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矩阵的初等变换规则
（一）初等变换的规则
1. 交换行法：将矩阵中的两行互换，行对应元素也随之改变。
2. 改变系数法：将矩阵中的某行乘以一定的非零常数，行对应的元素也随之改变。
3. 复合法：将矩阵中的某行乘以一定的非零常数后，与另一行按和或差的方法结合，行对应的元素也随之改变。
4. 交换列法：将矩阵中的两列互换，列对应的元素也随之改变。
（二）初等变换的意义
初等变换是用来将一个线性方程组转化为一个有解的线性方程。
使用初等变换的原则，如将两个方程乘以不同的负数，甚至一步就能解出有解的线性方程，使方程系数矩阵更加简洁，容易操作。
同时这也可以使我们更加清楚地理解线性方程和不同解的对应关系。
（三）初等变换的应用
1. 运用初等变换可以将零向量和零矩阵转换为方便求解的标准乘法型和齐次方程组。
2. 初等变换可以用来求解边界值来解决边界值问题，为做出最终的选择提供保障。
3. 使用初等变换可以有效地求解线性方程组，给出正确的结果，对计
算机科学方面有很大帮助。
4. 初等变换可以用来求解有关矩阵与特征值、特征向量的求解问题，计算机硬件和软件设计中也有着广泛的应用。
矩阵的初等变换矩阵的初等变换是指矩阵的元素可以通过运用一系列简单的操作进行变换，而不改变矩阵的表达式形式。
它主要有三种：行变换、列变换和对角变换。
1、行变换行变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一行或者多行乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一行或者多行加上矩阵的另一行乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两行。
2、列变换列变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一列或者多列乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一列或者多列加上矩阵的另一列乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两列。
3、对角变换对角变换就是把矩阵的一行或者一列乘以一定的非零常数，改变的只有矩阵的对角线上的元素。
二、矩阵的初等变换的作用矩阵的初等变换在数学中被用来解方程组，对矩阵进行相应的变换，可以使矩阵变得简单易懂，方便求解。
1、消元消元是指用初等变换将不完全行列式变为下三角形式，也就是将原有的矩阵通过初等变换转化为更简单易懂的形式。
消元可以解决线性方程组，求解使方程组成立的一组解。
2、求逆矩阵求逆矩阵是指找到可以使一个矩阵的乘积等于单位矩阵的矩阵，如果形式方程有唯一解，则可以通过求逆矩阵来求解。
三、矩阵的初等变换的实践1、求解线性方程组例1：求解下列线性方程组x1+x2+x3=22x1+x2+2x3=5x1+2x2+2x3=4通过消元法可以将方程转化为x2+2x3=32x2+4x3=7又因为，x3=3-2x2，于是有x2=1/2x3=7/4因此，原方程的解为：x1=2-x2-x3=2-1/2-7/4=9/4x2=1/2x3=7/42、求逆矩阵例2：求解矩阵A的逆矩阵A=[2 34 5]首先，计算矩阵A的行列式，即|A|=2*5-3*4=-2，所以|A|不等于0，A是可逆矩阵。
计算A的逆矩阵A^(-1)，A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]最终A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]四、结论矩阵的初等变换是一种重要的数学工具，它可以利用简单的操作改变矩阵的形式，从而解决一些数学方程，例如求解线性方程组和求逆矩阵。
第二章矩阵第一节矩阵的概念1、分类：行矩阵：只有一行的矩阵列矩阵：只有一列的矩阵零矩阵O：元素全为零的矩阵单位阵E：主对角线上元素为1，其他元素为0的方阵数量阵（纯量阵）：λE对角阵：不在主对角线上的元素都为0的方阵上（下）三角阵：主对角线上以下（上）的元素全为0的方阵2、两矩阵同型：两个矩阵行数且列数都相等两矩阵相等：两矩阵同型，且对应元素相等。
记做A=B。
3、不同型的零矩阵是不相等的第二节矩阵的运算设A,B,C为m×n矩阵，λ, μ为数一、加法：只有同型矩阵才能进行加法运算（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A二、减法：A-B=A+(-B) -B称为B的负矩阵三、乘法：1、只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（行矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。
简记为：(m×s)(s×n)=(m×n)例: A为2×3矩阵，B为3×2矩阵，则AB=C为2×2矩阵2、数与矩阵：（1）(λμ)A=λ(μA)=μ(λA)（2）(λ+μ)A=λA+μA（3）λ(A+B)=λA+λ B（4）1*A=A, (-1)*A=-A矩阵与矩阵：（1）结合律：(AB)C=A(BC)（2）分配律：A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA（3）λ(AB)=(λA)B=A(λB)（4）EA=AE=A（5）A k A l=A k+l（6）(A k)l=A kl3、矩阵乘法不满足交换律，即(AB)C≠(AC)B另外：（1）一般有AB≠BA （A与B可交换时，等式成立）（2）AB=O，不能推出A=O或B=O（3）AB=AC,A≠O,不能推出B=C（4）(AB)k≠A k B k（A与B可交换时，等式成立）4、可交换的：对于两个n阶方阵A,B,有AB=BA，则称A与B是可交换的。
纯量阵与任意同行方阵都是可交换的。
矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．本章核心内容如下：（1）矩阵的幂运算：①秩为1的矩阵：1)(=A r ,可以分解为列矩阵（向量）×行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②型如，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000000c b a A 或⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000c b a ,或⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡k c k b a k 000，利用二项式展开；③利用特征值和相似对角化：∧=−AP P 1；④分块矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A 00.（2）伴随矩阵重要公式及求法：①伴随的秩序：⎪⎩⎪⎨⎧−<−===1)(01)(1)()(*n A r n A r n A r nA r ；②伴随得特征值：*1*(,)A AA AX X A A A X X λλλ− == ⇒ =；（※※）③伴随的重要公式：1*−=n AA ***)(AB AB =A AA n 2**)(−=（3≥n）1*−=A A A /AA A *1=−，*1*)(A k kA n −=，AAA A ==−−*11*)()(，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛***B A OO A B B O O A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O A B B A O O B A O mn***)1(（m m A ×n n B ×）（3）逆矩阵：①求1−A 的方法：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==⇒=−−−−−−−−.43,21111111*1*1O A B O O B A O B O O A B O O A A A A A A A B A E B A A n n ）分块矩阵法：（；为三阶、四阶数值型）（）初等行（列）变换法（；为二阶、三阶数值型）法（）（）；为抽象矩阵：）定义法（（②逆的重要公式：()111−−−=A B AB T T A A )()(11−−=()*11*)(−−=A A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−111B