高中数学【等式的性质与方程的解集】

知识必备02方程与不等式（公式、定理、结论图表）考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间；(2)工程问题：工作量=工效×工时；(3)比率问题：部分=全体×比率；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；(5)商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，；(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.考点二、一元二次方程1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.典例1：已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．【答案】（1）证明：∵不论取何值时，∴，即∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根..（2）将代入方程，得再将代入，原方程化为，解得．考点三、分式方程1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.典例2：近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程.【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得，整理，得．解这个方程，得x1＝4.8，x2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．典例3：如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象、，设，，则方程组的解是( )A． B． C． D．【思路点拨】图象、的交点的坐标就是方程组的解.【答案】B；【解析】由图可知图象、的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组的解为【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集） （大大、小小找不到）（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a， 则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞O a＞b；②a-b=O a=b；③a-b＜O a＜b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.典例4：解不等式组并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况，看看属于哪种情况．【答案与解析】解不等式①得：．解不等式②得：x≥-1．所以不等式组的解集为-1≤x＜．其解在数轴上表示为如图所示：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤.典例5：为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得解得30≤x≤32．所以x的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A种造型30个，B种造型20个；A种造型31个，B种造型19个；A种造型32个，B种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．。

2.1.1 等式的性质与方程的解集一、单选题1．已知()370x y y =≠，则下列比例式成立的是（ ）A ．37x y =B ．73xy = C ．37x y = D ．73x y= 【答案】B【分析】由等式的性质可判断各选项的正误.【详解】因为()370x y y =≠，则0x ≠，则73x y =，73x y =，故B 选项正确，ACD 选项错误. 故选：B.2．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺 （ ）A ．11尺B ．10尺C ．6.5尺D ．6尺【答案】C 【分析】利用条件可得方程组，即得.【详解】设长木长为x 尺，绳子长为y 尺，则4.5112y x x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得 6.5,11x y == 故选：C.3．已知关于x 的方程123ax x =+的解集为∅，则实数a 的值（ ） A ．0B ．1C ．23D ．32【答案】C【分析】先对方程整理得1123a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由解集为空集可得1023a -=，从而可求出实数a 的值 【详解】由123ax x =+，得1123a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为关于x 的方程123ax x =+的解集为∅， 所以1023a -=，得23a =，故选：C4．一元二次方程2560x x --=的解集为（ ）A ．{}6,1-B ．{}6,1-C ．{}2,3-D ．{}2,3- 【答案】B【分析】直接求解一元二次方程的解即可.【详解】2560x x --=可化为(6)(1)0x x -+=，解得6x =或1x =-所以一元二次方程2560x x --=的解集为{}6,1-故选：B5．某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有40%会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是（ ）A ．60%B ．70%C ．80%D ．90% 【答案】C【分析】设原来低收入市民人口为a ，则高收入市民人口为2a ，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为%x ，然后由题意列方程可求得结果【详解】解：设原来低收入市民人口为a ，则高收入市民人口为2a ，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为%x ，则由题意可得2240%%2(%240%)a a a x a a x a -⋅+⋅=-⋅+⋅，解得80x =，故选：C6．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）A ．如果a b =，那么a c b c +=-B ．如果26a a =，那么6a =C ．如果a b =，那么a b c c = D ．如果a b c c =，那么a b = 【答案】D【分析】取0c ≠，可判断A ；26a a =⇔6a =或0a =，可判断B ；取0c ，可判断C ；利用等式的性质，可判断D【详解】选项A ，当0c ≠时，显然不成立；选项B ，如果26a a =，那么6a =或0a =，显然不成立；选项C ，当0c 时，a b c c =无意义，不成立； 选项D ，如果a b c c =，则0c ≠，故a b c c c c ⨯=⨯，即a b =，成立 故选：D7．设1a b >>，111b y a +=+，2b y a =，311b y a -=-，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）． A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y << 【答案】C【分析】通过作差法分别比较1y 与2y ，2y 与3y 的大小，从而得出1y ，2y ，3y 的大小关系.【详解】因为1a b >>，所以0,10a b a ->->，所以121(1)(1)01(1)(1)b b a b b a a b y y a a a a a a ++-+--=-==>+++， 231(1)(1)01(1)(1)b b b a a b a b y y a a a a a a ------=-==>---， 所以1223,y y y y >>，即321y y y <<.故选：C.8．若224a b +=，223b c +=，223(c a a +=，b ，)c R ∈，则ab bc ca ++的最小值为（ ）A ．5-B ．2-C ．222-D ．222--【答案】B【分析】根据已知条件求出a ，b ，c 的值，即可求解．【详解】解：因为224a b +=，223b c +=，223(c a a +=，b ，)c R ∈， 所以联立方程组，求得22a =，22b =，21c =，从而2a =±，2b =±，1c =±，所以当a ，b 异号时，ab bc ca ++取最小值为2-．故选：B ．二、多选题9．方程221x x x m x x++=+解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}3D ．{}4 【答案】ABC 【分析】将所求方程化为220x x m --=，由分类讨论求出m 的值，再解原方程即可.【详解】由题意可知1x ≠-且0x ≠，则原方程可化为2x m x x+=，得220x x m --=， 若方程有一根为0，则0m =，此时原方程的解为2x =，（0x =舍去），符合题意；若方程有一根为1-，则3m =，此时原方程的解为3x =，（1x =-舍去），符合题意；若440m ∆=+=，解得1m =-，故原方程为2210x x -+=，解得1x =.故选：ABC.10．设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =+=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ）A ．15- B ．0 C ．3 D ．13- 【答案】ABD 【分析】根据A B B =，得到B A ⊆，然后分0a =， 0a ≠讨论求解.【详解】A B B = ，B A ∴⊆，{}{}2|81503,5A x x x =-+== ，当0a =时，B =∅，符合题意；当0a ≠时，1B a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 要使B A ⊆，则13a -=或15a-=， 解得13a =-或15a =-． 综上，0a =或13a =-或15a =-． 故选：ABD ．三、填空题11．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若2,3a b ==，则小正方形的面积是________.【答案】1【分析】设出小正方形边长，用勾股定理列出方程，求出小正方形的边长和面积.【详解】设小正方形边长为x ，由勾股定理得：()()()2222323x x +++=+，解得：1x =，故小正方形的面积为111⨯=.故答案为：1 12．设k ∈R ，若关于x 与y 的二元一次方程组312x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解集为空集，则k =______. 【答案】3【分析】两式相减，得到()31k x -=-，进而分3k =，3k ≠两种情况讨论求解即可得答案.【详解】两式相减，得到()31k x -=-，当3k =时，方程()31k x -=-无解，从而原方程组无解，其解集为空集．当3k ≠时，方程()31k x -=-的解为13x k -=-，解不是空集. 综上，3k = ．故答案为：3.13．一般情况下，2323m n m n ++=+不成立，但也有数可以使它成立，如0m n ==．使得2323m n m n ++=+成立的一对数m 、n 我们称为“相伴数对”，记为（m ，n ）．若（x ，1）是“相伴数对”，则x 的值为______．【答案】49- 【分析】利用“相伴数对”的定义求解.【详解】由题意，得112323x x ++=+， 解得49x =-．故答案为：49- 14．若等式()()2122ax bx x x +=-++恒成立，则常数a 与b 的和为______. 【答案】2【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点.【详解】等式()()2122ax bx x x +=-++恒成立，即()()2110a x b x -+-=恒成立，则有1010a b -=⎧⎨-=⎩，解之得11a b =⎧⎨=⎩，故112a b +=+= 故答案为：2四、解答题15．今年10月份，学校从某厂家购进了A 、B 型电脑共250台，A 、B 两种型号电脑的单价分别为7000元、9000元，其中购进A 型、B 型电脑的总金额和为205万元.（1）求学校10月份购进A 、B 型电脑各多少台？（2）为推进学校设备更新进程，学校决定11月份在同一厂家再次购进A 、B 两种型号的电脑，在此次采购中，比起10月份进购的同类型电脑，A 型电脑的单价下降了a %，A 型电脑数量增加了4%5a ，B 型电脑的单价上升了503a 元，B 型电脑数量下降了4%5a ，这次采购A 、B 两种型号电脑的总金额为205万元，求a 的值. 【答案】（1）100台，150台；（2）50.【分析】（1）设学校10月份购进A 型电脑x 台，结合总金额列方程，由此求得,A B 型电脑购进的台数. （2）结合采购的总金额列方程，由此求得a 的值.【详解】（1）设学校10月份购进A 型电脑x 台，则学校购进B 型电脑()250x -台，由题意得：()700090002502050000x x +-=，解得：100x =，则学校10月份B 型电脑为250100150-=（台）；答：学校10月份购进A 、B 型电脑各100、150台.（2）根据第（1）可得学校10月份购进A 、B 型电脑的单价各为7000元、9000元，由题意可得：()450470001%1001%90001501%2050000535a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+++⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令%a t =，方程整理得220t t -=，10t =（舍），20.5t = ∴50a =.即a 的值为50.16．设集合2{|8150}A x x x =-+=，{}10B x ax =-=.(1)若15a =，试判断集合A 与B 的关系； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值集合. 【答案】(1)B A(2)110,,35a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）直接代值计算判断即可； （2）得到{}{},3,5B =∅，依次计算即可.(1)当15a =时，{5}B =， 因为{}2{|8150}3,5A x x x =-+==，所以B A .(2)因为集合B 至多有一个元素，由B A ⊆，所以{}{},3,5B =∅ 当B =∅时，0a =；当{}3B =时，所以13a =； 当{}5B =时，所以15a =. 所以110,,35a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭.。

