阳模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (1,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( )A ．x －2y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．4x ＋2y ＋1＝0D ．2x －4y ＋1＝0答案 D解析 由题设，可得k AB ＝2－01－2＝－2， 且AB 的中点为⎝⎛⎭⎫32，1，∴AB 垂直平分线的斜率k ＝－1k AB ＝12，故AB 的垂直平分线方程为 y ＝12⎝⎛⎭⎫x －32＋1＝x 2＋14， ∵AC ＝BC ，则△ABC 的外心、重心、垂心都在AB 的垂直平分线上， ∴△ABC 的欧拉线的方程为2x －4y ＋1＝0.(2)已知两直线l 1：x ＋y sin α＋1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则α＝________. 答案 k π±π4，k ∈Z解析 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得1－2sin 2α＝0， 所以sin α＝±22.又A 1C 2－A 2C 1≠0，所以1－2sin α≠0，即sin α≠12.所以α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.题型二 两直线的交点与距离问题例2 (1)两条平行直线2x －y ＋3＝0和ax ＋3y －4＝0间的距离为d ，则a ，d 的值分别为( ) A ．a ＝6，d ＝63 B ．a ＝－6，d ＝53 C ．a ＝6，d ＝53D ．a ＝－6，d ＝63答案 B解析 由题知2×3＝－a ，解得a ＝－6， 又－6x ＋3y －4＝0可化为2x －y ＋43＝0，∴d ＝⎪⎪⎪⎪3－435＝53. (2)已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________． 答案 4x －y －2＝0或x ＝1解析 若所求直线的斜率存在，则可设其方程为 y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0， 由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k 2，即|k －1|＝|7－k |，解得k ＝4. 此时直线方程为4x －y －2＝0.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x ＝1，满足题设条件． 故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1. 教师备选1．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．答案 4x ＋3y －6＝0解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.2．直线l 1经过点(3,0)，直线l 2经过点(0,4)，且l 1∥l 2，d 表示l 1和l 2之间的距离，则d 的取值范围是________． 答案 (0,5]解析 当直线l 1，l 2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时， d max ＝32＋42＝5；当直线l 1和l 2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合． 所以0<d ≤5.思维升华 利用距离公式应注意的点(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |. (2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x ，y 的系数化为相等．跟踪训练2 (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1,0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离最大， 即为|AP |＝ 2. 题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________. 答案345解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的垂直平分线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.命题点3 线关于线对称例5 直线2x －4y －1＝0关于x ＋y ＝0对称的直线方程为( ) A ．4x －2y －1＝0 B ．4x －2y ＋1＝0 C ．4x ＋2y ＋1＝0 D ．4x ＋2y －1＝0答案 A解析 设直线2x －4y －1＝0上一点P (x 0，y 0)关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为P ′(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0＝1，x ＋x 02＋y ＋y 02＝0，整理可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－y ，y 0＝－x ，∴－2y ＋4x －1＝0，即直线2x －4y －1＝0关于x ＋y ＝0对称的直线方程为4x －2y －1＝0. 教师备选1.在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图所示)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 的长度为( )A ．2B ．1 C.83 D.43答案 D解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B (4,0)，C (0,4)，A (0,0)，则直线BC 的方程为x ＋y －4＝0.设P (t ,0)(0<t <4)，可得点P 关于直线BC 的对称点P 1的坐标为(4,4－t )，点P 关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－t ,0)，根据反射定律可知直线P 1P 2就是光线RQ 所在的直线，由P 1，P 2两点的坐标可得直线P 1P 2的方程为y ＝4－t 4＋t ·(x ＋t )．设△ABC 的重心为G ，易知G ⎝⎛⎭⎫43，43.因为重心G ⎝⎛⎭⎫43，43在光线RQ 上，所以43＝4－t 4＋t ·⎝⎛⎭⎫43＋t ，得t ＝43(t ＝0舍去)，即|AP |＝43.2．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________． 答案 2x －y ＋3＝0解析 易得A 不在l 1和l 2上，因此l 1，l 2为∠B ，∠C 的平分线，所以点A 关于l 1，l 2的对称点在BC 边所在的直线上，设点A 关于l 1的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于l 2的对称点为A 2(x 2，y 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋x 12－y 1－12－1＝0，y 1＋1x 1－4·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)，又易得点A 关于l 2的对称点A 2的坐标为(－2，－1)， 所以BC 边所在直线的方程为y －3－1－3＝x －0－2－0，即2x －y ＋3＝0.思维升华 对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．跟踪训练3 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)方法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，Q (4,3)，则P ，Q 关于点A (－1，－2)的对称点P ′，Q ′均在直线l ′上， 易得P ′(－3，－5)，Q ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 方法二 ∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式， 得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.课时精练1．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0答案 A解析 由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0.2．过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0 D ．3x ＋19y ＝0答案 D解析 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，可得直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－197，37，又所求直线过原点，所以所求的直线方程为y ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.方法二 根据题意可设所求的直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－45，所以所求直线的方程为x －3y ＋4－45(2x ＋y ＋5)＝0，即3x ＋19y＝0.3．(2022·漳州质检)已知a 2－3a ＋2＝0，则直线l 1：ax ＋(3－a )y －a ＝0和直线l 2：(6－2a )x ＋(3a －5)y －4＋a ＝0的位置关系为( ) A ．垂直或平行 B ．垂直或相交 C ．平行或相交 D ．垂直或重合答案 D解析 因为a 2－3a ＋2＝0，所以a ＝1或a ＝2. 当a ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：4x －2y －3＝0， k 1＝－12，k 2＝2，所以k 1·k 2＝－1 ，则两直线垂直；当a ＝2时，l 1：2x ＋y －2＝0，l 2：2x ＋y －2＝0，则两直线重合． 4．点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为( ) A ．(6,3) B ．(3，－6) C ．(－6，－3) D ．(－6,3) 答案 C解析 设点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0的对称点为Q (a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·－1＝－1，a ＋22＋b ＋52＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－3，即P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．5．已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．6D ．1或2 答案 C解析 ∵直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0的斜率都存在，且l 1∥l 2， ∴k 1＝k 2，即－a2＝3－a ，解得a ＝6.6．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)，若直线l 上存在点P 使得|P A |＋|PB |最小，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－3) B ．(－2,3) C ．(2,3) D ．(－2,2)答案 B解析 根据题意画出大致图象，如图．设点A 关于直线x －2y ＋8＝0的对称点为A 1(m ，n )． 则有⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2·12＝－1，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8.故A 1(－2,8)．此时直线A 1B 的方程为x ＝－2.所以当点P 是直线A 1B 与直线x －2y ＋8＝0的交点时，|P A |＋|PB |最小，将x ＝－2代入x －2y ＋8＝0，得y ＝3，故点P 的坐标为(－2,3)．7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2答案 A 解析 ∵l 1∥l 2，∴AB 的中点M 的轨迹是平行于l 1，l 2的直线，且到l 1，l 2的距离相等，易求得M 所在直线的方程为x ＋y －6＝0.∴中点M 到原点的最小距离为原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即62＝3 2. 8．(2022·苏州模拟)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论不正确的是( )A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0,1)和B (－1,0)C ．不论a 为何值，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，O 为坐标原点，则|MO |的最大值是 2 答案 C解析 对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确； 对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立， 所以l 1恒过定点A (0,1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1,0)，故B 正确； 对于C ，在l 1上任取点()x ，ax ＋1，其关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为()－ax －1，－x ， 代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不恒等于0，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1， 所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2， 所以|MO |的最大值是2，故D 正确．9．(2022·邯郸模拟)直线l 1：x ＋ay －2＝0(a ∈R )与直线l 2：y ＝34x －1平行，则a ＝________，l 1与l 2的距离为________． 答案 －43 25解析 由题可知直线l 1的斜率为－1a (a ≠0)，直线l 2的斜率为34，所以－1a ＝34，解得a ＝－43，则直线l 1：x －43y －2＝0，即3x －4y －6＝0，直线l 2：y ＝34x －1，即3x －4y －4＝0，所以它们之间的距离为d ＝|－6＋4|32＋－42＝25. 10．直线3x －4y ＋5＝0关于直线x ＝1对称的直线的方程为________． 答案 3x ＋4y －11＝0解析 直线3x －4y ＋5＝0与x ＝1的交点坐标为(1,2)，又直线3x －4y ＋5＝0的斜率为34，所以关于直线x ＝1对称的直线的斜率为－34，故所求直线的方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0.11．已知直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0，则原点O 到l 1的距离的最大值是________． 答案 5解析 直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0等价于a (x ＋3)＋y －4＝0， 则直线过定点A (－3,4)，当原点到l 1的距离最大时，满足OA ⊥l 1，此时原点到l 1的距离的最大值为 |OA |＝－32＋42＝5.12．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1与l 2之间的距离最大时，直线l 1的方程是____________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2之间的距离最大． 因为A (1,1)，B (0，－1)， 所以k AB ＝－1－10－1＝2， 所以两平行直线的斜率k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.13．(2022·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线y ＝x ＋1x (x >0)上，则点P 到直线3x －4y －2＝0的距离的最小值为( ) A.45 B ．1 C.65 D.75 答案 C解析 设点P (x 0，y 0)， y ＝f (x )＝x ＋1x(x >0)，则f ′(x 0)＝1－1x 20，点P 与直线3x －4y －2＝0的最小距离，即为f (x )在点P 处的切线的斜率等于直线3x －4y －2＝0的斜率时的情况，即满足1－1x 20＝34，解得x 0＝2，所以y 0＝2＋12＝52，所以点P ⎝⎛⎭⎫2，52， 所以点P 到直线3x －4y －2＝0的距离的最小值为d ＝⎪⎪⎪⎪2×3－4×52－242＋32＝65.14．若两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25，则直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为( ) A ．x －2y －13＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －6＝0答案 A解析 因为直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0平行， 所以n ＝－2×2＝－4，又两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25， 所以|2m ＋6|4＋16＝25，解得m ＝7，即直线l 1：x －2y ＋7＝0，l 2：x －2y －3＝0，设直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为x －2y ＋c ＝0， 则|－3－7|5＝|－3－c |5，解得c ＝－13， 故所求直线方程为x －2y －13＝0.15．定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋c a 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题正确的是( ) A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行 B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直 C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直 D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交答案 A解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，直线P 1P 2不一定与l 垂直，错误； 对于C ，若d 1＝d 2＝0，满足d 1＋d 2＝0， 即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误； 对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l 的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．16．(2022·武汉调研)台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，AB ＝2AD ，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为( )A.16或12B.12或1C.16或32 D ．1或32答案 C解析 如图1，作A 关于DC 的对称点为E ，D 关于AB 的对称点为G ，C 关于AB 的对称点为F ，连接GF ，EF ， 由题可得tan α＝EG GF ＝3AD 2AD ＝32.图1 图2 如图2，作A 关于BC 的对称点为G ，B 关于AD 的对称点为F ，C 关于AD 的对称点为E ， 连接EF ，EG ，由题可得tan α＝EF GF ＝AD6AD ＝16.综上，tan α的值为16或32.。