A B A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−111A B B A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−11111B O CB A A B O C A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−11111B CA B O A BC O A （4）初等矩阵变换：①初等变换（3）方法：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=+100010041)3(100030001)2(100001010)1(1000100012141232列）行（至第列）倍乘行（第行（列）倍乘第行（列）变换（交换）A ②初等变换的求逆（3）公式：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛1000010101000010101-，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛10000103101000030101-，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛51000100015000100011-（5）矩阵方程：①B AX =⇒B A X 1−=；②B XA =⇒1−=BA X ；③C AXB =⇒11−−=CB A X .（系数矩阵一般可逆）（6）矩阵的秩：①)()()(T T AA r A r A r ==；②)()(kA r A r =（0≠k）；③)()()(B r A r B A r +≤±；④)}(),(min{)(B r A r AB r ≤⇔)()(A r AB r ≤，)()(B r AB r ≤；⑤0=××s n n m B A n B r A r ≤+⇒)()(；⑥⎪⎩⎪⎨⎧−<−===1)(01)(1)()(*n A r n A r nA r n A r ；⑦B A ~)()(B r A r =⇒.本章重点是伴随矩阵、可逆矩阵、初等变换、矩阵的秩，在这一章中必有一道小题4分.从历年真题考题来看，初等变换、矩阵的秩尤其重要.一、选择题：1、设B A ,均为n 阶矩阵（2≥n ），E 为单位矩阵，则有（）（A）2222)(B AB A B A ++=+（C）22))((B A B A B A −=+−（C）))((2E A E A E A +−=−（D）222)(B A AB =2、设C B A ,,均为n 阶矩阵，且A 可逆，下列命题正确的是（）（A）若BC BA =，则C A =（B）若CB AB =，则C A =（C）若0=AB ，则0=B （D）若0=BC ，则0=C 3、设B A ,均为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（）（A）0=A 或0=B （B）=+B A （C）0=A 或0=B （D）0=+B A 4、设B A ,为n 阶对称矩阵，且B 可逆，则下列矩阵中为对称矩阵的是（）（A）AB AB 11−−−（B）A B AB 11−−+（C）11−−AB B（D）2)(AB 5、设矩阵33)(×=ij a A 满足T A A =*，其中*A 为A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵，若13111,,a a a 2为三个相等的正数，则11a 为（）（A）33（B）3（C）31（D）36、设n 阶矩阵A 非奇异（2≥n ），*A 是A 的伴随矩阵，则（）（A）A A A n 1**)(−=（B）A A An 1**)(+=（C）AAA n 2**)(+=（D）AAAn 2**)(+=7、设A 是任一n 阶方阵（3≥n ），*A 是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且10±≠，k ，则必有=*)(kA （）（A）*kA（B）*1A k n −（C）*A kn（D）*1A k−8、设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 分别为B A ,的伴随矩阵，分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B O O A C ，则C 的伴随矩阵=*C （）（A）⎥⎦⎤⎢⎣⎡**B B O O A A （B）⎥⎦⎤⎢⎣⎡**A A O OB B （C）⎥⎦⎤⎢⎣⎡**A B OO B A （D）⎥⎦⎤⎢⎣⎡**B A OO A B 9、设n 阶方阵C B A ,,满足关系式E ABC =，其中E 是n 阶单位阵，则下式未必有（）（A）EBCA =（B）EA B CT T T=（C）ECAB=（D）EACB =10、设C B A ,,为n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则=++222C B A （）（A）0（B）E（C）E2（D）E311、设)21,0,...,0,21(=a ，矩阵a a E A T −=，a a E B T 2+=，其中E 是n 阶单位阵，则AB 等于（）（A）0（B）E −（C）E （D）aa E T +12、设C B A ,,均为n 阶矩阵，E 是n 阶单位阵，若AB E B +=，CA A C +=，则C B −为（）（A）E （B）E−（C）A （D）A−13、设11,,,−−++B A B A B A 均为n 阶可逆矩阵，则111)(−−−+B A 等于（）（A）11−−+B A （B）BA +（C）B B A A 1)(−+（D）1)(−+B A 14、设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得到B ，再将B 的第1列的)1(−倍加到第2列得到C ，记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100010011P ，则：（）（A）AP P C1−=（B）1−=PAP C （C）AP P C T =（D）TPAP C =15、设P A ,均为3阶矩阵，TP 为P 的转置，且，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200010001AP P T 若),,(321ααα=P ，),,(3221αααα+=Q ，则：AQ Q T 等于（）（A）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200011012（B）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200021011（C）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200010002（D）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛20002000116、设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列，得到B ，再交换B 的第2行与第3行得到E ，记，，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=01010000110001100121P P 则：=A （）（A）21P P （B）211P P −（C）12P P （D）112−P P 17、设B A ,为非零矩阵，且O AB =，则A 和B 的秩（）（A）必有一个等于零（B）都小于n （C）一个小于n（D）一个等于n二、填空题：18、计算下列行列式乘积：①=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛231343452161.②()=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛312321.③()=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛321312.