方程组的解集【教学过程】一、新知初探1．方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法．3．二元一（二）次方程组解集的表示方法为{（x ，y ）|（a ，b ），…}，其中a ，b 为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为{（x ，y ，z ）|（a ，b ，c ），…}，其中a ，b ，c 为确定的实数． 二、初试身手1．用代入法解方程组⎩⎨⎧y ＝1－xx －2y ＝4时，代入正确的是（）A ．x －2－x ＝4B ．x －2－2x ＝4C ．x －2＋2x ＝4D ．x －2＋x ＝4答案：C解析：⎩⎨⎧y ＝1－x ，①x －2y ＝4，②把①代入②得，x －2（1－x ）＝4，去括号得，x －2＋2x ＝4．故选C ．2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，解集为（）A ．{（x ，y ）|（2，3）}B ．{（x ，y ）|（3，2）}C ．{（x ，y ）|（－2，3）}D ．{（x ，y ）|（－2，－3）}答案：A解析：⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，①x ＋2y ＝8，②①＋②得：3x ＋3y ＝15，解得x ＝2，y ＝3，解集为{（x ，y ）|（2，3）}，故选A ．3．已知A ＝{（x ，y ）|x ＋y ＝5}，B ＝{（x ，y ）|2x －y ＝4}，则A ∩B ＝（） A ．{（x ，y ）|（1，4）} B ．{（x ，y ）|（2，3）} C ．{（x ，y ）|（3，2）} D ．{（x ，y ）|（4，1）}答案：C解析：根据题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝4，由代入消元法可求得x ＝3，y ＝2，故A ∩B ＝{（x ，y ）|（3，2）}．4．已知⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，那么x －y 的值是________．答案：－1解析：两式相减可得结果x －y ＝－1． 三、合作探究类型1：二元一次方程组的解集 例1：求下列方程组的解集．（1）⎩⎨⎧x ＋y ＝4，①2x －3y ＝3.②（2）⎩⎨⎧3x －7y ＝－1，①3x ＋7y ＝13.②解：（1）由①，得y ＝4－x ．③ 把③代入②，得2x －3（4－x ）＝3． 解这个方程，得x ＝3． 把x ＝3代入③，得y ＝1．所以原方程组的解集为{（x ，y ）|（3，1）}． （2）法一：①＋②，得6x ＝12，所以x ＝2． 把x ＝2代入②，得3×2＋7y ＝13，所以y ＝1． 所以原方程组的解集为{（x ，y ）|（2，1）}． 法二：①－②，得－14y ＝－14，所以y ＝1． 把y ＝1代入①得，3x －7×1＝－1，所以x ＝2． 所以原方程组的解集为{（x ，y ）|（2，1）}．规律方法求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．跟踪训练1．求下列方程组的解集．（1）⎩⎨⎧ 4x ＋8y ＝12，①3x －2y ＝5.②（2）⎩⎨⎧8x ＋9y ＝73，①7x ＋18y ＝2.②解：（1）由②，得2y ＝3x －5．③把③代入①，得4x ＋4（3x －5）＝12，解得x ＝2．把x ＝2代入③，得y ＝12．所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12．（2）由①×2，得16x ＋18y ＝146，③ 由③－②，得9x ＝144，解得x ＝16．把x ＝16代入①，得8×16＋9y ＝73，解得y ＝－559．所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－559．类型2：三元一次方程组的解集 例2：求下列方程组的解集．（1）⎩⎨⎧ x ＋y ＋z ＝12，①x ＋2y ＋5z ＝22，②x ＝4y .③（2）⎩⎨⎧2x ＋y ＋3z ＝11，①3x ＋2y －2z ＝11，②4x －3y －2z ＝4.③解：（1）法一：将③分别代入①②，得 ⎩⎨⎧ 5y ＋z ＝12，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝8．所以原方程组的解集为{（x ，y ，z ）|（8，2，2）}． 法二：②－①，得y ＋4z ＝10，④②－③，得6y ＋5z ＝22，⑤联立④⑤，得⎩⎨⎧ y ＋4z ＝10，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝8．所以原方程组的解集为{（x ，y ，z ）|（8，2，2）}． 法三：①×5，得5x ＋5y ＋5z ＝60，④ ④－②，得4x ＋3y ＝38，⑤ 联立③⑤，得⎩⎨⎧ x ＝4y ，4x ＋3y ＝38，解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝2，把x ＝8，y ＝2代入①，得z ＝2．所以原方程组的解集为{（x ，y ，z ）|（8，2，2）}． （2）①×2－②，得x ＋8z ＝11，④①×3＋③，得10x ＋7z ＝37，⑤ 联立④⑤，得⎩⎨⎧ x ＋8z ＝11，10x ＋7z ＝37，解得⎩⎨⎧x ＝3，z ＝1，把x ＝3，z ＝1代入①，得y ＝2．所以原方程组的解集为{（x ，y ，z ）|（3，2，1）}． 规律方法求三元一次方程组解集的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解．跟踪训练2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，①y ＋z ＝6，②z ＋x ＝3，③的解集．解：①＋②＋③，得2（x ＋y ＋z ）＝10，即x ＋y ＋z ＝5．④④－①，得z ＝4；④－②，得x ＝－1；④－③，得y ＝2． 所以原方程组的解集为{（x ，y ，z ）|（－1，2，4）}． 类型3：待定系数法求函数的解析式例3：已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点（－1，2），（2，8），（5，158），求这个二次函数的解析式．思路点拨：把a ，b ，c 看成三个未知数，分别把三组已知的x ，y 的值代入，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a ，b ，c 的值．解：根据题意，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝2，①4a ＋2b ＋c ＝8，②25a ＋5b ＋c ＝158，③②－①，得a ＋b ＝2，④③－①，得4a ＋b ＝26，⑤联立④⑤，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，4a ＋b ＝26，解得⎩⎨⎧a ＝8，b ＝－6，把a ＝8，b ＝－6代入①，得c ＝－12． 因此所求函数的解析式为y ＝8x 2－6x －12． 规律方法解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式．跟踪训练3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点（1，4），（3，－20），（－1，－12），求这个二次函数的解析式．解：根据题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4，9a ＋3b ＋c ＝－20，a －b ＋c ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝8，c ＝1，因此所求函数的解析式为y ＝－5x 2＋8x ＋1．类型4：二元二次方程组的解集 例4：求下列方程组的解集．（1）⎩⎨⎧x ＋y ＝8，①xy ＝12.②（2）⎩⎨⎧x 2－4xy ＋4y 2＋x －2y －2＝0，①3x ＋2y －11＝0.②解：（1）由①得y ＝8－x ，③ 把③代入②，整理得x 2－8x ＋12＝0． 解得x 1＝2，x 2＝6． 把x 1＝2代入③，得y 1＝6． 把x 2＝6代入③，得y 2＝2．所以原方程组的解集为{（x ，y ）|（2，6），（6，2）}．（2）由①得（x －2y ）2＋（x －2y ）－2＝0， 解得x －2y ＝1或x －2y ＝－2， 由⎩⎨⎧ x －2y ＝1，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.由⎩⎨⎧x －2y ＝－2，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝178.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y⎪⎪⎪3，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，178． 规律方法求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程．跟踪训练4．求方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝4，①2xy ＝－21②的解集．解：∵方程①是x 与2y 的和，方程②是x 与2y 的积，∴x 与2y 是方程z 2－4z －21＝0的两个根，解此方程得z 1＝－3，z 2＝7， ∴⎩⎨⎧ x ＝－3，2y ＝7或⎩⎨⎧x ＝7，2y ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝72或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－32.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，72，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，－32．类型5：方程组的实际应用例5：某汽车在相距70km 的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h ，从乙地到甲地需要2.3h ．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30km ，20km ，40km ，则从甲地到乙的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？思路点拨：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h ．解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km ，y km 和z km ．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝70，x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝54，z ＝4，故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km ，平路是54km ，下坡路是4km ．规律方法根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题． 跟踪训练5．在中国古算术《张丘建算经》（约成书于公元5世纪）里，有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？（三种鸡都买）解：设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x 只、y 只、z 只．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，①5x ＋3y ＋z3＝100.② ②×3－①，得7x ＋4y ＝100，y ＝100－7x 4＝25－74x ．因为x ，y 均为正数，所以x 一定是4的倍数，且x 是小于1007的正整数，所以x 的取值只能为4，8，12．若x ＝4，则y ＝18，z ＝78； 若x ＝8，则y ＝11，z ＝81； 若x ＝12，则y ＝4，z ＝84．故鸡翁为4只，鸡母为18只，鸡雏为78只或鸡翁为8只，鸡母为11只，鸡雏为81只或鸡翁为12只，鸡母为4只，鸡雏为84只． 四、课堂小结1．求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．2．待定系数法求函数的解析式，解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式． 五、当堂达标1．二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋3y ＝7，y －x ＝1的解集是（）A ．{（x ，y ）|（1，2）}B ．{（x ，y ）|（1，0）}C ．{（x ，y ）|（－1，2）}D ．{（x ，y ）|（1，－2）} 答案：A解析：由加减消元法可求得x ＝1，y ＝2，故所求方程组的解集为{（x ，y ）|（1，2）}．2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y －z ＝11，x ＋z ＝5，x －y ＋2z ＝1的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取（）A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对 答案：B解析：根据系数特点，先消去y 最简便，故选B ．3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差（）A ．80毫升B ．110毫升C ．140毫升D ．220毫升 答案：B解析：设甲杯中原有水a 毫升，乙杯中原有水b 毫升，丙杯中原有水c 毫升，依题意有⎩⎨⎧a ＋c －40＝2a ，①a ＋b ＋c ＋180＝3b ，②②－①，得b －a ＝110，故选B ．4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝3和⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2.试写出符合要求的方程组________．答案：错误!解析：由于这两组解都有：xy ＝2×3＝6，x －y ＝－1，故可组成方程组为⎩⎨⎧xy ＝6，x －y ＝－1（答案不唯一）．。