2022高考数学（理）高考调研一轮复习：第九章 单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．假如方程x 2＋ky 2＝3表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范畴是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)答案 D解析 方程化为x 23＋y 23k＝1，由3k >3得0<k <1，故选D.2．过点(3，－2)的直线l 通过圆x 2＋y 2－2y ＝0的圆心，则直线l 的倾斜角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案 C解析 圆心坐标为(0,1)，斜率k ＝tan α＝－2－13－0＝－3， ∴倾斜角α＝120°. 3．抛物线y ＝－ax 2(a ＜0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a4) B ．(0，14a ) C ．(0，－14a )D ．(0，－a4)答案 C解析 因为a ＜0，因此方程可化为x 2＝1－a y ，因此焦点坐标为(0，－14a )．故选C.4．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( ) A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5答案 B解析 F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2. ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40， ∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝40， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.5．过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(－1,0) 答案 A解析 专门值法，取准线上一点(0，－1)．设M (x 1，14x 21)，N (x 2，14x 22)，则过M 、N 的切线方程分别为y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．将(0，－1)代入得x 21＝x 22＝4，∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．6．(2011·天津文)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5答案 B解析由⎩⎨⎧y ＝b a xx ＝－p 2，解得⎩⎨⎧y ＝－bp 2ax ＝－p2，由题得知⎩⎨⎧ －bp2a ＝－1－p2＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12p ＝4，又知p2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，∴焦距2c ＝2 5.故选B.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于( )A.13B.33C.12D.22答案 B解析 ∵c 2＝am,2n 2＝c 2＋m 2，又n 2＝c 2－m 2， ∴m 2＝13c 2，即m ＝33c .∴c 2＝33ac ，则e ＝c a ＝33.8．如下图，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p )2＝p 2于点A 、B 、C 、D ，则AB →·CD →的值是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 D解析 |AB →|＝|AF |－p ＝y A ，|CD →|＝|DF |－p ＝y B ，|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.因为AB →，CD →的方向相同，因此AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.9．(2011·浙江文)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 3＝132 B ．a 3＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2答案 C 解析关于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2，∴sin∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为(a35，2a 35)，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.10. 已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )到点A (－3,0)的距离的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 B解析 因为M (－3,0)，N (3,0)，因此MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0得 6(x ＋3)2＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x ，因此点A是抛物线y 2＝－12x 的焦点，因此点P 到A 的距离的最小值确实是原点到A (－3,0)的距离，因此d ＝3.11．(2011·福建文)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2 D.23或32答案 A解析 设圆锥曲线的离心率为e ，因|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32；综上，所求的离心率为12或32，故选A.12．已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1,1)和两动点P 、Q ，当P A ⊥PQ 时，点Q 的横坐标取值范畴是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 D解析 设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，∴k AP ＝x 21－1x 1＋1＝x 1－1，k PQ ＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 2＋x 1，由题意得k P A ·k PQ ＝(x 1－1)(x 2＋x 1)＝－1， ∴x 2＝11－x 1－x 1＝1(1－x 1)＋(1－x 1)－1.利用函数性质知x 2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕点P 逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．答案 2x －y ＋8＝0 解析 ∵l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， ∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点．∴l 1的方程为2x －y ＋8＝0.14．过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程是________．答案 (x ＋135)2＋(y －65)2＝45解析 因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，因此解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，得交点A (－115，25)，B (－3,2)．因为AB 为直径，其中点为圆心，即为(－135，65)， r ＝12|AB |＝255，因此圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45.15．(2011·大纲全国理)已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________.答案 6解析 依题意得知，点F 1(－6,0)，F 2(6,0)，|F 1M |＝8， |F 2M |＝4.由三角形的内角平分线定理得|F 1M ||F 2M |＝|F 1A ||F 2A |＝2，|F 1A |＝2|F 2A |；又点A 在双曲线上，因此有|F 1A |－|F 2A |＝2×3＝6，2|F 2A |－|F 2A |＝|F 2A |＝6.16．已知a >b >0，e 1、e 2分别是圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率，设m ＝ln e 1＋ln e 2，则m 的取值范畴是________．答案 m ∈(－∞，0)解析 e 21＝a 2－b 2a 2，e 22＝a 2＋b 2a 2， ∴e 21·e 22＝a 4－b 4a 4＝1－b 4a 4， ∵a >b >0，∴0<b 4a 4<1，∴e 21·e 22∈(0,1)，即e 1·e 2∈(0,1)， ∴m ＝ln(e 1·e 2)∈(－∞，0)． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2011·北京文)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解析 (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63. 解得a ＝2 3. 又b 2＝a 2－c 2＝4，因此椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△P AB 的底边， 因此PE ⊥AB .因此PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.现在方程①为4x 2＋12x ＝0. 解得x 1＝－3，x 2＝0. 因此y 1＝－1，y 2＝2. 因此|AB |＝3 2.现在，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，因此△P AB 的面积 S ＝12|AB |·d ＝92.18．(本小题满分12分)(2011·安徽文)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．解析 (1)反证法．假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2.代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，此与k 1为实数的事实相矛盾．从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)方法一由方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k1k 2－k 1.而2x 2＋y 2＝2(2k 2－k 1)2＋(k 2＋k 1k 2－k 1)2＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.此即说明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．方法二 l 1与l 2的交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ≠0，从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x ＋2＝0， 整理后，得2x 2＋y 2＝1，因此交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．19．(本小题满分12分)(2011·天津理)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解析 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为 |PF 2|＝|F 1F 2|，因此(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2(c a )2＋c a －1＝0.得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12. 因此e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为 3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .设A (85c ，335c )，B (0，－3c )，因此|AB |＝(85c )2＋(335c ＋3c )2＝165c . 因此|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2. 因为d 2＋(|MN |2)2＝42，因此34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.因此椭圆方程为x 216＋y 212＝1.20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 满足P A ，PO ，PB 成等比数列，求P A →·PB →的取值范畴．