第二章矩阵习题课

教案（首页）备课笔记附后urj二、分块矩阵的运算（与矩阵类似）特别地分块对角矩阵（与对角矩阵类似）0 03 00、 0-2 -b 求 |4 A 10,A -1 ,A4r 提示：|a| = |a』a 』=)0、 AA T=0、0、 /〔0 A)<0 A, 〔0 A,\AA 7' o*例 求证 A = 0^> A 1A = 0证明：必要性=> 显然充分性 <=设A = (。

] a 2… %)T"%)% 0 a; a 2 …％ % a[a x • • a\ % • • ♦ …就％ ♦ • • ♦特别地 a 1i a i = 0 (顶= 1,2,…〃) J J / c \"1 j即 用灼=(c 如,％，…勾)"?二嫌+出+…站=0.\a nl )得。

u = a 2j = = a nj = 0 (J = 1,2,…〃)所以 A = 0JJJ§矩阵的分块法（简介）一、矩阵的分块矩阵按行按列分块 A =（O| a 2… a n ） =A -1l0=3,0•.•人以二=0 故矿 0Cj= 0第三章矩阵习题课例2 设1 = (1,2,3),” = (1,?，!)电二6/”，求妃一本章小结1、矩阵概念特殊矩阵0,",A，行矩阵、列矩阵2、矩阵运算3、线性方程组的矩阵形式AX =b4、逆矩阵可逆的充要条件证明矩阵可逆的方法(1) AB = E (2) |ApO (3)可逆阵之积可逆5、解矩阵方程AX = B,XB = C二典型例题讲解「2 1]例1 设人= ，矩阵8满足BA = B + 2E求B-1 2提示B(A — E) = 2EB A-E =22 E B =2L 1 1)1 ——2 37提示A = a T j3= 2 \ —,时=33 - 1I 2 )= a T/3 [••• 0 =a T(/3 a’)。

…(时)』=3卜' W/3 = 3卜' A例3 设〃阶方阵+ B都可逆，求证人一】+3一'可逆，并求其逆矩阵提示A-】+ B'l = A" E + EB-i = + A^AB'1 = + (A"1 + Bi )-1 = (A-1 (A + B)B-】尸=B(A + A(2)\0 1)。

第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k. 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫.用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=θθθθc o s s i ns i n c o s *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθc o s s i ns i n c o s .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;解1111012112234311-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111.(4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1. 19.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B ,求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ,且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A ,所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E ,B =-8(A *-2E )-1A -1=-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21,1 ,21(d i a g 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ,且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A ,而 01111||||||||==D C B A , 故 |||||||| D C B A DC B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4.解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A .29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====snE BC OBC OAC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111.(2)1-⎪⎭⎫⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A .30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.。

习题课一 （第二章） 内容介绍一、 第二章基本内容回顾 二、 讲评第二章练习题 三、 讲评第二章部分习题四、 讲评辅导材料第二章中部分典型题一、 第二章矩阵基本内容回顾§2.1 基本内容2.1.1 矩阵的运算1．矩阵的加法设,][,][n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==则.][n m ij ij b a B A ⨯+=+2．矩阵的数乘.][n m ij ka kA ⨯=矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算，它们满足以下算律： ∙ ;A B B A +=+∙ );()(C B A C B A ++=++ ∙ );()(lA k A kl = ∙ ;)(lA kA A l k +=+∙ 。

A A k kA n为阶方阵|,|||= 3．矩阵的乘法设,][,][p n kj n m ik b B a A ⨯⨯==则,][,][p n kj n m ik b B a A ⨯⨯== 其中.,,2,1,,,2,1,1p j m i b aC kjnk ik ij ===∑=即矩阵C 的第i 行第j 列的元素等于A 的第i 行的元素与B 的第j 列对应元素乘积这和。