④()=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321332313232212131211321x x x a a a a a a a a a x x x .19、设E A 23=，证明：E A 2+可逆，并求=+−1)2(E A .20、设T a)1,0,1(−=，矩阵T aa A =，n 为正整数，则=−n A aE .21、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A ，而2≥n 为正整数，则=−−12n n A A .22、设3阶矩阵B A ,满足E B A AB =−−，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=102020101A ，则=B .23、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=−1*)(A .24、设4阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=1100210000120025A ，则=−1A .25、设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−000000000000121⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯nn a a a a A ，其中n i a i ,...,2,1,0=≠，则.1=−A 26、设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=7600054000320001A ，E 为4阶单位矩阵，且)()(1A E A EB −+=−，则：=+−1)(B E .27、设矩阵A 满足042=−+E AE A ，其中E 为单位矩阵，则=−−1)(E A .28、设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=3211A ，E A A B 232+−=，则=−1B .29、设B A ,均为3阶矩阵，E 是3阶单位矩阵.已知B A AB +=2，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=202040202B ，则=−−1)(E A .30、计算：=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2013201200101010054343232101010100.31、矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0111001100010000A ，则=)(3A r .32、已知A 是非零矩阵，且O A =2，则=)(*A r .33、设B A ,均为n 阶矩阵，且1−=B ABA ，E 为单位矩阵，则=++−)()(AB E r AB E r .三、解答题：34、已知实矩阵33)(×=ij a A 满足以下条件：（1）ij ij A a =（3,2,1,=j i ），其中ij A 是ij a 的代数余子式；（2）011≠a .计算行列式A .35、设0=k A （k 为正整数），证明：121...−−++++=−k A A A E A E ）（.36、设方阵A 满足：O E A A =−−22，证明：A 及E A 2+都可逆，并求1−A 及1)2(−+E A .37、设B A ,为n 阶方阵，若B A AB +=.（1）证明：E A −可逆且BA AB =;（2）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=200012031B ，求矩阵A .38、已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421−=−，其中E 是3阶单位矩阵.（1）证明：矩阵E A 2−可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=200021021B ，求矩阵A .39、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=321011330A ，且满足B A AB 2+=，求矩阵B .40、设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=390013000003000013000013A ，求n A .一、选择题：1、答案：（C）.【考点】考查矩阵运算.解：矩阵运算，一般没有BA AB ≠.例，()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛936624312312321，()13332112321312=×+×+×=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛BA AB ≠⇒;例，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛341201104321⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛214343210110BA AB ≠⇒;222332)(×××=AB B A ，333223)(×××=BA A B BA AB ≠⇒;333113)(×××=AB B A （左行右列），111331)(×××=BA A B （左行右列）BA AB ≠⇒.特别地，22))((B BA AB A B A B A −+−=−+，222)(B BA AB A B A +++=+但：E A E A E A −=−+2))((，EA A E A ++=+2)(22))((23E A A E A E A ++−=−))((23E A A E A E A +−+=+【注】：尤其要注意kE A =3的情形.))((23E A A E A E A ++−=−))((23E A A E A E A +−+=+2、答案：（C）.【考点】考查矩阵运算.解：对于（A），C A A BC BA =⇒′≠⎭⎬⎫=可逆，但C A B BC BA =⇒⎭⎬⎫=可逆.例：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛993312516321，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛993311116321⇒C A ≠.故（A）错误.对于（B），C A A CB AB =≠⇒⎭⎬⎫=可逆,但C A B CB AB =⇒⎭⎬⎫=可逆.例：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−993362311521，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛993362311111⇒C A ≠.故（B）错误.对于（C），则对0=AB ，左乘1−A ，01=−AB A ，则0=B .故（C）正确.对于（D），0=AB ≠0=⇒A 或者0=B .例：O =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000021-4-24221,()01-11321=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛.故（D）错误.3、答案：（C）.【考点】考查矩阵运算.解：对0=AB ，用行列式乘法公式：0==AB B A .则0=A 或0=B .4、答案：（B）.【考点】考查矩阵（对称、反对称）运算.解：对于（A），TT T T T T T B A A B A B AB A B AB)()()()()(111111−−−−−−−=−=−1111)()(−−−−−=−=AB A B B A A B T T T T ，所以（A）不对.对于（B），TT T T T T T B A A B A B AB A B AB)()()()()()()(111111−−−−−−+=+=+A B AB AB A B B A A B T T T T 111111)()()()(−−−−−−+=+=+=，所以（B）不对.对于（C），1111)()()()()(−−−−===BAB B A B B A B AB BT T T T T T T ，所以（C）不对.对于（D），2222)()(])[(])[(BA A B AB AB T T T T===，所以（D）不对.5、答案：（A）.【考点】考查矩阵（ij ijA a =或T A A =*）的运算.