解析 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线 x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，得 (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.因此P A →·PB →的取值范畴为[－2,0)． 21．(本小题满分12分)(2011·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解析 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，因此：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 因此p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.22．(本小题满分12分)如上图，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解析 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6.∵点P 位于x 轴上方，∴x ＝－6舍去， 只能取x ＝32，由于y >0，因此y ＝523， ∴点P 的坐标是(32，523)． (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)(－6≤m ≤6)， 则M 到直线AP 的距离是m ＋62， 因此m ＋62＝6－m ，解得m ＝2， 椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15， 由于－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取得最小值15.1．已知ab ≠0，点M (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程是ax ＋by ＝r 2，则下面正确的是( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离答案 C解析 k OM ＝b a ，则弦所在的直线斜率为－a b ，而k 1＝－ab ，故m ∥l .点M (a ，b )是圆内一点，则a 2＋b 2<r 2，d ＝r 2a 2＋b 2>r ，故l 与圆相离．2．两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．0或－12B ．0或12 C.12或－12 D.12或－6答案 D解析 由|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，解之得m ＝12或－6，故选D.3．k 为任意实数，直线(k ＋1)x －ky －1＝0被圆(x －1)2＋(y －1)2＝4截得的弦长为( )A ．8B ．4C ．2D ．与k 有关的值解析 直线(k ＋1)x －ky －1＝0化为k (x －y )＋x －1＝0，可知恒过定点(1,1)即圆心，从而弦长为4，故答案选B.4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1答案 B解析 依题意设圆心C (a,1)(a >0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选B.5．以椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为F (1,0)，所求圆的半径为b 2＋c 2＝a ＝2，因此所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.6．椭圆x 24＋y 23＝1离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析 依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，因此所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.7．已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，则P A →·PB →的取值范畴为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0C ．(－12，0) D ．[－1,0)答案 C解析 设P (x ，y )，∴|PO |2＝|P A ||PB |， 即x 2＋y 2＝(x －1)2＋y 2·(x ＋1)2＋y 2，整理得：2x 2－2y 2＝1，∴P A →·PB →＝(1－x ，－y )·(－1－x ，－y )＝x 2＋y 2－1 ＝2x 2－32.∴P 为圆内动点且满足x 2－y 2＝12， ∴22<|x |<32，∴1<2x 2<32，∴－12<2x 2－32<0，选C.8．过点P (x ，y )的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0) B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0) C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 答案 D解析 设P (x ，y )，则Q (－x ，y )，由BP →＝2P A →， ∴A (32x,0)，B (0,3y )．∴AB →＝(－32x,3y )． 从而由OQ →·AB →＝(－x ，y )(－32x,3y )＝1. 得32x 2＋3y 2＝1其中x >0，y >0，故选D.9．设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22围成的三角形区域(包含边界)为E ，P (x ，y )为该区域的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________．答案 －2210．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．答案2－1解析 令AB ＝2，则AC ＝22， ∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋22⇒a ＝1＋2， 可得e ＝c a ＝12＋1＝2－1.11．若焦点在x 轴上的椭圆x 245＋y 2b 2＝1上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b 的取值范畴是________．答案 －3102≤b ≤3102且b ≠0解析 设椭圆的两焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)以F 1F 2为直径的圆与椭圆有公共点时，在椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂直，现在条件满足c ≥b ，从而得c 2≥b 2⇒a 2－b 2≥b 2⇒b 2≤12a 2＝452，解得－3102≤b ≤3102且b ≠0.12．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．答案 5解析 设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2，由垂径定理得AC ＝24－d 21，BD ＝24－d 22.又AC ⊥BD ，∴d 21＋d 22＝OM 2＝3，∴(S四边形ABCD )2＝(12AC ·BD )2＝4(4－d 21)(4－d 22)≤4(4－d 21＋4－d 222)2＝4×(52)2＝25(当且仅当d 1＝d 2时等号成立)，∴S 四边形ABCD ≤5，即四边形ABCD 的面积的最大值为5.13．假如以抛物线y 2＝4x 过焦点的弦为直径的圆截y 轴所得的弦长为4，那么该圆的方程是________．答案 (x －32)2＋(y ＋1)2＝254或(x －32)2＋(y －1)2＝254解析 如下图，抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设过点F 的直线方程为y ＝k (x －1)，与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 由题意知，Δ>0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1·x 2＝1. 令AB 的中点，即以AB 为直径的圆的圆心为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2，y 0＝y 1＋y 22＝2k ， |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2(2k 2＋4k 2)2－4.由题意知x 20＋4＝(|AB |2)2，即(k 2＋2k 2)2＋4＝(1－k 2)[(2k 2＋4k 2)2－4]4. 解得k 2＝4，即k ＝±2， 因此P (32，±1)，|AB |＝5， 因此圆P 的方程为(x －32)2＋(y ＋1)2＝254或(x －32)2＋(y －1)2＝254. 14．如图，A 、B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)．C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求OA →·OQ →＋S 的最大值； (2)若CB ∥OP ，求sin(2θ－π6)的值．解析 (1)由已知得A 、B 、P 的坐标分别为(1,0)(0,1)，(cos θ，sin θ)． ∵OQ →＝OA →＋OP →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)，∴OA →·OQ →＝1＋cos θ.又平行四边形OAQP 的面积S ＝|OA →||OP →|sin θ＝sin θ， ∴OA →·OQ →＋S ＝1＋sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)＋1. ∵0<θ<π，∴当θ＝π4时，OA →·OQ →＋S 取最大值为2＋1. (2)由题意CB →＝(2,1)，OP →＝(cos θ，sin θ)，∴tan θ＝12. 又θ∈(0，π)，∴θ∈(0，π2)．由⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ＝12sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ＝55，cos θ＝255.∴sin2θ＝2sin θ·cos θ＝2·55·255＝45. cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝45－15＝35.∴sin(2θ－π6)＝sin2θ·cos π6－cos2θ·sin π6 ＝45·32－35·12＝43－310. 15.如上图所示，等腰三角形ABC 的底边BC 的两端点是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，且AB 的中点D 在椭圆E 上．(1)若∠ABC ＝60°，|AB |＝4，试求椭圆E 的方程； (2)设椭圆离心率为e ，求cos ∠ABC .解析 (1)因为∠ABC ＝60°，且△ABC 为等腰三角形，因此△ABC是正三角形．又因为点B，C是椭圆的两焦点，设椭圆焦距为2c，则2c＝|BC|＝|AB|＝4，如右图所示，连接CD，由AB中点D在椭圆上，得2a＝|BD|＋|CD|＝12|AB|＋32|AB|＝2＋23，因此a＝1＋3，从而a2＝4＋23，b2＝a2－c2＝23，故所求椭圆E的方程为x24＋23＋y223＝1.(2)设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，且|AD|＝|DB|＝m，连接CD，则|BO|＝|OC|＝c，|DC|＝2a－m，在Rt△AOB中，cos∠ABC＝c2m. ①在△BCD 中，由余弦定理，得 cos ∠ABC ＝(2c )2＋m 2－(2a －m )22×(2c )×m. ②由①②式得2m ＝2a 2－c 2a ，代入①式得 cos ∠ABC ＝ac 2a 2－c 2＝e2－e 2.16．设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→·F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|.(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点P (－1,0)，交y 轴于点M ，若MQ →＝2QP →，求直线l 的方程．解析 (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)由于AF 2→·F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，因此点A 的坐标为(a 2－2，±2a )，故AF 1→所在直线方程为y ＝±(xaa 2－2＋1a )． 