两个矩阵可乘的条件是：左边矩阵A 的列数等于右边矩阵B 的行数。

矩阵乘法与数的乘法有很大差异，它体现在∙ 矩阵乘法不满足交换律，即一般地，.BA AB ≠∙ 矩阵乘法含有非零的零因子，即既使0,0≠≠B A ，可能有.0AB =∙ 矩阵乘法不满足消去律，即由0,≠=A AC AB 不能导出.C B =矩阵乘法满足以下运 算律：∙ );()(BC A C AB =∙ ;)(,)(CA BA A C B AC AB C B A +=++=+ ∙ );()()(kB A B kA AB k == ∙ B A B A AB ,|,|||||=为同阶方阵。

4．矩阵的转置 设nn n n n a a a a a a a a a A2121222111211=则A 的转置为nnn nm m Ta a a a a a a a a A212222112111=矩阵转置满足以下算律： ∙ ;)(A A TT =∙ ;)(TTTB A B A +=+ ∙ ;)(TTTA B AB +=∙ |A ||A |T =，此时A 为阶方阵。

第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。

（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。

（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。

第二章习题答案1．设a 1，a 2，…，a n 均为正数，nC x ∈，且Tn x x x x ),,,(21 =. 证明函数2/112][)(∑==ni i i x a x f在C n 上定义了一个向量范数.证明：(1) 正定性：对0≠∀x ，有f (x )>0，当x =0时，f (x )=0. (2) 奇次性：)(][][)(2/1122/112x f x a x a x f ni i i ni i i ⋅=⋅==∑∑==λλλλ.(3) 三角不等式：])([][)(122122∑∑==+++=+=+ni i i i i i i i ni iiiy x y x y x a yx a y x f)2()()()2()()(122122∑∑==⋅++≤⋅++≤ni i i i ni i i i y x a y f x f y x a y f x f∑∑∑===⋅++≤⋅++≤ni i i ni i i ni i i i i y a x a y f x f y a x a y f x f 12/1212/1222122)()(2)()()2()()( 222)]()([)()(2)()(y f x f y f x f y f x f +=⋅++=. 所以函数f (x )是一个向量范数.2. 证明：在R 1中任何向量范数x ，一定有x x λ= 0>λ.证明：对任意向量范数x ，根据向量范数的定义和性质，又因为1R x ∈，有x x x x λ=⋅=⋅=11，其中01>=λ.3. 设x 是P n 中的向量范数，nn P A ⨯∈，则Ax 也是P n 中的向量范数的充要条件为A是可逆矩阵.证明：必要性：如果矩阵A 不可逆，则存在0≠x ，使得0=Ax ，即0=Ax ，这与向量范数的正定性矛盾，所以矩阵A 可逆.充分性：矩阵A 可逆，对0≠∀x ，则0≠Ax ，所以0>Ax ，正定性满足；Ax Ax ⋅=λλ，奇次性满足；Ay Ax Ay Ax y x A +≤+=+)(，三角不等式也满足，故Ax 是向量范数.4. 证明 (1) 2/1)]([2A A tr A H m =;(2) 2m A与2x 是相容的；(3) a A 与1x 、2x 均相容； (4) {}22222min ,m m m m ABA BA B≤⋅.证明：(1) 设nn PA ⨯∈，令),,(1n A αα =. 根据定义有∑∑===n i nj ijm a A11222，∑==ni ijja 1222α，n j ,,1 =，所以有∑==nj mj A 1222α，同时有，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n Hn H n n H H n H n H HA A αααααααααααα111111)( ，所以有212)(m n j j H j H A A A tr ==∑=αα. (2) 见课本61页下.(3) 令()Tn x x x x ,,,21 =，nn ij Pa A ⨯∈=)(. 