2.1.1 等式的性质与方程的解集教学设计本节学习等式的性质与方程的解集，是人教B版必修一第二章第一节的内容。

学生尽管已经学习过等式的性质的一些内容，包括一元一次方程以及一元二次方程的解法，但我们会继续学习，并体会解方程的基本依据是等式的性质，为后续的学习打好基础。

课程目标核心素养（1）掌握等式的性质并会应用；（2）掌握几个重要的恒等式（3）会用十字相乘法进行因式分解；（4）会求一元一次方程以及一元二次方程的解集. a.数学抽象：理解等式的性质，体会用等式的性质解方程；b.逻辑推理：通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法；c.数学运算：求方程的解集；d.直观想象：十字相乘法分解因式；e.数据分析: 例3中对常数a的分类讨论，是理解和处理数据a的方法教学重点：（1）掌握等式的性质及恒等式；（2）会求一元一次方程以及一元二次方程的解集. 教学难点：会用十字相乘法进行因式分解。

一、等式的性质1.复习回顾我们已经学习过等式的性质：（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。

2.尝试与发现用符号语言和量词表示上述等式的性质：（1）如果b a =，则对任意c ，都有 c b c a +=+ ； （2）如果b a =，则对任意不为零的c ，都有 bc ac =.因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立.二、恒等式1.尝试与发现补全下列（1）（2）中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准：(1) a 2-b 2= （平方差公式）；(2) (x+y)2= （两数和的平方公式）；(3) 3x-6=0；(4) (a+b)c=ac+bc ；(5) m(m-1)=0；(6) t 3+1=(t+1)(t 2-t+1).2.感受新知（1）从量词的角度来对以上6个等式进行分类：对任意实数都成立的等式有：（1（2）（4）（6）只是存在实数使其成立的等式有： （3）（5）（2）一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。

