(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：2.1.1 等式的性质与方程的解集 (含答案)

《2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业设计的目标是帮助学生巩固和深化对等式性质的理解，掌握方程解集的基本概念，能够根据等式的性质和方程的解集来分析和解决简单的实际问题。

二、作业内容本次作业主要分为三个部分：1. 复习等式的性质学生需回顾并理解等式的基本性质，如等式的加法、减法、乘法、除法性质，以及等式两边同时进行运算的性质。

2. 掌握方程的解集概念学生需明确解集的概念，通过具体实例理解一元一次方程、一元二次方程的解集含义及求法。

例如，一元一次方程ax=b的解为x=b/a（在a不等于0的前提下），学生应能够准确判断该等式有无解，及何时有唯一解或多解。

3. 实际问题分析与解答结合等式的性质和方程的解集知识，学生需完成一定数量的实际问题分析，如利用等式性质解决生活中的分配问题，或根据方程的解集解决简单的物理问题等。

通过这些练习，学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。

1. 独立完成学生需独立完成本次作业，不得抄袭他人答案。

2. 细致审题审题是解题的关键，学生需认真阅读题目，理解题意，明确题目要求。

3. 规范书写在解题过程中，学生需按照数学规范书写要求进行，步骤清晰、逻辑严谨。

4. 及时复习在完成作业的过程中，如遇到困难或遗忘的知识点，学生应及时查阅课本或笔记进行复习。

四、作业评价教师将根据以下标准对本次作业进行评价：1. 正确性判断学生答案的正确性，是否正确理解了等式的性质和方程的解集概念。

2. 规范性评价学生解题过程的规范性，是否按照数学规范书写要求进行。

3. 灵活性评价学生运用所学知识解决实际问题的能力，是否能够灵活运用等式的性质和方程的解集知识。

教师将根据学生的作业情况，进行针对性的作业反馈。

对于普遍存在的问题，将在课堂上进行讲解；对于个别学生的问题，将进行个别辅导。

同时，教师还将鼓励学生之间互相交流学习心得和解题方法，共同进步。

通过本次作业的设计与实施，旨在帮助学生巩固和深化对等式性质和方程解集的理解，提高其运用所学知识解决实际问题的能力。

第二章等式与不等式2．1等式2.1.1等式的性质与方程的解集素养目标·定方向课程标准学法解读掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法解一元二次方程.1．从具体实例中探索等式的性质，培养逻辑推理素养．2．理解恒等式的应用，熟练掌握用“十字相乘法”分解因式．3．会求方程的解集.必备知识·探新知基础知识1．等式的性质文字语言符号语言性质1等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立.如果a＝b，则对任意c，都有__a＋c＝b＋c__.性质2等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立.如果a＝b，则对任意不为零的c，都有__ac＝bc__.①若xa＝ya，则x＝y；②若x＝y，则xa＝y b；③若x＋a＝y－a，则x＝y；④若x＝y，则ax＝by.提示：①正确，②③④错误．2．方程的解集(1)方程的解(根)：能使方程左右两边相等的未知数的值．(2)方程的解集：一个方程所有的解组成的集合．思考2：把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25(×)(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4)．(×)(3)用因式分解法解方程时部分过程为：(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2(×)解析：(1)(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.(2)x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y)．(3)若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.2．方程2(x－2)＋x2＝(x＋1)(x－1)＋3x的解集为__{－3}__.3．若m(3x－y2)＝9x2－y4，则m＝__3x＋y2__.4．若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a＝__－143__或__263__.解析：因为4x2－3(a－2)x＋25＝(2x)2－3(a－2)x＋(±5)2＝(2x±5)2，即4x2－3(a－2)x＋25＝(2x＋5)2或4x2－3(a－2)x＋25＝(2x－5)2. 所以－3(a－2)＝20或－3(a－2)＝－20.解得a＝－143或263.5．方程x2＋2x－15＝0的解集为__{3，－5}__.解析：x2＋2x－15＝0，即(x－3)(x＋5)＝0，所以x＝3或x＝－5.所以方程的解集为{3，－5}．关键能力·攻重难类型常用乘法公式的应用┃┃典例剖析__■典例1(1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是(C)A．－2m2B．0C．－2D．－1(2)计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是(B)A．8x2－8y2B．8y2－8x2C．8(x＋y)2D．8(x－y)2思路探究：掌握常用公式是解题的关键．解析：(1)(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2.(2)方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.方法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2.归纳提升：(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式．(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算．┃┃对点训练__■1．(1)如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为(D)A．49B．7C．－7D．7或－7(2)已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为__7__.解析：(1)(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40，即(a－b)2＝49，则a－b＝±7.(2)a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，所以2a 2＋4b －3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7. 类型 十字相乘法分解因式 ┃┃典例剖析__■典例2 分解因式：(1)x 2＋x －2；(2)x 2－52x ＋1；(3)2x 2＋11x ＋12；(4)5x 2－7x －6.