因此坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)，又|OF 1|＝a 2－2，因此a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)，所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 斜率为k ， 直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k ) 设Q (x 1，y 1)，∵MQ →＝2QP →， ∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)，∴⎩⎨⎧x 1＝－23y 1＝k 3，又Q 在椭圆C 上，得(－23)24＋(k 3)22＝1， 解得k ＝±4. 故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)， 即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.17．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆的焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM ，k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．解析 (1)由b ＝21＋1，得b ＝ 2.又∵2a ＝4，a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2， ∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称，不妨设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，∵M ，N ，P 在椭圆上，∴它们满足椭圆方程，即有x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，两式相减得y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2. 由题意它们的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0，k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2， 则－b 2a 2＝－14，由a ＝2，得b ＝1.故椭圆方程为x 24＋y 2＝1. 18．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，过F 1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．(1)假如点A 在圆x 2＋y 2＝c 2(c 为椭圆的半焦距)上，且|F 1A |＝c ，求椭圆的离心率；(2)若函数y ＝2＋log m x (m >0且m ≠1)的图像，不管m 为何值时恒过定点(b ，a )，求F 2B →·F 2A →的取值范畴． 解析 (1)∵点A 在圆x 2＋y 2＝c 2上， ∴△AF 1F 2为一直角三角形， ∵|F 1A |＝c ，|F 1F 2|＝2c ， ∴|F 2A |＝|F 1F 2|2－|AF 1|2＝3c .由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴c ＋3c ＝2a .∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)∵函数y ＝2＋log m x 的图像恒过点(1，2)，由已知条件知还恒过点(b ，a )，∴a ＝2，b ＝1，c ＝1.点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，①若AB ⊥x 轴，则A (－1，22)，B (－1，－22)， ∴F 2A →＝(－2，22)，F 2B →＝(－2，－22)， F 2A →·F 2B →＝4－12＝72.②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2－2＝0，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. (*)∵Δ＝8k 2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根．x 1＋x 2＝－4k21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2，F 2A →＝(x 1－1，y 1)，F 2B →＝(x 2－1，y 2)，F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝(1＋k 2)2(k 2－1)1＋2k 2＋(k 2－1)(－4k 21＋2k 2)＋1＋k 2 ＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2). ∵1＋2k 2≥1，∴0<11＋2k 2≤1,0<92(1＋2k 2)≤92， －1≤F 2A →·F 2B →＝72－92(1＋2k 2)<72， 综上，由①②，知－1≤F 2A →·F 2B →≤72. 19．(2011·安徽理)设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，通过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．解析 由QM →＝λMP →知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →，即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得⎩⎨⎧x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)y 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎨⎧x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ.③又点B在抛物线y＝x2上，因此y1＝x21，再将③式代入y1＝x21，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.20.(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x2 4＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线P A的斜率为k.(1)当直线P A平分线段MN时，求k的值；(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意的k >0，求证：P A ⊥PB .解析 (1)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，因此线段MN 中点的坐标为(－1，－22)．由于直线P A 平分线段MN ，故直线P A 过线段MN 的中点，又直线P A 过坐标原点，因此k ＝－22－1＝22.(2)直线P A 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23，因此P (23，43)，A (－23，－43)．因此C (23，0)，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝|23－43－23|12＋12＝223.(3)解法一 将直线P A 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2.记μ＝21＋2k 2，则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )．因此C (μ，0)．故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k2，其方程为y ＝k2(x －μ)，代入椭圆方程并由μ＝21＋2k2得(2＋k2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ(3k 2＋2)2＋k 2或x ＝－μ.因此B (μ(3k 2＋2)2＋k 2，μk 32＋k 2)． 因此直线PB 的斜率k 1＝μk 32＋k 2－μk μ(3k 2＋2)2＋k 2－μ＝k 3－k (2＋k 2)3k 2＋2－(2＋k 2)＝－1k .因此k 1k ＝－1，因此P A ⊥PB .解法二 设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)．设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 为直线AB 上，因此k 2＝0－(－y 1)x 1－(－x 1)＝y 12x 1＝k2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－(－y 1)x 2－(－x 1)＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝(x 22＋2y 22)－(x 21＋2y 21)x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，因此P A ⊥PB . 21.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)通过点(0,1)，离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线x ＝my ＋1与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′.试问：当m 变化时，直线A ′B 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．解析 (1)∵过点(0,1)，∴b ＝1.∵c a ＝32，即a 2－b 2a 2＝34. ∴a ＝2，c ＝ 3.∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1，得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0. 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4. 专门地，令y 1＝－1，则x 1＝0，m ＝1，y 2＝35.现在A ′(0,1)，B (85，35)，直线A ′B ：x ＋4y －4＝0与x 轴的交点为S (4,0)．若直线A ′B 与x 轴交于一个定点，则定点只能为S (4,0)． 以下证明关于任意的m ，直线A ′B 与x 轴交于定点S (4,0)． 事实上，通过点A ′(x 1，－y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1.令y ＝0，得x ＝x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1.只需证明x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1＝4， 即证m (y 2－y 1)y 1y 2＋y 1＋my 1－3＝0， 即证2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0.因为2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝－6m m 2＋4－－6mm 2＋4＝0， 因此2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0成立．这说明，当m 变化时，直线A ′B 与x 轴交于定点S (4,0)． 22．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线 x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4. (1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△P AB 面积的最大值．解析 (1)双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为 e ＝c a ＝22，圆x 2＋y 2＝4的直径为4，则2a ＝4， 得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4c a ＝22b 2＝a 2－c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝2b ＝2，所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)直线AB 的直线方程：y ＝2x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <22，∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44.∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3·12m 2－m 2＋4＝ 3 4－m 22，又P 到AB 的距离为d ＝|m |3. 则S △ABC ＝12|AB |d ＝1234－m 22|m |3 ＝12m 2(4－m 22)＝122m 2(8－m 2)≤122·m 2＋(8－m 2)2＝2， 当且仅当m ＝±2∈(－22，22)取等号． ∴(S △ABC )max ＝ 2.。