第二章等式与不等式本章小结学习目标能够从函数的观点认识方程和不等式,感悟函数和方程、不等式之间的联系,认识函数的重要性.掌握等式与不等式的性质.重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习{等式式与不等关系实数大小的比较依据——次不等式及其解法{{课堂探究任务一:不等式的基本性质的应用例1下列结论中正确的是()①a>b>0,d>c>0⇒ac>bd;②a>b,c>d⇒a-c>b-d;③ac2>bc2⇒a>b;④a>b⇒a n>b n(n∈N,n>1).A.①②③B.①③C.②③④D.①③④任务二:一元二次不等式的解法及其应用例2解下列不等式:(1)x-1x≥2;(2)2x3+x2-5x+2>0.例3解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.解一元二次不等式的步骤:任务三:二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系例4当实数m取何范围的值时,方程x2+(m-3)x+m=0的两根满足:(1)都是正根;(2)都在(0,2)内?思考:根的分布问题应该从哪几个方面考虑?例5已知一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1},则a= ,b= .任务四:基本不等式的应用例6已知3a2+2b2=5,试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值.例7如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=3米,AD=2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN 的长为多少时,矩形花坛AMPN 的面积最小?并求出最小值.课堂练习1.若a ∈R 且a ≠0,比较a 与1a 的大小.2.求函数y=x 4+3x 2+3x 2+1的最小值.核心素养专练对任意x ∈[1,2],不等式1-mx ≤√1+x≤1-nx 恒成立,试求n 的最大值与m 的最小值.参考答案自主预习略 课堂探究例1 思路分析:判断不等关系的真假,要紧扣不等式的性质,应注意条件与结论之间的联系. 【解析】∵d>c>0⇒1c >1d>0,又a>b>0,∴a c >bd,∴①对;∵a>b ,-c<-d 不同向,不等式不可加,∴②错; ∵ac 2>bc 2,c 2>0,∴a>b ,∴③对;只有当a>b>0时,才有a n >b n ,∴④错,故选B .答案:B例2 【思路分析】对于(1),要先移项、通分化为f(x)g(x)≥0(或f(x)g(x)≤0)的形式,再化为整式不等式,转化必须保持等价;对于(2),要因式分解后借助穿根法处理.【解】(1)原不等式可化为x -1x -2≥0,∴-x -1x>0,∴{x(x +1)≤0,x ≠0,∴-1≤x<0.∴原不等式的解集为{x|-1≤x<0}.(2)原不等式可化为(x-1)(x+2)(2x-1)>0. 利用数轴标根法或穿根法(如图所示),∴-2<x<12或x>1.∴不等式的解集为{x |-2<x <12或x >1}.例3 【思路分析】不等式中含有参数a ,因此需要先判断参数a 对方程(x-2)(ax-2)=0的解的影响,然后求解.【解】(1)当a=0时,原不等式化为x-2<0,∴x<2,∴原不等式的解集为{x|x<2}.(2)当a<0时,原不等式化为(x-2)(x -2a )<0.方程(x-2)(x -2a )=0的两根为2,2a ,又2>2a,∴原不等式的解集为{x |2a<x <2}.(3)当a>0时,原不等式化为(x-2)(x -2a )>0.方程(x-2)(x -2a )=0的两根为2,2a .当0<a<1时,2a >2,原不等式的解集为{x |x >2a 或x <2}. 当a=1时,原不等式化为(x-2)2>0,解集为{x ∈R |x ≠2}. 当a>1时,2>2a >0,原不等式的解集为{x |x >2或x <2a }. 综上所述,不等式解集为当a=0时,{x ∈R |x<2};当a=1时,{x ∈R |x ≠2};当a<0时,{x |2a<x <2};当0<a<1时,{x |x >2a 或x <2};当a>1时,{x |x >2或x <2a }.解一元二次不等式的步骤: 1.若能因式分解,则用数轴穿根法; 2.若不能因式分解,则用配方法. 配方法的步骤:(1)把一元二次不等式的二次项系数化为1;(2)一元二次不等式通过配方变为(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的形式; (3)根据k 值情况确定不等式的解集.例4 【思路分析】对于(1),可利用判别式及根与系数的关系求解;对于(2),可构造二次函数,结合二次函数的图像求解.【解】(1)设方程的两根为x 1,x 2.则由题意可得{Δ=m 2-10m +9≥0,x 1+x 2=3-m >0,x 1x 2=m >0.解得m 的取值范围是(0,1]. (2)(由对应的函数几何意义求解) 设f (x )=x 2+(m-3)x+m ,由题意得{Δ=m 2-10m +9≥0,f(0)=m >0,0<3-m2<2,f(2)=3m -2>0.解得23<m ≤1. 思考:根的分布问题应该从哪几个方面考虑? 1.开口方向; 2.判别式Δ; 3.对称轴;4.区间端点函数值的正负.例5 【思路分析】由于一元二次不等式解集的分界点是相应一元二次方程的两根,所以解答就从这个关系入手.【解析】由于ax 2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1},所以-2和1是方程ax 2+bx+1=0(a ≠0)的两根. 由根与系数的关系,得 {-2+1=-ba ,-2×1=1a ,解得a=b=-12. 答案:-12-12例6 【思路分析】要求积的最大值,关键是结合条件配凑出和为定值,然后利用基本不等式求解. 【解】∵2a 2+1>0,b 2+2>0,y=(2a 2+1)(b 2+2),∴√12y =√3(2a 2+1)·4(b 2+2)≤6a 2+3+4b 2+82.∵3a 2+2b 2=5,∴6a 2+4b 2=10. ∴√12y ≤212,可得√y ≤7√34.∴y 的最大值为14716.例7 【思路分析】对于(1),首先建立矩形AMPN 的面积y 与DN 的长x 的函数关系式,然后利用不等式求解;对于(2),根据(1)中建立的函数关系式结合基本不等式求解.【解】(1)设DN 的长为x (x>0)米,则AN 的长为(x+2)米,如图所示.∵DN AN =DC AM ,∴AM=3(x+2)x.∴矩形花坛AMPN 的面积y=AN ·AM=3(x+2)2x.由y>32,得3(x+2)2x>32.∵x>0,∴3x 2-20x+12>0.解得0<x<23或x>6,即DN 长的取值范围是(0,23)∪(6,+∞). (2)由(1)知矩形花坛AMPN 的面积为y=3(x+2)2x=3x 2+12x+12x=3x+12x +12≥2√3x ·12x +12=24.当且仅当3x=12x,即x=2时,矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24平方米.故DN 的长为2米时,矩形AMPN 的面积最小,最小值为24平方米. 课堂练习1.【思路分析】可以利用作差比较法比较两个代数式的大小. 【解】a-1a =(a -1)(a+1)a.当a=±1时,(a -1)(a+1)a=0,则a=1a ;当-1<a<0或a>1时,(a -1)(a+1)a>0,则a>1a . 当a<-1或0<a<1时,(a -1)(a+1)a<0,则a<1a .2.【思路分析】从函数解析式结构上看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,怎么办呢?事实上,我们可以把分母视为一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.【解】令t=x 2+1,则t ≥1,且x 2=t-1.∴y=x 4+3x 2+3x 2+1=(t -1)2+3(t -1)+3t =t 2+t+1t=t+1t +1.∵t ≥1,∴t+1t ≥2√t ·1t =2,当且仅当t=1t ,即t=1时,等号成立.∴当x=0时,函数取得最小值3.核心素养专练【思路分析】对任意x ∈[1,2],不等式恒成立,且m 与n 都是一次的,因此可考虑分离参数m 和n. 【解】∵1-mx ≤√1+x≤1-nx 恒成立,∴-mx ≤√1+x -1≤-nx ,∴-mx ≤√1+x√1+x ≤-nx ,∴-mx ≤√1+x(1+√1+x)≤-nx.又∵x ∈[1,2],∴n ≤(√1+x)2+√1+x≤m 恒成立. 设y=(√1+x)2+√1+x,x ∈[1,2],令√1+x =t ,则t ∈[√2,√3],y=1t 2+t . 可求得y min =3-√36,y max =2-√22,∴m=2-√22,n=3-√36.故所求n 的最大值为3-√36,m 的最小值为2-√22.学习目标1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质,通过类比理解等式与不等式的共性与差异;2.