思路探究：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项．分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．归纳提升：十字相乘法因式分解的形式尝试把某些二次三项式如ax 2＋bx ＋c 分解因式，先把a 分解成a ＝a 1a 2，把c 分解成c ＝c 1c 2，并且排列如下：这里按斜线交叉相乘的积的和就是a 1c 2＋a 2c 1，如果它正好等于二次三项式ax 2＋bx ＋c 中一次项的系数b ，那么ax 2＋bx ＋c 就可以分解成(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)，其中a 1，c 1是上图中上面一行的两个数，a 2，c 2是下面一行的两个数．┃┃对点训练__■ 2．分解因式： (1)x 2＋x －6； (2)6x 2－x －1.解析：(1)x 2＋x －6＝(x －2)(x ＋3)． (2)6x 2－x －1＝(2x －1)(3x ＋1)． 类型 方程的解集 ┃┃典例剖析__■典例3 求下列方程的解集：(1)2x ＋13－5x －16＝1；(2)x 0.7－0.17－0.2x 0.03＝1.思路探究：解析：(1)去分母，得2(2x ＋1)－(5x －1)＝6. 去括号，得4x ＋2－5x ＋1＝6. 移项，得4x －5x ＝6－2－1. 合并同类项，得－x ＝3. 系数化为1，得x ＝－3. 所以方程的解集为{－3}． (2)原方程可化为10x 7－17－20x 3＝1.去分母，得30x －7(17－20x )＝21. 去括号，得30x －119＋140x ＝21. 移项、合并同类项，得170x ＝140. 系数化为1，得x ＝1417.所以方程的解集为{1417}．归纳提升：解含有分数系数的一元一次方程时应注意以下三点：(1)分母含有小数的应先化小数分母为整数分母，再去分母；(2)分子如果是一个多项式，去掉分母后，要添上括号；(3)去分母时，方程两边所有的项都乘以各分母的最小公倍数．┃┃对点训练__■3．如果方程x －43－8＝－x ＋22的解集与方程4x －(3a ＋1)＝6x ＋2a －1的解集相同，求式子a －1a的值． 解析：解方程x －43－8＝－x ＋22，去分母，得2(x －4)－48＝－3(x ＋2)， 去括号，得2x －8－48＝－3x －6， 移项、合并同类项，得5x ＝50. 系数化为1，得x ＝10.把x ＝10代入方程4x －(3a ＋1)＝6x ＋2a －1， 得4×10－(3a ＋1)＝6×10＋2a －1，解得a ＝－4. 当a ＝－4时，a －1a ＝－4－1－4＝－154.易混易错警示 忽略系数为零 ┃┃典例剖析__■典例4 求关于x 的方程(a ＋3)x ＝b －1的解集．错因探究：未知数的系数含有字母，a ＋3与0的关系不确定，因此应对a 进行讨论，切勿直接利用等式的性质得出x ＝b －1a ＋3.解析：当a ＝－3，b ＝1时，由(a ＋3)x ＝b －1得0·x ＝0，此时解集为R ； 当a ＝－3，b ≠1时，由(a ＋3)x ＝b －1得0·x ＝b －1， 此时解集为∅；当a ≠－3时，由(a ＋3)x ＝b －1， 得x ＝b －1a ＋3，此时解集为{b －1a ＋3}．综上，当a ＝－3，b ＝1时，方程的解集为R ；当a ＝－3，b ≠1时，方程的解集为∅； 当a ≠－3时，方程的解集为{b －1a ＋3}．误区警示：在解方程时，若未知数的系数含有字母，则利用等式的性质2进行变形时，必须考虑未知数的系数是否等于0.学科核心素养 恒等式的定义及其证明 ┃┃典例剖析__■恒等式的定义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．(1)恒等变形：把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．(2)恒等式的证明方法：证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．典例5 求证：a 2－bc (a ＋b )(a ＋c )＋b 2－ca (b ＋c )(b ＋a )＝ab －c 2(c ＋a )(c ＋b ).思路探究：用作差法证明左－右＝0. 解析：a 2－bc(a ＋b )(a ＋c )＝a 2＋ac －ac －bc(a ＋b )(a ＋c )＝a (a ＋c )－c (a ＋b )(a ＋b )(a ＋c )＝a a ＋b －c a ＋c ，∴b 2－ca(b ＋c )(b ＋a )＝b b ＋c －a b ＋a ， c 2－ab (c ＋a )(c ＋b )＝c c ＋a －b b ＋c.∴左－右＝a 2－bc(a ＋b )(a ＋c )＋b 2－ca(b ＋a )(b ＋a )＋c 2－ab(c ＋a )(c ＋b )＝a a ＋b －c a ＋c ＋b b ＋c －a b ＋a ＋c c ＋a －b b ＋c＝0. 故原式恒成立．课堂检测·固双基1．下列由等式的性质进行的变形，错误的是( D )A ．如果a ＝3，那么1a ＝13B ．如果a ＝3，那么a 2＝9C ．如果a ＝3，那么a 2＝3aD ．如果a 2＝3a ，那么a ＝3解析：如果a ＝3，那么1a ＝13，正确，故选项A 不符合题意；如果a ＝3，那么a 2＝9，正确，故选项B 不符合题意；如果a ＝3，那么a 2＝3a ，正确，故选项C 不符合题意；如果a ＝0时，两边都除以a ，无意义，故选项D 符合题意．故选D ．2．下列分解因式正确的是( C ) A ．x 2＋y 2＝(x ＋y )(x －y ) B ．m 2－2m ＋1＝(m ＋1)2 C ．(a ＋4)(a －4)＝a 2－16 D ．x 3－x ＝x (x 2－1)解析：A ．原式不能分解，错误；B ．原式＝(m －1)2，错误；C ．原式＝a 2－16，正确；D ．原式＝x (x 2－1)＝x (x ＋1)(x －1)，错误．故选C ．3．若方程(x －2)(3x ＋1)＝0，则3x ＋1的值为__7或0__. 解析：由方程(x －2)(3x ＋1)＝0，可得x －2＝0或3x ＋1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－13，当x ＝2时，3x ＋1＝3×2＋1＝7； 当x ＝－13时，3x ＋1＝3×(－13)＋1＝0.4．不论x 取何值等式2ax ＋b ＝4x －3恒成立，则a ＋b ＝__－1__. 解析：∵不论x 取何值等式2ax ＋b ＝4x －3恒成立， ∴x ＝0时，b ＝－3，x ＝1时，a ＝2，即a ＝2，b ＝－3， ∴a ＋b ＝2＋(－3)＝－1. 5．因式分解：(1)x 2＋3xy ＋2y 2＋2x ＋4y . (2)4xy ＋1－4x 2－y 2.解析：(1)x 2＋3xy ＋2y 2＋2x ＋4y ＝(x ＋2y )(x ＋y )＋2(x ＋2y ) ＝(x ＋2y )(x ＋y ＋2)． (2)4xy ＋1－4x 2－y 2＝1－(4x2－4xy＋y2)＝1－(2x－y)2＝(1＋2x－y)(1－2x＋y)．。

《2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过实际操练和巩固练习，加深学生对等式性质和方程解集的理解。