第九章解析几何9。

1直线的倾斜角、斜率与直线的方程必备知识预案自诊知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准,x轴与直线l的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.（2）直线的倾斜角α的取值范围为。

2.直线的斜率（1）定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率。

(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1），P2(x2,y2)（x1≠x2）的直线的斜率公.式为k=y2-y1x2-x13。

直线方程的五种形式考点自诊1。

判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.（1）直线的倾斜角越大，其斜率越大.（）(2）过点M(a，b），N（b,a）(a≠b)的直线的倾斜角是45°.（）（3）若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α。

（）(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y—y1）（x2—x1）=（x—x1）(y2-y1)表示。

(）（5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.() 2。

直线2x·sin 210°—y-2=0的倾斜角是()A 。

45° B.135° C 。

30 D.150°3.如图所示，在同一直角坐标系中能正确表示直线y=ax 与y=x+a 的是( )4。

(2020山东德州高三诊测)过直线l ：y=x 上的点P (2，2）作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为 。

5.(2020云南丽江高三月考）经过点(4，1），且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为 .关键能力学案突破考点 直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线x-√3y+1=0的斜率为（ )A 。

√3B 。

§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的X 围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系.(最重要)d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( √ ) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ ) 题组二 教材改编2.若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值X 围是( ) A.[－3，－1] B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－12≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.外离 答案 B解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交.4.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题组三 易错自纠5.若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值X 围是( ) A.[－2，2]B.[－22，22]C.[－2－1，2－1]D.[－22－1，22－1] 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.6.过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________. 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2， ∵|OA |＝3－12＋5－22＝13>2，∴点A (3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1，2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1， ∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定 答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交.命题点2 弦长问题例2 若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12B.1C.22D. 2 答案 D解析 因为圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，由勾股定理得，弦长的一半就等于12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 命题点3 切线问题例3 (2020·某某部分重点中学联考)点P 为射线x ＝2(y ≥0)上一点，过P 作圆x 2＋y 2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P 的坐标为( ) A.(2，1) B.(2，2) C.(2，2) D.(2，0) 答案 C 解析 如图所示.设切点为A ，B ，则OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OA ＝OB ，AP ＝BP ，AP ⊥BP ， 故四边形OAPB 为正方形， 则|OP |＝6，又x P ＝2，则P (2，2).命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题例4 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，则最短弦所在的直线方程为________. 答案 x －y －2＝0解析 设P (3，1)，圆心C (2，2)， 则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短弦过P (3，1)且与PC 垂直，k PC ＝－1，所以所求直线方程为y －1＝x －3，即x －y －2＝0. 思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题. 跟踪训练1 (1)(2020·某某江淮十校联考)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交，则r 的取值X 围是 ( )A.0<r ≤1B.0<r <1C.r ≥1D.r >1 答案 D解析 圆心到直线的距离d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r >1. (2)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A.－2B.－4C.－6D.－8 答案 B解析 由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝2，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.(3)(2019·某某)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r ，若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________. 答案 －25解析 根据题意画出图形，可知A (－2，－1)，C (0，m )，B (0，3)，∵k AB ＝2，∴k AC ＝－12，∴直线AC 的方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，令x ＝0，得y ＝－2， ∴圆心C (0，－2)，∴m ＝－2. ∴r ＝|AC |＝4＋－2＋12＝ 5.(4)从直线l ：x ＋y ＝1上一点P 向圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________. 答案462解析 方法一 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1. 设直线l 上任意一点P (x ，y )， 则由x ＋y ＝1，得y ＝1－x . 则|PC |＝x ＋22＋y ＋22＝x ＋22＋1－x ＋22＝2x 2－2x ＋13.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ .故|PQ |2＝|PC |2－r 2＝(2x 2－2x ＋13)－1＝2x 2－2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋232，所以当x ＝12时，|PQ |2取得最小值，最小值为232，此时切线长为|PQ |＝232＝462. 方法二 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ . 故|PQ |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1. 故当|PC |取得最小值时，切线长最小.显然，|PC |的最小值为圆心C 到直线l 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝522， 所以切线长的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫5222－1＝462. 圆与圆的位置关系例5 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1，3)，N (5，6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值.故有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. 因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪43×1＋3－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝11.解得b ＝133±5311.容易验证，当b ＝133＋5311时，直线与圆x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相交，舍去.故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×112－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27. 思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到. (3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解.跟踪训练2 (1)(2020·某某模拟)圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16的位置关系是( ) A.外离B.相交 C.内切D.外切 答案 B解析 易得圆C 1的圆心为C 1(－2，2)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心为C 2(2，5)，半径r 2＝4，圆心距|C 1C 2|＝[2－－2]2＋5－22＝5<2＋4＝r 1＋r 2且5>r 2－r 1，所以两圆相交.(2)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a .∵公共弦长为23，∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.1.已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≠0，则直线l ：ax ＋by ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定 答案 B解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，圆心到直线ax ＋by ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2×a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2×b a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切.2.直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定 答案 A解析 方法一 由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.方法二 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1，1)， 因为点(1，1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， 所以直线l 与圆相交.3.若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值X 围是( ) A.(－∞，1) B.(121，＋∞) C.[1，121] D.(1，121) 答案 C解析 x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36. 圆心距为d ＝0＋32＋0－42＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ， 所以1≤m ≤121.故选C.4.(2019·某某八市重点高中联考)已知圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0截直线x ＋y －4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值X 围为( ) A.(2－17，2＋17) B.(2－17，2) C.(－15，＋∞) D.(－15，2) 答案 D解析 圆心(1，－1)，半径r ＝2－a ，2－a >0，∴a <2， 圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.则弦长为22－a2－222＝2－a －6<6.解得a >－15，故－15<a <2.5.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，且l 与圆相交 B.m ⊥l ，且l 与圆相切 C.m ∥l ，且l 与圆相离 D.m ⊥l ，且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2. ∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0，0)，故由题意得OP ⊥m ， 又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离.故选C.6.(2020·某某华附、省实、广雅、深中四校联考)过点A (a ，0)(a >0)，且倾斜角为30°的直线与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点B ，且|AB |＝3，则△OAB 的面积是( ) A.12B.32C.1D.2答案 B解析 由切线的性质可得△ABO 是以点B 为直角顶点的直角三角形，在Rt△ABO 中，∠OAB ＝30°，AB ＝3，则OB ＝1，OA ＝2，△OAB 的面积是12×1×3＝32.7.已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.6或－6B.5或－5C.6D. 5 答案 B解析 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝± 5.8.(2020·西南地区名师联盟调研)以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝9 解析 圆心到直线的距离为|3×2－4×－1＋5|5＝3，则所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.9.(2020·某某“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为________.答案 (x －3)2＋(y －3)2＝34解析 方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y 2＝4，解得交点坐标为A (－2，0)，B (0，－2).弦AB 的垂直平分线方程为y ＋1＝x ＋1即x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.弦AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为(3，3)， 半径r ＝[3－－2]2＋32＝34， 故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝34.方法二 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－4)＋a (x ＋y ＋2)＝0， 即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a2，∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴－a ＋a2－3＝0，∴a ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0， 即(x －3)2＋(y －3)2＝34.10.若过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝______. 答案 32解析 由题意，得圆心为O (0，0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3. ∵△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3， 则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos60°＝32.11.(2019·某某青山区模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.解 (1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－34. (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即2＋d 2＝4，解得d ＝2，则有d ＝|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－1或－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.12.已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求该圆的方程.解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝a －b22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F ).② 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.13.(2019·某某师大附中月考)已知圆x 2＋(y －1)2＝2上任一点P (x ，y )，其坐标均使得不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A.[1，＋∞) B .(－∞，1] C.[－3，＋∞) D .(－∞，－3] 答案 A解析 如图，圆应在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，圆心C (0，1)到直线l 的距离为|1＋m |2，切线l 0应满足|1＋m |2＝2，∴|1＋m |＝2，m ＝1或m ＝－3(舍去)，从而－m ≤－1，∴m ≥1.14.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为_______. 答案7解析 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， |PQ |＝|PM |2－1＝222－1＝7.15.已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89B.⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49C.(1，2) D.(9，0) 答案 C解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为PA ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝9－2m2＋m24，①又x 2＋y 2＝9，②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0， 即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1，2)，故选C.16.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. (1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程. 解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋4－b 2＝r 2，1－a 2＋3－b2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值.过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ， 易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT |2＝7， ∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k1＋k2＋8＝12， 即4k1＋k1＋k2＝4，解得k ＝1， 又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。