会解常见的方程和不等式及不等式组,如一元二次方程、一元二次不等式、绝对值不等式、二元及三元方程组等;3.掌握基本不等式,结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值和最小值问题. 本章重点:绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、均值不等式的应用.本章难点:均值不等式的灵活应用及不等式的证明.重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.培养学生类比思想、分类讨论思想和数形结合的数学思想等.知识点梳理课堂探究●不等式性质的应用例1(1)(多选)下列命题正确的有()A.若a>1,则1a<1B.若a+c>b,则1a <1 bC.对任意实数a,都有a2≥aD.若ac2>bc2,则a>b(2)已知2<a<3,-2<b<-1,求ab,b2a的取值范围.◎跟踪训练1(多选)已知a,b,c∈R,那么下列命题中错误的是() A.若a>b,则ac2>bc2B.若ac >bc,则a>bC.若a3>b3且ab<0,则1a >1 bD .若a 2>b 2且ab>0,则1a <1b●不等式组的解法 例21.解不等式组:{5x-1<3(x +1),2x-13-1≤5x +12.2.已知关于x 的不等式组{x +a ≤0,3+2x >5的整数解只有3个,求a 的取值范围.3.解下列关于x 的不等式. (1)-1<x 2+2x-1≤2; (2)m 2x 2+2mx-3<0.◎跟踪训练2 解下列不等式. (1)x -1x+2≤0; (2)-3x 2-2x+8≥0; (3)ax 2-(a+1)x+1<0.●绝对值不等式的解法 例3 解下列不等式. (1)|2x-5|>3; (2)|2x-1|+|2x+1|≤6.◎跟踪训练3解下列不等式.(1)|2x+1|-2|x-1|>0;(2)|x+3|-|2x-1|<x2+1.●均值不等式例4若x>0,y>0,且x+2y=5,求9x +2y的最小值,并求出取得最小值时x,y的值.◎跟踪训练41.函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是.2.当x>1时,不等式x+1x-1≥a恒成立,当x= 时等号成立,实数a的取值范围是.●等式与不等式的应用例5某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积.课堂练习1.已知集合M={x|-4≤x ≤7},N={x|x 2-x-12>0},则M ∩N=( ) A.{x|-4≤x<-3或4<x ≤7} B.{x|-4<x ≤-3或4≤x<7} C.{x|x ≤-3或x>4} D.{x|x<-3或x ≥4}2.(多选)已知a>b>0,下列不等式不成立的是( ) A.a+1b >b+1aB.a+1a ≥b+1bC.b a >b+1a+1D.b-1b>a-1a3.不等式|x+1|-|x-2|≥1的解集是 .4.已知x>0,y>0,且满足8x +1y=1,xy= 时,x+2y 的最小值为 .核心素养专练[A 基础达标]1.(多选)如果a ,b ,c 满足c<b<a ,且ac<0,那么下列不等式中一定成立的是( ) A .ab>ac B .c (b-a )>0 C .cb 2<ab 2 D .ac (a-c )<02.若a>0,b>0,且a 2+3b 2=6,则ab 的最大值为( ) A .1B .√2C .√3D .23.设m>1,P=m+4m -1,Q=5,则P ,Q 的大小关系为( ) A .P<QB .P=QC .P ≥QD .P ≤Q4.不等式1+x>11-x 的解集为( ) A .{x|x>0} B .{x|x ≥1} C .{x|x>1} D .{x|x>1或x=0} 5.设a ,b 是不相等的正数,x=√a+√b2,y=√a+b 2,则x ,y 的大小关系是 (用“>”“<”或“=”连接).6.设m+n>0,则关于x 的不等式(m-x )(n+x )>0的解集是 .7.已知0<x<12,则y=12x (1-2x )的最大值为 ,此时x= . 8.解下列不等式: (1)0<|x-2|≤|4x+2|; (2)2x+1x -5≥-1.9.已知x ,y 都是正数.(1)若3x+2y=12,求xy 的最大值;(2)若x+2y=3,求1x +1y 的最小值.[B 能力提升]10.不等式4x -2≤x-2的解集是( )A .(-∞,0]∪(2,4]B .[0,2)∪[4,+∞)C .[2,4)D .(-∞,2]∪(4,+∞)11.已知实数x ,y ,若x ≥0,y ≥0且x+y=3,则x+1x+2+y y+1的最大值为 ,此时xy= . 12.解不等式3x -7x 2+2x -3≥2.13.解关于x 的不等式ax 2+(1-a )x-1>0(a<0).14.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD ,已知点E 在边CD 上,AE=CE ,AB>AD ,矩形的周长为8 cm .(1)设AB=x cm,试用x 表示出图中DE 的长度,并求出x 的取值范围;(2)计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空,如果要使△ADE 的面积最大,那么应怎样设计队徽的长和宽?参考答案课堂探究例1 (1)AD (2)-6<ab<-213<b 2a <2跟踪训练1 ABD例2 1.解集为[-1,2) 2.(-5,-4]3.解:(1){x 2+2x -1≤2,x 2+2x -1>-1⇒{x 2+2x -3≤0,x 2+2x >0⇒{-3≤x ≤1,x >0或x <-2,不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0<x ≤1}.(2)当m=0时,-3<0恒成立,解集为R .当m ≠0时,二次项系数m 2>0,Δ=16m 2>0.不等式化为(mx+3)(mx-1)<0.当m>0时,解集为{x |-3m <x <1m }; 当m<0时,解集为{x |1m <x <-3m }.跟踪训练2 (1)(-2,1](2)[-2,43] (3)解:当a=0时,x>1,解集为(1,+∞);当a ≠0时,方程化简为(ax-1)(x-1)<0.当a<0时,方程整理为(x -1a )(x-1)>0,(1a <0), ∴x>1或x<1a ,解集为(-∞,1a )∪(1,+∞);当a>0时,方程整理为(x -1a )(x-1)<0,(1a>0), 当0<a<1时,1a >1,∴1<x<1a ,解集为(1,1a); 当a=1时,1a =1,∴方程无解,解集为空集;当a>1时,1a <1,∴1a <x<1,解集为(1a ,1). 例3 (1)(-∞,-1)∪(4,+∞)(2)[-32,32]跟踪训练3(1)不等式的解集为{x |x >14}.(2)不等式的解集为{x |x <-25或x >2}.例4 解:因为x>0,y>0,且x+2y=5, 所以9x +2y =15(x+2y )(9x +2y ) =15(13+18y x +2x y ) ≥15(13+2√18y x ·2x y )=5,当且仅当{x +2y =5,18y x =2x y,即{x =3,y =1时等号成立. 所以9x +2y 的最小值为5,此时x=3,y=1. 跟踪训练41.982.2 a ≤3例5 解:设将楼房建为x 层,平均综合费用设为y 元. 则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x =10 800x .∴每平方米的平均综合费用y=560+48x+10 800x =560+48(x +225x ). 当x+225x取最小值时,y 有最小值. ∵x>0,∴x+225x ≥2√x ·225x =30. 当且仅当x=225x ,即x=15时,上式等号成立.∴当x=15时,y 有最小值2 000元.因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少. 课堂练习1.A2.BCD3.[1,+∞)4.36 18 核心素养专练A 基础达标1.ABD2.C3.C4.C5.x<y6.(-n ,m )7.116 148.(1){x |x ≤-43或x ≥0且x ≠2} (2){x |x >5或x ≤43}9.(1)6 (2)1+23√2B 能力提升10.B11.43 212.(-3,1)13.当-1<a<0时,解集为{x |1<x <-1a } 当a=-1时,解集为⌀ 当a<-1时,解集为{x |-1a <x <1} 14.解: (1)设DE=y cm,则AE=CE=(x-y )cm, 由矩形周长为8 cm,可得AD=(4-x )cm . 在三角形ADE 中,由勾股定理可得(4-x )2+y 2=(x-y )2, 整理得y=4-8x ,由AB>AD 可得x>2,由周长为8可得x<4, 综上DE 长度为(4-8x )cm,2<x<4. (2)S=12(4-x )×y ,由y=4-8x 可得S=12(4-x )·(4-8x )=2(4-x )(1-2x )=2(6-x -8x), 由2<x<4可得x+8x ≥2√8=4√2,当且仅当x=2√2时取到等号, 因此S max =2(6-4√2)=12-8√2,此时队徽的长为2√2 cm,宽为(4-2√2)cm .。