学生需掌握等式的基本性质，能够识别并应用不同形式的等式；理解方程的解集概念，并能根据给定条件判断解集的范围。

二、作业内容1. 基础练习：- 练习等式的基本性质，如等式的加法、减法、乘法、除法性质。

- 识别并应用等式中的恒等式、比例关系等。

2. 方程解集探索：- 分析一元一次方程的解集，通过实际操作，了解方程的解与解集的关系。

- 针对不同类型的方程（如线性方程、二次方程等），理解其解集的确定方法。

3. 实际问题应用：- 结合实际生活问题，建立等式和方程模型，并求解。

- 让学生体验数学在现实生活中的应用，如物理问题中的等式关系、经济问题中的线性规划等。

三、作业要求1. 要求学生独立完成作业，注重过程和结果，不仅仅是答案的正确性。

2. 对于基础练习部分，要求熟练掌握并准确应用等式性质和方程解集的相关知识。

3. 在实际问题应用部分，学生需运用所学知识，合理建立数学模型，并能够用准确的语言解释其过程和结果。

4. 学生在作业中需体现思考过程，不仅仅是答案的堆砌，要展示对知识的理解和运用能力。

5. 作业需按时提交，不得抄袭他人成果。

四、作业评价1. 教师将根据学生作业的完成情况、解题思路和答案的准确性进行评价。

2. 鼓励学生对作业进行自评和互评，培养学生自我反思和批判性思维的能力。

3. 评价时注重学生的努力程度和学习态度，鼓励学生在学习过程中积极思考和创新。

五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行详细批改，指出错误并给出正确答案及解题思路。

2. 对于共性问题，将在课堂上进行讲解和讨论，帮助学生更好地理解相关知识点。

3. 对于学生的进步和优点，及时给予肯定和表扬，激发学生的学习兴趣和自信心。

4. 根据学生的反馈情况，及时调整教学策略和方法，以提高教学质量和效果。

通过以上作业设计方案的实施，旨在帮助学生巩固等式的性质和方程的解集知识，提高其运用数学知识解决实际问题的能力。

2．2 不等式2．2.1 不等式及其性质1.不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号<, >，≤≥，或≠.(2)所表示的关系是不等关系．不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a<b”与“a＝b”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是指“或者a＜b 或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．2．比较两个实数大小的方法(1)方法：方法依据结论画数轴比较法①实数与数轴上的点一一对应②如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x)数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大作差比较法如果a－b>0，那么a>b如果a－b<0，那么a<b如果a－b＝0，那么a＝b确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系差与0的关系．(3)应用：利用这两种方法比较两个数或者两个式子的大小．(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？提示：是任意实数．(2)若“b－a>0”，则a，b的大小关系是怎样的？提示：b>a.3．不等式的性质性质1如果a>b，那么a＋c>b＋c.性质2如果a>b，c>0，那么ac>bc．性质3如果a>b，c<0，那么ac<bc．性质4如果a>b，b>c，那么a>c.性质5a>b⇔b<a.4．不等式性质的推论推论1如果a＋b＞c，那么a＞c－b．推论2如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.推论3如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd．推论4如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n>1).推论5如果a>b>0，那么 a > b ．(1)性质2，3可以概括为在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？提示：不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．(2)推论1类似于解方程中的什么法则？提示：移项法则．(3)使用推论3，4，5时，要注意什么条件？提示：各个数均为正数．5．证明问题的常用方法方法定义综合法从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止反证法首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．反证法是一种间接证明的方法(1)综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．(2)反证法的实质是什么？提示：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()提示：√．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2.(2)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．()提示：√．任意两数之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种，没有其他大小关系．(3)若a＞b，则ac2＞bc2.()提示：×．由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b ac2＞bc2.(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.()提示：×．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c>b＋d，但不满足a>b，故此说法错误．2．设a<b<0，则下列不等式中不成立的是()A ．1a >1bB ．1a －b >1aC ．|a |>－bD ．－a >－b【解析】选B.对于A ，因为a <b <0，所以ab >0，所以a ab <b ab <0，即1a >1b ，所以A 成立，不符合题意；对于B ，若a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＝－1，1a ＝－12 ，此时1a >1a －b ，所以B 不成立，符合题意；对于C ，因为a <b <0，所以|a |>|b |＝－b ，所以C 成立，不符合题意； 对于D ，因为a <b <0，所以－a >－b >0，则－a >－b ，所以D 成立，不符合题意．3．(教材例题改编)已知M ＝2x 2＋5x ＋3，N ＝x 2＋4x ＋2，则M ________N ．(用“>”“<”“＝”填空)【解析】M ＝2x 2＋5x ＋3，N ＝x 2＋4x ＋2，M －N ＝(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2 ＋34 >0，故M >N .答案：>类型一 作差法比较大小(逻辑推理、数学运算)1．设实数a ＝5 －3 .b ＝3 －1，c ＝7 －5 ，则( ) A ．b >a >c B ．c >b >a C ．a >b >cD ．c >a >b【解析】选A.5 －3 ＝25＋3 .3 －1＝23＋1 ，7 －5 ＝27＋5，因为3 ＋1<3 ＋5 <5 ＋7 ，所以23＋1 >25＋3 >27＋5，即b >a >c . 2．(2021·武汉高一检测)已知t ＝a ＋4b ，s ＝a ＋b 2＋4，则t 和s 的大小关系是( ) A ．t >s B ．t ≥s C ．t <s D ．t ≤s【解析】选D.t －s ＝4b －b 2－4＝－(b －2)2≤0，故t ≤s .3．已知x ，y ∈R ，P ＝2x 2－xy ＋1，Q ＝2x －y 24 ，则P 与Q 的大小关系为________．【解析】因为P －Q ＝2x 2－xy ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －y 24 ＝x 2－xy ＋y 24 ＋x 2－2x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －y 2 2 ＋(x －1)2≥0，所以P ≥Q .答案：P ≥Q比较大小的常用方法1.作差法作差法比较大小的步骤．2．作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．通常适合非负数或式子之间的大小比较．3．特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．【补偿训练】(1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．【思路导引】利用作差法比较，先作差、化简，再判断差的符号．【解析】3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.(2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．【解析】 因为5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， 所以5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12 且z ＝1时取到等号．类型二 利用不等式的性质判断命题的真假(逻辑推理)【典例】下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b 且1a >1b ，则a >0，b <0 B ．