第九章解析几何第六节双曲线A级·基础过关|固根基|1.若双曲线C1：x22－y28＝1与C2：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为45，则b＝( )A．2 B．4C．6 D．8解析：选B 由题意得，ba＝2⇒b＝2a，双曲线C2的焦距2c＝45⇒c＝a2＋b2＝25⇒b＝4，故选B.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( ) A.x24－y2＝1 B.x23－y22＝1C．x2－y24＝1 D.x22－y23＝1解析：选A 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|－|PF2|＝2a＝4b，c2＝a2＋b2，2c＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝1，则该双曲线方程为x24－y2＝1.3．(2019年全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：x24－y25＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( )A.32B.52C.72D.92解析：选B 因为c 2＝a 2＋b 2＝9，所以|OP |＝|OF |＝3.设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝9，把x 2＝9－y 2代入双曲线方程得|y |＝53，所以S △OPF ＝12|OF |·|y |＝52.故选B. 4．已知双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值X 围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选A 由双曲线的性质可得|AF |＝b 2a，即以AB 为直径的圆的半径为b 2a，而右顶点与左焦点的距离为a ＋c ，由题意可知b 2a>a ＋c ，整理得c 2－2a 2－ac >0，两边同除以a 2，则e 2－e －2>0，解得e >2或e <－1，又双曲线的离心率大于1，所以e >2.5．(2019届某某质检)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x解析：选D 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D.6．(2020届某某市高三摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )A.2B.53 C.52D. 5解析：选C 圆C 的标准方程为x 2＋(y －5)2＝4，则圆C 的圆心为C (0，5)，半径r ＝2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线的方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0.由题意得5a a 2＋b2＝5ac ＝2，所以该双曲线的离心率e ＝c a ＝52，故选C.7．已知双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.解析：由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b a＝2.又因为c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.答案：1 28．已知双曲线的焦距为6，其上一点P 到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝6，2a ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.又c 2＝a 2＋b 2，故b 2＝5.所以双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 21－x 2b 21＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，c 1＝3，所以b 21＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.综上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1或y 24－x 25＝1.答案：x 24－y 25＝1或y 24－x 25＝19．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)(一解多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. 解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：证法一：由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴k MF 1＝m3＋23，k MF 2＝m3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2＝3， 故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1→·MF 2→＝0.证法二：由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.10．设A ，B 分别为双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，不妨取一条渐近线为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝3.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3.则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0. 将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得，x 2－163x ＋84＝0，则x1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).B 级·素养提升|练能力|11.(一题多解)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为双曲线C 的右焦点，过F的直线与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32B ．3 C ．23D ．4解析：选B 解法一：由已知得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两渐近线的夹角为2α， 则有tan α＝13＝33，所以α＝30°，所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示． 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝3，则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选B. 解法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32，所以|OM |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.12．(2019届某某模拟)已知双曲线x 23－y 24＝1，过点M (m ，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△AOB 是锐角三角形(O 为坐标原点)，则实数m 的取值X 围是________．解析：由题意得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ，2m 23－1，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫m ，－2m 23－1，所以OA →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫m ，2m 23－1，OB →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫m ，－2m 23－1.因为△AOB 是锐角三角形，所以∠AOB 是锐角，即OA →与OB →的夹角为锐角，所以OA →·OB →>0，即m 2－4m 23＋4>0，解得－23<m <2 3.由过点M (m ，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点可知m <－3或m >3.故实数m 的取值X 围是(－23，－3)∪(3，23)．答案：(－23，－3)∪(3，23)13．(2019届某某模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，所以|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.又因为|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，所以|BA |＝|BF 1|，所以△BAF 1为等腰三角形．因为∠F 1AF 2＝45°，所以∠ABF 1＝90°，所以△BAF 1为等腰直角三角形，所以|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝22，所以S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.答案：414．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是椭圆C 1的左、右顶点，而双曲线C 2的左、右顶点分别是椭圆C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O为原点)，求k 的取值X 围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，1.。

课时达标检测〔四十一〕 双 曲 线[小题对点练——点点落实]对点练(一) 双曲线的定义和标准方程1．假设实数k 满足0＜k ＜9，那么曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．2．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，那么C 的方程为( ) A.x 23－y 212＝1B.x 212－y 23＝1C.y 23－x 212＝1 D.y 212－x 23＝1 解析：选A 由题意，设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，那么224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1.3．双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，假设双曲线上一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，那么F 2P ―→·F 2F 1―→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2解析：选B 由题意得，在△PF 1F 2中，由正弦定理得，sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，结合这两个条件得，|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由余弦定理可得cos ∠F 1F 2P ＝14，那么F 2P ―→·F 2F 1―→＝2，应选B. 4．(2022·河南新乡模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，假设BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，那么双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1解析：选D 不妨设B (0，b )，由BA ―→＝2AF ―→，F (c,0)，可得A ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，∴b 2a 2＝32，① 又|BF ―→|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＋2b 2＝16，② 由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，应选D.5．设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，那么|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A.192B ．11C ．12D ．16解析：选B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，所以|BF 2|＋|AF 2|＝8＋|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AB |，显然，当AB 垂直于x 轴时其长度最短，|AB |min ＝2·b 22＝3，故(|BF 2|＋|AF 2|)min＝11.6．(2022·河北武邑中学月考)实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程为____________________．解析：2a ＝2,2b ＝4.当焦点在x 轴时，双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1；当焦点在y 轴时，双曲线的标准方程为y 2－x 24＝1.答案：x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝17．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，假设|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线右支于点B ，那么△F 1AB 的面积等于________．解析：由题意可得|AF 2|＝2，|AF 1|＝4，那么|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|＝|BF 1|.又∠F 1AF 2＝45°，所以△ABF 1是以AF 1为斜边的等腰直角三角形，那么|AB |＝|BF 1|＝22，所以其面积为12×22×22＝4.答案：4对点练(二) 双曲线的几何性质1．(2022·广州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±2x ，那么双曲线C 的离心率为( )A.52B. 5C.62D. 6解析：选B 依题意知b a ＝2，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.应选B.2．(2022·安徽黄山模拟)假设圆(x －3)2＋y 2＝1上只有一点到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，那么该双曲线的离心率为( )A.355B.334C. 3D. 5解析：选A 不妨取渐近线为bx ＋ay ＝0，由题意得圆心到渐近线bx ＋ay ＝0的距离d ＝|3b |b 2＋a 2＝2，化简得b ＝23c ，∴b 2＝49c 2，∴c 2＝95a 2，∴e ＝c a ＝355，应选A.3．(2022·湖北四地七校联考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过点F 1及虚轴的一个端点，且点F 2到直线l 的距离等于实半轴的长，那么双曲线的离心率为( )A.1＋52B.3＋54C. 1＋52D.3＋52解析：选D 设虚轴的一个端点为B ，那么S △F 1BF 2＝12b ×2c ＝12a ×b 2＋c 2，即b ×2c＝a ×b 2＋c 2，∴4c 2(c 2－a 2)＝a 2(－a 2＋2c 2)，∴4e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋54，∴e ＝3＋52(舍负)．应选D. 4．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B, C 两点．假设A 1B ⊥A 2C ，那么该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2解析：选C 由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2ac ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得a ＝b .∵渐近线方程为y ＝±b ax ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1.5．(2022·江西五市局部学校联考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(1,0)，假设双曲线上存在点P ，使得P 到y 轴与到x 轴的距离的比值为22，那么实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，223B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，223解析：选D 法一：由双曲线的焦点为(1,0)，可知c ＝1.由双曲线上存在点P ，使得P到y 轴与到x 轴的距离的比值为22，可知b a >122，所以8b 2>a 2，即8(1－a 2)>a 2，所以0<a <223.法二：由双曲线的焦点为(1,0)，可知c ＝1.由双曲线上存在点P ，使得P 到y 轴与到x 轴的距离的比值为22，不妨设P 在第一象限，且P (x 0，y 0)，那么y 0＝122x 0，代入双曲线方程得x 20＝8a 2b 28b 2－a 2>a 2，可知8b 2>a 2，即8(1－a 2)>a 2，所以0<a <223. 6．(2022·山西重点中学联考)F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，假设在双曲线上存在点P 满足2|PF 1―→＋PF 2―→|≤|F 1F 2―→|，那么双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 设O 为坐标原点，由2|PF 1―→＋PF 2―→|≤|F 1F 2―→|，得4|PO ―→|≤2c (2c 为双曲线的焦距)，∴|PO ―→|≤12c ，又由双曲线的性质可得|PO ―→|≥a ，于是a ≤12c ，∴e ≥2.应选D.7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，假设F 1A ―→＝AB ―→，那么双曲线的渐近线方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，y ＝－ba x 得x ＝－aca ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，y ＝ba x ，解得x ＝acb －a，不妨设x A ＝－ac a ＋b ，x B ＝ac b －a， 由F 1A ―→＝AB ―→可得－ac a ＋b ＋c ＝ac b －a ＋ac a ＋b，整理得b ＝3a .所以双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0. 答案：3x ±y ＝08．(2022·安徽池州模拟)椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点F 到双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线的距离小于3，那么双曲线E 的离心率的取值范围是________．解析：椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点F 为(2,0)，不妨取双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为bx ＋ay ＝0，那么焦点F 到渐近线bx ＋ay ＝0的距离d ＝|2b |b 2＋a 2<3，即有2b <3c ，∴4b 2<3c 2， ∴4(c 2－a 2)<3c 2， ∴e <2， ∵e >1，∴1<e <2. 答案：(1,2)[大题综合练——迁移贯穿]1．双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积． 解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等． 那么可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点， 那么MF 1―→＝(－23－3，－m )， MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.2．(2022·湛江模拟)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)假设双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，所以a ＝b ， 所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2， 所以双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， 所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， 所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0， 所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0， 因为e >1，所以e ＝2， 所以双曲线的离心率为 2.3．椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)假设直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→＞2，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，那么a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k2＞0，∴k 2＜1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA ―→·OB ―→＞2，即x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