因为j n i nj ijji n i n j jijx ax a Ax ⋅≤=∑∑∑∑====11,111max11,11,}{max max x A x a n x a a ij ji nj j ni ij ji ⋅=⋅⋅≤⋅≤∑∑==. 所以，a A 与1x 相容;因为∑∑∑∑∑∑∑=======⋅=⋅≤+++=n i nj j nj ij n i nj j nj ij ni n in i i x a x a x a x a x a Ax112121121212221122)()(22222}{max }{max x a n x a n ij ijij ij⋅⋅=⋅⋅≤. 所以，a A 与2x 相容.(4) 令),,,,(1n j B βββ =，因为222j jA A ββ≤，n j ,,1 =，同时有222222212222221212222)(),,(m n nm n m BA A A A A AB=++≤++==ββββββ有上述结果有2222222)(m m HHm HH m Hm A B A B A B AB AB =≤==，所以(4)成立.5. 若rm PA ⨯∈，且r HE A A =，则12=A ，r A m =2.证明：根据定义1)()(2===E r A A r AH ；r E tr A A tr A H m ===)()(2.6. 设x ，Ax 的向量范数为2∙，证明：它对应的算子范数是{}n x Ax A σσσ,,,max max 212122 ===.证明：对任意矩阵A ，存在酉矩阵U ，V ，得到矩阵A 的奇异值分解A =UDV . 其中n σσ,,1 是矩阵A 的奇异值，D =diag(n σσσ,,,21 ). 根据定义，有)()())(()(222D r V D V r UDV UDV r A A r A H H H =====max{n σσσ,,,21 }.7. 若∙是算子范数，则 (1) 1=E ;(2) 11--≥AA ;(3) xAx Ax 011min ≠--=. 证明：根据算子范数定义xAxA x 0max≠=， (1) 1max max00===≠≠xxx Ex E x x ; (2) 111--≤==A A AAE ，11--≥AA ；(3) xx A A x 101max-≠-=，令x A y 1-=，则Ay x =，得AyyAy 01max ≠-=，从而xAxy Ay AyyA x y y 00011min minmax 1≠≠≠--===. 8. 设v A ，μA 是对应于两个向量范数v x ，v Bx x=μ的算子范数，B 可逆，则νμ1-=BAB A .证明：根据定义，有μμμxAx A x 0max≠=，把νμBx x=代入上式，得到ννμBx BAx A x 0max≠=，令y =Bx ，则y B x 1-=，则νννμ110max--≠==BAB y y BAB A y .9. 设a x ，b x 是C n 上的两个向量范数，a 1，a 2是两个正实数，证明 (1) c b a x x x =},max{; (2) d b ax x a xa =+21都是C n 上的向量范数.证明：需要证明(1)和(2)满足范数定义中的三个条件即可.(1) (正定性) 当0≠x 时，0>ax ，0>b x ，则0>c x ；当x =0时，0=a x ，0=b x ，则0=cx. 奇次性显然成立. (三角不等式)},m a x{},m a x{b b a a b a cy x y x y x y x yx ++≤++=+c c b a b a y x y y x x +=+≤},max {},max {. (1)证毕.(2) 正定性和奇次性同(1)，容易得到. 下面证明三角不等式：d d b b a a b a dy x y x a y x a y x a y x a yx +=+++≤+++=+)()(2121. 证毕.10. 证明F F A A A n≤≤21. 证明：因为22122)()()(F H n H A A A tr A A r A==+++≤=λλλ ，即F A A ≤2，其中i λ为半正定矩阵A H A 的特征值. 又由于22212)()(A n A A r n A H n F ⋅=⋅≤+++=λλλ ，即21A A nF ≤. 证毕. 11．设a A 是nn C ⨯上的相容矩阵范数，B ，C 都是n 阶可逆矩阵，且aB1-及aC1-都是小于或等于1，证明对任何nn CA ⨯∈a b BAC A =定义了nn C⨯上的一个相容矩阵范数.证明：首先证明a b BAC A =是一个矩阵范数。