若a >b ，b ≠0，则ab >1 C ．若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d D ．若a >b 且ac >bd ，则c >d【思路导引】利用不等式的性质和特殊值检验求解．【解析】选A .对于A 项，因为1a >1b ，所以1a －1b >0，即b －a ab >0，又a>b ，所以b －a<0，所以ab<0，所以a>0，b<0，故A 项正确；对于B 项，当a>0，b<0时，有ab <0<1，故B 项错；对于C 项，当a ＝10，b ＝3，c ＝1，d ＝2时，虽有10＋1>3＋2，但1<2，故C 项错；对于D 项，当a ＝－1，b ＝－2，c＝－1，d＝7时，有(－1)×(－1)>(－2)×7，但－1<7，故D 项错．运用不等式的性质判断命题真假的技巧(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质．(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(2021·中山高一检测)如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是( )A ．1a <1b B ．－a <－b C ．a 2<b 2D ．|a|>|b|【解析】选A .由于a<0，b>0，B 中－b 无意义，B 错；a ＝－2，b ＝2时，a 2＝b 2，|a|＝|b|，C ，D 均错．只有A 正确，1a <0<1b .【拓展延伸】倒数的性质(1)若a>b>0，则1a <1b . (2)若0>a>b ，则1a <1b . 即a>b ，ab>0⇒1a <1b .类型三 利用不等式的性质证明不等式(逻辑推理、数学运算) 综合法【典例】已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：e a －c >eb －d.【思路导引】本例可利用不等式的性质进行证明，也可以作差进行证明．【证明】方法一：因为c<d<0， 所以－c>－d>0，因为a>b>0，所以a －c>b －d>0， 所以0<1a －c <1b －d ，又因为e<0，所以e a －c >eb －d.方法二：e a －c －eb －d ＝e[（b －d ）－（a －c ）]（a －c ）（b －d ）＝e[（b －a ）＋（c －d ）]（a －c ）（b －d ），因为a>b>0，c<d<0，所以－c>－d>0，所以a －c>0，b －d>0，b －a<0，c －d<0，又e<0， 所以e[（b －a ）＋（c －d ）]（a －c ）（b －d ） >0，所以e a －c >e b －d.本例条件不变，结论改为求证e（a－c）2>e（b－d）2，请证明．【证明】因为c<d<0，所以－c>－d>0，因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，所以(a－c)2>(b－d)2>0，所以0<1（a－c）2<1（b－d）2，又e<0，所以e（a－c）2>e（b－d）2.分析法与反证法【典例】证明：7 － 3 < 6 － 2 .【思路导引】根据问题特点可选用分析法证明，也可用反证法证明．【证明】方法一：分析法：要证7 － 3 < 6 － 2 ，只需证7 ＋ 2 < 3 ＋ 6 ，只需证(7 ＋ 2 )2<( 3 ＋ 6 )2，展开得9＋214 <9＋218 ，只需证14 <18 ，即证14<18，显然成立，所以7 － 3 < 6 － 2 .方法二：反证法：假设7 － 3 ≥ 6 － 2 ，则7 ＋ 2 ≥ 3 ＋ 6 ，两边平方得9＋214 ≥9＋218 ，所以14 ≥18 ，即14≥18，显然不成立，所以假设错误．所以7 － 3 < 6 － 2 .利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点(1)实质：就是根据性质把不等式变形．(2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法．1．已知a>b>c，则1a－b ＋1b－c＋1c－a的值()A．为正数B．为非正数C．为非负数D．不确定【解析】选A.因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>b－c>0，所以1 a－b >0，1b－c>0，1a－c<1b－c，所以1a－b ＋1b－c－1a－c>0，所以1a－b＋1b－c＋1c－a的值为正数．2．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．【解析】根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．答案：③①②3．将下面用分析法证明a 2＋b 22 ≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22 ≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立.【解析】用分析法证明a 2＋b 22 ≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22 ≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab≥0，即证(a －b)2≥0.由于(a －b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab≥0 (a －b)2≥0 (a －b)2≥04．(2021·福州高一检测)(1)已知a>b ，c<d ，求证：a －c>b －d ；(2)已知a>b ，ab>0，求证：1a <1b ；(3)已知a>b>0，0<c<d ，求证：a c >b d .【证明】(1)因为a>b ，c<d ，所以a>b ，－c>－d.则a －c>b －d.(2)因为ab>0，所以1ab >0.又因为a>b ，所以a·1ab >b·1ab ，即1b >1a ，因此1a <1b .(3)因为0<c<d ，根据(2)的结论，得1c >1d >0.又因为a>b>0，则a·1c >b·1d ，即a c >b d .备选类型 利用不等式性质求范围(逻辑推理)【典例】(2020·虹口高一检测)已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a －2b 的取值范围为________．【思路导引】通过已知范围得到3a 与－2b 的范围，然后利用不等式的性质求解．【解析】因为1≤a≤2，3≤b≤6，所以3≤3a≤6，－12≤－2b≤－6，由不等式运算的性质得－9≤3a －2b≤0，即3a －2b 的取值范围为[－9，0].答案：⎣⎡⎦⎤－9，0运用不等式求范围的常用方法一是借用不等式的性质，转化为同向不等式相加进行解答；二是借用所给的条件，整体使用，切不可随意拆分所给的条件；三是结合不等式的传递性进行求解．另外根据未知量已有的范围求该未知量其他形式的范围时通常遵循“只加不减，只乘不除”的原则．若－12 <α<β<12 ，则α－β的取值范围是________．【解析】因为－12 <α<β<12 ，所以－12 <－β<12 .又－12 <α<12 ，所以－1<α－β<1，又α<β，所以α－β<0，所以α－β的取值范围是(－1，0).答案：(－1，0)1．已知实数a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则() A．M<N B．M>NC．M＝N D．大小不确定【解析】选B.作差比较，M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)>0，所以M>N.2．若a，b，c，d为实数，则下列命题正确的是()A．若a<b，则a|c|<b|c|B．若ac2<bc2，则a<bC．若a<b，c<d，则a－c<b－dD．若a<b，c<d，则ac<bd【解析】选B.对于A选项，当c＝0时，不符合，故A选项错误．对于B选项，由于ac2<bc2，所以c≠0，所以a<b，所以B选项正确．对于C选项，如a＝2，b＝3，c＝2，d＝3，2<3，2<3，但是a－c＝b －d，所以C选项错误．对于D选项，由于a，b，c，d的正负不确定，所以无法由a<b，c<d 得出ac<bd，故D选项错误．3．(教材练习改编)已知：a，b，c，d∈R，则下列命题一定成立的是() A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>－b，则c－a<c＋bC．若a>b，c<d，则a c>bdD．若a2>b2，则－a<－b【解析】选B. 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足不等式性质的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才成立，如a ＝－1，b ＝0时不成立．选项B ，若a >－b ，则－a ＜b ，c －a ＜c ＋b ，成立．4．用反证法证明“a ，b ，c 三个数中至少有一个不小于12 ”时，假设内容是________．【解析】“a ，b ，c 中至少有一个不小于12 ”的反面是“a ，b ，c 都小于12 ”．答案：a ，b ，c 都小于125．已知60<x <84，28<y <33，则x －y 的取值范围是________，x y 的取值范围是________．【解析】由28<y <33得－33<－y <－28, 133 <1y <128 ，则60－33<x －y <84－28，即27<x －y ＜56，则6033 <x y <8428 ，即2011 <x y <3.答案：(27，56) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2011，3。