2022年高三数学课标一轮复习单元质检九解析几何含解析单元质检九解析几何(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线l1:m某+y-1=0与直线l2:(m-2)某+my-1=0,则“m=1”是“l1⊥l2”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.与圆某2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条1C.4条D.6条3.已知点P(某,y)为曲线y=某+上任一点,点A(0,4),则直线AP的斜率k的取值范围是()A.[-3,+∞)C.[-2,+∞)B.(3,+∞)D.(1,+∞)4.(2022浙江金丽衢模拟)过点P(4,2)作圆某2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB外接圆的方程是()A.(某-2)2+(y-1)2=5B.(某-4)2+(y-2)2=20C.(某+2)2+(y+1)2=5D.(某+4)2+(y+2)2=20在某轴正方向上投影5.(2022辽宁沈阳期末)已知直线3某-y+4=0与圆某2+y2=16交于A,B两点,则的绝对值为()A.43B.4C.23D.26.(2022江苏盐城模拟)已知两圆C1:(某-4)2+y2=169,C2:(某+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.6448=122C.4864=122B.48+64=122D.64+48=1227.(2022浙江绍兴一模)已知抛物线y2=2p某(p>0)的焦点为F,过点M(p,0)的直线交抛物线于A,B两点,||若=2,则||=()A.2B.52C.2D.与p有关2022届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题8.如图,已知椭圆C:2+2=1(a>0),点A,F分别为其右顶点和右焦点,过F作AF的垂线交椭圆C于P,Q两点,过P作AP的垂线交某轴于点D,若|DF|=A.2B.42+2-2222,则椭圆C的长轴长为()C.22D.42F2与双曲线的一条渐近线平行的直29.已知F1,F2分别是双曲线22=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过线交另一条渐近线于点M,若∠F1MF2为锐角,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2)210.设双曲线2B.(2,+∞)2C.(1,2)D.(2,+∞)2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F与某轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与=m+n(m,n∈R),且mn=2,则该双曲线的渐近双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若9线方程为()A.y=±4某C.y=±2某3B.y=±4某D.y=±3某2二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.(2022浙江联考)已知直线l1:2某-2y+1=0,直线l2:某+by-3=0,若l1⊥l2,则b=;若l1∥l2,则两直线间的距离为.12.(2022浙江镇海模拟)已知圆C:某2+y2-2某-4y+1=0上存在两点关于直线l:某+my+1=0对称,经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,则m=;|MP|=.13.(2022浙江温州期末)若△OAB的垂心H(1,0)恰好为抛物线y2=2p 某的焦点,O为坐标原点,点A,B在此抛物线上,则此抛物线的方程是,△OAB面积是.·=2时,直线l14.(2022浙江杭州模拟)已知抛物线y=某2和直线l:y=k某+m(m>0)交于两点A,B,当过定点;当m=时,以AB为直径的圆与直线y=相切.15.(2022浙江绍兴)已知圆O1和圆O2都经过点A(0,1),若两圆与直线4某-3y+5=0及y+1=0均相切,则|O1O2|=.16.双曲线2222=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为4F1,F2,P为双曲线上一点,且1·2=0,△F1PF2的内切圆半径r=2a,则双曲线的离心率e=.17.从抛物线y2=2某上的点A(某0,y0)(某0>2)向圆(某-1)2+y2=1引两条切线分别与y轴交于B,C两点,则△ABC的面积的最小值是.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)22022届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题18.(14分)(2022浙江名校联考)已知圆C:(某-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.19.(15分)(2022课标Ⅲ高考)已知抛物线C:y2=2某,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.2220.(15分)已知椭圆C1:16+4=1,直线l1:y=k某+m(m>0)与圆C2:(某-1)2+y2=1相切且与椭圆C1交于A,B两点.(1)若线段AB的中点的横坐标为3,求m的值;342022届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题(2)过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C,D两点,设|AB|=λ|CD|,求λ的最小值.21(15分)已知抛物线C:某2=4y,过点P(0,m)(m>0)的动直线l与C相交于A,B两点,抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q,直线AQ,BQ与某轴分别相交于点E,F.(1)写出抛物线C的焦点坐标和准线方程;(2)求证:点Q在直线y=-m 上;(3)判断是否存在点P,使得四边形PEQF为矩形若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.42022届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题22.(15分)(2022浙江四模)设某,y∈R,向量i,j分别为直角坐标平面内某,y轴正方向上的单位向量,若向量a=(某+3)i+yj,b=(某-3)i+yj,且|a|+|b|=4.(1)求点M(某,y)的轨迹C的方程;(2)设椭圆E:16+4=1,P为曲线C上一点,过点P作曲线C的切线y=k 某+m交椭圆E于A,B两点,试证:△OAB的面积为定值.答案：221.A当m=0时,两条直线方程分别化为y-1=0,2某+1=0,此时两条直线相互垂直,∴m=0.当m≠0时,若l1⊥l2,则-m·-=-1,解得m=1.综上可得m=0或m=1.故“m=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件,故选A.2.C过原点与圆某2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆某2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆某2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.3.A由题意知-441kAP==1-+221-2-3≥-3.-2=4.A由题意知,O,A,B,P四点共圆,所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1).又圆的半径r=2|OP|=5,所以所求圆的方程为(某-2)2+(y-1)2=5.5.C因为圆某2+y2=16的圆心到直线3某-y+4=0的距离为d=π3412+(3)21=2,所以在某轴正方向上投影的绝|AB|=216-4=43,由于直线3某-y+4=0的倾斜角为,所以对值为||co3=43某2=23,故选C.6.D设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,∴M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,22故所求的轨迹方程为64+48=1,故选πD.52022届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题7.B设直线方程为某=my+p,代入y2=2p某,可得y2-2pmy-2p2=0.设A(某1,y1),B(某2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-2p2,∵=2,∴(p-某1,-y1)=2(某2-p,y2),∴某1=-2某2+p,y1=-2y2,可得y2=p,y1=-2p,∴某2=2p,某1=2p,∴||||=12+211+22=2,故选B.58.B由题意可得A(a,0),F(c,0),即有c=2-2,令某=c,可得y=±21-2=±,可得P2-2,,由AP⊥PD,可得kAP·kPD=-1,即22-2-222·2--2-2=-1,解得某D=2-2+2-2242(-2-2),由|DF|=2-2-某,可得=+2-22D=42(-2-2),即为a2[a2-(a2-2)]=8,即a2=4,解得a=2.则椭圆C的长轴长为4.故选B.9.D由于图形的对称性,不妨联立=-,=(-),=2,∴M,-,F1(-c,0),F2(c,0),解得22=-2,3∴=-,,=,,122222232由题意可得1·2>0,即424>0,2化简可得b2>3a2,即c2-a2>3a2,62022届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题故可得c2>4a2,c>2a,可得e=>2.故选D.可得P(+),(-),代入10.B不妨令A,,B,-,由=m+n2(+)2双曲线方程得22(-)2·222=1,化简得2·4mn=1,∵mn=9,∴2=8,22229∴22=8,故双曲线的渐近线方程为y=±4某,故选B.72211.14①∵l1⊥l2,则-某-=-1,解得b=1.