习题二 （A ）1 请按要求写出下列相应矩阵（1）3E ； （2）35O ⨯； （3）()3,1,2.=-3Λdiag2 设矩阵221,301A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭a b c c ，若A B =，请确定a,b,c 的值. 3 设矩阵300012111=,,565042112A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-⎭，求,,23A B B C A C -++.4 设3023=12531⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ,求,2,3--+A E E A A E . 5 设矩阵3111110=21,=212031112AB ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求矩阵X ，使得()53X B AB X +=+. 6 计算下列乘积：（1）AB 与BA ，其中A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛600040002，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ； （2）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6543,2,1；（3）1023211231⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭；（4）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321,,x x x a a a a a a a a a x x x ；（5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛32142143143243210110100101001000. 7 211312101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭A ，230101211⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，求23-AB B ,T A B 及()T AB .8 设矩阵110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求n A ，其中n 为自然数.9 设列矩阵A =()T12,n a a a ，满足T 1,=n A A E 为n 阶单位矩阵，T 2n =-B E AA ，证明（1）矩阵B 是对称矩阵；（2）T=n BB E .证毕10 设矩阵31212,01234031A B ⎛⎫- ⎪⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，λ是实数，（1）计算λ-E A 和λ-E B ； （2）计算-E A λ和E B -λ.11 求下列方阵的逆矩阵 (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4231；（2）cos sin sin cos ⎛⎫ ⎪-⎝⎭θθθθ； （3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111011001； （4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121； （5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---6000340042102521. 12 解下列矩阵方程：（1）25323714⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X ； （2）211213*********-⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎝⎭X ；(3) 0314********X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝-⎭⎝-⎭⎝-⎭； (4) 010********0001201001010120-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭X ．13 设矩阵 1111111111111111⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭A . (1) 求2A ；(2) 证明矩阵A 可逆，并求1-A ；(3) 求*1()-A .14 已知k=A O （k 为正整数），证明()121---=++++k E A E A A A .15 若矩阵A 满足224--=A A E O ，试证 (1) 矩阵A 可逆，并求1-A ;(2) 矩阵+A E 可逆，并求1()-+A E . 16 利用逆矩阵解下列线性方程组：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3531322522321321321x x x x x x x x x ；(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x ． 17 设矩阵A 和B 满足关系式2=+AB A B ，其中033011312A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵B . 18 设矩阵A 和X 满足关系式2+=-XA E A X ，其中120340567⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求矩阵X . 19（研2006数一，数二） 设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则=B .20 （研2008数一，数二，数三） 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若3=A O ，则（ ）（A ）-E A 不可逆，+E A 不可逆； （B ）-E A 不可逆，+E A 可逆； （C ）-E A 可逆，+E A 可逆； （D ）-E A 可逆，+E A 不可逆.21 （研2009数一，数二，数三） 设,A B 均为2阶矩阵，,**A B 分别为,A B 的伴随矩阵.若2,3==A B ，则分块矩阵⎛⎫⎪⎝⎭O A B O 的伴随矩阵为（ ）（A ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ； （B ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ；（C ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O ； （D ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O .22 （研2010数二，数三） 设,A B 为3阶矩阵，且13,2,2,-==+=A B A B 则1-+=A B .23（研2012数二） 设A 为3阶矩阵，3=A ，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*=BA .24（研2013数一，数二，数三） 设()ij a =A 是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若()0,1,2,3ij ij a A i j +==，则=A .（B ）1（研2002数二） 已知,A B 为3阶对称矩阵，且满足124-=-A B B E ，其中E 为3阶单位矩阵.（1）证明：矩阵2-A E 可逆，并求()12--A E ；（2）若矩阵012012002B ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A .2 设矩阵X 满足 12*-=+A X A B X ，其中111111111A ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，110101B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵X .3（研2003数二） 设3阶矩阵,A B 满足2--=A B A B E ，其中E 为3阶单位矩阵，011002021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求B .4 设,A B 均为3阶矩阵，E 为3阶单位矩阵.已知2=+AB A B ，202040202⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，求()1--A E .5 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明： (1) 若0=A ，则*0=A ； (2) 1*-=n A A.6 设矩阵111222⎛⎫=⎪⎝⎭A A A O A ，其中ij A 是j i n n ⨯矩阵，证明矩阵A 可逆的充分必要条件是11A 及22A 均为可逆矩阵，并求1A -.7 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1O O -⎛⎫⎪⎝⎭A B .8 求矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000000000121 n n a a a a 的逆矩阵，其中0≠i a ，n i ,,1 =.9（研2015数二）设矩阵101101a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 且3=A O .（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足--+22X XA AX AXA =E ，E 为3阶单位阵，求X .10 设n 阶矩阵,,A B C 满足n ===AB BC CA E ，求222++A B C .。