第二章等式与不等式2.1 等式2.1.1 等式的性质与方程的解集必备知识基础练1.(多选题)下列说法不正确的是( )A.在等式ab=ac两边都除以a,可得b=cB.在等式a=b两边都除以c2+1,可得ac2+1=bc2+1C.在等式ba =ca两边都除以a,可得b=cD.在等式2x=2a-b两边同除以2,可得x=a-b2.多项式a+5与2a-8互为相反数,则a= ( )A.-1B.0C.1D.23.关于-2)x2+的值应为( )A.2B.-2C.2或-2D.14.方程x2-8x+15=0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长,则直角三角形的第三条边长是.5.已知y=1是方程2-13(m-y)=2y的解,则关于x的方程m((2x-5)的解集为.6.若实数a,b满足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,则a+b= .7.把下列各式因式分解:(1)4x 2-8x+4;(2)(x+y)2-4y(x+y).8.求关于x 的方程ax=2x-1的解集,其中a 是常数.关键能力提升练9.(多选题)下列解方程过程中,错误的是( ) A.将10-2(3x-1)=8x+5去括号,得10-6x+1=8x+5 B.由x 0.7+0.17+0.4x 0.03=1,得10x 7+17+40x3=100C.由-23x=3,得x=-92D.将3-5x -12=x+23去分母,得3-3(5x-1)=2(x+2)10.若多项式x 2+kx-24可以因式分解为(x-3)(x+8),则实数k 的值为( )A.5B.-5C.11D.-1111.若关于x的一元一次方程2x-k3−x-3k3=1的解集是{-1},则k的值是.12.要在二次三项式x2+( )x-6的括号中填上一个整数,使它能按公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分解因式,那么括号中的数可以是.13.已知关于x的方程4a+43+2x=3x-1的解集为A,关于x的方程3x-a-4=0的解集为B,若A=B,求a的值.14.解下列一元二次方程:(1))x+m3=0;(2)x2-x+4=3,n为何值时,原方程的解集为:(1)单元素集;(2)R;(3)⌀.参考答案第二章等式与不等式2.1 等式2.1.1 等式的性质与方程的解集1.ACD 对于A,当a=0时不正确;对于B,∵c2+1≠0,∴B正确;对于C,等式b a =ca两边都除以a可得ba2=ca2,∴C不正确;对于D,在等式2x=2a-b两边同除以2,得x=a-b2,∴D不正确.2.C 根据题意得a+5+2a-8=0,移项合并得3a=3,解得a=1.3.B ∵关于-2)=-2.故选B.4.4或√34方程x2-8x+15=0因式分解得(x-3)·(x-5)=0,所以x-3=0或x-5=0,解得x1=3,x2=5,即直角三角形的两条边长分别为3,5.当5为直角边长时,则第三条边长为√32+52=√34;当5为斜边长时,第三条边长为√52-32=4.5.{0} 因为y=1是方程2-13(m-y)=2y的解,所以2-13(m-1)=2,即m=1.所以方程m((2x-5)变为(x-3)-2=2x-5,解得x=0.所以方程的解集为{0}.6.-12或1 设a+b=x,则原方程可化为4x(4x-2)-8=0,整理得(2x+1)(x-1)=0,解得x=-12或x=1.则a+b=-12或1.7.解(1)原式=4(x 2-2x+1)=4(x-1)2. (2)原式=(x+y)(x+y-4y)=(x+y)(x-3y).8.解原方程可化为(2-a)x=1,当a=2时,解集为⌀; 当a≠2时,解集为{12-a}.综上,当a=2时,解集为⌀;当a≠2时,解集为{12-a}.9.ABD A 选项,将10-2(3x-1)=8x+5去括号,得10-6x+2=8x+5,故A 错误;B 选项,由x 0.7+0.17+0.4x0.03=1,得10x 7+17+40x3=1,故B 错误;C 选项,由-23x=3,得x=-92,故C 正确;D 选项,将3-5x -12=x+23去分母,得18-3(5x-1)=2(x+2),故D 错误.10.A 由题意得(x-3)(x+8)=x 2+5x-24. 因为多项式x 2+kx-24=x 2+5x-24,则k=5. 故选A. 11.2 由2x -k 3−x -3k 3=1得x=3-2k.又-1是方程的解,∴k=3-x 2=2.12.1,-1,5,-5 -6可以分成-2×3,2×(-3),-1×6,1×(-6),括号中填上的整数应该是-6的两个因数的和,即1,-1,5,-5.13.解由方程4a+43+2x=3x-1,解得x=4a+73,即A={4a+73},由方程3x-a-4=0,解得x=a+43,即B={a+43}.又A=B,所以4a+73=a+43,解得a=-1.14.解(1)因为)2)(=0或1时,m 2=m,此时原方程的解集为{0}或{1}; 当m≠0且m≠1时,m 2≠m,此时原方程的解集为{m,m 2}.(2)因为x 2-x-a 2+a=x 2-x-a(a-1)=(x-a)[x+(a-1)],所以原方程化为(x-a)[x+(a-1)]=0,解得x=a 或x=1-a. 当a=12时,a=1-a,此时原方程的解集为{12};当a≠12时,此时原方程的解集为{a,1-a}.15.解由题意知(m-3)-3≠0,即m≠3,n 为任意实数时,x=-n -4m -3,方程的解集为单元素集,即{-n -4m -3}.(2)当m-3=0且-n-4=0,即m=3且n=-4时,方程的解集为R. (3)当m-3=0且-n-4≠0,即m=3且n≠-4时,方程的解集为⌀.。