解：由于T A A =*，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111332313322212312111a a a a a a a a a A A A A A AA A A ，因此ij ij A a =，所以03211222111313121211111312>=++=++=a a a a A a A a A a A ,又T A A =*，两边取行列式，则：A A AA T ===−13*，即A A =2，则有1=A ，因此，13211=a ，3311=a .6、答案：（C）.【考点】考查矩阵伴随.解：根据伴随矩阵的关系：E A A A AA ==**.现将*A 视为关系式中的A ，则有：E A A A A A *******)()(==，由1*−=n AA 及AA A=−1*)(可得：A A AA AA A An n 211****)()(−−−===.7、答案：（B）.【考点】考查矩阵伴随.解：当A 可逆时，由1*−=A A A 有：*111*1)()(A k A kA k kA kA kA n n −−−=⋅==.8、答案：（D）.【考点】考查矩阵伴随（分块矩阵）.解：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==−−−−1111*B O O A B A B O O A B O O A C C C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=**B A O O A B .9、答案：（D）.【考点】考查矩阵（定义）的逆.解：由C B A ,,都是n 阶方阵，且E ABC =知：①E BC A =)(，即A 与BC 互为逆矩阵，则有：E BCA =，故（A）正确.②T T T T T A B C ABC E E ===)(，故（B）正确；③E C AB =)(，即AB 与C 互为逆矩阵，则有：E CAB =，故（C）正确.10、答案：（D）.【考点】考查矩阵（定义）的逆.解：由C B A ,,为n 阶方阵，且E CA BC AB ===，我们取C B A ,,为n 阶单位阵.故E C B A 3222=++.11、答案：（C）.【考点】考查矩阵乘法.解：a aa a a a E a a a a a a E a a E a a E AB T T T T T T T T )(2))((2)2)((+−=+−=+−=E a a a a E T T =+−=.12、答案：（A）.【考点】考查矩阵逆运算.解：由AB E B +=⇒E B A E =−)(⇒1)(−−=A E B ；由CA A C+=⇒A A E C =−)(⇒1)(−−=A E A C ；所以E A E A E A E A A E C B =−−=−−−=−−−−111))(()()(.13、答案：（C）.【考点】考查矩阵（定义）的逆.解：利用矩阵逆的运算法则：AA B B B A B A AB E A B A 1111111111)(])([)]([)(−−−−−−−−−−+=+=+=+或者1111))(()()(−−−−++=++=B A B A B A B B A A E，则：B A B B A A +=+−−])(11，⇒=+−−−111)(B A B B A A 1)(−+.14、答案：（B）.【考点】考查矩阵初等变换.解：按照已知条件，用初等变换描述有：AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=100010011B C 因此A C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000100111100010011−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−PAP .15、答案：（A）.【考点】考查初等变换.解：因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+100011001),,(),,(3213221ααααααα，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100011001P Q ，于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100011001)(100010011100011001100011001AP P P A P AQ Q T TT ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011012100011001200010001100010011.16、答案：(D).【考点】考查初等变换.解：依题意，B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100011001，E B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010100001，即：B Ap =1，E B P =2⇒E Ap p =)(12，所以11121112−−−−==P P EP P A .17、答案：（B）.【考点】考查矩阵O AB =的秩.解：由矩阵B A ,非零⇒1)(≥A r 1)(≥B r 又O AB =⇒nB r A r ≤+)()(因此,矩阵B A ,的秩都小于n .二、填空题：18、答案：①⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=+−=×+−×+×−=+−=×+−×+×−=+−=×+−×+×=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛35153612323)3(4135815224)3(51215218121)3(611231343452161;②()()12)12642232221(312321==++=×+×+×=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛；③()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛963321642321312；④()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡33322311332322211231321211132132332313232212131211321x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x x a a a a a a a a a x x x 233332231313322322221212311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++=121231132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.【考点】考查行列式计算.【注】：s m s n n m C B A ×××=.19、答案：10)42(2E A A +−.【考点】考查矩阵的逆运算.解：由E A 23=变形为：E E A A E A 10)42)(2(2=+−+,于是：E E A A E A =+−+10)42()2(2，故10)42()2(21E A A E A +−=+−.20、答案：)2(2n a a−.【考点】考查1)(=Taa r 的有关行列式运算.解：因⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==101000101)101(101T aa A ，而2101)101(=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−==a a A T ，所以A A n n 12−=，)2(202002022211111n n n n n n n a a a a a A aE A aE −=−−=−=−−−−−−.21、答案：O .【考点】考查矩阵运算.解：由于11)2(2−−−=−n n n A E A A A ,而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−1010001012E A ，又O A E A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−101020101101000101)2(，所以O A A n n =−−12.22、答案：21.