高一上必修一第二章《等式与不等式》知识点梳理
2.1.1 等式的性质与方程的解集
　目标：
1、掌握等式的性质.
2、掌握几个重要的恒等式.
3、掌握因式分解中的十字相乘法.
4、规范方程的解集的书写.
重点：
从量词和逻辑的角度呈现等式的性质；从集合的角度呈现方程的解集.
难点：
熟练使用“十字相乘法”分解因式.
学习新知
　（一）等式的性质：
（二）恒等式
含有字母的等式中，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称这样的等式为恒等式，也称等式两边恒等.
1、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
2、两数和的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
例1 化简(2x+1)2-(x-1)2.
解：(方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即
(2x +1)2-(x-1)2
= 4x2+4x+1-(x2-2x +1)
=3x2+6x .
(方法二）可以将2x +1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即
(2x +1)2-(x-1)2
=[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)]
= 3x(x + 2) = 3x2 +6x .
例2 （1）计算：(x-6)(x+1)
（2）分解因式：x2+5x+6
（2）分解因式：x2+5x-6。

《2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：通过本次作业，学生应理解等式的性质，掌握解集的概念和分类，并能应用所学知识解决简单的实际问题。

二、作业内容：1. 课堂笔记复习：回顾等式的性质，包括等式两边加（减）同一个数（或量）等式仍成立，等式两边同时乘（除）以非零的数等式仍成立。

要求学生对这些性质进行总结，并在笔记中加以解释。

2. 完成课后练习：完成教材中的相关练习，检验学生对等式性质的理解和应用。

练习题应覆盖多种题型，包括选择题、填空题和解答题。

3. 制作解集图表：针对本节课程中方程的解集概念，学生需尝试解一些简单的方程，并制作对应的解集图表。

图表需清晰标明方程的解，以及解集的分类（如一元一次方程、一元二次方程等）。

4. 实际问题解决：尝试用所学知识解决一些简单的实际问题，如根据已知条件求方程的解，或根据方程的解集判断实际问题的真假等。

三、作业要求：1. 独立完成：学生需独立完成上述作业，不得抄袭或参考他人。

2. 认真总结：对课堂笔记复习和练习题解答，学生需认真总结自己的理解与体会，并记录在作业本上。

3. 按时提交：所有作业应在规定时间内提交，逾期未提交者将被视为放弃。

四、作业评价：1. 批改方式：教师将对提交的作业进行批改，并给出相应的分数或评价。

2. 评价标准：评价将基于学生作业的完成情况、理解程度和应用能力进行。

特别关注学生对等式性质的理解和应用，以及解集概念的掌握程度。

3. 反馈与指导：对于普遍存在的问题和疑惑，教师将在课堂上进行集中讲解和指导。

对于个别问题，教师将给予个别反馈和建议。

五、作业反馈：1. 学生自查：提交作业后，学生应认真阅读批改意见，并根据意见进行修正和改进。

2. 小组互评：小组内可进行互评和交流，分享学习经验和成果。

3. 教师总结：教师将对反馈意见进行总结，并根据需要调整教学策略和方向。

同时，教师也将关注学生的进步和成长，给予相应的鼓励和支持。

第二章等式与不等式[数学文化]——了解数学文化的发展与应用柯西与柯西不等式在历史上，有一位数学家叫欧拉，他的徒弟叫拉格朗日，他徒弟的徒弟叫柯西.这个徒弟的徒弟虽然比不上他，但是还是写了些东西的，做出了一些成就.柯西，出生于巴黎，在数学领域有很高的建树和造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分等式，他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书.[读图探新]——发现现象背后的知识1.在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.图12.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还需继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，“刹车距离”是分析事故的重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但最后还是碰了，事后现场勘查发现甲的刹车距离超过12 m，乙的刹车距离超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.图23.某金店有一座天平，由于左、右两臂长略有不等，所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左、右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数a＋b2作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出了质疑.图3问题1：在图1中，从数学的角度应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？问题2：在图2中，如何检验甲、乙两车有无超速现象？问题3：在图3中，这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢？链接：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系或不等关系构建方程、不等式等，不等式中通常利用不等符号来表示，如不超过即为小于等于，超过则为大于.刹车距离与速度有着密切的关系，通过本章学习，我们可以迅速地判断汽车是否超速及项链重量的真实性问题.2.1等式2.1.1等式的性质与方程的解集课标要求素养要求1.能用符号语言和量词表示等式的性质.2.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式.3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求一些方程的解集. 通过利用等式的性质和恒等式的变形培养数学运算素养.教材知识探究有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其它动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等.我这里有一个方程5x－2＝2x－2.等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x①等式两边同时除以x，得5＝2②”老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑.你认为狐狸的说法正确吗？问题如果正确，请说明理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正. 提示不正确.错在②上，应改为等式两边同时加上－2x，得5x－2x＝2x－2x，即3x＝0，两边同乘以13，得x＝0.1.等式的性质这些性质是等式或方程变形的依据(1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c；(2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc；(3)如果a＝b，则对任意c，都有a－c＝b－c；(4)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc.2.恒等式(1)恒等式的含义若恒等式两边是多项式，则对应项的系数相等一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等.(2)常见的代数恒等式①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2②a2－b2＝(a＋b)(a－b)③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)④(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd(3)十字相乘法给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx ＋D＝(x＋a)(x＋b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.3.方程的解集(1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.(2)方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x1≠x2时解集为{x1，x2}，当x1＝x2时解集为{x1}.教材拓展补遗[微判断]1.若ac＝bc，则a＝b.(×)提示当c＝0时，不一定有a＝b.2.若a＝b，则ac＝bc.(×)提示当c＝0时，得不到ac＝bc.3.2x＋5＝0是等式，但不是恒等式.(√)4.t3－1＝(t－1)(t2＋t＋1)是恒等式.(√)[微训练]1.根据等式的性质，下列各式变形正确的是()A.由13x＝23y，得x＝2yB.由3x－2＝4x＋2，得x＝4C.由2x－3＝3x，得x＝3D.由3x－5＝7，得3x＝7－5解析对等式13x＝23y两边同乘以3，得x＝2y，A正确，B、C、D均不正确.答案 A2.若a＝b，则在①a＋3＝b＋3；②a＋2＝b－2；③a－m＝b－m；④a＋4＝b－2中，正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析由等式性质知①③正确，②④不正确.答案 B3.(1)(m＋n)·k＝mk＋nk用量词表述为____________________________________.(2)x(x＋2)＝0用量词表述为_____________________________________________. 答案(1)对m，n，k∈R，(m＋n)k＝mk＋nk(2)x∈R，x(x＋2)＝0[微思考]1.方程是等式吗？提示方程是等式.2.x＋y＝1是恒等式吗？提示x＋y＝1不是恒等式.3.若Ex2＋Fx＋G＝(ax＋b)(cx＋d)，则E，F，G与a，b，c，d之间有什么关系. 