第二章 等式与不等式2．1 等 式2．1.1 等式的性质与方程的解集1.常用乘法公式(1)公式： 公式名称符号表示 文字表示 平方差公式 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差完全平方 (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2两数和(或差)的平方，等于公式这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍其他恒等式①(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；②(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；③(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac(2)本质：常用乘法公式的本质就是将每个括号内的每一项与另一括号内的每一项依次相乘后再求和得到．(3)应用：利用公式或恒等式进行表达式的化简与求值．(1)平方差公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方．(2)完全平方公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方；第二项是左边两项积的2倍．2．十字相乘法具体形式：①二次项系数为1时：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)②二次项系数不为1时：acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)记忆口诀：拆两头，凑中间．十字相乘法分解因式的关键是什么？提示：把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．3.方程的解集(1)定义：方程的解(根)能使方程左右两边相等的未知数的值方程的解集一个方程所有解组成的集合的不同．(3)应用：求解方程的解(或解集).把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.( ×)提示：(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4).( ×)提示：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y).(3)用因式分解法解方程时部分过程为：(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.( ×)提示：若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.2．分解因式：x2＋2xy＋y2－4＝．【解析】x2＋2xy＋y2－4＝(x＋y)2－4＝(x＋y＋2)(x＋y－2).答案：(x＋y＋2)(x＋y－2)3．(教材例题改编)已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为______．【解析】由方程x2－17x＋66＝0得：(x－6)(x－11)＝0，解得：x＝6或x＝11，当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意；当x＝11时，以4，7，11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6.答案：6类型一常用乘法公式的应用(数学运算)1．若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)(x＋8)，则实数k的值为()A．5 B．－5C．11 D．－11【解析】选A.由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24. 2．计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是()A．8x2－8y2B．8y2－8x2C．8(x＋y)2D．8(x－y)2【解析】选B.方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.方法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2.3．已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为______.【解析】a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.答案：7常用乘法公式的应用技巧(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式．(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算．类型二十字相乘法分解因式(数学运算)【典例】把下列各式因式分解．(1)x2＋3x＋2.(2)6x2－7x－5.(3)5x2＋6xy－8y2.【思路导引】二次项系数与常数项分别拆分，交叉相乘再相加，保证和为一次项系数即可．【解析】(1)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)1×2＋1×1＝3(2)6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)2×(－5)＋3×1＝－7(3)5x2＋6xy－8y2＝(x＋2y)(5x－4y)1×(－4y)＋5×(2y)＝6y十字相乘法因式分解的形式尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：这里按斜线交叉相乘的积的和就是a 1c 2＋a 2c 1，如果它正好等于二次三项式ax 2＋bx ＋c 中一次项的系数b ，那么ax 2＋bx ＋c 就可以分解成(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)，其中a 1，c 1是图中上面一行的两个数，a 2，c 2是下面一行的两个数．分解下列各因式：(1)8x 2＋26xy －15y 2；(2)7(a ＋b)2－5(a ＋b)－2.【解析】(1)8x 2＋26xy －15y 2＝(2x －y)(4x ＋15y).(2)7(a ＋b)2－5(a ＋b)－2＝(7a ＋7b ＋2)(a ＋b －1).【拓展延伸】齐次式的因式分解(1)齐次式是指合并同类项后，每一项关于x ，y 的次数都是相等的多项式．次数为一次就是一次齐次式，次数为二次就是二次齐次式．如x －2y 是一次齐次式；x 2＋xy 是二次齐次式．(2)二元二次齐次式是高中最常见的齐次式之一，通常可以写为ax 2＋bxy ＋cy 2的形式，常见的因式分解方法有两种，一是将原式中的y 看作参数直接进行因式分解；二是在解决此类问题的等式时可以同除以y 2转化为x y 的二次形式后利用因式分解进行分解或求值． 【拓展训练】x 2－13xy －30y 2分解因式为( )A ．(x －3y)(x －10y)B ．(x ＋15y)(x －2y)C ．(x ＋10y)(x ＋3y)D ．(x －15y)(x ＋2y)【解析】选D .x 2－13xy －30y 2＝(x －15y)(x ＋2y)1×2y ＋1×(－15y)＝－13y类型三 方程的解集(数学运算)一元一次方程的解集【典例】若x ＝－3是方程3x －a ＝0的解，则a 的值是( )A ．9B ．6C ．－9D ．－6【思路导引】方程的解定能满足方程，代入求解即可．【解析】选C .把x ＝－3代入方程3x －a ＝0得：－9－a ＝0，解得：a ＝－9.一元二次方程的解集【典例】解下列一元二次方程：(1)2x 2＋7x ＋3＝0；【思路导引】(1)(2)直接利用十字相乘法解方程，(3)(4)移项合并同类项后，再利用十字相乘法解方程．【解析】原方程化为(2x ＋1)(x ＋3)＝0，解得x ＝－12 或x ＝－3，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12 . (2)2x 2－7x ＋3＝0；【解析】原方程化为(2x －1)(x －3)＝0，解得x ＝12 或x ＝3，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3 . (3)－3x 2－4x ＋4＝0；【解析】原方程化为3x 2＋4x －4＝0，即(3x －2)(x ＋2)＝0，解得x ＝23 或x ＝－2，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，23 . (4)6x(x ＋2)＝x －4.【解析】原方程化为6x 2＋11x ＋4＝0，即(2x ＋1)(3x ＋4)＝0，解得x ＝－12 或x ＝－43 ，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，－43 . 分类讨论思想的应用【典例】解方程ax 2－(a ＋1)x ＋1＝0.【思路导引】把二次项系数分为a ＝0和a≠0两种情况讨论，第一种情况是解一元一次方程，第二种情况是解一元二次方程．【解析】当a ＝0时，原方程可化为－x ＋1＝0，所以x ＝1，当a≠0时，对于ax 2－(a ＋1)x ＋1来说，因为a×1＝a ，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1).如图所示：ax 2－(a ＋1)x ＋1＝(ax －1)(x －1)，所以原方程可化为(ax －1)(x －1)＝0，所以ax －1＝0或x －1＝0，所以x ＝1a 或x ＝1.1．利用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程的右边化为0；(2)将方程的左边进行因式分解；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解一元一次方程，得到方程的解．2．对于二次三项式分解因式的注意事项对于二次三项式，采用十字相乘法分解因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，两个因式的和正好等于一次项系数．注意，交叉相乘横着写．3．形如ax 2＋bx ＋c ＝0(含参)的方程的解法方程的二次项系数中含有参数时，要讨论二次项系数是否可以等于零，当二次项系数等于零时，讨论方程变为一元一次方程或其他情况，当二次项系数不为0时，解一元二次方程．1．多项式x ＋5与2x －8互为相反数，则x ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】选C.根据题意得：x ＋5＋2x －8＝0，移项合并得：3x ＝3，解得x ＝1.2．求下列方程的解集： (1)5x 2－2x －14 ＝x 2－2x ＋34 .(2)12x 2＋5x －2＝0.【解析】(1)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0.因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0.于是得2x ＋1＝0或2x －1＝0，即x ＝－12 或x ＝12 ，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12 . (2)分解因式得：12x 2＋5x －2＝(3x ＋2)(4x －1)3×(－1)＋4×2＝5因为12x 2＋5x －2＝0，所以(3x ＋2)(4x －1)＝0，所以3x ＋2＝0或4x －1＝0，即x ＝－23 或x ＝14 ，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23，14 . 3.解方程12x 2－ax －a 2＝0.【解析】当a ＝0时，原方程可化为：12x 2＝0，所以x ＝0，当a≠0时，因为3×4＝12，－a×a ＝－a 2，3×a ＋4×(－a)＝3a －4a ＝－a ，如图所示所以12x 2－ax －a 2＝(3x －a)(4x ＋a)，所以原方程可化为(3x －a)(4x ＋a)＝0.所以3x －a ＝0或4x ＋a ＝0，所以x 1＝a 3 ，x 2＝－a 4 .【补偿训练】(2020·苏州高一检测)若方程(x －2)(3x ＋1)＝0，则3x ＋1的值为( )A ．7B ．2C ．0D ．7或0【解析】选D .由方程(x －2)(3x ＋1)＝0，可得x －2＝0或3x ＋1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－13 ，当x ＝2时，3x ＋1＝3×2＋1＝7；当x ＝－13 时，3x ＋1＝3×(－13 )＋1＝0.备选类型 方程的解的应用(数学建模、数学运算)【典例】我市某楼盘准备以每平方米15 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格按同一百分率经过连续两次下调后，最终以每平方米12 150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是( )A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%【思路导引】设出每次下调的百分率，根据原价及两次下调后的价格列出关系式，求得方程的解．【解析】选C .设平均每次下调的百分率为x ，则：15 000·(1－x)·(1－x)＝12 150，所以(1－x)2＝0.81，所以1－x ＝0.9或1－x ＝－0.9，解得x＝0.1或x＝1.9.因为x＜1，所以x＝1.9(舍)，所以x＝0.1.所以平均每次下调的百分率为10%.解决实际问题的一般步骤(1)审清题意，理顺问题的条件和结论，找到关键量．(2)建立文字数量关系式．(3)转化为数学模型．(4)解决数学问题，得出相应的数学结论．(5)返本还原，即还原为实际问题本身所具有的意义．甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率．(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若商场希望该商品每月能盈利10 000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还应如何调整？【解析】(1)设这种商品平均降价率是x，依题意得：40(1－x)2＝32.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)；故这个降价率为10%.(2)设降价y元，则多销售(y÷0.2)×10＝50y件，根据题意得(40－20－y)(500＋50y)＝10 000，解得：y＝0(舍去)或y＝10，答：在现价的基础上，再降低10元．1．已知等式3x ＋2y ＋6＝0，则下列等式正确的是( )A ．y ＝－32 x －3B ．y ＝32 x －3C ．y ＝－32 x ＋3D ．y ＝32 x ＋3【解析】选A.由等式3x ＋2y ＋6＝0，可得y ＝－32 x －3.2．(2021·青岛高一检测)一元二次方程(x ＋3)(x －3)＝3(x ＋3)的解集是( )A ．{3}B ．{6}C ．{－3，6}D ．{－6，3}【解析】选C.(x ＋3)(x －3)－3(x ＋3)＝0，即(x ＋3)(x －3－3)＝0，所以x ＋3＝0或x －3－3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝6.3．(教材练习改编)多项式x 2－3x ＋a 可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－2【解析】选D.因为(x －5)(x －b )＝x 2－(5＋b )x ＋5b ＝x 2－3x ＋a ， 所以5＋b ＝3，a ＝5b ，所以b ＝－2，a ＝－10.4．(2021·南昌高一检测)一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0的解集为{－1，2}，那么二次三项式2x 2＋px ＋q 可分解为( )A ．(x ＋1)(x －2)B ．(2x ＋1)(x －2)C ．2(x －1)(x ＋2)D ．2(x ＋1)(x －2)【解析】选D.因为一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0的解集为{－1，2}，所以2(x＋1)(x－2)＝0，所以2x2＋px＋q可分解为2(x＋1)(x－2). 5．若x＝3是方程2x－10＝4a的解，则a＝______．【解析】因为x＝3是方程2x－10＝4a的解，所以2×3－10＝4a，所以4a＝－4，所以a＝－1.答案：－1。