【考点】考查矩阵的逆及行列式值.解：由E B A AB =−−，即：E A B E A E A +=−+))((.因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=+202030102E A ，知E A +可逆，故1)(−−=E A B .而2002010100=−=−E A .又因AA 11=−,故21)(1=−=E A B .23、答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡543022001101.【考点】考查伴随运算.解：由EA AA =*知：E A AA =*，故AA A =−1*)(，又10543022001==A ,所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−543022001101)(1*A .24、答案：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−3131003231000520021.【考点】考查分块矩阵求逆.解：由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−−−1110000C B C B A ，设⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−−5221122511B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−112131112111C ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=−313100323100005200211102100001200251-1A .【注】在今后考研中一定还要注意⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−−−−O BC O O C B O A 1111这种题型.25、答案：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−01000010000110001211n n a a a a A ⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯⋯.【考点】考查分块矩阵求逆.解：由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−−−−O BC O O C B O A 1111，又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−21111a a C ⋱，所以，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−01000010000110001211n n a a a a A ⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯⋯.26、答案：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−4300032000210001【考点】考查矩阵的逆运算.解：若先求出1)(−+A E，再作矩阵乘法求出B ，最后通过求逆得到1)(−+B E .因此要求我们利用单位矩阵恒等变形：1`11)(2)]()[()()()(−−−+=++−+=+−+=+A E A E A E A E E A E A E E B .所以)(21])(2[)(11`1A E A E E B +=+=+−−−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=4300032000210001或者，由)()(1A E A E E B −+=+−，左乘A E +得：A E EB A E −=++))((⇒EA E A E A EB A E 2)()(=++−=+++即有：E B E A E 2))((=++.以下同解.27、答案：2)2(E A +.【考点】考查抽象矩阵定义法求可逆矩阵.解：由042=−+E AE A ⇒EE A E A 2)2)((=+−即：E E A E A =+−2)2()(2)2()(1E A E A +=−−.28、答案：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−11210.【考点】考查矩阵逆运算.解：因为))(2(232E A E A E A A B−−=+−=，所以1111)2()()])(2[(−−−−−−=−−=E A E A E A E A B 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−−021*******)(11E A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−−12111211)2(11E A .所以，=−1B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−021221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−11210.29、答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100.【考点】考查矩阵的逆运算.解：由B A AB +=2⇒E E B E A 2)2)((=−−,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−=−−001010100)2(21)(1E B E A .30、答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡345234123.【考点】考查初等行变换.解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3452341230010101005434323210101010020132012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡34523412331、答案：1)(3=Ar .【考点】考查矩阵的幂运算.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00120001000000002A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010000000000003A ,所以1)(3=A r .32、答案：0.【考点】考查伴随矩阵的秩.解：由O A =2知，5)()(≤+A r A r ，所以4)(<A r ，故0)(=A r .33、答案：n .【考点】考查矩阵的秩.解：由1−=B ABA 知，E ABAB =，所以OE AB E AB =−+))((则n E AB r E AB r ≤−++)()(.又E E AB AB E 2)()(=++−，所以nE r E AB r AB E r =≥++−)2()()(因此，n E AB r E AB r =−++)()(.三、解答题：34、答案：1.【考点】考查行列式（矩阵）计算：T A A =*或ij ij a A =.（与选择题第5题同解）解：由于T A A =*，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111332313322212312111a a a a a a a a a A A A A A AA A A ，因此ij ij A a =，所以03211222111313121211111312>=++=++=a a a a A a A a A a A ,又T A A =*，两边取行列式，则：A A AA T ===−13*，即A A =2，则有1=A .35、答案：原命题成立.【考点】考查0=k A 的相关运算.解：由0=k A 知：)...(21E A A A E A E A E k k k ++++−=−=−−−）（所以，)...(121−−++++−=−k A A A E E A ）（,故命题成立.36、答案：)(1E A A −=−；)3(41)2(1E A E A −−=+−.【考点】考查抽象矩阵的逆.