提示E＝ac，F＝ad＋bc，G＝bd.题型一代数式的化简【例1】化简(x＋1)2－(1－2x)2.解法一(x＋1)2－(1－2x)2＝x2＋2x＋1－(1－4x＋4x2)＝x2＋2x＋1－1＋4x－4x2＝－3x2＋6x.法二(x＋1)2－(1－2x)2＝[(x＋1)＋(1－2x)][(x＋1)－(1－2x)]＝(2－x)3x＝－3x2＋6x.规律方法代数式的化简常利用到代数乘法公式.【训练1】化简(3x＋1)2－(x＋1)2.解法一(3x＋1)2－(x＋1)2＝9x2＋6x＋1－(x2＋2x＋1)＝9x2＋6x＋1－x2－2x－1＝8x2＋4x.法二(3x＋1)2－(x＋1)2＝[(3x＋1)＋(x＋1)][(3x＋1)－(x＋1)]＝(4x＋2)·2x＝8x2＋4x.题型二“十字相乘法”分解因式【例2】分解因式：(1)x2－x－6；(2)2x2－3x＋1.规律方法(1)x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)需满足C＝a＋b，D＝ab；(2)Ex2＋Fx＋G＝(ax＋b)(cx＋d)需满足E＝ac，F＝ad＋bc，G＝bd.【训练2】分解因式：(1)x2－3x＋2；(2)－x2＋(a－2)x＋2a.题型三求方程的解集【例3】 (1)求关于x 的方程ax ＝1(其中a 是常数)的解集； (2)求方程4x 2－3x －1＝0的解集.解 (1)当a ＝0时，0×x ＝1无解，此时解集为；当a ≠0时，在方程ax ＝1两边同时乘以1a ，得x ＝1a ，此时解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ；综上，当a ＝0时，解集为；当a ≠0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a .(2)因为4x 2－3x －1＝(x －1)(4x ＋1)， 所以原方程可化为(x －1)(4x ＋1)＝0，所以x －1＝0或4x ＋1＝0，即x ＝1或x ＝－14，故原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14，1.规律方法 1.对于形如ax ＝b (x 为未知数，a ，b 为常数)的方程要注意讨论a ，b 是否为零.2.“十字相乘法”也是解一元二次方程的一种常见方法. 【训练3】 (1)求关于x 的方程ax ＝0(其中a 为常数)的解集； (2)求关于x 的方程3x 2－(6＋t )x ＋2t ＝0(其中t 为常数)的解集. 解 (1)当a ＝0时，解集为R ； 当a ≠0时，解集为{0}.(2)∵3x 2－(6＋t )x ＋2t ＝(x －2)(3x －t )， 原方程可化为(x －2)(3x －t )＝0， ∴x －2＝0或3x －t ＝0. 即x ＝2或x ＝t3，∴当t ＝6时，方程的解集为{2}； 当t ≠6时，方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，t 3.一、素养落地1.通过等式性质及恒等式代数变形的应用，能加强我们对运算合理性、严谨性的认识，提升数学运算素养.2.恒等式是进行代数变形的依据之一，要熟悉常见的代数恒等式，重点掌握“十字相乘法”这一常见方法.3.对于求含参数的方程的解集，要注意对参数分类讨论，并把结果写成集合形式. 二、素养训练1.下列说法正确的是( )A.在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝cB.在等式a ＝b 两边都除以c 2＋1，可得a c 2＋1＝bc 2＋1C.在等式b a ＝ca 两边都除以a ，可得b ＝cD.在等式2x ＝2a －b 两边同除以2，可得x ＝a －b解析 对A ，当a ＝0时不正确；对B ，∵c 2＋1≠0，∴B 正确；对C ，等式b a ＝ca 两边都除以a 可得b a 2＝ca 2，∴C 不正确；对D 在等式2x ＝2a －b 两边同除以2，得x ＝a －b2，∴D 不正确. 答案 B2.下列叙述正确的有( ) ①用等号连接的式子叫等式 ②方程不可能有无数个解 ③方程ax ＝10的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫10a④二次三项式都能进行因式分解 A.0个 B.1个 C.3个D.4个解析 由等式的定义知①正确；关于x ，y 的方程x ＋y ＝1有无数个解，②不正确；对③，当a ＝0时，不正确；对④，当二次三项式的判别式小于零时，不正确.答案 B3.方程x(x－1)(x＋2)(x＋5)＝0的解集是________.解析由x(x－1)(x＋2)(x＋5)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－2或x＝－5.∴方程的解集为{－5，－2，0，1}.答案{－5，－2，0，1}4.由恒等式(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，可直接得到(a－b)3＝________.解析在恒等式中，以－b代b得(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.答案a3－3a2b＋3ab2－b35.求方程1x＋1－1x＋2＝1x＋3－1x＋4的解集.解方程可化为1（x＋1）（x＋2）＝1（x＋3）（x＋4），即1x2＋3x＋2＝1x2＋7x＋12.∴x2＋3x＋2＝x2＋7x＋12≠0∴x＝－52，所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52.基础达标一、选择题1.下列等式变形正确的是()A.若x－1＝y＋1，则x＝yB.若m＝n，则m3＝n3C.若2x＝－2x，则x＝－2D.若2x＝3，则x＝2 3解析若m＝n，则两边同除以3，得m3＝n3，故B正确，其余均不正确.答案 B2.下列式子是恒等式的是()A.9＝3B.y＝x＋1C.a2－2b2＝(a＋2b)(a－2b)D.5x－2＝0解析 A 中等式不含字母，不是恒等式；对B ，当x ＝1，y ＝1时不成立，不是恒等式；对C ，对a ，b ∈R ，等式均成立，∴C 中等式是恒等式；对D ，由于只有x ＝25时等式成立，不是恒等式. 答案 C3.下列叙述正确的个数为( ) ①x 2－x ＋1不能分解因式②a 2－2ab －3b 2可分解为(a ＋b )(a －3b )③在恒等式(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca 中，以－b 代b 可得(a －b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2－2ab －2bc ＋2ca ④y ＝x 2＋1用量词表述为“对x ∈R ，y ∈R ，y ＝x 2＋1”A.1B.2C.3D.4解析 ①②③④均正确，选D. 答案 D4.若4x 3－x ＝1，则8x 4＋12x 3－2x 2－5x ＋5的值是( ) A.2 B.4 C.6D.8 解析 ∵4x 3－x ＝1，∴8x 4＋12x 3－2x 2－5x ＋5＝2x (4x 3－x )＋3(4x 3－x )－2x ＋5＝2x ＋3－2x ＋5＝8. 答案 D5.若x 2－1x 2－5x ＋6＝M ＋a x －2＋b x －3，a ，b 为常数，则( )A.M 是一个二次多项式B.M 是一个一次多项式C.M ＋a ＋b ＝6D.a ＋b －M ＝10解析 由已知等式得：x 2－1x 2－5x ＋6＝Mx 2＋（－5M ＋a ＋b ）x ＋（6M －3a －2b ）x 2－5x ＋6，∴x 2－1＝Mx 2＋(－5M ＋a ＋b )x ＋(6M －3a －2b )，∴⎩⎨⎧M ＝1，－5M ＋a ＋b ＝0，6M －3a －2b ＝－1，解得⎩⎨⎧M ＝1，a ＝－3，b ＝8.∴M ＋a ＋b ＝6.答案 C二、填空题6.利用十字相乘法分解因式：(1)x 2－(2a ＋3)x ＋6a ＝________；(2)6x 2－x －1＝________.解析 (1)11－2a －3(2)23－11故x 2－(2a ＋3)x ＋6a ＝(x －2a )(x －3)，6x 2－x －1＝(2x －1)(3x ＋1).答案 (1)(x －2a )(x －3) (2)(2x －1)(3x ＋1)7.已知x ＝3－23＋2，y ＝3＋23－2，那么x y 2＋y x 2＝________. 解析 由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10，∴原式＝x 3＋y 3（xy ）2＝（x ＋y ）[（x ＋y ）2－3xy ]（xy ）2＝970. 答案 9708.已知a 是整数，x ，y 是方程x 2－xy －ax ＋ay ＋1＝0的整数解，则x －y ＝________. 解析 原方程可变形为x (x －y )－a (x －y )＝－1，即(x －y )(x －a )＝－1.∵a ，x ，y 都是整数，∴⎩⎨⎧x －y ＝1x －a ＝－1或⎩⎨⎧x －y ＝－1，x －a ＝1，故x －y ＝±1.答案 ±1三、解答题9.已知5a －3b －1＝5b －3a ，利用等式的性质比较a ，b 的大小.解 原等式可化为8(a －b )＝1，∴a －b ＞0即a ＞b .10.求关于x 的方程ax ＝2x －1的解集，其中a 是常数.解 原方程可化为(2－a )x ＝1，当a ＝2时，解集为；当a ≠2时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12－a .综上，当a ＝2时，解集为；当a ≠2时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12－a . 能力提升11.已知集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值集合.解 A ＝{－1，2}，∵A ∪B ＝A ，∴B A .当a ＝0时，B ＝，满足B A ； 当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a {－1，2}，∴1a ＝－1或1a ＝2，∴a ＝－1或a ＝12.综上，a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12. 12.已知a ＋b 2＝b －2c 3＝3c －a 4，求5a ＋6b －7c 8a ＋9b的值. 解 令a ＋b 2＝b －2c 3＝3c －a 4＝k ，则a ＋b ＝2k ，b －2c ＝3k ，3c －a ＝4k ，∴a ＝－115k ，b ＝215k ，c ＝35k ，∴5a ＋6b －7c 8a ＋9b＝10k 1015k＝50101.。