第2课时 等式性质与不等式性质学习目标 1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一 等式的基本性质 (1)如果a ＝b ，那么b ＝a . (2)如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c . (3)如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c . (4)如果a ＝b ，那么ac ＝bc . (5)如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .知识点二 不等式的性质性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 2 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆 3 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4 可乘性 错误!⇒ac >bc c 的符号 错误!⇒ac <bc5 同向可加性 错误!⇒a ＋c >b ＋d 同向6 同向同正可乘性错误!⇒ac >bd 同向 7可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正1．若a >b ，则a －c >b －c .( √ ) 2.ab>1⇒a >b .( × ) 3．a >b ⇔a ＋c >b ＋c .( √ )4.⎩⎨⎧a >b ，c >d⇔a ＋c >b ＋d .( × )一、利用不等式的性质判断或证明 例1 (1)给出下列命题： ①若ab >0，a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；③对于正数a ，b ，m ，若a <b ，则a b <a ＋mb ＋m .其中真命题的序号是________．『答 案』 ①③『解 析』 对于①，若ab >0，则1ab >0，又a >b ，所以a ab >b ab ，所以1a <1b ，所以①正确；对于②，若a ＝7，b ＝6，c ＝0，d ＝－10， 则7－0<6－(－10)，②错误； 对于③，对于正数a ，b ，m ， 若a <b ，则am <bm ， 所以am ＋ab <bm ＋ab ， 所以0<a (b ＋m )<b (a ＋m )， 又1b (b ＋m )>0，所以a b <a ＋m b ＋m ，③正确．综上，真命题的序号是①③.(2)已知a >b >0，c <d <0.求证：3ad<3b c. 证明 因为c <d <0，所以－c >－d >0. 所以0<－1c <－1d.又因为a >b >0，所以－a d >－bc>0.所以3－ad>3－bc，即－3a d>－3b c， 两边同乘－1，得3a d<3b c. 反思感悟 (1)首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．(2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导．跟踪训练1 若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a |>|b |，②a <b ，③a ＋b <ab ，④a 3>b 3. 则不正确的不等式的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 『答 案』 C『解 析』 由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①②均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab成立，③正确；a 3>b 3，④正确． 故不正确的不等式的个数为2. 二、利用性质比较大小例2 若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋5＋a ＋8(a >－5)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P >Q D ．不能确定『答 案』 C『解 析』 P 2＝2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7)，Q 2＝2a ＋13＋2(a ＋5)(a ＋8)，因为(a ＋6)(a ＋7)－(a ＋5)(a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－(a 2＋13a ＋40)＝2>0， 所以(a ＋6)(a ＋7)>(a ＋5)(a ＋8)，所以P 2>Q 2，所以P >Q . 反思感悟 比较大小的两种方法跟踪训练2 下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ，且1a >1b ，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则ab >1C ．若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >dD ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d 『答 案』 A『解 析』 对于A ，∵1a >1b ，∴b －a ab >0，又a >b ，∴b －a <0，∴ab <0， ∴a >0，b <0，故A 正确；对于B ，当a >0，b <0时，有ab<1，故B 错；对于C ，当a ＝10，b ＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3， 故C 错；对于D ，当a ＝－1，b ＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D 错． 三、利用不等式的性质求范围例3 已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和ab 的取值范围．解 ∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015，即13<a b <4. 故－24<a －b <45，13<a b<4.延伸探究已知1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围． 解 令a ＋b ＝μ，a －b ＝ν，则2≤μ≤4,1≤ν≤2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝μ，a －b ＝ν，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝μ＋ν2，b ＝μ－ν2，∴4a －2b ＝4·μ＋ν2－2·μ－ν2＝2μ＋2ν－μ＋ν＝μ＋3ν.而2≤μ≤4,3≤3ν≤6，则5≤μ＋3ν≤10， ∴5≤4a －2b ≤10.反思感悟 同向不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．跟踪训练3 已知0<a ＋b <2，－1<b －a <1，则2a －b 的取值范围是____________． 『答 案』 －32<2a －b <52『解 析』 因为0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1， 且2a －b ＝12(a ＋b )－32(－a ＋b )，结合不等式的性质可得， －32<2a －b <52.1．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b『答 案』 C『解 析』 由a ＋b >0知，a >－b ，∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0，∴a >－b >b >－a .2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫ab >0a >b ⇒1a >1b『答 案』 C『解 析』 当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；当ab <0时，a >b ⇒a ab <b ab ，即1a >1b，C 成立．同理可证D 不成立． 3．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d <b c C.a c >b d D.a c <b d『答 案』 B『解 析』 因为c <d <0，所以－c >－d >0， 即1－d >1－c>0. 又a >b >0，所以a －d >b－c ，从而有a d <b c.4．若a >b >c ，则下列不等式成立的是( ) A.1a －c >1b －c B.1a －c <1b －c C ．ac >bc D ．ac <bc『答 案』 B『解 析』 ∵a >b >c ，∴a －c >b －c >0，∴1a －c <1b －c ，故选B.5．若α，β满足－12<α<β<12，则α－β的取值范围是________．『答 案』 －1<α－β<0 『解 析』 ∵－12<α<12，－12<－β<12， ∴－1<α－β<1.又α<β，∴α－β<0，∴－1<α－β<0.1．知识清单：(1)等式的性质．(2)不等式的性质及其应用．2．方法归纳：作商比较法，乘方比较法．3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．。