（定义法）解：①由EA A O22−−=⇒)(2E A A E −=，故)(1E A A −=−；②由EA A O 22−−=⇒E E A E A 4)3)(2(−=−+，故)3(41)2(1E A E A −−=+−.37、答案：(1)1)(−−+=⇒E B E A ；(2)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000131-0211A .【考点】考查矩阵的逆运算.解：（1）：由AB B A =+知：=+−−E B A AB E E B E A =−−)(）（.所以E A −可逆，且E A E B −=−−1）（1)(−−+=⇒E B E A .EE A E B =−−）（)(即：0=−−A B BA ⇒BAB A =+又AB B A =+所以BA AB =.（2）由于11100002030)(−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−E B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000031-0210，故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000131-0211A .38、答案：)4(8121-E B E A −=−）（；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=200011020A .【考点】考查矩阵的逆运算.解：（1）由EB B A421−=−左乘A 知：042=−−AB AB .从而E E B E A 8)4(2=−−）（，即E E B E A =−⋅−)4(812）（.则E A 2−可逆，且)4(8121-E B E A −=−）（.(2)由（1）知1)4(82−−+=E B E A .而112-0002-102-3-4−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−）（E B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=21-00083-81-04141-故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=200011020A .【注意】如果只要证明E A 2−可逆，那么由042=−−A B AB A B E A 42=−⇒）（.因为A 可逆，知.0443≠=A A 故02≠⋅−B E A ，就可证出E A 2−可逆.39、答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−011321330.【考点】考查矩阵运算.解：B A AB 2+=⇒A B E A =−)2(，而021210113322≠=−−−=−E A ，故A E A B 1)2(−−=，由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−100010001121011332)2(⋮⋮E E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→2112123121232321100010001⋮所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−21212123212123321)2(1-E A 因此，A E A B 1)2(−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=212121232121232321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−321011330=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−011321330.【注】此题还可以用伴随矩阵来求逆，不妨试一试，但要注意计算准确.40、答案：见解析.【考点】考查矩阵的幂运算.解：将矩阵A 分块，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n nn C OO B A ，D E B +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=30001000101000100013300130013，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010D ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0000001002D ，O D D n ===...3,所以，22211333)3(D C D C D E B n n n n n n n −−++=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−−−000000300000300030300030003221111n n n n n n n n nC C C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−−−n n n n n n n n n C C C 300330333112211()13313913−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=C ，所以，()()()133113311331−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋯n C ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅−⋅−⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=1-1-1-1-1-1-636961633913613316n n n n n n 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n nn C OO B A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅−⋅−⋅=−−−−−−−11111122116369000663000003000033000333n n n n n n n n n n n n nC C C .。
§2。
5 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换源于线性方程组消元过程中的同解变换，它在将矩阵变换为简单形式、解线性方程组、求矩阵的逆阵、解矩阵方程以及研究矩阵的秩等方面起着重要的作用。
一 矩阵的初等变换和矩阵等价定义2。
10 设A 是矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换： n m ×（1） 交换A 的第行和第行的位置，记为i j j i r r ↔； A 的第i 行各元素，记为；i kr （2） 用非零常数乘以k 的第i 行各元素的倍加到第行对应元素，记为A j k i j kr r +。
（3） 将 若把定义2。
10中的行改为列，便得到三种对应的初等列变换，记号分别为；；。
j i c c ↔i kc i j kc c + 矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。
例如⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−↔31132100101792r r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−179200101321⎯⎯→⎯+242c c ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−177********21值得注意的是，初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵，在一般情况下 ，变换前后的两个矩阵并不相等，因此进行初等变换只能用来表示，而不能用等号。
另外，矩阵的初等变换可以逆向操作，即若矩阵→i r k1A B B 经过、i kr i j kc c +变换成了矩阵，那么对施以及，就可以将矩阵B A i j kc c −。
复原为矩阵A B A B 定义2。