《2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 理解等式的性质，掌握等式两边加（减）同一个数（式）仍相等的特点；2. 能够运用等式的性质解决简单的数学问题；3. 了解方程的概念，理解方程的解集含义。

二、作业内容1. 课堂笔记回顾：回顾等式的性质，包括等式两边加（减）同一个数（式）仍相等的特点，以及等式可以变形为最简形式。

2. 练习题：完成以下练习题，以检验学生对等式性质的理解和应用能力。

(1) 判断题：a. 若2x+3=5，则2x=2（）b. 若x=y，则y=x+2 （）c. 若x=y且z=0，则x+z=y+z （）(2) 求解下列方程，并画出图形：a. 2x-3=7b. 3x+4=6x-23. 开放性作业：根据等式的性质，自行设计一道题目并解答。

题目内容应贴近生活，与实际应用相关。

三、作业要求1. 独立完成：请同学们在规定时间内独立完成作业，确保不抄袭、不讨论；2. 认真解答：请同学们认真对待每一道题目，确保正确性；3. 总结反思：请同学们在完成作业后进行总结和反思，以便更好地理解和掌握等式的性质和方程的解集。

四、作业评价1. 批改方式：老师批改和同学互改相结合。

老师批改学生提交的作业，进行整体评估；同时，要求学生在完成作业后，互相批改，学习其他同学的优秀解题方法；2. 评价标准：作业完成情况、题目解答的正确性、总结和反思的深度；3. 评价反馈：将作业评价结果反馈给学生，指出普遍存在的问题和优秀做法，以便学生更好地理解和掌握等式的性质和方程的解集。

五、作业反馈希望通过本次作业，学生能够更好地理解和掌握等式的性质和方程的解集，发现自己在学习中的不足之处，及时进行调整和改进。

同时，也希望同学们能够积极反馈自己在完成作业过程中的问题和收获，以便我们更好地进行教学评估和改进。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标：1. 加深学生对等式性质的理解和应用；2. 提高学生解决方程解集问题的能力；3. 培养学生对数学问题的分析、思考和解决能力。