2．1 等式2．1.1 等式的性质与方程的解集 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握等式的性质，并能进行应用．逻辑推理 数学运算2.理解常见恒等式及其变形的形式，能对一些式子进行化简．3.能通过因式分解求方程的解集.授课提示：对应学生用书第19页[教材提炼]知识点一 等式的性质1．等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，用公式表示：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；这里的a ，b ，c 可以是具体的一个数，也可以是一个代数式．2．等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用公式表示：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a c ＝b c(c ≠0)． 知识点二 恒等式1．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )；(平方差公式)2．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2；(两数差的平方公式)3．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；(两数和的平方公式)4．a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)；(立方差公式)5．a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)．(立方和公式)知识点三 方程的解集一般地，把一个方程所有解组成的集合称为方程的解集．[自主检测]1．一元二次方程x 2－2x ＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2为( )A ．－2B ．1C ．2D ．0 答案：D2．分解因式：x 2－1＝________.答案：(x ＋1)(x －1)3．方程x 2＋2x ＋1＝0的解集为________．答案：{－1}4．多项式4a－a3分解因式的结果是________．答案：a(2－a)(2＋a)授课提示：对应学生用书第19页探究一利用恒等式化简[例1](1)分解因式：9－b2＝________；(2)分解因式：4a2－4a＋1＝________.[解析](1)利用平方差公式分解因式．(2)利用完全平方公式分解．[答案](1)(3＋b)(3－b)(2)(2a－1)2利用恒等式化简的步骤(1)先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式．(2)提公因式后看多项式的项数．①若多项式为两项，则考虑用平方差公式因式分解．②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解．③若多项式有四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法．(3)若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按上面步骤进行．1．将多项式x－x3因式分解正确的是()A．x(x2－1)B．x(1－x2)C．x(x＋1)(x－1) D．x(1＋x)(1－x)解析：x－x3＝x(1－x2)＝x(1＋x)(1－x)．故选D.答案：D2．分解因式：a3b－ab3＝________.解析：a3b－ab3＝ab(a2－b2)＝ab(a＋b)(a－b)．答案：ab(a＋b)(a－b)探究二十字相乘法[例2] 分解因式：(1)x 2＋6x －7；(2)2x 2－7x ＋6；(3)x 2＋29xy ＋100y 2.[解析] (1)法一：x 2＋6x －7＝x 2＋6x ＋9－9－7＝(x ＋3)2－16＝(x ＋3＋4)(x ＋3－4)＝(x ＋7)(x －1)．法二：x 2＋6x －7＝(x ＋7)(x －1)．(2)首先把二次项系数2分成1×2，常数项6分成(－2)×(－3)，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数．右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1×(－3)＋2×(－2)＝－7，正好是一次项系数，从而得2x 2－7x ＋6＝(x －2)(2x －3)．(3)x 2＋29xy ＋100y 2＝x 2＋29y ·x ＋4y ·25y ＝(x ＋4y )(x ＋25y )．1．对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )进行因式分解．2．对于二次三项式ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 都是整数，且a ≠0)来说，如果存在四个整数a 1，c 1，a 2，c 2满足a 1a 2＝a ，c 1c 2＝c ，并且a 1c 2＋a 2c 1＝b ，那么二次三项式ax 2＋bx ＋c 即a 1a 2x 2＋(a 1c 2＋a 2c 1)x ＋c 1c 2可以分解为(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)．分解因式：－13x 2＋43x ＋7. 解析：－13x 2＋43x ＋7＝－13(x 2－4x －21)＝－13(x －7)(x ＋3)． 探究三 方程的解集[例3] 求方程6x 2－7x －5＝0的解集．[解析] 因为6x 2－7x －5＝(2x ＋1)(3x －5)，所以(2x ＋1)(3x －5)＝0，从而可知2x ＋1＝0或3x －5＝0，即x ＝－12或x ＝53， 因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，53.一元二次方程解法的选择(1)直接开平方法适用情况①当方程缺少一次项时，即方程ax 2＋c ＝0(a ≠0，ac ＜0)；②形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的方程． (2)因式分解法适用情况①缺少常数项，即方程ax 2＋bx ＝0(a ≠0)；②一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积．(3)配方法适用情况①二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程； ②各项的系数比较小且便于配方的情况．求方程2x 2－x －1＝0的解集．解析：因为2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，所以(2x ＋1)(x －1)＝0，从而可知2x ＋1＝0或x －1＝0，即x ＝－12或x ＝1， 因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1.。