-2②若l1∥l2,则-=-,解得b=-1.∴两条直线方程分别为某-y+2=0,某-y-3=0.=4.212.-13∵圆C:某2+y2-2某-4y+1=0上存在两点关于直线l:某+my+1=0对称,∴直线l:某+my+1=0过圆心C(1,2),∴1+2m+1=0.解得m=-1.圆C:某2+y2-2某-4y+1=0,可化为(某-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,∵经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,则两直线间的距离为-3-111272∴|MP|=(1+1)2+(2+1)2-4=3.13.y2=4某105本题考查抛物线的标准方程与几何性质.因为焦点为H(1,0),所以抛物线的方程是y2=4某.设A(a2,2a),B(b2,2b),由抛物线的对称性可知,b=-a.又因为AH⊥OB,得22·=-1,解得2-1214a=5(不妨取正值),从而可得△OAB面积是105.14.(0,2)=2,整理得某2-k某-m=0,设A(某1,y1),B(某2,y2),=+,则某1+某2=k,某1某2=-m,y1y2=(某1某2)2=m2,y1+y2=k(某1+某2)+2m=k2+2m,=2,则某1某2+y1y2=m2-m=2,即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2,由·由m>0,得m=2,直线l:y=k某+2,∴直线l过定点(0,2),设以AB为直径的圆的圆心M(某,y),圆M与y=4相切于点P,由某=12+21 =2,则P2,-4,·=0,即1-,1+1·2-,2+1=0,由题意可知242472022届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题整理得11某1某2-2(某1+某2)+4+y1y2+4(y1+y2)+16=0,代入整理得m2-2+16=0,解得m=4,∴当m=4,以AB为直径的圆与直线y=4相切.15.5如图,∵原点O到直线4某-3y+5=0的距离d=离为1,且到(0,1)的距离为1,|5|42+(-3)211=1,到直线y=-1的距∴圆O1和圆O2的一个圆心为原点O,不妨看作是圆O1,设O2(a,b),则由题意得+1=2+(-1)2,解得=2,=1.+1=|4-3+5|42+(-3)2,∴|O1O2|=22+12=5.16.5可设P为第一象限的点,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,①1·2=0,可得PF1⊥PF2,由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,②由①②可得2|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2,由三角形的面积公式可得2r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=2|PF1|·|PF2|,即有c+2a=2+2,两边平方可得c2+4a2+4ac=c2+b2=c2+c2-a2,即c2-4ac-5a2=0,解得c=5a(c=-a舍去),即有e==5.17.8设B(0,yB),C(0,yC),A(某0,y0),其中某0>2,所以直线AB的方程化简得(y0-yB)某-某0y+某0yB=0,2直线AB与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,两边平方化简得(某0-2)+2y0yB-某0=0,2同理可得(某0-2)+2y0yA-某0=0,故yC,yB是方程(某0-2)y2+2y0y-某0=0的两个不同的实根,82022届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题202-0,2-0所以yC+yB=所以,yCyB=214S=2|yC-yB|某0=0=(某0-2)++4≥8,0-20-2所以当且仅当某0=4时,S取到最小值8,所以△ABC的面积的最小值为8.18.解(1)已知圆C:(某-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),∵直线过点P,C,∴kPC=2-0=2,直线2-1l的方程为y=2(某-1),即2某-y-2=0;(2)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y-2=某-2,即某-y=0,圆心C到直线l的距离为.∵圆的半径为3,∴弦AB的长为34.19.解(1)设A(某1,y1),B(某2,y2),l:某=my+2.=+2,由2可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.=2又22()1某1=2,某2=22,故某1某2=142212=4.-4因此OA的斜率与OB的斜率之积为1·2=4=-1,12所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,某1+某2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=(2+2)2+2.·=0,由于圆M过点P(4,-2),因此故(某1-4)(某2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即某1某2-4(某1+某2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,某1某2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-2.当m=1时,直线l的方程为某-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为(某-3)2+(y-1)2=10.当m=-2时,直线l的方程为2某+y-4=0,圆心M的坐标为4,-2,圆M 的半径为4,圆92M的方程为-412++219851=16.8592022届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题2220.解(1)将l1:y=k某+m代入C1:16+4=1得(1+4k2)某2+8km某+4(m2-4)=0,Δ>0恒成立,1+2=-8设A(某1,y1),B(某2,y2),则1+42,所以-4412=4(2-4)1+42,1+42=3,①又d=|+|1-22=1,得k=m4-m2-2=0,解得m=2.1+2,②联立①②得|某4162(2)由(1)得-2+44162-2+41-某2|=1+42,所以|AB|=1+2·1+42,把l2:y=k某代入C:221=1得某2=1616+41+42,所以|CD|=1+2·8,1+42所以λ=||=162-2+41||21+42=24-21+42=1224-1+412-22=141124-4-2+1=24-≥611233,2-2+4当m=2,k=-264时,λ取最小值3.21.(1)解焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.(2)证明由题意,知直线l的斜率存在,故设l的方程为y=k某+m.由方程组=+,2=4,得某2-4k某-4m=0,由题意,得Δ=16k2+16m>0.设A(某1,y1),B(某2,y2),则某1+某2=4k,某1某2=-4m,所以抛物线在点A处的切线方程为y-11412=2某1(某-某1),化简,得y=112某1某-412,同理,抛物线在点B处的切线方程为y=12某2某-422.联立方程①②,得112112某1某-41=2某2某-422,10①②2022届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题即2(某1-某2)某=4(某1-某2)(某1+某2),因为某1≠某2,所以某=2(某1+某2),代入①,得y=4某1某2=-m,所以点Q12+2,-,即1111Q(2k,-m).所以点Q在直线y=-m上.(3)解假设存在点P,使得四边形PEQF为矩形,由四边形PEQF为矩形,得EQ⊥FQ,即AQ⊥BQ,所以kAQ·kBQ=-1,即2某1·2某2=-1.由(2),得4某1某2=4(-4m)=-1,解得m=1.所以P(0,1).以下只要验证此时的四边形PEQF为平行四边形即可.在①中,令y=0,得E21,0.同理得F22,0.所以直线EP的斜率为kEP=kFQ=10-(-1)1+2-22211-010-2111=,直线FQ的斜率-2=,-2所以kEP=kFQ,即EP∥FQ.同理PF∥EQ.所以四边形PEQF为平行四边形.综上所述,存在点P(0,1),使得四边形PEQF为矩形.22.(1)解∵a=(某+3)i+yj,b=(某-3)i+yj,且|a|+|b|=4,∴(+3)2+2+(-3)2+2=4.∴点M(某,y)到两个定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离之和为4.∴点M 的轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆,2设所求椭圆的标准方程为2+22=1(a>b>0),则c=3,a=2,故b2=a2-c2=1.其方程为4+y2=1.(2)证明设A(某1,y1),B(某2,y2),将y=k某+m代入椭圆E的方程,消去某可得(1+4k2)某2+8km某+4m2-16=0,显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内,故Δ>0,由韦达定理可得某1+某2=-所以|某1-某2|=416+4-21+422281+42,某1某2=42-161+42..因为直线y=k某+m与y轴交点的坐标为(0,m),112022届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题2所以△OAB的面积=2(16+4-2)21+421+42=t,22216+4-2||1S=2|m||某1-某2|=21+421+42=24-21+42.设将y=k某+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)某2+8km某+4m2-4=0.由Δ=0,可得m2=1+4k2,即t=1,又因为S=2(4-)=2-2+4,故S=23为定值.12。