11 如果矩阵经过有限次初等变换后化为矩阵，则称等价于矩阵，简记为B A ~。
由定义可以得到以下关于矩阵等价的一些简单性质：A A ~(1) 反身性：；(2) 对称性：则,~B A A B ~；B A ~且，则。
C B ~C A ~(3) 传递性： 定理２。
３ 任意矩阵()nm ija A ×=都与形如的矩阵等价。
矩阵称为矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000rE ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000r E ),min(1n m r ≤≤A 的标准形。
矩阵的初等变换
矩阵是数学中一种重要的术语，它可以被用作容器来储存数学模型，也可以被利用来描述各种物理系统。
矩阵有很多有趣的性质，其中一个重要的是矩阵可以实施初等变换。
初等变换是指在不改变矩阵行列式值的情况下，通过在矩阵中对元素应用一系列简单的操作，来转换矩阵的形式。
矩阵的初等变换可以分为基本变换和非基本变换两类。
基本变换是指通过变换矩阵中的一行或一列，来转换矩阵的形式，而不改变矩阵行列式值，其常见的操作形式有：乘以一个非零常数、行交换、加上一行乘以常数的另一行和删除行或列等。
而非基本变换是指在不改变矩阵的行列式值的情况下，将矩阵变换为上三角形或下三角形，其中需要执行的操作是行列式消元。
矩阵的初等变换具有重要的实用价值，它可以帮助我们解决多种复杂的数学问题，尤其是求解线性方程组，可以使用矩阵的初等变换将其变换为直观的形式，从而更容易求解。
此外，矩阵的初等变换也可以帮助我们找出矩阵的逆，计算行列式和计算特征值等。
此外，矩阵的初等变换也可以用作图论中的算法，如图的深度优先搜索者的多重着色中，可以利用矩阵的初等变换来消除多余的着色区分，以使图的多重着色尽可能地简单。
在机器学习中，矩阵的初等变换也有重要的应用，比如在特征抽取中，可以利用初等变换变换矩阵，从而减少维数，节省计算资源，提高计算效率。
总之，矩阵的初等变换是一个实用且重要的数学工具，它可以帮助我们解决不同类型的数学问题，也可以在机器学习中被应用，起到优化计算的作用。
第二章 矩阵和矩阵的初等变换矩阵是线性代数的主要研究对象之一，它在数学和其他自然科学、工程技术和经济领域中都有着广泛的应用. 本章的中心议题为矩阵，围绕这个议题，先给出矩阵的定义、矩阵的运算和求方阵的逆、初等变换以及求矩阵的秩，最后介绍矩阵的分块运算.§2.1 矩阵的定义一、 矩阵的基本概念定义1 由n m ⨯个数ij a (1,2,,;1,2,,)i m j n ==排成的m 行n 列的数表（常用括弧将数表括起）111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为m 行n 列矩阵，简称m n ⨯阶矩阵，其中ij a 叫做矩阵A 的元素，i 为行标，j 为列标，表明ij a 位于矩阵A 的第i 行第j 列. 为简单起见，记m n ⨯阶矩阵A 为()ij m n a ⨯或m n A ⨯.特别地，当m n =时，则称矩阵A 为n 阶矩阵或n 阶方阵，记为n A . 对于m n ⨯矩阵A ，当1m =时，有12()n A a a a =.称矩阵A 为行矩阵，或行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也可写为12(,,,)n A a a a =.当1n =时，有12m a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.称矩阵A 为列矩阵，或列向量.当1m n ==时，有11()A a a ==.这里把矩阵A 看成是数.两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.所有元素均为零的矩阵，称为零矩阵，记作O . 注意不同型的零矩阵是不同的.定义2 如果()ij A a =与()ij B b =是同型矩阵，且它们的对应元素均相等，即(1,2,,;1,2,,)ij ij a b i m j n ===，则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作A B =.下面举几个关于矩阵应用的例子.例1 3个产地与4个销地之间的里程（单位：千米）可列为矩阵A ：120180758575125354513019085100A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 其中ij a 为第i 产地到第j 销地的里程数.例2 4个城市间的单向航线如图1所示. 若令01ij a ⎧=⎨⎩，， 则图1可用矩阵表示为00011001()01001110ij A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦一般地，若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示. 例3 n 个变量12,,,n x x x 与m 个变量12,,,m y y y 之间的关系式11111221221122221122,,n n n n m m m mn ny a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++=+++⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+++ (1)表示一个从变量12,,,n x x x 到变量12,,,m y y y 的线性变换，其中ij a 为常数.线性变换(1)的系数ij a 构成矩阵()ij m n A a ⨯=.给定了线性变换(1)，它的系数所构成的矩阵(称为系数矩阵)也就确定.反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定.在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系.二、几类特殊的矩阵1）对角矩阵n 阶方阵A 的元素1122,,,nn a a a 称为A 的主对角元素.例如，矩阵3491A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的主对角元素为3和1.定义3 若n 阶方阵()ij A a =中的元素满足条件 0,(,1,2,,ij a i j i j n =≠= 则称A 为n 阶对角矩阵或对角阵，即1122nn a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（此记法表示对角线以外未标明的元素均为0）.简记为1122(,,,)nn A diag a a a =.例如， 100030005A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为对角阵.特别地，当(1,2,,)ii a a i n ==，则称对角阵A 为n 阶数量矩阵.即a aA a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例如， 300030003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为数量矩阵. 又当1a =时，称A 为n 阶单位矩阵或单位阵，记作n E ，有时简记为E ，即111n E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 例如线性变换1122,,n ny x y x y x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩叫做恒等变换，它对应的系数矩阵就是一个n 阶单位矩阵.2）三角形矩阵定义4 若n 阶方阵()ij A a =中的元素满足条件 0,()(,1,2,ij a i j i j n =>=则称A 为n 阶上三角形矩阵或上三角矩阵，即11121222n n nn a a a a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 若n 阶方阵()ij B b =中的元素满足条件0,()(,1,2,ij b i j i j n =<=则称B 为n 阶下三角形矩阵或下三角矩阵，即11212212n n nn b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 例如，123045006A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为上三角矩阵，100230456B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为下三角矩阵. 3）对称矩阵定义5 若n 阶方阵()ij A a =中的元素满足,(,1,2,,i j j i a a i j n == 则称A 为对称矩阵.例如，110250311125A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为对称矩阵.4）阶梯形矩阵定义6 若矩阵()ij A a =满足：(i)若A 有零行(元素全为零的行)，全部在矩阵的下方；(ii)各非零行的第一个不为零的元素(称为首非零元)的列标随行标的增大而严格增大.则称矩阵A 为行阶梯形矩阵.例如，矩阵11214021100003300000A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦为行阶梯形矩阵，而矩阵112101110213B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭不是行阶梯形矩阵.进一步，若行阶梯形矩阵满足： (i)行首非零元等于1；(ii)所有首非零元所在列的其余元素全为零.则称A 为行最简形矩阵.上例行阶梯形矩阵A 对应的行最简形为110104011030001300000A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，而矩阵211104011030001300000A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦不是行最简形矩阵.§2.1 矩阵的运算一、 矩阵的加法与数乘矩阵定义1 两个m n ⨯阶矩阵()ij A a =和()ij B b =对应位置元素相加得到的矩阵，称为矩阵A 与B 的和，记作A B +，即 ()()()i j m n i j m ni j i jm nA B a b a b ⨯⨯⨯+=+=+. 注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例1 两种物资（单位：吨）同时从3个产地运往4个销地，其调运方案分别为矩阵A 和矩阵B ：203453272103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，312040861257B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 则从各产地运往各销地的物资总调运量（单位：吨）为20343120532740862103125723013240515454302876931013.2112053733510A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦定义2 以数λ乘m n ⨯阶矩阵()ij A a =的每一个元素得到的矩阵，称为数λ与矩阵A 的积，记作A λ，即()().i j m n i j mn A a a λλλ⨯⨯== 若取1λ=-，则有()ij m n A a ⨯-=-.称A -为矩阵A 的负矩阵.显然有 ()A A O +-=, 由此规定矩阵的减法为().A B A B -=+- 即若()ij m n A a ⨯=，()ij m n B b ⨯=，则 ()()()()i j mni j m ni ji jm nA B A B a b ab ⨯⨯⨯-=+-=+-=- 例2 设3个产地与4个销地之间的里程（单位：千米）为例1中的矩阵0.已知货物每吨公里的运费为1.50元，则各产地与各销地之间每吨货物的运费（单位：元／吨）可以记为矩阵形式：12018075851.5 1.5751253545130190851001.5120 1.5180 1.575 1.585180270112.5127.51.575 1.5125 1.535 1.545112.5187.552.567.5.1.5130 1.5190 1.585 1.5100195285127.5150A ⎡⎤⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎣⎦⎣⎦矩阵相加与数乘矩阵的运算，统称为矩阵的线性运算.矩阵的线性运算满足下面的运算律：设A 、B 、C 、O 都是m n ⨯阶矩阵，,λμ是数，则 (i) ;A B B A +=+(ii) ()();A B C A B C ++=++ (iii) ();A B A B λλλ+=+ (iv) ();A A A λμλμ+=+ (v) ()().A A λμλμ=例3 已知123103214032A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，312015792316B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦且2A X B +=，求X .解：由矩阵的加法和数乘运算律有431111()129822234431122221914.2231222X B A ---⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦二、 矩阵的乘法设有两个线性变换11111221332211222233,,x a y a y a y x a y a y a y =++⎧⎨=++⎩111112222112223311322,,,y b z b z y b z b z y b z b z =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ 则变量12,z z 与变量12,x x 的关系为111111221133111112122213322221112221233112112222223322()()()()x a b a b a b z a b a b a b z x a b a b a b z a b a b a b z =+++++⎧⎨=+++++⎩ (1)定义3 设矩阵()ij m s A a ⨯=，()ij s n B b ⨯=.令11221,(1,2,,;1,2,,)sij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b i m j n ==+++===∑则称矩阵()ij m n C c ⨯=是矩阵A 与矩阵B 的乘积，记作C AB =. 对于矩阵的乘法由定义注意到以下三点：(1)只有矩阵A 的列数等于B 的行数时，AB 才有意义. (2) 乘积矩阵AB 的第i 行第j 列元素ij c 就是A 的第i 行上各元素与B 的第j列上的各对应元素的乘积之和.即12123j j i i i ijjsjjb b i a a ac i b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭(3) 乘积矩阵C 的行数等于矩阵A 的行数，列数等于矩阵B 的列数. 线性变换(1)用矩阵乘法表示即为1112111213112122212223223132b b a a a x z b b aa a x zb b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.这种矩阵的表示显然比(1)式表示要简单得多.例4 设矩阵1312140012,1134131402A B -⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭⎪-⎝⎭，求AB .解 因为A 是24⨯矩阵，B 是43⨯矩阵，即A 的列数等于B 的行数，故A 和B 可相乘，其乘积AB 应是个23⨯矩阵.131********13413142AB ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭()()()()()()()()211041042311430021124102111031441311334011123142⎛⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯⨯+⨯⨯⨯⎫= ⎪⨯+-⨯+⨯+⨯⨯+-⨯-+⨯-+⨯⨯+-⨯+⨯+⨯-⎝⎭＋＋（－） 6782056-⎛⎫= ⎪--⎝⎭. 例5 设2412A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2436B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，求AB 及BA 。
